"La aleatoriedad no es accidental"... Suena como dijo un filósofo, pero de hecho, el estudio de los accidentes es el destino de la gran ciencia de las matemáticas. En matemáticas, el azar es la teoría de la probabilidad. En el artículo se presentarán fórmulas y ejemplos de tareas, así como las principales definiciones de esta ciencia.

¿Qué es la teoría de la probabilidad?

La teoría de la probabilidad es una de las disciplinas matemáticas que estudia eventos aleatorios.

Para que quede un poco más claro, pongamos un pequeño ejemplo: si lanzas una moneda al aire, puede salir cara o cruz. Mientras la moneda esté en el aire, ambas posibilidades son posibles. Es decir, la probabilidad de las posibles consecuencias se correlaciona 1:1. Si se extrae uno de una baraja con 36 cartas, entonces la probabilidad se indicará como 1:36. Parecería que no hay nada que explorar y predecir, especialmente con la ayuda de fórmulas matemáticas. Sin embargo, si repite una acción determinada muchas veces, puede identificar un patrón determinado y, en base a ello, predecir el resultado de los eventos en otras condiciones.

Para resumir todo lo anterior, la teoría de la probabilidad en sentido clásico estudia la posibilidad de ocurrencia de uno de los posibles eventos en sentido numérico.

De las páginas de la historia

La teoría de la probabilidad, las fórmulas y los ejemplos de las primeras tareas aparecieron en la lejana Edad Media, cuando surgieron los primeros intentos de predecir el resultado de los juegos de cartas.

Inicialmente, la teoría de la probabilidad no tenía nada que ver con las matemáticas. Estaba justificado por hechos empíricos o propiedades de un evento que podía reproducirse en la práctica. Los primeros trabajos en esta área como disciplina matemática aparecieron en el siglo XVII. Los fundadores fueron Blaise Pascal y Pierre Fermat. Durante mucho tiempo estudiaron los juegos de azar y vieron ciertos patrones, que decidieron contarle al público.

La misma técnica fue inventada por Christian Huygens, aunque no estaba familiarizado con los resultados de la investigación de Pascal y Fermat. Él introdujo el concepto de "teoría de la probabilidad", fórmulas y ejemplos, que se consideran los primeros en la historia de la disciplina.

De no poca importancia son los trabajos de Jacob Bernoulli, los teoremas de Laplace y Poisson. Hicieron la teoría de la probabilidad más como una disciplina matemática. La teoría de la probabilidad, las fórmulas y los ejemplos de tareas básicas adquirieron su forma actual gracias a los axiomas de Kolmogorov. Como resultado de todos los cambios, la teoría de la probabilidad se ha convertido en una de las ramas matemáticas.

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Desarrollos

El concepto principal de esta disciplina es "evento". Los eventos son de tres tipos:

• De confianza. Esos que van a pasar de todos modos (la moneda caerá).
• Imposible. Sucesos que no ocurrirán en ningún escenario (la moneda quedará suspendida en el aire).
• Aleatorio. Los que pasarán o no pasarán. Pueden estar influenciados por varios factores que son muy difíciles de predecir. Si hablamos de una moneda, entonces los factores aleatorios que pueden afectar el resultado: las características físicas de la moneda, su forma, posición inicial, fuerza de lanzamiento, etc.

Todos los eventos en los ejemplos se denotan con letras latinas mayúsculas, con la excepción de R, que tiene un papel diferente. Por ejemplo:

• A = "los estudiantes vinieron a la conferencia".
• Ā = "los estudiantes no vinieron a la conferencia".

En las tareas prácticas, los eventos generalmente se registran en palabras.

Una de las características más importantes de los eventos es su posibilidad igualitaria. Es decir, si lanzas una moneda, todas las variantes de la caída inicial son posibles hasta que cae. Pero los eventos tampoco son igualmente probables. Esto sucede cuando alguien influye deliberadamente en el resultado. Por ejemplo, naipes o dados "marcados", en los que se desplaza el centro de gravedad.

Los eventos también son compatibles e incompatibles. Los eventos compatibles no excluyen la ocurrencia de otros. Por ejemplo:

• A = "el estudiante vino a la conferencia".
• B = "el estudiante vino a la conferencia".

Estos eventos son independientes entre sí, y la apariencia de uno de ellos no afecta la apariencia del otro. Los eventos incompatibles se definen por el hecho de que la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Si hablamos de la misma moneda, entonces la pérdida de "cruces" imposibilita la aparición de "caras" en el mismo experimento.

Acciones sobre eventos

Los eventos se pueden multiplicar y agregar, respectivamente, los conectores lógicos "Y" y "O" se introducen en la disciplina.

La cantidad está determinada por el hecho de que el evento A o B, o ambos, pueden ocurrir al mismo tiempo. En el caso de que sean incompatibles, la última opción es imposible, ya sea A o B abandonará.

La multiplicación de eventos consiste en la aparición de A y B al mismo tiempo.

