Pokud potřebujete zvýšit konkrétní číslo na mocninu, můžete použít . Nyní se na to podíváme blíže vlastnosti mocností.

Exponenciální čísla otevírají velké možnosti, umožňují nám převádět násobení na sčítání a sčítání je mnohem jednodušší než násobení.

Například potřebujeme vynásobit 16 64. Součin vynásobení těchto dvou čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. Takže 16 krát 64 = 4x4x4x4x4, což je také 1024.

Číslo 16 může být také reprezentováno jako 2x2x2x2 a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a pokud vynásobíme, dostaneme opět 1024.

Nyní použijeme pravidlo. 16 = 4 2 nebo 2 4 , 64 = 4 3 nebo 2 6 , zatímco 1024 = 6 4 = 4 5 nebo 2 10 .

Náš problém lze tedy zapsat jiným způsobem: 4 2 x 4 3 = 4 5 nebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a pokaždé dostaneme 1024.

Můžeme vyřešit řadu podobných příkladů a uvidíme, že násobení čísel s mocninami se sníží na sčítání exponentů, nebo exponent, samozřejmě za předpokladu, že základy faktorů jsou stejné.

Můžeme tedy bez násobení okamžitě říci, že 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Toto pravidlo platí i při dělení čísel mocninou, ale v tomto případě např exponent dělitele se odečte od exponentu dividendy. Tedy 2 5:2 3 =2 2 , což se v běžných číslech rovná 32:8=4, tedy 2 2 . Pojďme si to shrnout:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kde m a n jsou celá čísla.

Na první pohled by se to mohlo zdát násobení a dělení čísel s mocninami není příliš pohodlné, protože nejprve musíte číslo reprezentovat v exponenciální podobě. Znázornit čísla 8 a 16 v této podobě, tedy 2 3 a 2 4, není těžké, ale jak to udělat s čísly 7 a 17? Nebo co dělat v těch případech, kdy číslo může být reprezentováno v exponenciální formě, ale základy exponenciálních vyjádření čísel jsou velmi odlišné. Například 8×9 je 2 3 x 3 2, v takovém případě nemůžeme sečíst exponenty. Ani 2 5 ani 3 5 není odpověď, ani odpověď mezi těmito dvěma.

Má pak cenu se touto metodou vůbec zabývat? Rozhodně to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody zejména pro složité a časově náročné výpočty.

Články o přírodních vědách a matematice

Vlastnosti mocnin se stejným základem

Existují tři vlastnosti mocnin se stejnými základy a přirozenými exponenty. to

Práce součet

Soukromé dvě mocniny se stejným základem se rovnají výrazu, kde základ je stejný a exponent je rozdíl ukazatele původních multiplikátorů.

Zvýšení mocniny čísla na mocninu se rovná výrazu, ve kterém je základ stejné číslo a exponent je práce dva stupně.

Buď opatrný! Pravidla týkající se sčítání a odčítání mocnosti se stejným základem neexistuje.

Tyto vlastnosti-pravidla zapisujeme ve formě vzorců:

a m × a n = a m + n

a m ÷ a n = a m–n

(am) n = a mn

Nyní je zvažte na konkrétních příkladech a zkuste je dokázat.

5 2 × 5 3 = 5 5 - zde jsme použili pravidlo; a teď si představte, jak bychom vyřešili tento příklad, kdybychom neznali pravidla:

5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - pět na druhou je pět krát pět a kostka je součin tří pěti. Výsledkem je součin pěti pětek, ale to je něco jiného než pět ku páté mocnině: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapišme dělení jako zlomek:

Dá se zkrátit:

V důsledku toho získáme:

Tím jsme dokázali, že při dělení dvou mocnin se stejnými základy je třeba odečíst jejich ukazatele.

Při dělení je však nemožné, aby se dělitel rovnal nule (protože nulou dělit nelze). Navíc, protože stupně uvažujeme pouze s přirozenými ukazateli, nemůžeme v důsledku odečtení ukazatelů získat číslo menší než 1. Proto jsou na vzorec a m ÷ a n = a m–n kladena omezení: a ≠ 0 a m > n .

