Cómo quitar el módulo en la desigualdad. Desigualdades de módulo

Hay varias formas de resolver desigualdades que contienen un módulo. Consideremos algunos de ellos.

1) Resolviendo la desigualdad usando la propiedad geométrica del módulo.

Déjame recordarte cuál es la propiedad geométrica del módulo: el módulo del número x es la distancia desde el origen hasta el punto con la coordenada x.

En el curso de resolver desigualdades de esta manera, pueden surgir 2 casos:

1. |x| ≤ b,

Y la desigualdad con módulo obviamente se reduce a un sistema de dos desigualdades. Aquí, el signo puede ser estricto, en cuyo caso los puntos de la imagen se "perforarán".

2. |x| ≥ segundo, entonces la imagen de la solución se ve así:

Y la desigualdad con el módulo obviamente se reduce al conjunto de dos desigualdades. Aquí, el signo puede ser estricto, en cuyo caso los puntos de la imagen se "perforarán".

Ejemplo 1

Resuelve la desigualdad |4 – |x|| ≥ 3.

Solución.

Esta desigualdad es equivalente al siguiente conjunto:

tu [-1;1] tu

Ejemplo 2

Resuelve la desigualdad ||x+2| – 3| ≤ 2.

Solución.

Esta desigualdad es equivalente al siguiente sistema.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Resolvemos por separado la primera desigualdad del sistema. Es equivalente al siguiente conjunto:

U[-1; 3].

2) Resolver desigualdades usando la definición del módulo.

Déjame recordarte que comiences definicion de modulo

|un| = un si un ≥ 0 y |a| = -a si un< 0.

Por ejemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Ejemplo 1

Resuelve la desigualdad 3|x – 1| ≤ x + 3.

Solución.

Usando la definición del módulo, obtenemos dos sistemas:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

Resolviendo el primer y segundo sistema por separado, obtenemos:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(X< 1
(x ≥ 0.

La solución a la desigualdad original serán todas las soluciones del primer sistema y todas las soluciones del segundo sistema.

Respuesta: x€.

3) Resolver desigualdades elevando al cuadrado.

Ejemplo 1

Resuelve la desigualdad |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solución.

Elevemos al cuadrado ambos lados de la desigualdad. Observo que elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad solo es posible si ambos son positivos. En este caso, tenemos módulos tanto a la izquierda como a la derecha, por lo que podemos hacer esto.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Ahora usemos la siguiente propiedad del módulo: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2)(2x 2 - x)< 0,

x(x - 2)(2x - 1)< 0.

Resolvemos por el método del intervalo.

Respuesta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Resolver desigualdades por el método de cambio de variables.

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solución.

Tenga en cuenta que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Entonces obtenemos la desigualdad

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Hagamos el cambio y = |2x + 3|.

Reescribamos nuestra desigualdad teniendo en cuenta el reemplazo.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Factorizamos el trinomio cuadrado de la izquierda.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6)(y + 5) ≤ 0.

Resolvemos por el método del intervalo y obtenemos:

Volver al reemplazo:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Esta doble desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Resolvemos cada una de las desigualdades por separado.

El primero es equivalente al sistema

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Vamos a resolverlo.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4.5.

La segunda desigualdad obviamente se cumple para todo x, ya que el módulo es, por definición, un número positivo. Dado que la solución del sistema son todos los x que satisfacen simultáneamente la primera y la segunda desigualdad del sistema, entonces la solución del sistema original será la solución de su primera doble desigualdad (después de todo, la segunda es cierta para todo x).

Respuesta: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

Matemáticas es un símbolo de la sabiduría de la ciencia,

un ejemplo de rigor científico y sencillez,

el estándar de perfección y belleza en la ciencia.

Filósofo ruso, profesor A.V. Voloshinov

Desigualdades de módulo

Los problemas más difíciles de resolver en las matemáticas escolares son las desigualdades, que contienen variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito tales desigualdades, es necesario conocer bien las propiedades del módulo y tener las habilidades para utilizarlas.

Conceptos básicos y propiedades.

Módulo (valor absoluto) de un número real denotado y se define de la siguiente manera:

Las propiedades simples del módulo incluyen las siguientes relaciones:

Y .

Nota, que las dos últimas propiedades se cumplen para cualquier grado par.

Además, si , dónde , entonces y

Propiedades de módulo más complejas, que se puede usar de manera efectiva para resolver ecuaciones y desigualdades con módulos, se formulan mediante los siguientes teoremas:

Teorema 1.Para cualquier función analítica y la desigualdad.

Teorema 2. Igualdad es equivalente a la desigualdad.

Teorema 3. Igualdad es equivalente a la desigualdad.