Ahora puede dar algunos ejemplos para recordar mejor los conceptos básicos, la teoría de la probabilidad y las fórmulas. Ejemplos de resolución de problemas a continuación.

Ejercicio 1: La empresa está licitando contratos para tres tipos de trabajo. Posibles eventos que pueden ocurrir:

• A = "la empresa recibirá el primer contrato".
• A 1 = "la empresa no recibirá el primer contrato".
• B = "la empresa recibirá un segundo contrato".
• B 1 = "la empresa no recibirá un segundo contrato"
• C = "la empresa recibirá un tercer contrato".
• C 1 = "la empresa no recibirá un tercer contrato".

Intentemos expresar las siguientes situaciones usando acciones sobre eventos:

• K = "la empresa recibirá todos los contratos".

En forma matemática, la ecuación se verá así: K = ABC.

• M = "la empresa no recibirá un solo contrato".

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Complicamos la tarea: H = "la empresa recibirá un contrato". Dado que no se sabe qué contrato recibirá la empresa (el primero, el segundo o el tercero), es necesario registrar toda la gama de eventos posibles:

H \u003d UN 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ UN 1 B 1 C.

Y 1 BC 1 es una serie de eventos donde la firma no recibe el primer y tercer contrato, pero recibe el segundo. Otros posibles eventos también se registran por el método correspondiente. El símbolo υ en la disciplina denota un montón de "O". Si traducimos el ejemplo anterior al lenguaje humano, entonces la empresa recibirá el tercer contrato, el segundo o el primero. Del mismo modo, puede escribir otras condiciones en la disciplina "Teoría de la probabilidad". Las fórmulas y los ejemplos de resolución de problemas presentados anteriormente lo ayudarán a hacerlo usted mismo.

En realidad, la probabilidad

Quizás, en esta disciplina matemática, la probabilidad de un evento es un concepto central. Hay 3 definiciones de probabilidad:

• clásico;
• estadístico;
• geométrico.

Cada uno tiene su lugar en el estudio de las probabilidades. La teoría de la probabilidad, las fórmulas y los ejemplos (Grado 9) utilizan principalmente la definición clásica, que suena así:

• La probabilidad de la situación A es igual a la relación entre el número de resultados que favorecen su ocurrencia y el número de todos los resultados posibles.

La fórmula se ve así: P (A) \u003d m / n.

Y, en realidad, un evento. Si ocurre lo contrario de A, se puede escribir como Ā o A 1 .

m es el número de posibles casos favorables.

n - todos los eventos que pueden suceder.

Por ejemplo, A \u003d "sacar una carta del palo del corazón". Hay 36 cartas en una baraja estándar, 9 de ellas son de corazones. En consecuencia, la fórmula para resolver el problema se verá así:

P(A)=9/36=0,25.

Como resultado, la probabilidad de que se extraiga una carta del mismo palo de corazón será de 0,25.

a las matemáticas superiores

Ahora se ha vuelto poco conocido qué es la teoría de la probabilidad, fórmulas y ejemplos de resolución de tareas que se encuentran en el plan de estudios escolar. Sin embargo, la teoría de la probabilidad también se encuentra en las matemáticas superiores, que se enseñan en las universidades. La mayoría de las veces, operan con definiciones geométricas y estadísticas de la teoría y fórmulas complejas.

La teoría de la probabilidad es muy interesante. Las fórmulas y los ejemplos (matemáticas superiores) son mejores para comenzar a aprender desde uno pequeño, desde una definición estadística (o de frecuencia) de probabilidad.

El enfoque estadístico no contradice el enfoque clásico, sino que lo amplía ligeramente. Si en el primer caso era necesario determinar con qué grado de probabilidad ocurrirá un evento, entonces en este método es necesario indicar con qué frecuencia ocurrirá. Aquí se introduce un nuevo concepto de “frecuencia relativa”, que se puede denotar por W n (A). La fórmula no es diferente de la clásica:

Si se calcula la fórmula clásica para el pronóstico, entonces la estadística se calcula de acuerdo con los resultados del experimento. Tomemos, por ejemplo, una pequeña tarea.

El departamento de control tecnológico verifica la calidad de los productos. Entre 100 productos, se encontró que 3 eran de mala calidad. ¿Cómo encontrar la probabilidad de frecuencia de un producto de calidad?

A = "la apariencia de un producto de calidad".

Wn(A)=97/100=0.97

Así, la frecuencia de un producto de calidad es de 0,97. ¿De dónde sacaste el 97? De los 100 productos que se revisaron, 3 resultaron ser de mala calidad. Restamos 3 de 100, obtenemos 97, esta es la cantidad de un producto de calidad.

Un poco de combinatoria

Otro método de la teoría de la probabilidad se llama combinatoria. Su principio básico es que si cierta elección A puede hacerse de m maneras diferentes, y una elección B de n maneras diferentes, entonces la elección de A y B puede hacerse multiplicando.

