Cómo sumar números con las mismas potencias. Regla para multiplicar potencias con diferentes bases
Si necesita elevar un número específico a una potencia, puede usar . Ahora vamos a echar un vistazo más de cerca a propiedades de los grados.
Números exponenciales abren grandes posibilidades, nos permiten convertir la multiplicación en suma, y la suma es mucho más fácil que la multiplicación.
Por ejemplo, necesitamos multiplicar 16 por 64. El producto de multiplicar estos dos números es 1024. Pero 16 es 4x4 y 64 es 4x4x4. Así que 16 por 64 = 4x4x4x4x4 que también es 1024.
El número 16 también se puede representar como 2x2x2x2, y el 64 como 2x2x2x2x2x2, y si lo multiplicamos, nuevamente obtenemos 1024.
Ahora usemos la regla. 16=4 2 , o 2 4 , 64=4 3 , o 2 6 , mientras que 1024=6 4 =4 5 , o 2 10 .
Por lo tanto, nuestro problema se puede escribir de otra manera: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, y cada vez obtenemos 1024.
Podemos resolver varios ejemplos similares y ver que la multiplicación de números con potencias se reduce a adición de exponentes, o un exponente, por supuesto, siempre que las bases de los factores sean iguales.
Por lo tanto, podemos, sin multiplicar, decir inmediatamente que 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Esta regla también es cierta cuando se dividen números con potencias, pero en este caso, e el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo. Así, 2 5:2 3 =2 2 , que en números ordinarios es igual a 32:8=4, es decir, 2 2 . Resumamos:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, donde m y n son números enteros.
A primera vista, podría parecer que multiplicacion y division de numeros con potencias no es muy conveniente, porque primero necesitas representar el número en forma exponencial. No es difícil representar los números 8 y 16 de esta forma, es decir, 2 3 y 2 4, pero ¿cómo hacer esto con los números 7 y 17? O qué hacer en aquellos casos en los que el número se puede representar en forma exponencial, pero las bases de las expresiones exponenciales de los números son muy diferentes. Por ejemplo, 8×9 es 2 3 x 3 2 , en cuyo caso no podemos sumar los exponentes. Ni 2 5 ni 3 5 es la respuesta, ni es la respuesta entre los dos.
Entonces, ¿vale la pena molestarse con este método? Definitivamente vale la pena. Proporciona enormes ventajas, especialmente para cálculos complejos y que consumen mucho tiempo.
Artículos sobre ciencias naturales y matemáticas.
Propiedades de potencias con la misma base
Hay tres propiedades de potencias con las mismas bases y exponentes naturales. eso
¡Ten cuidado! Reglas sobre Adición y sustracción potencias con la misma base no existe.
Escribimos estas reglas de propiedades en forma de fórmulas:
Ahora considérelos en ejemplos específicos e intente probar.
5 2 × 5 3 = 5 5 - aquí aplicamos la regla; y ahora imagina cómo resolveríamos este ejemplo si no supiéramos las reglas:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - cinco al cuadrado es cinco por cinco, y al cubo es el producto de tres cincos. El resultado es un producto de cinco cincos, pero esto es algo diferente de cinco a la quinta potencia: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Escribamos la división como una fracción:
Se puede acortar: 
Como resultado, obtenemos: 
Así, demostramos que al dividir dos potencias con las mismas bases, se deben restar sus indicadores.
Sin embargo, al dividir, es imposible que el divisor sea igual a cero (ya que no se puede dividir por cero). Además, dado que consideramos grados solo con indicadores naturales, no podemos obtener un número menor que 1 como resultado de la resta de indicadores, por lo tanto, se imponen restricciones a la fórmula a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 y m > n .
Pasemos a la tercera propiedad:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Escribamos en forma desarrollada:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Puedes llegar a esta conclusión y razonar lógicamente. Necesitas multiplicar dos al cuadrado cuatro veces. Pero hay dos doses en cada cuadrado, por lo que habrá ocho doses en total.
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propiedades de grado
Te recordamos que en esta lección entendemos propiedades de grado con indicadores naturales y cero. Los grados con indicadores racionales y sus propiedades se discutirán en lecciones para el grado 8.
Un exponente con un exponente natural tiene varias propiedades importantes que le permiten simplificar los cálculos en ejemplos de exponentes.
Propiedad #1
producto de potencias
Al multiplicar potencias con la misma base, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes.
a m a n \u003d a m + n, donde "a" es cualquier número, y "m", "n" son números naturales.
Esta propiedad de las potencias también afecta al producto de tres o más potencias.
segundo segundo 2 segundo 3 segundo 4 segundo 5 = segundo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = segundo 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Tenga en cuenta que en la propiedad indicada solo se trataba de multiplicar potencias con las mismas bases.. No se aplica a su adición.
No puedes reemplazar la suma (3 3 + 3 2) con 3 5 . Esto es comprensible si
calcular (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 y 3 5 = 243
Propiedad #2
Grados privados
Al dividir potencias con la misma base, la base permanece sin cambios y el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Ejemplo. Resuelve la ecuación. Usamos la propiedad de los grados parciales.
3 8: t = 3 4
Respuesta: t = 3 4 = 81
Usando las propiedades No. 1 y No. 2, puede simplificar expresiones y realizar cálculos fácilmente.
- Ejemplo. Simplifica la expresión.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Ejemplo. Encuentra el valor de una expresión usando propiedades de grado.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Obsérvese que la propiedad 2 se ocupaba únicamente de la división de poderes con las mismas bases.
No puedes reemplazar la diferencia (4 3 −4 2) con 4 1 . Esto es comprensible si calculas (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, y 4 1 = 4
Propiedad #3
exponenciación
Al elevar una potencia a otra potencia, la base de la potencia permanece invariable y los exponentes se multiplican.
(a n) m \u003d a n m, donde "a" es cualquier número, y "m", "n" son números naturales.
Tenga en cuenta que la propiedad No. 4, al igual que otras propiedades de los grados, también se aplica en orden inverso.
(un segundo norte) = (un segundo) norte
Es decir, para multiplicar grados con los mismos exponentes, puedes multiplicar las bases y dejar el exponente sin cambios.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
En ejemplos más complejos, puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse en potencias con diferentes bases y diferentes exponentes. En este caso, le recomendamos que haga lo siguiente.
Por ejemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Ejemplo de exponenciación de una fracción decimal.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = cuatro
Propiedades 5
Potencia del cociente (fracciones)
Para elevar un cociente a una potencia, puedes elevar el dividendo y el divisor por separado a esta potencia y dividir el primer resultado por el segundo.
(a: b) n \u003d a n: b n, donde "a", "b" son números racionales, b ≠ 0, n es cualquier número natural.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Te recordamos que un cociente se puede representar como una fracción. Por lo tanto, nos detendremos en el tema de elevar una fracción a una potencia con más detalle en la página siguiente.
Multiplicación y división de números con potencias
Si necesitas elevar un número específico a una potencia, puedes usar la tabla de potencias de números naturales del 2 al 25 en álgebra. Ahora vamos a echar un vistazo más de cerca a propiedades de los grados.
Números exponenciales abren grandes posibilidades, nos permiten convertir la multiplicación en suma, y la suma es mucho más fácil que la multiplicación. 
Por ejemplo, necesitamos multiplicar 16 por 64. El producto de multiplicar estos dos números es 1024. Pero 16 es 4x4 y 64 es 4x4x4. Así que 16 por 64 = 4x4x4x4x4 que también es 1024.
El número 16 también se puede representar como 2x2x2x2, y el 64 como 2x2x2x2x2x2, y si lo multiplicamos, nuevamente obtenemos 1024.
Y ahora usamos la regla de elevar un número a una potencia. 16=4 2 , o 2 4 , 64=4 3 , o 2 6 , mientras que 1024=6 4 =4 5 , o 2 10 .
Por lo tanto, nuestro problema se puede escribir de otra manera: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, y cada vez obtenemos 1024.
Podemos resolver varios ejemplos similares y ver que la multiplicación de números con potencias se reduce a adición de exponentes, o un exponente, por supuesto, siempre que las bases de los factores sean iguales.
Por lo tanto, podemos, sin multiplicar, decir inmediatamente que 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Esta regla también es cierta cuando se dividen números con potencias, pero en este caso, e el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo. Así, 2 5:2 3 =2 2 , que en números ordinarios es igual a 32:8=4, es decir, 2 2 . Resumamos:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, donde m y n son números enteros.
A primera vista, podría parecer que multiplicacion y division de numeros con potencias no es muy conveniente, porque primero necesitas representar el número en forma exponencial. No es difícil representar los números 8 y 16 de esta forma, es decir, 2 3 y 2 4, pero ¿cómo hacer esto con los números 7 y 17? O qué hacer en aquellos casos en los que el número se puede representar en forma exponencial, pero las bases de las expresiones exponenciales de los números son muy diferentes. Por ejemplo, 8×9 es 2 3 x 3 2 , en cuyo caso no podemos sumar los exponentes. Ni 2 5 ni 3 5 es la respuesta, ni es la respuesta entre los dos.
Entonces, ¿vale la pena molestarse con este método? Definitivamente vale la pena. Proporciona enormes ventajas, especialmente para cálculos complejos y que consumen mucho tiempo.
Hasta ahora, hemos asumido que el exponente es el número de factores idénticos. En este caso, el valor mínimo del exponente es 2. Sin embargo, si realizamos la operación de dividir números, o restar exponentes, también podemos obtener un número menor que 2, lo que significa que la antigua definición ya no nos conviene. Lea más en el próximo artículo.
Suma, resta, multiplicación y división de potencias
Suma y resta de potencias
Obviamente, los números con potencias se pueden sumar como otras cantidades , sumándolos uno a uno con sus signos.
Entonces, la suma de a 3 y b 2 es a 3 + b 2 .
La suma de a 3 - b n y h 5 -d 4 es a 3 - b n + h 5 - d 4.
Posibilidades las mismas potencias de las mismas variables se puede sumar o restar.
Entonces, la suma de 2a 2 y 3a 2 es 5a 2 .
También es obvio que si tomamos dos cuadrados a, o tres cuadrados a, o cinco cuadrados a.
pero grados varias variables y varios grados variables idénticas, debe agregarse agregándolos a sus signos.
Entonces, la suma de un 2 y un 3 es la suma de un 2 + un 3.
Es obvio que el cuadrado de a, y el cubo de a, no es ni el doble del cuadrado de a, sino el doble del cubo de a.
La suma de a 3 b n y 3a 5 b 6 es a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sustracción las potencias se llevan a cabo de la misma manera que la suma, excepto que los signos del sustraendo deben cambiarse en consecuencia.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 segundo 6 - 4h 2 segundo 6 \u003d -h 2 segundo 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
multiplicación de potencia
Los números con potencias se pueden multiplicar como otras cantidades escribiéndolos uno tras otro, con o sin el signo de multiplicación entre ellos.
Entonces, el resultado de multiplicar a 3 por b 2 es a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ un metro = un metro x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
un 2 segundo 3 y 2 ⋅ un 3 segundo 2 y = un 2 segundo 3 y 2 un 3 segundo 2 y
El resultado del último ejemplo se puede ordenar sumando las mismas variables.
La expresión tomará la forma: a 5 b 5 y 3 .
Al comparar varios números (variables) con potencias, podemos ver que si se multiplican dos cualquiera de ellos, entonces el resultado es un número (variable) con una potencia igual a suma grados de términos.
Entonces, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aquí 5 es la potencia del resultado de la multiplicación, igual a 2 + 3, la suma de las potencias de los términos.
Entonces, a n .a m = a m+n .
Para a n , a se toma como factor tantas veces como la potencia de n lo es;
Y a m , se toma como factor tantas veces como el grado m sea igual;
Es por eso, Las potencias con las mismas bases se pueden multiplicar sumando los exponentes.
Entonces, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Y x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a norte ⋅ 2a norte = 8a 2n
segundo 2 y 3 ⋅ segundo 4 y = segundo 6 y 4
(segundo + h - y) norte ⋅ (segundo + h - y) = (segundo + h - y) norte+1
Multiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Respuesta: x 4 - y 4.
Multiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Esta regla también es válida para números cuyos exponentes son − negativo.