Las desigualdades más comunes en las matemáticas escolares, que contiene variables desconocidas bajo el signo de módulo, son desigualdades de la forma y donde alguna constante positiva.

Teorema 4. Desigualdad es equivalente a una doble desigualdad, y la solución a la desigualdadse reduce a resolver el conjunto de desigualdades y .

Este teorema es un caso particular de los teoremas 6 y 7.

Desigualdades más complejas, que contienen el módulo son desigualdades de la forma, y .

Los métodos para resolver tales desigualdades se pueden formular utilizando los siguientes tres teoremas.

Teorema 5. Desigualdad es equivalente a la combinación de dos sistemas de desigualdades

Y 1)

Prueba. Desde entonces

Esto implica la validez de (1).

Teorema 6. Desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades

Prueba. Porque , entonces de la desigualdad sigue que . Bajo esta condición, la desigualdady en este caso el segundo sistema de desigualdades (1) resulta inconsistente.

El teorema ha sido probado.

Teorema 7. Desigualdad es equivalente a la combinación de una desigualdad y dos sistemas de desigualdades

Y (3)

Prueba. Como , entonces la desigualdad siempre ejecutado, si .

Dejar , entonces la desigualdadequivaldrá a la desigualdad, de donde se sigue el conjunto de dos desigualdades y .

El teorema ha sido probado.

Considere ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Desigualdades, que contienen variables bajo el signo del módulo.

Resolviendo desigualdades con módulo

El método más simple para resolver desigualdades con módulo es el método, basado en la expansión del módulo. Este método es genérico., sin embargo, en el caso general, su aplicación puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. Por lo tanto, los estudiantes también deben conocer otros métodos y técnicas (más eficientes) para resolver este tipo de desigualdades. En particular, necesita tener las habilidades para aplicar los teoremas, dado en este artículo.

Ejemplo 1Resuelve la desigualdad

. (4)

Solución.La desigualdad (4) se resolverá mediante el método "clásico": el método de expansión de módulos. Para ello, rompemos el eje numérico puntos y intervalos y considere tres casos.

1. Si , entonces , , , y la desigualdad (4) toma la forma o .

Dado que el caso se considera aquí, , es una solución a la desigualdad (4).

2. Si , entonces de la desigualdad (4) obtenemos o . Como la intersección de los intervalos y esta vacio, entonces no hay soluciones a la desigualdad (4) en el intervalo considerado.

3. Si , entonces la desigualdad (4) toma la forma o . Es obvio que es también una solución a la desigualdad (4).

Responder: , .

Ejemplo 2 Resuelve la desigualdad.

Solución. Supongamos que. Porque , entonces la desigualdad dada toma la forma o . Porque entonces y por lo tanto sigue o .

Sin embargo, por lo tanto o.

Ejemplo 3 Resuelve la desigualdad

. (5)

Solución. Porque , entonces la desigualdad (5) es equivalente a las desigualdades o . De aquí, según el teorema 4, tenemos un conjunto de desigualdades y .

Responder: , .

Ejemplo 4Resuelve la desigualdad

. (6)

Solución. Denotemos. Entonces de la desigualdad (6) obtenemos las desigualdades , o .

De aquí, utilizando el método de intervalo, obtenemos . Porque , entonces aquí tenemos un sistema de desigualdades

La solución a la primera desigualdad del sistema (7) es la unión de dos intervalos y , y la solución de la segunda desigualdad es la doble desigualdad. Esto implica , que la solución al sistema de desigualdades (7) es la unión de dos intervalos y .

Responder: ,

Ejemplo 5Resuelve la desigualdad

. (8)

Solución. Transformamos la desigualdad (8) de la siguiente manera:

O .

Aplicar el método de intervalo, obtenemos una solución a la desigualdad (8).

Responder: .

Nota. Si ponemos y en la condición del Teorema 5, entonces obtenemos .

Ejemplo 6 Resuelve la desigualdad

. (9)

Solución. De la desigualdad (9) se sigue. Transformamos la desigualdad (9) de la siguiente manera:

O

Desde , entonces o .

Responder: .

Ejemplo 7Resuelve la desigualdad

. (10)

Solución. Desde y , entonces o .

En esta conexión y la desigualdad (10) toma la forma

O

. (11)

De esto se deduce que o . Como , entonces la desigualdad (11) también implica o .

Responder: .

Nota. Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (10), entonces obtenemos . De aquí y de la desigualdad (10) se sigue, eso o . Porque , entonces la desigualdad (10) toma la forma o .

Ejemplo 8 Resuelve la desigualdad

. (12)

Solución. Desde entonces y la desigualdad (12) implica o . Sin embargo, por lo tanto o. De aquí obtenemos o .

Responder: .

