Smanjenje razlomaka. Što znači smanjiti razlomak? Online kalkulator za smanjivanje algebarskih razlomaka s detaljnim rješenjem omogućuje smanjenje razlomka i pretvaranje nepravog razlomka u pravi razlomak

Ako trebamo podijeliti 497 s 4, tada ćemo pri dijeljenju vidjeti da 497 nije djeljivo s 4, tj. ostaje ostatak diobe. U takvim slučajevima se kaže da dijeljenje s ostatkom, a rješenje je zapisano na sljedeći način:
497: 4 = 124 (1 ostatak).

Komponente dijeljenja na lijevoj strani jednakosti nazivaju se isto kao i kod dijeljenja bez ostatka: 497 - dividenda, 4 - šestar. Rezultat dijeljenja pri dijeljenju s ostatkom naziva se nepotpuno privatno. U našem slučaju, ovaj broj je 124. I na kraju, zadnja komponenta, koja nije u uobičajenoj podjeli, je ostatak. Kada nema ostatka, kaže se da je jedan broj podijeljen drugim. bez traga ili potpuno. Vjeruje se da je s takvim dijeljenjem ostatak nula. U našem slučaju, ostatak je 1.

Ostatak je uvijek manji od djelitelja.

Kod dijeljenja možete provjeriti množenjem. Ako, na primjer, postoji jednakost 64: 32 = 2, tada se provjera može učiniti ovako: 64 = 32 * 2.

Često je u slučajevima kada se izvodi dijeljenje s ostatkom zgodno koristiti jednakost
a \u003d b * n + r,
gdje je a dividenda, b je djelitelj, n je djelomični kvocijent, r je ostatak.

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva može se napisati kao razlomak.

Brojnik razlomka je dividenda, a nazivnik je djelitelj.

Budući da je brojnik razlomka dividenda, a nazivnik djelitelj, vjeruju da crta razlomka znači radnju dijeljenja. Ponekad je zgodno napisati dijeljenje kao razlomak bez upotrebe znaka ":".

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva m i n može se napisati kao razlomak \(\frac(m)(n) \), gdje je brojnik m djelitelj, a nazivnik n djelitelj:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Sljedeća pravila su točna:

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n) \), trebate jedinicu podijeliti na n jednakih dijelova (dijelova) i uzeti m takvih dijelova.

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n) \), trebate broj m podijeliti s brojem n.

Da biste pronašli dio cjeline, trebate broj koji odgovara cjelini podijeliti s nazivnikom i rezultat pomnožiti s brojnikom razlomka koji izražava taj dio.

Da biste pronašli cjelinu prema njezinom dijelu, morate broj koji odgovara ovom dijelu podijeliti s brojnikom i pomnožiti rezultat s nazivnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože s istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni s istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ovo svojstvo se zove osnovno svojstvo razlomka.

Posljednje dvije transformacije nazivaju se smanjenje frakcije.

Ako razlomke treba predstaviti kao razlomke s istim nazivnikom, tada se takva radnja poziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Pravi i nepravi razlomci. mješoviti brojevi

Već znate da se razlomak može dobiti tako da se cjelina podijeli na jednake dijelove i uzme nekoliko takvih dijelova. Na primjer, razlomak \(\frac(3)(4) \) znači tri četvrtine od jedan. U mnogim zadacima iz prethodnog odjeljka razlomci su korišteni za označavanje dijela cjeline. Zdrav razum nalaže da bi dio uvijek trebao biti manji od cjeline, ali što je s razlomcima poput \(\frac(5)(5) \) ili \(\frac(8)(5) \)? Jasno je da ovo više nije dio jedinice. Vjerojatno se zato takvi razlomci, u kojima je brojnik veći ili jednak nazivniku, nazivaju nepravi razlomci. Ostali razlomci, tj. razlomci u kojima je brojnik manji od nazivnika, nazivaju se pravilni razlomci.

Kao što znate, bilo koji obični razlomak, pravilan i nepravilan, može se smatrati rezultatom dijeljenja brojnika s nazivnikom. Dakle, u matematici, za razliku od običnog jezika, izraz "nepravi razlomak" ne znači da smo nešto pogriješili, već samo da taj razlomak ima brojnik veći ili jednak svom nazivniku.

Ako se broj sastoji od cijelog dijela i razlomka, onda takav razlomci se nazivaju mješoviti.

