Pronađite ukupnu površinu stošca. Ukupna površina stošca je

Površina stošca (ili jednostavno površina stošca) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine konusa izračunava se formulom: S = πR l, gdje je R polumjer baze stošca, i l- generatrisa stošca.

Budući da je površina baze stošca πR 2 (kao površina kruga), tada će površina pune površine stošca biti jednaka : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Dobivanje formule za područje bočne površine stošca može se objasniti takvim razmišljanjem. Neka crtež prikazuje razvoj bočne plohe stošca. Luk AB podijelimo na što više jednakih dijelova i sve točke diobe spojimo sa središtem luka, a susjedne točke međusobno tetivama.

Dobivamo niz jednakih trokuta. Površina svakog trokuta je Ah / 2, gdje a- duljina baze trokuta, a h- njegova visoka.

Zbroj površina svih trokuta je: Ah / 2 n = anh / 2, gdje n je broj trokuta.

S velikim brojem podjela, zbroj površina trokuta postaje vrlo blizu području razvoja, tj. području bočne površine stošca. Zbroj baza trokuta, tj. an, postaje vrlo blizu duljini luka AB, tj. opsegu baze stošca. Visina svakog trokuta postaje vrlo blizu polumjeru luka, odnosno generatrisi stošca.

Zanemarujući male razlike u veličinama ovih veličina, dobivamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C opseg baze stošca, l- generatrisa stošca.

Znajući da je C \u003d 2πR, gdje je R polumjer kruga baze konusa, dobivamo: S \u003d πR l.

Bilješka. U formuli S = C l / 2 dan je predznak točne, a ne približne jednakosti, iako bismo na temelju gornjeg razmišljanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u srednjoj školi se dokazuje ta jednakost

S=C l / 2 je točan, a ne približan.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je umnošku opsega baze i polovice generatrise.

U stožac (sl.) upišemo neku pravilnu piramidu i označimo je slovima R i l brojevi koji izražavaju duljine opsega baze i apoteme ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 R l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica mnogokuta upisanog u bazu neograničeno povećava. Zatim perimetar R težit će granici koja se uzima kao duljina C opsega baze, a apotem l imat će konusni generator kao granicu (jer ΔSAK implicira da je SA - SK
1 / 2 R l, težit će do granice 1/2 C L. Ova granica se uzima kao vrijednost bočne površine stošca. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Posljedice.
1) Budući da je C \u003d 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Punu površinu stošca dobijemo ako površini baze dodamo bočnu plohu; dakle, označavajući kompletnu površinu s T, imat ćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna ploha krnjeg stošca jednaka je umnošku polovine zbroja opsega baza i generatrise.

U krnji stožac (sl.) upisujemo neku pravilnu krnju piramidu i označavamo je slovima r, r 1 i l brojevi koji u istim linearnim jedinicama izražavaju duljine opsega donje i gornje baze i apoteme ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide 1/2 ( p + str 1) l

Neograničenim povećanjem broja bočnih stranica upisane piramide, perimetri R i R 1 teže granicama koje se uzimaju kao duljine C i C 1 kružnica baza, a apotem l ima za granicu generatrisu L krnjeg stošca. Posljedično, vrijednost bočne plohe upisane piramide teži granici jednakoj (S + S 1) L. Ta granica se uzima kao vrijednost bočne plohe krnjeg stošca. Označavajući bočnu površinu krnjeg stošca slovom S, imat ćemo:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače polumjere krugova donje i gornje baze, tada će bočna površina krnjeg stošca biti:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), iz čije rotacije se dobije krnji stožac, povučemo središnju liniju BC, tada dobivamo:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Posljedično,

S=2 π BC L,

tj. bočna površina krnjeg stošca jednaka je umnošku opsega prosječnog presjeka i generatrise.

3) Ukupna površina T krnjeg stošca izražava se na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Ovdje su problemi s čunjevima, stanje je povezano s njegovom površinom. Konkretno, u nekim problemima postoji pitanje promjene površine s povećanjem (smanjenjem) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrite sljedeće zadatke:

27135. Opseg baze stošca je 3, generatrix je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.

Površina bočne površine konusa je:

Uključivanje podataka:

75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatrisa poveća 36 puta, a radijus baze ostane isti?

