แทนเจนต์กับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เครื่องคิดเลขออนไลน์

บทความนี้ให้คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์พร้อมสัญกรณ์กราฟิก สมการของเส้นสัมผัสจะถูกพิจารณาด้วยตัวอย่าง สมการของเส้นสัมผัสถึงเส้นโค้งของลำดับที่ 2 จะพบ

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรง y \u003d k x + b เรียกว่ามุม α ซึ่งวัดจากทิศทางบวกของแกน x ถึงเส้นตรง y \u003d k x + b ในทิศทางบวก

ในรูป วัวบอกทิศทางด้วยลูกศรสีเขียวและส่วนโค้งสีเขียว และมุมเอียงด้วยส่วนโค้งสีแดง เส้นสีน้ำเงินหมายถึงเส้นตรง

คำจำกัดความ 2

ความชันของเส้นตรง y \u003d k x + b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข k

ความชันเท่ากับความชันของเส้นตรงหรืออีกนัยหนึ่ง k = t g α .

• ความชันของเส้นตรงเป็น 0 ต่อเมื่อ o x ขนานกัน และความชันเท่ากับศูนย์ เนื่องจากแทนเจนต์ของศูนย์คือ 0 ดังนั้น รูปแบบของสมการจะเป็น y = b
• ถ้ามุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เป็นมุมแหลม แสดงว่าเงื่อนไข 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 และมีกราฟเพิ่มขึ้น
• ถ้า α \u003d π 2 แสดงว่าตำแหน่งของเส้นตั้งฉากกับ x ความเท่าเทียมกันถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน x = c โดยมีค่า c เป็นจำนวนจริง
• ถ้ามุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เป็นมุมป้าน แสดงว่าสอดคล้องกับเงื่อนไข π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

คำจำกัดความ 3

เส้นตัดคือเส้นตรงที่ผ่านจุด 2 จุดของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ซีแคนต์คือเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด

จากรูปแสดงว่า AB เป็นซีแคนต์ และ f (x) เป็นเส้นโค้งสีดำ α คือส่วนโค้งสีแดง ซึ่งระบุมุมเอียงของซีแคนต์

เมื่อความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง เป็นที่แน่ชัดว่าสามารถหาเส้นสัมผัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C เทียบกับขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันได้

คำจำกัดความ 4

เราได้สูตรการหาซีแคนต์ของแบบฟอร์ม:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A โดยที่ abscissas ของจุด A และ B คือค่า x A , x B , และ f (x A) , f (x B) เป็นฟังก์ชันค่าที่จุดเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าความชันของซีแคนต์ถูกกำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A หรือ k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B และสมการต้องเขียนเป็น y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) หรือ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

ซีแคนต์แบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วนด้วยสายตา: ทางด้านซ้ายของจุด A จาก A ถึง B ทางด้านขวาของ B. รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่ามีสามซีแคนต์ที่ถือว่าเหมือนกัน นั่นคือ พวกเขาคือ กำหนดโดยใช้สมการที่คล้ายกัน

ตามคำจำกัดความ เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงและส่วนซีแคนต์ตรงกันในกรณีนี้

ซีแคนต์สามารถตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดได้หลายครั้ง หากมีสมการของรูปแบบ y \u003d 0 สำหรับซีแคนต์ จำนวนจุดตัดกับไซนัสจะไม่มีที่สิ้นสุด

คำจำกัดความ 5

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ; f (x 0) เรียกว่าเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด x 0; ฉ (x 0) โดยมีการมีอยู่ของกลุ่มที่มีค่า x จำนวนมากใกล้กับ x 0 .

ตัวอย่าง 1

มาดูตัวอย่างด้านล่างกันดีกว่า จะเห็นได้ว่าเส้นที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = x + 1 ถือเป็นเส้นสัมผัส y = 2 x ที่จุดที่มีพิกัด (1 ; 2) เพื่อความชัดเจนจำเป็นต้องพิจารณากราฟที่มีค่าใกล้เคียง (1; 2) ฟังก์ชัน y = 2 x เป็นสีดำ เส้นสีน้ำเงินคือแทนเจนต์ จุดสีแดงคือจุดตัด

เห็นได้ชัดว่า y \u003d 2 x รวมกับเส้น y \u003d x + 1

ควรพิจารณาพฤติกรรมของแทนเจนต์ AB เมื่อจุด B เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด เพื่อความชัดเจน เรานำเสนอตัวเลข

ซีแคนต์ AB ซึ่งระบุโดยเส้นสีน้ำเงิน มีแนวโน้มไปยังตำแหน่งของแทนเจนต์เอง และมุมเอียงของซีแคนต์ α จะเริ่มเข้าใกล้มุมเอียงของแทนเจนต์เอง α x

คำจำกัดความ 6

แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด A คือตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์ AB ที่ B พุ่งไปที่ A นั่นคือ B → A

ตอนนี้เราหันไปพิจารณาความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ลองพิจารณาซีแคนต์ AB สำหรับฟังก์ชัน f (x) โดยที่ A และ B มีพิกัด x 0, f (x 0) และ x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) และ ∆ x แสดงเป็นส่วนที่เพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) เพื่อความชัดเจน ขอยกตัวอย่าง

พิจารณาผลลัพธ์ สามเหลี่ยมมุมฉาก A B C. เราใช้คำจำกัดความของแทนเจนต์สำหรับการแก้ปัญหานั่นคือเราได้รับอัตราส่วน ∆ y ∆ x = t g α . จากคำจำกัดความของแทนเจนต์ที่ lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ตามกฎอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เรามีอนุพันธ์ f (x) ที่จุด x 0 เรียกว่าลิมิตของอัตราส่วนการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยที่ ∆ x → 0 แล้ว แสดงเป็น f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

มันตามมาว่า f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x โดยที่ k x ถูกแสดงเป็นความชันของแทนเจนต์

นั่นคือเราได้รับว่า f ' (x) สามารถอยู่ที่จุด x 0 และเช่นเดียวกับแทนเจนต์ของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชันที่จุดสัมผัสเท่ากับ x 0 , f 0 (x 0) ที่ ค่าความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้นเท่ากับอนุพันธ์ที่จุด x 0 . จากนั้นเราจะได้ว่า k x = f "(x 0) .

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือให้แนวคิดของการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟที่จุดเดียวกัน

ในการเขียนสมการของเส้นตรงใดๆ ในระนาบ จำเป็นต้องมีความชันกับจุดที่มันผ่าน การกำหนดจะใช้เป็น x 0 ที่สี่แยก

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด x 0, f 0 (x 0) อยู่ในรูปแบบ y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

หมายความว่าค่าสุดท้ายของอนุพันธ์ f "(x 0) สามารถกำหนดตำแหน่งของแทนเจนต์นั่นคือในแนวตั้งภายใต้เงื่อนไข lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ และ lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ หรือไม่มีเลยภายใต้เงื่อนไข lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x)

ตำแหน่งของแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับค่าของความชัน k x \u003d f "(x 0) เมื่อขนานกับแกน x เราจะได้ k k \u003d 0 เมื่อขนานกับ y - k x \u003d ∞ และ รูปแบบของสมการแทนเจนต์ x \u003d x 0 เพิ่มขึ้นด้วย k x > 0 ลดลงเป็น k x< 0 .

ตัวอย่าง 2

รวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ที่จุดที่มีพิกัด (1; 3) พร้อมคำจำกัดความของมุมของ ความโน้มเอียง

วิธีการแก้

โดยสมมติฐาน เรามีฟังก์ชันถูกกำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด เราได้รับจุดที่มีพิกัดที่ระบุโดยเงื่อนไข (1 ; 3) เป็นจุดติดต่อ จากนั้น x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3

จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ ณ จุดที่มีค่า - 1 . เราได้รับสิ่งนั้น

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

ค่าของ f ’ (x) ที่จุดสัมผัสคือความชันของเส้นสัมผัส ซึ่งเท่ากับแทนเจนต์ของความชัน

จากนั้น k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

ตามด้วย α x = a r c t g 3 3 = π 6

ตอบ:สมการแทนเจนต์อยู่ในรูป

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

เพื่อความชัดเจน เราขอยกตัวอย่างในภาพประกอบกราฟิก

สีดำใช้สำหรับกราฟของฟังก์ชันเดิม สีฟ้าคือภาพแทนเจนต์ จุดสีแดงคือจุดสัมผัส รูปด้านขวาแสดงภาพขยาย

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
y = 3 x - 1 5 + 1 ที่จุดที่มีพิกัด (1 ; 1) . เขียนสมการและกำหนดมุมเอียง

วิธีการแก้

ตามสมมติฐาน เรามีโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

มาต่อกันที่การหาอนุพันธ์

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

ถ้า x 0 = 1 ไม่ได้กำหนด f ' (x) แต่ขีด จำกัด จะถูกเขียนเป็น lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ และ lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ ซึ่งหมายถึงการมีอยู่ของเส้นสัมผัสแนวตั้งที่ จุด (1 ; 1) .

ตอบ:สมการจะอยู่ในรูปแบบ x \u003d 1 โดยที่มุมเอียงจะเท่ากับ π 2

ลองวาดกราฟเพื่อความชัดเจน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดของกราฟฟังก์ชัน y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 โดยที่

1. แทนเจนต์ไม่มีอยู่จริง
2. แทนเจนต์ขนานกับ x;
3. แทนเจนต์ขนานกับเส้น y = 8 5 x + 4 .

วิธีการแก้

จำเป็นต้องใส่ใจกับขอบเขตของคำจำกัดความ โดยสมมติฐาน เรามีฟังก์ชันถูกกำหนดบนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ขยายโมดูลและแก้ปัญหาระบบด้วยช่วงเวลา x ∈ - ∞ ; 2 และ [ - 2 ; +∞) . เราได้รับสิ่งนั้น

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

ฟังก์ชั่นต้องมีความแตกต่าง เรามีสิ่งนั้น

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

เมื่อ x = - 2 อนุพันธ์นั้นไม่มีอยู่จริงเพราะลิมิตด้านเดียวไม่เท่ากัน ณ จุดนั้น:

ลิม x → - 2 - 0 y "(x) = ลิม x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ลิม x → - 2 + 0 y "(x) = ลิม x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x \u003d - 2 ซึ่งเราได้มา

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2 นั่นคือแทนเจนต์ที่ จุด (- 2; - 2) จะไม่มีอยู่
2. แทนเจนต์ขนานกับ x เมื่อความชันเป็นศูนย์ จากนั้น k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0) นั่นคือจำเป็นต้องค้นหาค่าของ x ดังกล่าวเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นศูนย์ นั่นคือค่า ​​ของ f ' (x) และจะเป็นจุดสัมผัสโดยที่เส้นสัมผัสขนานกันประมาณ x .

เมื่อ x ∈ - ∞ ; - 2 จากนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 และสำหรับ x ∈ (- 2 ; + ∞) เราจะได้ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

เราคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

ดังนั้น - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 ถือเป็นจุดที่ต้องการของกราฟของฟังก์ชัน

พิจารณาการนำเสนอแบบกราฟิกของโซลูชัน

เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

1. เมื่อเส้นขนานกัน ความชันจะเท่ากัน จากนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาจุดของกราฟของฟังก์ชัน โดยที่ความชันจะเท่ากับค่า 8 5 . ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการของรูปแบบ y "(x) = 8 5 จากนั้น ถ้า x ∈ - ∞; - 2 เราจะได้ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 และถ้า x ∈ ( - 2 ; + ∞) แล้ว 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5

สมการแรกไม่มีรากเพราะ discriminant มีค่าน้อยกว่าศูนย์ มาเขียนกันเถอะ

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

สมการอื่นมีรากจริงสองตัว แล้ว

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

มาดูการหาค่าของฟังก์ชันกัน เราได้รับสิ่งนั้น

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

คะแนนที่มีค่า - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 คือจุดที่แทนเจนต์ขนานกับเส้น y = 8 5 x + 4 .

ตอบ:เส้นสีดำ - กราฟของฟังก์ชัน, เส้นสีแดง - กราฟ y \u003d 8 5 x + 4, เส้นสีน้ำเงิน - แทนเจนต์ที่จุด - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

การมีอยู่ของแทนเจนต์จำนวนอนันต์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเป็นไปได้

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการของแทนเจนต์ที่มีอยู่ทั้งหมดของฟังก์ชัน y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ซึ่งตั้งฉากกับเส้น y = - 2 x + 1 2

วิธีการแก้

ในการวาดสมการแทนเจนต์ จำเป็นต้องหาค่าสัมประสิทธิ์และพิกัดของจุดสัมผัส โดยพิจารณาจากสภาพความตั้งฉากของเส้น คำจำกัดความมีลักษณะดังนี้: ผลคูณของความลาดชันที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเท่ากับ - 1 นั่นคือเขียนเป็น k x · k ⊥ = - 1 จากเงื่อนไขที่เรามี ความชันตั้งฉากกับเส้นตรงและเท่ากับ k ⊥ = - 2 จากนั้น k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

ตอนนี้เราต้องหาพิกัดของจุดสัมผัส คุณต้องหา x หลังจากนั้นจึงหาค่าของฟังก์ชันที่กำหนด สังเกตว่าจากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ที่จุด
x 0 เราได้รับนั้น k x \u003d y "(x 0) . จากความเท่าเทียมกันนี้เราจะพบค่า x สำหรับจุดสัมผัส

เราได้รับสิ่งนั้น

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ บาป 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

สมการตรีโกณมิตินี้จะใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัส

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c บาป 1 9 + 2 πk หรือ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c บาป 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z คือเซตของจำนวนเต็ม

พบ x จุดติดต่อ ตอนนี้คุณต้องไปที่การค้นหาค่า y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 หรือ y 0 = - 4 5 + 1 3

จากที่นี่เราจะได้ว่า 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c บาป 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 เป็นจุดสัมผัส

ตอบ:สมการที่จำเป็นจะถูกเขียนเป็น

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c บาป 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c บาป 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

สำหรับการแสดงภาพ ให้พิจารณาฟังก์ชันและแทนเจนต์บนเส้นพิกัด

รูปแสดงว่าตำแหน่งของฟังก์ชันอยู่บนช่วง [ - 10 ; 10 ] โดยที่เส้นสีดำเป็นกราฟของฟังก์ชัน เส้นสีน้ำเงินคือแทนเจนต์ที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดของรูปแบบ y = - 2 x + 1 2 . จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

สมการทางบัญญัติของเส้นโค้งลำดับที่ 2 ไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว สมการแทนเจนต์สำหรับพวกมันถูกรวบรวมตามรูปแบบที่รู้จักกันดี

แทนเจนต์เป็นวงกลม

การตั้งวงกลมให้อยู่ตรงกลางจุด x c e n t e r ; y c e n t e r และรัศมี R ใช้สูตร x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนได้เป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ฟังก์ชันแรกอยู่ที่ด้านบนและฟังก์ชันที่สองอยู่ที่ด้านล่าง ดังแสดงในรูป

ในการวาดสมการของวงกลมที่จุด x 0 ; y 0 ซึ่งอยู่ในครึ่งวงกลมบนหรือล่าง คุณควรหาสมการของกราฟฟังก์ชันของรูปแบบ y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r หรือ y \u003d - R 2 - x - x c e n 2 t e y c e n t e r ที่จุดที่กำหนด

เมื่อถึงจุด x c e n t e r ; y c e n t e r + R และ x c e n t e r ; y c e n t e r - R แทนเจนต์ได้จากสมการ y = y c e n t e r + R และ y = y c e n t e r - R และที่จุด x c e n t e r + R ; y c e n t e r และ
x c e n t e r - R ; y c e n t e r จะขนานกันประมาณ y จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ x = x c e n t e r + R และ x = x c e n t e r - R .

แทนเจนต์เป็นวงรี

เมื่อวงรีอยู่กึ่งกลางที่ x c e n t e r ; y c e n t e r กับ semiaxes a และ b จากนั้นให้สมการ x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1

วงรีและวงกลมสามารถแสดงได้โดยการรวมสองฟังก์ชัน ได้แก่ วงรีบนและครึ่งล่าง แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

y = b a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ถ้าแทนเจนต์อยู่ที่จุดยอดของวงรี พวกมันจะขนานกันประมาณ x หรือประมาณ y เพื่อความชัดเจน พิจารณารูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับวงรี x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ที่จุดที่มีค่า x เท่ากับ x = 2 .

วิธีการแก้

จำเป็นต้องหาจุดสัมผัสที่สอดคล้องกับค่า x = 2 เราทำการแทนที่ในสมการที่มีอยู่ของวงรีแล้วได้สิ่งนั้น

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

แล้ว 2 ; 5 3 2 + 5 และ 2 ; - 5 3 2 + 5 คือจุดสัมผัสที่อยู่ในวงรีครึ่งบนและล่าง

ไปที่การหาและแก้ไขสมการของวงรีเทียบกับ y กัน เราได้รับสิ่งนั้น

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

เห็นได้ชัดว่ามีการระบุครึ่งวงรีบนโดยใช้ฟังก์ชันของรูปแบบ y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 และวงรีล่าง y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

เราใช้อัลกอริธึมมาตรฐานเพื่อกำหนดสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เราเขียนสมการของแทนเจนต์แรกที่จุด 2 ; 5 3 2 + 5 จะหน้าตาประมาณนี้

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

เราได้สมการของแทนเจนต์ที่สองกับค่าที่จุด
2; - 5 3 2 + 5 กลายเป็น

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

กราฟแทนเจนต์แสดงดังนี้:

แทนเจนต์เป็นอติพจน์

เมื่อไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด x c e n t e r ; y c e n t e r และจุดยอด x c e n t e r + α ; y c e n t e r และ x c e n t e r - α ; y c e n t e r , ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 จะได้รับหากมีจุดยอด x c e n t e r ; y c e n t e r + b และ x c e n t e r ; y c e n t e r - b ถูกกำหนดโดยอสมการ x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

ไฮเปอร์โบลาสามารถแสดงเป็นสองฟังก์ชันรวมกันของฟอร์ม

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r หรือ y = b a (x - x t c e n) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

ในกรณีแรก เรามีแทนเจนต์ขนานกับ y และในกรณีที่สอง พวกมันขนานกับ x

ตามนั้น ในการหาสมการของแทนเจนต์กับไฮเปอร์โบลา จำเป็นต้องค้นหาว่าจุดสัมผัสนั้นเป็นฟังก์ชันใด ในการพิจารณาสิ่งนี้ จำเป็นต้องทำการแทนที่ในสมการและตรวจสอบเพื่อระบุตัวตน

ตัวอย่าง 7

เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ที่จุด 7 - 3 3 - 3 .

วิธีการแก้

จำเป็นต้องแปลงบันทึกของการแก้ปัญหาในการค้นหาไฮเปอร์โบลาโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน เราได้รับสิ่งนั้น

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 หรือ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

จำเป็นต้องค้นหาว่าจุดที่กำหนดที่มีพิกัด 7 นั้นเป็นของฟังก์ชันใด - 3 3 - 3 .

เห็นได้ชัดว่าในการตรวจสอบฟังก์ชันแรก คุณต้องมี y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 จากนั้นจุดจะไม่ได้อยู่ในกราฟเนื่องจาก ความเท่าเทียมกันไม่เป็นที่พอใจ

สำหรับฟังก์ชันที่สอง เรามี y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นของกราฟที่กำหนด จากตรงนี้ คุณควรหาค่าสัมประสิทธิ์ความชัน

เราได้รับสิ่งนั้น

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

ตอบ:สมการแทนเจนต์สามารถแสดงเป็น

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

มองเห็นได้ดังนี้

แทนเจนต์เป็นพาราโบลา

ในการแต่งสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y \u003d a x 2 + b x + c ที่จุด x 0, y (x 0) คุณต้องใช้อัลกอริทึมมาตรฐาน จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) แทนเจนต์ที่จุดยอดนั้นขนานกับ x

พาราโบลา x = a y 2 + b y + c ควรถูกกำหนดให้เป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน ดังนั้น เราต้องแก้สมการของ y เราได้รับสิ่งนั้น

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

ลองวาดกราฟเป็น:

หากต้องการทราบว่าจุด x 0 , y (x 0) เป็นของฟังก์ชันหรือไม่ ให้ปฏิบัติตามอัลกอริทึมมาตรฐานอย่างนุ่มนวล แทนเจนต์ดังกล่าวจะขนานกับ y เทียบกับพาราโบลา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ x - 2 y 2 - 5 y + 3 เมื่อเรามีความชันแทนเจนต์เท่ากับ 150 °

วิธีการแก้

เราเริ่มวิธีแก้ปัญหาโดยแทนพาราโบลาเป็นสองฟังก์ชัน เราได้รับสิ่งนั้น

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ค่าของความชันเท่ากับค่าอนุพันธ์ที่จุด x 0 ของฟังก์ชันนี้ และเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชัน

เราได้รับ:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t ก. α x \u003d t ก. 150 ° \u003d - 1 3

จากที่นี่ เราจะกำหนดค่าของ x สำหรับจุดสัมผัส

ฟังก์ชันแรกจะเขียนเป็น

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

แน่นอน ไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากเราได้ค่าลบ เราสรุปได้ว่าไม่มีแทนเจนต์ที่มีมุม 150 ° สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว

ฟังก์ชันที่สองจะถูกเขียนเป็น

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

เรามีจุดสัมผัส - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

ตอบ:สมการแทนเจนต์อยู่ในรูป

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

มาวาดกราฟกันดังนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

Y \u003d f (x) และหาก ณ จุดนี้สามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ ความชันของแทนเจนต์คือ f "(a) เราได้ใช้หลายค่านี้แล้ว ครั้ง ตัวอย่างเช่น ใน § 33 ได้มีการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x (sinusoid) ที่จุดกำเนิดสร้างมุม 45 °ด้วยแกน abscissa (ให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือแทนเจนต์ของกราฟที่ จุดกำเนิดทำให้มุม 45 °กับทิศทางบวกของแกน x) และในตัวอย่างที่ 5 ของ § 33 จุดถูกพบตามตารางเวลาที่กำหนด ฟังก์ชั่นโดยที่แทนเจนต์ขนานกับแกน x ในตัวอย่าง 2 § 33 สมการถูกวาดขึ้นสำหรับแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 ที่จุด x \u003d 1 (ให้แม่นยำยิ่งขึ้นที่จุด (1; 1) แต่บ่อยครั้งกว่านั้นเฉพาะ ค่าของ abscissa ถูกระบุ สมมติว่าถ้าทราบค่าของ abscissa แล้ว ค่าของพิกัดสามารถหาได้จากสมการ y = f(x)) ในส่วนนี้ เราจะพัฒนาอัลกอริธึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันใดๆ

ให้ฟังก์ชัน y \u003d f (x) และจุด M (a; f (a)) ถูกกำหนดและเป็นที่ทราบกันดีว่า f "(a) มีอยู่ ให้เราเขียนสมการของแทนเจนต์กับกราฟของ ฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน y มีรูปแบบ y = kx + m ดังนั้นปัญหาคือการหาค่าสัมประสิทธิ์ k และม.

ไม่มีปัญหากับความชัน k: เรารู้ว่า k \u003d f "(a) ในการคำนวณค่าของ m เราใช้ความจริงที่ว่าเส้นที่ต้องการผ่านจุด M (a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: f (a) \u003d ka + m จากตำแหน่งที่เราพบว่า m \u003d f (a) - ka
มันยังคงแทนที่ค่าที่พบของสัมประสิทธิ์วาฬเป็น สมการตรง:

เราได้รับสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด x \u003d a
ถ้าพูดว่า
แทนที่ในสมการ (1) ค่าที่พบ a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 เราได้: y \u003d 1 + 2 (x-f) เช่น y \u003d 2x -1.
เปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับผลลัพธ์ที่ได้ในตัวอย่างที่ 2 ของ § 33 โดยธรรมชาติ สิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้น
ให้เราเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d tg x ที่จุดกำเนิด เรามี: ดังนั้น cos x f "(0) = 1 การแทนที่ค่าที่พบ a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 ในสมการ (1) เราได้: y \u003d x .
นั่นคือเหตุผลที่เราวาดแทนเจนทอยด์ใน § 15 (ดูรูปที่ 62) ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดที่มุม 45 °ถึงแกน abscissa
ในการแก้ตัวอย่างที่ค่อนข้างง่ายเหล่านี้ เราใช้อัลกอริธึมบางอย่าง ซึ่งฝังอยู่ในสูตร (1) มาทำให้อัลกอริทึมนี้ชัดเจน

อัลกอริทึมสำหรับการจัดสมการของฟังก์ชันแทนเจนต์กับกราฟ y \u003d f (x)

1) กำหนด abscissa ของจุดที่ติดต่อกับจดหมาย a.
2) คำนวณ 1 (ก)
3) ค้นหา f "(x) และคำนวณ f" (a)
4) แทนที่ตัวเลขที่พบ a, f(a), (a) ลงในสูตร (1)

ตัวอย่าง 1เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x = 1
ลองใช้อัลกอริทึมโดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้

ในรูป 126 แสดงไฮเปอร์โบลา เส้นตรง y \u003d 2x ถูกสร้างขึ้น
ภาพวาดยืนยันการคำนวณข้างต้น: แน่นอน เส้น y \u003d 2-x สัมผัสกับไฮเปอร์โบลาที่จุด (1; 1)