Pojďme ke třetí vlastnosti:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

Píšeme v rozšířené podobě:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Můžete dojít k tomuto závěru a logicky uvažovat. Musíte vynásobit dvě čtverečky čtyřikrát. V každém čtverci jsou ale dvě dvojky, takže celkem bude dvojek osm.

scienceland.info

stupně vlastnosti

Připomínáme, že v této lekci rozumíme stupně vlastnosti s přirozenými ukazateli a nulou. Stupně s racionálními ukazateli a jejich vlastnosti budou probrány v lekcích pro 8. ročník.

Exponent s přirozeným exponentem má několik důležitých vlastností, které vám umožňují zjednodušit výpočty v příkladech exponentů.

Nemovitost #1
Součin sil

Při násobení mocnin se stejným základem zůstává základ nezměněn a exponenty se sčítají.

a m a n \u003d a m + n, kde "a" je libovolné číslo a "m", "n" jsou jakákoli přirozená čísla.

Tato vlastnost mocnin také ovlivňuje součin tří a více mocnin.

Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prezentujte jako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prezentujte jako diplom.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v uvedené vlastnosti šlo pouze o násobení mocnin se stejnými základy.. Nevztahuje se na jejich sčítání.

Součet (3 3 + 3 2) nelze nahradit 3 5 . To je pochopitelné, pokud
vypočítat (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nemovitost č. 2
Soukromé tituly

Při dělení mocnin se stejným základem zůstává základ nezměněn a exponent dělitele se odečte od exponentu děliče.

Napište podíl jako mocninu
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Vypočítat.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Příklad. Vyřešte rovnici. Využíváme vlastnosti dílčích stupňů.
38: t = 34

Odpověď: t = 3 4 = 81

Pomocí vlastností č. 1 a č. 2 můžete snadno zjednodušit výrazy a provádět výpočty.

Příklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Příklad. Najděte hodnotu výrazu pomocí vlastností stupně.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vezměte prosím na vědomí, že vlastnost 2 se zabývala pouze rozdělením pravomocí se stejnými základy.

Rozdíl (4 3 −4 2) nemůžete nahradit 4 1 . To je pochopitelné, pokud spočítáte (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nemovitost č. 3
Umocňování

Při zvýšení mocniny na mocninu zůstává základ mocniny nezměněn a exponenty se násobí.

(a n) m \u003d a n m, kde "a" je libovolné číslo a "m", "n" jsou jakákoli přirozená čísla.

Vezměte prosím na vědomí, že vlastnost č. 4 se stejně jako ostatní vlastnosti stupňů aplikuje také v obráceném pořadí.

(a n b n) = (a b) n

To znamená, že pro násobení stupňů se stejnými exponenty můžete vynásobit základy a ponechat exponent beze změny.

Příklad. Vypočítat.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Příklad. Vypočítat.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Ve složitějších příkladech mohou nastat případy, kdy násobení a dělení musí být provedeno na mocninách s různými bázemi a různými exponenty. V tomto případě vám doporučujeme provést následující.

Například 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Příklad umocňování desetinného zlomku.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = čtyři

Vlastnosti 5
Mocnina kvocientu (zlomky)

Chcete-li zvýšit podíl na mocninu, můžete zvýšit dělitel a dělitel samostatně na tuto mocninu a vydělit první výsledek druhým.

(a: b) n \u003d a n: b n, kde "a", "b" jsou jakákoli racionální čísla, b ≠ 0, n je jakékoli přirozené číslo.

Příklad. Vyjádřete výraz jako dílčí mocniny.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Připomínáme, že kvocient může být reprezentován jako zlomek. Proto se tématu umocnění zlomku budeme věnovat podrobněji na další straně.

Násobení a dělení čísel s mocninami

Pokud potřebujete umocnit určité číslo na mocninu, můžete použít tabulku mocnin přirozených čísel od 2 do 25 v algebře. Nyní se na to podíváme blíže vlastnosti mocností.

Exponenciální čísla otevírají velké možnosti, umožňují nám převádět násobení na sčítání a sčítání je mnohem jednodušší než násobení.

Například potřebujeme vynásobit 16 64. Součin vynásobení těchto dvou čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. Takže 16 krát 64 = 4x4x4x4x4, což je také 1024.

Číslo 16 může být také reprezentováno jako 2x2x2x2 a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a pokud vynásobíme, dostaneme opět 1024.

