Derivace 3. odmocniny x 2. Derivace složené funkce

Odvození vzorce pro derivaci mocninné funkce (x na mocninu a). Uvažují se deriváty kořenů z x. Vzorec pro derivaci mocninné funkce vyššího řádu. Příklady výpočtu derivací.

Derivace x na mocninu a je krát x x na mocninu mínus jedna:
(1) .

Derivace n-té odmocniny x na m-tou mocninu je:
(2) .

Odvození vzorce pro derivaci mocninné funkce

Případ x > 0

Uvažujme mocninnou funkci proměnné x s exponentem a :
(3) .
Zde a je libovolné reálné číslo. Podívejme se nejprve na případ.

K nalezení derivace funkce (3) použijeme vlastnosti mocninné funkce a převedeme ji do následujícího tvaru:
.

Nyní najdeme derivaci použitím:
;
.
Tady .

Vzorec (1) je dokázán.

Odvození vzorce pro derivaci kořene stupně n ze stupně x na stupeň m

Nyní zvažte funkci, která je kořenem následujícího formuláře:
(4) .

Abychom našli derivaci, převedeme odmocninu na mocninnou funkci:
.
Při porovnání se vzorcem (3) to vidíme
.
Pak
.

Podle vzorce (1) najdeme derivaci:
(1) ;
;
(2) .

V praxi není potřeba se učit nazpaměť vzorec (2). Mnohem pohodlnější je nejprve převést odmocniny na mocninné funkce a poté najít jejich derivace pomocí vzorce (1) (viz příklady na konci stránky).

Případ x = 0

Jestliže , pak je exponenciální funkce definována i pro hodnotu proměnné x = 0 . Najděte derivaci funkce (3) pro x = 0 . K tomu používáme definici derivátu:
.

Nahraďte x = 0 :
.
V tomto případě derivací rozumíme pravostrannou limitu, pro kterou .

Tak jsme našli:
.
Z toho je vidět, že na , .
V , .
V , .
Tento výsledek je také získán vzorcem (1):
(1) .
Proto vzorec (1) platí i pro x = 0 .

případ x< 0

Zvažte znovu funkci (3):
(3) .
Pro některé hodnoty konstanty a je definována i pro záporné hodnoty proměnné x. Jmenovitě, nechť a je racionální číslo. Pak to může být reprezentováno jako neredukovatelný zlomek:
,
kde m a n jsou celá čísla bez společného dělitele.

Pokud je n liché, pak je exponenciální funkce definována také pro záporné hodnoty proměnné x. Například pro n = 3 a m = 1 máme odmocninu x:
.
Je také definován pro záporné hodnoty x.

Najdeme derivaci mocninné funkce (3) pro a pro racionální hodnoty konstanty a , pro kterou je definována. Za tímto účelem reprezentujeme x v následujícím tvaru:
.
Pak ,
.
Derivaci najdeme tak, že vyjmeme konstantu ze znaménka derivace a použijeme pravidlo derivace komplexní funkce:

.
Tady . Ale
.
Od té doby
.
Pak
.
To znamená, že vzorec (1) platí také pro:
(1) .

Deriváty vyšších řádů

Nyní najdeme derivace vyššího řádu mocninné funkce
(3) .
Již jsme našli derivaci prvního řádu:
.

Vyjmeme-li konstantu a ze znaménka derivace, najdeme derivaci druhého řádu:
.
Podobně najdeme deriváty třetího a čtvrtého řádu:
;

.

Odtud je jasné, že derivace libovolného n-tého řádu má následující podobu:
.

všimněte si, že je-li a přirozené číslo, , pak je n-tá derivace konstantní:
.
Pak jsou všechny následující derivace rovny nule:
,
v .

Příklady derivátů

Příklad

Najděte derivaci funkce:
.

Řešení

Převedeme odmocniny na mocniny:
;
.
Pak má původní funkce tvar:
.

Najdeme deriváty stupňů:
;
.
Derivace konstanty je nula:
.