1. Entonces, a -2 .a -3 = a -5 . Esto se puede escribir como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Si a + b se multiplican por a - b, el resultado será a 2 - b 2: es decir
El resultado de multiplicar la suma o diferencia de dos números es igual a la suma o diferencia de sus cuadrados.
Si la suma y la diferencia de dos números elevados a cuadrado, el resultado será igual a la suma o diferencia de estos números en cuatro la licenciatura.
Entonces, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(un 2 - y 2)⋅(un 2 + y 2) = un 4 - y 4 .
(un 4 - y 4)⋅(un 4 + y 4) = un 8 - y 8 .
división de grados
Los números con potencias se pueden dividir como otros números restándolos del divisor o colocándolos en forma de fracción.
Entonces a 3 b 2 dividido por b 2 es a 3 .
Escribir un 5 dividido por un 3 se parece a $\frac ps Pero esto es igual a un 2 . En una serie de números
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
cualquier número se puede dividir por otro, y el exponente será igual a diferencia Indicadores de números divisibles.
Al dividir potencias con la misma base, se restan sus exponentes..
Entonces, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Es decir, $\frac = y$.
Y un n+1:a = un n+1-1 = un n . Es decir, $\frac = a^n$.
O:
y2m: ym = ym
8a norte+m: 4a metro = 2a norte
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regla también es válida para números con negativo valores de grado.
El resultado de dividir -5 por -3 es -2.
Además, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Es necesario dominar muy bien la multiplicación y división de potencias, ya que tales operaciones son muy utilizadas en álgebra.
Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con potencias
1. Reducir los exponentes en $\frac $ Respuesta: $\frac $.
2. Reducir los exponentes en $\frac$. Respuesta: $\frac $ o 2x.
3. Reducir los exponentes a 2/a 3 y a -3/a -4 y llevar a común denominador.
a 2 .a -4 es un -2 primer numerador.
a 3 .a -3 es un 0 = 1, el segundo numerador.
a 3 .a -4 es a -1 , el numerador común.
Después de la simplificación: a -2 /a -1 y 1/a -1 .
4. Reducir los exponentes 2a 4 /5a 3 y 2 /a 4 y llevarlos a un denominador común.
Respuesta: 2a 3 / 5a 7 y 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 y 5/5a 2.
5. Multiplica (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.
6. Multiplica (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /xy a n /y -3 .
8. Divide 4 /y 3 entre 3 /y 2 . Respuesta: a/a.
Grado y sus propiedades. Nivel promedio.
¿Quiere probar su fuerza y averiguar el resultado de qué tan preparado está para el Examen Estatal Unificado o el OGE?
La licenciatura se llama una expresión de la forma: , donde: 
Grado con exponente entero
grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).
Grado con exponente racional
grado, cuyo indicador es números negativos y fraccionarios.
Grado con exponente irracional
un grado cuyo exponente es una fracción decimal infinita o raíz.
Propiedades de grado
Características de los grados.
¿Qué es el grado de un número?
La exponenciación es la misma operación matemática que la suma, la resta, la multiplicación o la división.
Ahora explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.
Comencemos con la suma.
No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Cada uno tiene dos botellas de refresco de cola. ¿Cuánta cola? Así es - 16 botellas.
Ahora la multiplicación.
El mismo ejemplo con cola se puede escribir de otra forma: . Los matemáticos son gente astuta y perezosa. Primero notan algunos patrones y luego encuentran una manera de "contarlos" más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de refresco de cola y desarrollaron una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y más rápido que.
Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesita recordar tabla de multiplicación. ¡Por supuesto, puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…
Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.
Y otra más bonita:
¿Y qué otros trucos complicados de contar se les ocurrieron a los matemáticos perezosos? Correctamente - elevar un número a una potencia.
Elevar un número a una potencia.
Si necesitas multiplicar un número por sí mismo cinco veces, los matemáticos dicen que debes elevar este número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que es dos a la quinta potencia. Y resuelven esos problemas en su mente: más rápido, más fácil y sin errores.
Para hacer esto, solo necesitas recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créeme, te hará la vida mucho más fácil.
Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números y el tercero cubo? ¿Qué significa? Una muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.
Ejemplo de la vida real #1.
Comencemos con un cuadrado o la segunda potencia de un número.
Imagina una piscina cuadrada de metros a metros. La piscina está en su patio trasero. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero... ¡una piscina sin fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con azulejos. ¿Cuántas baldosas necesitas? Para determinar esto, debe conocer el área del fondo de la piscina.
Simplemente puede contar pinchando con el dedo que el fondo de la piscina se compone de cubos metro a metro. Si tus baldosas son metro a metro, necesitarás piezas. Es fácil... Pero, ¿dónde viste tal mosaico? El mosaico será más bien cm por cm, y luego te atormentará "contar con el dedo". Entonces tienes que multiplicar. Así, en un lado del fondo de la piscina, colocaremos baldosas (piezas) y en el otro, también, baldosas. Multiplicando por, obtienes fichas ().
¿Notaste que multiplicamos el mismo número por sí mismo para determinar el área del fondo de la piscina? ¿Qué significa? Como se multiplica el mismo número, podemos usar la técnica de exponenciación. (Por supuesto, cuando solo tiene dos números, aún necesita multiplicarlos o elevarlos a una potencia. Pero si tiene muchos, entonces elevarlos a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos Para el examen, esto es muy importante).
Entonces, treinta elevado al segundo grado será (). O puedes decir que será treinta al cuadrado. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Y viceversa, si ves un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de algún número. Un cuadrado es una imagen de la segunda potencia de un número.
Ejemplo de la vida real #2.
Aquí hay una tarea para ti, cuenta cuántos cuadrados hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número. De un lado de las celdas y del otro también. Para contar su número, necesitas multiplicar ocho por ocho, o... si notas que un tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar ocho al cuadrado. Obtener celdas. () ¿Asi que?
Ejemplo de la vida real #3.
Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesita averiguar cuánta agua deberá verterse en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y los líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Inesperado, ¿no?) Dibuja una piscina: un fondo de un metro de tamaño y un metro de profundidad e intenta calcular cuántos cubos de un metro por un metro entrarán en tu piscina.
¡Solo apunta con el dedo y cuenta! Uno, dos, tres, cuatro… veintidós, veintitrés… ¿Cuánto salió? ¿No te perdiste? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡De modo que! Tomemos un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por lo que notaron que para calcular el volumen de la piscina, debes multiplicar su largo, ancho y alto entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos... Más fácil, ¿no?
Ahora imagina lo perezosos y astutos que son los matemáticos si lo hacen demasiado fácil. Reducido todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, el ancho y el alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo... ¿Y esto qué significa? Esto significa que puedes usar el título. Entonces, lo que una vez contaste con un dedo, lo hacen en una sola acción: tres en un cubo es igual. Está escrito así:
solo queda memorizar la tabla de grados. A menos, por supuesto, que seas tan perezoso y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.
Bueno, para finalmente convencerte de que los títulos fueron inventados por holgazanes y personas astutas para resolver sus problemas de vida, y no para crearte problemas, aquí hay un par de ejemplos más de la vida.
Ejemplo de la vida real #4.
Tienes un millón de rublos. Al comienzo de cada año, ganas otro millón por cada millón. Es decir, cada uno de tus millones al principio de cada año se duplica. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora está sentado y "contando con el dedo", entonces es una persona muy trabajadora y ... estúpida. Pero lo más probable es que des una respuesta en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año - dos veces dos... en el segundo año - lo que pasó, por dos más, en el tercer año... ¡Alto! Notaste que el número se multiplica por sí mismo una vez. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia es un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y el que calcule más rápido se llevará estos millones... ¿Vale la pena recordar los grados de los números, que opinas?
Ejemplo de vida No. 5.
Tienes un millón. Al principio de cada año, ganas dos más por cada millón. es genial verdad? Cada millón se triplica. ¿Cuánto dinero tendrás en un año? Contemos. El primer año: multiplicar por, luego el resultado por otro ... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres se multiplica por sí mismo. Entonces la cuarta potencia es un millón. Solo necesitas recordar que tres a la cuarta potencia es o.
Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia, te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.
Términos y conceptos.
Entonces, primero, definamos los conceptos. Qué opinas, que es exponente? Es muy simple: este es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No científico, pero claro y fácil de recordar...
Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple es el número que está en la parte inferior, en la base.
Aquí te dejo una foto para que te asegures.
Bueno, en términos generales, para poder generalizar y recordar mejor... Un grado con base "" y un indicador "" se lee como "en el grado" y se escribe de la siguiente manera:
"El grado de un número con un indicador natural"
Probablemente ya lo hayas adivinado: porque el exponente es un número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son los que se utilizan en el conteo al enumerar elementos: uno, dos, tres... Cuando contamos elementos, no decimos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete”. Tampoco decimos "un tercio" o "cero punto cinco décimas". Estos no son números naturales. ¿Qué crees que son estos números?
Números como "menos cinco", "menos seis", "menos siete" se refieren a números enteros En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y un número. El cero es fácil de entender: esto es cuando no hay nada. ¿Y qué significan los números negativos ("menos")? Pero se inventaron principalmente para denotar deudas: si tiene un saldo en rublos en su teléfono, esto significa que le debe rublos al operador.
Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados descubrieron que no tenían suficientes números naturales para medir longitud, peso, área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales… Interesante, ¿no?
También hay números irracionales. ¿Qué son estos números? En resumen, una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.
Grado con indicador natural
Definamos el concepto de grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).
- Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
- Elevar al cuadrado un número es multiplicarlo por sí mismo:
- Elevar al cubo un número es multiplicarlo tres veces por sí mismo:
Definición. Elevar un número a una potencia natural es multiplicar el número por sí mismo por:
Lección sobre el tema: "Reglas para multiplicar y dividir potencias con exponentes iguales y diferentes. Ejemplos"
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El propósito de la lección: aprender a realizar operaciones con potencias de un número.
Para empezar, recordemos el concepto de "potencia de un número". Una expresión como $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ se puede representar como $a^n$.
Lo contrario también es cierto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Esta igualdad se denomina "registrar el grado como un producto". Nos ayudará a determinar cómo multiplicar y dividir potencias.
Recuerda:
a- la base del grado.
norte- exponente.
si un n=1, lo que significa el número a tomado una vez y respectivamente: $a^n= 1$.
si un n=0, entonces $a^0= 1$.
Por qué sucede esto, podemos averiguarlo cuando nos familiaricemos con las reglas para multiplicar y dividir potencias.
reglas de multiplicación
a) Si se multiplican potencias de igual base.Para $a^n * a^m$, escribimos las potencias como un producto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
La figura muestra que el número a han tomado n+m veces, entonces $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Ejemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Es conveniente usar esta propiedad para simplificar el trabajo cuando se eleva un número a una potencia grande.
Ejemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Si se multiplican potencias con diferente base, pero con el mismo exponente.
Para $a^n * b^n$, escribimos las potencias como un producto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Si intercambiamos los factores y contamos los pares resultantes, obtenemos: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Entonces $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Ejemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
reglas de división
a) La base del grado es la misma, los exponentes son diferentes.Considere dividir un grado con un exponente mayor dividiendo un grado con un exponente menor.
Por lo que es necesaria $\frac(a^n)(a^m)$, dónde n>m.
Escribimos los grados como una fracción:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Por conveniencia, escribimos la división como una fracción simple.Ahora reduzcamos la fracción.
Resulta: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Medio, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Esta propiedad ayudará a explicar la situación de elevar un número a una potencia de cero. Supongamos que n=m, entonces $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Ejemplos.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Las bases de la titulación son diferentes, los indicadores son los mismos.
Digamos que necesita $\frac(a^n)(b^n)$. Escribimos las potencias de los números como una fracción:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Imaginemos por conveniencia.
Usando la propiedad de las fracciones, dividimos una fracción grande en un producto de fracciones pequeñas, obtenemos.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
En consecuencia: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Ejemplo.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Obviamente, los números con potencias se pueden sumar como otras cantidades , sumándolos uno a uno con sus signos.
Entonces, la suma de a 3 y b 2 es a 3 + b 2 .
La suma de a 3 - b n yh 5 -d 4 es a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Posibilidades las mismas potencias de las mismas variables se puede sumar o restar.