A nyní použijeme pravidlo zvýšení čísla na mocninu. 16 = 4 2 nebo 2 4 , 64 = 4 3 nebo 2 6 , zatímco 1024 = 6 4 = 4 5 nebo 2 10 .

Náš problém lze tedy zapsat jiným způsobem: 4 2 x 4 3 = 4 5 nebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a pokaždé dostaneme 1024.

Můžeme vyřešit řadu podobných příkladů a uvidíme, že násobení čísel s mocninami se sníží na sčítání exponentů, nebo exponent, samozřejmě za předpokladu, že základy faktorů jsou stejné.

Můžeme tedy bez násobení okamžitě říci, že 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Toto pravidlo platí i při dělení čísel mocninou, ale v tomto případě např exponent dělitele se odečte od exponentu dividendy. Tedy 2 5:2 3 =2 2 , což se v běžných číslech rovná 32:8=4, tedy 2 2 . Pojďme si to shrnout:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kde m a n jsou celá čísla.

Na první pohled by se to mohlo zdát násobení a dělení čísel s mocninami není příliš pohodlné, protože nejprve musíte číslo reprezentovat v exponenciální podobě. Znázornit čísla 8 a 16 v této podobě, tedy 2 3 a 2 4, není těžké, ale jak to udělat s čísly 7 a 17? Nebo co dělat v těch případech, kdy číslo může být reprezentováno v exponenciální formě, ale základy exponenciálních vyjádření čísel jsou velmi odlišné. Například 8×9 je 2 3 x 3 2, v takovém případě nemůžeme sečíst exponenty. Ani 2 5 ani 3 5 není odpověď, ani odpověď mezi těmito dvěma.

Má pak cenu se touto metodou vůbec zabývat? Rozhodně to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody zejména pro složité a časově náročné výpočty.

Doposud jsme předpokládali, že exponent je počet stejných faktorů. V tomto případě je minimální hodnota exponentu 2. Pokud však provedeme operaci dělení čísel, případně odečtení exponentů, můžeme dostat i číslo menší než 2, což znamená, že stará definice nám již nemůže vyhovovat. Více se dočtete v dalším článku.

Sčítání, odčítání, násobení a dělení mocnin

Sčítání a odčítání mocnin

Čísla s mocninami lze samozřejmě sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je jeden po druhém přidáte se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Součet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmeme dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné a různé stupně identické proměnné, musí být přidáno jejich přidáním k jejich znaménkům.

Takže součet a 2 a a 3 je součet a 2 + a 3 .

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a nejsou ani dvojnásobkem druhé mocniny a, ale dvojnásobkem krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítání pravomoci se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaky subtrahendu musí být odpovídajícím způsobem změněny.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 – 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení moci

Čísla s mocninami lze násobit jako jiné veličiny tak, že je napíšeme za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Takže výsledek vynásobení a 3 b 2 je a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním stejných proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou součet stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, kolikrát je mocnina n;

A a m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením exponentů.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí také pro čísla, jejichž exponenty jsou − negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupeň.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y8.

Dělení stupňů

Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělitele nebo jejich umístěním ve tvaru zlomku.

Takže a 3 b 2 děleno b 2 je a 3 .

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac $. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

Nebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní stupně.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2 .
Také $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Snižte exponenty v $\frac $ Odpověď: $\frac $.

2. Zmenšete exponenty v $\frac$. Odpověď: $\frac $ nebo 2x.

3. Zmenšete exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 nebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

Stupeň a jeho vlastnosti. Průměrná úroveň.

Chcete si otestovat své síly a zjistit výsledek, jak jste připraveni na Jednotnou státní zkoušku nebo OGE?

Stupeň se nazývá výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Stupeň s racionálním exponentem

stupně, jehož ukazatelem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

stupeň, jehož exponentem je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupně

Vlastnosti stupňů.

dokonce stupeň, - číslo pozitivní.

Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.

Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.

Nula se rovná jakékoli síle.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

Jaký je stupeň čísla?

Umocňování je stejná matematická operace jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s colou lze napsat jiným způsobem: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou nějakých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Samozřejmě vše můžete dělat pomaleji, tvrději a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, hezčí:

A jaké další záludné počítací triky vymysleli líní matematici? správně - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu.

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že musíte toto číslo zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je. A takové problémy řeší ve své mysli – rychleji, snadněji a bez chyb.

K tomu potřebujete pouze zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se říká druhému stupni náměstíčísla a třetí krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1.

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech metry na metry. Bazén je na vaší zahradě. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale ... bazén bez dna! Dno bazénu je nutné obložit dlažbou. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát oblast dna bazénu.

Jednoduše šťouchnutím prstu spočítáte, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud jsou vaše dlaždice metr po metru, budete potřebovat kusy. Je to snadné... Ale kde jsi viděl takovou dlaždici? Dlaždice bude spíše cm na cm a pak vás bude trápit „počítání prstem“. Pak musíte násobit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobením získáte dlaždice ().

Všimli jste si, že jsme vynásobili stejné číslo, abychom určili plochu dna bazénu? Co to znamená? Protože se stejné číslo násobí, můžeme použít techniku ​​umocňování. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, musíte je ještě vynásobit nebo je umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění mnohem jednodušší a také je ve výpočtech méně chyb U zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhý stupeň bude (). Nebo můžete říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2.

Zde je úkol pro vás, spočítat, kolik polí je na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla. Na jedné straně buněk a na druhé také. Chcete-li spočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi, nebo ... pokud si všimnete, že šachovnice je pole se stranou, můžete odmocnit osm. Získejte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3.

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno o velikosti jeden metr a hloubce metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr na metr vstoupí do vašeho bazén.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jedna, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři... Kolik to vyšlo? Neztratili jste se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám ... Jednodušší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to příliš zjednodušují. Vše zredukováno na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... A co to znamená? To znamená, že můžete použít stupeň. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají v jedné akci: tři v kostce se rovnají. Píše se to takto:

Zůstává pouze zapamatovat si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete dál počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli povaleči a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4.

Máte milion rublů. Na začátku každého roku si za každý milion vyděláte další milion. To znamená, že každý váš milion se na začátku každého roku zdvojnásobí. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a .. hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dvakrát dva ... ve druhém roce - co se stalo, o dva více, ve třetím roce ... Stop! Všimli jste si, že číslo se jednou násobí samo sebou. Takže dvě ku páté mocnině je milion! Teď si představte, že máte soutěž a ten, kdo počítá rychleji, dostane tyto miliony ... Má cenu si připomínat stupně čísel, co myslíte?

Příklad ze života č. 5.

Máte milion. Na začátku každého roku vyděláte za každý milion dva další. Je to skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: tři se násobí samo sebou krát. Čtvrtá mocnina je tedy milion. Jen je třeba si uvědomit, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní už víte, že zvýšením čísla na mocninu si značně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy.

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – jde o číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový základ stupně? Ještě jednodušší je číslo, které je dole, na základně.

Tady máte pro jistotu obrázek.

No, obecně řečeno, abychom zobecnili a lépe si zapamatovali ... Titul se základem "" a indikátorem "" se čte jako "ve stupni" a zapisuje se takto:

"Stupeň čísla s přirozeným ukazatelem"

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta, která se používají při počítání při výpisu položek: jedna, dvě, tři ... Když počítáme položky, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Neříkáme ani „jedna třetina“ nebo „nula bod pět desetin“. To nejsou přirozená čísla. Jaká jsou podle vás tato čísla?

Čísla jako "mínus pět", "mínus šest", "mínus sedm" odkazují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - to je, když není nic. A co znamenají záporná („mínusová“) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte na telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak k nim došlo, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že nemají dostatek přirozených čísel k měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla… Zajímavé, že?

Existují i ​​iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Zkrátka nekonečný desetinný zlomek. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Přirozená čísla se nazývají čísla používaná při počítání, tj.

Celá čísla - všechna přirozená čísla, přirozená čísla s mínusem a číslem 0.

Zlomková čísla jsou považována za racionální.

Iracionální čísla jsou nekonečná desetinná místa

Stupeň s přirozeným ukazatelem

Definujme si pojem stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

1. Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
2. Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
3. Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšit číslo na přirozenou mocninu znamená vynásobit číslo samo o sobě krát:

Lekce na téma: "Pravidla pro násobení a dělení mocnin se stejnými a různými exponenty. Příklady"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy. Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Výukové pomůcky a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro ročník 7
Manuál k učebnici Yu.N. Makarycheva Manuál k učebnici A.G. Mordkovič

Účel lekce: naučit se provádět operace s mocninami čísla.

Pro začátek si připomeňme pojem „moc čísla“. Výraz jako $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ může být reprezentován jako $a^n$.

Platí to i obráceně: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Tato rovnost se nazývá „záznam stupně jako produktu“. Pomůže nám určit, jak moc násobit a dělit.
Zapamatovat si:
A- základ stupně.
n- exponent.
Pokud n=1, což znamená číslo A vzato jednou a v tomto pořadí: $a^n= 1$.
Pokud n=0, pak $a^0= 1$.

Proč se tak děje, můžeme zjistit, když se seznámíme s pravidly pro násobení a dělení mocnin.

pravidla násobení

a) Pokud se mocniny se stejným základem násobí.
Do $a^n * a^m$ zapíšeme mocniny jako součin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m) $.
Obrázek ukazuje, že číslo A vzali n+m krát, pak $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Příklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Tuto vlastnost je vhodné použít ke zjednodušení práce při zvýšení čísla na velkou mocninu.
Příklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Pokud se mocniny násobí jiným základem, ale stejným exponentem.
Do $a^n * b^n$ zapíšeme mocniny jako součin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m) $.
Pokud prohodíme faktory a spočítáme výsledné dvojice, dostaneme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Takže $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Příklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

pravidla rozdělení

a) Základ stupně je stejný, exponenty jsou různé.
Zvažte dělení stupně větším exponentem dělením stupně menším exponentem.

Takže je to nutné $\frac(a^n)(a^m)$, kde n>m.

Stupně zapisujeme jako zlomek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Pro usnadnění zapisujeme dělení jako jednoduchý zlomek.

Nyní zmenšíme zlomek.

Vyjde to: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Prostředek, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Tato vlastnost pomůže vysvětlit situaci s umocněním čísla na nulu. Předpokládejme to n=m, pak $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Příklady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Základy stupně jsou různé, ukazatele jsou stejné.
Řekněme, že potřebujete $\frac(a^n)( b^n)$. Mocniny čísel zapisujeme jako zlomek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Pro pohodlí si to představme.

Pomocí vlastnosti zlomků rozdělíme velký zlomek na součin malých, dostaneme.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Podle toho: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Příklad.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Čísla s mocninami lze samozřejmě sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je jeden po druhém přidáte se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Součet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.

Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmeme dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné a různé stupně identické proměnné, musí být přidáno jejich přidáním k jejich znaménkům.

Takže součet a 2 a a 3 je součet a 2 + a 3 .

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a nejsou ani dvojnásobkem druhé mocniny a, ale dvojnásobkem krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítání pravomoci se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaky subtrahendu musí být odpovídajícím způsobem změněny.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení moci

Čísla s mocninami lze násobit jako jiné veličiny tak, že je napíšeme za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Takže výsledek vynásobení a 3 b 2 je a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním stejných proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou součet stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, kolikrát je mocnina n;

A a m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením exponentů.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou - negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupeň.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y8.

Dělení stupňů

Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělitele nebo jejich umístěním ve tvaru zlomku.

Takže a 3 b 2 děleno b 2 je a 3 .

Nebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Nebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní stupně.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2 .
Také $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Zmenšete exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpověď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmenšete exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpověď: $\frac(2x)(1)$ nebo 2x.

3. Zmenšete exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 nebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

9. Vydělte (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je potřebujete? Proč potřebujete trávit čas jejich studiem?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou, jak využít své znalosti v každodenním životě, přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost titulů vás přiblíží k úspěšnému složení OGE nebo Unified State Examination a vstupu na univerzitu vašich snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte bláboly, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je stejná matematická operace jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s colou lze napsat jiným způsobem: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou nějakých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Samozřejmě vše můžete dělat pomaleji, tvrději a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, hezčí:

A jaké další záludné počítací triky vymysleli líní matematici? správně - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že musíte toto číslo zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je. A takové problémy řeší ve své mysli – rychleji, snadněji a bez chyb.

K tomu potřebujete pouze zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se říká druhému stupni náměstíčísla a třetí krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech metry na metry. Bazén je na vaší zahradě. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale ... bazén bez dna! Dno bazénu je nutné obložit dlažbou. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát oblast dna bazénu.