Por ejemplo, hay 5 carreteras de la ciudad A a la ciudad B. Hay 4 rutas de la ciudad B a la ciudad C. ¿Cuántas maneras hay de ir de la ciudad A a la ciudad C?

Es simple: 5x4 = 20, es decir, hay veinte maneras diferentes de llegar del punto A al punto C.

Hagamos la tarea más difícil. ¿Cuántas formas hay de jugar a las cartas en solitario? En una baraja de 36 cartas, este es el punto de partida. Para averiguar el número de formas, debe "restar" una carta del punto de partida y multiplicar.

Es decir, 36x35x34x33x32…x2x1= el resultado no cabe en la pantalla de la calculadora, por lo que simplemente puede denotarse como 36!. Señal "!" junto al número indica que toda la serie de números se multiplica entre sí.

En combinatoria, existen conceptos tales como permutación, ubicación y combinación. Cada uno de ellos tiene su propia fórmula.

Un conjunto ordenado de elementos del conjunto se denomina diseño. Las ubicaciones pueden ser repetitivas, lo que significa que un elemento se puede usar varias veces. Y sin repetición, cuando los elementos no se repiten. n son todos los elementos, m son los elementos que participan en la colocación. La fórmula para la colocación sin repeticiones se verá así:

A n m = n!/(n-m)!

Las conexiones de n elementos que difieren solo en el orden de colocación se llaman permutaciones. En matemáticas, esto se ve así: P n = n!

Las combinaciones de n elementos por m son tales compuestos en los que es importante qué elementos eran y cuál es su número total. La fórmula se verá así:

A n m =n!/m!(n-m)!

Fórmula de Bernoulli

En la teoría de la probabilidad, así como en todas las disciplinas, existen trabajos de destacados investigadores en su campo que la han llevado a un nuevo nivel. Uno de estos trabajos es la fórmula de Bernoulli, que le permite determinar la probabilidad de que ocurra un determinado evento en condiciones independientes. Esto sugiere que la aparición de A en un experimento no depende de la aparición o no del mismo evento en pruebas anteriores o posteriores.

Ecuación de Bernoulli:

PAGS norte (m) = C norte metro ×p metro ×q norte-metro .

La probabilidad (p) de que ocurra el evento (A) no cambia para cada prueba. La probabilidad de que la situación suceda exactamente m veces en n número de experimentos se calculará mediante la fórmula que se presenta arriba. En consecuencia, surge la pregunta de cómo encontrar el número q.

Si el evento A ocurre un número p de veces, en consecuencia, es posible que no ocurra. Una unidad es un número que se utiliza para designar todos los resultados de una situación en una disciplina. Por lo tanto, q es un número que indica la posibilidad de que el evento no ocurra.

Ahora conoces la fórmula de Bernoulli (teoría de la probabilidad). A continuación se considerarán ejemplos de resolución de problemas (el primer nivel).

Tarea 2: Un visitante de la tienda hará una compra con una probabilidad de 0,2. 6 visitantes ingresaron a la tienda de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que un visitante haga una compra?

Solución: Dado que no se sabe cuántos visitantes deben realizar una compra, uno o los seis, es necesario calcular todas las probabilidades posibles utilizando la fórmula de Bernoulli.

A = "el visitante hará una compra".

En este caso: p = 0,2 (como se indica en la tarea). En consecuencia, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (porque hay 6 clientes en la tienda). El número m cambiará de 0 (ningún cliente hará una compra) a 6 (todos los visitantes de la tienda comprarán algo). Como resultado, obtenemos la solución:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Ninguno de los compradores realizará una compra con una probabilidad de 0,2621.

¿De qué otra manera se usa la fórmula de Bernoulli (teoría de la probabilidad)? Ejemplos de resolución de problemas (segundo nivel) a continuación.

Después del ejemplo anterior, surgen preguntas sobre adónde han ido C y p. Con respecto a p, un número elevado a 0 será igual a uno. En cuanto a C, se puede encontrar mediante la fórmula:

C norte metro = norte! /m!(n-m)!

Ya que en el primer ejemplo m = 0, respectivamente, C=1, lo que en principio no afecta el resultado. Usando la nueva fórmula, intentemos averiguar cuál es la probabilidad de que dos visitantes compren productos.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoría de la probabilidad no es tan complicada. La fórmula de Bernoulli, cuyos ejemplos se presentan arriba, es una prueba directa de esto.

fórmula de veneno

La ecuación de Poisson se utiliza para calcular situaciones aleatorias improbables.

Fórmula básica:

P norte (m) = λ metro / metro! × mi (-λ) .

En este caso, λ = n x p. Aquí hay una fórmula de Poisson tan simple (teoría de la probabilidad). A continuación se considerarán ejemplos de resolución de problemas.

Tarea 3 R: La fábrica produjo 100.000 piezas. La aparición de una pieza defectuosa = 0,0001. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 5 piezas defectuosas en un lote?

