¿Cuál es el ángulo del paralelogramo? Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares. Además, un paralelogramo tiene propiedades tales como que los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales, la suma de todos los ángulos es 360 grados.

Necesitará

• Conocimientos de geometría.

Instrucción

1. Imagínate dado uno de los vértices del paralelogramo e igual a A. Encuentra los valores de los 3 restantes. Por la propiedad del paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Entonces el ángulo opuesto al dado es igual al dado y su valor es igual a A.

2. Encuentra las dos esquinas restantes. Como la suma de todos los ángulos en un paralelogramo es 360 grados, y los ángulos opuestos son iguales entre sí, resulta que el ángulo que pertenece al mismo lado que el dado es igual a (360 - 2A) / 2. Bueno, o después de reformar obtenemos 180 - A. Así, en un paralelogramo, dos ángulos son iguales a A, y los otros dos ángulos son iguales a 180 - A.

¡Nota!
El valor de un ángulo no puede exceder los 180 grados. Los valores obtenidos de los ángulos se pueden verificar fácilmente. Para ello, súmalos y, si la suma es 360, todo está calculado correctamente.

Aviso util
Un rectángulo y un rombo son un caso especial de paralelogramo, por lo que todas las propiedades y métodos para calcular ángulos también se aplican a ellos.

Como en la geometría euclidiana, el punto y la recta son los elementos principales de la teoría de los planos, por lo que el paralelogramo es una de las figuras clave de los cuadriláteros convexos. De él, como hilos de una pelota, fluyen los conceptos de "rectángulo", "cuadrado", "rombo" y otras cantidades geométricas.

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Definición de un paralelogramo

cuadrilátero convexo, formado por segmentos, cada par de los cuales es paralelo, se conoce en geometría como paralelogramo.

El aspecto de un paralelogramo clásico es un cuadrilátero ABCD. Los lados se llaman bases (AB, BC, CD y AD), la perpendicular trazada desde cualquier vértice al lado opuesto de este vértice se llama altura (BE y BF), las rectas AC y BD son las diagonales.

¡Atención! Cuadrado, rombo y rectángulo son casos especiales de paralelogramo.

Lados y ángulos: características de proporción

Propiedades clave, en general, predeterminado por la propia designación, se prueban por el teorema. Estas características son las siguientes:

1. Los lados que son opuestos son idénticos en pares.
2. Los ángulos que son opuestos entre sí son iguales en pares.

Prueba: considere ∆ABC y ∆ADC, que se obtienen dividiendo el cuadrilátero ABCD por la línea AC. ∠BCA=∠CAD y ∠BAC=∠ACD, ya que AC les es común (ángulos verticales para BC||AD y AB||CD, respectivamente). De esto se sigue: ∆ABC = ∆ADC (el segundo criterio para la igualdad de triángulos).

Los segmentos AB y BC en ∆ABC corresponden por pares a las rectas CD y AD en ∆ADC, lo que significa que son idénticas: AB = CD, BC = AD. Por lo tanto, ∠B corresponde a ∠D y son iguales. Dado que ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que también son idénticos en pares, entonces ∠A = ∠C. La propiedad ha sido probada.

Características de las diagonales de la figura

Caracteristica principal estas líneas de paralelogramo: el punto de intersección las biseca.

Demostración: sea m.E el punto de intersección de las diagonales AC y BD de la figura ABCD. Forman dos triángulos proporcionales: ∆ABE y ∆CDE.

AB=CD ya que son opuestos. Según rectas y secantes, ∠ABE = ∠CDE y ∠BAE = ∠DCE.

Según el segundo signo de igualdad, ∆ABE = ∆CDE. Esto significa que los elementos ∆ABE y ∆CDE son: AE = CE, BE = DE y, además, son partes proporcionales de AC y BD. La propiedad ha sido probada.

Características de las esquinas adyacentes.

En los lados adyacentes, la suma de los ángulos es 180°, ya que se encuentran en el mismo lado de las rectas paralelas y la secante. Para el cuadrilátero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propiedades de la bisectriz:

1. , caídos a un lado, son perpendiculares;
2. los vértices opuestos tienen bisectrices paralelas;
3. el triángulo obtenido al dibujar la bisectriz será isósceles.

Determinación de los rasgos característicos de un paralelogramo por el teorema

Las características de esta figura se derivan de su teorema principal, que dice lo siguiente: cuadrilátero se considera un paralelogramo en el caso de que sus diagonales se corten, y este punto las divida en segmentos iguales.

Demostración: Deje que las líneas AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersequen en t.E. Como ∠AED = ∠BEC, y AE+CE=AC BE+DE=BD, entonces ∆AED = ∆BEC (por el primer signo de igualdad de triángulos). Es decir, ∠EAD = ∠ECB. También son los ángulos interiores de cruce de la secante AC para las rectas AD y BC. Así, por definición de paralelismo - AD || ANTES DE CRISTO. También se deriva una propiedad similar de las líneas BC y CD. El teorema ha sido probado.