Na primjer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je cijeli broj i \(\frac(2)(3) \) je razlomački dio.

Ako je brojnik razlomka \(\frac(a)(b) \) djeljiv s prirodnim brojem n, tada da bi se taj razlomak podijelio s n, njegov brojnik mora biti podijeljen s ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ako brojnik razlomka \(\frac(a)(b) \) nije djeljiv s prirodnim brojem n, tada da biste taj razlomak podijelili s n, trebate pomnožiti njegov nazivnik ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Imajte na umu da drugo pravilo također vrijedi kada je brojnik djeljiv s n. Stoga ga možemo koristiti kada je na prvi pogled teško odrediti je li brojnik razlomka djeljiv s n ili nije.

Akcije s razlomcima. Zbrajanje razlomaka.

S razlomačkim brojevima, kao i s prirodnim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije. Pogledajmo prvo zbrajanje razlomaka. Lako je zbrajati razlomke s istim nazivnicima. Pronađite, na primjer, zbroj \(\frac(2)(7) \) i \(\frac(3)(7) \). Lako je razumjeti da \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.

Koristeći slova, pravilo za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ako želite zbrajati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na zajednički nazivnik. Na primjer:
\(\veliki \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativnost i asocijativnost zbrajanja.

Zbrajanje mješovitih razlomaka

Pozivaju se zapisi poput \(2\frac(2)(3) \). mješovite frakcije. Poziva se broj 2 cijeli dio mješoviti razlomak, a broj \(\frac(2)(3) \) je njegov razlomački dio. Zapis \(2\frac(2)(3) \) čita se ovako: "dvije i dvije trećine".

Dijeljenje broja 8 s brojem 3 daje dva odgovora: \(\frac(8)(3) \) i \(2\frac(2)(3) \). Oni izražavaju isti razlomački broj, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Stoga je nepravi razlomak \(\frac(8)(3) \) predstavljen kao mješoviti razlomak \(2\frac(2)(3) \). U takvim slučajevima kažu da iz nepravog razlomka izdvojio cjelinu.

Oduzimanje razlomaka (frakcijski brojevi)

Oduzimanje razlomačkih brojeva, kao i prirodnih, utvrđuje se na temelju radnje zbrajanja: oduzeti drugi od jednog broja znači pronaći broj koji pri zbrajanju s drugim daje prvi. Na primjer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) jer \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Pravilo za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima slično je pravilu za zbrajanje takvih razlomaka:
Da biste pronašli razliku između razlomaka s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite isti.

Koristeći slova, ovo pravilo je napisano na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi umnožak napisati kao brojnik, a drugi kao nazivnik.

Koristeći slova, pravilo za množenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Koristeći formulirano pravilo, moguće je pomnožiti razlomak prirodnim brojem, mješovitim razlomkom, a također i pomnožiti mješovite razlomke. Da biste to učinili, morate prirodni broj napisati kao razlomak s nazivnikom 1, mješoviti razlomak kao nepravi razlomak.

Rezultat množenja treba pojednostaviti (ako je moguće) smanjivanjem razlomka i isticanjem cijelog dijela nepravog razlomka.

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativno i asocijativno svojstvo množenja, kao i svojstvo distributivnosti množenja u odnosu na zbrajanje.

Dijeljenje razlomaka

Uzmite razlomak \(\frac(2)(3) \) i "okrenite" ga zamjenom brojnika i nazivnika. Dobivamo razlomak \(\frac(3)(2) \). Ovaj se razlomak zove obrnuti razlomci \(\frac(2)(3) \).

Ako sada “obrnemo” razlomak \(\frac(3)(2) \), tada ćemo dobiti izvorni razlomak \(\frac(2)(3) \). Stoga se razlomci kao što su \(\frac(2)(3) \) i \(\frac(3)(2) \) nazivaju međusobno inverzni.

Na primjer, razlomci \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7) \).

Koristeći slova, međusobno inverzne razlomke možemo napisati na sljedeći način: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

Jasno je da umnožak recipročnih razlomaka je 1. Na primjer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Koristeći recipročne razlomke, dijeljenje razlomaka može se svesti na množenje.

Pravilo za dijeljenje razlomka razlomkom:
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Koristeći slova, pravilo za dijeljenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ako je dividenda ili djelitelj prirodan broj ili mješoviti razlomak, onda da bi se moglo upotrijebiti pravilo dijeljenja razlomaka, mora se prvo prikazati kao nepravi razlomak.

Ovaj članak nastavlja temu transformacije algebarskih razlomaka: smatrajte takvu radnju smanjenjem algebarskih razlomaka. Definirajmo sam pojam, formulirajmo pravilo skraćivanja i analizirajmo praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Značenje kratice algebarskog razlomka

U materijalima na običnoj frakciji razmatrali smo njegovu redukciju. Smanjenje običnog razlomka definirali smo kao dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom.

Smanjenje algebarskog razlomka je slična operacija.

Definicija 1

Redukcija algebarskih razlomaka je dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom. U ovom slučaju, za razliku od redukcije običnog razlomka (samo broj može biti zajednički nazivnik), polinom, posebno monom ili broj, može poslužiti kao zajednički faktor za brojnik i nazivnik algebarskog razlomka.

Na primjer, algebarski razlomak 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 može se smanjiti za broj 3, kao rezultat dobivamo: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Isti razlomak možemo smanjiti za varijablu x i to će nam dati izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Također je moguće dati razlomak smanjiti monomom 3 x ili bilo koji od polinoma x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ili 3 x 2 + 6 x y.

Konačni cilj redukcije algebarskog razlomka je razlomak jednostavnijeg oblika, u najboljem slučaju nesvodljiv razlomak.

Jesu li svi algebarski razlomci podložni redukciji?

Opet, iz materijala o običnim razlomcima, znamo da postoje svodivi i nesvodivi razlomci. Nesvodivi - to su razlomci koji nemaju zajedničke faktore brojnika i nazivnika, osim 1.

S algebarskim razlomcima sve je isto: mogu i ne moraju imati zajedničke faktore brojnika i nazivnika. Prisutnost zajedničkih faktora omogućuje vam pojednostavljenje izvornog razlomka redukcijom. Kada nema zajedničkih faktora, nemoguće je optimizirati dati razlomak metodom redukcije.

U općim slučajevima, za određenu vrstu razlomka, prilično je teško razumjeti je li podložan smanjenju. Naravno, u nekim slučajevima očita je prisutnost zajedničkog faktora brojnika i nazivnika. Na primjer, u algebarskom razlomku 3 · x 2 3 · y sasvim je jasno da je zajednički faktor broj 3 .

U razlomku - x · y 5 · x · y · z 3 također odmah razumijemo da ga je moguće smanjiti za x, ili y, ili za x · y. Pa ipak, mnogo su češći primjeri algebarskih razlomaka, kada zajednički faktor brojnika i nazivnika nije tako lako vidjeti, a još češće - jednostavno ga nema.

Na primjer, razlomak x 3 - 1 x 2 - 1 možemo smanjiti za x - 1, a navedeni zajednički faktor nije u zapisu. Ali razlomak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ne može se smanjiti, budući da brojnik i nazivnik nemaju zajednički faktor.

Dakle, pitanje pronalaženja kontraktibilnosti algebarskog razlomka nije tako jednostavno i često je lakše raditi s razlomkom zadanog oblika nego pokušavati otkriti je li kontraktibilan. U tom se slučaju događaju takve transformacije koje nam u određenim slučajevima omogućuju da odredimo zajednički faktor brojnika i nazivnika ili da zaključimo da je razlomak nesvodiv. Ovo ćemo pitanje detaljno analizirati u sljedećem odlomku članka.

Pravilo redukcije algebarskih razlomaka

Pravilo redukcije algebarskih razlomaka sastoji se od dva uzastopna koraka:

• pronalaženje zajedničkih faktora brojnika i nazivnika;
• u slučaju pronalaska takvog, provedba izravne radnje smanjenja frakcije.

Najprikladnija metoda za pronalaženje zajedničkih nazivnika je rastavljanje polinoma prisutnih u brojniku i nazivniku danog algebarskog razlomka. To vam omogućuje da odmah vizualno vidite prisutnost ili odsutnost zajedničkih čimbenika.

Sama radnja redukcije algebarskog razlomka temelji se na glavnom svojstvu algebarskog razlomka, izraženom jednakošću undefined , gdje su a , b , c neki polinomi, a b i c različiti od nule. Prvi korak je svođenje razlomka na oblik a c b c , pri čemu odmah uočavamo zajednički faktor c . Drugi korak je izvođenje redukcije, tj. prijelaz u razlomak oblika a b .

Tipični primjeri

Unatoč određenoj očitosti, razjasnimo poseban slučaj kada su brojnik i nazivnik algebarskog razlomka jednaki. Slični razlomci su identički jednaki 1 na cijelom ODZ varijabli ovog razlomka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Budući da su obični razlomci poseban slučaj algebarskih razlomaka, podsjetimo se kako se oni svode. Prirodni brojevi zapisani u brojniku i nazivniku rastavljaju se na proste faktore, zatim se zajednički faktori reduciraju (ako postoje).

Na primjer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Umnožak jednostavnih identičnih faktora može se zapisati kao stupnjevi, au procesu redukcije razlomaka koristiti svojstvo dijeljenja stupnjeva s istim bazama. Tada bi gornje rješenje bilo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(brojnik i nazivnik podijeljeni zajedničkim faktorom 2 2 3). Ili, radi jasnoće, na temelju svojstava množenja i dijeljenja, rješenju ćemo dati sljedeći oblik:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogno se provodi redukcija algebarskih razlomaka u kojima brojnik i nazivnik imaju monome s cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer 1

Zadan je algebarski razlomak - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Moguće je zapisati brojnik i nazivnik danog razlomka kao umnožak prostih faktora i varijabli, a zatim smanjiti:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Međutim, racionalniji način bio bi napisati rješenje kao izraz s potencijama:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kada u brojniku i nazivniku algebarskog razlomka postoje razlomački numerički koeficijenti, postoje dva moguća načina daljnjeg djelovanja: ili odvojeno podijeliti te razlomačke koeficijente ili se najprije riješiti razlomačkih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika nekim prirodnim brojem . Posljednja transformacija provodi se zbog glavnog svojstva algebarskog ulomka (o tome možete pročitati u članku "Svođenje algebarskog ulomka na novi nazivnik").

Primjer 2

Dan je razlomak 2 5 x 0 , 3 x 3 . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Moguće je smanjiti frakciju na ovaj način:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pokušajmo problem riješiti drugačije, prethodno se riješivši frakcijskih koeficijenata - brojnik i nazivnik množimo s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika tih koeficijenata, tj. po LCM(5, 10) = 10. Tada dobivamo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kada reduciramo opće algebarske razlomke, u kojima brojnici i nazivnici mogu biti i monomi i polinomi, moguć je problem kada zajednički faktor nije uvijek odmah vidljiv. Ili više od toga, jednostavno ne postoji. Zatim, da bi se odredio zajednički faktor ili popravila činjenica njegovog odsustva, brojnik i nazivnik algebarskog razlomka faktoriziraju se.

Primjer 3

Zadan je racionalni razlomak 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Treba ga skratiti.

Riješenje

Rastavimo polinome na faktore u brojniku i nazivniku. Napravimo zagrade:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidimo da se izraz u zagradama može pretvoriti pomoću skraćenih formula množenja:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jasno se vidi da je razlomak moguće smanjiti zajedničkim faktorom b 2 (a + 7). Napravimo redukciju:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Zapisujemo kratko rješenje bez objašnjenja kao lanac jednakosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Dešava se da su zajednički faktori skriveni numeričkim koeficijentima. Tada je kod sažimanja razlomaka optimalno izbaciti numeričke faktore na većim potencijama brojnika i nazivnika.

Primjer 4

Zadan je algebarski razlomak 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Trebalo bi ga smanjiti ako je moguće.

Riješenje

Na prvi pogled, brojnik i nazivnik nemaju zajednički nazivnik. Ipak, pokušajmo preračunati zadani razlomak. Izbacimo faktor x iz brojnika:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sada možete vidjeti neku sličnost između izraza u zagradama i izraza u nazivniku zbog x 2 y . Izdvojimo numeričke koeficijente na višim potencijama ovih polinoma:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sada zajednički množitelj postaje vidljiv, provodimo redukciju:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Naglasimo da vještina reduciranja racionalnih razlomaka ovisi o sposobnosti rastavljanja polinoma na faktore.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Bez znanja kako smanjiti razlomak i bez stabilne vještine rješavanja takvih primjera, vrlo je teško učiti algebru u školi. Što dalje, to se više novih informacija nadovezuje na osnovno znanje o redukciji običnih razlomaka. Prvo postoje stupnjevi, zatim faktori, koji kasnije postaju polinomi.

Kako se ovdje ne zbuniti? Temeljito učvrstite vještine u prethodnim temama i postupno se pripremite za znanje o smanjivanju razlomka, što iz godine u godinu postaje sve kompliciranije.

Osnovno znanje

Bez njih neće biti moguće nositi se sa zadacima bilo koje razine. Da biste razumjeli, morate razumjeti dvije jednostavne točke. Prvo, možete samo smanjiti množitelje. Ova se nijansa pokazuje vrlo važnom kada se polinomi pojavljuju u brojniku ili nazivniku. Tada treba jasno razlučiti gdje je množitelj, a gdje pojam.

Druga točka kaže da se bilo koji broj može predstaviti kao faktori. Štoviše, rezultat smanjenja je takav razlomak, čiji se brojnik i nazivnik više ne mogu smanjiti.

Pravila za smanjivanje običnih razlomaka

Prvo što treba provjeriti je li brojnik djeljiv nazivnikom ili obrnuto. Onda je to broj koji trebate smanjiti. Ovo je najlakša opcija.

Drugi je analiza izgled brojevima. Ako oba završavaju s jednom ili više nula, tada se mogu smanjiti za 10, 100 ili tisuću. Ovdje možete vidjeti jesu li brojevi parni. Ako je tako, onda možete sigurno smanjiti za dva.

Treće pravilo kako smanjiti razlomak je rastavljanje brojnika i nazivnika na proste faktore. U ovom trenutku morate aktivno koristiti sva znanja o znakovima djeljivosti brojeva. Nakon takvog razlaganja ostaje samo pronaći sve one koji se ponavljaju, pomnožiti ih i smanjiti za dobiveni broj.

Što ako razlomak sadrži algebarski izraz?

Tu se pojavljuju prve poteškoće. Jer tu se pojavljuju termini koji mogu biti identični faktorima. Stvarno ih želim skratiti, ali ne mogu. Prije nego što se algebarski razlomak može reducirati, mora se pretvoriti tako da ima faktore.

To će zahtijevati nekoliko koraka. Možda ćete ih morati sve proći ili će možda prvi dati odgovarajuću opciju.

Provjerite da li se brojnik i nazivnik ili bilo koji izraz u njima razlikuju predznakom. U ovom slučaju samo trebate izvaditi zagrade minus jedan. To rezultira identičnim množiteljima koji se mogu smanjiti.

Pogledajte može li se zajednički faktor staviti u zagrade iz polinoma. Možda će ovo ispasti zagrada, koja se također može smanjiti, ili će to biti izvađeni monom.

Pokušajte izvesti grupiranje monoma kako biste zatim izdvojili zajednički faktor u njima. Nakon toga može se pokazati da će postojati čimbenici koji se mogu reducirati ili ponovno staviti u zagrade zajedničke elemente.

Pokušajte pismeno razmotriti formulu skraćenog množenja. Uz njihovu pomoć bit će lako pretvoriti polinom u faktore.

Redoslijed radnji s razlomcima s potencijama

Da biste lako razumjeli pitanje kako smanjiti razlomak sa stupnjevima, morate se čvrsto sjetiti osnovnih radnji s njima. Prvi od njih povezan je s umnožavanjem snaga. U tom slučaju, ako su baze iste, potrebno je dodati indikatore.

Drugo je podjela. Opet, za one koji imaju istu bazu, indikatore će trebati oduzeti. Štoviše, trebate oduzeti od broja koji je u dividendi, a ne obrnuto.

Treći je potenciranje. U ovoj situaciji, pokazatelji se množe.

Uspješno smanjenje također će zahtijevati sposobnost da se stupnjevi privedu na iste baze. To jest, vidjeti da je četiri dva na kvadrat. Ili je 27 kocka tri. Zato što je teško rezati 9 na kvadrat i 3 na kocku. Ali ako transformiramo prvi izraz kao (3 2) 2 , tada će redukcija uspjeti.

Razumjet ćemo što je smanjenje razlomaka, zašto i kako smanjiti razlomke, dat ćemo pravilo za smanjenje razlomaka i primjere njegove upotrebe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što je "smanjenje frakcije"

Skratiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik zajedničkim djeliteljem, pozitivnim i različitim od jedan.

Kao rezultat takve akcije dobit će se razlomak s novim brojnikom i nazivnikom, jednak izvornom razlomku.