Como puede ver, el matrimonio es un evento poco probable y, por lo tanto, se usa la fórmula de Poisson (teoría de la probabilidad) para el cálculo. Los ejemplos de resolución de problemas de este tipo no son diferentes de otras tareas de la disciplina, sustituimos los datos necesarios en la fórmula anterior:

A = "una pieza seleccionada al azar será defectuosa".

p = 0,0001 (según la condición de asignación).

n = 100000 (número de partes).

m = 5 (piezas defectuosas). Sustituimos los datos en la fórmula y obtenemos:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Al igual que la fórmula de Bernoulli (teoría de la probabilidad), cuyos ejemplos de soluciones están escritos anteriormente, la ecuación de Poisson tiene una e desconocida. En esencia, se puede encontrar mediante la fórmula:

mi -λ = lim norte ->∞ (1-λ/n) norte .

Sin embargo, existen tablas especiales que contienen casi todos los valores de e.

Teorema de De Moivre-Laplace

Si en el esquema de Bernoulli el número de ensayos es suficientemente grande y la probabilidad de que ocurra el evento A en todos los esquemas es la misma, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A un cierto número de veces en una serie de ensayos puede ser encontrado por la fórmula de Laplace:

Ðn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Para recordar mejor la fórmula de Laplace (teoría de la probabilidad), ejemplos de tareas para ayudar a continuación.

Primero encontramos X m , sustituimos los datos (todos están indicados arriba) en la fórmula y obtenemos 0.025. Usando tablas, encontramos el número ϕ (0.025), cuyo valor es 0.3988. Ahora puedes sustituir todos los datos en la fórmula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Entonces, la probabilidad de que el volante golpee exactamente 267 veces es 0.03.

fórmula de Bayes

La fórmula de Bayes (teoría de la probabilidad), cuyos ejemplos de resolución de tareas se darán a continuación, es una ecuación que describe la probabilidad de un evento, en función de las circunstancias que podrían estar asociadas con él. La fórmula principal es la siguiente:

PAG (A|B) = PAG (B|A) x PAG (A) / PAG (B).

A y B son eventos definidos.

P(A|B) - probabilidad condicional, es decir, el evento A puede ocurrir, siempre que el evento B sea verdadero.

Р (В|А) - probabilidad condicional del evento В.

Entonces, la parte final del curso corto "Teoría de la probabilidad" es la fórmula de Bayes, cuyos ejemplos de resolución de problemas se encuentran a continuación.

Tarea 5: Se trajeron al depósito teléfonos de tres empresas. Al mismo tiempo, parte de los teléfonos que se fabrican en la primera planta es del 25%, en la segunda - 60%, en la tercera - 15%. También se sabe que el porcentaje promedio de productos defectuosos en la primera fábrica es del 2%, en la segunda - 4% y en la tercera - 1%. Es necesario encontrar la probabilidad de que un teléfono seleccionado al azar sea defectuoso.

A = "teléfono tomado al azar".

B 1: el teléfono que fabricó la primera fábrica. En consecuencia, aparecerán B 2 y B 3 introductorios (para la segunda y tercera fábricas).

Como resultado, obtenemos:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - entonces encontramos la probabilidad de cada opción.

Ahora necesita encontrar las probabilidades condicionales del evento deseado, es decir, la probabilidad de productos defectuosos en las empresas:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

Ahora sustituimos los datos en la fórmula de Bayes y obtenemos:

P(A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

El artículo presenta la teoría de la probabilidad, fórmulas y ejemplos de resolución de problemas, pero esto es solo la punta del iceberg de una vasta disciplina. Y después de todo lo que se ha escrito, será lógico preguntarse si la teoría de la probabilidad es necesaria en la vida. Es difícil de responder para una persona sencilla, es mejor preguntarle a alguien que ha ganado el premio gordo más de una vez con su ayuda.

En la economía, así como en otras áreas de la actividad humana o en la naturaleza, constantemente tenemos que lidiar con eventos que no se pueden predecir con precisión. Así, el volumen de ventas de bienes depende de la demanda, que puede variar significativamente, y de una serie de otros factores que son casi imposibles de tener en cuenta. Por lo tanto, en la organización de la producción y las ventas, uno tiene que predecir el resultado de tales actividades sobre la base de la propia experiencia previa, la experiencia similar de otras personas o la intuición, que también se basa en gran medida en datos experimentales.

Para evaluar de alguna manera el evento en consideración, es necesario tener en cuenta u organizar especialmente las condiciones en las que se registra este evento.

La implementación de ciertas condiciones o acciones para identificar el evento en cuestión se denomina experiencia o experimento.

el evento se llama aleatorio si, como resultado del experimento, puede ocurrir o no.

el evento se llama auténtico, si necesariamente aparece como resultado de esta experiencia, y imposible si no puede aparecer en esta experiencia.

Por ejemplo, la nevada en Moscú el 30 de noviembre es un evento aleatorio. El amanecer diario puede considerarse un evento determinado. Las nevadas en el ecuador pueden verse como un evento imposible.

Uno de los principales problemas en la teoría de la probabilidad es el problema de determinar una medida cuantitativa de la posibilidad de que ocurra un evento.

álgebra de eventos

Los eventos se denominan incompatibles si no pueden observarse juntos en la misma experiencia. Por lo tanto, la presencia de dos y tres automóviles en una tienda para la venta al mismo tiempo son dos eventos incompatibles.

suma eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos

Un ejemplo de una suma de eventos es la presencia de al menos uno de dos productos en una tienda.

trabajar Se denomina eventos a un evento que consiste en la ocurrencia simultánea de todos estos eventos

Un evento consistente en la aparición de dos bienes al mismo tiempo en la tienda es un producto de eventos: - la aparición de un producto, - la aparición de otro producto.

Los eventos forman un grupo completo de eventos si al menos uno de ellos ocurre necesariamente en la experiencia.

Ejemplo. El puerto cuenta con dos atracaderos para barcos. Se pueden considerar tres eventos: - la ausencia de buques en los atracaderos, - la presencia de un buque en uno de los atracaderos, - la presencia de dos buques en dos atracaderos. Estos tres eventos forman un grupo completo de eventos.

Opuesto Se denominan dos únicos eventos posibles que forman un grupo completo.

Si uno de los eventos que son opuestos se denota por , entonces el evento opuesto generalmente se denota por .

Definiciones clásicas y estadísticas de la probabilidad de un evento

Cada uno de los resultados de prueba igualmente posibles (experimentos) se denomina resultado elemental. Por lo general, se denotan con letras. Por ejemplo, se lanza un dado. Puede haber seis resultados elementales según el número de puntos en los lados.

A partir de resultados elementales, puede componer un evento más complejo. Entonces, el evento de un número par de puntos está determinado por tres resultados: 2, 4, 6.

Una medida cuantitativa de la posibilidad de ocurrencia del evento bajo consideración es la probabilidad.

Dos definiciones de la probabilidad de un evento son las más utilizadas: clásico y estadístico.

La definición clásica de probabilidad está relacionada con la noción de un resultado favorable.

Éxodo se llama favorable este evento, si su ocurrencia implica la ocurrencia de este evento.

En el ejemplo dado, el evento bajo consideración es un número par de puntos en el borde caído, tiene tres resultados favorables. En este caso, el general
el número de resultados posibles. Entonces, aquí puedes usar la definición clásica de la probabilidad de un evento.

Definición clásica es igual a la relación entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles

donde es la probabilidad del evento, es el número de resultados favorables para el evento, es el número total de resultados posibles.

En el ejemplo considerado

La definición estadística de probabilidad está asociada con el concepto de frecuencia relativa de ocurrencia de un evento en los experimentos.

La frecuencia relativa de ocurrencia de un evento se calcula mediante la fórmula

donde es el número de ocurrencia de un evento en una serie de experimentos (pruebas).

Definición estadística. La probabilidad de un evento es el número con respecto al cual se estabiliza (establece) la frecuencia relativa con un aumento ilimitado en el número de experimentos.

En problemas prácticos, la frecuencia relativa para un número suficientemente grande de intentos se toma como la probabilidad de un evento.

A partir de estas definiciones de la probabilidad de un evento, se puede ver que la desigualdad siempre se cumple

Para determinar la probabilidad de un evento basado en la fórmula (1.1), las fórmulas combinatorias se usan a menudo para encontrar el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles.

Entonces, hablemos de un tema que interesa a mucha gente. En este artículo, responderé a la pregunta de cómo calcular la probabilidad de un evento. Daré fórmulas para dicho cálculo y algunos ejemplos para que quede más claro cómo se hace.

que es probabilidad

Comencemos con el hecho de que la probabilidad de que ocurra este o aquel evento es una cierta cantidad de confianza en la ocurrencia final de algún resultado. Para este cálculo se ha desarrollado una fórmula de probabilidad total que te permite determinar si un evento de tu interés ocurrirá o no, a través de las llamadas probabilidades condicionales. Esta fórmula se ve así: P \u003d n / m, las letras pueden cambiar, pero esto no afecta la esencia misma.

Ejemplos de probabilidad

En el ejemplo más simple, analizaremos esta fórmula y la aplicaremos. Digamos que tienes algún evento (P), que sea una tirada de dado, es decir, un dado equilátero. Y necesitamos calcular cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos. Esto requiere el número de eventos positivos (n), en nuestro caso, la pérdida de 2 puntos, por el número total de eventos (m). La pérdida de 2 puntos puede ser solo en un caso, si hay 2 puntos en el dado, ya que de lo contrario, la cantidad será mayor, se deduce que n = 1. A continuación, calculamos el número de cualquier otro número que caiga en el dados, por 1 dado: estos son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, por lo tanto, hay 6 casos favorables, es decir, m \u003d 6. Ahora, de acuerdo con la fórmula, hacemos un cálculo simple P \ u003d 1/6 y obtenemos que la pérdida de 2 puntos en el dado es 1/6, es decir, la probabilidad de un evento es muy pequeña.