Ejemplo 9 Resuelve la desigualdad

. (13)

Solución. Según el Teorema 7, las soluciones de la desigualdad (13) son o .

Deja ahora. En este caso y la desigualdad (13) toma la forma o .

Si combinamos intervalos y , entonces obtenemos una solución a la desigualdad (13) de la forma.

Ejemplo 10 Resuelve la desigualdad

. (14)

Solución. Reescribamos la desigualdad (14) en una forma equivalente: . Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de esta desigualdad, entonces obtenemos la desigualdad .

De aquí y del Teorema 1 se sigue, que la desigualdad (14) se satisface para cualquier valor.

Respuesta: cualquier número.

Ejemplo 11. Resuelve la desigualdad

. (15)

Solución. Aplicando el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (15), obtenemos . De aquí y de la desigualdad (15) se sigue la ecuación, que parece.

Según el teorema 3, la ecuacion es equivalente a la desigualdad. De aquí obtenemos.

Ejemplo 12.Resuelve la desigualdad

. (16)

Solución. De la desigualdad (16), según el Teorema 4, se obtiene el sistema de desigualdades

Al resolver la desigualdadusamos el Teorema 6 y obtenemos el sistema de desigualdadesde lo que sigue.

Considere la desigualdad. Según el teorema 7, obtenemos un conjunto de desigualdades y . La segunda desigualdad de la población se cumple para cualquier.

Como consecuencia , la solución de la desigualdad (16) son.

Ejemplo 13Resuelve la desigualdad

. (17)

Solución. De acuerdo con el Teorema 1, podemos escribir

(18)

Teniendo en cuenta la desigualdad (17), concluimos que ambas desigualdades (18) se convierten en igualdades, es decir hay un sistema de ecuaciones

Por el Teorema 3, este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de desigualdades

o

Ejemplo 14Resuelve la desigualdad

. (19)

Solución. Desde entonces . Multipliquemos ambas partes de la desigualdad (19) por la expresión , que para cualquier valor toma solo valores positivos. Entonces obtenemos una desigualdad que es equivalente a la desigualdad (19), de la forma

De aquí obtenemos o , donde . Desde y entonces las soluciones a la desigualdad (19) son y .

Responder: , .

Para un estudio más profundo de los métodos para resolver desigualdades con un módulo, es recomendable consultar tutoriales, en la lista de lecturas recomendadas.

1. Colección de tareas en matemáticas para aspirantes a universidades técnicas / Ed. MI. Escanavi. - M.: Mundo y Educación, 2013. - 608 págs.

2. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos para resolver y demostrar desigualdades. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 págs.

3. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para resolver problemas. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 págs.

¿Tiene usted alguna pregunta?

Para obtener la ayuda de un tutor, regístrese.

sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

número de módulo este número en sí se llama si es no negativo, o el mismo número con el signo opuesto si es negativo.

Por ejemplo, el módulo de 6 es 6 y el módulo de -6 también es 6.

Es decir, se entiende como valor absoluto el módulo de un número, el valor absoluto de ese número sin tener en cuenta su signo.

Indicado de la siguiente manera: |6|, | X|, |a| etc.

(Para más detalles, ver la sección "Módulo de Número").

Ecuaciones de módulo.

Ejemplo 1 . resuelve la ecuación|10 X - 5| = 15.

Solución.

De acuerdo con la regla, la ecuación es equivalente a la combinación de dos ecuaciones:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nosotros decidimos:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Responder: X 1 = 2, X 2 = -1.

Ejemplo 2 . resuelve la ecuación|2 X + 1| = X + 2.

Solución.

Como el módulo es un número no negativo, entonces X+ 2 ≥ 0. En consecuencia:

X ≥ -2.

Hacemos dos ecuaciones:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nosotros decidimos:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ambos números son mayores que -2. Entonces ambos son raíces de la ecuación.

Responder: X 1 = -1, X 2 = 1.

Ejemplo 3 . resuelve la ecuación

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solución.

La ecuación tiene sentido si el denominador no es igual a cero, por lo que si X≠ 1. Tengamos en cuenta esta condición. Nuestra primera acción es simple: no solo nos deshacemos de la fracción, sino que la transformamos de tal manera que obtenemos el módulo en su forma más pura:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Ahora solo tenemos la expresión debajo del módulo en el lado izquierdo de la ecuación. Siga adelante.
El módulo de un número es un número no negativo, es decir, debe ser mayor o igual que cero. En consecuencia, resolvemos la desigualdad:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Así, tenemos una segunda condición: la raíz de la ecuación debe ser al menos 3/4.

De acuerdo con la regla, componemos un conjunto de dos ecuaciones y las resolvemos:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Recibimos dos respuestas. Comprobemos si son las raíces de la ecuación original.

Teníamos dos condiciones: la raíz de la ecuación no puede ser igual a 1 y debe ser al menos 3/4. Eso es X ≠ 1, X≥ 3/4. Ambas condiciones corresponden a solo una de las dos respuestas recibidas: el número 2. Por lo tanto, solo es la raíz de la ecuación original.

Responder: X = 2.

Desigualdades con el módulo.

Ejemplo 1 . Resuelve la desigualdad| X - 3| < 4

Solución.

La regla del módulo dice:

|a| = a, si a ≥ 0.

|a| = -a, si a < 0.

El módulo puede tener tanto un número negativo como no negativo. Así que tenemos que considerar ambos casos: X- 3 ≥ 0 y X - 3 < 0.

1) cuando X- 3 ≥ 0 nuestra desigualdad original queda como está, solo que sin el signo del módulo:
X - 3 < 4.

2) cuando X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Abriendo los paréntesis, obtenemos:

-X + 3 < 4.

Así, a partir de estas dos condiciones, hemos llegado a la unión de dos sistemas de desigualdades:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Vamos a resolverlos:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Entonces, en nuestra respuesta tenemos la unión de dos conjuntos:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Determine los valores más pequeños y más grandes. Estos son -1 y 7. Al mismo tiempo X mayor que -1 pero menor que 7.
Además, X≥ 3. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es todo el conjunto de números de -1 a 7, excluyendo estos números extremos.

Responder: -1 < X < 7.

O: X ∈ (-1; 7).

Complementos.

1) Hay una forma más simple y corta de resolver nuestra desigualdad: gráfica. Para hacer esto, dibuje un eje horizontal (Fig. 1).

Expresión | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X al punto 3 menos de cuatro unidades. Marcamos el número 3 en el eje y contamos 4 divisiones a la izquierda y derecha del mismo. A la izquierda llegaremos al punto -1, a la derecha, al punto 7. Por lo tanto, los puntos X acabamos de ver sin calcularlos.

Además, según la condición de desigualdad, -1 y 7 no están incluidos en el conjunto de soluciones. Así, obtenemos la respuesta:

1 < X < 7.

2) Pero hay otra solución que es aún más simple que la forma gráfica. Para ello, nuestra desigualdad debe presentarse de la siguiente forma:

4 < X - 3 < 4.

Después de todo, así es según la regla del módulo. El número no negativo 4 y el número negativo similar -4 son los límites de la solución de la desigualdad.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Ejemplo 2 . Resuelve la desigualdad| X - 2| ≥ 5

Solución.

Este ejemplo difiere significativamente del anterior. El lado izquierdo es mayor que 5 o igual a 5. Desde un punto de vista geométrico, la solución a la desigualdad son todos los números que están a una distancia de 5 unidades o más del punto 2 (Fig. 2). El gráfico muestra que estos son todos los números menores o iguales a -3 y mayores o iguales a 7. Entonces, ya recibimos la respuesta.

Responder: -3 ≥ X ≥ 7.

En el camino, resolvemos la misma desigualdad reordenando el término libre a la izquierda y a la derecha con el signo opuesto:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

La respuesta es la misma: -3 ≥ X ≥ 7.

O: X ∈ [-3; 7]

Ejemplo resuelto.

Ejemplo 3 . Resuelve la desigualdad 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solución.

Número X puede ser positivo, negativo o cero. Por lo tanto, debemos tener en cuenta las tres circunstancias. Como sabes, se tienen en cuenta en dos desigualdades: X≥ 0 y X < 0. При X≥ 0, simplemente reescribimos nuestra desigualdad original tal como está, solo que sin el signo del módulo:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Ahora para el segundo caso: si X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Ampliando los paréntesis:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Así, hemos recibido dos sistemas de ecuaciones:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Necesitamos resolver desigualdades en sistemas, lo que significa que necesitamos encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. Para hacer esto, igualamos a cero los lados izquierdos de las desigualdades.

Empecemos con el primero:

6X 2 - X - 2 = 0.

Cómo resolver una ecuación cuadrática: consulte la sección "Ecuación cuadrática". Inmediatamente nombraremos la respuesta:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Del primer sistema de desigualdades se obtiene que la solución de la desigualdad original es todo el conjunto de números desde -1/2 hasta 2/3. Escribimos la unión de soluciones para X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ahora resolvamos la segunda ecuación cuadrática:

6X 2 + X - 2 = 0.

Sus raices:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Conclusión: cuando X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Combinemos las dos respuestas y obtengamos la respuesta final: la solución es todo el conjunto de números desde -2/3 hasta 2/3, incluidos estos números extremos.

Responder: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

O: X ∈ [-2/3; 2/3].