Zbrajanje razlomaka s nepoznanicama. Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan

Djetetu je teško razumjeti razlomke. Većina ljudi ima poteškoća s . Prilikom proučavanja teme "zbrajanje razlomaka s cijelim brojevima", dijete pada u stupor, teško mu je riješiti zadatak. U mnogim primjerima mora se izvršiti niz izračuna prije nego što se radnja može izvesti. Na primjer, pretvorite razlomke ili pretvorite nepravi razlomak u pravi.

Jasno objasnite djetetu. Uzmite tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treća će biti izrezana na 4 dijela. Od izrezane jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite uz dvije cijele voćke. Dobivamo ¼ jabuke s jedne strane i 2 ¾ s druge strane. Ako ih spojimo, dobit ćemo tri cijele jabuke. Pokušajmo 2 ¾ jabuke smanjiti za ¼, odnosno maknuti još jednu krišku, dobit ćemo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo pobliže akcije s razlomcima, koji uključuju cijele brojeve:

Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za frakcijske izraze sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali to se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju pretvorbu.

Kako pronaći vrijednost izraza u kojem su nazivnici različiti

U nekim zadacima potrebno je pronaći vrijednost izraza kod kojih su nazivnici različiti. Razmotrimo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Nađite vrijednost ovog izraza, za ovo nalazimo zajednički nazivnik za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3 to je 21. Cijele dijelove ostavljamo iste, a razlomke smanjujemo na 21, za to prvi razlomak množimo s 3, drugi sa 7, dobivamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da cijeli dijelovi ne podliježu konverziji. Kao rezultat, dobivamo dva razlomka s jednim nazivnikom i izračunavamo njihov zbroj:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Što ako je rezultat zbrajanja nepravi razlomak koji već ima cjelobrojni dio:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju zbrajamo cijele dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, dakle 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

S pronalaženjem zbroja sve je jasno, analizirajmo oduzimanje:

Iz svega rečenog slijedi pravilo operacija nad mješovitim brojevima koje glasi ovako:

• Ako je potrebno od razlomaka oduzeti cijeli broj, nije potrebno drugi broj prikazati kao razlomak, dovoljno je djelovati samo na cjelobrojnim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati vrijednost izraza:

Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":

4 5/11-2 8/11, brojnik prvog razlomka manji je od drugog. Da bismo to učinili, uzimamo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobivamo,
3 5/11+11/11=3 cijelo 16/11, oduzmite drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

• Budite oprezni pri izvršavanju zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite, ističući cijeli dio. Da biste to učinili, potrebno je podijeliti vrijednost brojnika s vrijednošću nazivnika, tada ono što se dogodilo zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojnik, na primjer:

19/4=4 ¾, provjera: 4*4+3=19, u nazivniku 4 ostaje nepromijenjeno.

Rezimirati:

Prije nego što se pristupi zadatku koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba napraviti na razlomku da bi rješenje bilo točno. Tražite racionalnija rješenja. Nemojte ići težim putem. Isplanirajte sve radnje, prvo odlučite u nacrtu, a zatim prenesite u školsku bilježnicu.

Kako biste izbjegli zabunu pri rješavanju razlomačkih izraza, potrebno je slijediti pravilo niza. Sve odlučite pažljivo, bez žurbe.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Pojam NOO-a
Dovođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako zbrojiti cijeli broj i razlomak

1 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik istim, na primjer:

Da biste zbrojili mješovite razlomke, morate posebno zbrojiti njihove cijele dijelove, a zatim zbrojiti njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,

Ako se pri zbrajanju razlomačkih dijelova dobije nepravi razlomak, iz njega izdvajamo cijeli dio i pribrajamo ga cijelom dijelu, npr.

2 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti na isti nazivnik, a zatim postupiti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog od razlomaka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a s nazivnikom tog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo što je LCM.

3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva (NZM) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s oba ova broja bez ostatka. Ponekad se LCM može pronaći usmeno, ali češće, posebno kada radite s velikim brojevima, morate pronaći LCM u pisanom obliku, koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, potrebno vam je:

1. Rastavite ove brojeve na proste faktore
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao umnožak
3. Odaberite u drugim proširenjima brojeve koji se ne pojavljuju u najvećem proširenju (ili se u njemu pojavljuju manji broj puta) i dodajte ih umnošku.
4. Pomnožite sve brojeve u umnošku, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

4Svođenje razlomaka na isti nazivnik

Vratimo se zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM obaju nazivnika, moramo brojnike tih razlomaka pomnožiti s dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM-a s nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Dakle, da biste razlomke doveli do jednog pokazatelja, prvo morate pronaći LCM (to jest, najmanji broj koji je djeljiv s oba nazivnika) nazivnika tih razlomaka, a zatim staviti dodatne faktore na brojnike razlomaka. Možete ih pronaći tako da zajednički nazivnik (LCD) podijelite s nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim trebate pomnožiti brojnik svakog razlomka s dodatnim faktorom i staviti LCM kao nazivnik.