Consideremos también un ejemplo sobre las bolas de colores que hay en la caja: 50 blancas, 40 negras y 30 verdes. Necesitas determinar cuál es la probabilidad de sacar una bola verde. Y así, como hay 30 bolas de este color, es decir, solo puede haber 30 eventos positivos (n = 30), el número de todos los eventos es 120, m = 120 (según el número total de todas las bolas), de acuerdo con la fórmula, calculamos que la probabilidad de sacar una bola verde será igual a P = 30/120 = 0.25, es decir, 25% de 100. De la misma manera, puedes calcular la probabilidad de sacar una bola de un color diferente (será negra 33%, blanca 42%).

¿Cómo calcular la probabilidad de un evento?

Entiendo que todos quieran saber de antemano cómo terminará un evento deportivo, quién ganará y quién perderá. Con esta información, puedes apostar en eventos deportivos sin miedo. Pero, ¿es posible y, de ser así, cómo calcular la probabilidad de un evento?

La probabilidad es un valor relativo, por lo tanto, no puede hablar con precisión sobre ningún evento. Este valor le permite analizar y evaluar la necesidad de realizar una apuesta en una competencia en particular. La definición de probabilidades es toda una ciencia que requiere un cuidadoso estudio y comprensión.

Coeficiente de probabilidad en la teoría de la probabilidad

En las apuestas deportivas, existen varias opciones para el resultado de la competición:

• victoria del primer equipo;
• victoria del segundo equipo;
• dibujar;
• total

Cada resultado de la competencia tiene su propia probabilidad y frecuencia con la que ocurrirá este evento, siempre que se conserven las características iniciales. Como se mencionó anteriormente, es imposible calcular con precisión la probabilidad de cualquier evento; puede coincidir o no. Por lo tanto, su apuesta puede ganar o perder.

No puede haber una predicción exacta al 100% de los resultados de la competencia, ya que muchos factores influyen en el resultado del partido. Naturalmente, las casas de apuestas no conocen el resultado del partido de antemano y solo asumen el resultado, toman una decisión sobre su sistema de análisis y ofrecen ciertas cuotas para las apuestas.

¿Cómo calcular la probabilidad de un evento?

Digamos que la cuota de la casa de apuestas es de 2,1/2: obtenemos el 50 %. Resulta que el coeficiente 2 es igual a la probabilidad del 50%. Por el mismo principio, puede obtener una relación de probabilidad de equilibrio: 1 / probabilidad.

Muchos jugadores piensan que después de algunas pérdidas repetidas, definitivamente se logrará una victoria; esta es una opinión errónea. La probabilidad de ganar una apuesta no depende del número de pérdidas. Incluso si arroja varias caras seguidas en un juego de monedas, la probabilidad de arrojar cruces sigue siendo la misma: 50%.

Cuando se lanza una moneda, se puede decir que caerá cara, o probabilidad de esto es 1/2. Por supuesto, esto no significa que si una moneda se lanza 10 veces, necesariamente caerá en cara 5 veces. Si la moneda es "justa" y si se lanza muchas veces, la cara saldrá muy cerca la mitad de las veces. Por lo tanto, hay dos tipos de probabilidades: experimental y teórico .

Probabilidad experimental y teórica

Si lanzamos una moneda una gran cantidad de veces, digamos 1000, y contamos cuántas veces sale cara, podemos determinar la probabilidad de que salga cara. Si sale cara 503 veces, podemos calcular la probabilidad de que salga:
503/1000, o 0,503.

eso experimental definición de probabilidad. Esta definición de probabilidad se deriva de la observación y el estudio de los datos y es bastante común y muy útil. Por ejemplo, aquí hay algunas probabilidades que se determinaron experimentalmente:

1. La probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama es 1/11.

2. Si besas a alguien que está resfriado, la probabilidad de que tú también estés resfriado es 0,07.

3. Una persona que acaba de salir de prisión tiene un 80% de posibilidades de volver a prisión.

Si consideramos el lanzamiento de una moneda al aire y teniendo en cuenta que es igual de probable que salga cara o cruz, podemos calcular la probabilidad de que salga cara: 1/2. Esta es la definición teórica de probabilidad. Aquí hay algunas otras probabilidades que se han determinado teóricamente usando matemáticas:

1. Si hay 30 personas en una habitación, la probabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumpleaños (excluyendo el año) es 0.706.

2. Durante un viaje conoces a alguien y en el transcurso de la conversación descubres que tienen un conocido en común. Reacción típica: "¡Eso no puede ser!" De hecho, esta frase no encaja, porque la probabilidad de tal evento es bastante alta, un poco más del 22%.

