Priemerná úroveň

Rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec (2019)

1. Rovnobežník

Zložené slovo "paralelogram"? A za tým je veľmi jednoduchá figúrka.

To znamená, že sme vzali dve paralelné čiary:

Prekrížené ďalšími dvoma:

A vo vnútri - rovnobežník!

Aké sú vlastnosti rovnobežníka?

Vlastnosti rovnobežníka.

To znamená, čo sa dá použiť, ak je v úlohe uvedený rovnobežník?

Na túto otázku odpovedá nasledujúca veta:

Nakreslíme všetko podrobne.

Čo robí prvý bod vety? A skutočnosť, že ak MÁTE rovnobežník, potom všetkými prostriedkami

Druhý odsek znamená, že ak existuje rovnobežník, potom opäť všetkými prostriedkami:

No a nakoniec, tretí bod znamená, že ak MÁTE rovnobežník, potom si buďte istý:

Vidíte, aký bohatý výber? Čo použiť v úlohe? Pokúste sa zamerať na otázku úlohy alebo jednoducho vyskúšajte všetko postupne - nejaký „kľúč“ bude stačiť.

A teraz si položme ďalšiu otázku: ako rozpoznať rovnobežník „v tvári“? Čo sa musí stať so štvoruholníkom, aby sme mali právo dať mu „názov“ rovnobežníka?

Na túto otázku odpovedá niekoľko znakov rovnobežníka.

Vlastnosti rovnobežníka.

Pozor! Začať.

Paralelogram.

Venujte pozornosť: ak ste vo svojom probléme našli aspoň jeden znak, potom máte presne rovnobežník a môžete použiť všetky vlastnosti rovnobežníka.

2. Obdĺžnik

Vôbec si nemyslím, že to pre vás bude novinka.

Prvá otázka znie: je obdĺžnik rovnobežník?

Samozreme to je! Veď má – pamätáš, naše znamenie 3?

A odtiaľ, samozrejme, vyplýva, že pre obdĺžnik, ako pre každý rovnobežník, a uhlopriečky sú rozdelené priesečníkom na polovicu.

Ale je tu obdĺžnik a jedna výrazná vlastnosť.

Vlastnosť obdĺžnika

Prečo je táto vlastnosť charakteristická? Pretože žiadny iný rovnobežník nemá rovnaké uhlopriečky. Sformulujme to jasnejšie.

Venujte pozornosť: aby sa štvoruholník stal obdĺžnikom, musí sa najprv stať rovnobežníkom a potom prezentovať rovnosť uhlopriečok.

3. Diamant

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S plným právom - rovnobežník, pretože má a (pamätajte na náš znak 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, potom musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že kosoštvorec má rovnaké protiľahlé uhly, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sú rozpolené priesečníkom.

Vlastnosti kosoštvorca

Pozri sa na obrázok:

Rovnako ako v prípade obdĺžnika sú tieto vlastnosti charakteristické, to znamená, že pre každú z týchto vlastností môžeme konštatovať, že nemáme len rovnobežník, ale kosoštvorec.

Známky kosoštvorca

A opäť dávajte pozor: nemal by existovať iba štvoruholník s kolmými uhlopriečkami, ale rovnobežník. Uisti sa:

Nie, samozrejme, že nie, hoci jeho uhlopriečky a sú kolmé a uhlopriečka je osou uhlov u. Ale ... uhlopriečky sa nerozdeľujú, priesečník ukazuje na polovicu, teda - NIE rovnobežník, a teda NIE kosoštvorec.

To znamená, že štvorec je zároveň obdĺžnik a kosoštvorec. Uvidíme, čo z toho vzíde.

Je jasné prečo? - kosoštvorec - os uhla A, ktorá sa rovná. Takže sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; kosoštvorcové uhlopriečky sú kolmé a vo všeobecnosti - uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené priesečníkom na polovicu.

PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Vlastnosti štvoruholníkov. Paralelogram

Vlastnosti rovnobežníka

Pozor! Slová " vlastnosti rovnobežníka» znamená, že ak máte úlohu existuje rovnobežník, potom je možné použiť všetky nasledujúce.

Veta o vlastnostiach rovnobežníka.

V akomkoľvek rovnobežníku:

Pozrime sa, prečo je to pravda, inými slovami DOKÁŽEME teorém.

Prečo je teda 1) pravda?

Keďže ide o rovnobežník, potom:

• ako ležať krížom krážom
• ako ležať naprieč.

Preto (na základe II: a - všeobecne.)

Tak raz - a je to! - dokázané.

Ale mimochodom! Dokázali sme aj 2)!

prečo? Ale koniec koncov (pozrite sa na obrázok), to znamená, pretože.

Zostávajú len 3).

Aby ste to urobili, musíte ešte nakresliť druhú uhlopriečku.

A teraz to vidíme - podľa znaku II (uhol a strana "medzi").

Vlastnosti overené! Prejdime k znameniam.

Vlastnosti paralelogramu

Pripomeňme, že znamienko rovnobežníka odpovedá na otázku „ako zistiť?“, že obrazec je rovnobežník.

V ikonách je to takto:

prečo? Bolo by pekné pochopiť prečo - to stačí. Ale pozri:

No, prišli sme na to, prečo je znak 1 pravdivý.

No, to je ešte jednoduchšie! Opäť nakreslíme uhlopriečku.

Čo znamená:

A je tiež ľahké. Ale... iné!

Znamená, . Wow! Ale tiež - vnútorné jednostranné na sekante!

Preto skutočnosť, ktorá to znamená.

A ak sa pozriete z druhej strany, potom sú vnútorné jednostranné na sekante! A preto.

Vidíte, aké je to skvelé?!

A opäť jednoducho:

Presne to isté a.

Dávaj pozor: ak si našiel najmenej jeden znak rovnobežníka vo vašom probléme, potom máte presne tak rovnobežník a môžete použiť všetci vlastnosti rovnobežníka.

Pre úplnú prehľadnosť si pozrite diagram:

Vlastnosti štvoruholníkov. Obdĺžnik.

Vlastnosti obdĺžnika:

Bod 1) je celkom zrejmý - koniec koncov, znak 3 () je jednoducho splnený

A bod 2) - veľmi dôležité. Tak to dokážme

Takže na dvoch nohách (a - všeobecne).

No, keďže trojuholníky sú rovnaké, potom sú rovnaké aj ich prepony.

Dokázal to!

A predstavte si, že rovnosť uhlopriečok je charakteristickou vlastnosťou obdĺžnika medzi všetkými rovnobežníkmi. To znamená, že nasledujúce tvrdenie je pravdivé

Pozrime sa prečo?

Takže, (čo znamená uhly rovnobežníka). Ale ešte raz, pamätajte, že - rovnobežník, a preto.

Znamená, . A z toho samozrejme vyplýva, že každý z nich Predsa vo výške, ktorú by mali dať!

Tu sme dokázali, že ak rovnobežník zrazu (!) budú rovnaké uhlopriečky, potom toto presne obdĺžnik.

Ale! Dávaj pozor! Toto je o rovnobežníky! Nie hocijakýštvoruholník s rovnakými uhlopriečkami je obdĺžnik a iba rovnobežník!

Vlastnosti štvoruholníkov. Rhombus

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S plným právom - rovnobežník, pretože má a (Pamätajte si naše znamenie 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že kosoštvorec má rovnaké protiľahlé uhly, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sú rozpolené priesečníkom.

Existujú však aj špeciálne vlastnosti. Formulujeme.

Vlastnosti kosoštvorca

prečo? Keďže kosoštvorec je rovnobežník, jeho uhlopriečky sú rozdelené na polovicu.

prečo? Áno, práve preto!

Inými slovami, uhlopriečky a ukázali sa ako osy rohov kosoštvorca.

Ako v prípade obdĺžnika, tieto vlastnosti sú výrazný, každý z nich je tiež znakom kosoštvorca.

Kosoštvorcové znaky.

prečo je to tak? A pozri

Preto a oboje tieto trojuholníky sú rovnoramenné.

Aby bol štvoruholník kosoštvorcový, musí sa najprv „stať“ rovnobežníkom a potom už demonštrovať prvok 1 alebo prvok 2.

Vlastnosti štvoruholníkov. Námestie

To znamená, že štvorec je zároveň obdĺžnik a kosoštvorec. Uvidíme, čo z toho vzíde.

Je jasné prečo? Štvorec - kosoštvorec - os uhla, ktorá sa rovná. Takže sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; kosoštvorcové uhlopriečky sú kolmé a vo všeobecnosti - uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené priesečníkom na polovicu.

prečo? Stačí použiť Pytagorovu vetu.

SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Vlastnosti rovnobežníka:

1. Opačné strany sú rovnaké: , .
2. Opačné uhly sú: , .
3. Súčet uhlov na jednej strane je: , .
4. Uhlopriečky sú rozdelené priesečníkom na polovicu: .

Vlastnosti obdĺžnika:

1. Uhlopriečky obdĺžnika sú: .
2. Obdĺžnik je rovnobežník (pre obdĺžnik sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti kosoštvorca:

1. Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé: .
2. Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho uhlov: ; ; ; .
3. Kosoštvorec je rovnobežník (pre kosoštvorec sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti štvorca:

Štvorec je kosoštvorec a zároveň obdĺžnik, preto sú pre štvorec splnené všetky vlastnosti obdĺžnika a kosoštvorca. Ako aj.

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné, to znamená, že ležia na rovnobežných priamkach (obr. 1).

Veta 1. O vlastnostiach strán a uhlov rovnobežníka. V rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké, opačné uhly sú rovnaké a súčet uhlov susediacich s jednou stranou rovnobežníka je 180°.

Dôkaz. Do tohto rovnobežníka ABCD nakreslite uhlopriečku AC a získajte dva trojuholníky ABC a ADC (obr. 2).

Tieto trojuholníky sú rovnaké, pretože ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (krížovo ležiace uhly na rovnobežných čiarach) a strana AC je spoločná. Z rovnosti Δ ABC = Δ ADC vyplýva, že AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Súčet uhlov susediacich s jednou stranou, napríklad uhlov A a D, sa rovná 180 ° ako jeden - bočné s rovnobežnými čiarami. Veta bola dokázaná.

Komentujte. Rovnosť protiľahlých strán rovnobežníka znamená, že segmenty rovnobežných odrezaných rovnobežnými sú rovnaké.

Dôsledok 1. Ak sú dve priamky rovnobežné, potom sú všetky body jednej priamky v rovnakej vzdialenosti od druhej priamky.

Dôkaz. Vskutku, nech || b (obr. 3).

Narysujme z dvoch bodov B a C priamky b kolmice BA a CD na priamku a. Od AB || CD, potom obrazec ABCD je rovnobežník, a teda AB = CD.

Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami je vzdialenosť od ľubovoľného bodu na jednej z čiar k druhej čiare.

Podľa toho, čo bolo dokázané, sa rovná dĺžke kolmice vedenej z niektorého bodu jednej z rovnobežných čiar k druhej čiare.

Príklad 1 Obvod rovnobežníka je 122 cm Jedna z jeho strán je o 25 cm dlhšia ako druhá Nájdite strany rovnobežníka.

Riešenie. Podľa vety 1 sú opačné strany rovnobežníka rovnaké. Označme jednu stranu rovnobežníka ako x, druhú ako y. Potom pomocou podmienky $$\left\(\začiatok(matica) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matica)\vpravo.$$ Vyriešením tejto sústavy dostaneme x = 43, y = 18. Teda strany rovnobežníka sú 18, 43, 18 a 43 cm.

Príklad 2

Riešenie. Nech obrázok 4 zodpovedá stavu problému.

Označte AB x a BC y. Podľa podmienky je obvod rovnobežníka 10 cm, t.j. 2(x + y) = 10, alebo x + y = 5. Obvod trojuholníka ABD je 8 cm. A keďže AB + AD = x + y = 5 , potom BD = 8 - 5 = 3. Takže BD = 3 cm.

Príklad 3 Nájdite uhly rovnobežníka s vedomím, že jeden z nich je o 50° väčší ako druhý.

Riešenie. Nech obrázok 5 zodpovedá stavu problému.

Označme mieru stupňa uhla A ako x. Potom je miera uhla D x + 50°.

Uhly BAD a ADC sú vnútorné jednostranné s rovnobežnými čiarami AB a DC a sečnicou AD. Potom súčet týchto pomenovaných uhlov bude 180°, t.j.
x + x + 50° = 180° alebo x = 65°. Teda ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Príklad 4 Strany rovnobežníka sú 4,5 dm a 1,2 dm. Z vrcholu ostrého uhla je nakreslená os. Na aké časti rozdeľuje dlhú stranu rovnobežníka?

Riešenie. Nech obrázok 6 zodpovedá stavu problému.

AE je os ostrého uhla rovnobežníka. Preto ∠ 1 = ∠ 2.

Video kurz "Get an A" obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Rovnako ako v euklidovskej geometrii, bod a priamka sú hlavnými prvkami teórie rovín, takže rovnobežník je jedným z kľúčových útvarov konvexných štvoruholníkov. Z nej, ako vlákna z lopty, prúdia pojmy "obdĺžnik", "štvorec", "kosoštvorec" a iné geometrické veličiny.

V kontakte s

Definícia rovnobežníka

konvexný štvoruholník, pozostávajúci zo segmentov, z ktorých každý pár je rovnobežný, je v geometrii známy ako rovnobežník.

Ako vyzerá klasický rovnobežník je štvoruholník ABCD. Strany sa nazývajú základne (AB, BC, CD a AD), kolmica vedená z ľubovoľného vrcholu na opačnú stranu tohto vrcholu sa nazýva výška (BE a BF), čiary AC a BD sú uhlopriečky.

Pozor!Štvorec, kosoštvorec a obdĺžnik sú špeciálne prípady rovnobežníka.

Strany a uhly: pomerové znaky

Kľúčové vlastnosti, celkovo, vopred určené samotným označením, sú dokázané teorémou. Tieto vlastnosti sú nasledovné:

1. Protiľahlé strany sú v pároch identické.
2. Uhly, ktoré sú proti sebe, sú v pároch rovnaké.

Dôkaz: zvážte ∆ABC a ∆ADC, ktoré sa získajú delením štvoruholníka ABCD čiarou AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, pretože AC je pre nich spoločné (vertikálne uhly pre BC||AD a AB||CD, v tomto poradí). Z toho vyplýva: ∆ABC = ∆ADC (druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov).

Segmenty AB a BC v ∆ABC zodpovedajú v pároch čiaram CD a AD v ∆ADC, čo znamená, že sú totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B teda zodpovedá ∠D a sú rovnaké. Keďže ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ktoré sú rovnaké aj v pároch, potom ∠A = ∠C. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Charakteristika uhlopriečok figúry

Hlavná prednosť tieto čiary rovnobežníka: priesečník ich pretína.

Dôkaz: nech m E je priesečník uhlopriečok AC a BD na obrázku ABCD. Tvoria dva úmerné trojuholníky – ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, pretože sú opačné. Podľa čiar a sekánov ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podľa druhého znaku rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE sú: AE = CE, BE = DE a navyše sú to úmerné časti AC a BD. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Vlastnosti susedných rohov

Na priľahlých stranách je súčet uhlov 180°, pretože ležia na rovnakej strane rovnobežných čiar a sečny. Pre štvoruholník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti osy:

1. , poklesnuté na jednu stranu, sú kolmé;
2. protiľahlé vrcholy majú rovnobežné osi;
3. trojuholník získaný nakreslením osi bude rovnoramenný.

Určenie charakteristických vlastností rovnobežníka teorémom

Vlastnosti tohto obrázku vyplývajú z jeho hlavnej vety, ktorá znie takto: štvoruholník sa považuje za rovnobežník v prípade, že sa jej uhlopriečky pretínajú a tento bod ich rozdeľuje na rovnaké segmenty.

Dôkaz: Nech sa priamky AC a BD štvoruholníka ABCD pretínajú v t. E. Pretože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, potom ∆AED = ∆BEC (podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Sú to tiež vnútorné uhly kríženia sečny AC pre čiary AD a BC. Teda podľa definície paralelizmu - AD || BC. Odvodená je aj podobná vlastnosť línií BC a CD. Veta bola dokázaná.

Výpočet plochy postavy

Oblasť tohto obrázku nájsť niekoľkými spôsobmi jeden z najjednoduchších: vynásobenie výšky a základne, do ktorej je nakreslený.

Dôkaz: Nakreslite kolmice BE a CF z vrcholov B a C. ∆ABE a ∆DCF sú rovnaké, pretože AB = CD a BE = CF. ABCD sa rovná obdĺžniku EBCF, pretože pozostávajú aj z proporcionálnych čísel: S ABE a S EBCD, ako aj S DCF a S EBCD. Z toho vyplýva, že plocha tohto geometrického útvaru je rovnaká ako plocha obdĺžnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Na určenie všeobecného vzorca pre oblasť rovnobežníka označujeme výšku ako hb a bočné b. Respektíve:

Iné spôsoby, ako nájsť oblasť

Výpočty plôch cez strany rovnobežníka a uhla, ktorý tvoria, je druhou známou metódou.

,

Spr-ma - plocha;

a a b sú jeho strany

α - uhol medzi segmentmi a a b.

Táto metóda je prakticky založená na prvej, ale v prípade, že nie je známa. vždy odreže pravouhlý trojuholník, ktorého parametre sa zistia pomocou trigonometrických identít, t.j. Transformáciou pomeru dostaneme . V rovnici prvej metódy nahradíme výšku týmto súčinom a získame dôkaz o platnosti tohto vzorca.

Cez uhlopriečky rovnobežníka a uhla, ktoré vytvárajú, keď sa pretínajú, môžete nájsť aj oblasť.

Dôkaz: AC a BD sa pretínajú v štyroch trojuholníkoch: ABE, BEC, CDE a AED. Ich súčet sa rovná ploche tohto štvoruholníka.

Plochu každého z týchto ∆ možno nájsť z výrazu , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , potom sa pri výpočtoch používa jedna hodnota sínusu. To je . Pretože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2 , vzorec plochy sa zníži na:

.

Aplikácia vo vektorovej algebre

Vlastnosti jednotlivých častí tohto štvoruholníka našli uplatnenie vo vektorovej algebre, konkrétne: sčítanie dvoch vektorov. Pravidlo rovnobežníka hovorí, že ak sú dané vektoryaniesú kolineárne, potom sa ich súčet bude rovnať uhlopriečke tohto obrazca, ktorého základne zodpovedajú týmto vektorom.

Dôkaz: z ľubovoľne zvoleného začiatku – tzn. - staviame vektory a . Ďalej zostavíme rovnobežník OASV, kde segmenty OA a OB sú strany. OS teda leží na vektore alebo súčte.

Vzorce na výpočet parametrov rovnobežníka

Identity sa poskytujú za nasledujúcich podmienok:

1. a a b, α - strany a uhol medzi nimi;
2. d 1 a d 2, γ - uhlopriečky a v bode ich priesečníka;
3. ha a h b - výšky znížené na strany a a b;

Parameter	Vzorec
Hľadanie strán
pozdĺž uhlopriečok a kosínus uhla medzi nimi
diagonálne a do strán
cez výšku a opačný vrchol
Nájdenie dĺžky uhlopriečok
na bokoch a veľkosť vrchnej časti medzi nimi

Rovnobežník je štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné.

Rovnobežník má všetky vlastnosti štvoruholníka, ale má aj svoje charakteristické črty. Keď ich poznáme, môžeme ľahko nájsť obe strany a uhly rovnobežníka.

Vlastnosti rovnobežníka

1. Súčet uhlov v akomkoľvek rovnobežníku, ako aj v každom štvoruholníku, je 360°.
2. Stredné čiary rovnobežníka a jeho uhlopriečky sa pretínajú v jednom bode a pretínajú ho. Tento bod sa nazýva stred symetrie rovnobežníka.
3. Opačné strany rovnobežníka sú vždy rovnaké.
4. Toto číslo má tiež vždy rovnaké opačné uhly.
5. Súčet uhlov susediacich s každou stranou rovnobežníka je vždy 180°.
6. Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho dvoch susedných strán. To je vyjadrené vzorcom:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kde d 1 a d 2 sú uhlopriečky, a a b sú susedné strany.
7. Kosínus tupého uhla je vždy menší ako nula.

Ako nájsť uhly daného rovnobežníka s použitím týchto vlastností v praxi? A aké ďalšie vzorce nám v tom môžu pomôcť? Zvážte konkrétne úlohy, ktoré si vyžadujú: nájdite uhly rovnobežníka.

Nájdenie rohov rovnobežníka

Prípad 1. Miera tupého uhla je známa, je potrebné nájsť ostrý uhol.

Príklad: V rovnobežníku ABCD je uhol A 120°. Nájdite mieru zostávajúcich uhlov.

Riešenie: Pomocou vlastnosti č.5 môžeme nájsť mieru uhla B susediaceho s uhlom uvedeným v úlohe. Bude sa rovnať:

• 180°-120°= 60°

A teraz pomocou vlastnosti #4 určíme, že dva zostávajúce uhly C a D sú opačné k uhlom, ktoré sme už našli. Uhol C je opačný k uhlu A, uhol D je opačný k uhlu B. Preto sú v pároch rovnaké.

• Odpoveď: B=60°, C=120°, D=60°

Prípad 2. Dĺžky strán a uhlopriečka sú známe

V tomto prípade musíme použiť kosínusovú vetu.

Najprv môžeme použiť vzorec na výpočet kosínusu uhla, ktorý potrebujeme, a potom pomocou špeciálnej tabuľky zistiť, čomu sa rovná samotný uhol.

Pre ostrý uhol je vzorec:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kde
• a je požadovaný ostrý uhol,
• A a B sú strany rovnobežníka
• d - menšia uhlopriečka

Pre tupý uhol sa vzorec mierne mení:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kde
• ß je tupý uhol,
• A a B sú strany
• D - veľká uhlopriečka

Príklad: potrebujete nájsť ostrý uhol rovnobežníka, ktorého strany sú 6 cm a 3 cm a menšia uhlopriečka je 5,2 cm

Hodnoty dosadíme do vzorca na nájdenie ostrého uhla:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Podľa tabuľky zistíme, že požadovaný uhol je 60°.