Na primjer, uzmimo obični razlomak 6 24 i smanjimo ga. Podijelite brojnik i nazivnik s 2, što rezultira 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . U ovom smo primjeru smanjili izvorni razlomak za 2 .

Svođenje razlomaka na nesvodivi oblik

U prethodnom smo primjeru razlomak 6 24 smanjili za 2, što je rezultiralo razlomkom 3 12 . Lako je vidjeti da se ovaj razlomak može dodatno smanjiti. Općenito, cilj smanjivanja razlomaka je dobiti nesvodivi razlomak. Kako pretvoriti razlomak u nesvodivi oblik?

To se može učiniti smanjenjem brojnika i nazivnika za njihov najveći zajednički djelitelj (GCD). Tada će prema svojstvu najvećeg zajedničkog djelitelja brojnik i nazivnik biti međusobno prosti brojevi, a razlomak nesvodiv.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Svođenje razlomka na nesvodivi oblik

Da biste razlomak sveli na nesvodivi oblik, morate njegov brojnik i nazivnik podijeliti s njihovim gcd-om.

Vratimo se razlomku 6 24 iz prvog primjera i svedimo ga na nesvodivi oblik. Najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 24 je 6. Skratimo razlomak:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Smanjenje razlomaka prikladno je koristiti kako ne biste radili s velikim brojevima. Općenito, u matematici postoji neizgovoreno pravilo: ako možete pojednostaviti bilo koji izraz, onda to morate učiniti. Pod svođenjem razlomka najčešće podrazumijevaju njegovo svođenje na nesvodivi oblik, a ne samo svođenje zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.

Pravilo redukcije razlomaka

Da biste smanjili razlomke, dovoljno je zapamtiti pravilo koje se sastoji od dva koraka.

Pravilo redukcije razlomaka

Da smanjite razlomak:

1. Odredite NNO brojnika i nazivnika.
2. Podijelite brojnik i nazivnik njihovim gcd-om.

Razmotrite praktične primjere.

Primjer 1. Skratimo razlomak.

Zadan je razlomak 182 195 . Skratimo.

Pronađite GCD brojnika i nazivnika. Za to je u ovom slučaju najprikladnije koristiti Euklidov algoritam.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Podijelite brojnik i nazivnik s 13. Dobivamo:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Spreman. Dobili smo nesvodivi razlomak, koji je jednak izvornom razlomku.

Kako drugačije možete smanjiti razlomke? U nekim je slučajevima zgodno razložiti brojnik i nazivnik na jednostavne faktore, a zatim ukloniti sve zajedničke faktore iz gornjeg i donjeg dijela razlomka.

Primjer 2. Skrati razlomak

Zadan je razlomak 360 2940 . Skratimo.

Da bismo to učinili, predstavljamo izvorni razlomak u obliku:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Oslobodimo se zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku, kao rezultat toga dobivamo:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Na kraju, razmislite o drugom načinu smanjivanja razlomaka. To je takozvana sekvencijalna redukcija. Koristeći ovu metodu, redukcija se provodi u nekoliko faza, u svakoj od njih se razlomak smanjuje za neki očiti zajednički djelitelj.

Primjer 3. Skrati razlomak

Skratimo razlomak 2000 na 4400 .

Odmah je jasno da brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor 100. Razlomak smanjimo za 100 i dobijemo:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Dobiveni rezultat se ponovno umanjuje za 2 i dobivamo nesmanjiv razlomak:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, pogledajmo prvo jedan primjer.

Skratiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik s istim. I 360 i 420 završavaju brojem, pa ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. U novom razlomku i 180 i 210 također su djeljivi s 2, taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105 zbroj znamenke su djeljive s 3, pa su oba broja djeljiva s 3, razlomak smanjujemo za 3. U novom razlomku 30 i 35 završavaju s 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva s 5, pa smanjujemo razlomak s 5. Dobiveni razlomak, šest sedmina, je neskrativ. Ovo je konačan odgovor.

Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.

I 360 i 420 završavaju nulom, što znači da su djeljivi s 10. Razlomak smanjujemo za 10. U novom razlomku i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se s 2. Razlomak smanjujemo za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i nazivnik 21 dijelimo s 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.

I još jedno rješenje.

Sljedeći put ćemo razmotriti primjere redukcije razlomaka.