Por lo tanto, la probabilidad experimental se determina mediante la observación y la recopilación de datos. Las probabilidades teóricas se determinan mediante razonamiento matemático. Los ejemplos de probabilidades experimentales y teóricas, como las discutidas anteriormente, y especialmente aquellas que no esperamos, nos llevan a la importancia de estudiar la probabilidad. Usted puede preguntar, "¿Qué es la verdadera probabilidad?" En realidad, no hay ninguno. Es experimentalmente posible determinar las probabilidades dentro de ciertos límites. Pueden o no coincidir con las probabilidades que obtenemos teóricamente. Hay situaciones en las que es mucho más fácil definir un tipo de probabilidad que otro. Por ejemplo, sería suficiente encontrar la probabilidad de resfriarse utilizando la probabilidad teórica.

Cálculo de probabilidades experimentales

Considere primero la definición experimental de probabilidad. El principio básico que usamos para calcular tales probabilidades es el siguiente.

Principio P (experimental)

Si en un experimento en el que se realizan n observaciones, la situación o evento E ocurre m veces en n observaciones, entonces se dice que la probabilidad experimental del evento es P (E) = m/n.

Ejemplo 1 Encuesta sociológica. Se realizó un estudio experimental para determinar el número de zurdos, diestros y personas en las que ambas manos están igualmente desarrolladas, los resultados se muestran en el gráfico.

a) Determine la probabilidad de que la persona sea diestra.

b) Determinar la probabilidad de que la persona sea zurda.

c) Determinar la probabilidad de que la persona sea igualmente fluida en ambas manos.

d) La mayoría de los torneos de la PBA tienen 120 jugadores. Con base en este experimento, ¿cuántos jugadores pueden ser zurdos?

Solución

a) El número de personas que son diestras es 82, el número de zurdos es 17 y el número de personas que tienen la misma fluidez en ambas manos es 1. El número total de observaciones es 100. Por lo tanto, la probabilidad que una persona sea diestra es P
P = 82/100, o 0,82, o 82 %.

b) La probabilidad de que una persona sea zurda es P, donde
P = 17/100 o 0,17 o 17%.

c) La probabilidad de que una persona sea igualmente fluida con ambas manos es P, donde
P = 1/100 o 0,01 o 1%.

d) 120 jugadores de bolos y de (b) podemos esperar que el 17% sean zurdos. De aquí
17% de 120 = 0.17.120 = 20.4,
es decir, podemos esperar que unos 20 jugadores sean zurdos.

Ejemplo 2 Control de calidad . Es muy importante para un fabricante mantener la calidad de sus productos a un alto nivel. De hecho, las empresas contratan inspectores de control de calidad para garantizar este proceso. El objetivo es liberar el mínimo número posible de productos defectuosos. Pero dado que la empresa produce miles de artículos todos los días, no puede permitirse el lujo de inspeccionar cada artículo para determinar si es defectuoso o no. Para averiguar qué porcentaje de productos son defectuosos, la empresa prueba muchos menos productos.
El USDA requiere que el 80% de las semillas que venden los cultivadores germinen. Para determinar la calidad de las semillas que produce la empresa agrícola se siembran 500 semillas de las que se han producido. Después de eso, se calculó que germinaron 417 semillas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la semilla germine?

b) ¿Cumplen las semillas con los estándares gubernamentales?

Solución a) Sabemos que de 500 semillas que se sembraron, brotaron 417. La probabilidad de germinación de semillas P, y
P = 417/500 = 0,834 o 83,4 %.

b) Dado que el porcentaje de semillas germinadas superó el 80% a pedido, las semillas cumplen con los estándares estatales.

Ejemplo 3 clasificaciones de televisión. Según las estadísticas, hay 105,500,000 hogares con TV en los Estados Unidos. Cada semana, se recopila y procesa información sobre la visualización de programas. En una semana, 7.815.000 hogares sintonizaron la exitosa serie de comedia de CBS Everybody Loves Raymond y 8.302.000 hogares sintonizaron el éxito Law & Order de NBC (Fuente: Nielsen Media Research). ¿Cuál es la probabilidad de que el televisor de una casa esté sintonizado en "Everybody Loves Raymond" durante una semana dada? ¿"La ley y el orden"?

Solución La probabilidad de que el televisor de una casa esté puesto en "Todo el mundo quiere a Raymond" es P, y
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La posibilidad de que el televisor de la casa estuviera puesto en "Ley y orden" es P, y
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Estos porcentajes se denominan calificaciones.

probabilidad teórica

Supongamos que estamos haciendo un experimento, como lanzar una moneda o un dardo, sacar una carta de una baraja o probar elementos en una línea de montaje. Cada resultado posible de tal experimento se llama éxodo . El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio de resultados . Evento es un conjunto de resultados, es decir, un subconjunto del espacio de resultados.

