pridanie dvoch koreňov. Pravidlá pridávania odmocnín

Sčítanie a odčítanie koreňov- jeden z najčastejších "kameňov úrazu" pre tých, ktorí absolvujú kurz matematiky (algebry) na strednej škole. Naučiť sa ich správne sčítať a odčítať je však veľmi dôležité, pretože príklady na súčet alebo rozdiel odmocnín sú zahrnuté v programe základnej Jednotnej štátnej skúšky z disciplíny „matematika“.

Na zvládnutie riešenia takýchto príkladov potrebujete dve veci – pochopiť pravidlá, ako aj získať prax. Po vyriešení jedného alebo dvoch tuctov typických príkladov prenesie študent túto zručnosť do automatizácie a na skúške sa potom nebude musieť báť. Odporúča sa začať ovládať aritmetické operácie sčítaním, pretože ich sčítanie je o niečo jednoduchšie ako odčítanie.

Najjednoduchšie sa to dá vysvetliť na príklade druhej odmocniny. V matematike je zaužívaný pojem „štvorec“. „Štvorec“ znamená jednorazové vynásobenie konkrétneho čísla.. Napríklad, ak odmocníte 2, dostanete 4. Ak odmocníte 7, dostanete 49. Druhá mocnina 9 je 81. Takže druhá odmocnina zo 4 je 2, zo 49 je 7 a z 81 je 9.

Výučba tejto témy v matematike sa spravidla začína odmocninami. Aby ju mohol stredoškolák okamžite určiť, musí poznať násobilku naspamäť. Pre tých, ktorí túto tabuľku dobre nepoznajú, musíte použiť rady. Zvyčajne je proces extrakcie odmocniny z čísla uvedený vo forme tabuľky na obálkach mnohých školských matematických zošitov.

Korene sú nasledujúcich typov:

• námestie;
• kubický (alebo tzv. tretí stupeň);
• štvrtý stupeň;
• piaty stupeň.

Pravidlá sčítania

Aby bolo možné úspešne vyriešiť typický príklad, je potrebné mať na pamäti, že nie všetky koreňové čísla dajú sa navzájom stohovať. Aby sa dali poskladať, treba ich doviesť do jedného vzoru. Ak to nie je možné, potom problém nemá riešenie. Aj takéto problémy sa často nachádzajú v učebniciach matematiky ako akási pasca na žiakov.

Sčítanie nie je povolené v priradeniach, keď sa radikálne výrazy navzájom líšia. Dá sa to ilustrovať na názornom príklade:

• študent stojí pred úlohou: sčítať druhú odmocninu zo 4 az 9;
• neskúsený študent, ktorý nepozná pravidlo, zvyčajne píše: „odmocnina z 4 + odmocnina z 9 \u003d odmocnina z 13“.
• je veľmi jednoduché dokázať, že tento spôsob riešenia je nesprávny. Ak to chcete urobiť, musíte nájsť druhú odmocninu z 13 a skontrolovať, či je príklad vyriešený správne;
• pomocou mikrokalkulačky môžete určiť, že je to približne 3,6. Teraz zostáva skontrolovať riešenie;
• odmocnina z 4=2 a z 9=3;
• Súčet dvoch a troch je päť. Tento algoritmus riešenia teda možno považovať za nesprávny.

Ak majú korene rovnaký stupeň, ale rôzne číselné výrazy, vyberá sa zo zátvoriek a súčet dvoch radikálnych výrazov. Z tohto množstva sa teda už odčerpáva.

Algoritmus sčítania

Na správne vyriešenie najjednoduchšieho problému je potrebné:

1. Určite, čo presne vyžaduje pridanie.
2. Zistite, či je možné navzájom pridávať hodnoty podľa pravidiel existujúcich v matematike.
3. Ak ich nemožno pridať, musíte ich transformovať tak, aby sa dali pridať.
4. Po vykonaní všetkých potrebných transformácií je potrebné vykonať sčítanie a zapísať hotovú odpoveď. Sčítanie je možné vykonať mentálne alebo pomocou kalkulačky, v závislosti od zložitosti príkladu.

Aké sú podobné korene

Pre správne vyriešenie príkladu sčítania je potrebné sa v prvom rade zamyslieť nad tým, ako ho možno zjednodušiť. Aby ste to dosiahli, musíte mať základné vedomosti o tom, čo je podobnosť.

Schopnosť identifikovať podobné pomáha rýchlo vyriešiť rovnaký typ príkladov sčítania a previesť ich do zjednodušenej formy. Na zjednodušenie typického príkladu pridania potrebujete:

1. Nájdite podobné a prideľte ich jednej skupine (alebo viacerým skupinám).
2. Prepíšte existujúci príklad takým spôsobom, aby korene, ktoré majú rovnaký indikátor, jasne nasledovali za sebou (toto sa nazýva "zoskupenie").
3. Ďalej by ste mali výraz napísať znova, tentoraz tak, aby za sebou nasledovali aj podobné (ktoré majú rovnaký ukazovateľ a rovnaký koreňový obrázok).

Potom je zjednodušený príklad zvyčajne ľahko riešiteľný.

Aby ste správne vyriešili akýkoľvek príklad sčítania, musíte jasne pochopiť základné pravidlá sčítania a tiež vedieť, čo je koreň a ako sa to deje.

Niekedy takéto úlohy vyzerajú na prvý pohľad veľmi komplikovane, ale zvyčajne sa dajú ľahko vyriešiť zoskupením podobných úloh. Najdôležitejšia vec je prax a potom študent začne „cvakať úlohy ako orechy“. Sčítanie koreňov je jedným z najdôležitejších odvetví matematiky, preto by si učitelia mali venovať dostatok času na jeho štúdium.

Video

Toto video vám pomôže pochopiť rovnice s odmocninami.

V matematike má každá akcia svoj párový protiklad – v podstate ide o jeden z prejavov Hegelovho zákona dialektiky: „jednota a boj protikladov“. Jedna z akcií v takom „pári“ je zameraná na zvýšenie počtu a druhá, naopak, na zníženie. Napríklad akcia proti sčítaniu je odčítanie a delenie zodpovedá násobeniu. Povýšenie k moci má aj svoj vlastný dialektický pár-opak. Ide o extrakciu koreňov.

Extrahovať odmocninu takého a takého stupňa z čísla znamená vypočítať, ktoré číslo je potrebné zvýšiť na zodpovedajúcu mocninu, aby skončilo s týmto číslom. Dva stupne majú svoje vlastné samostatné názvy: druhý stupeň sa nazýva "štvorec" a tretí - "kocka". V súlade s tým je príjemné nazývať korene týchto mocnín druhou odmocninou a kubickou odmocninou. Akcie s odmocninami sú témou na samostatnú diskusiu, ale teraz si povieme niečo o pridávaní odmocnín.

Začnime tým, že v niektorých prípadoch je jednoduchšie najskôr extrahovať odmocniny a potom pridať výsledky. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť hodnotu takéhoto výrazu:

Koniec koncov, nie je vôbec ťažké vypočítať, že druhá odmocnina zo 16 je 4 a zo 121 - 11.

√16+√121=4+11=15

Toto je však najjednoduchší prípad – tu hovoríme o plných štvorcoch, t.j. o číslach, ktoré sa získajú umocnením celých čísel. Ale nie vždy to tak je. Napríklad číslo 24 nie je dokonalý štvorec (nemôžete nájsť celé číslo, ktoré by po zvýšení na druhú mocninu malo za následok 24). To isté platí pre číslo ako 54 ... Čo ak potrebujeme sčítať odmocniny týchto čísel?

V tomto prípade dostaneme v odpovedi nie číslo, ale iný výraz. Maximálne, čo tu môžeme urobiť, je čo najviac zjednodušiť pôvodný výraz. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať faktory spod druhej odmocniny. Pozrime sa, ako sa to robí pomocou uvedených čísel ako príklad:

Na začiatok rozložme číslo 24 na faktor 24 - tak, že jeden z nich sa dá ľahko vziať ako druhá odmocnina (t. j. tak, aby bol dokonalým druhým mocninom). Existuje také číslo - toto je 4:

Teraz urobme to isté s 54. V jeho zložení bude toto číslo 9:

Dostaneme teda nasledovné:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Teraz poďme extrahovať korene z toho, z čoho ich môžeme extrahovať: 2*√6+3*√6

Je tu spoločný faktor, ktorý môžeme vyňať zo zátvoriek:

(2+3)* √6=5*√6

Toto bude výsledok sčítania - nič iné sa tu nedá extrahovať.

Je pravda, že sa môžete uchýliť k pomoci kalkulačky - výsledok však bude približný a s veľkým počtom desatinných miest:

√6=2,449489742783178

Postupným zaokrúhľovaním nahor dostaneme približne 2,5. Ak by sme predsa len chceli doviesť riešenie predchádzajúceho príkladu do logického záveru, môžeme tento výsledok vynásobiť 5 – a dostaneme 12,5. Presnejší výsledok s takýmito počiatočnými údajmi nie je možné získať.

Druhá odmocnina čísla x je číslo a, ktoré po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Rovnako ako pri iných číslach je povolené vykonávať aritmetické operácie sčítania a odčítania od druhej odmocniny.

Inštrukcia

1. Po prvé, keď pridávate odmocniny, skúste tieto korene extrahovať. Toto bude platné, ak čísla pod odmocninou sú dokonalé štvorce. Povedzme, že je daný výraz?4 +?9. Prvé číslo 4 je druhá mocnina čísla 2. Druhé číslo 9 je druhá mocnina čísla 3. Ukazuje sa teda, že: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ak pod odmocninou nie sú žiadne plné štvorce, skúste preniesť násobiteľ čísla pod odmocninou. Povedzme, nech je daný výraz?24 +?54. Rozložte čísla na faktor: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. V čísle 24 je faktor 4, ten, ktorý je možné preniesť z odmocniny. V čísle 54 je faktor 9. Ukazuje sa teda, že: V tomto príklade sa v dôsledku odstránenia faktora z koreňového znamienka ukázalo, že sa daný výraz zjednodušil.

3. Nech súčet 2 odmocničiek je menovateľom zlomku, povedzme A / (?a + ?b). A to aj v prípade, že stojíte pred úlohou „zbaviť sa iracionality v menovateli“. Potom môžete použiť nasledujúcu metódu. Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku výrazom? a -? b. V menovateli teda dostaneme vzorec pre skrátené násobenie: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Analogicky, ak je rozdiel koreňov daný v menovateli: ?a - ?b, potom čitateľ a menovateľ zlomku treba vynásobiť výrazom?a + ?b. Povedzme napríklad 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2* (a5 - ?3).

4. Uvažujme o zložitejšom príklade zbavenia sa iracionality v menovateli. Nech je daný zlomok 12 / (?2 +?3 +?5). Čitateľ a menovateľ zlomku musíte vynásobiť výrazom? 2 + ? 3 - ? 5:12 / (? 2 + ? 3 + ? 5) = 12 * (? + ?5) * (?2 + ? 3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) \u003d 2 *? 3 + 3 *? 2 - 30.

5. A nakoniec, ak potrebujete iba približnú hodnotu, môžete na kalkulačke vypočítať odmocniny. Vypočítajte hodnoty oddelene pre celé číslo a zapíšte ich s požadovanou presnosťou (povedzme na dve desatinné miesta). A potom vykonajte požadované aritmetické operácie ako s bežnými číslami. Povedzme, že potrebujete zistiť približnú hodnotu výrazu?7 +?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Podobné videá

Poznámka!
V žiadnom prípade nemožno sčítať odmocniny ako primitívne čísla, t.j. ?3 + ?2? ?5!!!

Užitočné rady
Ak vyrátate číslo, aby ste posunuli štvorec spod koreňového znamienka, vykonajte opačnú kontrolu - vynásobte všetky výsledné faktory a získajte pôvodné číslo.

V matematike môžu byť odmocniny štvorcové, kubické alebo môžu mať akýkoľvek iný mocninec, ktorý sa píše vľavo nad odmocninou. Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva koreňový výraz. Sčítanie koreňov je podobné ako sčítanie členov algebraického výrazu, to znamená, že vyžaduje definíciu podobných koreňov.

Kroky

Označenie koreňa. Výraz pod koreňovým znakom () znamená, že z tohto výrazu je potrebné extrahovať koreň určitého stupňa.

• Koreň je označený znakom.
• Index (stupeň) koreňa sa píše vľavo nad znakom koreňa. Napríklad odmocnina z 27 sa zapíše ako: (27)
• Ak exponent (stupeň) koreňa chýba, potom sa exponent považuje za rovný 2, to znamená, že je to druhá odmocnina (alebo odmocnina druhého stupňa).
• Číslo napísané pred odmocninou sa nazýva násobiteľ (to znamená, že toto číslo sa vynásobí odmocninou), napríklad 5 (2)
• Ak pred odmocninou nie je žiadny faktor, potom sa rovná 1 (pripomeňme, že každé číslo vynásobené 1 sa rovná samému sebe).
• Ak pracujete s odmocninou prvýkrát, urobte si príslušné poznámky o násobiteľovi a exponente odmocniny, aby ste sa nezamotali a lepšie porozumeli ich účelu.

Pamätajte, ktoré korene sa dajú zložiť a ktoré nie. Rovnako ako nemôžete pridať rôzne výrazy výrazu, ako napríklad 2a + 2b 4ab, nemôžete pridať rôzne korene.

Identifikujte a zoskupte podobné korene. Podobné korene sú korene, ktoré majú rovnaké exponenty a rovnaké koreňové výrazy. Zvážte napríklad výraz:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Najprv prepíšte výraz tak, aby korene s rovnakým exponentom boli v sérii.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Potom výraz prepíšte tak, aby korene s rovnakým exponentom a rovnakým koreňovým výrazom boli v rade.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Zjednodušte svoje korene. Ak to chcete urobiť, rozložte (ak je to možné) radikálne výrazy na dva faktory, z ktorých jeden je vybratý spod koreňa. V tomto prípade sa vykreslené číslo a koreňový faktor vynásobia.

Pridajte faktory podobných koreňov. V našom príklade sú podobné odmocniny z 2 (môžu sa sčítať) a podobné odmocniny z 3 (môžu sa aj sčítať). Kocka z 3 takéto korene nemá.

• Neexistujú žiadne všeobecne akceptované pravidlá pre poradie, v ktorom sú korene zapísané vo výraze. Preto môžete písať korene vo vzostupnom poradí ich exponentov a vo vzostupnom poradí radikálnych výrazov.

Všetko zaujímavé

Číslo, ktoré je pod znamienkom koreňa, často zasahuje do riešenia rovnice, je nepohodlné s ním pracovať. Aj keď sa zvýši na mocninu, zlomok alebo sa do určitej miery nedá reprezentovať ako celé číslo, možno sa ho pokúsiť odvodiť z...

Odmocnina čísla x je číslo, ktoré sa po umocnení odmocniny bude rovnať x. Násobiteľ je číslo, ktoré sa násobí. To znamená, že vo výraze ako x*ª-&radic-y musíte pridať x pod koreň. Návod 1 Určite stupeň...

Ak koreňový výraz obsahuje množinu matematických operácií s premennými, potom je niekedy možné v dôsledku jeho zjednodušenia získať relatívne jednoduchú hodnotu, ktorej časť je možné vybrať spod koreňa. Toto zjednodušenie je užitočné...

Aritmetické operácie s koreňmi rôznych stupňov môžu výrazne zjednodušiť výpočty vo fyzike a technike a spresniť ich. Pri násobení a delení je vhodnejšie nevyberať koreň z každého faktora alebo deliteľa a deliteľa, ale najprv ...

Druhá odmocnina čísla x je číslo a, ktoré po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, x = a. Ako pri každom čísle, aj tu môžete vykonávať aritmetické operácie sčítania a odčítania s odmocninami. Pokyn...

Koreň v matematike môže mať dva významy: je to aritmetická operácia a každé z riešení rovnice, algebraické, parametrické, diferenciálne alebo akékoľvek iné. Návod 1Koeň n-tého stupňa čísla a je také číslo, ktoré ...

Pri vykonávaní rôznych aritmetických operácií s koreňmi je často potrebné vedieť transformovať radikálne výrazy. Na zjednodušenie výpočtov môže byť potrebné odobrať faktor zo znamienka radikálu alebo ho umiestniť pod neho. Táto akcia môže...

Koreň je ikona, ktorá označuje matematickú operáciu nájdenia takého čísla, ktorého zvýšenie na mocninu uvedenú pred znamienkom koreňa by malo dať číslo uvedené pod týmto znamienkom. Často na riešenie problémov, v ktorých sú ...

Znak koreňa v matematických vedách je symbolom koreňov. Číslo pod koreňovým znakom sa nazýva radikálny výraz. V prípade absencie exponentu je odmocninou štvorec, inak číslo označuje ...

Aritmetickým koreňom n-tého stupňa reálneho čísla a je také nezáporné číslo x, ktorého n-tá mocnina sa rovná číslu a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Existujú rôzne spôsoby, ako pridať aritmetický koreň a racionálne číslo.…

N-tá odmocnina reálneho čísla a je číslo b, pre ktoré platí rovnosť b^n = a. Nepárne korene existujú pre záporné a kladné čísla a párne korene existujú len pre kladné čísla.…

Obsah:

V matematike môžu byť odmocniny štvorcové, kubické alebo môžu mať akýkoľvek iný mocninec, ktorý sa píše vľavo nad odmocninou. Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva koreňový výraz. Sčítanie koreňov je podobné ako sčítanie členov algebraického výrazu, to znamená, že vyžaduje definíciu podobných koreňov.

Kroky

Časť 1 Hľadanie koreňov

1. 1 Označenie koreňa. Výraz pod znamienkom koreňa (√) znamená, že z tohto výrazu je potrebné extrahovať koreň určitého stupňa.
   • Koreň sa označuje znamienkom √.
   • Index (stupeň) koreňa sa píše vľavo nad znakom koreňa. Napríklad odmocnina čísla 27 je napísaná takto: 3 √(27)
   • Ak exponent (stupeň) koreňa chýba, potom sa exponent považuje za rovný 2, to znamená, že je to druhá odmocnina (alebo odmocnina druhého stupňa).
   • Číslo napísané pred odmocninou sa nazýva faktor (to znamená, že toto číslo sa vynásobí odmocninou), napríklad 5√ (2)
   • Ak pred odmocninou nie je žiadny faktor, potom sa rovná 1 (pripomeňme, že každé číslo vynásobené 1 sa rovná samému sebe).
   • Ak pracujete s odmocninou prvýkrát, urobte si príslušné poznámky o násobiteľovi a exponente odmocniny, aby ste sa nezamotali a lepšie porozumeli ich účelu.
2. 2 Pamätajte, ktoré korene sa dajú zložiť a ktoré nie. Rovnako ako nemôžete pridať rôzne výrazy výrazu, napríklad 2a + 2b ≠ 4ab, nemôžete pridať rôzne korene.
   • Nemôžete pridať korene s rôznymi radikálnymi výrazmi, napríklad √(2) + √(3) ≠ √(5). Čísla však môžete pridať pod rovnakú odmocninu, napríklad √(2 + 3) = √(5) (druhá odmocnina z 2 je približne 1,414, druhá odmocnina z 3 je približne 1,732 a druhá odmocnina z 5 je približne 2,236).
   • Nemôžete sčítať korene s rovnakými koreňovými výrazmi, ale s rôznymi exponentmi, napríklad √ (64) + 3 √ (64) (tento súčet sa nerovná 5 √ (64), keďže druhá odmocnina z 64 je 8, odmocnina z 64 je 4 , 8 + 4 = 12, čo je oveľa väčšie ako piata odmocnina z 64, čo je približne 2,297).

Časť 2 Zjednodušenie a pridanie koreňov

1. 1 Identifikujte a zoskupte podobné korene. Podobné korene sú korene, ktoré majú rovnaké exponenty a rovnaké koreňové výrazy. Zvážte napríklad výraz:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Najprv prepíšte výraz tak, aby korene s rovnakým exponentom boli v sérii.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Potom výraz prepíšte tak, aby korene s rovnakým exponentom a rovnakým koreňovým výrazom boli v rade.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Zjednodušte svoje korene. Ak to chcete urobiť, rozložte (ak je to možné) radikálne výrazy na dva faktory, z ktorých jeden je vybratý spod koreňa. V tomto prípade sa vykreslené číslo a koreňový faktor vynásobia.
   • Vo vyššie uvedenom príklade znásobte 50 na 2*25 a číslo 32 na 2*16. Z 25 a 16 môžete vziať odmocniny (respektíve 5 a 4) a vybrať 5 a 4 spod odmocniny, respektíve ich vynásobiť faktormi 2 a 1. Získate tak zjednodušený výraz: 10√(2) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Číslo 81 možno rozdeliť na 3 * 27 a odmocninu 3 je možné vziať z čísla 27. Toto číslo 3 možno vybrať spod odmocniny. Takto získate ešte zjednodušený výraz: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Pridajte faktory podobných koreňov. V našom príklade sú podobné odmocniny z 2 (môžu sa sčítať) a podobné odmocniny z 3 (môžu sa aj sčítať). Kocka z 3 takéto korene nemá.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Konečný zjednodušený výraz: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Neexistujú žiadne všeobecne akceptované pravidlá pre poradie, v ktorom sú korene zapísané vo výraze. Preto môžete písať korene vo vzostupnom poradí ich exponentov a vo vzostupnom poradí radikálnych výrazov.