Veta o rovnakých trojuholníkoch. Tretí znak rovnosti trojuholníkov

Video lekcia "Tretí znak rovnosti trojuholníkov" obsahuje dôkaz vety, ktorá je znakom rovnosti dvoch trojuholníkov na troch stranách. Táto veta je dôležitou súčasťou geometrie. Často sa používa na riešenie praktických problémov. Jeho dôkaz je založený na znakoch rovnosti trojuholníkov, ktoré už študenti poznajú.

Dôkaz tejto vety je zložitý, preto v záujme zlepšenia kvality vzdelávania, vytvorenia schopnosti dokázať geometrické tvrdenia je vhodné použiť túto vizuálnu pomôcku, ktorá pomôže zamerať pozornosť študentov na študovaný materiál. . Taktiež pomocou animácie, názornej ukážky konštrukcií a dôkazov umožňuje skvalitniť vzdelávanie.

Na začiatku hodiny je demonštrovaný názov témy a formulovaná veta, že trojuholníky sú rovnaké, ak sú všetky strany jedného trojuholníka v pároch rovnaké ako všetky strany druhého trojuholníka. Text vety sa zobrazuje na obrazovke a žiaci si ho môžu zapísať do zošita. Ďalej zvážime dôkaz tejto vety.

Na dôkaz vety sú zostrojené trojuholníky ΔABC a ΔA 1 B 1 C 1. Z podmienok vety vyplýva, že strany sú párovo rovnaké, to znamená AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B 1 C 1 a AC \u003d A 1 C 1. Na začiatku dôkazu je znázornené uloženie trojuholníka ΔАВС na ΔА 1 В 1 С 1 tak, že vrcholy A a A 1 , ako aj B a B 1 týchto trojuholníkov sú zarovnané. V tomto prípade by vrcholy C a C1 mali byť umiestnené na opačných stranách prekrývajúcich sa strán AB a A1B1. S touto konštrukciou je možných niekoľko možností na usporiadanie prvkov trojuholníka:

1. Lúč C 1 C leží vo vnútri uhla ∠A 1 C 1 B 1 .
2. Lúč C 1 C sa zhoduje s jednou zo strán uhla ∠A 1 C 1 B 1.
3. Lúč C 1 C leží mimo uhla ∠A 1 C 1 B 1.

Každý prípad je potrebné posudzovať samostatne, keďže dôkaz nemôže byť pre všetky dané prípady rovnaký. V prvom prípade sa berú do úvahy dva trojuholníky vytvorené ako výsledok konštrukcie. Pretože podľa podmienky sú v týchto trojuholníkoch strany AC \u003d A 1 C 1 a BC \u003d B 1 C 1, potom sú výsledné trojuholníky AB 1 C 1 C a ΔA 1 C 1 rovnostranné. Pomocou študovanej vlastnosti rovnoramenných trojuholníkov môžeme tvrdiť, že uhly ∠1 a ∠2 sú si navzájom rovné a tiež ∠3 a ∠4 sú rovnaké. Keďže tieto uhly sú rovnaké, súčet ∠1 a ∠3, ako aj ∠2 a ∠4 tiež poskytne rovnaké uhly. Preto sú uhly ∠С a ∠С 1 rovnaké. Po dokázaní tejto skutočnosti môžeme prehodnotiť trojuholníky ΔABC a ΔA 1 B 1 C 1, v ktorých sú strany BC \u003d B 1 C 1 a AC \u003d A 1 C 1 podľa podmienky vety, a je dokázané že uhly medzi nimi ∠C a ∠C 1 sú tiež rovnaké. Podľa toho sa tieto trojuholníky budú rovnať podľa prvého kritéria rovnosti trojuholníkov, ktoré je študentom už známe.

V druhom prípade, keď sú trojuholníky prekryté, body C a C 1 ležia na jednej priamke prechádzajúcej bodom B (B 1). V súčte dvoch trojuholníkov ΔABC a ΔA 1 B 1 C 1 sa získa trojuholník ΔCAC 1, v ktorom sú dve strany AC \u003d A 1 C 1 podľa podmienky vety rovnaké. Podľa toho je tento trojuholník rovnoramenný. V rovnoramennom trojuholníku s rovnakými stranami sú rovnaké uhly, takže možno tvrdiť, že uhly ∠С=∠С 1. Z podmienok vety tiež vyplýva, že strany BC a B 1 C 1 sú si navzájom rovné, preto sa ΔABC a ΔA 1 B 1 C 1, berúc do úvahy uvedené skutočnosti, navzájom rovnajú podľa prvý znak rovnosti trojuholníkov.

Dôkaz v treťom prípade, podobne ako v prvých dvoch, používa prvé kritérium pre rovnosť trojuholníkov. Geometrický útvar zostrojený impozantnými trojuholníkmi, keď je spojený úsečkou vrcholov C a C 1, sa zmení na trojuholník ΔB 1 C 1 C. Tento trojuholník je rovnoramenný, pretože jeho strany B 1 C 1 a B 1 C sú rovnaké o stave. A pri rovnakých stranách v rovnoramennom trojuholníku sú uhly ∠С a ∠С 1 tiež rovnaké. Pretože podľa podmienky vety sú strany AC \u003d A 1 C 1 rovnaké, uhly na nich v rovnoramennom trojuholníku ΔACS 1 sú tiež rovnaké. Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že uhly ∠С a ∠С 1 sú rovnaké a uhly ∠DCA a ∠DC 1 A sú rovnaké, potom sú uhly ∠ACB a ∠AC 1 B tiež rovnaké. Vzhľadom na túto skutočnosť, na dôkaz rovnosti trojuholníkov ΔABC a ΔA 1 B 1 C 1, môžete použiť prvé znamienko rovnosti trojuholníkov, pretože obe strany týchto trojuholníkov sú z hľadiska podmienok rovnaké a rovnosť uhly medzi nimi sa dokazujú v priebehu uvažovania.

Na konci videonávodu je demonštrovaná dôležitá aplikácia tretieho kritéria rovnosti trojuholníkov - tuhosť daného geometrického útvaru. Príklad vysvetľuje, čo toto vyhlásenie znamená. Ako príklad flexibilného dizajnu sú uvedené dve lišty spojené klincom. Tieto lamely je možné posúvať od seba a posúvať v akomkoľvek uhle. Ak na koľajnice pripevníme ďalšiu, pripojenú koncami k existujúcim koľajniciam, získame tuhú konštrukciu, v ktorej nie je možné meniť uhol medzi koľajnicami. Získanie trojuholníka s danými stranami a inými uhlami nie je možné. Tento dôsledok vety má veľký praktický význam. Obrazovka zobrazuje inžinierske štruktúry, v ktorých sa táto vlastnosť trojuholníkov využíva.

Video lekcia "Tretí znak rovnosti trojuholníkov" uľahčuje učiteľovi prezentovať nový materiál na hodine geometrie na túto tému. Video lekciu možno úspešne použiť aj na diaľkové štúdium matematiky, pomôže študentom samostatne pochopiť zložitosť dôkazu.

O dvoch trojuholníkoch sa hovorí, že sú zhodné, ak sa môžu prekrývať. Obrázok 1 zobrazuje rovnaké trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1. Každý z týchto trojuholníkov môže byť superponovaný na iný, takže sú úplne kompatibilné, to znamená, že ich vrcholy a strany sú spárované. Je jasné, že v tomto prípade budú uhly týchto trojuholníkov kombinované v pároch.

Ak sú teda dva trojuholníky rovnaké, potom sa prvky (t.j. strany a uhly) jedného trojuholníka rovnajú prvkom druhého trojuholníka. Poznač si to v rovnakých trojuholníkoch proti príslušným rovnakým stranám(t. j. prekrývajúce sa pri prekrývaní) ležať v rovnakých uhloch a späť: protiľahlé zodpovedajúce rovnaké uhly ležia rovnaké strany.

Takže napríklad v rovnakých trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1, znázornených na obrázku 1, ležia rovnaké uhly C a C 1 proti rovnakým stranám AB a A 1 B 1. Rovnosť trojuholníkov ABC a A 1 B 1 C 1 budeme označovať takto: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ukazuje sa, že rovnosť dvoch trojuholníkov možno určiť porovnaním niektorých ich prvkov.

Veta 1. Prvý znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sa takéto trojuholníky rovnajú (obr. 2).

Dôkaz. Uvažujme trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1, v ktorých AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (pozri obr. 2). Dokážme, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Pretože ∠ A \u003d ∠ A 1, potom trojuholník ABC možno položiť na trojuholník A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A 1 a strany AB a AC sa prekrývajú na lúče A 1 B 1 a A 1 C jeden . Pretože AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, strana AB bude kombinovaná so stranou A 1 B 1 a strana AC - so stranou A 1 C 1; najmä body B a B1, C a C1 sa budú zhodovať. Preto budú strany BC a B 1 C 1 zarovnané. Takže trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú úplne kompatibilné, čo znamená, že sú rovnaké.

Veta 2 sa dokazuje podobne metódou superpozície.

Veta 2. Druhý znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa strana a dva k nej susediace uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dva k nej susediace uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (obr. 34).

Komentujte. Na základe vety 2 je stanovená veta 3.

Veta 3. Súčet akýchkoľvek dvoch vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako 180°.

Veta 4 vyplýva z poslednej vety.

Veta 4. Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí.

Veta 5. Tretí znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sa tieto trojuholníky rovnajú ().

Príklad 1 V trojuholníkoch ABC a DEF (obr. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Porovnajte trojuholníky ABC a DEF. Aký uhol v trojuholníku DEF sa rovná uhlu B?

Riešenie. Tieto trojuholníky sú rovnaké v prvom znamienku. Uhol F trojuholníka DEF sa rovná uhla B trojuholníka ABC, pretože tieto uhly ležia oproti zodpovedajúcim rovnakým stranám DE a AC.

Príklad 2 Segmenty AB a CD (obr. 5) sa pretínajú v bode O, ktorý je stredom každého z nich. Čomu sa rovná segment BD, ak je segment AC 6 m?

Riešenie. Trojuholníky AOC a BOD sú rovnaké (podľa prvého kritéria): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikálne), AO = OB, CO = OD (podľa podmienok).
Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva rovnosť ich strán, teda AC = BD. Ale keďže podľa podmienky AC = 6 m, tak BD = 6 m.

Veta

Dôkaz

Uvažujme trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1, v ktorých AB \u003d A 1 B 1, ∠A \u003d ∠A 1, ∠B \u003d ∠B 1 (obr. 68). Dokážme, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Ryža. 68

Trojuholník ABC nasadíme na trojuholník A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A 1, strana AB sa rovná jeho strane AjBj a vrcholy C a C 1 sú na tej istej strane priamky A 1 B 1 .

Pretože ∠A \u003d ∠A 1 a ∠B \u003d ∠B 1, potom strana AC bude prekrývať lúč A 1 C 1 a strana BC bude prekrývať lúč B 1 C 1. Preto bude vrchol C - spoločný bod strán AC a BC - ležať na lúči A 1 C 1 aj na lúči B 1 C 1 a bude teda zarovnaný so spoločným bodom týchto lúčov - vrchol C 1. To znamená, že sa spoja strany AC a A 1 C 1, BC a B 1 C 1.

Takže trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú úplne kompatibilné, preto sú si rovné. Veta bola dokázaná.

Tretí znak rovnosti trojuholníkov

Veta

Dôkaz

Uvažujme trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1, v ktorých AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B 1 C 1, CA \u003d C 1 A 1 (obr. 69).

Ryža. 69

Dokážme, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 . Na trojuholník A 1 B 1 C 1 aplikujeme trojuholník ABC tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A 1, vrchol B je zarovnaný s vrcholom B 1 a vrcholy C a C 1 sú na opačných stranách priamky A 1 B 1 (Obr. 70).

Ryža. 70

Možné sú tri prípady: lúč C 1 C prechádza vnútri uhla A 1 C 1 B 1 (obr. 70, a); lúč C 1 C sa zhoduje s jednou zo strán tohto uhla (obr. 70, b); lúč C 1 C prechádza mimo uhla A 1 C 1 B 1 (obr. 70, c). Zvážte prvý prípad (ostatné prípady zvážte sami).

Keďže podľa podmienky vety sú strany AC a A 1 C 1, BC a B 1 C 1 rovnaké, potom sú trojuholníky A 1 C 1 C a B 1 C 1 C rovnoramenné (pozri obr. 70, a). Podľa vety o vlastnosti uhlov rovnoramenného trojuholníka ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, teda ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Takže AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1, ∠C \u003d ∠C 1.

Preto sú trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 rovnaké podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov. Veta bola dokázaná.

Z tretieho kritéria pre rovnosť trojuholníkov vyplýva, že trojuholník - tuhá postava. Poďme si vysvetliť, čo to znamená.

Predstavte si dve lamely, v ktorých sú dva konce pripevnené klincom (obr. 71, a). Tento dizajn nie je pevný: posunutím alebo zatlačením voľných koncov koľajníc môžeme zmeniť uhol medzi nimi. Teraz vezmeme ďalšiu koľajnicu a pripevníme jej konce k voľným koncom prvých dvoch koľajníc (obr. 71, b).

Ryža. 71

Výsledná konštrukcia - trojuholník - už bude tuhá. Nedajú sa v ňom posunúť ani odsunúť od seba žiadne dve strany, to znamená, že sa nedá zmeniť ani jeden roh. Ak by sa to podarilo, dostali by sme nový trojuholník, ktorý sa nerovná pôvodnému. To je však nemožné, pretože nový trojuholník sa musí rovnať pôvodnému podľa tretieho kritéria rovnosti trojuholníkov.

Táto vlastnosť – tuhosť trojuholníka – je v praxi široko využívaná. Takže na upevnenie stĺpika vo zvislej polohe je na ňom umiestnená podpera (obr. 72, a); rovnaký princíp sa používa pri inštalácii držiaka (obr. 72, b).

Ryža. 72

Úlohy

121. Segmenty AB a CD sa pretínajú v strede O segmentu AB, ∠OAD = ∠OBC.

a) Dokážte, že ∆CBO = ∆DAO;
b) nájdite BC a CO, ak CD = 26 cm, AD = 15 cm.

122. Na obrázku 53 (pozri str. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

a) Dokážte, že Δ ABC = Δ CDA;
b) nájdite AB a BC, ak AO = 19 cm, CD = 11 cm.

123. Bod D je vzatý na osnici uhla A a body B a C sú na stranách tohto uhla tak, že ∠ADB = ∠ADC. Dokážte, že BD = CD.

124. Podľa obrázku 73 dokážte, že OP = OT, ∠P = ∠T.

Ryža. 73

125. Na obrázku 74 ∠DAC = ∠DBC, AO = BO. Dokážte, že ∠C = ∠D a AC = BD.

Ryža. 74

126. Na obrázku 74 je ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC = 13 cm. Nájdite BD.

127. V trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B 1 C 1, ∠B - ∠B 1. Body D a D 1 sú označené na stranách AB a A 1 B 1 tak, že ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Dokážte, že ∆BCD = ∆B 1 C 1 D 1 .

128. Dokážte, že v rovnakých trojuholníkoch sú osi nakreslené na príslušné rovnaké strany rovnaké.

129. Segmenty AC a BD sa pretínajú v strede O segmentu AC, ∠BCO = ∠DAO. Dokážte, že ∆BOA = ∆DOC.

130. V trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 sú segmenty CO a C 1 O 1 mediány, BC \u003d B 1 C 1, ∠B - ∠B 1 a ∠C \u003d ∠C 1. Dokážte, že:

a) ACO \u003d AA1C101;
b) Δ BCO \u003d Δ B1 C10.

131. V trojuholníkoch DEF a MNP, EF - NP, DF = MP a ∠F = ∠P. Priečnice uhlov E a D sa pretínajú v bode O a osi uhlov M a N sa pretínajú v bode K. Dokážte, že ∠DOE = ∠MKN.

132. Priamka kolmá na os uhla A pretína strany uhla v bodoch M a N. Dokážte, že trojuholník AMN je rovnoramenný.

133. Dokážte, že ak je stred trojuholníka jeho výškou, potom je trojuholník rovnoramenný.

134. Dokážte, že rovnoramenné trojuholníky sú zhodné, ak základňa a susedný uhol jedného trojuholníka sú rovnaké ako základný a susedný uhol iného trojuholníka.

135. Dokážte, že ak sa strana jedného rovnostranného trojuholníka rovná strane iného rovnostranného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

136. Na obrázku 52 (pozri str. 31) AB-AC, BD = DC a ∠BAC = 50°. Nájdite ∠CAD.

137. Na obrázku 53 (pozri str. 31) BC = AD, AB = CD. Dokážte, že ∠B = ∠D.

138. Na obrázku 75 AB = CD a BD = AC. Dokážte, že: a) ∠CAD = ∠ADB; b) ∠BAC = ∠CDB.

Ryža. 75

139. Na obrázku 76 je AB = CD, AD = BC, BE je os uhla ABC a DF je os uhla ADC. Dokážte, že:

a) ∠ABE = ∠ADF;
b) Δ ABE = Δ CDF.

Ryža. 76

140. V trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 sú mediány BM a B 1 M 1 rovnaké, AB \u003d A 1 B 1 AC \u003d A 1 C 1. Dokážte, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

141. V trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 sú segmenty AD a A 1 D 1 osi, AB \u003d A 1 B 1, BD \u003d B 1 D 1 a AD \u003d A 1 D 1. Dokážte, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

142. Rovnoramenné trojuholníky ADC a BCD majú spoločnú základňu DC. Priamka AB pretína úsečku CD v bode O. Dokážte, že: a) ∠ADB = ∠ACB; b) DO = OC.

Odpovede na úlohy

121. b) BC = 15 cm, CO = 13 cm.

122. b) AB = 11 cm, BC = 19 cm.

142. Poučenie. Zvážte dva prípady. Bod B leží: a) na lúči AO; b) o pokračovaní lúča AO.

Druhý znak rovnosti trojuholníkov

Ak sa strana a dva susedné uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dvom susedným uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

MN=PR N=RM=P

Rovnako ako pri dôkaze prvého znamienka sa musíte uistiť, že to stačí na to, aby sa trojuholníky zrovnali, dajú sa úplne kombinovať?

1. Keďže MN = PR, potom sa tieto segmenty skombinujú, ak sa skombinujú ich koncové body.

2. Keďže N = R a M = P , potom lúče \(MK\) a \(NK\) prekrývajú lúče \(PT\) a \(RT\).

3. Ak sa lúče zhodujú, potom sa ich priesečníky \(K\) a \(T\) zhodujú.

4. Všetky vrcholy trojuholníkov sú kombinované, to znamená, že Δ MNK a Δ PRT sú úplne kompatibilné, čo znamená, že sú rovnaké.

Tretí znak rovnosti trojuholníkov

Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

MN = PR KN = TR MK = PT

Opäť skúsme spojiť trojuholníky Δ MNK a Δ PRT prekrytím a uistiť sa, že zodpovedajúco rovnaké strany zaručujú rovnosť zodpovedajúcich uhlov týchto trojuholníkov a úplne sa zhodujú.

Spojme napríklad identické segmenty \(MK\) a\(PT\). Predpokladajme, že body \(N\) a \(R\) sa v tomto prípade nezhodujú.

Nech \(O\) je stredom segmentu \(NR\). Podľa tejto informácie MN = PR, KN = TR. Trojuholníky \(MNR\) a \(KNR\) sú rovnoramenné so spoločnou základňou \(NR\).

Preto ich mediány \(MO\) a \(KO\) sú výšky, takže sú kolmé na \(NR\). Priamky \(MO\) a \(KO\) sa nezhodujú, pretože body \(M\), \(K\), \(O\) neležia na tej istej priamke. Ale cez bod \(O\) priamky \(NR\) je možné nakresliť len jednu priamku, ktorá je naň kolmá. Dostali sme sa do rozporu.

Je dokázané, že vrcholy \(N\) a \(R\) sa tiež musia zhodovať.

Tretie znamenie nám umožňuje nazvať trojuholník veľmi silnou, stabilnou postavou, niekedy to hovoria trojuholník - tuhá postava . Ak sa nezmenia dĺžky strán, nezmenia sa ani uhly. Napríklad štvoruholník túto vlastnosť nemá. Preto sa rôzne podpery a opevnenia vyrábajú trojuholníkové.

Ale akúsi stálosť, stálosť a dokonalosť počtu \ (3 \) ľudí hodnotia a vyzdvihujú už dlho.

Rozprávky o tom hovoria.

Stretneme sa tam s „Tri medvedíkmi“, „Tri vetry“, „Tri prasiatka“, „Tri kamaráti“, „Tri bratov“, „Troch šťastlivcov“, „Troch remeselníkov“, „Troch princov“, „Troch kamarátov“, "Tri hrdinovia" atď.

Sú splnené „tri pokusy“, „tri rady“, „tri pokyny“, „tri stretnutia“, „tri želania“, musíte vydržať „tri dni“, „tri noci“, „tri roky“, ísť cez „tri štáty“, tri podzemné kráľovstvá, vydržať „tri skúšky“, preplávať „tri moria“.

1) na dvoch stranách a uhol medzi nimi

dôkaz:

Nech trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 majú uhol A rovný A 1, AB rovný A 1 B 1, AC rovný A 1 C 1. Dokážeme, že trojuholníky sú zhodné.

Prekryvný trojuholník ABC (alebo symetricky k tomu) na trojuholník A 1 B 1 C 1 tak, aby sa uhol A zhodoval s uhlom A 1 . Pretože AB \u003d A 1 B 1 a AC \u003d A 1 C 1, potom B sa bude zhodovať s B 1 a C sa bude zhodovať s C 1. Preto sa trojuholník A 1 B 1 C 1 zhoduje s trojuholníkom ABC, a preto sa rovná trojuholníku ABC.

Veta bola dokázaná.

2) pozdĺž bočných a priľahlých rohov

dôkaz:

Nech ABC a A 1 B 1 C 1 sú dva trojuholníky, v ktorých sa AB rovná A 1 B 1, uhol A sa rovná uhlu A 1 a uhol B sa rovná uhlu B 1. Dokážme, že sú si rovní.

Prekryvný trojuholník ABC (alebo symetricky k tomu) na trojuholníku A 1 B 1 C 1 tak, že AB sa zhoduje s A 1 B 1. Pretože ∠BAC \u003d ∠B 1 A 1 C 1 a ∠ABC \u003d ∠A 1 B 1 C 1, potom sa lúč AC bude zhodovať s A 1 C 1 a BC sa zhodujú s B 1 C 1 . Z toho vyplýva, že vrchol C sa zhoduje s C 1. Trojuholník A 1 B 1 C 1 sa teda zhoduje s trojuholníkom ABC, a preto sa rovná trojuholníku ABC.

Veta bola dokázaná.

3) na troch stranách

dôkaz:

Uvažujme trojuholníky ABC a A l B l C 1, v ktorých AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B l C 1 CA \u003d C 1 A 1. Dokážme, že ΔABS \u003d ΔA 1 B 1 C 1.

Použite trojuholník ABC (alebo symetricky k tomu) do trojuholníka A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A 1, vrchol B je zarovnaný s vrcholom B 1 a vrcholy C a C 1 sú na opačných stranách priamky A 1 B. 1. Zvážte 3 prípady:

1) Lúč C 1 C prechádza vnútri uhla A 1 C 1 B 1. Keďže podľa podmienky vety sú strany AC a A 1 C 1, BC a B 1 C 1 rovnaké, potom sú trojuholníky A 1 C 1 C a B 1 C 1 C rovnoramenné. Podľa vety o vlastnosti uhlov rovnoramenného trojuholníka ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 teda ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Lúč C 1 C sa zhoduje s jednou zo strán tohto uhla. A leží na CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - rovnoramenné , ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Lúč C 1 C prechádza mimo uhla A 1 C 1 B 1 . AC=A1C1, BC=B1C1, takže ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.

Takže, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Preto sú trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 rovnaké
prvé kritérium pre rovnosť trojuholníkov.

Veta bola dokázaná.

2. Rozdelenie segmentu na n rovnakých častí.

Nakreslite lúč cez A, položte naň n rovnakých segmentov. Cez B a A n nakreslite priamku a rovnobežne s ňou cez body A 1 - A n -1. Ich priesečníky označíme AB. Dostaneme n segmentov, ktoré sú rovnaké podľa Thalesovej vety.

Thalesova veta. Ak sa na jednej z dvoch priamych čiar postupne odloží niekoľko rovnakých segmentov a cez ich konce sa natiahnu rovnobežné čiary, ktoré pretínajú druhú priamku, potom na druhej priamke odrežú navzájom rovnaké segmenty.

Dôkaz. AB = CD

1. Nakreslite rovné čiary cez body A a C rovnobežné s druhou stranou uhla. Získame dva rovnobežníky AB 2 B 1 A 1 a CD 2 D 1 C 1 . Podľa vlastnosti rovnobežníka: AB 2 = A 1 B 1 a CD 2 = C 1 D 1.

2. ΔABB 2 \u003d ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 a sú rovnaké na základe druhého kritéria pre rovnosť trojuholníkov:
AB = CD podľa podmienky vety,
ako zodpovedajúce, vytvorené v priesečníku rovnobežnej BB 1 a DD 1 priamky BD.

3. Podobne sa ukáže, že každý z uhlov a je rovný uhlu s vrcholom v priesečníku sečan. AB 2 = CD 2 ako zodpovedajúce prvky v rovnakých trojuholníkoch.

4. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1