Ejemplo 4 Lanzar dardos. Supongamos que en el experimento de "lanzamiento de dardos", el dardo da en el blanco. Encuentre cada uno de los siguientes:

b) Espacio de resultados

Solución
a) Los resultados son: acertar con negro (H), acertar con rojo (K) y acertar con blanco (B).

b) Hay un espacio de resultado (golpe negro, golpe rojo, golpe blanco), que se puede escribir simplemente como (B, R, B).

Ejemplo 5 Tirando dados. Un dado es un cubo con seis lados, cada uno de los cuales tiene de uno a seis puntos.


Supongamos que estamos lanzando un dado. Encontrar
a) Resultados
b) Espacio de resultados

Solución
a) Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Espacio de resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Denotamos la probabilidad de que un evento E ocurra como P(E). Por ejemplo, "la moneda caerá en cruz" se puede denotar con H. Entonces P(H) es la probabilidad de que la moneda caiga en cruz. Cuando todos los resultados de un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que son igualmente probables. Para ver la diferencia entre eventos que son igualmente probables y eventos que no son igualmente probables, considere el objetivo que se muestra a continuación.

Para el objetivo A, los eventos de acierto negro, rojo y blanco son igualmente probables, ya que los sectores negro, rojo y blanco son iguales. Sin embargo, para el objetivo B, las zonas con estos colores no son las mismas, es decir, no es igual de probable golpearlas.

Principio P (Teórico)

Si un evento E puede ocurrir en m formas de n posibles resultados equiprobables del espacio de resultados S, entonces probabilidad teórica evento, P(E) es
P(E) = m/n.

Ejemplo 6¿Cuál es la probabilidad de sacar un 3 al lanzar un dado?

Solución Hay 6 resultados igualmente probables en el dado y solo hay una posibilidad de sacar el número 3. Entonces la probabilidad P será P(3) = 1/6.

Ejemplo 7¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par en el dado?

Solución El evento es el lanzamiento de un número par. Esto puede suceder de 3 maneras (si sacas 2, 4 o 6). El número de resultados equiprobables es 6. Entonces la probabilidad P(par) = 3/6, o 1/2.

Usaremos una serie de ejemplos relacionados con una baraja estándar de 52 cartas. Tal mazo consta de las cartas que se muestran en la figura a continuación.

Ejemplo 8¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja de cartas bien barajada?

Solución Hay 52 resultados (el número de cartas en la baraja), son igualmente probables (si la baraja está bien mezclada) y hay 4 formas de sacar un as, así que de acuerdo con el principio P, la probabilidad
P(sacar un as) = ​​4/52, o 1/13.

Ejemplo 9 Supongamos que elegimos sin mirar una canica de una bolsa de 3 canicas rojas y 4 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?

Solución Hay 7 resultados igualmente probables para obtener cualquier bola, y dado que el número de formas de sacar una bola roja es 3, obtenemos
P(elegir una bola roja) = 3/7.

Las siguientes declaraciones son resultados del principio P.

Propiedades de probabilidad

a) Si el evento E no puede ocurrir, entonces P(E) = 0.
b) Si el evento E tiene que suceder, entonces P(E) = 1.
c) La probabilidad de que ocurra el evento E es un número entre 0 y 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Por ejemplo, al lanzar una moneda, el evento de que la moneda caiga sobre su borde tiene probabilidad cero. La probabilidad de que una moneda salga cara o cruz tiene una probabilidad de 1.

Ejemplo 10 Supongamos que se extraen 2 cartas de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean picas?

Solución El número de formas n de sacar 2 cartas de un mazo de 52 cartas bien barajado es 52 C 2 . Dado que 13 de las 52 cartas son espadas, el número m de formas de sacar 2 espadas es 13 C 2 . Después,
P(estiramiento de 2 picos) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Ejemplo 11 Supongamos que se seleccionan al azar 3 personas de un grupo de 6 hombres y 4 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que resulten elegidos 1 hombre y 2 mujeres?

Solución Número de formas de elegir a tres personas de un grupo de 10 personas 10 C 3 . Un hombre puede ser elegido en 6 C 1 formas y 2 mujeres pueden ser elegidas en 4 C 2 formas. De acuerdo con el principio fundamental de contar, el número de formas de elegir el 1er hombre y 2 mujeres es 6 C 1 . 4C2. Entonces, la probabilidad de que se elijan 1 hombre y 2 mujeres es
PAG = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Ejemplo 12 Tirando dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de 8 en dos dados?

Solución Hay 6 resultados posibles en cada dado. Los resultados se duplican, es decir, hay 6,6 o 36 formas posibles en las que pueden caer los números de dos dados. (Es mejor si los cubos son diferentes, digamos que uno es rojo y el otro azul; esto ayudará a visualizar el resultado).

Los pares de números que suman 8 se muestran en la siguiente figura. Hay 5 formas posibles de obtener la suma igual a 8, por lo que la probabilidad es 5/36.