5Kako zbrojiti cijeli broj i razlomak

Da biste zbrojili cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj ispred razlomka i dobit ćete npr. mješoviti razlomak.

U ovoj lekciji razmotrit ćemo zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme već znamo kako algebarske razlomke svesti na zajednički nazivnik. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u kolegiju 8. razreda. Štoviše, ova će se tema naći u mnogim temama kolegija algebre, koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih ulomaka s različitim nazivnicima, kao i analizirati niz tipičnih primjera.

Razmotrimo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Zapamtite pravilo zbrajanja razlomaka. Za početak, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) izvornih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .

Da bismo pronašli LCM, potrebno je rastaviti nazivnike na proste faktore, a zatim odabrati sve proste faktore koji su uključeni u proširenje obaju nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije 2 i dvije 3: .

Nakon pronalaženja zajedničkog nazivnika potrebno je za svaki od razlomaka pronaći dodatni faktor (zapravo zajednički nazivnik podijeliti s nazivnikom odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi dobivenim dodatnim faktorom. Dobivamo razlomke s istim nazivnicima, koje smo naučili zbrajati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

Dobivamo: .

Odgovor:.

Razmotrimo sada zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo razmotrite razlomke čiji su nazivnici brojevi.

Primjer 2 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Algoritam rješenja je potpuno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik za ove razlomke: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:

1. Nađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeljenjem zajedničkog nazivnika s nazivnikom tog razlomka).

3. Pomnožite brojnike odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Zbrajati ili oduzimati razlomke prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima u čijem se nazivniku nalaze doslovni izrazi.

Primjer 3 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Budući da su doslovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički nazivnik izgledat će ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera je:

Odgovor:.

Primjer 4 Oduzmi razlomke: .

Riješenje:

Ako ne možete “prevariti” pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore niti koristiti skraćene formule množenja), onda kao zajednički nazivnik morate uzeti umnožak nazivnika obaju razlomaka.

Odgovor:.

Općenito, kod rješavanja takvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5 Pojednostavite: .

Riješenje:

Kada nalazite zajednički nazivnik, prvo morate pokušati faktorizirati nazivnike izvornih razlomaka (kako biste pojednostavili zajednički nazivnik).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički nazivnik: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

Odgovor:.

Sada ćemo popraviti pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer 6 Pojednostavite: .

Riješenje:

Odgovor:.

Primjer 7 Pojednostavite: .

Riješenje:

.

Odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se ne dodaju dva, nego tri razlomka (uostalom, pravila za zbrajanje i oduzimanje za više razlomaka ostaju ista).

Primjer 8 Pojednostavite: .

U ovoj lekciji razmotrit ćemo zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme već znamo kako algebarske razlomke svesti na zajednički nazivnik. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u kolegiju 8. razreda. Štoviše, ova će se tema naći u mnogim temama kolegija algebre, koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih ulomaka s različitim nazivnicima, kao i analizirati niz tipičnih primjera.

Razmotrimo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Zapamtite pravilo zbrajanja razlomaka. Za početak, razlomke je potrebno svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) izvornih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .

Da bismo pronašli LCM, potrebno je rastaviti nazivnike na proste faktore, a zatim odabrati sve proste faktore koji su uključeni u proširenje obaju nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije 2 i dvije 3: .

Nakon pronalaženja zajedničkog nazivnika potrebno je za svaki od razlomaka pronaći dodatni faktor (zapravo zajednički nazivnik podijeliti s nazivnikom odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi dobivenim dodatnim faktorom. Dobivamo razlomke s istim nazivnicima, koje smo naučili zbrajati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

Dobivamo: .

Odgovor:.

Razmotrimo sada zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo razmotrite razlomke čiji su nazivnici brojevi.

Primjer 2 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Algoritam rješenja je potpuno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik za ove razlomke: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:

1. Nađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeljenjem zajedničkog nazivnika s nazivnikom tog razlomka).

3. Pomnožite brojnike odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Zbrajati ili oduzimati razlomke prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima u čijem se nazivniku nalaze doslovni izrazi.

Primjer 3 Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Budući da su doslovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički nazivnik izgledat će ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera je:

Odgovor:.

Primjer 4 Oduzmi razlomke: .

