Danas ćemo na lekciji generalizirati svoje znanje o rješavanju sustava nejednadžbi i proučiti rješavanje skupa sustava nejednadžbi.

Definicija jedan.

Kaže se da više nejednadžbi s jednom varijablom čini sustav nejednadžbi ako je zadatak pronaći sva zajednička rješenja zadanih nejednadžbi.

Vrijednost varijable pri kojoj svaka od nejednadžbi sustava prelazi u pravu numeričku nejednadžbu naziva se partikularnim rješenjem sustava nejednadžbi.

Skup svih partikularnih rješenja sustava nejednadžbi je opće rješenje sustava nejednadžbi (češće se jednostavno kaže rješenje sustava nejednadžbi).

Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći sva njegova partikularna rješenja ili dokazati da taj sustav nema rješenja.

Zapamtiti! Rješenje sustava nejednadžbi je presjek rješenja nejednadžbi koje su uključene u sustav.

Nejednakosti uključene u sustav kombinirane su s vitičastom zagradom.

Algoritam za rješavanje sustava nejednadžbi s jednom varijablom:

Prvi je rješavanje svake nejednadžbe zasebno.

Drugi je pronaći presjek pronađenih rješenja.

Ovo sjecište je skup rješenja sustava nejednadžbi

Vježba 1

Riješite sustav nejednadžbi sedam x minus četrdeset dva manje ili jednako od nule i dva x minus sedam veće od nule.

Rješenje prve nejednadžbe - x je manje ili jednako šest, druge nejednadžbe - x je veće od sedam sekundi. Ove praznine označavamo na koordinatnoj liniji. Rješenje prve nejednadžbe označeno je šrafurom odozdo, rješenje druge nejednadžbe označeno je šrafurom odozgo. Rješenje sustava nejednadžbi bit će presjek rješenja nejednadžbi, odnosno interval na kojem se oba šrafura poklapaju. Kao rezultat, dobivamo poluinterval od sedam sekundi do šest, uključujući šest.

Zadatak 2

Riješite sustav nejednakosti: x na kvadrat plus x minus šest je veće od nule i x na kvadrat plus x plus šest je veće od nule.

Riješenje

Riješimo prvu nejednadžbu - x na kvadrat plus x minus šest je veće od nule.

Zamislite da je funkcija y jednaka x na kvadrat plus x minus šest. Nule funkcije: prvi x je jednak minus tri, drugi x je jednak dva. Shematski prikazujući parabolu, nalazimo da je rješenje prve nejednadžbe unija otvorenih numeričkih zraka od minus beskonačno do minus tri i od dva do plus beskonačno.

Riješimo drugu nejednadžbu sustava x kvadrat plus x plus šest veće od nule.

Zamislite da je funkcija y jednaka x na kvadrat plus x plus šest. Diskriminant je minus dvadeset tri manji od nule, što znači da funkcija nema nula. Parabola nema zajedničkih točaka s osi x. Prikazujući shematski parabolu, nalazimo da je rješenje nejednadžbe skup svih brojeva.

Nacrtajmo na koordinatnu liniju rješenja nejednadžbi sustava.

Iz slike je vidljivo da je rješenje sustava unija otvorenih numeričkih zraka od minus beskonačno do minus tri i od dva do plus beskonačno.

Odgovor: unija otvorenih numeričkih zraka od minus beskonačno do minus tri i od dva do plus beskonačno.

Zapamtiti! Ako je u sustavu od nekoliko nejednakosti jedna posljedica druge (ili drugih), tada se nejednakost-posljedica može odbaciti.

Razmotrimo primjer rješavanja nejednadžbe sustavom.

Zadatak 3

Riješite nejednadžbu logaritma izraza x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset dva baza dva veće ili jednako jedan.

Riješenje

ODZ nejednakost dana je s x na kvadrat minus trinaest x plus četrdeset dva veće od nule. Predstavljamo broj jedan kao logaritam dva baze dva i dobivamo nejednakost - logaritam izraza x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset dva baze dva veći je ili jednak logaritmu dva baze dva.

Vidimo da je baza logaritma jednaka dva više od jedan, tada dolazimo do ekvivalentne nejednakosti x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset dva je veće ili jednako dva. Stoga se rješenje ove logaritamske nejednadžbe svodi na rješenje sustava dviju kvadratnih nejednadžbi.

Štoviše, lako je vidjeti da ako je druga nejednakost zadovoljena, onda je prva nejednakost više zadovoljena. Dakle, prva nejednakost je posljedica druge, i ona se može odbaciti. Transformiramo drugu nejednadžbu i zapišemo je u obliku: x kvadrat minus trinaest x plus četrdeset više od nule. Njegovo rješenje je spoj dviju numeričkih zraka od minus beskonačno do pet i od osam do plus beskonačno.

Odgovor: spoj dviju brojčanih zraka od minus beskonačno do pet i od osam do plus beskonačno.

otvorene brojčane grede

Druga definicija.

Kaže se da više nejednadžbi s jednom varijablom čini skup nejednadžbi ako je zadatak pronaći sve takve vrijednosti varijable od kojih je svaka rješenje barem jedne od zadanih nejednadžbi.

Svaka takva vrijednost varijable naziva se posebnim rješenjem skupa nejednadžbi.

Skup svih partikularnih rješenja skupa nejednadžbi je opće rješenje skupa nejednadžbi.

Zapamtiti! Rješenje skupa nejednadžbi je unija rješenja nejednadžbi uključenih u skup.

Nejednakosti koje se nalaze u skupu spojene su uglatom zagradom.

Algoritam za rješavanje skupa nejednadžbi:

Prvi je rješavanje svake nejednadžbe zasebno.

Drugi je pronaći uniju pronađenih rješenja.

Ova unija je rješenje skupa nejednakosti.

Zadatak 4

nulta točka dvije desetine pomnožena s razlikom dva x i tri manje je od x minus dva;

pet x minus sedam je veće od x minus šest.

Riješenje

Transformirajmo svaku od nejednadžbi. Dobivamo ekvivalentan skup

x je veći od sedam trećina;

x je veći od jedne četvrtine.

Za prvu nejednadžbu skup rješenja je interval od sedam trećina do plus beskonačno, a za drugu interval od jedne četvrtine do plus beskonačno.

Nacrtajte na koordinatnu liniju skup brojeva koji zadovoljavaju nejednakosti x je veće od sedam trećina i x je veće od jedne četvrtine.

Nalazimo da je unija ovih skupova, tj. rješenje ovog skupa nejednakosti je otvorena numerička zraka od jedne četvrtine do plus beskonačnosti.

Odgovor: otvoreni numerički snop od jedne četvrtine do plus beskonačno.

Zadatak 5

Riješite skup nejednakosti:

dva x minus jedan je manje od tri i tri x minus dva je veće ili jednako deset.

Riješenje

Transformirajmo svaku od nejednadžbi. Dobivamo ekvivalentan skup nejednakosti: x je veće od dva i x je veće ili jednako četiri.

Nacrtajte na koordinatnu liniju skup brojeva koji zadovoljavaju ove nejednakosti.

Nalazimo da je unija ovih skupova, tj. rješenje ovog skupa nejednakosti je otvorena numerička zraka od dva do plus beskonačno.

Odgovor: otvoreni brojčani snop od dva do plus beskonačno.

1. Pojam nejednakosti s jednom varijablom

2. Ekvivalentne nejednadžbe. Teoremi ekvivalencije za nejednadžbe

3. Rješavanje nejednadžbi s jednom varijablom

4. Grafičko rješavanje nejednadžbi s jednom varijablom

5. Nejednadžbe koje imaju varijablu pod predznakom modula

6. Glavni nalazi

Nejednadžbe s jednom varijablom

Ponude 2 x + 7 > 10-ke, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 nazivaju se nejednakosti s jednom varijablom.

Općenito, ovaj koncept definiran je na sljedeći način:

Definicija. Neka su f(x) i g(x) dva izraza s varijablom x i domenom X. Tada nejednadžba oblika f(x) > g(x) ili f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Varijabilna vrijednost x od mnogih x, pod kojim nejednadžba prelazi u pravu brojčanu nejednakost, naziva se njezina odluka. Rješavanje nejednadžbe znači pronalaženje skupa njezinih rješenja.

Dakle, rješavanjem nejednadžbe 2 x + 7 > 10 -x, x? R je broj x= 5, budući da je 2 5 + 7 > 10 - 5 prava numerička nejednakost. A skup njegovih rješenja je interval (1, ∞), koji se nalazi transformacijom nejednadžbe: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Ekvivalentne nejednakosti. Teoremi ekvivalencije za nejednadžbe

Koncept ekvivalencije je temelj rješenja nejednadžbi s jednom varijablom.

Definicija. Kaže se da su dvije nejednadžbe ekvivalentne ako su im skupovi rješenja jednaki.

Na primjer, nejednakosti 2 x+ 7 > 10 i 2 x> 3 su ekvivalentni, jer su njihovi skupovi rješenja jednaki i predstavljaju interval (2/3, ∞).

Teoremi o ekvivalenciji nejednadžbi i njihove posljedice slični su odgovarajućim teoremima o ekvivalenciji jednadžbi. Pri njihovom dokazivanju koriste se svojstva pravih numeričkih nejednakosti.

Teorem 3. Neka nejednakost f(x) > g(x) postaviti na setu x i h(x) je izraz definiran na istom skupu. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) + h(x) > g(x) + h(x) su ekvivalentni na skupu x.

Iz te teoreme proizlaze posljedice koje se često koriste u rješavanju nejednadžbi:

1) Ako su obje strane nejednakosti f(x) > g(x) dodati isti broj d, tada dobivamo nejednakost f(x) + d > g(x) + d, ekvivalentan originalu.

2) Ako bilo koji član (brojčani izraz ili izraz s varijablom) prenesemo iz jednog dijela nejednadžbe u drugi, mijenjajući predznak člana u suprotan, tada dobivamo nejednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Teorem 4. Neka nejednakost f(x) > g(x) postaviti na setu x i h(x x od mnogih x izraz h(x) uzima pozitivne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) su ekvivalentni na skupu x.

f(x) > g(x) pomnožiti s istim pozitivnim brojem d, tada dobivamo nejednakost f(x) d > g(x) d, ekvivalentan ovom.

Teorem 5. Neka nejednakost f(x) > g(x) postaviti na setu x i h(x) je izraz definiran na istom skupu i za sve x njihovo mnoštvo x izraz h(x) ima negativne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) su ekvivalentni na skupu x.

Iz ovog teorema slijedi korolar: ako su obje strane nejednakosti f(x) > g(x) pomnožiti s istim negativnim brojem d i obrnemo znak nejednakosti, dobivamo nejednakost f(x) d > g(x) d, ekvivalentan ovom.

Rješavanje nejednadžbi s jednom varijablom

Riješimo nejednadžbu 5 x - 5 < 2х - 16, x? R, te opravdati sve transformacije koje ćemo izvesti u procesu rješavanja.

Rješenje nejednakosti x < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5x - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).

Vježbe

1. Odredite koji su od sljedećih unosa nejednakosti s jednom varijablom:

a) -12 - 7 x< 3x+ 8; d) 12 x + 3(x- 2);

b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12 8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.

2. Je li broj 3 rješenje nejednadžbe 6 (2x + 7) < 15(x + 2), x? R? A broj 4,25?

3. Jesu li sljedeći parovi nejednakosti ekvivalentni na skupu realnih brojeva:

a) -17 x< -51 и x > 3;

b) (3 x-1)/4 >0 i 3 x-1>0;

c) 6-5 x>-4 i x<2?

4. Koje su od sljedećih izjava istinite:

a) -7 x < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

u) x< 6 => x< 20?

5. Riješite nejednadžbu 3( x - 2) - 4(x + 1) < 2(х - 3) - 2 i obrazložite sve transformacije koje ćete u tom slučaju izvesti.

6. Dokažite da je rješenje nejednadžbe 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2x) je bilo koji realan broj.

7. Dokažite da ne postoji realan broj koji bi bio rješenje nejednadžbe 3(2 - x) - 2 > 5 - 3x.

8. Jedna stranica trokuta je 5 cm, a druga 8 cm.Kolika može biti duljina treće stranice ako je opseg trokuta:

a) manje od 22 cm;

b) više od 17 cm?

GRAFIČKO RJEŠAVANJE NEJEDNAČBI S JEDNOM VARIJABLOM. Za grafičko rješenje nejednadžbe f(x) > g(x) treba iscrtati grafove funkcija

y = f(x) = g(x) i izabrati one intervale apscisne osi, na kojima je graf funkcije y = f(x) koji se nalazi iznad grafa funkcije y \u003d g(x).

Primjer 17.8. Riješi grafički nejednadžbu x 2- 4 > 3X.

Y - x * - 4

Riješenje. Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu

y \u003d x 2 - 4 i y= Zx (slika 17.5). Sa slike je vidljivo da su grafovi funkcija na= x 2- 4 nalazi se iznad grafa funkcije y \u003d 3 x na x< -1 i x > 4, tj. skup rješenja izvorne nejednadžbe je skup

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Odgovor: x O(-oo; -1) i ( 4; +oo).

Graf kvadratne funkcije na= sjekira 2 + bx + c je parabola s granama usmjerenim prema gore ako a > 0, i dolje ako a< 0. U tom slučaju moguća su tri slučaja: parabola siječe os Oh(tj. jednadžba ah 2+ bx+ c = 0 ima dva različita korijena); parabola dodiruje os x(tj. jednadžba sjekira 2 + bx+ c = 0 ima jedan korijen); parabola ne siječe os Oh(tj. jednadžba ah 2+ bx+ c = 0 nema korijena). Dakle, postoji šest mogućih položaja parabole, koja služi kao graf funkcije y \u003d ah 2+b x + c(Slika 17.6). Pomoću ovih ilustracija mogu se riješiti kvadratne nejednadžbe.

Primjer 17.9. Riješite nejednadžbu: a) 2 x r+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Riješenje, a) Jednadžba 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 ima dva korijena: x, \u003d -3, x 2 = 0,5. Parabola koja služi kao graf funkcije na= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. a. Nejednakost 2x 2+ 5x -3 > 0 izvodi se za te vrijednosti X, za koje točke parabole leže iznad osi Oh: to će biti u x< х х ili kada x> x r> oni. na x< -3 ili na x > 0,5. Dakle, skup rješenja izvorne nejednadžbe je skup (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).

b) Jednadžba -Zx 2 + 2x- 6 = 0 nema pravih korijena. Parabola koja služi kao graf funkcije na= - 3x 2 - 2x - 6 prikazan je na sl. 17.6 Nejednakost -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, za koje točke parabole leže ispod osi Oh. Budući da cijela parabola leži ispod osi Oh, tada je skup rješenja izvorne nejednadžbe skup R .

NEJEDNAČBE KOJE SADRŽE VARIJABLU POD ZNAKOM MODULA. Prilikom rješavanja ovih nejednakosti imajte na umu sljedeće:

|f(x) | =

f(x), ako f(x) ³ 0,

- f(x), ako f(x) < 0,

U ovom slučaju, područje dopuštenih vrijednosti nejednakosti treba podijeliti na intervale, na svakom od kojih izrazi pod znakom modula zadržavaju svoj znak. Zatim, proširujući module (uzimajući u obzir predznake izraza), trebate riješiti nejednadžbu na svakom intervalu i spojiti dobivena rješenja u skup rješenja izvorne nejednadžbe.

Primjer 17.10. Riješite nejednadžbu:

|x -1| + |2-x| > 3+x.

Riješenje. Točke x = 1 i x = 2 dijele realnu os (ODZ nejednadžbe (17.9)) na tri intervala: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Riješimo ovu nejednadžbu na svakom od njih. Ako je x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; dakle |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Dakle, nejednakost (17.9) ima oblik: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. x< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Ako je 1 £ x £.2, tada je x - 1 ³ 0 i 2 - x ³ 0; dakle | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 - x. .Dakle, postoji sustav:

x - 1 + 2 - x > 3 + x,

Dobiveni sustav nejednadžbi nema rješenja. Dakle, na intervalu [ 1; 2], skup rješenja nejednadžbe (17.9) je prazan.

Ako je x > 2, tada je x - 1 > 0 i 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x - 2 > 3 + x,

x > 6 ili

Kombinirajući rješenja koja se nalaze na svim dijelovima ODZ nejednadžbe (17.9), dobivamo njezino rješenje - skup (-¥; 0) È (6; + oo).

Ponekad je korisno koristiti se geometrijskom interpretacijom modula realnog broja, prema kojoj | a | znači udaljenost točke a koordinatnog pravca od ishodišta O, a | a - b | označava udaljenost između točaka a i b na koordinatnoj liniji. Alternativno, možete koristiti metodu kvadriranja obje strane nejednadžbe.

Teorem 17.5. Ako izrazi f(x) i g(x) za bilo koji x uzimaju samo nenegativne vrijednosti, tada nejednakosti f(x) > g(x) i f (x) ² > g (x) ² su ekvivalentni.

58. Glavni zaključci § 12

U ovom odjeljku definirali smo sljedeće pojmovi:

Numerički izraz;

Vrijednost numeričkog izraza;

Izraz koji nema smisla;

Izraz s varijablom(ama);

Opseg izraza;

identično jednaki izrazi;

Identitet;

Preobrazba identiteta izraza;

Numerička jednakost;

Numerička nejednakost;

Jednadžba s jednom varijablom;

Korijen jednadžbe;

Što znači riješiti jednadžbu;

Ekvivalentne jednadžbe;

Nejednakost s jednom varijablom;

Rješenje nejednadžbe;

Što znači riješiti nejednadžbu;

Ekvivalentne nejednakosti.

Uz to, razmatrali smo teoreme o ekvivalentnosti jednadžbi i nejednadžbi koji su temelj za njihovo rješavanje.

Poznavanje definicija svih navedenih pojmova i teorema o ekvivalentnosti jednadžbi i nejednadžbi nužan je uvjet za metodički kompetentno proučavanje algebarskog gradiva s učenicima mlađih razreda.

Općinska proračunska obrazovna ustanova

„Srednja škola br.26

uz produbljeno proučavanje pojedinih predmeta"

grad Nizhnekamsk, Republika Tatarstan

Sažetak lekcije iz matematike
u 8. razredu

Rješavanje nejednadžbi s jednom varijablom

i njihove sustave

pripremljeni

profesorica matematike

prva kvalifikacijska kategorija

Kungurova Gulnaz Rafaelovna

Nižnekamsk 2014

Pregled lekcije

Učitelj: Kungurova G.R.

Predmet: matematika

Tema: "Rješavanje linearnih nejednadžbi s jednom varijablom i njihovi sustavi."

Razred: 8B

Datum: 10.04.2014

Vrsta lekcije: sat generalizacije i sistematizacije proučenog gradiva.

Svrha lekcije: učvršćivanje praktičnih vještina i vještina rješavanja nejednadžbi s jednom varijablom i njihovih sustava, nejednadžbi koje sadrže varijablu pod znakom modula.

Ciljevi lekcije:

Vodiči:

uopćavanje i usustavljivanje znanja učenika o rješavanju nejednadžbi s jednom varijablom;

proširenje vrste nejednadžbi: dvostruke nejednadžbe, nejednadžbe koje sadrže varijablu pod znakom modula, sustavi nejednadžbi;

uspostavljanje međupredmetne povezanosti matematike, ruskog jezika, kemije.

U razvoju:

aktivacija pažnje, mentalna aktivnost, razvoj matematičkog govora, kognitivni interes među učenicima;

ovladavanje metodama i kriterijima samoprocjene i samokontrole.

Obrazovni:

odgoj samostalnosti, točnosti, sposobnosti za timski rad

Glavne metode korištene u lekciji: komunikacijska, eksplanatorno-ilustrativna, reproduktivna, metoda programiranog upravljanja.

Oprema:

Računalo

računalna prezentacija

monoblokovi (izvođenje individualnog online testa)

brošure (pojedinačni zadaci na više razina);

listovi za samokontrolu;

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak.

4. Samostalan rad

5. Odraz

6. Rezultati lekcije.

Tijekom nastave:

1. Organizacijski trenutak.

(Učitelj govori učenicima ciljeve i zadatke sata.).

Danas se nalazimo pred vrlo važnim zadatkom. Moramo sažeti ovu temu. Opet, bit će potrebno vrlo pažljivo razraditi teorijska pitanja, napraviti izračune, razmotriti praktičnu primjenu ove teme u našem svakodnevnom životu. I nikada ne smijemo zaboraviti kako razmišljamo, analiziramo, gradimo logičke lance. Naš govor uvijek mora biti pismen i ispravan.

Svatko od vas na svom stolu ima list samokontrole. Tijekom lekcije ne zaboravite znakom "+" označiti svoj doprinos ovoj lekciji.

Nastavnik zadaje domaću zadaću, komentirajući je:

№1026(a,b), br. 1019(c,d); dodatno - br. 1046 (a)

2. Aktualizacija znanja, vještina, vještina

1) Prije nego što počnemo izvoditi praktične zadatke, okrenimo se teoriji.

Učitelj najavljuje početak definicije, a učenici moraju dopuniti tekst

a) Nejednadžba s jednom varijablom je nejednadžba oblika ax>b, ax<в;

b) Riješiti nejednadžbu znači pronaći sva njezina rješenja ili dokazati da rješenja nema;

c) Rješenje nejednadžbe s jednom varijablom je ona vrijednost varijable koja je pretvara u pravu nejednadžbu;

d) Nejednadžbe se nazivaju ekvivalentnim ako imaju isti skup rješenja. Ako nemaju rješenja, nazivaju se i ekvivalentni

2) Na ploči nejednadžbe s jednom varijablom poredane u jedan stupac. A pokraj njega, u drugom stupcu, u obliku brojčanih intervala upisana su njihova rješenja. Zadatak učenika je uspostaviti podudarnost između nejednakosti i odgovarajućih praznina.

Uspostavite korespondenciju između nejednakosti i numeričkih intervala:

1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]

2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)

3. 4x > 3 c) (2; + ∞)

4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)

3) Praktičan rad u bilježnici uz samoprovjeru.

Na ploči učenici zapisuju linearnu nejednadžbu s jednom varijablom. Nakon završetka koji od učenika izgovara svoju odluku i ispravlja učinjene pogreške)

Riješite nejednadžbu:

4 (2x - 1) - 3 (x + 6) > x;

8x - 4 - 3x - 18 > x;

8x - 3x - x\u003e 4 + 18;

4x > 22;

x > 5,5.

Odgovor. (5,5 ; +∞)

3. Praktična primjena nejednakosti u svakodnevnom životu (kemijski eksperiment)

Nejednakosti u našem svakodnevnom životu mogu biti dobri pomagači. A osim toga, naravno, postoji neraskidiva veza između školskih predmeta. Matematika ide rame uz rame ne samo s ruskim jezikom, već i s kemijom.

(Na svakom stolu nalazi se referentna ljestvica za pH, u rasponu od 0 do 12)

Ako je vrijednost 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;

ako je pH = 7, onda je medij neutralan;

ako je indikator 7< pH ≤ 12, то среда щелочная

Učitelj u različite epruvete ulije 3 bezbojne otopine. Iz kolegija kemije od učenika se traži da se prisjete vrsta medija otopine (kisela, neutralna, alkalna). Nadalje se empirijski, uz sudjelovanje studenata, utvrđuje okruženje svake od triju otopina. Da biste to učinili, univerzalni indikator se spušta u svako rješenje. Događa se sljedeće: svaki indikator je obojen u odgovarajuću boju. A prema shemi boja, zahvaljujući referentnoj ljestvici, učenici postavljaju okruženje za svako od predloženih rješenja.

Zaključak:

1 indikator postaje crven, vrijednost 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке

2 indikator je pozelenio, pH = 7, što znači da je medij druge otopine neutralan, tj. imali smo vodu u epruveti 2

Indikator 3 je postao plav, indikator 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь

Poznavajući granice pH indikatora, možete odrediti razinu kiselosti tla, sapuna i mnogih kozmetičkih proizvoda.

Nastavak nadogradnje znanja, vještina i sposobnosti.

1) Učitelj još jednom počinje formulirati definicije, a učenici ih moraju dovršiti

Nastavi definicije:

a) Rješavanje sustava linearnih nejednadžbi znači pronaći sva njegova rješenja ili dokazati da ne postoji niti jedno

b) Rješenje sustava nejednadžbi s jednom varijablom je vrijednost varijable za koju je svaka od nejednadžbi točna

c) Da biste riješili sustav nejednadžbi s jednom varijablom, potrebno je pronaći rješenje svake nejednadžbe i pronaći presjek tih intervala

Nastavnik ponovno podsjeća učenike da je sposobnost rješavanja linearnih nejednadžbi s jednom varijablom i njihovih sustava osnova, osnova za složenije nejednadžbe koje se proučavaju u starijim razredima. Postavljaju se temelji znanja čiju snagu treba potvrditi na OGE iz matematike nakon 9. razreda.

Učenici zapisuju u bilježnice rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s jednom varijablom. (2 učenika rješavaju ove zadatke na ploči, obrazlažu njihovo rješenje, izgovaraju svojstva nejednadžbi koje se koriste u rješavanju sustava).

№1012(d). Rješavanje sustava linearnih nejednadžbi

0,3 x+1< 0,4х-2;

1,5x-3 > 1,3x-1. Odgovor. (30; +∞).

№1028(g). Riješite dvostruku nejednadžbu i označite sve cijele brojeve koji su njezino rješenje

1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0

2) Rješavanje nejednadžbi koje sadrže varijablu pod znakom modula.

Praksa pokazuje da nejednakosti koje sadrže varijablu pod znakom modula kod učenika izazivaju tjeskobu i sumnju u sebe. A često učenici jednostavno ne prihvaćaju takve nejednakosti. A razlog za to su loše postavljeni temelji. Učitelj postavlja učenike tako da pravovremeno rade na sebi, dosljedno uče sve korake za uspješno ispunjavanje ovih nejednakosti.

Postoji usmeni rad. (Prednji pregled)

Rješavanje nejednadžbi koje sadrže varijablu pod znakom modula:

1. Modul broja x je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom x.

| 35 | = 35,

| - 17 | = 17,

| 0 | = 0

2. Riješite nejednadžbe:

a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)

b) | x | > 2. Odgovor. (-∞; -2) U (2; +∞)

Na ekranu se detaljno prikazuje tijek rješavanja ovih nejednadžbi i izgovara algoritam za rješavanje nejednadžbi koje sadrže varijablu ispod znaka modula.

4. Samostalan rad

Kako bi se kontrolirao stupanj asimilacije ove teme, 4 učenika zauzimaju mjesta u monoblokovima i prolaze tematsko online testiranje. Vrijeme testiranja 15 minuta. Nakon završetka provodi se samotestiranje u bodovima i postocima.

Ostali učenici za svojim školskim klupama obavljaju samostalno samostalan rad.

Samostalan rad (vrijeme rada 13 min)

opcija 1

opcija 2

1. Riješite nejednadžbe:

a) 6+x< 3 - 2х;

b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - x).

3(x+1) - (x-2)< х,

2 > 5x - (2x-1) .

-6 < 5х - 1 < 5

četiri*. (Dodatno)

Riješite nejednadžbu:

| 2- 2x | ≤ 1

1. Riješite nejednadžbe:

a) 4+x< 1 - 2х;

b) 0,2 (3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3x).

2. Riješite sustav nejednadžbi:

2(x+3) - (x - 8)< 4,

6x > 3(x+1) -1.

3. Riješite dvostruku nejednadžbu:

-1 < 3х - 1 < 2

četiri*. (Dodatno)

Riješite nejednadžbu:

| 6x-1 | ≤ 1

Nakon obavljenog samostalnog rada učenici predaju bilježnice na ovjeru. Učenici koji su radili na monoblokovima također predaju bilježnice nastavniku na ovjeru.

5. Odraz

Nastavnik podsjeća učenike na listiće za samokontrolu na kojima su morali ocjenjivati ​​svoj rad znakom “+” tijekom cijelog sata, u njegovim različitim fazama.

Ali učenici će morati napraviti glavnu procjenu svoje aktivnosti tek sada, nakon što su izrekli jednu drevnu parabolu.

Parabola.

Išao je mudrac, a prema njemu su išla 3 čovjeka. Pod vrelim suncem nosili su kola s kamenjem za gradnju hrama.

Mudrac ih zaustavi i upita:

- Što si radio cijeli dan?

- Nosio ukleto kamenje - odgovori prvi.

“Savjesno sam radio svoj posao”, odgovorio je drugi.

- I ja sam sudjelovao u izgradnji hrama - ponosno odgovori treći.

U listiće za samokontrolu, u odlomak broj 3, učenici moraju unijeti izraz koji bi odgovarao njihovim postupcima u ovoj lekciji.

Listić samokontrole ____________________________________________________

№ P / str

Faze lekcije

Evaluacija odgojno-obrazovnih aktivnosti

Usmeni rad na satu

Praktični dio:

Rješavanje nejednadžbi s jednom varijablom;

rješavanje sustava nejednadžbi;

rješavanje dvostrukih nejednadžbi;

rješenje nejednadžbi s predznakom modula

Odraz

U odlomcima 1. i 2. točne odgovore u lekciji označite znakom "+";

u stavku 3. ocijenite svoj rad na satu prema uputama

6. Rezultati lekcije.

Učitelj, sumirajući lekciju, bilježi uspješne trenutke i probleme na kojima treba dodatno raditi.

Studenti se pozivaju da ocjenjuju svoj rad prema listićima samokontrole, a studenti dobivaju još jednu ocjenu na temelju rezultata samostalnog rada.

Na kraju sata nastavnik učenicima skreće pozornost na riječi francuskog znanstvenika Blaisea Pascala: „Veličina čovjeka je u njegovoj sposobnosti razmišljanja“.

Bibliografija:

1 . Algebra. 8. razred. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:

Mnemozina, 2012

2. Algebra.8 razred. Didaktički materijali. Smjernice / I.E. Feoktistov.

2. izdanje., Ster.-M.: Mnemosyne, 2011

3. Kontrolni i mjerni materijali Algebra: 8. razred / Sastavio L.I. Martyshova.-

M.: VAKO, 2010

Internet resursi:

Program za rješavanje linearnih, kvadratnih i frakcijskih nejednadžbi ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješavanja u svrhu provjere znanja iz matematike i/ili algebre.

Štoviše, ako je u procesu rješavanja jedne od nejednadžbi potrebno riješiti, na primjer, kvadratnu jednadžbu, tada se prikazuje i njeno detaljno rješenje (uključeno je u spojler).

Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testove, roditeljima za kontrolu rješavanja nejednakosti od strane njihove djece.

Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Pravila za unos nejednakosti

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, frakcijski brojevi mogu se unijeti ne samo u obliku decimalnog, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak od cijelog broja može biti odvojen točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom &: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Prilikom unosa izraza mogu se koristiti zagrade. U tom slučaju, kod rješavanja nejednadžbe, izrazi se prvo pojednostavljuju.
Na primjer: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Odaberite željeni znak nejednakosti i unesite polinome u donja polja.

Prva nejednakost sustava.

Pritisnite tipku za promjenu tipa prve nejednadžbe.

> >= < <=

Riješite sustav nejednadžbi

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sustavi nejednakosti s jednom nepoznanicom. Numerički rasponi

S pojmom sustava upoznali ste se u 7. razredu i naučili rješavati sustave linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Zatim će se razmatrati sustavi linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Skupovi rješenja sustava nejednadžbi mogu se pisati pomoću intervala (intervala, poluintervala, odsječaka, zraka). Također ćete naučiti o zapisu numeričkih intervala.

Ako je u nejednadžbama \(4x > 2000 \) i \(5x \leq 4000 \) nepoznati broj x isti, tada se te nejednadžbe razmatraju zajedno i kaže se da tvore sustav nejednakosti: $$ \lijevo\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$

Vitičasta zagrada pokazuje da trebate pronaći takve vrijednosti x za koje se obje nejednakosti sustava pretvaraju u prave numeričke nejednakosti. Ovaj sustav je primjer sustava linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.

Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom je vrijednost nepoznanice pri kojoj sve nejednadžbe sustava prelaze u prave brojčane nejednadžbe. Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći sva rješenja tog sustava ili utvrditi da ih nema.

Nejednadžbe \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) mogu se napisati kao dvostruka nejednadžba: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Rješenja sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom su različiti numerički skupovi. Ovi skupovi imaju imena. Dakle, na realnoj osi, skup brojeva x tako da je \(-2 \leq x \leq 3 \) predstavljen je segmentom s krajevima u točkama -2 i 3.

-2

3

Ako je \(a segment i označen je s [a; b]

Ako je \(interval i označen s (a; b)

Skupovi brojeva \(x \) koji zadovoljavaju nejednakosti \(a \leq x po poluintervalima i označeni su s [a; b) odnosno (a; b]

Odsječci, intervali, poluintervali i zrake nazivaju se numerički intervali.

Stoga se numerički intervali mogu odrediti u obliku nejednakosti.

Rješenje nejednadžbe s dvije nepoznanice je par brojeva (x; y) koji ovu nejednadžbu pretvara u pravu numeričku nejednadžbu. Riješiti nejednadžbu znači pronaći skup svih njezinih rješenja. Dakle, rješenja nejednadžbe x > y bit će, na primjer, parovi brojeva (5; 3), (-1; -1), budući da \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)

Rješavanje sustava nejednadžbi

Već ste naučili kako riješiti linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom. Znati što su sustav nejednadžbi i rješenje sustava. Stoga vam postupak rješavanja sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom neće predstavljati nikakve poteškoće.

Pa ipak, podsjećamo: da biste riješili sustav nejednadžbi, morate riješiti svaku nejednadžbu zasebno, a zatim pronaći presjek tih rješenja.

Na primjer, izvorni sustav nejednakosti reduciran je na oblik:
$$ \lijevo\(\begin(niz)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(niz)\desno. $$

Da bismo riješili ovaj sustav nejednadžbi, označimo rješenje svake nejednadžbe na realnoj osi i pronađemo njihovo sjecište:

-2

3

Sjecište je segment [-2; 3] - ovo je rješenje izvornog sustava nejednadžbi.