Calcular el área de una figura

El área de esta figura. encontrado de varias maneras una de las más sencillas: multiplicar la altura por la base a la que se dibuja.

Prueba: Dibujar perpendiculares BE y CF desde los vértices B y C. ∆ABE y ∆DCF son iguales ya que AB = CD y BE = CF. ABCD es igual al rectángulo EBCF, ya que también se componen de cifras proporcionales: S ABE y S EBCD, así como S DCF y S EBCD. De ello se deduce que el área de esta figura geométrica es la misma que la de un rectángulo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Para determinar la fórmula general del área de un paralelogramo, denotamos la altura como media pensión, y el lado b. Respectivamente:

Otras formas de encontrar el área

Cálculos de área por los lados del paralelogramo y el ángulo, que forman, es el segundo método conocido.

,

Spr-ma - área;

a y b son sus lados

α - ángulo entre los segmentos a y b.

Este método está prácticamente basado en el primero, pero por si acaso se desconoce. siempre corta un triángulo rectángulo cuyos parámetros se encuentran por identidades trigonométricas, es decir, . Transformando la razón, obtenemos . En la ecuación del primer método, reemplazamos la altura con este producto y obtenemos una prueba de la validez de esta fórmula.

Por las diagonales de un paralelogramo y un ángulo, que crean cuando se cruzan, también puede encontrar el área.

Demostración: la intersección de AC y BD forma cuatro triángulos: ABE, BEC, CDE y AED. Su suma es igual al área de este cuadrilátero.

El área de cada uno de estos ∆ se puede encontrar a partir de la expresión , donde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dado que , se usa un solo valor del seno en los cálculos. Eso es . Dado que AE+CE=AC= d 1 y BE+DE=BD= d 2 , la fórmula del área se reduce a:

.

Aplicación en álgebra vectorial

Las características de las partes constituyentes de este cuadrilátero han encontrado aplicación en el álgebra vectorial, a saber: la suma de dos vectores. La regla del paralelogramo establece que Vectores de si dadoynoson colineales, entonces su suma será igual a la diagonal de esta figura, cuyas bases corresponden a estos vectores.

Prueba: desde un comienzo elegido arbitrariamente, eso es. - construimos vectores y . A continuación, construimos un paralelogramo OASV, donde los segmentos OA y OB son lados. Por lo tanto, el sistema operativo se encuentra en el vector o suma.

Fórmulas para calcular los parámetros de un paralelogramo

Las identidades se dan bajo las siguientes condiciones:

1. a y b, α - lados y el ángulo entre ellos;
2. d 1 y d 2 , γ - diagonales y en el punto de su intersección;
3. h a y h b - alturas rebajadas a los lados a y b;

Parámetro	Fórmula
Encontrar lados
a lo largo de las diagonales y el coseno del ángulo entre ellas
en diagonal y de lado
a través de la altura y el vértice opuesto
Hallar la longitud de las diagonales
en los lados y el tamaño de la parte superior entre ellos

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares. Esta definición ya es suficiente, ya que las demás propiedades de un paralelogramo se derivan de ella y se prueban en forma de teoremas.

Las principales propiedades de un paralelogramo son:

• un paralelogramo es un cuadrilátero convexo;
• un paralelogramo tiene lados opuestos iguales en pares;
• un paralelogramo tiene ángulos opuestos que son iguales en pares;
• las diagonales de un paralelogramo son bisecadas por el punto de intersección.

Paralelogramo - un cuadrilátero convexo

Probemos primero el teorema de que un paralelogramo es un cuadrilátero convexo. Un polígono es convexo cuando cualquiera de sus lados se extiende a una línea recta, todos los demás lados del polígono estarán en el mismo lado de esta línea recta.

Sea dado un paralelogramo ABCD, en el que AB es el lado opuesto de CD y BC es el lado opuesto de AD. Entonces se sigue de la definición de un paralelogramo que AB || CD, BC || ANUNCIO.

Los segmentos paralelos no tienen puntos comunes, no se cortan. Esto significa que CD se encuentra a un lado de AB. Dado que el segmento BC conecta el punto B del segmento AB con el punto C del segmento CD, y el segmento AD conecta otros puntos AB y CD, los segmentos BC y AD también se encuentran en el mismo lado de la línea AB, donde se encuentra CD. Por lo tanto, los tres lados, CD, BC, AD, se encuentran en el mismo lado de AB.

Del mismo modo, se prueba que con respecto a los otros lados del paralelogramo, los otros tres lados están en el mismo lado.

Los lados y ángulos opuestos son iguales

Una de las propiedades de un paralelogramo es que en un paralelogramo los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales. Por ejemplo, si se da un paralelogramo ABCD, entonces tiene AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Este teorema se demuestra de la siguiente manera.

Un paralelogramo es un cuadrilátero. Entonces tiene dos diagonales. Como un paralelogramo es un cuadrilátero convexo, cualquiera de ellos lo divide en dos triángulos. Considere los triángulos ABC y ADC en el paralelogramo ABCD obtenido al dibujar la diagonal AC.