Područje bočne površine konusa:

Generatrix se povećava 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se opseg baze nije promijenio.

Dakle, područje bočne površine modificiranog konusa izgledat će ovako:

Tako će se povećati za 36 puta.

*Ovisnost je jednostavna, pa se ovaj problem može lako riješiti usmeno.

27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se radijus njegove baze smanji za 1,5 puta?

Površina bočne površine konusa je:

Radijus se smanjuje 1,5 puta, odnosno:

Utvrđeno je da se bočna površina smanjila 1,5 puta.

27159. Visina stošca je 6, generatrisa je 10. Nađite površinu njegove ukupne površine podijeljenu s pi.

Puna površina konusa:

Pronađite radijus:

Visina i generatrisa su poznati, po Pitagorinoj teoremi izračunavamo radijus:

Na ovaj način:

Rezultat podijelite s Pi i zapišite odgovor.

76299. Ukupna površina stošca je 108. Odsjek je nacrtan paralelno s bazom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu krnjeg stošca.

Presjek prolazi sredinom visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer baze i generatrise krnjeg stošca biti 2 puta manji od polumjera i generatrise izvornog stošca. Zapišimo koliko je jednaka površina odsječenog konusa:

Dobili smo da će to biti 4 puta manje od površine originala, odnosno 108: 4 = 27.

* Budući da su izvorni i odrezani stožac slična tijela, također je bilo moguće koristiti svojstvo sličnosti:

27167. Polumjer baze stošca je 3, visina je 4. Pronađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s pi.

Formula za ukupnu površinu stošca je:

Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatriks.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Na ovaj način:

Rezultat podijelite s Pi i zapišite odgovor.

Zadatak. Površina bočne površine stošca je četiri puta veća od površine baze. Odredite kosinus kuta između generatrise stošca i ravnine baze.

Površina baze stošca je:

Odnosno, kosinus će biti jednak:

Odgovor: 0,25

Odlučite sami:

27136. Koliko puta će se povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatrisa poveća 3 puta?

27160. Površina bočne površine stošca dvostruko je veća od površine baze. Odredite kut između generatrise stošca i ravnine baze. Odgovorite u stupnjevima. .

27161. Ukupna površina stošca je 12. Odsjek je nacrtan paralelno s bazom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu krnjeg stošca.

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

*Podijelite informacije o stranici s prijateljima putem društvenih mreža.

Znamo što je stožac, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto je potrebno riješiti takav problem? Na primjer, morate razumjeti koliko će tijesta ići za izradu korneta za vafle? Ili koliko bi cigli bilo potrebno da se postavi cigleni krov dvorca?

Nije lako izmjeriti bočnu površinu stošca. Ali zamislite isti rog umotan u platno. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i raširiti na stolu. Dobivamo ravnu figuru, možemo joj pronaći površinu.

Riža. 1. Presjek stošca po generatrisi

Učinimo isto s konusom. "Odsjecimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise, na primjer (vidi sliku 1).

Sada "odmotavamo" bočnu površinu na ravninu. Dobivamo sektor. Središte ovog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a duljina njegovog luka podudara se s opsegom baze stošca. Takav se sektor naziva razvojem bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Riža. 2. Razvoj bočne površine

Riža. 3. Mjerenje kuta u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora prema dostupnim podacima. Prvo, uvedimo oznaku: neka kut na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo se susresti s kutom na vrhu zamaha u zadacima. U međuvremenu, pokušajmo odgovoriti na pitanje: ne može li ovaj kut biti veći od 360 stupnjeva? Odnosno, neće li se pokazati da će se zahvat sam nametnuti? Naravno da ne. Dokažimo to matematički. Neka se zamah sam "preklopi". To znači da je duljina luka zahvata veća od opsega polumjera. Ali, kao što je već spomenuto, duljina luka zahvata je opseg polumjera. A radijus baze stošca je, naravno, manji od generatrise, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kolegija planimetrije: duljina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generatrisa , a duljina luka jednaka je opsegu baze stošca tj. Imamo:

Na kraju dobivamo:

Uz bočnu površinu može se pronaći i ukupna površina. Da biste to učinili, dodajte osnovno područje bočnoj površini. Ali baza je krug polumjera , čija je površina, prema formuli, .

Konačno imamo: , gdje je radijus baze cilindra, je generatrisa.

Riješimo nekoliko zadataka na zadane formule.

Riža. 4. Željeni kut

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor s kutom na vrhu. Odredite taj kut ako je visina stošca 4 cm, a polumjer baze 3 cm (vidi sliku 4).

Riža. 5. Pravokutni trokut koji tvori stožac

Prvom akcijom, prema Pitagorinom poučku, nalazimo generatrisu: 5 cm (vidi sliku 5). Nadalje, to znamo .

Primjer 2. Površina aksijalnog presjeka stošca je, a visina je. Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: sat proučavanja novog gradiva s elementima problemske nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

• kognitivni:
  • upoznavanje s novim matematičkim pojmom;
  • formiranje novog ZUN-a;
  • formiranje praktičnih vještina za rješavanje problema.
• razvoj:
  • razvoj samostalnog mišljenja učenika;
  • razvoj vještina pravilnog govora školaraca.
• obrazovni:
  • razvoj vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetska ploča, računalo, platno, multimedijski projektor, model stošca, prezentacija lekcije, materijal.

Ciljevi lekcije (za učenike):

• upoznati novi geometrijski pojam – stožac;
• izvesti formulu za izračunavanje površine stošca;
• naučiti primijeniti stečena znanja u rješavanju praktičnih problema.

Tijekom nastave

I faza. Organizacijski.

Predaja bilježnica s domaćim testom na obrađenu temu.

Učenici se pozivaju da rješavanjem rebusa saznaju temu nadolazeće lekcije (slajd 1):

Slika 1.

Obavijest učenicima o temi i ciljevima lekcije (slajd 2).

II faza. Objašnjenje novog gradiva.

1) Predavanje nastavnika.

Na ploči je tablica sa slikom stošca. Novo gradivo objašnjeno je uz programski materijal „Stereometrija“. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika stošca. Nastavnik daje definiciju stošca, govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je stožac tijelo koje nastaje rotacijom pravokutnog trokuta u odnosu na krak. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika razvoja bočne površine stošca. (slajd 6)

2) Praktičan rad.

Aktualizacija osnovnih znanja: ponoviti formule za izračunavanje površine kruga, površine isječka, duljine kružnice, duljine kružnog luka. (slajdovi 7-10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka skupina dobiva sken bočne plohe stošca izrezanog na papiru (sektor kruga s dodijeljenim brojem). Učenici poduzimaju potrebna mjerenja i izračunavaju površinu dobivenog sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za rad, pitanja - problemi (slajdovi 11-14). Predstavnik svake skupine zapisuje rezultate izračuna u tablicu pripremljenu na ploči. Sudionici svake skupine lijepe model stošca iz razvoja koji imaju. (slajd 15)

3) Izjava i rješenje problema.

Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i duljina generatrixa stošca? (slajd 16)

Svaka skupina vrši potrebna mjerenja i pokušava iz dostupnih podataka izvesti formulu za izračun potrebne površine. Pri izvođenju ovog rada učenici trebaju uočiti da je opseg baze stošca jednak duljini luka isječka – razvijenosti bočne plohe ovog stošca. (slajdovi 17-21) Pomoću potrebnih formula izvodi se željena formula. Obrazloženje učenika trebalo bi izgledati otprilike ovako:

Polumjer sektora - sweep jednak je l, stupanjska mjera luka je φ. Područje sektora izračunava se formulom: duljina luka koji ograničava ovaj sektor jednaka je polumjeru baze stošca R. Duljina kruga koji leži na bazi stošca je C = 2πR . Imajte na umu da Budući da je površina bočne površine konusa jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se formulom S BOD = πRl.

Nakon izračuna bočne površine modela stošca prema neovisno izvedenoj formuli, predstavnik svake skupine zapisuje rezultat izračuna u tablicu na ploči u skladu s brojevima modela. Rezultati izračuna u svakom redu moraju biti jednaki. Na temelju toga nastavnik utvrđuje ispravnost zaključaka svake skupine. Tablica rezultata trebala bi izgledati ovako:

Parametri modela:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproksimacija izračuna povezana je s pogreškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje ispis formula za površine bočne i pune plohe stošca (slajdovi 22-26) učenici vode bilješke u bilježnicama.

III faza. Konsolidacija proučavanog materijala.

1) Učenicima se nudi zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Odredite površine ukupnih ploha stožaca prikazanih na slikama (slajdovi 27-32).

2) Pitanje: Jesu li površine ploha stožaca nastalih rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Provjera hipoteze provodi se rješavanjem zadataka koje student zapisuje na ploču.

dano:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - tijela revolucije.

Pronaći: S PPC 1 , S PPC 2 .

Slika 5 (slajd 33)

Riješenje:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S glavni 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Ako je S PPC 1 = S PPC 2, tada a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Jer a, b, c pozitivnih brojeva (duljina stranica trokuta), tore-jednakost vrijedi samo ako a =b.

Zaključak: Površine ploha dvaju stožaca jednake su samo ako su kraci trokuta jednaki. (slajd 34)

3) Rješenje zadatka iz udžbenika: br.565.

IV stadij. Sažimanje lekcije.

Domaća zadaća: str.55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)

Objava ocjena.

Zaključci tijekom lekcije, ponavljanje glavnih informacija primljenih u lekciji.

Književnost (slajd 36)

1. Geometrija razredi 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
2. "Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udaltsov, biblioteka "Prvi rujan", serija "MATEMATIKA", broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Znamo što je stožac, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto je potrebno riješiti takav problem? Na primjer, morate razumjeti koliko će tijesta ići za izradu korneta za vafle? Ili koliko bi cigli bilo potrebno da se postavi cigleni krov dvorca?

Nije lako izmjeriti bočnu površinu stošca. Ali zamislite isti rog umotan u platno. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i raširiti na stolu. Dobivamo ravnu figuru, možemo joj pronaći površinu.

Riža. 1. Presjek stošca po generatrisi

Učinimo isto s konusom. "Odsjecimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise, na primjer (vidi sliku 1).

Sada "odmotavamo" bočnu površinu na ravninu. Dobivamo sektor. Središte ovog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a duljina njegovog luka podudara se s opsegom baze stošca. Takav se sektor naziva razvojem bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Riža. 2. Razvoj bočne površine

Riža. 3. Mjerenje kuta u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora prema dostupnim podacima. Prvo, uvedimo oznaku: neka kut na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo se susresti s kutom na vrhu zamaha u zadacima. U međuvremenu, pokušajmo odgovoriti na pitanje: ne može li ovaj kut biti veći od 360 stupnjeva? Odnosno, neće li se pokazati da će se zahvat sam nametnuti? Naravno da ne. Dokažimo to matematički. Neka se zamah sam "preklopi". To znači da je duljina luka zahvata veća od opsega polumjera. Ali, kao što je već spomenuto, duljina luka zahvata je opseg polumjera. A radijus baze stošca je, naravno, manji od generatrise, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kolegija planimetrije: duljina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generatrisa , a duljina luka jednaka je opsegu baze stošca tj. Imamo:

Na kraju dobivamo:

Uz bočnu površinu može se pronaći i ukupna površina. Da biste to učinili, dodajte osnovno područje bočnoj površini. Ali baza je krug polumjera , čija je površina, prema formuli, .

Konačno imamo: , gdje je radijus baze cilindra, je generatrisa.

Riješimo nekoliko zadataka na zadane formule.

Riža. 4. Željeni kut

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor s kutom na vrhu. Odredite taj kut ako je visina stošca 4 cm, a polumjer baze 3 cm (vidi sliku 4).

Riža. 5. Pravokutni trokut koji tvori stožac

Prvom akcijom, prema Pitagorinom poučku, nalazimo generatrisu: 5 cm (vidi sliku 5). Nadalje, to znamo .

Primjer 2. Površina aksijalnog presjeka stošca je, a visina je. Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).