Que es un prisma directo. Área de la base del prisma: triangular a poligonal

Información general sobre un prisma recto

La superficie lateral del prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas laterales de la cara. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma, y ​​las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. De ello se deduce que la superficie lateral del prisma es igual a

S = un 1 l + un 2 l + ... + un norte l = pl,

donde a 1 y n son las longitudes de las nervaduras de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de las nervaduras laterales. El teorema ha sido probado.

tarea práctica

Tarea (22) . en un prisma inclinado sección, perpendicular a los bordes laterales e intersectando todos los bordes laterales. Encuentra la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección es p y los bordes laterales son l.

Solución. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a una traslación paralela que combine las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, en el que la sección del prisma original sirve de base y las aristas laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Así, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.

Generalización del tema.

Y ahora intentemos con usted resumir el tema del prisma y recordar qué propiedades tiene un prisma.

Propiedades del prisma

Primero, para un prisma, todas sus bases son polígonos iguales;
En segundo lugar, para un prisma, todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;

Además, debe recordarse que los poliedros como los prismas pueden ser rectos e inclinados.

¿Qué es un prisma recto?

Si el borde lateral de un prisma es perpendicular al plano de su base, dicho prisma se llama línea recta.

No estará de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

¿Qué es un prisma oblicuo?

Pero si el borde lateral del prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, podemos decir con seguridad que se trata de un prisma inclinado.

¿Cuál es el prisma correcto?

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es regular.

Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.

Propiedades de un prisma regular

Primero, los polígonos regulares siempre sirven como bases de un prisma regular;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, entonces siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en el prisma correcto siempre son iguales.
Cuarto, un prisma regular siempre es recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, entonces tal figura, por regla general, se llama polígono semirregular.

sección de prisma

Ahora veamos la sección transversal de un prisma:

Tareas para el hogar

Y ahora intentemos consolidar el tema estudiado resolviendo problemas.

Dibujemos un prisma triangular inclinado, en el que la distancia entre sus aristas será: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Con estos parámetros, encuentre el borde lateral del prisma dado.

¿Sabes que las figuras geométricas nos rodean constantemente no solo en las lecciones de geometría, sino que también en la vida cotidiana hay objetos que se asemejan a una u otra figura geométrica?

Cada hogar, escuela o trabajo tiene una computadora, cuya unidad de sistema tiene la forma de un prisma recto.

Si toma un lápiz simple, verá que la parte principal del lápiz es un prisma.

Caminando por la calle principal de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies yace un azulejo que tiene la forma de un prisma hexagonal.

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas.

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1. El menor número de aristas tiene un tetraedro - 6.

2. El prisma tiene n caras. ¿Qué polígono se encuentra en su base?

(n - 2) - un cuadrado.

3. ¿Es recto un prisma si sus dos caras laterales adyacentes son perpendiculares al plano de la base?

Sí, lo es.

4. ¿En qué prisma los bordes laterales son paralelos a su altura?

en un prisma recto.

5. ¿Es regular un prisma si todas sus aristas son iguales entre sí?

No, puede que no sea directo.

6. ¿La altura de una de las caras laterales de un prisma inclinado puede ser también la altura del prisma?

Sí, si esta cara es perpendicular a las bases.

7. ¿Existe un prisma en el que: a) la arista lateral sea perpendicular a una sola arista de la base; b) solo una cara lateral es perpendicular a la base?

a) sí. b) no.

8. Un prisma triangular regular está dividido por un plano que pasa por las líneas medias de las bases en dos prismas. ¿Cómo son las áreas de las superficies laterales de estos prismas?

De acuerdo al teorema del ítem 27, obtenemos que las superficies laterales están relacionadas como 5:3

9. ¿Será regular la pirámide si sus caras laterales son triángulos regulares?

10. ¿Cuántas caras perpendiculares al plano base puede tener una pirámide?

11. ¿Existe una pirámide cuadrangular cuyas caras opuestas sean perpendiculares a la base?

No, de lo contrario, al menos dos líneas rectas, perpendiculares a las bases, pasarían por la parte superior de la pirámide.

12. ¿Todas las caras de una pirámide triangular pueden ser triángulos rectángulos?

Sí (Figura 183).

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Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar a qué tipo se parece.

teoría general

Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-ágono. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales: pueden variar significativamente en tamaño.

Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no son bases. La superficie completa será ya la unión de todas las caras que forman el prisma.

A veces aparecen alturas en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que une por parejas dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.

Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.

prisma triangular

Tiene en la base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.

La notación matemática se ve así: S = ½ av.

Para averiguar el área de la base de forma general, las fórmulas son útiles: Garza y ​​aquella en la que se toma la mitad del lado a la altura dibujada.

La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.

Segundo: S = ½ n a * a.

Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta equilátero. Tiene su propia fórmula: S = ¼ a 2 * √3.

prisma cuadrangular

Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará su propia fórmula.

Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = av, donde a, b son los lados del rectángulo.

Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien yace en la base. S \u003d un 2.

En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * n a. Sucede que se dan un lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, deberá usar una fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es na opuesta a este ángulo.

Si un rombo se encuentra en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial de este). Pero también puedes usar este: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.

Prisma pentagonal regular

Este caso consiste en dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.

Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.

Prisma hexagonal regular

Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él se debe multiplicar por seis.

La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.

Tareas

No. 1. Se da una línea recta regular. Su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm. Calcule el área de la base del prisma y toda la superficie.

Solución. La base de un prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por otro lado, este segmento "x" es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Sustituya el número 22 en lugar de d, y reemplace "n" con su valor: 14, resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora es fácil encontrar el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del valor del área base y cuadriplicar el lado. Este último es fácil de encontrar por la fórmula de un rectángulo: multiplicar la altura del poliedro y el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Se encuentra que el área de superficie total del prisma es de 960 cm 2 .

Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm2. Toda la superficie - 960 cm 2 .

No. 2. Dana En la base se encuentra un triángulo de 6 cm de lado. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.

Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.

Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos de 6 y 10 cm de lado, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente tantas caras laterales. Luego, el área de la superficie lateral se enrolla 180 cm 2 .

Responder.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.