Číselný výraz je akýkoľvek záznam čísel, aritmetických znamienok a zátvoriek. Číselný výraz môže pozostávať aj z jedného čísla. Pripomeňme, že základné aritmetické operácie sú "sčítanie", "odčítanie", "násobenie" a "delenie". Tieto akcie zodpovedajú znamienkam "+", "-", "∙", ":".

Samozrejme, aby sme dostali číselné vyjadrenie, zápis z čísel a aritmetických znamienok musí byť zmysluplný. Takže napríklad taký záznam 5: + ∙ nemožno nazvať číselným výrazom, keďže ide o náhodnú množinu znakov, ktorá nedáva zmysel. Naopak, 5 + 8 ∙ 9 je už skutočné číselné vyjadrenie.

Hodnota číselného výrazu.

Povedzme hneď, že ak vykonáme akcie uvedené v číselnom výraze, výsledkom bude číslo. Toto číslo sa volá hodnotu číselného výrazu.

Pokúsme sa vypočítať, čo dostaneme v dôsledku vykonania akcií nášho príkladu. Podľa poradia vykonávania aritmetických operácií najskôr vykonáme operáciu násobenia. Vynásobte číslo 8 číslom 9. Dostaneme 72. Teraz spočítame 72 a 5. Získame 77.
Takže 77- významčíselné vyjadrenie 5 + 8 ∙ 9.

Numerická rovnosť.

Môžete to napísať takto: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Tu sme najprv použili znak "=" ("Equal"). Takýto zápis, v ktorom sú dva číselné výrazy oddelené znamienkom „=“, sa nazýva číselná rovnosť. Navyše, ak sú hodnoty ľavej a pravej časti rovnosti rovnaké, potom sa rovnosť nazýva verný. 5 + 8 ∙ 9 = 77 je správna rovnosť.
Ak napíšeme 5 + 8 ∙ 9 = 100, potom to už bude falošná rovnosť, keďže hodnoty ľavej a pravej strany tejto rovnosti sa už nezhodujú.

Treba si uvedomiť, že v číselnom vyjadrení môžeme použiť aj zátvorky. Zátvorky ovplyvňujú poradie, v ktorom sa akcie vykonávajú. Takže napríklad upravíme náš príklad pridaním zátvoriek: (5 + 8) ∙ 9. Teraz musíme najprv pridať 5 a 8. Dostaneme 13. A potom vynásobíme 13 číslom 9. Dostaneme 117. Takže (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – významčíselné vyjadrenie (5 + 8) ∙ 9.

Ak chcete správne prečítať výraz, musíte určiť, ktorá akcia sa vykoná ako posledná, aby sa vypočítala hodnota daného číselného výrazu. Ak je teda poslednou akciou odčítanie, potom sa výraz nazýva "rozdiel". V súlade s tým, ak je poslednou akciou súčet - "súčet", delenie - "súkromné", násobenie - "súčin", umocnenie - "stupeň".

Napríklad číselný výraz (1 + 5) (10-3) znie takto: „súčin súčtu čísel 1 a 5 a rozdielu medzi číslami 10 a 3“.

Príklady číselných výrazov.

Tu je príklad zložitejšieho číselného výrazu:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

V tomto číselnom vyjadrení sa používajú prvočísla, obyčajné a desatinné zlomky. Používajú sa aj symboly pre sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Zlomková čiara nahrádza aj znamienko delenia. So zdanlivou zložitosťou je zistenie hodnoty tohto číselného výrazu celkom jednoduché. Hlavnou vecou je byť schopný vykonávať operácie so zlomkami, ako aj starostlivo a presne vykonávať výpočty pri dodržaní poradia akcií.

V zátvorkách máme výraz $\frac(1)(4)+3,75$ . Premeňme desatinný zlomok 3,75 na obyčajný.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

takže, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Ďalej v čitateli zlomku \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] máme výraz 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Aby sme tento výraz zjednodušili, použijeme komutatívny zákon sčítania, ktorý hovorí: "Súčet sa nemení od zmeny miesta členov." To znamená 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

V menovateli zlomku je výraz $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dostaneme $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Kedy číselné výrazy nedávajú zmysel?

Uvažujme ešte o jednom príklade. V menovateli zlomku $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ hodnota výrazu $3\centerdot 3-9$ je 0. A ako vieme, delenie nulou je nemožné. Preto zlomok $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nemá žiadnu hodnotu. O číselných výrazoch, ktoré nemajú význam, sa hovorí, že „nemajú žiadny význam“.