Na kterém jsme analyzovali nejjednodušší derivace a také se seznámili s pravidly derivování a některými technikami hledání derivací. Pokud tedy nejste s derivacemi funkcí příliš zběhlí nebo vám některé body tohoto článku nejsou zcela jasné, přečtěte si nejprve výše uvedenou lekci. Nalaďte se prosím na vážnou náladu - materiál není snadný, ale i tak se ho pokusím podat jednoduše a srozumitelně.

V praxi se musíte s derivací komplexní funkce zabývat velmi často, dokonce bych řekl, že téměř vždy, když dostanete úkoly na hledání derivací.

V tabulce se podíváme na pravidlo (č. 5) pro derivování komplexní funkce:

Rozumíme. Nejprve se podívejme na zápis. Zde máme dvě funkce - a , přičemž funkce je, obrazně řečeno, vnořena do funkce . Funkce tohoto druhu (když je jedna funkce vnořena do jiné) se nazývá komplexní funkce.

Zavolám funkci vnější funkce a funkce – vnitřní (neboli vnořená) funkce.

! Tyto definice nejsou teoretické a neměly by se objevit v konečném návrhu zadání. Neformální výrazy „externí funkce“, „interní“ funkce používám pouze proto, abych vám usnadnil pochopení látky.

Chcete-li objasnit situaci, zvažte:

Příklad 1

Najděte derivaci funkce

Pod sinem nemáme jen písmeno "x", ale celý výraz, takže hledání derivace okamžitě z tabulky nebude fungovat. Všimli jsme si také, že zde nelze použít první čtyři pravidla, zdá se, že existuje rozdíl, ale faktem je, že je nemožné „roztrhnout“ sinus:

V tomto příkladu, již z mých vysvětlení, je intuitivně jasné, že funkce je komplexní funkcí a polynom je vnitřní funkcí (vložení) a vnější funkcí.

První krok, který je nutné provést při hledání derivace komplexní funkce je to pochopit, která funkce je vnitřní a která vnější.

V případě jednoduchých příkladů se zdá jasné, že polynom je vnořen pod sinus. Ale co když to není zřejmé? Jak přesně určit, která funkce je vnější a která vnitřní? K tomu navrhuji použít následující techniku, kterou lze provádět mentálně nebo na návrhu.

Představme si, že potřebujeme vypočítat hodnotu výrazu pomocí kalkulačky (místo jedné může být libovolné číslo).

Co spočítáme jako první? Nejdříve budete muset provést následující akci: , takže polynom bude vnitřní funkcí:

Za druhé budete muset najít, takže sinus - bude externí funkcí:

Po nás ROZUMĚT s vnitřními a vnějšími funkcemi je čas použít pravidlo diferenciace složených funkcí .

Začínáme se rozhodovat. Z lekce Jak najít derivát? pamatujeme si, že návrh řešení jakékoli derivace vždy začíná takto - výraz uzavřeme do závorek a dáme tah vpravo nahoře:

První najdeme derivaci externí funkce (sinus), podíváme se na tabulku derivací elementárních funkcí a všimneme si, že . Všechny tabulkové vzorce jsou použitelné, i když je "x" nahrazeno složitým výrazem, v tomto případě:

Všimněte si, že vnitřní funkce se nezměnilo, nedotýkáme se ho.

No, to je celkem zřejmé

Výsledek použití vzorce čistý vypadá takto:

Konstantní faktor je obvykle umístěn na začátku výrazu:

Pokud dojde k nějakému nedorozumění, zapište si rozhodnutí na papír a znovu si přečtěte vysvětlení.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Jako vždy píšeme:

Zjistíme, kde máme vnější funkci a kde vnitřní. K tomu se snažíme (mentálně nebo na konceptu) vypočítat hodnotu výrazu pro . Co je potřeba udělat jako první? Nejprve musíte vypočítat, čemu se základ rovná:, což znamená, že polynom je vnitřní funkce:

A teprve potom se provádí umocňování, proto je mocninná funkce externí funkcí:

Podle vzorce Nejprve musíte najít derivaci externí funkce, v tomto případě stupeň. Požadovaný vzorec hledáme v tabulce:. Znovu opakujeme: jakýkoli tabulkový vzorec platí nejen pro "x", ale i pro komplexní výraz. Tedy výsledek aplikace pravidla derivace komplexní funkce další:

Znovu zdůrazňuji, že když vezmeme derivaci vnější funkce, vnitřní funkce se nezmění:

Nyní zbývá najít velmi jednoduchou derivaci vnitřní funkce a výsledek trochu „učesat“:

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro samořešení (odpověď na konci lekce).

Pro upevnění pochopení derivace komplexní funkce uvedu příklad bez komentářů, zkuste si na to přijít sami, rozumějte, kde je vnější a kde vnitřní funkce, proč se úlohy řeší tak?

Příklad 5

a) Najděte derivaci funkce

b) Najděte derivaci funkce

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde máme kořen, a aby bylo možné rozlišit kořen, musí být reprezentován jako stupeň. Nejprve tedy uvedeme funkci do správného tvaru pro derivování:

Při analýze funkce dojdeme k závěru, že součet tří členů je vnitřní funkcí a umocňování je vnější funkcí. Aplikujeme pravidlo derivace komplexní funkce :

Stupeň je opět reprezentován jako radikál (odmocnina) a pro derivaci vnitřní funkce použijeme jednoduché pravidlo pro derivování součtu:

Připraven. Můžete také uvést výraz do společného jmenovatele v závorce a napsat vše jako jeden zlomek. Je to samozřejmě krásné, ale když se získají těžkopádné dlouhé deriváty, je lepší to nedělat (je snadné se splést, udělat zbytečnou chybu a pro učitele bude nepohodlné to kontrolovat).

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro samořešení (odpověď na konci lekce).

Je zajímavé poznamenat, že někdy místo pravidla pro derivování komplexní funkce lze použít pravidlo pro derivování kvocientu , ale takové řešení bude vypadat jako perverze neobvyklé. Zde je typický příklad:

Příklad 8

Najděte derivaci funkce

Zde můžete použít pravidlo diferenciace kvocientu , ale mnohem výhodnější je najít derivaci pomocí pravidla derivace komplexní funkce:

Připravíme funkci pro derivování - vyjmeme znaménko mínus derivace a zvedneme kosinus do čitatele:

Kosinus je vnitřní funkce, umocňování je vnější funkce.
Použijme naše pravidlo :

Najdeme derivaci vnitřní funkce, resetujeme kosinus zpět:

Připraven. V uvažovaném příkladu je důležité nenechat se zmást ve znameních. Mimochodem, zkuste to vyřešit pravidlem , odpovědi se musí shodovat.

Příklad 9

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro samořešení (odpověď na konci lekce).

Dosud jsme zvažovali případy, kdy jsme měli pouze jedno vnoření v komplexní funkci. V praktických úlohách se často můžete setkat s odvozeninami, kde se jako hnízdící panenky jedna do druhé vnořuje 3 nebo dokonce 4-5 funkcí najednou.

Příklad 10

Najděte derivaci funkce

Chápeme přílohy této funkce. Snažíme se vyhodnotit výraz pomocí experimentální hodnoty . Jak bychom počítali s kalkulačkou?

Nejprve musíte najít, což znamená, že arcsinus je nejhlubší hnízdo:

Tento arkussinus jednoty by pak měl být na druhou:

A nakonec zvedneme sedm k síle:

To znamená, že v tomto příkladu máme tři různé funkce a dvě vnoření, přičemž nejvnitřnější funkcí je arkussinus a nejvzdálenější funkcí je exponenciální funkce.

Začínáme se rozhodovat

Podle pravidla nejprve musíte vzít derivaci vnější funkce. Podíváme se na tabulku derivací a najdeme derivaci exponenciální funkce: Jediný rozdíl je v tom, že místo "x" máme komplexní výraz, který nepopírá platnost tohoto vzorce. Tedy výsledek aplikace pravidla derivace komplexní funkce další.

Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.

Výsledkem řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí podle definice derivátu jako hranice poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla diferenciace. Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) byli první, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů.

Proto v naší době, abychom našli derivaci libovolné funkce, není nutné počítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivací a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.

Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod znakem tahu rozebrat jednoduché funkce a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivace. Tabulka derivací a derivačních pravidel jsou uvedeny za prvními dvěma příklady.

Příklad 1 Najděte derivaci funkce

Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "X" je rovna jedné a derivace sinu je kosinus. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:

Příklad 2 Najděte derivaci funkce

Řešení. Diferencujte jako derivaci součtu, ve které druhý člen s konstantním faktorem, lze vyjmout ze znaménka derivace:

Pokud stále existují otázky, odkud něco pochází, zpravidla se vyjasní po přečtení tabulky derivací a nejjednodušších pravidel diferenciace. Právě k nim jdeme.

Tabulka derivací jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy nula. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno
2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "x". Vždy se rovná jedné. To je také důležité mít na paměti
3. Derivace stupně. Při řešení problémů je třeba převést jiné než druhé odmocniny na mocninu.
4. Derivace proměnné na mocninu -1
5. Derivace odmocniny
6. Sinusová derivace
7. Kosinové deriváty
8. Tečná derivace
9. Derivace kotangens
10. Derivace arkussinus
11. Derivace arkuskosinus
12. Derivace arkus tangens
13. Derivace inverzní tečny
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Pravidla diferenciace

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivát produktu
2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem
3. derivace kvocientu
4. Derivace složené funkce

Pravidlo 1Pokud funkce

jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak ve stejném bodě funkce

navíc

těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantou, pak jejich derivace jsou, tj.

Pravidlo 2Pokud funkce

jsou diferencovatelné v určitém bodě, pak je jejich produkt také diferencovatelný ve stejném bodě

navíc

těch. derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.

Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého z faktorů a všech ostatních.

Například pro tři násobiče:

Pravidlo 3Pokud funkce

v určitém okamžiku rozlišitelné a , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelný.u/v a

těch. derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace v čitateli a v čitateli a v derivaci jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina předchozího čitatele .

Kde hledat na jiných stránkách

Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných úlohách je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace."Derivace součinu a kvocient " .

Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) za člen v součtu a za konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Toto je typická chyba, která se vyskytuje v počáteční fázi studia derivátů, ale protože průměrný student řeší několik jedno-dvousložkových příkladů, průměrný student již tuto chybu nedělá.

A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, kde u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tudíž celý člen bude roven nule (takový případ je analyzován v příkladu 10) .

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce věnovaný samostatnému článku. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez transformací výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručky v nových oknech Akce se silami a kořeny a Akce se zlomky.

Pokud hledáte řešení pro derivace s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá pak postupujte podle lekce" Derivace součtu zlomků s mocninou a odmocninou ".

Pokud máte úkol jako , tak máš práci „Derivace jednoduchých goniometrických funkcí“.

Příklady krok za krokem - jak najít derivaci

Příklad 3 Najděte derivaci funkce

Řešení. Určujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho faktory jsou součty, z nichž druhý obsahuje konstantní faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé:

Dále použijeme pravidlo derivace součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě v každém součtu druhý člen se znaménkem mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže "x" se změní na jednu a mínus 5 - na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující hodnoty derivací:

Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:

Příklad 4 Najděte derivaci funkce

Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatelem je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:

Pokud hledáte řešení takových problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada kořenů a stupňů, jako je např. pak vítejte ve třídě „Derivace součtu zlomků s mocninami a odmocninami“.

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá , pak máte lekci "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí".

Příklad 5 Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Podle pravidla diferenciace součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny dostaneme:

Příklad 6 Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhá odmocnina nezávislé proměnné. Podle pravidla derivace kvocientu, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, dostaneme:

Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .