บรรยาย: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมใดๆ

ไซน์ โคไซน์ของมุมใดๆ

เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติคืออะไร ให้เปลี่ยนเป็นวงกลมที่มีรัศมีหน่วย วงกลมนี้มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดบนระนาบพิกัด ในการกำหนดฟังก์ชันที่กำหนด เราจะใช้รัศมีเวกเตอร์ หรือซึ่งเริ่มต้นที่จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุด Rเป็นจุดบนวงกลม เวกเตอร์รัศมีนี้สร้างมุมอัลฟากับแกน โอ้. เนื่องจากวงกลมมีรัศมีเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น หรือ = R = 1.

ถ้าจากจุด Rวางตั้งฉากบนแกน โอ้แล้วเราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับหนึ่ง

ถ้าเวกเตอร์รัศมีเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา ทิศทางนี้เรียกว่า เชิงลบแต่ถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา - เชิงบวก.

ค่าไซน์ของมุม หรือ, เป็นพิกัดของจุด Rเวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าไซน์ของมุมอัลฟาที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดพิกัด ที่บนพื้นผิว

ค่านี้ได้รับมาอย่างไร? เนื่องจากเรารู้ว่าไซน์ของมุมใดๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจึงได้ค่านั้น

และตั้งแต่ R=1, แล้ว บาป (α) = y 0 .

ในวงกลมหน่วย ค่าพิกัดต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

ไซน์เป็นบวกในควอเตอร์แรกและไตรมาสที่สองของวงกลมหนึ่งหน่วย และเป็นลบในควอเตอร์ที่สามและสี่

โคไซน์ของมุมวงกลมที่กำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี หรือ, เป็น abscissa ของจุด Rเวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าโคไซน์ของมุมอัลฟาที่กำหนด จำเป็นต้องกำหนดพิกัด Xบนพื้นผิว

โคไซน์ของมุมใดๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก เราได้ค่านั้น

และตั้งแต่ R=1, แล้ว cos(α) = x 0 .

ในวงกลมหน่วย ค่าของ abscissa ต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

โคไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่หนึ่งและสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วย และเป็นลบในจตุภาคที่สองและสาม

แทนเจนต์มุมโดยพลการคำนวณอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์

หากเราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน ถ้าเรากำลังพูดถึงวงกลมหนึ่งหน่วย นี่คืออัตราส่วนของพิกัดต่อ abscissa

เมื่อพิจารณาจากความสัมพันธ์เหล่านี้ เราสามารถเข้าใจได้ว่าแทนเจนต์ไม่สามารถมีอยู่ได้หากค่าของ abscissa เป็นศูนย์ นั่นคือ ที่มุม 90 องศา แทนเจนต์สามารถรับค่าอื่นทั้งหมดได้

แทนเจนต์เป็นบวกในควอเตอร์แรกและไตรมาสที่สามของวงกลมหน่วย และเป็นลบในควอเตอร์ที่สองและสี่

คำแนะนำ

หากคุณต้องการหาโคไซน์ มุมในรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทโคไซน์:
ถ้ามุมแหลม: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ถ้ามุม : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab) โดยที่ a, b คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุม c คือความยาวของด้านตรงข้ามมุม

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับโคไซน์คือ cos
ค่าโคไซน์ต้องไม่มากกว่า 1 และน้อยกว่า -1

ที่มา:

• วิธีการคำนวณโคไซน์ของมุม
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมหน่วย

โคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของมุม ความสามารถในการกำหนดโคไซน์มีประโยชน์ในพีชคณิตเวกเตอร์เมื่อพิจารณาการคาดการณ์ของเวกเตอร์บนแกนต่างๆ

คำแนะนำ

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

มีรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b, c เท่ากับ 3, 4, 5 มม. ตามลำดับ

หา โคไซน์มุมที่ล้อมรอบระหว่างด้านขนาดใหญ่

ให้เราแสดงมุมตรงข้ามกับด้าน a ทะลุ? จากนั้นตามสูตรข้างต้น เราได้:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

คำตอบ: 0.8.

ถ้าสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้หา โคไซน์และพอจะทราบความยาวของสองด้านใดๆ ของมุม ( โคไซน์มุมฉากคือ 0)

ปล่อยให้มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน a, b, c โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

พิจารณาตัวเลือกทั้งหมด:

หา cos? ถ้าทราบความยาวของด้าน a และ b (ของสามเหลี่ยม)

ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพิ่มเติม:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

เพื่อความถูกต้องของสูตรผลลัพธ์ เราแทนที่จากตัวอย่างที่ 1 เช่น

เมื่อทำการคำนวณเบื้องต้นแล้วเราได้รับ:

ในทำนองเดียวกันมี โคไซน์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมในกรณีอื่นๆ:

รู้จัก a และ c (ด้านตรงข้ามมุมฉากและขาตรงข้าม) หา cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

แทนค่า a=3 และ c=5 จากตัวอย่าง เราได้รับ:

b และ c เป็นที่รู้จัก (ด้านตรงข้ามมุมฉากและขาที่อยู่ติดกัน)

หา sos?

หลังจากทำการแปลงที่คล้ายกันแล้ว (แสดงในตัวอย่างที่ 2 และ 3) เราได้รับสิ่งนั้นในกรณีนี้ โคไซน์ใน สามเหลี่ยมคำนวณโดยใช้สูตรที่ง่ายมาก:

ความเรียบง่ายของสูตรที่ได้รับอธิบายไว้เบื้องต้น: อันที่จริงอยู่ติดกับมุม? ขาเป็นเส้นโครงของด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคูณด้วย cos?

แทนค่า b=4 และ c=5 จากตัวอย่างแรก เราได้รับ:

ดังนั้นทุกสูตรของเราจึงถูกต้อง

เคล็ดลับ 5: วิธีหามุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดยตรง คาร์บอนิกสามเหลี่ยมน่าจะเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดจากมุมมองทางประวัติศาสตร์ "กางเกง" พีทาโกรัสสามารถแข่งขันกับ "ยูเรก้า!" เท่านั้น อาร์คิมิดีส

คุณจะต้องการ

• - การวาดภาพสามเหลี่ยม
• - ไม้บรรทัด;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมมุมหนึ่ง (ขวา) จะเป็น 90 องศาเสมอ และมุมที่เหลือจะเป็นมุมแหลม กล่าวคือ อย่างละไม่เกิน 90 องศา เพื่อกำหนดมุมในสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมเป็นเส้นตรง วัดด้านข้างของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัด แล้วหาขนาดที่ใหญ่ที่สุด มันคือด้านตรงข้ามมุมฉาก (AB) และอยู่ตรงข้ามมุมฉาก (C) อีกสองด้านที่เหลือเป็นมุมฉากและขา (AC, BC)

เมื่อคุณกำหนดมุมแหลมได้แล้ว คุณสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ในการคำนวณมุม หรือคำนวณโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ก็ได้

ในการกำหนดค่ามุมโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ ให้จัดตำแหน่งด้านบน (แสดงด้วยตัวอักษร A) ด้วยเครื่องหมายพิเศษบนไม้บรรทัดที่อยู่ตรงกลางของไม้โปรแทรกเตอร์ ขา AC จะต้องตรงกับขอบด้านบน ทำเครื่องหมายบนส่วนครึ่งวงกลมของไม้โปรแทรกเตอร์ที่จุดที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ค่า ณ จุดนี้สอดคล้องกับค่ามุมในหน่วยองศา หากมีการระบุค่า 2 ค่าบนไม้โปรแทรกเตอร์ดังนั้นสำหรับมุมแหลมคุณต้องเลือกค่าที่เล็กกว่าสำหรับค่าทื่อ - ค่าที่ใหญ่กว่า

ค้นหาค่าผลลัพธ์ในการอ้างอิง Bradis และกำหนดมุมที่สอดคล้องกับค่าตัวเลขผลลัพธ์ คุณยายของเราใช้วิธีนี้

ในของเราก็เพียงพอที่จะใช้กับฟังก์ชันการคำนวณสูตรตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น เครื่องคิดเลข Windows ในตัว เปิดแอปพลิเคชัน "เครื่องคิดเลข" ในรายการเมนู "มุมมอง" เลือกรายการ "วิศวกรรม" คำนวณไซน์ของมุมที่ต้องการ เช่น sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

เปลี่ยนเครื่องคิดเลขเป็นโหมดฟังก์ชันผกผันโดยคลิกที่ปุ่ม INV บนหน้าจอเครื่องคิดเลข จากนั้นคลิกที่ปุ่มฟังก์ชัน arcsine (มีป้ายกำกับว่าบาปเป็นกำลังลบหนึ่งบนจอแสดงผล) คำจารึกต่อไปนี้จะปรากฏในหน้าต่างการคำนวณ: asind (0.5) = 30 นั่นคือ มุมที่ต้องการคือ 30 องศา

ที่มา:

• ตาราง Bradis (ไซน์, โคไซน์)

ทฤษฎีบทโคไซน์ในวิชาคณิตศาสตร์มักใช้เมื่อจำเป็นต้องหาด้านที่สามด้วยมุมและด้านสองด้าน อย่างไรก็ตาม บางครั้งเงื่อนไขของปัญหาก็ถูกตั้งค่าเป็นอย่างอื่น: จำเป็นต้องหามุมสำหรับทั้งสามด้านที่กำหนด

คำแนะนำ

ลองนึกภาพว่าคุณจะได้รูปสามเหลี่ยมที่ทราบความยาวของสองด้านและค่าของมุมหนึ่งมุม มุมทุกมุมของสามเหลี่ยมนี้ไม่เท่ากัน และด้านของมันมีขนาดต่างกันด้วย มุม γ อยู่ตรงข้ามกับด้านข้างของสามเหลี่ยม ซึ่งถูกกำหนดเป็น AB ซึ่งเป็นรูปนี้ ผ่านมุมนี้ เช่นเดียวกับผ่านด้านที่เหลือ AC และ BC คุณจะพบด้านนั้นของสามเหลี่ยม ซึ่งไม่เป็นที่รู้จัก โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ ได้สูตรด้านล่างโดยพิจารณาจากพื้นฐาน:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ โดยที่ a=BC, b=AB, c=AC
ทฤษฎีบทโคไซน์เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสทั่วไป

ทีนี้ลองนึกภาพว่ามีทั้งสามด้านของร่าง แต่ไม่ทราบมุม γ เมื่อรู้ว่ารูปแบบ a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ ให้แปลงนิพจน์นี้เพื่อให้ค่าที่ต้องการเป็นมุม γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2
จากนั้นนำสมการข้างต้นไปอยู่ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ
จากนั้นนิพจน์นี้ควรเปลี่ยนเป็นค่าต่อไปนี้: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc
ยังคงใช้แทนตัวเลขในสูตรและทำการคำนวณ

ในการหาโคไซน์ที่แสดงเป็น γ มันจะต้องแสดงผ่านตรีโกณมิติผกผันที่เรียกว่าโคไซน์ผกผัน อาร์คโคไซน์ของจำนวน m คือค่าของมุม γ ซึ่งโคไซน์ของมุม γ เท่ากับ m ฟังก์ชัน y=arccos m กำลังลดลง ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าโคไซน์ของมุม γ เป็นครึ่งหนึ่ง จากนั้นสามารถกำหนดมุม γ ในรูปของโคไซน์อาร์คได้ดังนี้:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60° โดยที่ m = 1/2
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหามุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านที่ไม่ทราบอีกสองด้าน

ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันที่เรียกว่า "เส้นตรง" พวกเขาเป็นผู้ที่ต้องคำนวณบ่อยกว่าคนอื่น ๆ และวันนี้เราแต่ละคนมีตัวเลือกมากมายในการแก้ปัญหานี้ ด้านล่างนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด

คำแนะนำ

ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ ดินสอ และกระดาษ หากไม่มีวิธีการคำนวณอื่นๆ หนึ่งในคำจำกัดความของโคไซน์ถูกกำหนดโดยมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - มันเท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวของขาตรงข้ามมุมนี้กับความยาว วาดรูปสามเหลี่ยมโดยให้มุมหนึ่งอยู่ทางขวา (90°) และอีกมุมหนึ่งคือมุมที่คุณต้องการคำนวณ ความยาวของด้านไม่สำคัญ - วาดในลักษณะที่สะดวกกว่าสำหรับคุณในการวัด วัดความยาวของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่ต้องการแล้วหารส่วนแรกด้วยส่วนที่สองด้วยวิธีที่สะดวก

ใช้ประโยชน์จากความสามารถในการประเมินค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้เครื่องคิดเลขที่มีอยู่ในเครื่องมือค้นหา Nigma หากคุณมีอินเทอร์เน็ต ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการคำนวณโคไซน์ของมุม 20 ° จากนั้นโหลดหน้าหลักของบริการ http://nigma.ru พิมพ์ในช่องค้นหา "โคไซน์ 20" แล้วคลิก "ค้นหา! " ปุ่ม. คุณสามารถละเว้น "ดีกรี" และแทนที่คำว่า "โคไซน์" ด้วย cos - ไม่ว่าในกรณีใด เสิร์ชเอ็นจิ้นจะแสดงผลลัพธ์ด้วยความแม่นยำสูงสุด 15 ตำแหน่งทศนิยม (0.939692620785908)

เปิดโปรแกรมมาตรฐาน - ติดตั้งด้วยระบบปฏิบัติการ Windows หากไม่มีการเข้าถึงอินเทอร์เน็ต ซึ่งสามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น โดยการกดปุ่ม win และ r พร้อมกัน จากนั้นป้อนคำสั่ง calc แล้วคลิกปุ่ม OK ในการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่คืออินเทอร์เฟซที่เรียกว่า "วิศวกรรม" หรือ "วิทยาศาสตร์" (ขึ้นอยู่กับเวอร์ชันของระบบปฏิบัติการ) - เลือกรายการที่ต้องการในส่วน "มุมมอง" ของเมนูเครื่องคิดเลข หลังจากนั้น ให้ป้อนค่ามุมและคลิกที่ปุ่ม cos ในอินเทอร์เฟซของโปรแกรม

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เคล็ดลับ 8: วิธีกำหนดมุมในสามเหลี่ยมมุมฉาก

สี่เหลี่ยมมีลักษณะเฉพาะด้วยอัตราส่วนบางอย่างระหว่างมุมและด้านข้าง เมื่อทราบค่าของบางอย่างคุณสามารถคำนวณค่าอื่นได้ ด้วยเหตุนี้จึงใช้สูตรตามสัจพจน์และทฤษฎีบทของเรขาคณิต

ไซน์เป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน การประยุกต์ใช้ซึ่งไม่จำกัดเฉพาะเรขาคณิตเท่านั้น ตารางสำหรับคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น เครื่องคำนวณทางวิศวกรรม ไม่ได้อยู่ใกล้แค่เอื้อม และบางครั้งการคำนวณไซน์ก็จำเป็นในการแก้ปัญหาต่างๆ โดยทั่วไป การคำนวณไซน์จะช่วยรวมทักษะการวาดและความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

เกมส์ไม้บรรทัดและดินสอ

งานง่าย ๆ : วิธีการหาไซน์ของมุมที่วาดบนกระดาษ? ในการแก้ปัญหา คุณต้องใช้ไม้บรรทัดธรรมดา สามเหลี่ยม (หรือเข็มทิศ) และดินสอ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณไซน์ของมุมคือการหารขาไกลของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากด้วยด้านยาว - ด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น ขั้นแรก คุณต้องทำให้มุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสมบูรณ์ด้วยการวาดเส้นตั้งฉากกับรังสีใด ๆ ที่ระยะห่างจากจุดยอดของมุมตามอำเภอใจ จำเป็นต้องสังเกตมุม 90 องศาพอดีซึ่งเราต้องการสามเหลี่ยมเสมียน

การใช้เข็มทิศนั้นแม่นยำกว่าเล็กน้อย แต่จะใช้เวลานานกว่านั้น ในรังสีหนึ่ง คุณต้องทำเครื่องหมาย 2 จุดที่ระยะหนึ่ง กำหนดรัศมีบนเข็มทิศเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดโดยประมาณโดยประมาณ และวาดครึ่งวงกลมด้วยจุดศูนย์กลางที่จุดเหล่านี้จนกว่าเส้นเหล่านี้จะตัดกัน โดยการเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลมของเราเข้าด้วยกัน เราจะได้เส้นตั้งฉากที่เข้มงวดกับรังสีของมุมของเรา มันจะเหลือเพียงการขยายเส้นจนกว่าจะตัดกับรังสีอื่น

ในรูปสามเหลี่ยมผลลัพธ์ คุณต้องวัดด้านตรงข้ามมุมและด้านยาวของรังสีหนึ่งด้วยไม้บรรทัด อัตราส่วนของการวัดครั้งแรกกับครั้งที่สองจะเป็นค่าที่ต้องการของไซน์ของมุมแหลม

ค้นหาไซน์สำหรับมุมที่มากกว่า 90°

สำหรับมุมป้าน งานนี้ไม่ได้ยากไปกว่านี้มาก จำเป็นต้องวาดรังสีจากจุดยอดในทิศทางตรงกันข้ามโดยใช้ไม้บรรทัดเพื่อสร้างเส้นตรงที่มีรังสีหนึ่งของมุมที่เราสนใจ ด้วยมุมแหลมที่เกิดขึ้นคุณควรดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้นไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันซึ่งประกอบเป็นมุมที่พัฒนาแล้วที่ 180 °จะเท่ากัน

การคำนวณไซน์จากฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากนี้ การคำนวณไซน์ยังเป็นไปได้หากทราบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ของมุมหรืออย่างน้อยก็ทราบความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม อัตลักษณ์ตรีโกณมิติจะช่วยเราในเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างทั่วไป

จะหาไซน์กับโคไซน์ของมุมได้อย่างไร? เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแรกที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันมีค่าเท่ากับหนึ่ง

จะหาไซน์กับแทนเจนต์ของมุมได้อย่างไร? แทนเจนต์ได้มาจากการหารขาไกลด้วยอันใกล้หรือโดยการหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดังนั้น ไซน์จะเป็นผลคูณของโคไซน์และแทนเจนต์ และกำลังสองของไซน์จะเป็นกำลังสองของผลคูณนี้ เราแทนที่โคไซน์กำลังสองด้วยผลต่างระหว่างเอกภาพกับไซน์กำลังสองตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติแรก และด้วยการปรับอย่างง่าย เรานำสมการมาคำนวณค่าไซน์กำลังสองผ่านแทนเจนต์ ตามลำดับ ในการคำนวณไซน์ คุณจะต้อง สกัดรากจากผลลัพธ์ที่ได้รับ

จะหาไซน์ที่มีโคแทนเจนต์ของมุมได้อย่างไร? ค่าของโคแทนเจนต์สามารถคำนวณได้โดยการหารความยาวของอันใกล้จากมุมขาด้วยความยาวของอันไกล และหารโคไซน์ด้วยไซน์ด้วย นั่นคือ โคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ด้วย สำหรับตัวเลข 1 ในการคำนวณไซน์ คุณสามารถคำนวณแทนเจนต์โดยใช้สูตร tg α \u003d 1 / ctg α และใช้สูตรในตัวเลือกที่สอง คุณยังสามารถหาสูตรโดยตรงโดยการเปรียบเทียบกับแทนเจนต์ ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้

วิธีหาไซน์ของทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม

มีสูตรการหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมใดๆ ไม่ใช่แค่สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให้ด้านที่รู้จักสองด้านโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของโคไซน์ของมุมตรงข้าม เธอมีลักษณะเช่นนี้

ใช้สำหรับ 4? คุณไม่เต็มไปด้วยความสุขเหรอ?

คำถามอย่างที่พวกเขาพูดนั้นน่าสนใจ ... คุณสามารถผ่าน 4! และในขณะเดียวกันก็ห้ามแตก ... เงื่อนไขหลักคือการฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอ นี่คือการเตรียมตัวเบื้องต้นสำหรับการสอบวิชาคณิตศาสตร์ ด้วยความลับและความลึกลับทั้งหมดของ Unified State Examination ซึ่งคุณจะไม่อ่านในตำราเรียน... ศึกษาส่วนนี้ แก้งานเพิ่มเติมจากแหล่งต่างๆ - แล้วทุกอย่างจะออกมาดี! สันนิษฐานว่าส่วนพื้นฐาน "เพียงพอสำหรับคุณและสามคน!" ไม่ก่อให้เกิดปัญหาใดๆ แก่คุณ แต่ถ้าจู่ๆ ... ตามลิงค์ไป อย่าขี้เกียจ!

และเราจะเริ่มต้นด้วยหัวข้อที่ดีและน่ากลัว

ตรีโกณมิติ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

หัวข้อนี้ทำให้นักเรียนมีปัญหามากมาย ถือว่ารุนแรงที่สุดอย่างหนึ่ง ไซน์และโคไซน์คืออะไร? แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออะไร? วงกลมตัวเลขคืออะไร?มันคุ้มค่าที่จะถามคำถามที่ไม่เป็นอันตรายเหล่านี้ในขณะที่คนหน้าซีดและพยายามเปลี่ยนการสนทนาไปด้านข้าง ... แต่ไร้ประโยชน์ นี่เป็นแนวคิดง่ายๆ และหัวข้อนี้ไม่ยากไปกว่าหัวข้ออื่น คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจคำตอบของคำถามเหล่านี้อย่างชัดเจนตั้งแต่ต้น มันสำคัญมาก. ถ้าคุณคิดออก คุณจะชอบตรีโกณมิติ ดังนั้น,

ไซน์และโคไซน์คืออะไร? แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออะไร?

มาเริ่มกันตั้งแต่สมัยโบราณ ไม่ต้องกังวล เราจะผ่านตรีโกณมิติทั้ง 20 ศตวรรษใน 15 นาที และสำหรับตัวเราเอง เราจะทำซ้ำเรขาคณิตชิ้นหนึ่งจากเกรด 8

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกับด้าน ก, ข, คและมุม X. นี่คือหนึ่ง

ผมขอเตือนคุณว่าด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา a และ c- รองเท้าสเก็ต มีสองของพวกเขา อีกด้านหนึ่งเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ- ด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามเหลี่ยมกับสามเหลี่ยม คิดดู! จะทำอย่างไรกับเขา? แต่คนโบราณรู้ดีว่าต้องทำยังไง! มาทำซ้ำการกระทำของพวกเขากัน วัดข้างกัน ใน. ในรูปเซลล์จะถูกวาดเป็นพิเศษเนื่องจากเกิดขึ้นในงานของการสอบ ด้านข้าง ในเท่ากับสี่เซลล์ ตกลง. วัดข้างกัน ก.สามเซลล์

ทีนี้มาหารความยาวของด้านกัน เอต่อด้านความยาว ใน. หรืออย่างที่เขาว่ากัน มาเอาทัศนคติกัน เอถึง ใน. a/c= 3/4.

หรือคุณสามารถแบ่งปัน ในบน ก.เราได้ 4/3 สามารถ ในหารด้วย กับ.ด้านตรงข้ามมุมฉาก กับไม่นับด้วยเซลล์ แต่เท่ากับ 5 เราได้ a/c= 4/5. พูดง่ายๆ ก็คือ คุณสามารถหารความยาวของด้านเข้าด้วยกันแล้วหาตัวเลขได้

แล้วไง? ความหมายของกิจกรรมที่น่าสนใจนี้คืออะไร? จนถึงตอนนี้ไม่มี งานโง่ๆ บอกตรงๆ)

ทีนี้มาทำกัน มาขยายสามเหลี่ยมกัน มาขยายข้างกัน ไปและกลับจากแต่เพื่อให้สามเหลี่ยมยังคงอยู่ในมุมฉาก มุม Xแน่นอนไม่เปลี่ยนแปลง หากต้องการดู ให้วางเมาส์เหนือรูปภาพหรือแตะ (หากคุณมีแท็บเล็ต) ปาร์ตี้ a, b และ cกลายเป็น ม. น. kและแน่นอน ความยาวของด้านจะเปลี่ยนไป

แต่ความสัมพันธ์ของพวกเขาไม่ใช่!

ทัศนคติ a/cมันคือ: a/c= 3/4, กลายเป็น m/n= 6/8 = 3/4. ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคลอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องด้วย จะไม่เปลี่ยนแปลง . คุณสามารถเปลี่ยนความยาวของด้านในสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพลการ เพิ่ม ลด โดยไม่เปลี่ยนมุม x – ความสัมพันธ์ของทุกฝ่ายจะไม่เปลี่ยนแปลง . สอบได้หรือจะเอาคำคนโบราณก็ได้

ตอนนี้สำคัญมาก! อัตราส่วนของด้านในสามเหลี่ยมมุมฉากไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านแต่อย่างใด (สำหรับมุมเดียวกัน) นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ความสัมพันธ์ของทั้งสองฝ่ายได้รับชื่อพิเศษ ชื่อของพวกเขาเพื่อพูด) ทำความคุ้นเคย

ไซน์ของมุม x . คืออะไร ? นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

sinx = a/c

โคไซน์ของมุม x . เป็นเท่าใด ? นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

กับosx= a/c

แทนเจนต์ของมุม x . เป็นเท่าใด ? นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับข้างเคียง:

tgx=a/c

โคแทนเจนต์ของมุม x . คืออะไร ? นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม:

ctgx = ใน/a

ทุกอย่างง่ายมาก ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นตัวเลขบางตัว ไร้มิติ แค่ตัวเลข. สำหรับแต่ละมุม - ของตัวเอง

ทำไมฉันพูดซ้ำตัวเองอย่างน่าเบื่อ แล้วมันคืออะไร ต้องจำไว้. จำแดกดัน. การท่องจำสามารถทำได้ง่ายขึ้น วลี "เริ่มต้นจากระยะไกล ... " คุ้นเคยหรือไม่? ดังนั้นให้เริ่มต้นจากระยะไกล

ไซนัสมุมคืออัตราส่วน ห่างไกลจากมุมของขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนที่ใกล้ที่สุดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุมคืออัตราส่วน ห่างไกลจากมุมของสายสวนไปที่ใกล้ที่สุด โคแทนเจนต์- ในทางกลับกัน

ง่ายกว่าแล้วใช่ไหม

ถ้าคุณจำได้ว่ามีเพียงขาเท่านั้นที่นั่งในแทนเจนต์และโคแทนเจนต์และด้านตรงข้ามมุมฉากปรากฏในไซน์และโคไซน์ทุกอย่างจะค่อนข้างง่าย

ตระกูลอันรุ่งโรจน์นี้ - ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.

และตอนนี้มีคำถามสำหรับการพิจารณา

ทำไมเราถึงบอกว่าไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ มุม?เรากำลังพูดถึงความสัมพันธ์ของฝ่ายต่างๆ เช่น ... เกี่ยวอะไรกับ มุม?

มาดูภาพที่สองกัน เหมือนกับอันแรกนั่นแหละ

วางเมาส์เหนือรูปภาพ เปลี่ยนมุมแล้ว X. ขยายจาก x ถึง xทุกความสัมพันธ์เปลี่ยนไป! ทัศนคติ a/cคือ 3/4 และอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดีบุกกลายเป็น 6/4

และความสัมพันธ์อื่นๆ ทั้งหมดก็เปลี่ยนไป!

ดังนั้นอัตราส่วนของด้านจึงไม่ขึ้นอยู่กับความยาว (ที่มุมหนึ่ง x) แต่อย่างใด แต่ขึ้นอยู่กับมุมนี้อย่างมาก! และจากเขาเท่านั้นดังนั้น คำว่า ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ หมายถึง มุม.มุมนี้เป็นมุมหลัก

ต้องเข้าใจอย่างน่าขันว่ามุมนั้นเชื่อมโยงกับฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างแยกไม่ออก แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์ของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเองมันเป็นสิ่งสำคัญ เป็นที่เชื่อกันว่าถ้าเราได้รับมุมแล้วไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ พวกเรารู้ ! และในทางกลับกัน. จากค่าไซน์หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ เราก็รู้มุม

มีตารางพิเศษที่เขียนฟังก์ชันตรีโกณมิติในแต่ละมุม ตาราง Bradys เรียกว่า พวกเขาถูกสร้างขึ้นมาเป็นเวลานานมาก ย้อนกลับไปเมื่อไม่มีเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์...

แน่นอนว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของทุกมุมไม่สามารถจดจำได้ คุณจำเป็นต้องรู้เพียงไม่กี่มุม เพิ่มเติมในภายหลัง แต่คาถา ฉันรู้มุม ฉันจึงรู้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมัน" -ได้ผลเสมอ!

ดังนั้นเราจึงทำซ้ำเรขาคณิตชิ้นหนึ่งจากเกรด 8 เราต้องการมันสำหรับการสอบหรือไม่? จำเป็น. นี่เป็นปัญหาทั่วไปจากการสอบ สำหรับการแก้ปัญหาที่เกรด 8 ก็เพียงพอแล้ว รูปภาพที่ได้รับ:

ทุกอย่าง. ไม่มีข้อมูลอีกต่อไป เราต้องหาความยาวของขา BC

เซลล์ช่วยได้เล็กน้อย สามเหลี่ยมอยู่ในตำแหน่งที่ไม่ถูกต้อง .... โดยเจตนา ฉันเดาว่า ... จากข้อมูล มีความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 8 เซลล์ ด้วยเหตุผลบางประการ มุมจะได้รับ

ที่นี่เราต้องจำเกี่ยวกับตรีโกณมิติทันที มีมุมอยู่ เราจึงรู้ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของมัน ควรนำฟังก์ชันใดจากสี่ข้อนี้ไปใช้จริง มาดูกันว่าเรารู้อะไรบ้าง? เรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก มุม แต่เราต้องหา ที่อยู่ติดกันเข้ามุมนี้! เห็นได้ชัดว่าโคไซน์ต้องถูกนำไปปฏิบัติ! ที่นี่เรากำลังเปิดตัว เราแค่เขียนตามคำจำกัดความของโคไซน์ (อัตราส่วน ที่อยู่ติดกันขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก):

cosC = BC/8

มุม C คือ 60 องศา และโคไซน์ของมันคือ 1/2 คุณต้องรู้สิ่งนี้โดยไม่มีตาราง! นั่นคือ:

1/2 = ดวงอาทิตย์/8

สมการเชิงเส้นเบื้องต้น ไม่ทราบ - ดวงอาทิตย์. ใครลืมแก้สมการไปเดินเล่นที่ลิงค์ ที่เหลือแก้:

อาทิตย์ = 4

เมื่อคนโบราณตระหนักว่าแต่ละมุมมีชุดของฟังก์ชันตรีโกณมิติของตนเอง พวกเขาจึงมีคำถามที่สมเหตุสมผล ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เกี่ยวข้องกันหรือไม่?การรู้ฟังก์ชันหนึ่งของมุม คุณจะหาส่วนที่เหลือได้หรือไม่? โดยไม่ต้องคำนวณมุมเอง?

นั่นเป็นวิธีที่พวกเขากระสับกระส่าย ... )

การเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว

แน่นอน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันนั้นสัมพันธ์กัน การเชื่อมต่อระหว่างนิพจน์จะได้รับในวิชาคณิตศาสตร์โดยสูตร ในตรีโกณมิติมีสูตรมากมาย แต่ที่นี่เราจะดูสิ่งพื้นฐานที่สุด สูตรเหล่านี้เรียกว่า: เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานนี่คือ:

สูตรเหล่านี้จำเป็นต้องรู้ธาตุเหล็ก ถ้าไม่มีพวกมัน ก็ไม่มีอะไรทำในตรีโกณมิติเลย อัตลักษณ์เสริมอีกสามรายการตามมาจากอัตลักษณ์พื้นฐานเหล่านี้:

ฉันเตือนคุณทันทีว่าสามสูตรสุดท้ายหลุดออกจากหน่วยความจำอย่างรวดเร็ว ด้วยเหตุผลบางอย่าง) แน่นอน คุณสามารถรับสูตรเหล่านี้ได้จากสามสูตรแรก แต่ในช่วงเวลาที่ยากลำบาก ... คุณเข้าใจ)

ในงานมาตรฐานเช่นงานด้านล่าง มีวิธีแก้ไขสูตรที่ลืมไม่ลงเหล่านี้ และ ลดข้อผิดพลาดได้อย่างมากจากการหลงลืมและในการคำนวณด้วย แบบฝึกหัดนี้อยู่ในหมวด 555 บทเรียน "ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว"

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานใช้ในงานใดบ้างและอย่างไร งานที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือการหาฟังก์ชันบางอย่างของมุม ถ้าได้รับอย่างอื่น ในการสอบจะมีงานดังกล่าวทุกปี) ตัวอย่างเช่น

จงหาค่าของ sinx ถ้า x เป็นมุมแหลมและ cosx=0.8

งานนี้เกือบจะเป็นระดับประถมศึกษา เรากำลังมองหาสูตรที่มีไซน์และโคไซน์ นี่คือสูตรนั้น:

บาป 2 x + cos 2 x = 1

เราแทนที่ค่าที่ทราบที่นี่ คือ 0.8 แทนโคไซน์:

บาป 2 x + 0.8 2 = 1

เราพิจารณาตามปกติ:

บาป 2 x + 0.64 = 1

บาป 2 x \u003d 1 - 0.64

ที่นี่เกือบทุกอย่าง เราได้คำนวณกำลังสองของไซน์แล้ว มันยังคงแยกสแควร์รูทออกและคำตอบก็พร้อม! รากของ 0.36 คือ 0.6

งานนี้เกือบจะเป็นระดับประถมศึกษา แต่คำว่า "เกือบ" ไม่ได้ไร้ประโยชน์ที่นี่ ... ความจริงก็คือคำตอบ sinx = - 0.6 ก็เหมาะสมเช่นกัน ... (-0.6) 2 จะเป็น 0.36 เช่นกัน

ได้คำตอบสองแบบที่แตกต่างกัน และคุณต้องการ อันที่สองผิด จะเป็นอย่างไร!? ใช่ ตามปกติ) อ่านงานอย่างละเอียด ด้วยเหตุผลบางอย่างมันบอกว่า... ถ้า x เป็นมุมแหลม...และในงาน ทุกคำมีความหมาย ใช่ ... วลีนี้เป็นข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการแก้ปัญหา

มุมแหลมคือมุมที่น้อยกว่า 90° และในมุมดังกล่าว ทั้งหมดฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ทั้งไซน์และโคไซน์ และแทนเจนต์กับโคแทนเจนต์ - เชิงบวก.เหล่านั้น. เราเพียงแค่ทิ้งคำตอบเชิงลบที่นี่ เรามีสิทธิ

อันที่จริง นักเรียนเกรดแปดไม่ต้องการรายละเอียดปลีกย่อยดังกล่าว ใช้งานได้เฉพาะกับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น โดยที่มุมจะแหลมได้เท่านั้น และพวกเขาไม่รู้ว่ามีความสุขที่มีมุมลบและมุม 1,000 ° ... และมุมที่น่าหวาดเสียวเหล่านี้ทั้งหมดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวเองที่มีทั้งบวกและลบ ...

แต่สำหรับนักเรียนม.ปลายโดยไม่คำนึงป้าย-ไม่มีทาง ความรู้มากมายทวีความเศร้า ใช่...) และเพื่อการแก้ปัญหาที่ถูกต้อง งานจะต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม (ถ้าจำเป็น) ตัวอย่างเช่นอาจได้รับเป็น:

หรืออย่างอื่น คุณจะเห็นในตัวอย่างด้านล่าง) ในการแก้ตัวอย่างดังกล่าว คุณต้องรู้ ในไตรมาสใดมุม x ที่กำหนดและเครื่องหมายใดของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องการในไตรมาสนี้

พื้นฐานตรีโกณมิติเหล่านี้จะกล่าวถึงในบทเรียนว่าวงกลมตรีโกณมิติคืออะไร การนับมุมบนวงกลมนี้ การวัดเรเดียนของมุม บางครั้งคุณจำเป็นต้องรู้ตารางไซน์ของโคไซน์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย

ดังนั้น ให้สังเกตสิ่งที่สำคัญที่สุด:

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. จำคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มีประโยชน์มาก.

2. เราดูดซึมได้อย่างชัดเจน: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เชื่อมต่อกับมุมอย่างแน่นหนา เรารู้สิ่งหนึ่ง ดังนั้นเราจึงรู้อีกสิ่งหนึ่ง

3. เราดูดซึมได้อย่างชัดเจน: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งเชื่อมโยงกันด้วยอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เรารู้จักฟังก์ชันหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถ (ถ้าเรามีข้อมูลเพิ่มเติมที่จำเป็น) คำนวณฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้

และตอนนี้เรามาตัดสินใจกันตามปกติ ขั้นแรกให้งานในระดับเสียงของเกรด 8 แต่นักเรียนมัธยมปลายก็สามารถ ... )

1. คำนวณค่าของ tgA ถ้า ctgA = 0.4

2. β - มุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค้นหาค่าของtgβถ้า sinβ = 12/13

3. กำหนดไซน์ของมุมแหลม x ถ้า tgx \u003d 4/3

4. ค้นหาค่าของนิพจน์:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. ค้นหาค่าของนิพจน์:

(1-cosx)(1+cosx) ถ้า sinx = 0.3

คำตอบ (คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค ในความระส่ำระสาย):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

เกิดขึ้น? ยอดเยี่ยม! นักเรียนเกรดแปดสามารถติดตาม A ได้)

ทุกอย่างไม่ได้ผล? งาน 2 และ 3 ไม่ค่อยมาก ... ? ไม่มีปัญหา! มีเทคนิคที่สวยงามอย่างหนึ่งสำหรับงานดังกล่าว ทุกอย่างถูกตัดสิน ในทางปฏิบัติ โดยไม่มีสูตรเลย! และดังนั้นจึงไม่มีข้อผิดพลาด เทคนิคนี้อธิบายไว้ในบทเรียน: "ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว" ในส่วน 555 งานอื่น ๆ ทั้งหมดก็ถูกถอดประกอบที่นั่นเช่นกัน

สิ่งเหล่านี้เป็นปัญหาเช่น Unified State Examination แต่ในเวอร์ชันที่ถูกถอดออก ใช้ - เบา). และตอนนี้เกือบจะเป็นงานเดียวกัน แต่อยู่ในรูปแบบที่เต็มเปี่ยม สำหรับนักเรียนม.ปลายที่มีความรู้)

6. ค้นหาค่าของtgβถ้า sinβ = 12/13 และ

7. กำหนด sinx ถ้า tgx = 4/3 และ x เป็นของช่วงเวลา (- 540 °; - 450 °)

8. ค้นหาค่าของนิพจน์sinβ cosβ ถ้า ctgβ = 1

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

0,8; 0,5; -2,4.

ในปัญหาที่ 6 มุมนี้ไม่ได้ชัดเจนนัก... แต่ในปัญหาที่ 8 ไม่ได้ตั้งค่าเลย! เป็นความตั้งใจ) ข้อมูลเพิ่มเติมไม่ได้มาจากงานเท่านั้น แต่ยังมาจากหัวด้วย) แต่ถ้าคุณตัดสินใจจะรับประกันงานที่ถูกต้องหนึ่งงาน!

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณยังไม่ได้ตัดสินใจ? อืม... อืม มาตรา 555 จะช่วยที่นี่ มีการอธิบายวิธีแก้ปัญหาสำหรับงานเหล่านี้โดยละเอียดซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะไม่เข้าใจ

ในบทนี้ จะให้แนวคิดที่จำกัดมากของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ภายในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ผู้สูงอายุมีคำถาม...

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุม X(ดูรูปที่สองในเพจนี้) - ทำเป็นใบ้!? สามเหลี่ยมจะแตกสลาย! และจะเป็นอย่างไร? จะไม่มีขาไม่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก ... ไซน์หายไป ...

ถ้าคนโบราณหาทางออกจากสถานการณ์นี้ไม่ได้ เราก็ไม่มีโทรศัพท์มือถือ ทีวี หรือไฟฟ้าอยู่แล้ว ใช่ ๆ! พื้นฐานทางทฤษฎีของสิ่งเหล่านี้ทั้งหมดที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเป็นศูนย์โดยไม่มีไม้กายสิทธิ์ แต่คนโบราณก็ไม่ทำให้ผิดหวัง พวกเขาออกไปได้อย่างไร - ในบทเรียนถัดไป

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เราเริ่มศึกษาตรีโกณมิติด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองนิยามว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมทั้งแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม เหล่านี้เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ

จำได้ว่า มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือครึ่งหนึ่งของมุมที่กางออก

มุมแหลม- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา ในความสัมพันธ์กับมุมดังกล่าว "ทื่อ" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมฉากมักจะแสดง โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมนั้นเขียนแทนด้วยตัวอักษรตัวเดียวกัน มีขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม A จึงแสดงไว้

มุมเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีกที่สอดคล้องกัน

ด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านตรงข้ามมุมแหลมคม

ขาตรงข้ามมุมเรียกว่า ตรงข้าม(เทียบกับมุม). ขาอีกข้างหนึ่งนอนตะแคงข้างหนึ่งเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมหนึ่งต่อโคไซน์ของมัน:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม (หรืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์เท่ากัน):

ให้ความสนใจกับอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง จะเป็นประโยชน์ต่อเราในการแก้ปัญหา

มาพิสูจน์กันสักหน่อย

เอาล่ะเราได้ให้คำจำกัดความและสูตรที่เป็นลายลักษณ์อักษรแล้ว แต่ทำไมเราถึงต้องการไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ คือ.

เรารู้ความสัมพันธ์ระหว่าง ปาร์ตี้สามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ปรากฎว่ารู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถหามุมที่สามได้ เมื่อรู้สองด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถหาด้านที่สามได้ ดังนั้น สำหรับมุม - อัตราส่วน สำหรับด้าน - ของมันเอง แต่จะทำอย่างไรถ้ารู้มุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ยกเว้นมุมขวา) และด้านใดด้านหนึ่ง แต่คุณต้องหาด้านอื่น

นี่คือสิ่งที่ผู้คนเผชิญในอดีต ทำแผนที่ของพื้นที่และท้องฟ้าเต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถวัดทุกด้านของสามเหลี่ยมได้โดยตรงเสมอไป

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม- ให้อัตราส่วนระหว่าง ปาร์ตี้และ มุมสามเหลี่ยม. เมื่อรู้มุม คุณจะพบฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดได้โดยใช้ตารางพิเศษ และเมื่อรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่ง คุณสามารถหาส่วนที่เหลือได้

เราจะวาดตารางค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จาก ถึง

สังเกตเครื่องหมายขีดสีแดงสองอันในตาราง สำหรับค่าที่สอดคล้องกันของมุม ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

มาวิเคราะห์ปัญหาตรีโกณมิติจากงาน Bank of FIPI กัน

1. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ , . หา .

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ , , . หา .

มาหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน

แก้ไขปัญหา.

บ่อยครั้งในปัญหามีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม และ หรือ กับมุม และ . จดจำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาด้วยใจ!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามมุมที่เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากมีขนาดใหญ่กว่าขาหลายเท่า

เราพิจารณาปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ในรูปแบบข้อสอบคณิตศาสตร์ มีงานหลายอย่างที่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป