Zbroj logaritama s različitim bazama. Što je logaritam? Kako riješiti logaritme - korak po korak upute za rješavanje

Logaritam od b (b > 0) na bazu a (a > 0, a ≠ 1) je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili b.

Logaritam s bazom 10 od b može se napisati kao log(b), i logaritam s bazom e (prirodni logaritam) - ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Četiri su glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam umnoška

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta

Logaritam kvocijenta jednaka je razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stupnja

Logaritam stupnja jednak je umnošku stupnja i logaritma:

Ako je baza logaritma u eksponentu, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo se svojstvo može dobiti iz svojstva logaritma stupnja, budući da je korijen n-tog stupnja jednak potenciji 1/n:

Formula za prijelaz od logaritma po jednoj bazi do logaritma po drugoj bazi

Ova se formula također često koristi pri rješavanju raznih zadataka za logaritme:

Poseban slučaj:

Usporedba logaritama (nejednakosti)

Pretpostavimo da imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima s istim bazama i da postoji znak nejednakosti između njih:

Da biste ih usporedili, prvo trebate pogledati bazu logaritama a:

• Ako je a > 0, tada je f(x) > g(x) > 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Zadaci s logaritmima uključeni u USE iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci s logaritmima nalaze se u banci zadataka iz matematike. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Što je logaritam

Logaritmi su se uvijek smatrali teškom temom u školskom tečaju matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najnesretniju od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Napravimo tablicu za ovo:

Dakle, imamo potencije dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako se rješavaju

Ako uzmete broj iz donjeg retka, lako možete pronaći snagu na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je potencija na koju se mora podići broj a da bi se dobio broj x.

Zapis: log a x \u003d b, gdje je a baza, x argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Moglo bi se i zapisati 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takve brojeve nazivamo iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno dugo i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je baza, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koju trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo prekrasno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i nema zabune.

Kako računati logaritme

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza se mora razlikovati od jedinice, budući da je jedinica na bilo koju potenciju još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuto. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada u igru ​​uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmotrite opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Primljen odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne uzima u obzir;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako biti siguran da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u proširenju, broj nije točna potencija.

Zadatak. Saznajte jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točna potencija jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.

argumenta x je logaritam s bazom 10, tj. potenciju na koju se mora podići 10 da bi se dobilo x. Oznaka: lgx.

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima vlastitu notaciju. U određenom je smislu čak i važniji od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

argumenta x je logaritam s bazom e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: lnx.

Mnogi će se upitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Evo samo prvih brojki:
e = 2,718281828459…

Nećemo ulaziti u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (potencija logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo se definicijom logaritma.

Logaritam je pokazatelj stepena na koji se mora podići baza da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam na bazu a, potrebno je ispod znaka logaritma staviti stupanj s istom bazom kao i baza logaritma i taj broj c upisati u eksponent:

U obliku logaritma možete predstaviti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli broj, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima kolokvija ili ispita, možete zapamtiti sljedeće pravilo:

ono što je ispod pada, ono gore ide gore.

Na primjer, želite predstaviti broj 2 kao logaritam s bazom 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ti brojevi su baza i eksponent, koje ćemo napisati ispod znaka logaritma. Ostaje odrediti koji od ovih brojeva treba zapisati dolje, u osnovi stupnja, a koji - gore, u eksponentu.

Baza 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada dvojku predstavljamo kao logaritam na osnovu 3, također ćemo 3 zapisati na bazu.

2 je veći od 3. A u oznaci stupnja pišemo dva iznad tri, odnosno u eksponentu:

Logaritmi. Prva razina.

Logaritmi

logaritam pozitivan broj b razumom a, gdje a > 0, a ≠ 1, je eksponent na koji se broj mora podići. a, Dobiti b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost vrijedi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaženja logaritma broja naziva se logaritam.

Svojstva logaritama:

Logaritam umnoška:

Logaritam kvocijenta od dijeljenja:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stupnja:

korijenski logaritam:

Logaritam s bazom potencije:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi nazivaju logaritam baze 10 tog broja i pišu   lg b
prirodni logaritam brojevi nazivaju logaritam ovog broja na bazu e, gdje e je iracionalan broj, približno jednak 2,7. Istodobno pišu ln b.

Ostale bilješke o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam log a x. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze.

U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

1. log a a = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je 0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

osnovna svojstva.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.

3.

4. gdje .

Primjer 2 Nađi x if

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log2 7. Kako je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

1. logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
2. loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam broja b s bazom a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost istinita

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se na temelju njih gotovo svi zadaci i primjeri rješavaju logaritmima. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunavanju formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijal ili dvojka.
Logaritam s bazom deset obično se naziva logaritam s bazom deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika je vidljivo da u zapisniku nisu upisane osnove. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označava se ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam s bazom dva je

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je ovisnošću

Gornji materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Da bih usvojio gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog programa i sa sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama, imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. gdje .

Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila pojednostavljen je do forme

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2 Nađi x if

Riješenje. Za izračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamjena u zapisnik i tugovati

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: uzmite logaritam varijable da biste zapisali logaritam kroz zbroj članova

Ovo je tek početak upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte računanje, obogaćujte svoje praktične vještine – stečeno znanje uskoro će vam trebati za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode rješavanja takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednadžbe ...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log2 7. Kako je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

1. logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
2. loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

(od grčkog λόγος - "riječ", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) naziva se takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Drugim riječima logaritam brojevima b razumom a formuliran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije slijedi da je izračun x= log α b, ekvivalentno je rješavanju jednadžbe a x =b.

Na primjer:

log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .

Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućuje neposredno određivanje logaritamska vrijednost kada je broj pod znakom logaritma određena potencija baze. Doista, formulacija logaritma omogućuje opravdanje da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki S. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom stupanj broja.

Referira se na izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Prilikom logaritmiranja umnošci faktora pretvaraju se u zbroje članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Pri potenciranju se zadana baza podiže na potenciju izraza na kojem se vrši potenciranje. U tom se slučaju zbrojevi članova pretvaraju u umnožak faktora.

Često se koriste realni logaritmi s bazama 2 (binarni), e Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalni).

U ovoj fazi vrijedi razmisliti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ul √ 5, lg0,0001.

A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, budući da je u prvom od njih negativan broj stavljen pod znak logaritma, u drugom - negativan broj u baza, au trećem - i negativni broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.

Uvjeti za određivanje logaritma.

Vrijedno je posebno razmotriti uvjete a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto su ta ograničenja poduzeta. To će nam pomoći s jednakošću oblika x = log α b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, koji izravno proizlazi iz gornje definicije logaritma.

Uzmi uvjet a≠1. Kako je jedan jednak jedan na bilo koju potenciju, onda vrijedi jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo uklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.

Dokažimo nužnost uvjeta a>0. Na a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda prema tome zapisnik 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula na bilo koju potenciju različitu od nule nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uvjet a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, budući da je eksponent s racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Upravo iz tog razloga stanje a>0.

I posljednji uvjet b>0 slijedi iz nejednakosti a>0, budući da je x=log α b, a vrijednost stupnja s pozitivnom bazom a uvijek pozitivan.

Značajke logaritama.

Logaritmi karakteriziran osebujnim značajke, što je dovelo do njihove raširene upotrebe da uvelike olakšaju mukotrpne izračune. U prijelazu "u svijet logaritama" množenje se pretvara u puno lakše zbrajanje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na potenciju i vađenje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.

Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je put objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tablice, koje su drugi znanstvenici povećali i detaljizirali, naširoko su se koristile u znanstvenim i inženjerskim izračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronički kalkulatori i računala.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o računanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunavanjem logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama nalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno zadane vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti tablice logaritama. Cijela teorija je opremljena primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i jednostavno izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se taj proces odvija.

Njegova suština je prikazati broj b u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračun logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na informacije iz prethodnih odlomaka, kada je broj ispod znaka logaritma dan nekim stupnjem baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo primjere.

Primjer.

Nađite log 2 2 −3 , a također izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Riješenje.

Definicija logaritma nam omogućuje da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Doista, broj pod znakom logaritma jednak je bazi 2 na −3 potenciju.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5.3 =5.3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije zadan kao potencija baze logaritma, tada treba dobro razmisliti je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz prilično očigledan, pogotovo kada je broj ispod znaka logaritma jednak bazi na potenciju 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Riješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , što vam omogućuje izračunavanje prvog logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunom drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao potencija broja 7: (pogledajte ako je potrebno). Posljedično, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , odakle to zaključujemo . Prema tome, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

Odgovor:

log 5 25=2 , i .

Kad je dovoljno velik prirodan broj pod predznakom logaritma, onda ne škodi rastaviti ga na proste faktore. Često pomaže predstaviti takav broj kao neku potenciju baze logaritma, i prema tome, izračunati taj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Riješenje.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ta svojstva uključuju svojstvo logaritma od jedan i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a ispod znaka logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi 0 odnosno 1.

Primjer.

Što su logaritmi i lg10?

Riješenje.

Budući da , to slijedi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru broj 10 pod znakom logaritma poklapa se sa svojom bazom, pa je decimalni logaritam desetice jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

Odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo govorili u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje log jednakosti a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod predznakom logaritma i baza logaritma lako predstavljaju kao potencija nekog broja, vrlo je zgodno koristiti se formulom , što odgovara jednom od svojstava logaritama. Razmotrite primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Riješenje.

Odgovor:

.

Svojstva logaritama koja nisu gore spomenuta također se koriste u izračunu, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim paragrafima.

Nalaženje logaritama u smislu drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju temu korištenja svojstava logaritama u njihovom izračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritama koriste za izražavanje izvornog logaritma u smislu drugog logaritma, čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 radeći malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma umnoška. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako biste izračunali izvorni logaritam u smislu zadanih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 na bazu 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b.

Riješenje.

Dakle, moramo pronaći dnevnik 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma stupnja, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako se log 60 3 može izraziti u smislu poznatih logaritama. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje vam da napišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Na ovaj način, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Posljedično, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Na kraju izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Zasebno je vrijedno spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prijelaz s logaritama s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se s izvornog logaritma, prema formuli prijelaza, prelazi na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, budući da za te baze postoje tablice logaritama koje im omogućuju izračunavanje s određenim stupnjem točnosti. U sljedećem odjeljku pokazat ćemo kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približan izračun vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće korištene su tablica logaritma baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, zgodno je koristiti tablicu logaritama s bazom deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje, s točnošću od jedne desettisućinke, pronalaženje vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta). Analizirat ćemo princip pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama na konkretnom primjeru - jasnije je. Pronađimo lg1,256.

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1,256, odnosno nalazimo 1,2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili zadnjem retku lijevo od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili zadnjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tablice logaritama na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi su brojevi označeni narančastom bojom). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrte decimale, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće pomoću gornje tablice pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Izračunajmo lg102,76332 . Prvo morate pisati broj u standardnom obliku: 102,76332=1,0276332 10 2 . Nakon toga mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu dobivenog broja, odnosno uzimamo lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Na kraju nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 prema tablici decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat toga, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedi napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za odlazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Na ovaj način, .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

I logaritam je usko povezan. I zapravo, to je matematički zapis definicije logaritam. Analizirajmo detaljno što je logaritam, odakle je došao.

Razmotrimo algebarsku radnju - izračun eksponenta x prema zadanim specifičnim vrijednostima stupanj b i temelj a. Ovaj zadatak je u osnovi rješavanje jednadžbe a x = b, gdje a i b su neke zadane vrijednosti, x - nepoznata vrijednost. Imajte na umu da ovaj problem nema uvijek rješenja.

Kada je npr. u jednadžbi a x = b broja pozitivan, a broj b negativan, onda ova jednadžba nema korijena. Ali ako samo a i b pozitivni i a ≠ 1, onda sigurno ima samo jedan jedinstveni korijen. Prilično je poznata činjenica da graf eksponencijalne funkcije y = a x svakako se presijeca s ravno y = b i to samo u jednom trenutku. Apscisa sjecišta i volje korijen jednadžbe.

Naznačiti korijen jednadžbe a x = b uobičajeno je koristiti log a b (kažemo: logaritam broja b na bazu a).

Logaritam brojevima b razumom a ovo je eksponent, na koju želite podići broj a da dobijem broj b i a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Na temelju definicije dobivamo osnovni logaritamski identitet :

Primjeri:

Posljedica osnovni logaritamski identitet je sljedeće Pravilo.

Iz jednakosti dva pravi logaritmi dobivamo jednakost logaritamski izrazi.

Doista, kada je log a b = log a c, tada , gdje, b = c.

Razmislite zašto za logaritamski identitet ograničenja su poduzeta a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Prvi uvjet a ≠ 1.

Poznato je da jedinica u god stupanj bit će jedinica, a jednakost x = log a b može postojati samo za b = 1, ali u isto vrijeme dnevnik 1 1 bit će bilo koji pravi broj. Kako bi se izbjegla ova dvosmislenost, prihvaća se a ≠ 1.

Obrazložite nužnost uvjeta a > 0.

Na a = 0 na definicija logaritma može postojati samo kada b = 0. I stoga tada zapisnik 0 0 može biti bilo što osim nule pravi broj, budući da je nula na bilo koju potenciju osim nule nula. Da bi se spriječila ova dvosmislenost, uvjet a ≠ 0. I kada a< 0 morali bismo napustiti raščlanjivanje racionalan i iracionalan logaritam vrijednosti, jer stupanj s racionalnim i iracionalni pokazatelj definirana samo iz pozitivnih razloga. Upravo iz tog razloga stanje a > 0.

I konačno stanje b > 0 je posljedica nejednakosti a > 0, budući da je x = log a b, i vrijednost stupnja s pozitivnom bazom a uvijek pozitivan.