Entonces, la suma de 2a 2 y 3a 2 es 5a 2 .
También es obvio que si tomamos dos cuadrados a, o tres cuadrados a, o cinco cuadrados a.
pero grados varias variables y varios grados variables idénticas, debe agregarse agregándolos a sus signos.
Entonces, la suma de un 2 y un 3 es la suma de un 2 + un 3.
Es obvio que el cuadrado de a, y el cubo de a, no es ni el doble del cuadrado de a, sino el doble del cubo de a.
La suma de a 3 b n y 3a 5 b 6 es a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Sustracción las potencias se llevan a cabo de la misma manera que la suma, excepto que los signos del sustraendo deben cambiarse en consecuencia.
O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 segundo 6 - 4h 2 segundo 6 = -h 2 segundo 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
multiplicación de potencia
Los números con potencias se pueden multiplicar como otras cantidades escribiéndolos uno tras otro, con o sin el signo de multiplicación entre ellos.
Entonces, el resultado de multiplicar a 3 por b 2 es a 3 b 2 o aaabb.
O:
x -3 ⋅ un metro = un metro x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
un 2 segundo 3 y 2 ⋅ un 3 segundo 2 y = un 2 segundo 3 y 2 un 3 segundo 2 y
El resultado del último ejemplo se puede ordenar sumando las mismas variables.
La expresión tomará la forma: a 5 b 5 y 3 .
Al comparar varios números (variables) con potencias, podemos ver que si se multiplican dos cualquiera de ellos, entonces el resultado es un número (variable) con una potencia igual a suma grados de términos.
Entonces, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aquí 5 es la potencia del resultado de la multiplicación, igual a 2 + 3, la suma de las potencias de los términos.
Entonces, a n .a m = a m+n .
Para a n , a se toma como factor tantas veces como la potencia de n lo es;
Y a m , se toma como factor tantas veces como el grado m sea igual;
Es por eso, Las potencias con las mismas bases se pueden multiplicar sumando los exponentes.
Entonces, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Y x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O:
4a norte ⋅ 2a norte = 8a 2n
segundo 2 y 3 ⋅ segundo 4 y = segundo 6 y 4
(segundo + h - y) norte ⋅ (segundo + h - y) = (segundo + h - y) norte+1
Multiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Respuesta: x 4 - y 4.
Multiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Esta regla también es válida para números cuyos exponentes son: negativo.
1. Entonces, a -2 .a -3 = a -5 . Esto se puede escribir como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Si a + b se multiplican por a - b, el resultado será a 2 - b 2: es decir
El resultado de multiplicar la suma o diferencia de dos números es igual a la suma o diferencia de sus cuadrados.
Si la suma y la diferencia de dos números elevados a cuadrado, el resultado será igual a la suma o diferencia de estos números en cuatro la licenciatura.
Entonces, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(un 2 - y 2)⋅(un 2 + y 2) = un 4 - y 4 .
(un 4 - y 4)⋅(un 4 + y 4) = un 8 - y 8 .
división de grados
Los números con potencias se pueden dividir como otros números restándolos del divisor o colocándolos en forma de fracción.
Entonces a 3 b 2 dividido por b 2 es a 3 .
O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Escribir un 5 dividido por un 3 se parece a $\frac(a^5)(a^3)$. Pero esto es igual a un 2 . En una serie de números
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
cualquier número se puede dividir por otro, y el exponente será igual a diferencia Indicadores de números divisibles.
Al dividir potencias con la misma base, se restan sus exponentes..
Entonces, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Es decir, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Y un n+1:a = un n+1-1 = un n . Es decir, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
O:
y2m: ym = ym
8a norte+m: 4a metro = 2a norte
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La regla también es válida para números con negativo valores de grado.
El resultado de dividir -5 por -3 es -2.
Además, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Es necesario dominar muy bien la multiplicación y división de potencias, ya que tales operaciones son muy utilizadas en álgebra.
Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con potencias
1. Reducir los exponentes en $\frac(5a^4)(3a^2)$ Respuesta: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Reducir los exponentes en $\frac(6x^6)(3x^5)$. Respuesta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.
3. Reducir los exponentes a 2/a 3 y a -3/a -4 y llevar a común denominador.
a 2 .a -4 es un -2 primer numerador.
a 3 .a -3 es un 0 = 1, el segundo numerador.
a 3 .a -4 es a -1 , el numerador común.
Después de la simplificación: a -2 /a -1 y 1/a -1 .
4. Reducir los exponentes 2a 4 /5a 3 y 2 /a 4 y llevarlos a un denominador común.
Respuesta: 2a 3 / 5a 7 y 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 y 5/5a 2.
5. Multiplica (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.
6. Multiplica (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /xy a n /y -3 .
8. Divide 4 /y 3 entre 3 /y 2 . Respuesta: a/a.
9. Divide (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.
Primer nivel
Grado y sus propiedades. Guía completa (2019)
¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde los necesitas? ¿Por qué necesitas dedicar tiempo a estudiarlos?
Para aprender todo sobre los títulos, para qué sirven, cómo usar tus conocimientos en la vida cotidiana, lee este artículo.
Y, por supuesto, conocer los títulos te acercará a aprobar con éxito el OGE o el Examen Unificado del Estado e ingresar a la universidad de tus sueños.
¡Vamos vamos!)
¡Nota IMPORTANTE! Si en lugar de fórmulas ve galimatías, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).
PRIMER NIVEL
La exponenciación es la misma operación matemática que la suma, la resta, la multiplicación o la división.
Ahora explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.
Comencemos con la suma.
No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Cada uno tiene dos botellas de refresco de cola. ¿Cuánta cola? Así es - 16 botellas.
Ahora la multiplicación.
El mismo ejemplo con cola se puede escribir de otra forma: . Los matemáticos son gente astuta y perezosa. Primero notan algunos patrones y luego encuentran una manera de "contarlos" más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de refresco de cola y desarrollaron una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y más rápido que.
Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesita recordar tabla de multiplicación. ¡Por supuesto, puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…
Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.
Y otra más bonita:
¿Y qué otros trucos complicados de contar se les ocurrieron a los matemáticos perezosos? Correctamente - elevar un número a una potencia.
Elevar un número a una potencia
Si necesitas multiplicar un número por sí mismo cinco veces, los matemáticos dicen que debes elevar este número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que es dos a la quinta potencia. Y resuelven esos problemas en su mente: más rápido, más fácil y sin errores.
Para hacer esto, solo necesitas recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créeme, te hará la vida mucho más fácil.
Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números y el tercero cubo? ¿Qué significa? Una muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.
Ejemplo de la vida real #1
Comencemos con un cuadrado o la segunda potencia de un número.
Imagina una piscina cuadrada de metros a metros. La piscina está en su patio trasero. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero... ¡una piscina sin fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con azulejos. ¿Cuántas baldosas necesitas? Para determinar esto, debe conocer el área del fondo de la piscina.
Simplemente puede contar pinchando con el dedo que el fondo de la piscina se compone de cubos metro a metro. Si tus baldosas son metro a metro, necesitarás piezas. Es fácil... Pero, ¿dónde viste tal mosaico? El mosaico será más bien cm por cm, y luego te atormentará "contar con el dedo". Entonces tienes que multiplicar. Así, en un lado del fondo de la piscina, colocaremos baldosas (piezas) y en el otro, también, baldosas. Multiplicando por, obtienes fichas ().
¿Notaste que multiplicamos el mismo número por sí mismo para determinar el área del fondo de la piscina? ¿Qué significa? Como se multiplica el mismo número, podemos usar la técnica de exponenciación. (Por supuesto, cuando solo tiene dos números, aún necesita multiplicarlos o elevarlos a una potencia. Pero si tiene muchos, entonces elevarlos a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos Para el examen, esto es muy importante).
Entonces, treinta elevado al segundo grado será (). O puedes decir que será treinta al cuadrado. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Y viceversa, si ves un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de algún número. Un cuadrado es una imagen de la segunda potencia de un número.
ejemplo de la vida real #2
Aquí hay una tarea para ti, cuenta cuántos cuadrados hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número ... En un lado de las celdas y en el otro también. Para contar su número, necesitas multiplicar ocho por ocho, o... si notas que un tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar ocho al cuadrado. Obtener celdas. () ¿Asi que?
Ejemplo de la vida real #3
Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesita averiguar cuánta agua deberá verterse en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y los líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Inesperado, ¿no?) Dibuja una piscina: un fondo de un metro de tamaño y un metro de profundidad e intenta calcular cuántos cubos de un metro por un metro entrarán en tu piscina.
¡Solo apunta con el dedo y cuenta! Uno, dos, tres, cuatro… veintidós, veintitrés… ¿Cuánto salió? ¿No te perdiste? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡De modo que! Tomemos un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por lo que notaron que para calcular el volumen de la piscina, debes multiplicar su largo, ancho y alto entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos... Más fácil, ¿no?
Ahora imagina lo perezosos y astutos que son los matemáticos si lo hacen demasiado fácil. Reducido todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, el ancho y el alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo... ¿Y esto qué significa? Esto significa que puedes usar el título. Entonces, lo que una vez contaste con un dedo, lo hacen en una sola acción: tres en un cubo es igual. Está escrito así:
solo queda memorizar la tabla de grados. A menos, por supuesto, que seas tan perezoso y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.
Bueno, para finalmente convencerte de que los títulos fueron inventados por holgazanes y personas astutas para resolver sus problemas de vida, y no para crearte problemas, aquí hay un par de ejemplos más de la vida.
Ejemplo de la vida real #4
Tienes un millón de rublos. Al comienzo de cada año, ganas otro millón por cada millón. Es decir, cada uno de tus millones al principio de cada año se duplica. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora está sentado y "contando con el dedo", entonces es una persona muy trabajadora y ... estúpida. Pero lo más probable es que des una respuesta en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año - dos veces dos... en el segundo año - lo que pasó, por dos más, en el tercer año... ¡Alto! Notaste que el número se multiplica por sí mismo una vez. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia es un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y el que calcule más rápido se llevará estos millones... ¿Vale la pena recordar los grados de los números, que opinas?
Ejemplo de la vida real #5
Tienes un millón. Al principio de cada año, ganas dos más por cada millón. es genial verdad? Cada millón se triplica. ¿Cuánto dinero tendrás en un año? Contemos. El primer año: multiplicar por, luego el resultado por otro ... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres se multiplica por sí mismo. Entonces la cuarta potencia es un millón. Solo necesitas recordar que tres a la cuarta potencia es o.
Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia, te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.
Términos y conceptos... para no confundirse
Entonces, primero, definamos los conceptos. Qué opinas, que es exponente? Es muy simple: este es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No científico, pero claro y fácil de recordar...
Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple es el número que está en la parte inferior, en la base.
Aquí te dejo una foto para que te asegures.
Bueno, en términos generales, para poder generalizar y recordar mejor... Un grado con base "" y un indicador "" se lee como "en el grado" y se escribe de la siguiente manera:
Potencia de un número con exponente natural
Probablemente ya lo hayas adivinado: porque el exponente es un número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son los que se utilizan en el conteo al enumerar elementos: uno, dos, tres... Cuando contamos elementos, no decimos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete”. Tampoco decimos "un tercio" o "cero punto cinco décimas". Estos no son números naturales. ¿Qué crees que son estos números?
Números como "menos cinco", "menos seis", "menos siete" se refieren a números enteros En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y un número. El cero es fácil de entender: esto es cuando no hay nada. ¿Y qué significan los números negativos ("menos")? Pero se inventaron principalmente para denotar deudas: si tiene un saldo en rublos en su teléfono, esto significa que le debe rublos al operador.
Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados descubrieron que no tenían suficientes números naturales para medir longitud, peso, área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales… Interesante, ¿no?
También hay números irracionales. ¿Qué son estos números? En resumen, una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.
Resumen:
Definamos el concepto de grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).
- Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
- Elevar al cuadrado un número es multiplicarlo por sí mismo:
- Elevar al cubo un número es multiplicarlo tres veces por sí mismo:
Definición. Elevar un número a una potencia natural es multiplicar el número por sí mismo por:
.
Propiedades de grado
¿De dónde vienen estas propiedades? Te mostraré ahora.
vamos a ver que es y ?
Por definición:
¿Cuántos multiplicadores hay en total?
Es muy simple: sumamos factores a los factores, y el resultado es factores.
Pero por definición, este es el grado de un número con exponente, es decir: , que se requería demostrar.
Ejemplo: Simplifica la expresión.
Solución:
Ejemplo: Simplifica la expresión.
Solución: Es importante notar que en nuestra regla necesariamente debe ser la misma razon!
Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero seguimos siendo un factor separado:
solo para productos de poderes!
Bajo ninguna circunstancia debes escribir eso.
2. eso es -ésima potencia de un número
Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:
Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:
De hecho, esto se puede llamar "poner entre paréntesis el indicador". Pero nunca puedes hacer esto en total:
Recordemos las fórmulas de la multiplicación abreviada: ¿cuántas veces queríamos escribir?
Pero eso no es cierto, de verdad.
Grado con base negativa
Hasta este punto, solo hemos discutido cuál debería ser el exponente.
Pero, ¿cuál debería ser la base?
en grados de indicador natural la base puede ser cualquier número. De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares.
Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.
Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿PERO? ? Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.
Pero los negativos son un poco más interesantes. Después de todo, recordamos una regla simple de sexto grado: "un menos por un menos da un más". Es decir, o. Pero si multiplicamos por, resulta.
Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
¿Lograste?
Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, ¿espero que todo esté claro? Simplemente miramos la base y el exponente, y aplicamos la regla apropiada.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué sea igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.
Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es la misma verdad? Obviamente no, ya que (porque).
Ejemplo 6) ya no es tan simple!
6 ejemplos de práctica
Análisis de la solución 6 ejemplos
Si no prestamos atención al octavo grado, ¿qué vemos aquí? Echemos un vistazo al programa de 7º grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula de multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:
Observamos cuidadosamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden incorrecto de los términos. Si se intercambiaran, la regla podría aplicarse.
Pero, ¿cómo hacer eso? Resulta que es muy fácil: aquí nos ayuda el grado par del denominador.
Los términos han cambiado de lugar mágicamente. Este "fenómeno" se aplica a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis.
Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!
Volvamos al ejemplo:
Y de nuevo la fórmula:
entero nombramos los números naturales, sus opuestos (es decir, tomados con el signo "") y el número.
entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.
Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.
Cualquier número elevado a cero es igual a uno:
Como siempre, nos preguntamos: ¿por qué es así?
Considere algún poder con una base. Toma, por ejemplo, y multiplica por:
Entonces, multiplicamos el número por, y obtuvimos lo mismo que era -. ¿Por qué número hay que multiplicar para que nada cambie? Así es, encendido. Medio.
Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:
Repitamos la regla:
Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno.
Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).
Por un lado, debe ser igual a cualquier grado: no importa cuánto multipliques cero por sí mismo, aún obtienes cero, esto está claro. Pero por otro lado, como todo número hasta el grado cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuál es la verdad de esto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a elevar el cero a la potencia cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a la potencia cero.
Vayamos más lejos. Además de los números naturales y los números, los números enteros incluyen números negativos. Para entender qué es un grado negativo, hagamos lo mismo que la última vez: multiplicamos algún número normal por el mismo en grado negativo:
A partir de aquí ya es fácil expresar lo deseado:
Ahora extendemos la regla resultante a un grado arbitrario:
Entonces, vamos a formular la regla:
Un número elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva. Pero al mismo tiempo la base no puede ser nula:(porque es imposible dividir).
Resumamos:
I. Expresión no definida en caso. Si, entonces.
II. Cualquier número elevado a la cero es igual a uno: .
tercero Un número que no es igual a cero a una potencia negativa es el inverso del mismo número a una potencia positiva: .
Tareas para solución independiente:
Bueno, como siempre, ejemplos para una solución independiente:
Análisis de tareas para solución independiente:
Lo sé, lo sé, los números dan miedo, ¡pero en el examen tienes que estar preparado para todo! ¡Resuelve estos ejemplos o analiza su solución si no pudiste resolverlo y aprenderás a manejarlos fácilmente en el examen!
Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.
Ahora considere numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?
Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, además.
Para entender lo que es "grado fraccionario" Consideremos una fracción:
Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:
Ahora recuerda la regla "grado a grado":
¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtener?
Esta formulación es la definición de la raíz del grado th.
Déjame recordarte: la raíz de la potencia th de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual.
Es decir, la raíz del grado ésimo es la operación inversa de la exponenciación: .
Resulta que. Obviamente, este caso especial se puede ampliar: .
Ahora suma el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener con la regla de poder a poder:
Pero, ¿la base puede ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.
¡Ninguna!
Recuerda la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces de un grado par de números negativos!
Y esto quiere decir que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.
¿Qué pasa con la expresión?
Pero aquí surge un problema.
El número se puede representar como otras fracciones reducidas, por ejemplo, o.
Y resulta que existe, pero no existe, y estos son solo dos registros diferentes del mismo número.
U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero tan pronto como escribimos el indicador de una manera diferente, nuevamente tenemos problemas: (¡es decir, obtuvimos un resultado completamente diferente!).
Para evitar tales paradojas, considere solo exponente base positivo con exponente fraccionario.
Así que si:
- - número natural;
- es un número entero;
Ejemplos:
Las potencias con exponente racional son muy útiles para transformar expresiones con raíces, por ejemplo:
5 ejemplos de práctica
Análisis de 5 ejemplos para entrenar
Bueno, ahora - lo más difícil. ahora vamos a analizar grado con un exponente irracional.
Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para los grados con un exponente racional, con la excepción de
De hecho, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos los números reales excepto los racionales).
Al estudiar grados con un indicador natural, entero y racional, cada vez inventamos una determinada "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares.
Por ejemplo, un exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;
...poder cero- esto es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número en blanco" , a saber, el número;
...exponente entero negativo- es como si hubiera tenido lugar un cierto "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.
Por cierto, la ciencia suele usar un grado con un exponente complejo, es decir, un exponente ni siquiera es un número real.
Pero en la escuela no pensamos en esas dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.
¡DONDE ESTAMOS SEGUROS QUE IRÁS! (si aprendes a resolver tales ejemplos :))
Por ejemplo:
Decide por ti mismo:
Análisis de soluciones:
1. Comencemos con la regla ya habitual para subir un grado a un grado:
Ahora mira la puntuación. ¿Te recuerda algo? Recordamos la fórmula para la multiplicación abreviada de la diferencia de cuadrados:
En este caso,
Resulta que:
Responder: .
2. Traemos fracciones en exponentes a la misma forma: tanto decimales como ordinarias. Obtenemos, por ejemplo:
Respuesta: 16
3. Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de los grados:
NIVEL AVANZADO
Definición de grado
El grado es una expresión de la forma: , donde:
- — base de grado;
- - exponente.
Grado con exponente natural (n = 1, 2, 3,...)
Elevar un número a la potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo por:
Potencia con exponente entero (0, ±1, ±2,...)
Si el exponente es entero positivo número:
erección a potencia cero:
La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado es esto, y por otro lado, cualquier número en el grado th es este.
Si el exponente es entero negativo número:
(porque es imposible dividir).
Una vez más sobre nulos: la expresión no está definida en el caso. Si, entonces.
Ejemplos:
Grado con exponente racional
- - número natural;
- es un número entero;
Ejemplos:
Propiedades de grado
Para facilitar la resolución de problemas, intentemos comprender: ¿de dónde provienen estas propiedades? Vamos a probarlos.
Veamos: ¿qué es y?
Por definición:
Entonces, del lado derecho de esta expresión, se obtiene el siguiente producto:
Pero por definición, esta es una potencia de un número con un exponente, es decir:
QED
Ejemplo : Simplifica la expresión.
Solución : .
Ejemplo : Simplifica la expresión.
Solución : Es importante notar que en nuestra regla necesariamente debe tener la misma base. Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero seguimos siendo un factor separado:
Otra nota importante: esta regla - solo para productos de potencias!
Bajo ninguna circunstancia debo escribir eso.
Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:
Vamos a reorganizarlo así:
Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la -ésima potencia del número:
De hecho, esto se puede llamar "poner entre paréntesis el indicador". Pero nunca puedes hacer esto en total:!
Recordemos las fórmulas de la multiplicación abreviada: ¿cuántas veces queríamos escribir? Pero eso no es cierto, de verdad.
Potencia con base negativa.
Hasta este punto, hemos discutido sólo lo que debería ser índice la licenciatura. Pero, ¿cuál debería ser la base? en grados de natural indicador la base puede ser cualquier número .
De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.
Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿PERO? ?
Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.
Pero los negativos son un poco más interesantes. Después de todo, recordamos una regla simple de sexto grado: "un menos por un menos da un más". Es decir, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos -.
Y así hasta el infinito: con cada multiplicación subsiguiente, el signo cambiará. Puedes formular estas reglas simples:
- incluso grado, - número positivo.
- número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
- Un número positivo elevado a cualquier potencia es un número positivo.
- Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.
Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
¿Lograste? Aquí están las respuestas:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo esté claro. Simplemente miramos la base y el exponente, y aplicamos la regla apropiada.
En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué sea igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es la misma verdad? Obviamente no, ya que (porque).
El ejemplo 6) ya no es tan simple. Aquí tienes que averiguar cuál es menor: ¿o? Si recuerdas eso, queda claro que, lo que significa que la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.
Y nuevamente usamos la definición de grado:
Todo es como de costumbre: escribimos la definición de grados y los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:
Antes de analizar la última regla, resolvamos algunos ejemplos.
Calcular los valores de las expresiones:
Soluciones :
Si no prestamos atención al octavo grado, ¿qué vemos aquí? Echemos un vistazo al programa de 7º grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula de multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!
Obtenemos:
Observamos cuidadosamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden incorrecto de los términos. Si se invirtieran, se podría aplicar la regla 3. Pero, ¿cómo hacer esto? Resulta que es muy fácil: aquí nos ayuda el grado par del denominador.
Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora se ve así:
Los términos han cambiado de lugar mágicamente. Este "fenómeno" se aplica a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No se puede reemplazar cambiando solo un inconveniente objetable para nosotros!
Volvamos al ejemplo:
Y de nuevo la fórmula:
Así que ahora la última regla:
¿Cómo lo vamos a demostrar? Por supuesto, como siempre: ampliemos el concepto de grado y simplifiquemos:
Bueno, ahora abramos los paréntesis. ¿Cuántas letras habrá? veces por multiplicadores - ¿cómo se ve? Esto no es más que la definición de una operación. multiplicación: total resultaron ser multiplicadores. Es decir, es, por definición, una potencia de un número con exponente:
Ejemplo:
Grado con exponente irracional
Además de la información sobre los grados para el nivel medio, analizaremos el grado con un indicador irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción de que, después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, , los números irracionales son todos los números reales excepto los racionales).
Al estudiar grados con un indicador natural, entero y racional, cada vez inventamos una determinada "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número hasta el grado cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierta “preparación de un número”, a saber, un número; un grado con un indicador entero negativo: es como si hubiera ocurrido un cierto "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.
Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Más bien, es un objeto puramente matemático que los matemáticos han creado para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.
Por cierto, la ciencia suele usar un grado con un exponente complejo, es decir, un exponente ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en esas dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.
Entonces, ¿qué hacemos si vemos un exponente irracional? ¡Estamos haciendo todo lo posible para deshacernos de él! :)
Por ejemplo:
Decide por ti mismo:
| 1) | 2) | 3) |
Respuestas:
- Recuerda la fórmula de la diferencia de cuadrados. Responder: .
- Traemos fracciones a la misma forma: o ambos decimales, o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo: .
- Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de los grados:
SECCIÓN RESUMEN Y FÓRMULA BÁSICA
La licenciatura se llama una expresión de la forma: , donde:
Grado con exponente entero
grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).
Grado con exponente racional
grado, cuyo indicador es números negativos y fraccionarios.
Grado con exponente irracional
exponente cuyo exponente es una fracción decimal infinita o raíz.
Propiedades de grado
Características de los grados.
- número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
- número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
- Un número positivo elevado a cualquier potencia es un número positivo.
- Cero es igual a cualquier potencia.
- Cualquier número elevado a la potencia cero es igual.
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