Průměrná úroveň

Rovnoběžník, obdélník, kosočtverec, čtverec (2019)

1. Rovnoběžník

Složené slovo "paralelogram"? A za tím je velmi jednoduchá postava.

No, to znamená, že jsme vzali dvě paralelní linie:

Kříženo dalšími dvěma:

A uvnitř - rovnoběžník!

Jaké vlastnosti má rovnoběžník?

Vlastnosti rovnoběžníku.

To znamená, co lze použít, pokud je v problému uveden rovnoběžník?

Na tuto otázku odpovídá následující věta:

Pojďme si vše podrobně nakreslit.

Co dělá první bod věty? A to, že pokud MÁTE rovnoběžník, tak všemi prostředky

Druhý odstavec znamená, že pokud existuje rovnoběžník, pak opět všemi prostředky:

No a konečně třetí bod znamená, že pokud MÁTE rovnoběžník, pak si buďte jisti:

Vidíte, jaké bohatství výběru? Co použít v úkolu? Zkuste se zaměřit na otázku úkolu, nebo prostě zkuste všechno postupně - nějaký „klíč“ postačí.

A nyní si položme další otázku: jak poznat rovnoběžník „v obličeji“? Co se musí stát se čtyřúhelníkem, abychom měli právo dát mu „název“ rovnoběžníku?

Na tuto otázku odpovídá několik znaků rovnoběžníku.

Vlastnosti rovnoběžníku.

Pozornost! Začít.

Rovnoběžník.

Věnujte pozornost: pokud jste ve svém problému našli alespoň jeden znak, pak máte přesně rovnoběžník a můžete použít všechny vlastnosti rovnoběžníku.

2. Obdélník

Myslím, že to pro vás nebude vůbec žádná novinka.

První otázka zní: je obdélník rovnoběžník?

Samozřejmě, že je! Koneckonců má - pamatujete, naše znamení 3?

A odtud samozřejmě plyne, že pro obdélník, jako pro každý rovnoběžník, a, a úhlopříčky jsou rozděleny průsečíkem na polovinu.

Ale je tu obdélník a jedna výrazná vlastnost.

Vlastnost obdélníku

Proč je tato vlastnost odlišná? Protože žádný jiný rovnoběžník nemá stejné úhlopříčky. Pojďme to formulovat jasněji.

Věnujte pozornost: aby se čtyřúhelník stal obdélníkem, musí se nejprve stát rovnoběžníkem a poté prezentovat rovnost úhlopříček.

3. Diamant

A opět otázka: je kosočtverec rovnoběžník nebo ne?

S plným právem - rovnoběžník, protože má a (pamatujte si naše znamení 2).

A opět, protože kosočtverec je rovnoběžník, pak musí mít všechny vlastnosti rovnoběžníku. To znamená, že kosočtverec má opačné úhly stejné, opačné strany jsou rovnoběžné a úhlopříčky jsou půleny průsečíkem.

Vlastnosti kosočtverce

Podívej se na obrázek:

Stejně jako v případě obdélníku jsou tyto vlastnosti výrazné, to znamená, že pro každou z těchto vlastností můžeme usoudit, že nemáme jen rovnoběžník, ale kosočtverec.

Známky kosočtverce

A znovu pozor: neměl by existovat jen čtyřúhelník s kolmými úhlopříčkami, ale rovnoběžník. Ujisti se:

Ne, samozřejmě ne, ačkoli její úhlopříčky a jsou kolmé a úhlopříčka je osou úhlů u. Ale ... úhlopříčky se nedělí, průsečík ukazuje na polovinu, tedy - NE rovnoběžník, a tedy NE kosočtverec.

To znamená, že čtverec je obdélník a kosočtverec zároveň. Uvidíme, co z toho vzejde.

Je jasné proč? - kosočtverec - osa úhlu A, která se rovná. Takže se dělí (a také) do dvou úhlů podél.

No, je to zcela jasné: úhlopříčky obdélníku jsou stejné; kosočtvercové úhlopříčky jsou kolmé a obecně - úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny průsečíkem na polovinu.

PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Vlastnosti čtyřúhelníků. Rovnoběžník

Vlastnosti paralelogramu

Pozornost! Slova " vlastnosti rovnoběžníku» znamená, že pokud máte úkol tady je rovnoběžník, pak lze použít všechny následující.

Věta o vlastnostech rovnoběžníku.

V libovolném rovnoběžníku:

Podívejme se, proč je to pravda, jinými slovy DOKÁŽEME teorém.

Proč je tedy 1) pravda?

Protože se jedná o rovnoběžník, pak:

• jako ležet napříč
• jako ležící napříč.

Proto (na základě II: a - obecně.)

Tak jednou - a je to! - se ukázala.

Ale mimochodem! Také jsme dokázali 2)!

Proč? Ale přeci (podívejte se na obrázek), tedy totiž, protože.

Zbývají pouze 3).

Chcete-li to provést, musíte ještě nakreslit druhou úhlopříčku.

A teď to vidíme - podle znaménka II (úhel a strana "mezi" nimi).

Vlastnosti ověřené! Přejděme ke znamením.

Vlastnosti paralelogramu

Připomeňme, že znak rovnoběžníku odpovídá na otázku „jak zjistit?“, že obrazec je rovnoběžník.

V ikonách je to takto:

Proč? Bylo by hezké pochopit proč - to stačí. Ale podívej:

No, přišli jsme na to, proč je znak 1 pravdivý.

No, to je ještě jednodušší! Znovu nakreslíme úhlopříčku.

Což znamená:

A je také snadné. Ale… jinak!

Znamená, . Páni! Ale také - vnitřní jednostranné na sečnu!

Proto skutečnost, která to znamená.

A když se podíváte z druhé strany, pak jsou vnitřní jednostranné na sečnu! A proto.

Vidíš, jak je to skvělé?!

A opět jednoduše:

Přesně to samé a.

Dávej pozor: pokud jste našli alespoň jeden znak rovnoběžníku ve vašem problému, pak máte přesně tak paralelogram a můžete použít každý vlastnosti rovnoběžníku.

Pro úplnou přehlednost se podívejte na schéma:

Vlastnosti čtyřúhelníků. Obdélník.

Vlastnosti obdélníku:

Bod 1) je zcela zřejmý - koneckonců znak 3 () je prostě splněn

A bod 2) - velmi důležité. Pojďme to tedy dokázat

Takže na dvou nohách (a - obecně).

Protože jsou trojúhelníky stejné, jejich přepony jsou také stejné.

Dokázal to!

A představte si, že rovnost úhlopříček je charakteristická vlastnost obdélníku mezi všemi rovnoběžníky. To znamená, že následující tvrzení je pravdivé

Podívejme se proč?

Takže, (myšleno úhly rovnoběžníku). Ale ještě jednou, pamatujte, že - rovnoběžník, a proto.

Znamená, . A z toho samozřejmě vyplývá, že každý z nich Přece ve výši, kterou by měli dát!

Zde jsme dokázali, že pokud rovnoběžník najednou (!) budou stejné úhlopříčky, pak toto přesně obdélník.

Ale! Dávej pozor! Toto je o rovnoběžníky! Ne žádnéčtyřúhelník se stejnými úhlopříčkami je obdélník a pouze rovnoběžník!

Vlastnosti čtyřúhelníků. Kosočtverec

A opět otázka: je kosočtverec rovnoběžník nebo ne?

S plným právem - rovnoběžník, protože má a (Pamatujte si naše znamení 2).

A opět, protože kosočtverec je rovnoběžník, musí mít všechny vlastnosti rovnoběžníku. To znamená, že kosočtverec má opačné úhly stejné, opačné strany jsou rovnoběžné a úhlopříčky jsou půleny průsečíkem.

Existují ale i speciální vlastnosti. Formulujeme.

Vlastnosti kosočtverce

Proč? Protože kosočtverec je rovnoběžník, jeho úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu.

Proč? Ano, právě proto!

Jinými slovy, úhlopříčky a se ukázaly jako osy rohů kosočtverce.

Stejně jako v případě obdélníku jsou tyto vlastnosti rozlišovací, každý z nich je také znakem kosočtverce.

Znaky kosočtverců.

proč tomu tak je? A koukej

Proto a oba tyto trojúhelníky jsou rovnoramenné.

Aby byl čtyřúhelník kosočtverec, musí se nejprve „stát“ rovnoběžníkem a poté již demonstrovat prvek 1 nebo prvek 2.

Vlastnosti čtyřúhelníků. Náměstí

To znamená, že čtverec je obdélník a kosočtverec zároveň. Uvidíme, co z toho vzejde.

Je jasné proč? Čtverec - kosočtverec - sečna úhlu, která se rovná. Takže se dělí (a také) do dvou úhlů podél.

No, je to zcela jasné: úhlopříčky obdélníku jsou stejné; kosočtvercové úhlopříčky jsou kolmé a obecně - úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny průsečíkem na polovinu.

Proč? No, stačí použít Pythagorovu větu.

SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Vlastnosti rovnoběžníku:

1. Opačné strany jsou stejné: , .
2. Opačné úhly jsou: , .
3. Součet úhlů na jedné straně činí: , .
4. Úhlopříčky jsou rozděleny průsečíkem na polovinu: .

Vlastnosti obdélníku:

1. Úhlopříčky obdélníku jsou: .
2. Obdélník je rovnoběžník (u obdélníku jsou splněny všechny vlastnosti rovnoběžníku).

Vlastnosti kosočtverce:

1. Úhlopříčky kosočtverce jsou kolmé: .
2. Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho úhlů: ; ; ; .
3. Kosočtverec je rovnoběžník (u kosočtverce jsou splněny všechny vlastnosti rovnoběžníku).

Vlastnosti čtverce:

Čtverec je kosočtverec i obdélník zároveň, proto jsou u čtverce splněny všechny vlastnosti obdélníku a kosočtverce. Stejně jako.

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné, to znamená, že leží na rovnoběžných přímkách (obr. 1).

Věta 1. O vlastnostech stran a úhlů rovnoběžníku. V rovnoběžníku jsou opačné strany stejné, opačné úhly jsou stejné a součet úhlů sousedících s jednou stranou rovnoběžníku je 180°.

Důkaz. Do tohoto rovnoběžníku ABCD nakreslete úhlopříčku AC a získáte dva trojúhelníky ABC a ADC (obr. 2).

Tyto trojúhelníky jsou si rovny, protože ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (příčně ležící úhly u rovnoběžných čar) a strana AC je společná. Z rovnosti Δ ABC = Δ ADC vyplývá, že AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Součet úhlů sousedících s jednou stranou, například úhly A a D, je roven 180° jako jeden -stranné s rovnoběžnými čarami. Věta byla prokázána.

Komentář. Rovnost protilehlých stran rovnoběžníku znamená, že segmenty rovnoběžných odříznutých rovnoběžkami jsou stejné.

Důsledek 1. Pokud jsou dvě přímky rovnoběžné, pak jsou všechny body jedné přímky ve stejné vzdálenosti od druhé přímky.

Důkaz. Vskutku, nechť || b (obr. 3).

Nakreslete z nějakých dvou bodů B a C přímky b kolmice BA a CD k přímce a. Od AB || CD, pak obrazec ABCD je rovnoběžník, a proto AB = CD.

Vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami je vzdálenost od libovolného bodu na jedné z přímek k druhé přímce.

Podle toho, co bylo dokázáno, se rovná délce kolmice vedené z některého bodu jedné z rovnoběžných přímek k druhé přímce.

Příklad 1 Obvod rovnoběžníku je 122 cm Jedna z jeho stran je o 25 cm delší než druhá Najděte strany rovnoběžníku.

Řešení. Podle věty 1 jsou opačné strany rovnoběžníku stejné. Označme jednu stranu rovnoběžníku jako x, druhou jako y. Pak podmínkou $$\left\(\začátek(matice) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matice)\vpravo.$$ Řešením této soustavy dostaneme x = 43, y = 18. Tedy strany rovnoběžníku jsou 18, 43, 18 a 43 cm.

Příklad 2

Řešení. Nechť obrázek 4 odpovídá stavu problému.

Označte AB x a BC y. Podle podmínky je obvod rovnoběžníku 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, nebo x + y = 5. Obvod trojúhelníku ABD je 8 cm. A protože AB + AD = x + y = 5 , pak BD = 8 - 5 = 3 . Takže BD = 3 cm.

Příklad 3 Najděte úhly rovnoběžníku s vědomím, že jeden z nich je o 50° větší než druhý.

Řešení. Nechť obrázek 5 odpovídá stavu problému.

Stupňovou míru úhlu A označme jako x. Potom míra stupně úhlu D je x + 50°.

Úhly BAD a ADC jsou vnitřní jednostranné s rovnoběžnými úsečkami AB a DC a sečnou AD. Pak bude součet těchto jmenovaných úhlů 180°, tzn.
x + x + 50° = 180° nebo x = 65°. Tedy ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Příklad 4 Strany rovnoběžníku jsou 4,5 dm a 1,2 dm. Osa je nakreslena z vrcholu ostrého úhlu. Na jaké části rozděluje dlouhou stranu rovnoběžníku?

Řešení. Nechť obrázek 6 odpovídá stavu problému.

AE je osa ostrého úhlu rovnoběžníku. Proto ∠ 1 = ∠ 2.

Videokurz "Get an A" obsahuje všechna témata potřebná pro úspěšné složení zkoušky z matematiky o 60-65 bodů. Zcela všechny úlohy 1-13 profilu POUŽÍVEJTE v matematice. Vhodné také pro absolvování Základního USE v matematice. Pokud chcete zkoušku složit s 90-100 body, je potřeba vyřešit 1. část za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz na zkoušku pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani humanista.

Všechny potřebné teorie. Rychlá řešení, pasti a tajemství zkoušky. Byly analyzovány všechny relevantní úkoly části 1 z úkolů Bank of FIPI. Kurz plně vyhovuje požadavkům USE-2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky zkouškových úkolů. Textové úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů USE úloh. Stereometrie. Chytré triky k řešení, užitečné cheat sheets, rozvoj prostorové představivosti. Trigonometrie od nuly - k úkolu 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Podklady pro řešení složitých problémů 2. části zkoušky.

Stejně jako v euklidovské geometrii jsou bod a přímka hlavními prvky teorie rovin, takže rovnoběžník je jedním z klíčových obrazců konvexních čtyřúhelníků. Z něj, jako nitě z koule, plynou pojmy "obdélník", "čtverec", "kosočtverec" a další geometrické veličiny.

V kontaktu s

Definice rovnoběžníku

konvexní čtyřúhelník, sestávající ze segmentů, z nichž každý pár je rovnoběžný, je v geometrii známý jako rovnoběžník.

Jak vypadá klasický rovnoběžník, je čtyřúhelník ABCD. Strany se nazývají základny (AB, BC, CD a AD), kolmice vedená z libovolného vrcholu na opačnou stranu tohoto vrcholu se nazývá výška (BE a BF), úsečky AC a BD jsou úhlopříčky.

Pozornost!Čtverec, kosočtverec a obdélník jsou speciální případy rovnoběžníku.

Strany a úhly: poměrové znaky

Klíčové vlastnosti, celkově předem určeno samotným označením, jsou dokázány větou. Tyto vlastnosti jsou následující:

1. Protilehlé strany jsou v párech totožné.
2. Úhly, které jsou proti sobě, jsou ve dvojicích stejné.

Důkaz: uvažujme ∆ABC a ∆ADC, které získáme dělením čtyřúhelníku ABCD přímkou ​​AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, protože AC je jim společný (svislé úhly pro BC||AD a AB||CD, v tomto pořadí). Z toho vyplývá: ∆ABC = ∆ADC (druhé kritérium pro rovnost trojúhelníků).