Jednoduše šťouchnutím prstu spočítáte, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud jsou vaše dlaždice metr po metru, budete potřebovat kusy. Je to snadné... Ale kde jsi viděl takovou dlaždici? Dlaždice bude spíše cm na cm a pak vás bude trápit „počítání prstem“. Pak musíte násobit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobením získáte dlaždice ().

Všimli jste si, že jsme vynásobili stejné číslo, abychom určili plochu dna bazénu? Co to znamená? Protože se stejné číslo násobí, můžeme použít techniku ​​umocňování. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, musíte je ještě vynásobit nebo je umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění mnohem jednodušší a také je ve výpočtech méně chyb U zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhý stupeň bude (). Nebo můžete říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2

Zde je úkol pro vás, spočítat, kolik polí je na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla... Na jedné straně buněk a na druhé také. Chcete-li spočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi, nebo ... pokud si všimnete, že šachovnice je pole se stranou, můžete odmocnit osm. Získejte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno o velikosti jeden metr a hloubce metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr na metr vstoupí do vašeho bazén.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jedna, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři... Kolik to vyšlo? Neztratili jste se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám ... Jednodušší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to příliš zjednodušují. Vše zredukováno na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... A co to znamená? To znamená, že můžete použít stupeň. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají v jedné akci: tři v kostce se rovnají. Píše se to takto:

Zůstává pouze zapamatovat si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete dál počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli povaleči a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4

Máte milion rublů. Na začátku každého roku si za každý milion vyděláte další milion. To znamená, že každý váš milion se na začátku každého roku zdvojnásobí. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a .. hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dvakrát dva ... ve druhém roce - co se stalo, o dva více, ve třetím roce ... Stop! Všimli jste si, že číslo se jednou násobí samo sebou. Takže dvě ku páté mocnině je milion! Teď si představte, že máte soutěž a ten, kdo počítá rychleji, dostane tyto miliony ... Má cenu si připomínat stupně čísel, co myslíte?

Příklad ze života číslo 5

Máte milion. Na začátku každého roku vyděláte za každý milion dva další. Je to skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: tři se násobí samo sebou krát. Čtvrtá mocnina je tedy milion. Jen je třeba si uvědomit, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní už víte, že zvýšením čísla na mocninu si značně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy ... abyste se nepletli

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – jde o číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový základ stupně? Ještě jednodušší je číslo, které je dole, na základně.

Tady máte pro jistotu obrázek.

No, obecně řečeno, abychom zobecnili a lépe si zapamatovali ... Titul se základem "" a indikátorem "" se čte jako "ve stupni" a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta, která se používají při počítání při výpisu položek: jedna, dvě, tři ... Když počítáme položky, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Neříkáme ani „jedna třetina“ nebo „nula bod pět desetin“. To nejsou přirozená čísla. Jaká jsou podle vás tato čísla?

Čísla jako "mínus pět", "mínus šest", "mínus sedm" odkazují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - to je, když není nic. A co znamenají záporná („mínusová“) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte na telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak k nim došlo, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že nemají dostatek přirozených čísel k měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla… Zajímavé, že?

Existují i ​​iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Zkrátka nekonečný desetinný zlomek. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme si pojem stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

1. Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
2. Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
3. Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšit číslo na přirozenou mocninu znamená vynásobit číslo samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupně

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se, co je a ?

Podle definice:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali faktory a výsledkem jsou faktory.

Ale podle definice se jedná o stupeň čísla s exponentem, tedy: , který musel být dokázán.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle nezbytně musí to být stejný důvod!
Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

pouze pro produkty sil!

V žádném případě to nepište.

2. to je -tá mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát?

Ale to není pravda, opravdu.

Titul se záporným základem

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

Ve stupních od přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé.

Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? ALE? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když to vynásobíme, vyjde to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) už není tak jednoduchý!

6 praktických příkladů

Rozbor řešení 6 příkladů

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin! Dostaneme:

Pozorně se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by došlo k jejich záměně, pravidlo by mohlo platit.

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý pojmenováváme přirozená čísla, jejich protiklady (tedy brané se znaménkem "") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy se ptáme sami sebe: proč tomu tak je?

