Prizma čiji su bočni rubovi okomiti na bazu. Pitanja za poglavlje III

Poligoni ABCDE i FHKMP, koji leže u paralelnim ravninama, nazivaju se bazama prizme, okomica OO 1, spuštena s bilo koje točke baze na ravninu druge, naziva se visina prizme. Paralelogrami ABHF, BCKH itd. nazivaju se bočne strane prizme, a njihove stranice CK, DM itd., koje povezuju odgovarajuće vrhove baza, nazivaju se bočnim bridovima. U prizmi su svi bočni bridovi međusobno jednaki kao segmenti paralelnih ravnih linija zatvorenih između paralelnih ravnina.
Prizma se naziva ravna linija ( sl.282,b) ili koso ( Slika 282, in) ovisno o tome jesu li mu bočni bridovi okomiti ili nagnuti na baze. U ravnoj prizmi bočne strane su pravokutnici. Bočni brid može se uzeti kao visina takve prizme.
Pravilna prizma se naziva pravilnom ako su joj baze pravilni mnogokuti. U takvoj prizmi sve bočne strane su jednaki pravokutnici.
Da bi se prikazala prizma u složenom crtežu, potrebno je znati i moći prikazati elemente od kojih se sastoji (točka, ravna linija, ravna figura).
i njihovu sliku u integriranom crtežu (sl. 283, a - i)

a) Složeni crtež prizme. Baza prizme nalazi se na ravnini projekcije P 1 ; jedna od bočnih strana prizme je paralelna s ravninom projekcija P 2 .
b) Donja baza prizme DEF je ravna figura - pravilan trokut koji se nalazi u ravnini P 1; stranica trokuta DE je paralelna s osi x 12 - Horizontalna projekcija spaja se sa zadanom bazom i, prema tome, jednaka je svojoj prirodnoj veličini; frontalna projekcija spaja se s osi x12 i jednaka je stranici baze prizme.
c) Gornja osnovica prizme ABC je ravna figura - trokut koji se nalazi u vodoravnoj ravnini. Vodoravna projekcija spaja se s projekcijom donje baze i pokriva je sobom, jer je prizma ravna; frontalna projekcija - ravna linija, paralelna s osi x 12, na udaljenosti visine prizme.
d) Bočna strana prizme ABED je ravna figura - pravokutnik koji leži u frontalnoj ravnini. Frontalna projekcija - pravokutnik jednak prirodnoj veličini lica; horizontalna projekcija - ravna crta, jednaka stranici baze prizme.
e) i f) Bočne strane prizme ACFD i CBEF su ravne figure - pravokutnici koji leže u vodoravno projiciranim ravninama koje se nalaze pod kutom od 60 ° u odnosu na ravninu projekcije P 2 . Horizontalne projekcije su ravne linije koje se nalaze pod kutom od 60 ° u odnosu na os x 12, a jednake su prirodnoj veličini stranica baze prizme; frontalne projekcije - pravokutnici čija je slika manja od prirodne veličine: dvije strane svakog pravokutnika jednake su visini prizme.
g) Brid AD prizme je pravac okomit na ravninu projekcija P 1. Horizontalna projekcija - točka; frontalni - ravna linija okomita na os x 12, jednaka bočnom rubu prizme (visina prizme).
h) Stranica AB gornje osnovice je pravac, paralelan s ravninama P 1 i P 2. Horizontalna i frontalna projekcija su ravne, paralelne s osi x12 i jednake stranici zadane osnovice prizme. Frontalna projekcija odmaknuta je od x-osi za 12 na udaljenosti jednakoj visini prizme.
i) Vrhovi prizme. Točka E - vrh donje baze nalazi se na ravnini P 1 . Horizontalna projekcija koincidira sa samom točkom; frontalno – leži na osi x 12. Točka C – vrh gornje baze – nalazi se u prostoru. Horizontalna projekcija ima dubinu; frontalni - visina jednaka visini zadane prizme.
Iz čega slijedi: Prilikom projektiranja bilo kojeg poliedra, potrebno ga je mentalno podijeliti na njegove sastavne elemente i odrediti redoslijed njihovog prikaza, koji se sastoji od uzastopnih grafičkih operacija. Na (sl. 284 i sl. 285) prikazani su primjeri sekvencijalnih grafičkih operacija pri izvođenju složenog crteža i vizualne slike (aksonometrije) prizmi.
(Slika 284).

dano:
1. Baza se nalazi na ravnini projekcija P 1.
2. Nijedna stranica baze nije paralelna s osi x12.
I. Integrirano crtanje.
ja, a. Projektiramo donju bazu - poligon, koji prema uvjetu leži u ravnini P 1.
ja, b. Dizajniramo gornju bazu - mnogokut jednak donjoj bazi sa stranicama odgovarajuće paralelnim s donjom bazom, udaljen od donje baze za visinu H ove prizme.
ja, c. Dizajniramo bočne rubove prizme - segmente koji se nalaze paralelno; njihove horizontalne projekcije su točke koje se spajaju s projekcijama vrhova baza; frontalni - segmenti (paralelni) dobiveni spajanjem ravnih linija projekcija vrhova istoimenih baza. Frontalne projekcije rebara, izvučene iz projekcija vrhova B i C donje baze, prikazane su isprekidanim linijama kao nevidljive.
Ja, Mr. Zadano je: horizontalna projekcija F 1 točke F na gornju podlogu i frontalna projekcija K 2 točke K na bočnu plohu. Potrebno je odrediti mjesta njihovih drugih projekcija.
Za točku F. Druga (čeona) projekcija F 2 točke F podudarat će se s projekcijom gornje baze, kao točke koja leži u ravnini ove baze; mjesto mu je određeno vertikalnom komunikacijskom linijom.
Za točku K - Druga (horizontalna) projekcija K 1 točke K podudarat će se s horizontalnom projekcijom bočne strane, kao točka koja leži u ravnini lica; mjesto mu je određeno vertikalnom komunikacijskom linijom.
II. Razvijanje površine prizme- plošna figura sastavljena od bočnih stranica - pravokutnika, kod kojih su dvije stranice jednake visini prizme, a druge dvije jednake odgovarajućim stranicama baze, te od dvije međusobno jednake baze - nepravilni poligoni.
Na projekcijama se otkrivaju prirodne dimenzije baza i stranica lica, potrebne za izradu zamaha; na njima i gradimo; na ravnoj liniji uzastopno odvajamo stranice AB, BC, CD, DE i EA poligona - baze prizme, uzete iz vodoravne projekcije. Na okomice povučene iz točaka A, B, C, D, E i A odložimo visinu H te prizme uzetu iz frontalne projekcije i povučemo ravnu crtu kroz oznake. Kao rezultat toga, dobivamo razvoj bočnih stranica prizme.
Ako na ovaj sken pričvrstimo baze prizme, dobit ćemo sken pune površine prizme. Baze prizme treba pričvrstiti na odgovarajuću bočnu plohu metodom triangulacije.
Na gornjoj bazi prizme pomoću polumjera R i R 1 odredimo mjesto točke F, a na bočnoj plohi pomoću polumjera R 3 i H 1 odredimo točku K.
III. Vizualni prikaz prizme u dimetriji.
III, a. Donju bazu prizme prikazujemo duž koordinata točaka A, B, C, D i E (Sl.284 I, a).
III, b. Prikazujemo gornju bazu paralelnu s donjom, udaljenu od nje visinom H prizme.
III, c. Prikazujemo bočne rubove, za koje povezujemo odgovarajuće vrhove baza ravnim linijama. Određujemo vidljive i nevidljive elemente prizme i ocrtavamo ih odgovarajućim linijama,
III, d. Određujemo točke F i K na površini prizme - Točku F - na gornjoj bazi određujemo pomoću dimenzija i i e; točka K - na bočnoj strani pomoću i 1 i H" .
Za izometrijsku sliku prizme i određivanje položaja točaka F i K treba slijediti isti redoslijed.
sl. 285).

dano:
1. Baza se nalazi na ravnini P 1.
2. Bočna rebra su paralelna s ravninom P 2.
3. Nijedna strana baze nije paralelna s x-osi 12
I. Integrirano crtanje.
ja, a. Projektiramo prema ovom uvjetu: donja baza je poligon koji leži u ravnini P 1, a bočni rub je segment paralelan s ravninom P 2 i nagnut prema ravnini P 1.
ja, b. Dizajniramo preostale bočne rubove - segmente jednake i paralelne s prvim rubom CE.
ja, c. Dizajnirajući gornju bazu prizme kao mnogokut jednak i paralelan s donjom bazom, dobivamo složeni crtež prizme.
Na projekcijama otkrivamo nevidljive elemente. Čeona projekcija rebra BM i horizontalna projekcija stranice baze CD prikazane su isprekidanim linijama kao nevidljive.
I, d. Dana je frontalna projekcija Q 2 točke Q na projekciju A 2 K 2 F 2 D 2 bočne strane; morate pronaći njegovu horizontalnu projekciju. Da bismo to učinili, kroz točku Q 2 u projekciji A 2 K 2 F 2 D 2 lica prizme povučemo pomoćnu ravnu liniju paralelnu s bočnim rubovima ovog lica. Pronađemo horizontalnu projekciju pomoćnog pravca i na njemu pomoću vertikalne veze odredimo mjesto željene horizontalne projekcije Q 1 točke Q .
II. Skeniranje površine prizme.
Imajući prirodne dimenzije stranica baze na horizontalnoj projekciji i dimenzije rebara na čeonoj projekciji, moguće je izgraditi potpuni rasplet plohe ove prizme.
Zakotrljat ćemo prizmu okrećući je svaki put oko bočnog ruba, tada će svaka bočna ploha prizme na ravnini ostaviti trag (paralelogram) jednak svojoj prirodnoj veličini. Napravit ćemo bočno skeniranje sljedećim redoslijedom:
a) iz točaka A 2, B 2, D 2. . . E 2 (frontalne projekcije vrhova baza) crtamo pomoćne ravne linije okomite na projekcije rebara;
b) radijusom R (jednakim stranici baze CD) napravimo zarez u točki D na pomoćnoj ravnoj crti povučenoj iz točke D 2; spajanjem ravnih točaka C 2 i D i crtanjem ravnih linija paralelnih s E 2 C 2 i C 2 D dobivamo bočnu plohu CEFD;
c) zatim, slično spajajući sljedeće bočne plohe, dobivamo razvoj bočnih ploha prizme. Da bismo dobili potpuni pregled površine ove prizme, pričvrstimo je na odgovarajuće strane baze.
III. Vizualni prikaz prizme u izometriji.
III, a. Prikazujemo donju bazu prizme i rub CE, koristeći koordinate prema (

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

1. Najmanji broj bridova ima tetraedar - 6.

2. Prizma ima n stranica. Koji poligon leži u njegovoj bazi?

(n - 2) - kvadrat.

3. Je li prizma ravna ako su joj dvije susjedne bočne plohe okomite na ravninu baze?

Da je.

4. U kojoj su prizmi bočni bridovi paralelni s njezinom visinom?

u ravnoj prizmi.

5. Je li prizma pravilna ako su joj svi bridovi međusobno jednaki?

Ne, možda nije izravno.

6. Može li visina jedne od bočnih ploha nagnute prizme biti i visina prizme?

Da, ako je ovo lice okomito na baze.

7. Postoji li prizma kojoj je: a) bočni brid okomit samo na jedan brid baze; b) samo je jedna bočna ploha okomita na osnovicu?

a) da. b) ne.

8. Pravilna trokutasta prizma podijeljena je ravninom koja prolazi središnjicama baza na dvije prizme. Kako su površine bočnih ploha tih prizmi?

Prema teoremu točke 27 dobivamo da se bočne plohe odnose kao 5:3.

9. Hoće li piramida biti pravilna ako su joj bočne strane pravilni trokuti?

10. Koliko ploha okomitih na ravninu baze može imati piramida?

11. Postoji li četverokutna piramida čije su nasuprotne stranice okomite na bazu?

Ne, inače bi najmanje dvije ravne crte, okomite na baze, prolazile vrhom piramide.

12. Mogu li sva lica trokutaste piramide biti pravokutni trokuti?

Da (Slika 183).

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos bočna područja lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine rebara baze, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Zadatak (22) . U kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočne rubove i sijekući sve bočne rubove. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka p, a bočni bridovi l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju koji kombinira baze prizme. U ovom slučaju dobivamo ravnu prizmu, u kojoj presjek izvorne prizme služi kao baza, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama sažeti temu prizme i prisjetiti se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, za prizmu, sve su njezine baze jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Što je ravna prizma?

Ako je bočni brid prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom crtom.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Što je kosa prizma?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Što je prava prizma?

Ako pravilni mnogokut leži u podnožju ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Sada se prisjetimo koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedimo veličine bočnih rebara, tada su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takva figura, u pravilu, naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

A sada pokušajmo učvrstiti naučenu temu rješavanjem zadataka.

Nacrtajmo kosu trokutastu prizmu, u kojoj će razmak između njezinih bridova biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina te prizme jednaka 60 cm2. Pomoću ovih parametara pronađite bočni rub zadane prizme.

Znate li da nas geometrijske figure neprestano okružuju ne samo u nastavi geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svaki dom, škola ili posao ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući glavnom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Predavanje: Prizma, njezine baze, bočni bridovi, visina, bočna ploha; ravna prizma; desna prizma

Prizma

Ako ste s nama naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.

Prizma- Ovo je trodimenzionalno tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona na bazama, koji se nalaze u paralelnim ravninama, a sve bočne strane su u obliku paralelograma.

Dakle, shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pozornost na sl.1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su međusobno paralelne - to su peterokuti ABCEF i GMNJK. Štoviše, ti poligoni su međusobno jednaki.

Sve ostale plohe prizme nazivamo bočnim plohama – sastoje se od paralelograma. Na primjer, BMNC, AGKF, FKJE itd.

Zajednička ploha svih bočnih ploha naziva se bočna površina.

Svaki par susjednih stranica ima zajedničku stranicu. Takva zajednička stranica naziva se brid. Na primjer, MB, CE, AB itd.

Ako su gornja i donja osnovica prizme spojene okomicom, tada će se to zvati visina prizme. Na slici je visina označena ravnom linijom OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočni bridovi prizme nisu okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva kosi.

Ako su svi bridovi prizme okomiti na baze, tada se takva prizma naziva ravno.

Ako su osnovice prizme pravilni mnogokuti (oni s jednakim stranicama), tada se takva prizma naziva ispraviti.

Ako osnovice prizme nisu međusobno paralelne, tada će se takva prizma zvati krnji.

Možete ga vidjeti na sl.2

Formule za pronalaženje volumena, površine prizme

Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po primjeni:

Slične formule za pronalaženje površine prizme: