MATEMATICKÝ MODEL - reprezentácia javu alebo procesu študovaného v konkrétnych vedeckých poznatkoch v jazyku matematických pojmov. Zároveň sa predpokladá, že na ceste štúdia skutočných matematických charakteristík modelu sa získa množstvo vlastností skúmaného javu. Výstavba M.m. najčastejšie diktované potrebou kvantitatívnej analýzy študovaných javov a procesov, bez ktorej nie je možné robiť experimentálne overiteľné predpovede o ich priebehu.

Proces matematického modelovania spravidla prechádza nasledujúcimi fázami. V prvej fáze sú väzby medzi hlavnými parametrami budúceho M.m. V prvom rade hovoríme o kvalitatívnej analýze skúmaných javov a formulácii vzorcov, ktoré spájajú hlavné objekty výskumu. Na tomto základe sa vykonáva identifikácia objektov, ktoré umožňujú kvantitatívny popis. Etapa končí zostrojením hypotetického modelu, inými slovami, záznamom v jazyku matematických konceptov kvalitatívnych predstáv o vzťahoch medzi hlavnými objektmi modelu, ktoré možno kvantitatívne charakterizovať.

V druhej fáze prebieha štúdium skutočných matematických problémov, ku ktorým vedie skonštruovaný hypotetický model. Hlavná vec v tejto fáze je získať empiricky overiteľné teoretické dôsledky (riešenie priameho problému) ako výsledok matematickej analýzy modelu. Zároveň nie sú ojedinelé prípady, keď sa pre stavbu a štúdium M.m. v rôznych oblastiach konkrétnych vedeckých poznatkov sa používa rovnaký matematický aparát (napríklad diferenciálne rovnice) a vznikajú matematické problémy rovnakého typu, hoci v každom konkrétnom prípade veľmi netriviálne. Okrem toho v tomto štádiu nadobúda veľký význam využitie vysokorýchlostnej výpočtovej techniky (počítača), ktorá umožňuje získať približné riešenie problémov, často nemožné v rámci čistej matematiky, s predtým nedostupným (bez použitie počítača) stupeň presnosti.

Tretia etapa je charakterizovaná aktivitami na identifikáciu stupňa primeranosti konštruovaného hypotetického M.m. tie javy a procesy, na štúdium ktorých bol určený. Totiž v prípade, že boli špecifikované všetky parametre modelu, výskumníci sa snažia zistiť, ako sú v rámci presnosti pozorovaní ich výsledky v súlade s teoretickými dôsledkami modelu. Odchýlky presahujúce presnosť pozorovaní naznačujú nevhodnosť modelu. Často sa však vyskytujú prípady, keď pri stavbe modelu zostane množstvo jeho parametrov nezmenených.

neurčitý. Problémy, v ktorých sú parametrické charakteristiky modelu stanovené tak, že teoretické dôsledky sú v rámci presnosti pozorovaní porovnateľné s výsledkami empirických testov, sa nazývajú inverzné problémy.

V štvrtej fáze, berúc do úvahy identifikáciu stupňa primeranosti skonštruovaného hypotetického modelu a vznik nových experimentálnych údajov o skúmaných javoch, prebieha následná analýza a modifikácia modelu. Tu sa prijaté rozhodnutie mení od bezpodmienečného odmietnutia aplikovaných matematických nástrojov až po prijatie skonštruovaného modelu ako základu pre vytvorenie zásadne novej vedeckej teórie.

Prvý M.m. sa objavil v starovekej vede. Na modelovanie slnečnej sústavy teda grécky matematik a astronóm Eudoxus dal každej planéte štyri gule, ktorých kombináciou pohybu vznikol hroch – matematická krivka podobná pozorovanému pohybu planéty. Keďže však tento model nedokázal vysvetliť všetky pozorované anomálie v pohybe planét, bol neskôr nahradený epicyklickým modelom Apollonia z Perge. Hipparchos použil vo svojich štúdiách najnovší model a potom, keď ho podrobil určitej úprave, Ptolemaios. Tento model, podobne ako jeho predchodcovia, bol založený na presvedčení, že planéty vykonávajú rovnomerné kruhové pohyby, ktorých prekrývanie vysvetľovalo zjavné nepravidelnosti. Zároveň treba poznamenať, že kopernikovský model bol zásadne nový len v kvalitatívnom zmysle (nie však ako M.M.). A len Kepler na základe pozorovaní Tycha Braheho postavil nový M.m. Slnečná sústava, čo dokazuje, že planéty sa nepohybujú po kruhových, ale po eliptických dráhach.

V súčasnosti sú najvhodnejšie MM konštruované na popis mechanických a fyzikálnych javov. O primeranosti M.m. mimo fyziky sa dá, až na pár výnimiek, hovoriť s poriadnou dávkou opatrnosti. Napriek tomu stanovenie hypotetickosti a často jednoducho nedostatočnosti M.m. v rôznych oblastiach poznania netreba podceňovať ich úlohu pri rozvoji vedy. Časté sú prípady, keď aj modely, ktoré nie sú ani zďaleka adekvátne, do značnej miery organizované a podnecované k ďalšiemu výskumu spolu s chybnými závermi obsahovali tie zrnká pravdy, ktoré plne odôvodňovali úsilie vynaložené na vývoj týchto modelov.

Literatúra:

Matematické modelovanie. M., 1979;

Ruzavín G.I. Matematizácia vedeckých poznatkov. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferenciálne rovnice v ekológii: historická a metodologická reflexia // Problémy dejín prírodných vied a techniky. 1997. Číslo 3.

Slovník filozofických pojmov. Vedecké vydanie profesora V.G. Kuznecovová. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.

Počítače pevne vstúpili do našich životov a prakticky neexistuje taká oblasť ľudskej činnosti, kde by sa počítače nepoužívali. Počítače sa dnes vo veľkej miere využívajú v procese tvorby a výskumu nových strojov, nových technologických postupov a hľadania ich optimálnych možností; pri riešení ekonomických problémov, pri riešení problémov plánovania a riadenia výroby na rôznych úrovniach. Vytváranie veľkých objektov v raketovej technike, stavbe lietadiel, lodiarstve, ako aj projektovanie priehrad, mostov atď., je vo všeobecnosti nemožné bez použitia počítačov.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t.j. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Slovo „model“ pochádza z latinského modus (kópia, obrázok, obrys). Modelovanie je nahradenie niektorého objektu A iným objektom B. Nahradený objekt A sa nazýva pôvodný alebo modelovací objekt a náhrada B sa nazýva model. Inými slovami, model je objektová náhrada pôvodného objektu, ktorá poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu.

Účelom modelovania je získavať, spracovávať, prezentovať a využívať informácie o objektoch, ktoré sa navzájom ovplyvňujú a s vonkajším prostredím; a model tu pôsobí ako prostriedok poznania vlastností a vzorcov správania sa objektu.

Matematické modelovanie je prostriedkom na štúdium skutočného objektu, procesu alebo systému ich nahradením matematickým modelom, ktorý je vhodnejší pre experimentálny výskum pomocou počítača.

Matematické modelovanie je proces vytvárania a štúdia matematických modelov reálnych procesov a javov. Všetky prírodné a spoločenské vedy, ktoré používajú matematický aparát, sa v podstate zaoberajú matematickým modelovaním: nahrádzajú skutočný objekt jeho modelom a potom ho študujú. Ako v prípade každej simulácie, ani matematický model úplne nepopisuje skúmaný jav a otázky o použiteľnosti takto získaných výsledkov sú veľmi zmysluplné. Matematický model je zjednodušený popis reality pomocou matematických pojmov.

Matematický model vyjadruje podstatné znaky objektu alebo procesu v reči rovníc a iných matematických prostriedkov. Prísne vzaté, samotná matematika vďačí za svoju existenciu tomu, čo sa snaží reflektovať, t.j. modelovať vo svojom vlastnom špecifickom jazyku vzory okolitého sveta.

O matematického modelovaniaštúdium objektu sa uskutočňuje pomocou modelu formulovaného v jazyku matematiky s použitím určitých matematických metód.

Cesta matematického modelovania v našej dobe je oveľa komplexnejšia ako prirodzené modelovanie. Obrovský impulz pre rozvoj matematického modelovania dal nástup počítačov, hoci samotná metóda sa zrodila súčasne s matematikou pred tisíckami rokov.

Matematické modelovanie ako také nie vždy vyžaduje počítačovú podporu. Každý odborník, ktorý sa profesionálne venuje matematickému modelovaniu, robí všetko pre analytické štúdium modelu. Analytické riešenia (t. j. reprezentované vzorcami vyjadrujúcimi výsledky štúdie prostredníctvom počiatočných údajov) sú zvyčajne pohodlnejšie a informatívnejšie ako numerické. Možnosti analytických metód na riešenie zložitých matematických problémov sú však veľmi obmedzené a spravidla sú tieto metódy oveľa komplikovanejšie ako numerické.

Matematický model je približná reprezentácia skutočných objektov, procesov alebo systémov, vyjadrená v matematických pojmoch a zachovávajúca základné črty originálu. Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštrukcií popisujú hlavné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Všetky modely možno rozdeliť do dvoch tried:

1. reálny,
2. ideálne.

Na druhej strane, skutočné modely možno rozdeliť na:

1. prirodzené,
2. fyzický,
3. matematický.

Ideálne modely možno rozdeliť na:

1. vizuálne,
2. ikonický,
3. matematický.

Skutočné modely v plnom rozsahu sú skutočné objekty, procesy a systémy, na ktorých sa vykonávajú vedecké, technické a priemyselné experimenty.

Skutočné fyzikálne modely sú makety, modely, ktoré reprodukujú fyzikálne vlastnosti originálov (kinematické, dynamické, hydraulické, tepelné, elektrické, svetelné modely).

Skutočné matematické modely sú analógové, štrukturálne, geometrické, grafické, digitálne a kybernetické modely.

Ideálne vizuálne modely sú diagramy, mapy, kresby, grafy, grafy, analógy, štrukturálne a geometrické modely.

Ideálne modely znakov sú symboly, abeceda, programovacie jazyky, usporiadaná notácia, topologická notácia, sieťová reprezentácia.

Ideálne matematické modely sú analytické, funkčné, simulačné, kombinované modely.

Vo vyššie uvedenej klasifikácii majú niektoré modely dvojitú interpretáciu (napríklad analóg). Všetky modely, okrem plnohodnotných, je možné kombinovať do jednej triedy mentálnych modelov, od r sú produktom abstraktného myslenia človeka.

Prvky teórie hier

Vo všeobecnom prípade je vyriešenie hry pomerne náročná úloha a zložitosť problému a množstvo výpočtov potrebných na vyriešenie sa prudko zvyšuje so zvyšujúcim sa . Tieto ťažkosti však nie sú zásadného charakteru a sú spojené len s veľmi veľkým objemom výpočtov, ktoré sa v mnohých prípadoch môžu ukázať ako prakticky nerealizovateľné. Základná stránka metódy hľadania riešenia zostáva pre každého jeden a ten istý.

Ukážme si to na príklade hry. Dajme tomu geometrický výklad – už priestorový. Naše tri stratégie znázorníme tromi bodmi na rovine ; prvá leží v počiatku (obr. 1). druhý a tretí - na osiach Oh a OU vo vzdialenostiach 1 od počiatku.

Osi I-I, II-II a III-III sú nakreslené bodmi kolmo na rovinu . Na osi I-I sú výnosy pre stratégiu vynesené na osiach II-II a III-III - výnosy pre stratégie. Stratégia každého nepriateľa bude reprezentovaná rovinou odrezanou na osiach I-I, II-II a III-III, segmenty sa rovnajú ziskom

s vhodnou stratégiou a stratégiou . Po zostrojení všetkých stratégií nepriateľa získame rodinu lietadiel nad trojuholníkom (obr. 2).

Pre túto rodinu je tiež možné zostrojiť dolnú hranicu výplaty, ako sme to urobili v tomto prípade, a nájsť na tejto hranici bod N s maximálnou výškou v rovine . Táto výška bude cenou hry.

Frekvencie stratégií v optimálnej stratégii budú určené súradnicami (x, y) body N, a to:

Takáto geometrická konštrukcia však ani pre prípad nie je jednoduchá na realizáciu a vyžaduje veľkú investíciu času a fantázie. Vo všeobecnom prípade hry sa však prenesie do -dimenzionálneho priestoru a stratí všetku prehľadnosť, hoci použitie geometrickej terminológie môže byť v niektorých prípadoch užitočné. Pri riešení hier v praxi je vhodnejšie používať nie geometrické analógie, ale výpočtové analytické metódy, najmä preto, že tieto metódy sú jediné vhodné na riešenie problémov na počítačoch.

Všetky tieto metódy sa v podstate redukujú na riešenie problému postupnými pokusmi, ale zoradenie postupnosti pokusov vám umožňuje zostaviť algoritmus, ktorý vedie k riešeniu najhospodárnejším spôsobom.

Tu sa stručne zastavíme pri jednej výpočtovej metóde riešenia hier - na metóde takzvaného „lineárneho programovania“.

Aby sme to dosiahli, najprv uvedieme všeobecné vyhlásenie o probléme hľadania riešenia hry. Nech je hra daná t hráčske stratégie ALE a n hráčske stratégie AT a je daná výplatná matica

Je potrebné nájsť riešenie hry, t.j. dve optimálne zmiešané stratégie pre hráčov A a B

kde (niektoré z čísel a môže sa rovnať nule).

Naša optimálna stratégia S*A by nám mali poskytnúť odmenu nie nižšiu ako , za akékoľvek správanie nepriateľa, a odmenu rovnajúcu sa , za jeho optimálne správanie (stratégia S*B).Podobne stratégia S*B musí poskytnúť nepriateľovi stratu nie väčšiu ako , pre akékoľvek naše správanie a rovnajúcu sa pre naše optimálne správanie (stratégia S*A).

Hodnota hry v tomto prípade je nám neznáma; budeme predpokladať, že sa rovná nejakému kladnému číslu. Za predpokladu, že to neporušujeme všeobecnosť uvažovania; na to, aby bola > 0, zjavne postačuje, aby všetky prvky matice boli nezáporné. To sa dá vždy dosiahnuť pridaním dostatočne veľkej kladnej hodnoty L k prvkom, v tomto prípade sa náklady na hru zvýšia o L a riešenie sa nezmení.

Zvoľme si optimálnu stratégiu S* A. Potom sa naša priemerná odmena za súperovu stratégiu bude rovnať:

Naša optimálna stratégia S*A má vlastnosť, že za akékoľvek správanie protivníka poskytuje zisk nie menší ako ; preto žiadne z čísel nemôže byť menšie ako . Dostávame niekoľko podmienok:

(1)

Vydeľte nerovnosti (1) kladnou hodnotou a označte:

Potom podmienku (1) možno zapísať ako

(2)

kde sú nezáporné čísla. Pretože množstvá spĺňajú podmienku

Chceme, aby naše garantované víťazstvo bolo čo najvyššie; Je zrejmé, že v tomto prípade má pravá strana rovnosti (3) minimálnu hodnotu.

Problém nájdenia riešenia hry sa teda redukuje na nasledujúci matematický problém: definovať nezáporné veličiny splnenia podmienok (2), takže ich súčet

bol minimálny.

Zvyčajne sa pri riešení problémov súvisiacich s hľadaním extrémnych hodnôt (maximum a minimá) funkcia diferencuje a derivácie sa rovnajú nule. Takáto technika je však v tomto prípade zbytočná, pretože funkcia Ф, ktorá potrebu minimalizovať, je lineárny a jeho deriváty vzhľadom na všetky argumenty sú rovné jednej, t.j. nikde nemiznú. V dôsledku toho sa maximum funkcie dosiahne niekde na hranici oblasti zmeny argumentov, ktorá je určená požiadavkou nezápornosti argumentov a podmienok (2). Metóda zisťovania extrémnych hodnôt pomocou diferenciácie je nevhodná aj v tých prípadoch, keď je pre riešenie hry určené maximum dolnej (alebo minimálne hornej) hranice výplaty, ako sme to urobili my. robili to napríklad pri riešení hier, dolná hranica sa totiž skladá z úsekov priamok a maximum sa nedosiahne v bode, kde sa derivácia rovná nule (taký bod vôbec neexistuje), ale na hranici intervalu alebo v mieste priesečníka priamych úsekov.

Na riešenie takýchto problémov, ktoré sú v praxi celkom bežné, bol v matematike vyvinutý špeciálny prístroj. lineárne programovanie.

Problém lineárneho programovania je položený nasledovne.

Daný systém lineárnych rovníc:

(4)

Je potrebné nájsť nezáporné hodnoty veličín vyhovujúcich podmienkam (4) a zároveň minimalizovať danú homogénnu lineárnu funkciu veličín (lineárny tvar):

Je ľahké vidieť, že vyššie uvedený problém teórie hier je konkrétnym prípadom problému lineárneho programovania

Na prvý pohľad sa môže zdať, že podmienky (2) nie sú ekvivalentné s podmienkami (4), keďže namiesto znamienka rovnosti obsahujú znamienka nerovnosti. Znakov nerovností sa však dá ľahko zbaviť zavedením nových fiktívnych nezáporných premenných a zapisovaním podmienok (2) v tvare:

(5)

Tvar Ф, ktorý musí byť minimalizovaný, sa rovná

Lineárne programovacie zariadenie umožňuje pomocou relatívne malého počtu po sebe nasledujúcich vzoriek vybrať hodnoty , splnenie požiadaviek. Pre väčšiu názornosť si tu ukážeme využitie tohto aparátu priamo na materiáli riešenia konkrétnych hier.

Typy matematických modelov

V závislosti od toho, aké prostriedky, za akých podmienok a vo vzťahu k akým predmetom poznania sa realizuje schopnosť modelov odrážať realitu, vzniká ich veľká rozmanitosť a s ňou aj klasifikácie. Zovšeobecnením existujúcich klasifikácií vyčleňujeme základné modely podľa aplikovaného matematického aparátu, na základe ktorého sa vyvíjajú špeciálne modely (obrázok 8.1).

Obrázok 8.1 - Formálna klasifikácia modelov

Matematické modely zobrazujú študované objekty (procesy, systémy) vo forme explicitných funkčných vzťahov: algebraické rovnosti a nerovnosti, integrál a diferenciál, konečný rozdiel a iné matematické výrazy (zákon o rozdelení náhodnej premennej, regresné modely atď.) , ako aj vzťahy matematickej logiky.

V závislosti od dvoch základných čŕt budovania matematického modelu – typu opisu vzťahov príčina – následok a ich zmien v čase – existujú deterministické a stochastické, statické a dynamické modely (obrázok 8.2).

Účelom diagramu zobrazeného na obrázku je zobraziť nasledujúce funkcie:

1) matematické modely môžu byť deterministické aj stochastické;

2) deterministické a stochastické modely môžu byť statické aj dynamické.

Matematický model je tzv deterministický (deterministický), ak sú všetky jeho parametre a premenné jednoznačne určenými hodnotami a je splnená aj podmienka úplnej istoty informácie. V opačnom prípade za podmienok informačnej neistoty, keď parametre a premenné modelu sú náhodné premenné, sa model nazýva stochastický (pravdepodobný).

Obrázok 8.2 - Triedy matematických modelov

Model sa volá dynamický ak sa aspoň jedna premenná mení v priebehu časových období a statické ak sa prijme hypotéza, že premenné sa v čase nemenia.

V najjednoduchšom prípade bilančné modely pôsobí vo forme bilančnej rovnice, kde súčet všetkých príjmov je umiestnený na ľavej strane a strana výdavkov je tiež vo forme sumy na pravej strane. Napríklad v tejto forme je uvedený ročný rozpočet organizácie.

Na základe štatistických údajov možno zostaviť nielen bilančné, ale aj korelačno-regresné modely.

Ak funkcia Y závisí nielen od premenných x 1 , x 2 , ... x n , ale aj od iných faktorov, vzťah medzi Y a x 1 , x 2, ... x n je nepresný alebo korelačný, na rozdiel od presný alebo funkčný vzťah. Korelačné sú napríklad vo väčšine prípadov sledované súvislosti medzi výstupnými parametrami OPS a faktormi jeho vnútorného a vonkajšieho prostredia (pozri tému 5).

Korelačno-regresné modely získané pri štúdiu vplyvu celého komplexu faktorov na hodnotu konkrétneho znaku pomocou štatistického aparátu. V tomto prípade je úlohou nielen stanoviť korelačný vzťah, ale tento vzťah aj analyticky vyjadriť, teda vybrať rovnice, ktoré túto korelačnú závislosť opisujú (regresná rovnica).

Na zistenie číselnej hodnoty parametrov regresnej rovnice sa používa metóda najmenších štvorcov. Podstatou tejto metódy je zvoliť takú priamku, v ktorej by bol súčet druhých mocnín odchýlok ordinát Y jednotlivých bodov od nej najmenší.

Korelačno-regresné modely sa často používajú pri štúdiu javov, keď je potrebné stanoviť vzťah medzi zodpovedajúcimi charakteristikami v dvoch alebo viacerých sériách. V tomto prípade párová a viacnásobná lineárna regresia formulára

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b.

V dôsledku aplikácie metódy najmenších štvorcov sa nastavia hodnoty parametrov a alebo a 1 , a 2 , …, a n a b a následne sa vykonajú odhady presnosti aproximácie a významnosti výslednej regresnej rovnice.

V špeciálnej skupine sú grafovo-analytické modely . Používajú rôznu grafiku, a preto majú dobrú viditeľnosť.

Teória grafov - jedna z teórií diskrétnej matematiky, študuje grafy, ktoré sa chápu ako množina bodov a čiar, ktoré ich spájajú. Graf je nezávislý matematický objekt (prvý ho predstavil Koenig D.). Na základe teórie grafov sa najčastejšie stavajú stromové a sieťové modely.

Stromový model (strom) je neorientovaný súvislý graf, ktorý neobsahuje slučky a cykly. Príkladom takéhoto modelu je strom cieľov.

Sieťové modely sú široko používané v riadení práce. Sieťové modely (grafy) odrážajú postupnosť prác a trvanie každej práce (obrázok 8.3).

Obrázok 8.3 - Sieťový model pracovného výkonu

Každý riadok sieťového diagramu je nejaký druh práce. Číslo vedľa neho znamená trvanie jeho vykonania.

Sieťové modely umožňujú nájsť takzvanú kritickú cestu a optimalizovať časový harmonogram výroby práce pri obmedzeniach iných zdrojov.

Sieťové modely môžu byť deterministické a stochastické. V druhom prípade je trvanie práce dané zákonmi rozdelenia náhodných veličín.

Optimalizačné modely slúžia na určenie optimálnej trajektórie systému na dosiahnutie stanoveného cieľa, keď sú na kontrolu jeho správania a pohybu kladené nejaké obmedzenia. V tomto prípade optimalizačné modely popisujú rôzne druhy problémov hľadania extrému nejakej objektívnej funkcie (optimalizačného kritéria).

Na identifikáciu najlepšieho spôsobu dosiahnutia cieľa riadenia v podmienkach obmedzených zdrojov – technických, materiálnych, pracovných a finančných – sa využívajú metódy výskumných operácií. Patria sem metódy matematického programovania (lineárne a nelineárne, celočíselné, dynamické a stochastické programovanie), analytické a pravdepodobnostno-štatistické metódy, sieťové metódy, metódy teórie radenia, teória hier (teória konfliktných situácií) atď.

Optimalizačné modely sa používajú na objemové a rozvrhovanie, riadenie zásob, distribúciu zdrojov a práce, výmenu, parametrizáciu a štandardizáciu zariadení, distribúciu tokov dodávok komodít na prepravnej sieti a ďalšie úlohy riadenia.

Jedným z hlavných úspechov teórie operačného výskumu je typizácia modelov riadenia a metód riešenia problémov. Napríklad na riešenie transportného problému v závislosti od jeho rozmeru boli vyvinuté typické metódy - Vogelova metóda, potenciálna metóda, simplexová metóda. Pri riešení problému riadenia zásob možno v závislosti od jeho formulácie použiť aj analytické a pravdepodobnostno-štatistické metódy, metódy dynamického a stochastického programovania.

V manažmente sa osobitný význam prikladá sieťovým metódam plánovania. Tieto metódy umožnili nájsť nový a veľmi pohodlný jazyk na popis, modelovanie a analýzu zložitých viacstupňových prác a projektov. V operačnom výskume sa významné miesto venuje zlepšovaniu riadenia zložitých systémov pomocou metód teórie radenia (pozri časť 8.3) a aparátu Markovových procesov.

Modely Markovových stochastických procesov- sústava diferenciálnych rovníc popisujúca fungovanie systému alebo jeho procesov ako množiny usporiadaných stavov na určitej trajektórii správania sa systému. Táto trieda modelov je široko používaná v matematickom modelovaní fungovania zložitých systémov.

Modely teórie hier slúžia na výber optimálnej stratégie v podmienkach obmedzených náhodných informácií alebo úplnej neistoty.

Hra je matematický model skutočnej konfliktnej situácie, ktorej riešenie sa uskutočňuje podľa určitých pravidiel, algoritmov, ktoré popisujú určitú stratégiu správania sa osoby, ktorá sa rozhoduje v podmienkach neistoty.

Existujú „hry s prírodou“ a „hry s nepriateľom“. Na základe situácie sa určujú metódy a kritériá hodnotenia rozhodovania. Takže pri „hraní sa s prírodou“ sa používajú tieto kritériá: Laplace, maximin (Waldovo kritérium) a minimax, Hurwitz a Savage a množstvo ďalších algoritmických pravidiel. V „hrách s nepriateľom“ sa na rozhodovanie používajú výplatné matice, maximálne a minimaxové kritériá, ako aj špeciálne matematické transformácie, pretože rozhodovateľ stojí proti nepriateľskému protivníkovi.

Uvažované typy matematických modelov nepokrývajú celú ich možnú rôznorodosť, ale iba charakterizujú jednotlivé typy v závislosti od akceptovaného aspektu klasifikácie. V.A. Kardash sa pokúsil vytvoriť systém na klasifikáciu modelov podľa štyroch aspektov detailovania (obrázok 8.4).

A - modely bez priestorovej diferenciácie parametrov;

B - modely s priestorovou diferenciáciou parametrov

Obrázok 8.4 - Klasifikácia modelov podľa štyroch aspektov detailovania

S rozvojom výpočtových nástrojov je jednou z najbežnejších metód rozhodovania obchodná hra, čo je numerický experiment s aktívnou účasťou človeka. Existujú stovky obchodných hier. Používajú sa na štúdium množstva problémov manažmentu, ekonomiky, teórie organizácie, psychológie, financií a obchodu.

Čo je to matematický model?

Koncept matematického modelu.

Matematický model je veľmi jednoduchý koncept. A veľmi dôležité. Práve matematické modely spájajú matematiku a skutočný život.

Zjednodušene povedané, matematický model je matematický popis akejkoľvek situácie. A to je všetko. Model môže byť primitívny, môže byť superkomplexný. Aká je situácia, aký je model.)

V akomkoľvek (opakujem - v hocijakom!) podnikanie, kde potrebujete niečo vypočítať a vypočítať - zaoberáme sa matematickým modelovaním. Aj keď o tom nevieme.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Tento záznam bude matematickým modelom nákladov na naše nákupy. Model nezohľadňuje farbu obalu, dátum spotreby, slušnosť pokladníkov a pod. Preto ona Model, nie skutočný nákup. Ale náklady, tj. čo potrebujeme- to budeme vedieť určite. Ak je model správny, samozrejme.

Je užitočné predstaviť si, čo je to matematický model, ale to nestačí. Najdôležitejšie je vedieť postaviť tieto modely.

Zostavenie (konštrukcia) matematického modelu problému.

Zostaviť matematický model znamená previesť podmienky problému do matematickej podoby. Tie. premeniť slová na rovnicu, vzorec, nerovnosť atď. Navyše to otočte tak, aby táto matematika presne zodpovedala pôvodnému textu. V opačnom prípade skončíme s matematickým modelom nejakého iného problému, ktorý nám nie je známy.)

Presnejšie povedané, potrebujete

Na svete je nekonečné množstvo úloh. Preto ponúknuť jasný návod krok za krokom na zostavenie matematického modelu akýkoľvekúlohy sú nemožné.

Existujú však tri hlavné body, ktorým musíte venovať pozornosť.

1. V každej úlohe je napodiv text.) Tento text má spravidla explicitné, otvorené informácie.Čísla, hodnoty atď.

2. V akejkoľvek úlohe je skryté informácie. Toto je text, ktorý predpokladá prítomnosť dodatočných vedomostí v hlave. Bez nich - nič. Navyše, matematické informácie sú často skryté za jednoduchými slovami a ... unikajú pozornosti.

3. V každej úlohe musí byť daný komunikácia medzi dátami. Toto spojenie môže byť uvedené v čistom texte (niečo sa rovná niečomu), alebo môže byť skryté za jednoduchými slovami. Jednoduché a jasné fakty sú však často prehliadané. A model nie je nijako zostavený.

Hneď musím povedať, že na uplatnenie týchto troch bodov je potrebné problém prečítať (a pozorne!) niekoľkokrát. Bežná vec.

A teraz - príklady.

Začnime jednoduchým problémom:

Petrovič sa vrátil z rybolovu a svoj úlovok hrdo prezentoval rodine. Pri bližšom skúmaní sa ukázalo, že 8 rýb pochádza zo severných morí, 20 % všetkých rýb pochádza z južných morí a ani jedna z miestnej rieky, kde lovil Petrovič. Koľko rýb kúpil Petrovič v obchode s morskými plodmi?

Všetky tieto slová je potrebné premeniť na nejakú rovnicu. Aby som to urobil, opakujem, vytvoriť matematický vzťah medzi všetkými údajmi problému.

Kde začať? Najprv vytiahneme všetky údaje z úlohy. Začnime po poriadku:

Sústreďme sa na prvý bod.

Čo je tu explicitné matematické informácie? 8 rýb a 20 %. Nie veľa, ale veľa nepotrebujeme.)

Venujme pozornosť druhému bodu.

hľadajú skrytý informácie. Ona je tu. Toto sú slová: „20 % všetkých rýb". Tu musíte pochopiť, aké sú percentá a ako sa počítajú. V opačnom prípade sa úloha nedá vyriešiť. Toto je presne ďalšia informácia, ktorá by mala byť v hlave.

Je tu tiež matematický informácie, ktoré sú úplne neviditeľné. to otázka na úlohu: "Koľko rýb si kúpil... Je to tiež číslo. A bez toho nebude zostavený žiadny model. Označme preto toto číslo písmenom "X". Zatiaľ nevieme, čomu sa x rovná, no takéto označenie sa nám bude veľmi hodiť. Viac informácií o tom, čo vziať za x a ako to zvládnuť, nájdete v lekcii Ako riešiť matematické úlohy? Hneď to napíšeme:

x kusov - celkový počet rýb.

V našom probléme sa južné ryby uvádzajú v percentách. Musíme ich preložiť na kúsky. Za čo? Čo je potom in akýkoľvekúlohou modelu by malo byť v rovnakých veľkostiach. Kusy - takže všetko je na kusy. Ak dostaneme, povedzme hodiny a minúty, všetko preložíme do jednej veci – buď len hodiny, alebo iba minúty. Je jedno aké. Je dôležité všetky hodnoty boli rovnaké.

Späť k odhaleniu. Kto nevie, čo je to za percentá, nikdy neprezradí, že áno ... A kto vie, hneď povie, že percentá sú tu z celkového počtu rýb dané. Toto číslo nepoznáme. Nič z toho nebude!

Celkový počet rýb (v kusoch!) nie je márne s písmenom "X" určený. Spočítať južnú rybu na kusy nebude fungovať, ale môžeme si to zapísať? Páči sa ti to:

0,2 x kusov - počet rýb z južných morí.

Teraz sme stiahli všetky informácie z úlohy. Explicitné aj skryté.

Venujme pozornosť tretiemu bodu.

hľadajú matematické spojenie medzi údajmi o úlohe. Toto spojenie je také jednoduché, že si ho mnohí nevšimnú... Často sa to stáva. Tu je užitočné jednoducho zapísať zhromaždené údaje do zväzku a zistiť, čo je čo.

čo máme? Existuje 8 kusov severná ryba, 0,2 x kus- južná ryba a x ryby- Celkom. Je možné tieto údaje nejako prepojiť? Áno Ľahko! celkový počet rýb rovná sa súčet južnej a severnej! No, kto by to bol povedal...) Tak si zapisujeme:

x = 8 + 0,2 x

Toto bude rovnica matematický model nášho problému.

Upozorňujeme, že v tomto probléme nie sme vyzvaní, aby sme nič zložili! Boli sme to my sami, z hláv, ktorí sme si uvedomili, že súčet južnej a severnej ryby nám dá celkový počet. Tá vec je taká zrejmá, že uniká pozornosti. Ale bez týchto dôkazov nie je možné zostaviť matematický model. Páči sa ti to.

Teraz môžete použiť všetku silu matematiky na vyriešenie tejto rovnice). Na to bol navrhnutý matematický model. Vyriešime túto lineárnu rovnicu a dostaneme odpoveď.

odpoveď: x=10

Urobme matematický model iného problému:

Petrovič dostal otázku: "Koľko máte peňazí?" Petrovič sa rozplakal a odpovedal: "Áno, len trochu. Ak miniem polovicu všetkých peňazí a polovicu zvyšku, zostane mi len jeden vrece peňazí..." Koľko peňazí má Petrovič?

Opäť pracujeme bod po bode.

1. Hľadáme explicitné informácie. Nenájdete to hneď! Explicitné informácie sú jeden vrecko na peniaze. Sú tam aj iné polovice... No, vyriešime to v druhom odseku.

2. Hľadáme skryté informácie. Toto sú polovice. Čo? Nie veľmi jasné. Hľadáte viac. Je tu ďalší problém: "Koľko peňazí má Petrovič?" Označme sumu peňazí písmenom "X":

X- všetky peniaze

A prečítaj si problém ešte raz. Už vedieť, že Petrovič X peňazí. Tu pracujú polovičky! Zapisujeme si:

0,5 x- polovica všetkých peňazí.

Zvyšok bude tiež polovičný, t.j. 0,5 x. A polovica polovice môže byť napísaná takto:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- polovica zvyšku.

Teraz sú všetky skryté informácie odhalené a zaznamenané.

3. Hľadáme súvislosť medzi zaznamenanými údajmi. Tu si môžete jednoducho prečítať utrpenie Petroviča a zapísať ho matematicky):

Ak miniem polovicu všetkých peňazí...

Zapíšme si tento postup. Všetky peniaze - X. Polovica - 0,5 x. Míňať znamená odnášať. Fráza sa stáva:

x - 0,5 x

a polovica zvyšku...

Odčítajte ďalšiu polovicu zvyšku:

x - 0,5 x - 0,25 x

potom mi ostane len jedna taška peňazí...

A je tu rovnosť! Po všetkých odpočítaniach zostáva jedna taška peňazí:

x – 0,5 x – 0,25 x \u003d 1

Tu to je, matematický model! Toto je opäť lineárna rovnica, vyriešime, dostaneme:

Otázka na zváženie. Štyri je čo? Rubeľ, dolár, juan? A v akých jednotkách máme v matematickom modeli peniaze? Vo vreciach! Takže štyri taška Petrovičove peniaze. Tiež to nie je zlé.)

Úlohy sú, samozrejme, elementárne. Ide konkrétne o zachytenie podstaty zostavovania matematického modelu. V niektorých úlohách môže byť oveľa viac údajov, v ktorých sa dá ľahko zmiasť. To sa často stáva v tzv. kompetenčné úlohy. Ako vytiahnuť matematický obsah z hromady slov a čísel je znázornené na príkladoch

Ešte jedna poznámka. Pri klasických školských problémoch (potrubia napĺňajú bazén, niekde sa plavia lode atď.) sa všetky údaje spravidla vyberajú veľmi starostlivo. Existujú dve pravidlá:
- v probléme je dostatok informácií na jeho vyriešenie,
- v úlohe nie sú žiadne ďalšie informácie.

Toto je náznak. Ak je v matematickom modeli nejaká nevyužitá hodnota, zamyslite sa, či tam nie je chyba. Ak akýmkoľvek spôsobom nie je dostatok údajov, s najväčšou pravdepodobnosťou neboli odhalené a zaznamenané všetky skryté informácie.

V kompetenciách a iných životných úlohách sa tieto pravidlá striktne nedodržiavajú. Nemám ani náznak. Ale aj takéto problémy sa dajú riešiť. Pokiaľ, samozrejme, necvičíte na klasike.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Prvá úroveň

Matematické modely na OGE a jednotnej štátnej skúške (2019)

Koncept matematického modelu

Predstavte si lietadlo: krídla, trup, chvost, to všetko dohromady - skutočné obrovské, obrovské, celé lietadlo. A môžete si vyrobiť model lietadla, malý, ale všetko je skutočné, rovnaké krídla atď., Ale kompaktné. Rovnako aj matematický model. Je tu problém s textom, ťažkopádny, môžete si ho pozrieť, prečítať, ale nie celkom rozumieť, a ešte viac nie je jasné, ako ho vyriešiť. Čo ak však z veľkého slovného problému urobíme jeho malý model, matematický model? Čo znamená matematický? Takže pomocou pravidiel a zákonov matematického zápisu prerobte text do logicky správnej reprezentácie pomocou čísel a aritmetických znamienok. takže, Matematický model je reprezentácia reálnej situácie pomocou matematického jazyka.

Začnime jednoducho: Číslo je väčšie ako číslo o. Musíme si to zapísať bez použitia slov, len jazykom matematiky. Ak viac o, potom sa ukáže, že ak odpočítame od, potom samotný rozdiel týchto čísel zostane rovnaký. Tie. alebo. Pochopili ste podstatu?

Teraz je to zložitejšie, teraz bude text, ktorý by ste sa mali pokúsiť prezentovať vo forme matematického modelu, kým si neprečítate, ako to urobím, skúste to sami! Existujú štyri čísla: , a. Produkt a viac produktov a dvakrát.

Čo sa stalo?

Vo forme matematického modelu to bude vyzerať takto:

Tie. produkt je príbuzný ako dva ku jednej, ale to možno ďalej zjednodušiť:

No, s jednoduchými príkladmi, hádam pochopíte. Prejdime k plnohodnotným úlohám, v ktorých je potrebné vyriešiť aj tieto matematické modely! Tu je úloha.

Matematický model v praxi

Úloha 1

Po daždi môže hladina vody v studni stúpnuť. Chlapec meria čas pádu malých kamienkov do studne a vypočíta vzdialenosť od vody pomocou vzorca, kde je vzdialenosť v metroch a čas pádu v sekundách. Pred dažďom bol čas pádu kamienkov s. O koľko musí stúpnuť hladina vody po daždi, aby sa nameraný čas zmenil na s? Vyjadrite svoju odpoveď v metroch.

Ó Bože! Aké vzorce, aký druh studne, čo sa deje, čo robiť? Čítal som ti myšlienky? Uvoľnite sa, v úlohách tohto typu sú podmienky ešte hroznejšie, treba si hlavne zapamätať, že pri tejto úlohe vás zaujímajú vzorce a vzťahy medzi premennými a čo to všetko vo väčšine prípadov znamená, nie je veľmi dôležité. Čo tu považujete za užitočné? osobne vidim. Princíp riešenia týchto problémov je nasledovný: vezmete všetky známe množstvá a nahradíte ich.Ale niekedy sa treba zamyslieť!

Podľa mojej prvej rady a dosadením všetkých známych do rovnice dostaneme:

Bol som to ja, kto nahradil čas sekundy a našiel výšku, v ktorej kameň letel pred dažďom. A teraz musíme počítať po daždi a nájsť rozdiel!

Teraz si vypočujte druhú radu a zamyslite sa, otázka upresňuje „o koľko musí stúpnuť hladina vody po daždi, aby sa nameraný čas zmenil o s“. Treba na to prísť hneď, taaaak, po daždi hladina vody stúpne, to znamená, že čas, kedy kameň klesne na hladinu vody, je kratší a tu trvá ozdobná fráza „aby sa zmenil nameraný čas“. v konkrétnom význame: čas pádu sa nezvýši, ale zníži sa o určené sekundy. To znamená, že v prípade hodu po daždi stačí odrátať c od počiatočného času c a dostaneme rovnicu pre výšku, ktorú kameň po daždi vyletí:

A nakoniec, aby ste zistili, o koľko by sa mala hladina vody po daždi zdvihnúť, aby sa nameraný čas zmenil o s, stačí odpočítať druhý od prvej výšky pádu!

Dostávame odpoveď: na meter.

Ako vidíte, nie je tam nič zložité, hlavne sa príliš netrápte, kde sa v podmienkach vzala taká nezrozumiteľná a niekedy zložitá rovnica a čo všetko v nej znamená, vezmite na vedomie, väčšina týchto rovníc je prevzaté z fyziky a tam je džungľa horšia ako v algebre. Niekedy sa mi zdá, že tieto úlohy boli vymyslené preto, aby študenta na skúške zastrašili množstvom zložitých vzorcov a pojmov a vo väčšine prípadov nevyžadujú takmer žiadne znalosti. Stačí si pozorne prečítať podmienku a nahradiť známe hodnoty vo vzorci!

Tu je ďalší problém, už nie vo fyzike, ale zo sveta ekonomickej teórie, aj keď znalosť iných vied ako matematiky sa tu opäť nevyžaduje.

Úloha 2

Závislosť objemu dopytu (jednotky za mesiac) po výrobkoch monopolného podniku od ceny (tisíc rubľov) je daná vzorcom

Mesačný príjem spoločnosti (v tisícoch rubľov) sa vypočíta podľa vzorca. Určte najvyššiu cenu, za ktorú bude mesačný príjem najmenej tisíc rubľov. Uveďte odpoveď v tisícoch rubľov.

Hádajte, čo budem teraz robiť? Áno, začnem nahrádzať to, čo vieme, ale opäť musíte trochu premýšľať. Poďme od konca, musíme nájsť na ktorom. Takže, tam je, rovná sa niektorým, nájdeme, čomu sa ešte rovná, a to sa rovná, a zapíšeme to. Ako vidíte, nijako zvlášť sa nezaoberám významom všetkých týchto veličín, len sa pozerám z podmienok, čo sa rovná čomu, to je to, čo musíte urobiť. Vráťme sa k úlohe, už ju máte, ale ako si pamätáte, z jednej rovnice s dvoma premennými sa žiadna z nich nedá nájsť, čo robiť? Áno, stále máme v stave nepoužitú časticu. Tu už existujú dve rovnice a dve premenné, čo znamená, že teraz je možné nájsť obe premenné - skvelé!

Viete vyriešiť takýto systém?

Riešime substitúciou, už sme to vyjadrili, čiže dosadíme do prvej rovnice a zjednodušíme.

Ukazuje sa, že tu je taká kvadratická rovnica: , riešime, korene sú takéto, . V úlohe je potrebné nájsť najvyššiu cenu, pri ktorej budú splnené všetky podmienky, ktoré sme zohľadňovali pri zostavovaní systému. Oh, ukázalo sa, že to bola cena. V pohode, tak sme našli ceny: a. Najvyššia cena, hovoríte? Dobre, najväčší z nich, samozrejme, píšeme ako odpoveď. No je to ťažké? Myslím, že nie a nemusíte sa do toho príliš ponoriť!

A tu je pre vás desivá fyzika, alebo skôr ďalší problém:

Úloha 3

Na určenie efektívnej teploty hviezd sa používa Stefan-Boltzmannov zákon, podľa ktorého, kde je žiarivý výkon hviezdy, je konštanta, je povrchová plocha hviezdy a je teplota. Je známe, že povrch určitej hviezdy je rovnaký a sila jej žiarenia sa rovná W. Nájdite teplotu tejto hviezdy v stupňoch Kelvina.

Kde je to jasné? Áno, podmienka hovorí, čo sa rovná čomu. Predtým som odporúčal okamžite nahradiť všetky neznáme, ale tu je lepšie najprv vyjadriť hľadanú neznámu. Pozrite sa, aké je všetko jednoduché: existuje vzorec a sú v ňom známe a (toto je grécke písmeno „sigma“. Fyzici vo všeobecnosti milujú grécke písmená, zvyknite si na to). Teplota je neznáma. Vyjadrime to vo forme vzorca. Ako to urobiť, dúfam, že viete? Takéto úlohy pre GIA v 9. ročníku zvyčajne dávajú:

Teraz zostáva nahradiť čísla namiesto písmen na pravej strane a zjednodušiť:

Tu je odpoveď: stupne Kelvina! A aká strašná úloha to bola!

Pokračujeme v mučení problémov vo fyzike.

Úloha 4

Výška nad zemou hodenej lopty sa mení podľa zákona, kde výška v metroch je čas v sekundách, ktorý uplynul od hodu. Koľko sekúnd bude lopta vo výške aspoň tri metre?

To boli všetky rovnice, ale tu je potrebné určiť, koľko bola lopta vo výške najmenej tri metre, čo znamená vo výške. Čo budeme robiť? Nerovnosť, áno! Máme funkciu, ktorá popisuje, ako lopta letí, kde je presne rovnaká výška v metroch, potrebujeme výšku. Prostriedky

A teraz už len vyriešte nerovnosť, hlavne nezabudnite zmeniť znamienko nerovnosti z väčšieho alebo rovného na menšie alebo rovné, keď vynásobíte oboma časťami nerovnosti, aby ste sa zbavili mínusu vpredu.

Tu sú korene, vytvárame intervaly pre nerovnosť:

Zaujíma nás interval, v ktorom je znamienko mínus, pretože tam nerovnosť nadobúda záporné hodnoty, je to od do oboch vrátane. A teraz zapneme mozog a dobre sa zamyslíme: pre nerovnosť sme použili rovnicu, ktorá opisuje let lopty, tá nejako letí po parabole, t.j. vzlietne, dosiahne vrchol a padne, ako pochopiť, ako dlho bude vo výške najmenej metrov? Našli sme 2 zlomové body, t.j. okamih, keď vyletí nad metre a okamih, keď pri páde dosiahne rovnakú značku, sú tieto dva body vyjadrené v našom tvare v tvare času, t.j. vieme, v ktorej sekunde letu vstúpila do pre nás zaujímavej zóny (nad metrov) a do ktorej ju opustila (spadla pod značku metra). Koľko sekúnd bol v tejto zóne? Je logické, že zoberieme čas výstupu zo zóny a odpočítame od neho čas vstupu do tejto zóny. Podľa toho: - toľko bol v pásme nad metrov, toto je odpoveď.

Máte také šťastie, že väčšina príkladov na túto tému môže byť prevzatá z kategórie problémov vo fyzike, takže si chyťte ešte jeden, je konečný, tak sa tlačte, zostáva už veľmi málo!

Úloha 5

Pre vykurovací článok určitého zariadenia bola experimentálne získaná teplotná závislosť od prevádzkového času:

Kde je čas v minútach. Je známe, že pri teplote vykurovacieho telesa nad zariadením sa môže zhoršiť, preto ho treba vypnúť. Nájdite maximálny čas po začatí práce na vypnutie zariadenia. Vyjadrite svoju odpoveď v priebehu niekoľkých minút.

Konáme podľa dobre zavedenej schémy, všetko, čo je dané, najprv zapíšeme:

Teraz vezmeme vzorec a prirovnáme ho k teplotnej hodnote, na ktorú sa môže zariadenie čo najviac zahriať, kým nevyhorí, to znamená:

Teraz nahrádzame čísla namiesto písmen, ak sú známe:

Ako vidíte, teplota pri prevádzke zariadenia je opísaná kvadratickou rovnicou, čo znamená, že je rozložená pozdĺž paraboly, t.j. zariadenie sa zahreje na určitú teplotu a potom sa ochladí. Dostali sme odpovede, a preto počas a počas minút zahrievania je teplota kritická, ale medzi minútami a minútami je dokonca vyššia ako limit!

Takže po minúte musíte zariadenie vypnúť.

MATEMATICKÉ MODELY. STRUČNE O HLAVNOM

Vo fyzike sa najčastejšie používajú matematické modely: koniec koncov, pravdepodobne ste si museli zapamätať desiatky fyzikálnych vzorcov. A vzorec je matematickým vyjadrením situácie.

V OGE a Jednotnej štátnej skúške sú úlohy práve na túto tému. V USE (profile) je to úloha číslo 11 (predtým B12). V OGE - úloha číslo 20.

Schéma riešenia je jasná:

1) Z textu podmienky je potrebné „izolovať“ užitočné informácie – to, čo píšeme vo fyzikálnych úlohách pod slovom „dané“. Tieto užitočné informácie sú:

• Vzorec
• Známe fyzikálne veličiny.

To znamená, že každému písmenu zo vzorca musí byť priradené určité číslo.

2) Vezmite všetky známe množstvá a dosaďte ich do vzorca. Neznáma hodnota zostáva ako písmeno. Teraz stačí vyriešiť rovnicu (zvyčajne celkom jednoduché) a odpoveď je pripravená.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete získať pomoc s našimi úlohami, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - 999 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

V druhom prípade dáme vám simulátor "6000 úloh s riešeniami a odpoveďami, pre každú tému, pre všetky úrovne zložitosti." Rozhodne postačí, ak sa pustíte do riešenia problémov na akúkoľvek tému.

V skutočnosti je to oveľa viac ako len simulátor - celý tréningový program. V prípade potreby ho môžete použiť aj ZADARMO.

Prístup ku všetkým textom a programom je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!