Riješenje:

Ako ne možete “prevariti” pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore niti koristiti skraćene formule množenja), onda kao zajednički nazivnik morate uzeti umnožak nazivnika obaju razlomaka.

Odgovor:.

Općenito, kod rješavanja takvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5 Pojednostavite: .

Riješenje:

Kada nalazite zajednički nazivnik, prvo morate pokušati faktorizirati nazivnike izvornih razlomaka (kako biste pojednostavili zajednički nazivnik).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički nazivnik: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

Odgovor:.

Sada ćemo popraviti pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer 6 Pojednostavite: .

Riješenje:

Odgovor:.

Primjer 7 Pojednostavite: .

Riješenje:

.

Odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se ne dodaju dva, nego tri razlomka (uostalom, pravila za zbrajanje i oduzimanje za više razlomaka ostaju ista).

Primjer 8 Pojednostavite: .

Brojnik, a ono čime se dijeli je nazivnik.

Da biste napisali razlomak, prvo napišite njegov brojnik, zatim povucite vodoravnu crtu ispod tog broja, a ispod crte napišite nazivnik. Vodoravna linija koja razdvaja brojnik i nazivnik naziva se razlomkom. Ponekad se prikazuje kao koso "/" ili "∕". U tom slučaju brojnik se piše lijevo od retka, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojnik se obično piše na vrhu retka, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.

Da biste izračunali umnožak razlomaka, prvo pomnožite brojnik s jedan razlomci drugom brojniku. Rezultat upiši u brojnik novog razlomci. Zatim pomnožite i nazivnike. Navedite konačnu vrijednost u novom razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, prvo pomnožite brojnik prvog s nazivnikom drugog. Učinite isto s drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije izvođenja svih koraka, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je prikladnije: nazivnik bi trebao biti umjesto brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende s novim nazivnikom djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Izvori:

• Osnovni zadaci za razlomke

Frakcijski brojevi omogućuju vam da izrazite točnu vrijednost količine na različite načine. S razlomcima možete izvoditi iste matematičke operacije kao i s cijelim brojevima: oduzimanje, zbrajanje, množenje i dijeljenje. Da naučite kako odlučiti razlomci, potrebno je zapamtiti neke od njihovih značajki. Ovise o vrsti razlomci, prisutnost cijelog dijela, zajedničkog nazivnika. Neke aritmetičke operacije nakon izvršenja zahtijevaju smanjenje razlomka rezultata.

Trebat će vam

• - kalkulator

Uputa

Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima ima decimala i nepravilnih, ponekad je prikladnije prvo izvršiti radnje s decimalama, a zatim ih pretvoriti u pogrešan oblik. Možete li prevesti razlomci u ovom obliku na početku, pišući vrijednost iza decimalne točke u brojniku i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako da brojeve iznad i ispod podijelite s jednim djeliteljem. Razlomke u kojima se ističe cijeli dio dovode do pogrešnog oblika tako da se pomnože nazivnikom i rezultatu dodaju brojnik. Ova vrijednost će postati novi brojnik razlomci. Izvući cijeli dio iz prvobitno netočnog razlomci, podijelite brojnik nazivnikom. Napiši cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja postaje novi brojnik, nazivnik razlomci dok se ne mijenja. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je posebno izvoditi radnje, prvo za cijeli, a zatim za razlomačke dijelove. Na primjer, zbroj 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno cijelih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite ih kroz razdjelnik ":" i nastavite uobičajenim dijeljenjem.

Da biste dobili konačni rezultat, dobiveni razlomak smanjite tako da brojnik i nazivnik podijelite s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovom slučaju. U ovom slučaju iznad i ispod crte moraju biti cijeli brojevi.

Bilješka

Nemojte računati s razlomcima koji imaju različite nazivnike. Odaberite takav broj da kada se brojnik i nazivnik svakog razlomka pomnože s njim, kao rezultat, nazivnici obaju razlomaka budu jednaki.

Koristan savjet

Kod pisanja razlomačkih brojeva, dividenda se piše iznad crte. Ova se veličina naziva brojnikom razlomka. Ispod crte je napisan djelitelj, odnosno nazivnik razlomka. Na primjer, jedan i pol kilogram riže u obliku razlomka bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, naziva se decimalni razlomak. U ovom slučaju brojnik (dividenda) piše se desno od cijelog dijela odvojen zarezom: 1,5 kg riže. Radi praktičnosti izračuna, takav se ulomak uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krumpira. Radi pojednostavljenja, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako da ih podijelite s jednim cijelim brojem. U ovom primjeru moguće je dijeljenje s 2. Rezultat je 1 1/5 kg krumpira. Provjerite jesu li brojevi s kojima ćete računati u istom obliku.