Segmenty AB a BC v ∆ABC odpovídají ve dvojicích čarám CD a AD v ∆ADC, což znamená, že jsou totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B tedy odpovídá ∠D a jsou si rovny. Protože ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, které jsou také v párech totožné, pak ∠A = ∠C. Nemovitost byla prokázána.

Charakteristika úhlopříček postavy

Hlavní rys tyto přímky rovnoběžníku: průsečík je půlí.

Důkaz: nechť m. E je průsečík úhlopříček AC a BD obrázku ABCD. Tvoří dva souměrné trojúhelníky - ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, protože jsou opačné. Podle čar a seč je ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podle druhého znaku rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE jsou: AE = CE, BE = DE a navíc jsou přiměřenými částmi AC a BD. Nemovitost byla prokázána.

Vlastnosti sousedních rohů

Na sousedních stranách je součet úhlů 180°, protože leží na stejné straně rovnoběžek a sečny. Pro čtyřúhelník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti osy:

1. , pokleslé na jednu stranu, jsou kolmé;
2. opačné vrcholy mají rovnoběžné osy;
3. trojúhelník získaný nakreslením osy bude rovnoramenný.

Určení charakteristických znaků rovnoběžníku větou

Vlastnosti tohoto obrázku vyplývají z jeho hlavní věty, která zní takto: čtyřúhelník je považován za rovnoběžník v případě, že se jeho úhlopříčky protnou, a tento bod je rozdělí na stejné segmenty.

Důkaz: Nechť se přímky AC a BD čtyřúhelníku ABCD protnou v t. E. Protože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, pak ∆AED = ∆BEC (podle prvního znaménka rovnosti trojúhelníků). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Jsou to také vnitřní úhly křížení sečny AC pro čáry AD a BC. Tedy podle definice paralelismu - AD || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Podobná vlastnost linií BC a CD je také odvozena. Věta byla prokázána.

Výpočet plochy obrázku

Oblast tohoto obrázku nalézt několika způsoby jeden z nejjednodušších: vynásobení výšky a základny, do které se kreslí.

Důkaz: Nakreslete kolmice BE a CF z vrcholů B a C. ∆ABE a ∆DCF jsou stejné, protože AB = CD a BE = CF. ABCD se rovná obdélníku EBCF, protože se také skládají z proporcionálních čísel: S ABE a S EBCD, stejně jako S DCF a S EBCD. Z toho vyplývá, že plocha tohoto geometrického útvaru je stejná jako plocha obdélníku:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pro určení obecného vzorce pro oblast rovnoběžníku označujeme výšku jako hb a boční b. Respektive:

Jiné způsoby, jak najít oblast

Výpočty ploch přes strany rovnoběžníku a úhlu, kterou tvoří, je druhou známou metodou.

,

Spr-ma - oblast;

a a b jsou jeho strany

α - úhel mezi segmenty a a b.

Tato metoda prakticky vychází z první, ale v případě, že není známa. vždy odřízne pravoúhlý trojúhelník, jehož parametry jsou nalezeny pomocí trigonometrických identit, tj. Transformací poměru dostaneme . V rovnici prvního způsobu nahradíme výšku tímto součinem a získáme důkaz platnosti tohoto vzorce.

Přes úhlopříčky rovnoběžníku a úhlu, které vytvářejí, když se protínají, můžete také najít oblast.

Důkaz: AC a BD se protínají ve čtyřech trojúhelníkech: ABE, BEC, CDE a AED. Jejich součet se rovná ploše tohoto čtyřúhelníku.

Plochu každého z těchto ∆ lze zjistit z výrazu , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , pak se ve výpočtech používá jediná hodnota sinus. To je . Protože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2 , vzorec plochy se redukuje na:

.

Aplikace ve vektorové algebře

Vlastnosti jednotlivých částí tohoto čtyřúhelníku našly uplatnění ve vektorové algebře, konkrétně: sčítání dvou vektorů. Pravidlo rovnoběžníku říká, že pokud jsou dané vektoryanejsou kolineární, pak se jejich součet bude rovnat úhlopříčce tohoto obrazce, jehož základny odpovídají těmto vektorům.

Důkaz: z libovolně zvoleného začátku – tzn. - stavíme vektory a . Dále sestrojíme rovnoběžník OASV, kde segmenty OA a OB jsou strany. OS tedy leží na vektoru nebo součtu.

Vzorce pro výpočet parametrů rovnoběžníku

Totožnosti jsou uvedeny za následujících podmínek:

1. a a b, α - strany a úhel mezi nimi;
2. d 1 a d 2 , γ - úhlopříčky a v bodě jejich průsečíku;
3. ha a h b - výšky snížené na strany a a b;

Parametr	Vzorec
Hledání stran
podél úhlopříček a kosinus úhlu mezi nimi
diagonálně a do stran
přes výšku a opačný vrchol
Zjištění délky úhlopříček
na bocích a velikost vršku mezi nimi

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou po párech rovnoběžné.

Rovnoběžník má všechny vlastnosti čtyřúhelníků, ale má také své vlastní charakteristické rysy. Když je známe, můžeme snadno najít obě strany a úhly rovnoběžníku.

Vlastnosti paralelogramu

1. Součet úhlů v jakémkoli rovnoběžníku, stejně jako v každém čtyřúhelníku, je 360°.
2. Středové čáry rovnoběžníku a jeho úhlopříčky se protínají v jednom bodě a půlí jej. Tento bod se nazývá střed symetrie rovnoběžníku.
3. Opačné strany rovnoběžníku jsou vždy stejné.
4. Také toto číslo má vždy stejné opačné úhly.
5. Součet úhlů sousedících s oběma stranami rovnoběžníku je vždy 180°.
6. Součet čtverců úhlopříček rovnoběžníku je roven dvojnásobku součtu čtverců jeho dvou sousedních stran. To je vyjádřeno vzorcem:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kde d 1 a d 2 jsou úhlopříčky, a a b jsou sousední strany.
7. Kosinus tupého úhlu je vždy menší než nula.

Jak zjistit úhly daného rovnoběžníku při použití těchto vlastností v praxi? A jaké další vzorce nám v tom mohou pomoci? Zvažte konkrétní úkoly, které vyžadují: najděte úhly rovnoběžníku.

Nalezení rohů rovnoběžníku

Případ 1. Míra tupého úhlu je známá, je potřeba najít ostrý úhel.

Příklad: V rovnoběžníku ABCD je úhel A 120°. Najděte míru zbývajících úhlů.

Řešení: Pomocí vlastnosti č. 5 najdeme míru úhlu B sousedícího s úhlem uvedeným v zadání. Bude se rovnat:

• 180°-120°= 60°

A nyní pomocí vlastnosti #4 určíme, že dva zbývající úhly C a D jsou opačné k úhlům, které jsme již našli. Úhel C je opačný k úhlu A, úhel D je opačný k úhlu B. Proto jsou ve dvojicích stejné.

• Odpověď: B=60°, C=120°, D=60°

Případ 2. Délky stran a úhlopříčka jsou známé

V tomto případě musíme použít kosinovou větu.

Nejprve můžeme pomocí vzorce vypočítat kosinus úhlu, který potřebujeme, a pak pomocí speciální tabulky zjistit, čemu se rovná samotný úhel.

Pro ostrý úhel je vzorec:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kde
• a je požadovaný ostrý úhel,
• A a B jsou strany rovnoběžníku
• d - menší úhlopříčka

Pro tupý úhel se vzorec mírně změní:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kde
• ß je tupý úhel,
• A a B jsou strany
• D - velká úhlopříčka

Příklad: potřebujete najít ostrý úhel rovnoběžníku, jehož strany jsou 6 cm a 3 cm a menší úhlopříčka je 5,2 cm

Dosadíme hodnoty do vzorce pro nalezení ostrého úhlu:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Podle tabulky zjistíme, že požadovaný úhel je 60°.