Zvažte nějakou sílu se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme stejné, jako bylo -. Jakým číslem se musí vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Na jednu stranu se musí rovnat libovolnému stupni – ať násobíte nulu jakkoli sama sebou, stejně dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhou stranu, jako každé číslo na nulový stupeň se musí rovnat. Tak co je na tom pravdy? Matematici se rozhodli nezasahovat a odmítli zvýšit nulu na nulovou mocninu. To znamená, že nyní můžeme nejen dělit nulou, ale také zvýšit na nulovou mocninu.

Pojďme dále. Kromě přirozených čísel a čísel zahrnují celá čísla i záporná čísla. Abychom pochopili, co je záporný stupeň, udělejme totéž jako minule: vynásobíme nějaké normální číslo stejným v záporném stupni:

Odtud je již snadné vyjádřit požadované:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo k záporné mocnině je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině. Ale v tu samou dobu základ nemůže být null:(protože to nejde rozdělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není definován v case. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla k kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady pro nezávislé řešení:

Analýza úloh pro samostatné řešení:

Já vím, já vím, čísla jsou děsivá, ale u zkoušky musíte být připraveni na všechno! Vyřešte tyto příklady nebo rozeberte jejich řešení, pokud jste to nedokázali vyřešit a ve zkoušce se naučíte, jak si s nimi snadno poradit!

Pokračujme v rozšiřování okruhu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní zvažte racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co může být reprezentováno jako zlomek, kde a jsou celá čísla, navíc.

Abychom pochopili, co je "zlomkový stupeň" Uvažujme zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si zapamatujte pravidlo "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tého stupně je inverzní operace umocňování: .

Ukázalo se, že. Tento speciální případ lze samozřejmě rozšířit: .

Nyní přidejte čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla power-to-power:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Pamatujte na pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat kořeny sudého stupně ze záporných čísel!

A to znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde ale nastává problém.

Číslo může být reprezentováno jako jiné, redukované zlomky, například, popř.

A ukáže se, že existuje, ale neexistuje, a to jsou jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Jakmile ale zapíšeme indikátor jiným způsobem, opět máme problém: (to znamená, že jsme dostali úplně jiný výsledek!).

Abyste se vyhnuli takovým paradoxům, zvažte pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

• - přirozené číslo;
• je celé číslo;

Příklady:

Mocniny s racionálním exponentem jsou velmi užitečné pro transformaci výrazů s kořeny, například:

5 praktických příkladů

Rozbor 5 příkladů pro školení

No, teď - to nejtěžší. Nyní budeme analyzovat stupně s iracionálním exponentem.

Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako pro stupně s racionálním exponentem, s výjimkou

Ve skutečnosti jsou iracionální čísla podle definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (to znamená, že iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech.

Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát;

...nulový výkon- je to jakoby číslo, které se jednou vynásobilo samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, to znamená, že se samotné číslo ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určité „číslo prázdné“ , jmenovitě číslo;

...záporný exponent celého čísla- jako by proběhl určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo samo násobeno, ale rozděleno.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo.

Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

KAM JSME JISTÍ, ŽE PŮJDETE! (pokud se naučíte řešit takové příklady :))

Například:

Rozhodněte se sami:

Analýza řešení:

1. Začněme již obvyklým pravidlem pro zvyšování titulu na stupeň:

Nyní se podívejte na skóre. Připomíná vám něco? Připomínáme vzorec pro zkrácené násobení rozdílu čtverců:

V tomto případě,

Ukázalo se, že:

Odpovědět: .

2. Zlomky v exponentech přivedeme do stejného tvaru: buď oba desetinné, nebo oba obyčejné. Dostáváme například:

Odpověď: 16

3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definice stupně

Stupeň je vyjádřením tvaru: , kde:

• — základ stupně;
• - exponent.

Stupeň s přirozeným exponentem (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšení čísla na přirozenou mocninu n znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:

Mocnina s celočíselným exponentem (0, ±1, ±2,...)

Pokud je exponent kladné celé čísločíslo:

erekce na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, protože na jedné straně je do jakéhokoli stupně toto a na druhé straně jakékoli číslo do tého stupně je toto.

Pokud je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(protože to nejde rozdělit).

Ještě jednou o nulách: výraz není v případě definován. Pokud, tak.

Příklady:

Stupeň s racionálním exponentem

• - přirozené číslo;
• je celé číslo;

Příklady:

Vlastnosti stupně

Abychom usnadnili řešení problémů, pokusme se pochopit: odkud se tyto vlastnosti vzaly? Pojďme je dokázat.

Podívejme se: co je a?

Podle definice:

Takže na pravé straně tohoto výrazu se získá následující produkt:

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy:

Q.E.D.

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : .

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle nezbytně musí mít stejný základ. Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

Další důležitá poznámka: toto pravidlo - pouze pro produkty mocností!

To bych za žádných okolností neměl psát.

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Přeuspořádejme to takto:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to -tá mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:!

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát? Ale to není pravda, opravdu.

Moc s negativní bází.

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, co by mělo být index stupeň. Co by ale mělo být základem? Ve stupních od přírodní indikátor základ může být jakékoliv číslo .

Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé. Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? ALE? ?

U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Pokud ale vynásobíme (), dostaneme -.

A tak dále ad infinitum: s každým dalším násobením se znaménko změní. Můžete formulovat tato jednoduchá pravidla:

1. dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
2. Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
3. Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
4. Nula k libovolné mocnině se rovná nule.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli jste to? Zde jsou odpovědi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní. Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý. Zde musíte zjistit, co je méně: nebo? Pokud si to pamatujete, je to jasné, což znamená, že základna je menší než nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledek bude záporný.

A opět použijeme definici stupně:

Vše je jako obvykle - zapíšeme definici stupňů a rozdělíme je na sebe, rozdělíme do dvojic a dostaneme:

Před analýzou posledního pravidla vyřešme několik příkladů.

Vypočítejte hodnoty výrazů:

Řešení :

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin!

Dostaneme:

Pozorně se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by byly obráceny, mohlo by být aplikováno pravidlo 3. Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Když to vynásobíte, nic se nezmění, že? Ale teď to vypadá takto:

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit. Ale je důležité si pamatovat: všechna znamení se mění současně! Nelze to nahradit změnou pouze jednoho pro nás nežádoucího mínus!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Takže teď poslední pravidlo:

Jak to chceme dokázat? Samozřejmě, jako obvykle: rozšíříme koncept stupně a zjednodušíme:

No, teď otevřeme závorky. Kolik bude písmen? časy násobiteli - jak to vypadá? To není nic jiného než definice operace násobení: celkem se ukázalo, že existují multiplikátory. To znamená, že je to podle definice mocnina čísla s exponentem:

Příklad:

Stupeň s iracionálním exponentem

Kromě informací o stupních pro průměrnou úroveň budeme analyzovat stupeň s iracionálním ukazatelem. Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou - ostatně iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (tj. , iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech. Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát; číslo do nultého stupně je jakoby číslo, které se jednou násobí samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, což znamená, že se číslo samotné ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určitá „příprava čísla“, jmenovitě číslo; stupeň s celočíselným záporným ukazatelem - jako by nastal určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo vynásobeno samo sebou, ale rozděleno.

Je extrémně obtížné si představit stupeň s iracionálním exponentem (stejně jako je obtížné si představit 4-rozměrný prostor). Jde spíše o čistě matematický objekt, který matematici vytvořili, aby rozšířili pojem stupně na celý prostor čísel.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo. Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

Co tedy uděláme, když vidíme iracionální exponent? Snažíme se, abychom se toho zbavili! :)

Například:

Rozhodněte se sami:

1)

2)

3)

Odpovědi:

1. Pamatujte na rozdíl ve vzorcích čtverců. Odpovědět: .
2. Zlomky přivedeme do stejného tvaru: buď obě desetinná místa, nebo obě obyčejná. Dostáváme například: .
3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

SHRNUTÍ ODDÍLU A ZÁKLADNÍ VZORCE

Stupeň se nazývá výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Stupeň s racionálním exponentem

stupně, jehož ukazatelem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

exponent, jehož exponent je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupně

Vlastnosti stupňů.

• Záporné číslo zvýšeno na dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
• Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
• Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
• Nula se rovná jakékoli síle.
• Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

TEĎ MÁTE SLOVO...

Jak se vám článek líbí? Dejte mi vědět v komentářích níže, jestli se vám to líbilo nebo ne.

Řekněte nám o svých zkušenostech s vlastnostmi napájení.

Možná máte otázky. Nebo návrhy.

Pište do komentářů.

A hodně štěstí u zkoušek!