Ak v číselnom vyjadrení použijeme okrem číslic aj písmená, tak dostaneme

Numerické a algebraické výrazy. Konverzia výrazov.

Čo je výraz v matematike? Prečo sú potrebné konverzie výrazov?

Otázka, ako sa hovorí, je zaujímavá... Faktom je, že tieto pojmy sú základom celej matematiky. Celá matematika pozostáva z výrazov a ich transformácií. Nie je to veľmi jasné? Nechaj ma vysvetliť.

Povedzme, že máte zlý príklad. Veľmi veľké a veľmi zložité. Povedzme, že si dobrý v matematike a nebojíš sa ničoho! Môžete odpovedať hneď?

Budeš musieť rozhodnúť tento príklad. Postupne, krok za krokom, tento príklad zjednodušiť. Podľa určitých pravidiel, samozrejme. Tie. robiť konverzia výrazu. Ako úspešne vykonávate tieto transformácie, takže ste silný v matematike. Ak neviete, ako robiť správne premeny, v matematike vám to nejde nič...

Aby ste sa vyhli takejto nepríjemnej budúcnosti (alebo súčasnosti ...), nezaškodí pochopiť túto tému.)

Na začiatok si to poďme zistiť čo je výraz v matematike. Čo číselný výraz a čo je algebraický výraz.

Čo je výraz v matematike?

Vyjadrenie v matematike je veľmi široký pojem. Takmer všetko, čím sa v matematike zaoberáme, je súbor matematických výrazov. Akékoľvek príklady, vzorce, zlomky, rovnice a tak ďalej - to všetko pozostáva z matematické výrazy.

3+2 je matematický výraz. c 2 - d 2 je tiež matematický výraz. A zdravý zlomok a dokonca jedno číslo - to všetko sú matematické výrazy. Rovnica je napríklad:

5x + 2 = 12

pozostáva z dvoch matematických výrazov spojených znamienkom rovnosti. Jeden výraz je vľavo, druhý vpravo.

Vo všeobecnosti termín matematický výraz“ sa používa najčastejšie, aby sa nemrmlalo. Budú sa vás pýtať, čo je napríklad obyčajný zlomok? A ako odpovedať?!

Odpoveď 1: "Je to... m-m-m-m... taká vec ... v ktorej ... môžem napísať zlomok lepšie? Ktorý chceš?"

Druhá možnosť odpovede: „Obyčajný zlomok je (veselo a radostne!) matematický výraz , ktorá sa skladá z čitateľa a menovateľa!"

Druhá možnosť je o niečo pôsobivejšia, však?)

Na tento účel sa používa veta „ matematický výraz "veľmi dobré. Správne aj pevné. Ale pre praktickú aplikáciu sa musíte dobre orientovať." špecifické druhy výrazov v matematike .

Konkrétny typ je iná vec. to celkom iná vec! Každý typ matematického výrazu má môj súbor pravidiel a techník, ktoré musia byť použité pri rozhodovaní. Na prácu so zlomkami - jedna sada. Pre prácu s goniometrickými výrazmi - druhá. Pre prácu s logaritmami - tretí. A tak ďalej. Niekde sa tieto pravidlá zhodujú, niekde sa výrazne líšia. Ale nebojte sa týchto hrozných slov. Logaritmy, trigonometria a ďalšie záhadné veci, ktoré si osvojíme v príslušných častiach.

Tu si osvojíme (alebo - opakujte, ako chcete ...) dva hlavné typy matematických výrazov. Číselné výrazy a algebraické výrazy.

Číselné výrazy.

Čo číselný výraz? Ide o veľmi jednoduchý koncept. Už samotný názov napovedá, že ide o výraz s číslami. je to tak. Matematický výraz zložený z čísel, zátvoriek a znamienok aritmetických operácií sa nazýva číselný výraz.

7-3 je číselný výraz.

(8+3,2) 5,4 je tiež číselný výraz.

A toto monštrum:

aj číselný výraz, áno...

Obyčajné číslo, zlomok, akýkoľvek príklad výpočtu bez x a iných písmen - to všetko sú číselné výrazy.

Hlavná prednosť číselné výrazy v ňom žiadne písmená. žiadne. Iba čísla a matematické ikony (ak je to potrebné). Je to jednoduché, však?

A čo sa dá robiť s číselnými výrazmi? Číselné výrazy sa zvyčajne dajú spočítať. Na to musíte niekedy otvárať zátvorky, meniť znamienka, skracovať, prehadzovať pojmy – t.j. robiť konverzie výrazov. Ale o tom viac nižšie.

Tu sa budeme zaoberať takým vtipným prípadom, keď s číselným vyjadrením nemusíš robiť nič. No vôbec nič! Táto pekná operácia Nerobiť nič)- sa vykoná, keď výraz nedáva zmysel.

Kedy číselný výraz nedáva zmysel?

Samozrejme, ak pred sebou vidíme nejaký druh abrakadabra, ako napr

potom neurobíme nič. Keďže nie je jasné, čo s tým. Nejaký nezmysel. Pokiaľ, spočítať počet plusov ...

Ale sú tam navonok celkom slušné prejavy. Napríklad toto:

(2+3) : (16 - 2 8)

Tento výraz je však tiež nedáva zmysel! Z jednoduchého dôvodu, že v druhej zátvorke - ak počítate - dostanete nulu. Nemôžete deliť nulou! Toto je v matematike zakázaná operácia. Preto ani s týmto výrazom netreba nič robiť. Pre každú úlohu s takýmto výrazom bude odpoveď vždy rovnaká: "Výraz nedáva zmysel!"

Aby som dal takúto odpoveď, musel som, samozrejme, vypočítať, čo bude v zátvorkách. A niekedy v zátvorke taký zvrat ... No s tým sa nedá nič robiť.

V matematike nie je toľko zakázaných operácií. V tomto vlákne je len jeden. Delenie nulou. Ďalšie zákazy vyplývajúce z koreňov a logaritmov sú diskutované v príslušných témach.

Takže predstava o tom, čo je číselný výraz- dostal. koncepcie číselný výraz nedáva zmysel- uvedomil si. Poďme ďalej.

Algebraické výrazy.

Ak sa v číselnom výraze objavia písmená, tento výraz sa zmení na... Výraz sa zmení na... Áno! Sa stane algebraický výraz. Napríklad:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 + 4 x - 4; (a + b) 2; ...

Takéto výrazy sa nazývajú aj doslovné výrazy. Alebo výrazy s premennými. Je to prakticky to isté. Výraz 5a + c, napríklad - doslovný aj algebraický a výraz s premennými.

koncepcie algebraický výraz -širšie ako číselné. to zahŕňa a všetky číselné výrazy. Tie. číselný výraz je tiež algebraický výraz, len bez písmen. Každý sleď je ryba, ale nie každá ryba je sleď...)

Prečo? doslovný- jasný. No, keďže existujú písmená ... Fráza výraz s premennými tiež nie veľmi mätúce. Ak chápete, že pod písmenami sú skryté čísla. Pod písmenami sa môžu skrývať najrôznejšie čísla ... A 5, a -18 a čokoľvek sa vám páči. To znamená, že list môže nahradiť pre rôzne čísla. Preto sa písmená volajú premenných.

Vo výraze y+5, napríklad, pri- premenlivý. Alebo len povedzte" premenná", bez slova „hodnota“. Na rozdiel od päťky, ktorá je konštantnou hodnotou. Alebo jednoducho - konštantný.

Termín algebraický výraz znamená, že na prácu s týmto výrazom musíte použiť zákony a pravidlá algebra. Ak aritmetika potom pracuje s konkrétnymi číslami algebra- so všetkými číslami naraz. Jednoduchý príklad na vysvetlenie.

V aritmetike sa to dá napísať

Ale ak napíšeme podobnú rovnosť prostredníctvom algebraických výrazov:

a + b = b + a

okamžite sa rozhodneme všetky otázky. Pre všetky čísla mŕtvica. Pre nekonečné množstvo vecí. Pretože pod písmenami a a b implicitne všetkyčísla. A nielen čísla, ale dokonca aj iné matematické výrazy. Takto funguje algebra.

Kedy algebraický výraz nedáva zmysel?

O číselnom vyjadrení je všetko jasné. Nulou sa deliť nedá. A pomocou písmen je možné zistiť, čím sa delíme?!

Vezmime si ako príklad nasledujúci výraz premennej:

2: (a - 5)

Dáva to zmysel? Ale kto ho pozná? a- ľubovoľné číslo...

Akýkoľvek, akýkoľvek... Ale má to jeden význam a, pre ktorý tento výraz presne tak nedáva zmysel! A aké je to číslo? Áno! Je 5! Ak premenná a nahraďte (hovoria - "náhrada") číslom 5, v zátvorkách sa ukáže nula. ktoré nemožno rozdeliť. Ukazuje sa teda, že náš výraz nedáva zmysel, ak a = 5. Ale pre iné hodnoty a dáva to zmysel? Môžete nahradiť iné čísla?

Samozrejme. V takýchto prípadoch sa jednoducho hovorí, že výraz

2: (a - 5)

dáva zmysel pre akúkoľvek hodnotu a, okrem a = 5 .

Celá sada čísel môcť náhrada do daného výrazu sa nazýva platný rozsah tento výraz.

Ako vidíte, nie je nič zložité. Pozrieme sa na výraz s premennými a pomyslíme si: pri akej hodnote premennej sa získa zakázaná operácia (delenie nulou)?

A potom sa určite pozrite na otázku zadania. Čo sa pýtajú?

nedáva zmysel, odpoveďou bude naša zakázaná hodnota.

Ak sa pýtajú, pri akej hodnote premennej výraz má význam(cíťte rozdiel!), odpoveď bude všetky ostatné čísla okrem zakázaného.

Prečo potrebujeme význam výrazu? Je tam, nie je... Aký je rozdiel?! Faktom je, že tento pojem sa na strednej škole stáva veľmi dôležitým. Extrémne dôležité! Toto je základ pre také pevné koncepty, ako je rozsah platných hodnôt alebo rozsah funkcie. Bez toho nebudete môcť riešiť vážne rovnice alebo nerovnice vôbec. Páči sa ti to.

Konverzia výrazov. Transformácie identity.

Oboznámili sme sa s číselnými a algebraickými výrazmi. Pochopte, čo znamená fráza „výraz nedáva zmysel“. Teraz musíme prísť na to, čo konverzia výrazu. Odpoveď je jednoduchá, poburujúce.) Ide o akúkoľvek akciu s výrazom. A to je všetko. Tieto premeny robíte už od prvej triedy.

Vezmite si cool číselný výraz 3+5. Ako sa dá previesť? Áno, veľmi jednoduché! Vypočítať:

Tento výpočet bude transformáciou výrazu. Rovnaký výraz môžete napísať iným spôsobom:

Tu sme nič nepočítali. Stačí napísať výraz v inej forme. Toto bude tiež transformácia výrazu. Dá sa to napísať takto:

A toto je tiež premena výrazu. Týchto premien môžete urobiť toľko, koľko chcete.

akýkoľvek akcia na výraz akýkoľvek jeho zápis v inej forme sa nazýva transformácia výrazu. A všetky veci. Všetko je veľmi jednoduché. Ale je tu jedna vec veľmi dôležité pravidlo. Tak dôležité, že sa dá bezpečne zavolať hlavné pravidlo celá matematika. Porušenie tohto pravidla nevyhnutne vedie k chybám. Rozumieme sa?)

Povedzme, že sme svoj výraz svojvoľne zmenili takto:

Transformácia? Samozrejme. Napísali sme výraz v inej forme, čo je tu zlé?

Nie je to tak.) Faktom je, že premeny "Hocičo" matematika vôbec nezaujíma.) Celá matematika je postavená na transformáciách, pri ktorých sa mení vzhľad, ale podstata výrazu sa nemení. Tri plus päť môže byť napísané v akomkoľvek tvare, ale musí to byť osem.

premeny, výrazy, ktoré nemenia podstatu volal identické.

presne tak identické premeny a dovoľte nám, aby sme krok za krokom premenili zložitý príklad na jednoduché vyjadrenie podstata príkladu. Ak urobíme chybu v reťazci transformácií, urobíme NIE identickú transformáciu, potom sa rozhodneme ďalší príklad. S ďalšími odpoveďami, ktoré nesúvisia so správnymi.)

Tu je hlavným pravidlom riešenia akýchkoľvek úloh: súlad s identitou transformácií.

Pre názornosť som uviedol príklad s číselným vyjadrením 3 + 5. V algebraických výrazoch sú identické transformácie dané vzorcami a pravidlami. Povedzme, že v algebre existuje vzorec:

a(b+c) = ab + ac

Takže v každom príklade môžeme namiesto výrazu a(b+c) kľudne napíš výraz ab+ac. A naopak. to identická transformácia. Matematika nám dáva na výber z týchto dvoch výrazov. A ktorý napísať závisí od konkrétneho príkladu.

Ďalší príklad. Jednou z najdôležitejších a nevyhnutných transformácií je základná vlastnosť zlomku. Viac podrobností si môžete pozrieť na odkaze, ale tu len pripomínam pravidlo: ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí (vydelí) rovnakým číslom alebo výrazom, ktorý sa nerovná nule, zlomok sa nezmení. Tu je príklad identických transformácií pre túto vlastnosť:

Ako iste tušíte, v tomto reťazci sa dá pokračovať donekonečna...) Veľmi dôležitá vlastnosť. Je to to, čo vám umožňuje zmeniť všetky druhy príkladov príšer na biele a nadýchané.)

Existuje mnoho vzorcov definujúcich identické transformácie. Ale čo je najdôležitejšie - celkom rozumné množstvo. Jednou zo základných transformácií je faktorizácia. Používa sa vo všetkej matematike – od základnej až po pokročilú. Začnime ním. v ďalšej lekcii.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Vzorec

Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie - aritmetické operácie (príp aritmetické operácie). Tieto aritmetické operácie zodpovedajú znakom aritmetických operácií:

+ (čítať " plus") - znak operácie sčítania,

- (čítať " mínus") - znak operácie odčítania,

∙ (čítať " množiť") - znak operácie násobenia,

: (čítať " rozdeliť") je znakom operácie delenia.

Vyvolá sa záznam pozostávajúci z čísel prepojených znakmi aritmetických operácií číselné vyjadrenie. Zátvorky sa môžu nachádzať aj v číselnom výraze. Napríklad položka 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) je číselný výraz.

Výsledok vykonávania operácií s číslami v číselnom vyjadrení sa nazýva hodnotu číselného výrazu. Vykonanie týchto akcií sa nazýva výpočet hodnoty číselného výrazu. Pred napísaním hodnoty číselného výrazu vložte rovnaké znamienko"=". V tabuľke 1 sú uvedené príklady číselných výrazov a ich význam.

Záznam pozostávajúci z čísel a malých písmen latinskej abecedy, prepojených znakmi aritmetických operácií, sa nazýva tzv. doslovný výraz. Tento záznam môže obsahovať zátvorky. Napríklad vstup a +b - 3 ∙c je doslovný výraz. Namiesto písmen v doslovnom výraze môžete nahradiť rôzne čísla. V tomto prípade sa význam písmen môže meniť, preto sa nazývajú aj písmená v doslovnom vyjadrení premenných.

Nahradením písmen namiesto písmen do doslovného výrazu a vypočítaním hodnoty výsledného číselného výrazu zistia hodnota doslovného výrazu daná hodnotami písmen(pre dané hodnoty premenných). Tabuľka 2 ukazuje príklady doslovných výrazov.

Doslovný výraz nemusí mať hodnotu, ak sa nahradením hodnôt písmen získa číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla nemožno nájsť. Takýto číselný výraz je tzv nesprávne pre prirodzené čísla. Tiež hovoria, že význam takéhoto výrazu " nedefinované" pre prirodzené čísla a samotný výraz "nemá zmysel". Napríklad doslovný výraz a-b nezáleží na a = 10 a b = 17. V skutočnosti pre prirodzené čísla nemôže byť minuend menší ako podtrahend. Napríklad, ak máte len 10 jabĺk (a = 10), nemôžete ich rozdať 17 (b = 17)!

Tabuľka 2 (stĺpec 2) zobrazuje príklad doslovného výrazu. Analogicky vyplňte tabuľku úplne.

Pre prirodzené čísla výraz 10 -17 zle (nedáva zmysel), t.j. rozdiel 10 -17 nemožno vyjadriť ako prirodzené číslo. Ďalší príklad: nemôžete deliť nulou, takže pre akékoľvek prirodzené číslo b je kvocient b:0 nedefinované.

Matematické zákony, vlastnosti, niektoré pravidlá a pomery sú často zapísané v doslovnej forme (t. j. vo forme doslovného výrazu). V týchto prípadoch sa doslovný výraz nazýva tzv vzorec. Napríklad, ak sú strany sedemuholníka rovnaké a,b,c,d,e,f,g, potom vzorec (doslovný výraz) na výpočet jeho obvodu p vyzerá ako:

p=a +b+c +d+e +f +g

Pre a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 je obvod sedemuholníka p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Pre a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 je obvod ďalšieho sedemuholníka p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Blok 1. Slovník

Vytvorte si slovník nových pojmov a definícií z odseku. Ak to chcete urobiť, do prázdnych buniek zadajte slová zo zoznamu výrazov nižšie. V tabuľke (na konci bloku) uveďte počty termínov v súlade s číslami rámcov. Pred vyplnením buniek slovníka sa odporúča dôkladne si prečítať odsek.

1. Operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

2. Znamienka "+" (plus), "-" (mínus), "∙" (násobenie, " : “ (rozdeliť).

3. Záznam pozostávajúci z čísel, ktoré sú vzájomne prepojené znamienkami aritmetických operácií av ktorých môžu byť aj zátvorky.

4. Výsledok vykonávania operácií s číslami v číselnom vyjadrení.

5. Znamienko pred hodnotou číselného výrazu.

6. Záznam pozostávajúci z čísel a malých písmen latinskej abecedy, ktoré sú navzájom prepojené znakmi aritmetických operácií (môžu byť prítomné aj zátvorky).

7. Bežný názov písmen v doslovnom vyjadrení.

8. Hodnota číselného výrazu, ktorý sa získa dosadením premenných do doslovného výrazu.

9. Číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla nemožno nájsť.

10. Číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla možno nájsť.

11. Matematické zákony, vlastnosti, niektoré pravidlá a pomery písané v doslovnej forme.

12. Abeceda, ktorej malé písmená sa používajú na písanie doslovných výrazov.

Blok 2. Zápas

Spojte úlohu v ľavom stĺpci s riešením v pravom. Odpoveď zapíšte v tvare: 1a, 2d, 3b ...

Blok 3. Fazetový test. Číselné a abecedné výrazy

Fazetové testy nahrádzajú zbierky úloh z matematiky, ale priaznivo sa s nimi porovnávajú v tom, že sa dajú riešiť na počítači, kontrolujú riešenia a okamžite zisťujú výsledok práce. Tento test obsahuje 70 úloh. Problémy však môžete vyriešiť výberom, na to existuje hodnotiaca tabuľka, ktorá obsahuje jednoduché a zložitejšie úlohy. Nižšie je uvedený test.

1. Daný trojuholník so stranami c,d,m, vyjadrené v cm
2. Daný štvoruholník so stranami b,c,d,m vyjadrené v m
3. Rýchlosť auta v km/h je b,čas cesty v hodinách je d
4. Vzdialenosť prejdená turistom m hodiny, je s km
5. Vzdialenosť, ktorú prejde turista pohybujúci sa rýchlosťou m km/h je b km
6. Súčet dvoch čísel je väčší ako druhé číslo o 15
7. Rozdiel je menší ako znížený o 7
8. Vložka pre cestujúcich má dve paluby s rovnakým počtom sedadiel pre cestujúcich. V každom z palubných radov m sedadlá, rady na palube zapnuté n viac ako sedadiel v rade
9. Peťa má m rokov Masha má n rokov a Káťa je o 0 rokov mladšia ako Peťa a Masha spolu
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Hodnota tohto výrazu
2. Doslovný výraz pre obvod je
3. Obvod vyjadrený v centimetroch
4. Vzorec pre vzdialenosť s prejdenú autom
5. Rýchlostný vzorec v, turistické pohyby
6. Časový vzorec t, turistické pohyby
7. Vzdialenosť prejdená autom v kilometroch
8. Turistická rýchlosť v kilometroch za hodinu
9. Čas cesty v hodinách
10. Prvé číslo je...
11. Odčítané rovná sa….
12. Výraz pre najväčší počet cestujúcich, ktorých môže linková loď prepraviť k lety
13. Najväčší počet cestujúcich, ktorých môže lietadlo prepraviť k lety
14. Písmenkový výraz na Katyin vek
15. Katyin vek
16. Súradnica bodu B, ak je súradnica bodu C t
17. Súradnica bodu D, ak je súradnica bodu C t
18. Súradnica bodu A, ak je súradnica bodu C t
19. Dĺžka segmentu BD na číselnej osi
20. Dĺžka segmentu CA na číselnej osi
21. Dĺžka segmentu DA na číselnej osi

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, znaky aritmetických operácií a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.

II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

Riešenie.

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Uvedené hodnoty dosadíme. Pamätajte, že modul záporného čísla sa rovná jeho opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto číslu samotnému. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pri akých hodnotách premennej výraz nedáva zmysel?

Riešenie. Vieme, že nie je možné deliť nulou, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel s hodnotou písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je to hodnota a = 0. Ak namiesto a dosadíme 0, potom číslo 6 bude potrebné vydeliť 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel pre x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0 pre x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel pri x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| \u003d 5, potom nemôžete vziať x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpoveď: výraz 4) nemá zmysel pre x = -5 a pre x = 5.
IV. Dva výrazy sa považujú za zhodné, ak sú pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov rovnaké.

Príklad: 5 (a - b) a 5a - 5b sú totožné, pretože rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príklady vám už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia, vlastnosť distribúcie.

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10 (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b) c=a c+b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na odčítanie: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť týmto zníženým a odčítaným číslom oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujeme zákony (vlastnosti) pridania:

a+b=b+a(posunutie: súčet sa nemení od preskupenia pojmov).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

v) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a b = b a(posun: permutácia faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinačný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2r · (-1) = 7r.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Ak je algebraický výraz uvedený ako redukovateľný zlomok, potom pomocou pravidla o redukcii zlomkov ho možno zjednodušiť, t.j. nahradiť identicky sa mu rovnajú jednoduchším výrazom.

Príklady. Zjednodušte pomocou redukcie frakcií.

Riešenie. Zmenšiť zlomok znamená vydeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (výrazom) iným ako nula. Frakcia 10) sa zníži o 3b; zlomok 11) znížiť o a a frakcia 12) znížiť o 7n. Dostaneme:

Na formulovanie vzorcov sa používajú algebraické výrazy.

Vzorec je algebraický výraz napísaný ako rovnosť, ktorý vyjadruje vzťah medzi dvoma alebo viacerými premennými. Príklad: vzorec cesty, ktorý poznáte s=v t(s je prejdená vzdialenosť, v je rýchlosť, t je čas). Pamätajte si, aké ďalšie vzorce poznáte.

Strana 1 z 1 1

Pri štúdiu témy číselné, spisovné výrazy a výrazy s premennými je potrebné dbať na pojem hodnota výrazu. V tomto článku odpovieme na otázku, aká je hodnota číselného výrazu a čo sa nazýva hodnota doslovného výrazu a výrazu s premennými pre vybrané hodnoty premenných. Na objasnenie týchto definícií uvádzame príklady.

Navigácia na stránke.

Akú hodnotu má číselný výraz?

Oboznamovanie sa s číselnými výrazmi začína takmer od prvých hodín matematiky v škole. Takmer okamžite sa zavádza pojem „hodnota číselného vyjadrenia“. Vzťahuje sa na výrazy zložené z čísel spojených aritmetickými znamienkami (+, −, ·, :). Uveďme vhodnú definíciu.

Definícia.

Hodnota číselného výrazu- je to číslo, ktoré sa získa po vykonaní všetkých akcií v pôvodnom číselnom výraze.

Zoberme si napríklad číselný výraz 1+2 . Po vykonaní dostaneme číslo 3 , je to hodnota číselného výrazu 1+2 .

Vo fráze „hodnota číselného výrazu“ sa často vynecháva slovo „číselný“ a hovorí sa jednoducho „hodnota výrazu“, pretože je stále jasné, ktorý výraz sa myslí.

Uvedená definícia významu výrazu platí aj pre číselné výrazy zložitejšieho tvaru, ktoré sa študujú na strednej škole. Tu je potrebné poznamenať, že sa možno stretnúť s číselnými výrazmi, ktorých hodnoty nemožno špecifikovať. Je to spôsobené tým, že v niektorých výrazoch nie je možné vykonať zaznamenané akcie. Napríklad preto nemôžeme špecifikovať hodnotu výrazu 3:(2−2) . Takéto číselné výrazy sa nazývajú výrazy, ktoré nedávajú zmysel.

V praxi často nie je zaujímavé ani tak číselné vyjadrenie, ako skôr jeho hodnota. To znamená, že vzniká úloha, ktorá spočíva v určení hodnoty tohto výrazu. V tomto prípade zvyčajne hovoria, že musíte nájsť hodnotu výrazu. V tomto článku je podrobne analyzovaný proces hľadania hodnoty číselných výrazov rôznych typov a uvažuje sa o množstve príkladov s podrobným popisom riešení.

Význam doslovných a premenných výrazov

Okrem číselných výrazov študujú doslovné výrazy, teda výrazy, v ktorých je spolu s číslami prítomné jedno alebo viac písmen. Písmená v doslovnom výraze môžu znamenať rôzne čísla, a ak sú písmená nahradené týmito číslami, potom sa doslovný výraz stane číselným.

Definícia.

Čísla, ktoré nahrádzajú písmená v doslovnom výraze, sa nazývajú význam týchto písmen, a hodnota výsledného číselného výrazu sa nazýva hodnota doslovného výrazu daná hodnotami písmen.

Takže pri doslovných výrazoch sa hovorí nielen o význame doslovného výrazu, ale o význame doslovného výrazu pre dané (dané, naznačené atď.) hodnoty písmen.

Vezmime si príklad. Zoberme si doslovný výraz 2·a+b . Nech sú uvedené hodnoty písmen a a b, napríklad a=1 a b=6 . Nahradením písmen v pôvodnom výraze ich hodnotami dostaneme číselné vyjadrenie v tvare 2 1+6 , jeho hodnota je 8 . Číslo 8 je teda hodnotou doslovného výrazu 2·a+b vzhľadom na hodnoty písmen a=1 a b=6. Ak by boli zadané iné hodnoty písmen, dostali by sme hodnotu doslovného výrazu pre tieto hodnoty písmen. Napríklad pri a=5 a b=1 máme hodnotu 2 5+1=11 .

Na strednej škole pri štúdiu algebry môžu písmená v doslovných výrazoch nadobúdať rôzne významy, takéto písmená sa nazývajú premenné a doslovné výrazy sú výrazy s premennými. Pre tieto výrazy je pre zvolené hodnoty premenných zavedený pojem hodnoty výrazu s premennými. Poďme zistiť, čo to je.

Definícia.

Hodnota výrazu s premennými pre vybrané hodnoty premenných volá sa hodnota číselného výrazu, ktorý sa získa po dosadení vybraných hodnôt premenných do pôvodného výrazu.

Vysvetlime si znejúcu definíciu na príklade. Uvažujme výraz s premennými x a y v tvare 3·x·y+y . Zoberme si x=2 a y=4 , dosaďte tieto hodnoty premenných do pôvodného výrazu, dostaneme číselný výraz 3 2 4+4 . Vypočítajme hodnotu tohto výrazu: 3 2 4+4=24+4=28 . Nájdená hodnota 28 je hodnota pôvodného výrazu s premennými 3·x·y+y s vybranými hodnotami premenných x=2 a y=4 .

Ak zvolíte iné hodnoty premenných, napríklad x=5 a y=0 , potom tieto vybrané hodnoty premenných budú zodpovedať hodnote výrazu s premennými rovnými 3 5 0+0=0 .

Je možné poznamenať, že niekedy je možné získať rovnaké hodnoty výrazu pre rôzne zvolené hodnoty premenných. Napríklad pre x=9 a y=1 je hodnota výrazu 3 x y+y 28 (pretože 3 9 1+1=27+1=28 ) a vyššie sme ukázali, že tá istá hodnota je výraz s premenné má pri x=2 a y=4 .

Premenné hodnoty je možné vybrať z ich príslušných rozsahy prijateľných hodnôt. V opačnom prípade nahradenie hodnôt týchto premenných do pôvodného výrazu bude mať za následok číselný výraz, ktorý nedáva zmysel. Ak napríklad zvolíte x=0 a dosadíte túto hodnotu do výrazu 1/x , dostanete číselný výraz 1/0 , čo nedáva zmysel, pretože delenie nulou nie je definované.

Zostáva len dodať, že existujú výrazy s premennými, ktorých hodnoty nezávisia od hodnôt ich základných premenných. Napríklad hodnota výrazu s premennou x v tvare 2+x−x nezávisí od hodnoty tejto premennej, je rovná 2 pre ľubovoľnú zvolenú hodnotu premennej x z jej rozsahu platných hodnôt, čo je v tomto prípade množina všetkých reálnych čísel.

Bibliografia.

• Matematika: štúdie. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.