Estos triángulos tienen un lado en común: AC. El ángulo BCA es igual al ángulo CAD, al igual que las verticales de paralelos BC y AD. Los ángulos BAC y ACD también son iguales, al igual que los ángulos verticales cuando AB y CD son paralelos. Por lo tanto, ∆ABC = ∆ADC sobre dos ángulos y el lado entre ellos.

En estos triángulos, el lado AB corresponde al lado CD y el lado BC corresponde al AD. Por tanto, AB = CD y BC = AD.

El ángulo B corresponde al ángulo D, es decir, ∠B = ∠D. El ángulo A de un paralelogramo es la suma de dos ángulos: ∠BAC y ∠CAD. El ángulo C es igual a consta de ∠BCA y ∠ACD. Como los pares de ángulos son iguales entre sí, entonces ∠A = ∠C.

Así, se demuestra que en un paralelogramo los lados y los ángulos opuestos son iguales.

Diagonales cortadas por la mitad

Dado que un paralelogramo es un cuadrilátero convexo, tiene dos dos diagonales y se cortan. Sea dado un paralelogramo ABCD, sus diagonales AC y BD se cortan en un punto E. Considere los triángulos ABE y CDE formados por ellas.

Estos triángulos tienen lados AB y CD iguales a los lados opuestos de un paralelogramo. El ángulo ABE es igual al ángulo CDE ya que se encuentran entre las líneas paralelas AB y CD. Por la misma razón, ∠BAE = ∠DCE. Por lo tanto, ∆ABE = ∆CDE sobre dos ángulos y el lado entre ellos.

También puedes notar que los ángulos AEB y CED son verticales y, por lo tanto, también iguales entre sí.

Dado que los triángulos ABE y CDE son iguales entre sí, también lo son todos sus elementos correspondientes. El lado AE del primer triángulo corresponde al lado CE del segundo, por lo que AE = CE. Del mismo modo, BE = DE. Cada par de segmentos iguales forma la diagonal del paralelogramo. Así, se prueba que las diagonales de un paralelogramo son bisecadas por el punto de intersección.

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Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos por pares.

Un paralelogramo tiene todas las propiedades de los cuadriláteros, pero también tiene sus propias características distintivas. Conociéndolos, podemos encontrar fácilmente los lados y los ángulos de un paralelogramo.

Propiedades del paralelogramo

1. La suma de los ángulos en cualquier paralelogramo, como en cualquier cuadrilátero, es 360°.
2. Las líneas medias de un paralelogramo y sus diagonales se cortan en un punto y lo bisecan. Este punto se llama centro de simetría del paralelogramo.
3. Los lados opuestos de un paralelogramo son siempre iguales.
4. Además, esta figura siempre tiene los ángulos opuestos iguales.
5. La suma de los ángulos adyacentes a cada lado de un paralelogramo es siempre 180°.
6. La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados de sus dos lados adyacentes. Esto se expresa mediante la fórmula:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), donde d 1 y d 2 son diagonales, a y b son lados adyacentes.
7. El coseno de un ángulo obtuso siempre es menor que cero.

¿Cómo encontrar los ángulos de un paralelogramo dado, aplicando estas propiedades en la práctica? ¿Y qué otras fórmulas nos pueden ayudar con esto? Considere tareas específicas que requieran: encontrar los ángulos del paralelogramo.

Hallar los vértices de un paralelogramo

Caso 1. Se conoce la medida de un ángulo obtuso, se requiere encontrar un ángulo agudo.

Ejemplo: En el paralelogramo ABCD, el ángulo A mide 120°. Encuentra la medida de los ángulos restantes.

Solución: Usando la propiedad No. 5, podemos encontrar la medida del ángulo B adyacente al ángulo dado en la tarea. Será igual a:

• 180°-120°= 60°

Y ahora, usando la propiedad #4, determinamos que los dos ángulos restantes C y D son opuestos a los ángulos que ya hemos encontrado. El ángulo C es opuesto al ángulo A, el ángulo D es opuesto al ángulo B. Por lo tanto, son iguales en pares.

• Respuesta: B=60°, C=120°, D=60°

Caso 2. Se conocen las longitudes de los lados y de la diagonal

En este caso, necesitamos usar el teorema del coseno.

Primero podemos usar la fórmula para calcular el coseno del ángulo que necesitamos, y luego usar una tabla especial para encontrar a qué es igual el ángulo en sí.

Para un ángulo agudo, la fórmula es:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), donde
• a es el ángulo agudo deseado,
• A y B son lados de un paralelogramo
• d - diagonal más pequeña

Para un ángulo obtuso, la fórmula cambia ligeramente:

• coss \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), donde
• ß es un ángulo obtuso,
• A y B son lados
• D - diagonal grande

Ejemplo: necesitas encontrar el ángulo agudo de un paralelogramo cuyos lados miden 6 cm y 3 cm, y la diagonal menor mide 5,2 cm

Sustituimos los valores en la fórmula para encontrar un ángulo agudo:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. De acuerdo con la tabla, descubrimos que el ángulo deseado es de 60 °.