ตอบ: y \u003d 2-x
ตัวอย่าง 2วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันเพื่อให้ขนานกับเส้นตรง y \u003d 4x - 5
ให้เราปรับสูตรของปัญหา ข้อกำหนดในการ "วาดแทนเจนต์" มักจะหมายถึง "สร้างสมการแทนเจนต์" นี่เป็นเหตุผล เพราะถ้าบุคคลสามารถเขียนสมการแทนเจนต์ได้ เขาไม่น่าจะประสบปัญหาในการสร้างเส้นตรงบนระนาบพิกัดตามสมการของมัน
ลองใช้อัลกอริทึมในการคอมไพล์สมการแทนเจนต์ โดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ มีความกำกวมต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้: ไม่มีการระบุอย่างชัดเจนของ abscissa ของจุดสัมผัส
มาเริ่มพูดกันแบบนี้ แทนเจนต์ที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y \u003d 4x-5 เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสต้องเท่ากับความชันของเส้นตรงที่กำหนด: ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a จากสมการ f "(a) \u003d 4
เรามี:
จากสมการ ดังนั้น มีสองแทนเจนต์ที่ตรงกับเงื่อนไขของปัญหา: หนึ่งที่จุดที่มี abscissa 2 อีกตัวที่จุดที่มี abscissa -2
ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการตามอัลกอริทึม

ตัวอย่างที่ 3จากจุด (0; 1) วาดแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
ลองใช้อัลกอริธึมในการรวบรวมสมการของแทนเจนต์ โดยที่ในตัวอย่างนี้ โปรดสังเกตว่า ในตัวอย่างที่ 2 ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราดำเนินการตามอัลกอริทึม

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์ผ่านจุด (0; 1) แทนสมการ (2) ค่า x = 0, y = 1 เราจะได้:
อย่างที่คุณเห็น ในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริทึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัส แทนค่า a \u003d 4 เป็นสมการ (2) เราได้รับ:

ในรูป 127 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน

ใน § 32 เราสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุดคงที่ x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณจะถือ:

เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผลเพิ่มเติม เราเปลี่ยนสัญกรณ์: แทนที่จะเป็น x เราจะเขียน a แทน เราจะเขียน x แทน และด้วยเหตุนี้ เราจะเขียน x-a แทน จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้ลองดูที่รูป 128. แทนเจนต์ถูกวาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด M (a; f (a)) ทำเครื่องหมายจุด x บนแกน x ใกล้กับ a เป็นที่ชัดเจนว่า f(x) เป็นลำดับของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด x และ f (a) + f "(a) (x-a) คืออะไร นี่คือพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับจุดเดียวกัน x - ดูสูตร (1) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ (3) คืออะไร? คำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน ค่าของพิกัดแทนเจนต์จะถูกนำมา

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 1.02 7
เรากำลังพูดถึงการหาค่าของฟังก์ชัน y \u003d x 7 ที่จุด x \u003d 1.02 เราใช้สูตร (3) โดยคำนึงว่าในตัวอย่างนี้
เป็นผลให้เราได้รับ:

ถ้าเราใช้เครื่องคิดเลข เราจะได้ 1.02 7 = 1.148685667...
อย่างที่คุณเห็น ความแม่นยำในการประมาณค่าค่อนข้างยอมรับได้
ตอบ: 1,02 7 =1,14.

เอจี Mordkovich Algebra Grade 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วีดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์ คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ดาวน์โหลด

เนื้อหาบทเรียน สรุปบทเรียนสนับสนุนการนำเสนอบทเรียนกรอบวิธีการเร่งความเร็วเทคโนโลยีโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด เวิร์คช็อป สอบด้วยตนเอง อบรม เคส เควส การบ้าน อภิปราย คำถาม วาทศิลป์ จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียรูปถ่าย, รูปภาพกราฟิก, ตาราง, อารมณ์ขันแบบแผน, เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย, เรื่องตลก, อุปมาการ์ตูน, คำพูด, ปริศนาอักษรไขว้, คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อชิปบทความสำหรับแผ่นโกงที่อยากรู้อยากเห็น ตำราพื้นฐานและคำศัพท์เพิ่มเติมอื่น ๆ การปรับปรุงตำราและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการปรับปรุงชิ้นส่วนในตำราองค์ประกอบนวัตกรรมในบทเรียนแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี ข้อเสนอแนะเชิงระเบียบวิธีของโปรแกรมสนทนา บทเรียนแบบบูรณาการ

แทนเจนต์เป็นเส้นตรง ซึ่งแตะกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งและทุกจุดอยู่ห่างจากกราฟของฟังก์ชันน้อยที่สุด ดังนั้น แทนเจนต์ส่งผ่านแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่มุมหนึ่ง และแทนเจนต์หลายเส้นไม่สามารถผ่านจุดสัมผัสในมุมต่างๆ ได้ สมการแทนเจนต์และสมการปกติถึงกราฟของฟังก์ชันจะรวบรวมโดยใช้อนุพันธ์

สมการแทนเจนต์ได้มาจากสมการเส้นตรง .

เราได้สมการของแทนเจนต์ และจากนั้น สมการของสมการปกติกับกราฟของฟังก์ชัน

y = kx + ข .

ในตัวเขา k- สัมประสิทธิ์เชิงมุม

จากที่นี่เราได้รับรายการต่อไปนี้:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

มูลค่าอนุพันธ์ ฉ "(x 0 ) ฟังก์ชั่น y = ฉ(x) ณ จุดนั้น x0 เท่ากับความชัน k=tg φ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่ลากผ่านจุด เอ็ม0 (x 0 , y 0 ) , ที่ไหน y0 = ฉ(x 0 ) . นี่คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ .

ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ kบน ฉ "(x 0 ) และรับสิ่งต่อไปนี้ สมการแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชัน :

y - y 0 = ฉ "(x 0 )(x - x 0 ) .

ในงานรวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (และเราจะดำเนินการต่อไปในเร็วๆ นี้) จำเป็นต้องนำสมการที่ได้จากสูตรข้างต้นมาที่ สมการทั่วไปของเส้นตรง. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องย้ายตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ และปล่อยให้ศูนย์อยู่ทางด้านขวา

ทีนี้เกี่ยวกับสมการปกติ ปกติ เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันตั้งฉากกับเส้นสัมผัส สมการปกติ :

(x - x 0 ) + ฉ "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

ในการอุ่นเครื่องตัวอย่างแรก คุณจะต้องแก้ปัญหาด้วยตนเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา มีเหตุผลทุกประการที่จะหวังว่างานนี้จะไม่เป็น "การอาบน้ำเย็น" สำหรับผู้อ่านของเรา

ตัวอย่าง 0เขียนสมการแทนเจนต์และสมการตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็ม (1, 1) .

ตัวอย่าง 1เขียนสมการแทนเจนต์และสมการตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ .

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่ต้องแทนที่ในรายการที่ให้ไว้ในการอ้างอิงทางทฤษฎีเพื่อให้ได้สมการแทนเจนต์ เราได้รับ

ในตัวอย่างนี้ เราโชคดี: ความชันกลายเป็นเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแยกสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการปกติได้ดังนี้

ในภาพด้านล่าง: กราฟของฟังก์ชันในเบอร์กันดี, แทนเจนต์ในสีเขียว, กราฟปกติในสีส้ม

ตัวอย่างต่อไปก็ไม่ซับซ้อนเช่นกัน: ฟังก์ชันเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ยังเป็นพหุนามด้วย แต่สัมประสิทธิ์ความชันจะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะเพิ่มอีกหนึ่งขั้น - นำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป

ตัวอย่าง 2

วิธีการแก้. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

.

ลองหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดสัมผัสกัน นั่นคือ ความชันของแทนเจนต์:

เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับลงใน "สูตรว่าง" และรับสมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป (เรารวบรวมตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์ทางด้านซ้าย และปล่อยให้ศูนย์อยู่ทางด้านขวา):

เราเขียนสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 3ให้เขียนสมการแทนเจนต์และสมการตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

วิธีการแก้. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

.

ลองหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดสัมผัสกัน นั่นคือ ความชันของแทนเจนต์:

.

เราพบสมการของแทนเจนต์:

ก่อนนำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป คุณต้อง "รวม" สักหน่อย: คูณเทอมด้วยเทอมด้วย 4 เราทำสิ่งนี้และนำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป:

เราเขียนสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 4ให้เขียนสมการแทนเจนต์และสมการตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

วิธีการแก้. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

.

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ลองหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดสัมผัสกัน นั่นคือ ความชันของแทนเจนต์:

.

เราได้สมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป:

เราเขียนสมการปกติ:

ข้อผิดพลาดทั่วไปในการเขียนสมการแทนเจนต์และสมการปกติคือไม่ต้องสังเกตว่าฟังก์ชันที่ให้ไว้ในตัวอย่างนั้นซับซ้อนและคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ ตัวอย่างต่อไปนี้อยู่แล้ว ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน(บทเรียนที่เกี่ยวข้องจะเปิดขึ้นในหน้าต่างใหม่)

ตัวอย่างที่ 5ให้เขียนสมการแทนเจนต์และสมการตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า abscissa ของจุดสัมผัสคือ

วิธีการแก้. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

ความสนใจ! ฟังก์ชันนี้ซับซ้อน เนื่องจากอาร์กิวเมนต์ของแทนเจนต์ (2 x) เป็นฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ตัวอย่าง 1รับหน้าที่ ฉ(x) = 3x 2 + 4x– 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่จุดกราฟด้วย abscissa x 0 = 1.

วิธีการแก้.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x . ใดๆ R . มาหากัน:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

แล้ว ฉ(x 0) = ฉ(1) = 2; (x 0) = = 10. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบดังนี้

y = (x 0) (x – x 0) + ฉ(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

ตอบ. y = 10x – 8.

ตัวอย่าง 2รับหน้าที่ ฉ(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ขนานกับเส้นตรง y = 2x – 11.

วิธีการแก้.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x . ใดๆ R . มาหากัน:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

ตั้งแต่แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่จุดที่มี abscissa x 0 ขนานกับเส้นตรง y = 2x– 11 แล้วความชันของมันคือ 2 นั่นคือ ( x 0) = 2. ค้นหา abscissa นี้จากเงื่อนไขที่ 3 x– 6x 0 + 2 = 2 ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้เฉพาะสำหรับ x 0 = 0 และ x 0 = 2 เนื่องจากทั้งสองกรณี ฉ(x 0) = 5 แล้วเส้นตรง y = 2x + ขสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุด (0; 5) หรือที่จุด (2; 5)

ในกรณีแรก ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเป็นจริง 5 = 2×0 + ข, ที่ไหน ข= 5 และในกรณีที่สอง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเป็นจริง 5 = 2 × 2 + ข, ที่ไหน ข = 1.

จึงมีแทนเจนต์สองตัว y = 2x+ 5 และ y = 2x+1 ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ขนานกับเส้นตรง y = 2x – 11.

ตอบ. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

ตัวอย่างที่ 3รับหน้าที่ ฉ(x) = x 2 – 6x+ 7. ลองเขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x) ผ่านจุด อา (2; –5).

วิธีการแก้.เพราะ ฉ(2) –5 แล้วจุด อาไม่ได้อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x). อนุญาต x 0 - abscissa ของจุดสัมผัส

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x . ใดๆ R . มาหากัน:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

แล้ว ฉ(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบดังนี้

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

ตั้งแต่ประเด็น อาเป็นของแทนเจนต์ จากนั้นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขจะเป็นจริง

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

ที่ไหน x 0 = 0 หรือ x 0 = 4 ซึ่งหมายความว่าผ่านจุด อาเป็นไปได้ที่จะวาดสองแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x).

ถ้า x 0 = 0 แล้วสมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y = –6x+ 7. ถ้า x 0 = 4 แล้วสมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y = 2x – 9.

ตอบ. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

ตัวอย่างที่ 4ฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x) = x 2 – 2x+ 2 และ g(x) = –x 2 - 3 ลองเขียนสมการของแทนเจนต์ร่วมลงในกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้กัน

วิธีการแก้.อนุญาต x 1 - abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นที่ต้องการพร้อมกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) แ x 2 - abscissa ของจุดสัมผัสของบรรทัดเดียวกันกับกราฟของฟังก์ชัน g(x).

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) มีอยู่สำหรับ x . ใดๆ R . มาหากัน:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

แล้ว ฉ(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2 สมการแทนเจนต์มีรูปแบบดังนี้

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

วิดีโอกวดวิชา "สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" สาธิตสื่อการเรียนรู้สำหรับการเรียนรู้หัวข้อ ในระหว่างบทเรียนวิดีโอ เนื้อหาทางทฤษฎีที่จำเป็นสำหรับการก่อตัวของแนวคิดของสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดจะถูกนำเสนอ อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาแทนเจนต์ดังกล่าว ตัวอย่างของการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีที่ศึกษา มีการอธิบายวัสดุ

วิดีโอกวดวิชาใช้วิธีการที่ปรับปรุงการมองเห็นของเนื้อหา ภาพวาด ไดอะแกรมถูกแทรกในมุมมอง ให้ความคิดเห็นด้วยเสียงที่สำคัญ แอนิเมชัน การเน้นสี และเครื่องมืออื่นๆ ถูกนำไปใช้

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการนำเสนอหัวข้อของบทเรียนและภาพของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y=f(x) ที่จุด M(a;f(a)) เป็นที่ทราบกันดีว่าความชันของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟ ณ จุดที่กำหนดนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(a) ณ จุดที่กำหนด จากหลักสูตรพีชคณิต สมการของเส้นตรง y=kx+m เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว วิธีแก้ปัญหาของการหาสมการแทนเจนต์ ณ จุดหนึ่งถูกนำเสนอเป็นแผนผัง ซึ่งลดการหาค่าสัมประสิทธิ์ k, m เมื่อทราบพิกัดของจุดที่เป็นของกราฟของฟังก์ชันแล้ว เราสามารถหา m ได้โดยการแทนที่ค่าของพิกัดลงในสมการของแทนเจนต์ f(a)=ka+m จากนั้นเราจะพบ m=f(a)-ka ดังนั้น เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดและพิกัดของจุด เราสามารถแสดงสมการแทนเจนต์ด้วยวิธีนี้ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ต่อไปนี้คือตัวอย่างการวาดสมการแทนเจนต์ตามแบบแผน รับฟังก์ชัน y=x 2 , x=-2 เมื่อยอมรับ a=-2 เราจะพบค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(х)=2х ณ จุดนี้ อนุพันธ์จะเท่ากับ f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4 ในการรวบรวมสมการ จะพบสัมประสิทธิ์ทั้งหมด a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ดังนั้นสมการแทนเจนต์ y=4+(-4)(x+2) ลดความซับซ้อนของสมการ เราได้ y \u003d -4-4x

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เสนอให้กำหนดสมการของแทนเจนต์ที่จุดกำเนิดของกราฟของฟังก์ชัน y=tgx ณ จุดนี้ a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. ดังนั้นสมการแทนเจนต์จึงดูเหมือน y=x

โดยทั่วไป กระบวนการรวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ถูกจัดรูปแบบให้เป็นอัลกอริธึมที่ประกอบด้วย 4 ขั้นตอน:

• มีการแนะนำการกำหนดสำหรับ abscissa ของจุดติดต่อ
• f(a) คำนวณ;
• F΄(х) ถูกกำหนดและคำนวณ f΄(a) ค่าที่พบ a, f(a), f΄(a) จะถูกแทนที่ด้วยสูตรของสมการแทนเจนต์ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการรวบรวมสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d 1 / x ที่จุด x \u003d 1 เราใช้อัลกอริทึมในการแก้ปัญหา สำหรับฟังก์ชันนี้ที่จุด a=1 ค่าของฟังก์ชัน f(a)=-1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(х)=1/х 2 ณ จุด a=1 อนุพันธ์ f΄(a)= f΄(1)=1 โดยใช้ข้อมูลที่ได้รับ สมการของแทนเจนต์ y \u003d -1 + (x-1) หรือ y \u003d x-2 ถูกรวบรวม

ในตัวอย่างที่ 2 คุณต้องหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 เงื่อนไขหลักคือความขนานของแทนเจนต์และเส้นตรง y \u003d -2x + 1 อันดับแรก เราพบความชันของเส้นสัมผัส เท่ากับความชันของเส้นตรง y \u003d -2x + 1 เนื่องจาก f΄(a)=-2 สำหรับเส้นตรงนี้ จากนั้น k=-2 สำหรับแทนเจนต์ที่ต้องการ เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2 เมื่อรู้ว่า f΄(a)=-2 เราจะหาพิกัดของจุด 3а 2 +6а-2=-2 การแก้สมการเราได้ 1 \u003d 0, และ 2 \u003d -2 เมื่อใช้พิกัดที่พบ คุณสามารถค้นหาสมการแทนเจนต์โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี เราพบค่าของฟังก์ชันที่จุด f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 ค่าของอนุพันธ์ ณ จุด f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 แทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์เราได้รับสำหรับจุดแรก a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2 และสำหรับจุดที่สอง a 2 \u003d -2 สมการแทนเจนต์ y \u003d -2x- 22.

ตัวอย่างที่ 3 อธิบายการกำหนดสมการแทนเจนต์สำหรับการวาดที่จุด (0;3) ไปยังกราฟของฟังก์ชัน y=√x การตัดสินใจทำตามอัลกอริธึมที่รู้จัก จุดสัมผัสมีพิกัด x=a โดยที่ a>0 ค่าของฟังก์ชันที่จุด f(a)=√x อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(х)=1/2√х ดังนั้น ณ จุดที่กำหนด f΄(а)=1/2√а แทนที่ค่าที่ได้รับทั้งหมดลงในสมการแทนเจนต์เราได้ y \u003d √a + (x-a) / 2√a การแปลงสมการ เราได้ y=x/2√a+√a/2 เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด (0; 3) เราจะหาค่าของ a ค้นหาจาก 3=√a/2. ดังนั้น √a=6, a=36 เราพบสมการแทนเจนต์ y \u003d x / 12 + 3 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาและแทนเจนต์ที่ต้องการที่สร้างขึ้น

นักเรียนจะได้รับการเตือนถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Δy=≈f΄(x)Δxและ f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx เมื่อ x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, เราจะได้ f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a) ดังนั้น f(x)≈f(a)+ f΄( ก)(x-a).

ในตัวอย่างที่ 4 จำเป็นต้องค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ 2.003 6 เนื่องจากจำเป็นต้องหาค่าของฟังก์ชัน f (x) \u003d x 6 ที่จุด x \u003d 2.003 เราจึงสามารถใช้สูตรที่รู้จักกันดีได้ โดย f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . อนุพันธ์ที่จุด f΄(2)=192 ดังนั้น 2.003 6 ≈65-192 0.003 หลังจากคำนวณนิพจน์แล้ว เราจะได้ 2.003 6 ≈64.576

บทเรียนวิดีโอ "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" แนะนำให้ใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมที่โรงเรียน สำหรับครูผู้สอนทางไกล เนื้อหาวิดีโอจะช่วยอธิบายหัวข้อได้ชัดเจนยิ่งขึ้น นักเรียนสามารถแนะนำวิดีโอเพื่อพิจารณาตนเองได้หากจำเป็นเพื่อให้เข้าใจวิชานั้นลึกซึ้งขึ้น

การตีความข้อความ:

เรารู้ว่าถ้าจุด M (a; f (a)) (em ที่มีพิกัด a และ eff จาก a) เป็นของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และหาก ณ จุดนี้ แทนเจนต์สามารถวาดได้ กราฟของฟังก์ชันไม่ตั้งฉากกับแกน abscissa จากนั้นความชันของแทนเจนต์คือ f "(a) (ef จังหวะจาก a)

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M (a; f(a)) และเป็นที่ทราบกันดีว่า f´(a) มีอยู่จริง มาเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนดกัน สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน y มีรูปแบบ y = kx + m (y เท่ากับ ka x บวก em) ดังนั้นงานคือการหาค่าสัมประสิทธิ์ k และ m. (กาและเอ็ม)

ความชัน k \u003d f "(a) ในการคำนวณค่า m เราใช้ความจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M (a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดของ จุด M ในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง : f(a) = ka+m ดังนั้นเราจะพบว่า m = f(a) - ka

มันยังคงแทนที่ค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ ki และ m ลงในสมการของเส้นตรง:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= ฉ(เอ)+ ฉ"(เอ) (x- เอ). ( Y เท่ากับ eff จาก a plus ef stroke จากการคูณด้วย x ลบ a)

เราได้สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x=a

ถ้าพูดว่า y \u003d x 2 และ x \u003d -2 (เช่น a \u003d -2) แล้ว f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x ดังนั้น f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4 (จากนั้น eff จาก a เท่ากับสี่ eff prime จาก x คือ เท่ากับ 2 x ซึ่งหมายถึง ef stroke จาก a เท่ากับลบสี่)

แทนค่าที่พบในสมการ a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4 เราได้รับ: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , เช่น y \u003d -4x -four

(y เท่ากับลบสี่ x ลบสี่)

มาเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d tgx (y เท่ากับ tangent x) ที่จุดกำเนิด เรามี: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= ดังนั้น f"(0) = ล. แทนค่าที่พบ a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ลงในสมการ เราจะได้: y=x

เราสรุปขั้นตอนในการค้นหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุด x โดยใช้อัลกอริทึม

อัลกอริทึมสำหรับการจัดสมการของฟังก์ชันแทนเจนต์กับกราฟ y \u003d f (x):

1) กำหนด abscissa ของจุดที่ติดต่อกับจดหมาย a.

2) คำนวณ f(a)

3) ค้นหา f´(x) และคำนวณ f´(a)

4) แทนที่ตัวเลขที่พบ a, f(a), f´(a) ลงในสูตร y= ฉ(เอ)+ ฉ"(เอ) (x- เอ).

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y \u003d - in

จุด x = 1

วิธีการแก้. ลองใช้อัลกอริทึมโดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) แทนที่ตัวเลขสามตัวที่พบ: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1 ลงในสูตร เราได้รับ: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2

คำตอบ: y = x-2

ตัวอย่างที่ 2 รับฟังก์ชัน y = x 3 +3x 2 -2x-2. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ขนานกับเส้นตรง y \u003d -2x +1

การใช้อัลกอริธึมในการคอมไพล์สมการแทนเจนต์ เราพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2แต่ไม่ได้ระบุ abscissa ของจุดสัมผัสที่นี่

มาเริ่มคุยกันแบบนี้ แทนเจนต์ที่ต้องการต้องขนานกับเส้นตรง y \u003d -2x + 1 และเส้นขนานมีความชันเท่ากัน ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสจึงเท่ากับความชันของเส้นตรงที่กำหนด: k cas = -2. ฮอกคัส. = f "(a) ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a จากสมการ f ´ (a) \u003d -2

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน y=ฉ(x):

ฉ"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;ฉ"(ก) \u003d 3a 2 + 6a-2.

จากสมการ f "(a) \u003d -2, i.e. 3а 2 +6а-2\u003d -2 เราพบ 1 \u003d 0, a 2 \u003d -2 ซึ่งหมายความว่ามีสองแทนเจนต์ที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: หนึ่งที่จุดด้วย abscissa 0 อีกอันที่จุดที่มี abscissa -2

ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการตามอัลกอริทึม

1) 1 \u003d 0, และ 2 \u003d -2

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; ฉ(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2

4) แทนค่า a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 ในสูตรเราได้รับ:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

แทนที่ค่า a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 ลงในสูตรเราได้รับ:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

คำตอบ: y=-2x-2, y=-2x+2.

ตัวอย่างที่ 3 จากจุด (0; 3) วาดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชัน y \u003d วิธีการแก้. ลองใช้อัลกอริธึมในการคอมไพล์สมการแทนเจนต์ โดยในตัวอย่างนี้ f(x) = โปรดทราบว่าในที่นี้ เช่นเดียวกับในตัวอย่างที่ 2 ไม่มีการระบุอย่างชัดเจนของ abscissa ของจุดสัมผัส อย่างไรก็ตาม เราดำเนินการตามอัลกอริทึม

1) ให้ x = a เป็น abscissa ของจุดติดต่อ เป็นที่ชัดเจนว่า a > 0

3) f´(x)=()´=; ฉ'(ก) =.

4) แทนค่า a, f(a) = , f "(a) = ลงในสูตร

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), เราได้รับ:

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์ผ่านจุด (0; 3) แทนค่า x = 0, y = 3 ลงในสมการ เราได้: 3 = และจากนั้น =6, a =36

อย่างที่คุณเห็น ในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริทึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัส แทนค่า a =36 ลงในสมการ จะได้ y=+3

ในรูป รูปที่ 1 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน y \u003d ถูกพล็อต, เส้นตรง y \u003d +3 ถูกวาด

คำตอบ: y = +3

เรารู้ว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์อยู่ที่จุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณนั้นใช้ได้: Δyf´(x)Δx

หรือในรายละเอียดเพิ่มเติม f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef จาก x บวก delta x ลบ ef จาก x นั้นประมาณเท่ากับ ef prime จาก x ถึง delta x)

เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผลเพิ่มเติม เราเปลี่ยนสัญกรณ์:

แทน x เราจะเขียน เอ,

แทน x + Δx เราจะเขียน x

แทนที่จะเป็น Δx เราจะเขียน x-a

จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

f(x)-f(อันหนึ่ง)f´(อันหนึ่ง)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef จาก x ประมาณเท่ากับ eff จากบวก ef stroke จาก a คูณด้วยผลต่างระหว่าง x กับ a)

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 2.003 6

วิธีการแก้. เรากำลังพูดถึงการหาค่าของฟังก์ชัน y \u003d x 6 ที่จุด x \u003d 2.003 ลองใช้สูตร f(x)f(a)+f´(a)(x-a) โดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x \u003d 2.003, f "(x) \u003d 6x 5 และดังนั้น f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192

เป็นผลให้เราได้รับ:

2.003 6 64+192 0.003 เช่น 2.003 6 = 64.576

หากเราใช้เครื่องคิดเลข เราจะได้:

2,003 6 = 64,5781643...

อย่างที่คุณเห็น ความแม่นยำในการประมาณค่าค่อนข้างยอมรับได้