Najveći zajednički višekratnik brojeva. Online kalkulator Pronalaženje (izračunavanje) GCD i NOC

Materijal prikazan u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju posvetiti rješavanju primjera. Pokažimo prvo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u smislu GCD tih brojeva. Zatim razmislite o pronalaženju najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućuje vam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrite primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Riješenje.

U ovom primjeru a=126 , b=70 . Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM tih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) pomoću Euklidovog algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Odgovor:

LCM(126, 70)=630.

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Riješenje.

Jer 68 je ravnomjerno djeljiv s 34 , tada je gcd(68, 34)=34 . Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM(68, 34)=68.

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore

Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih faktora tih brojeva, nakon čega iz tog umnoška isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. S druge strane, gcd(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd korištenjem dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog umnoška izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u razvitku broja 75 i u razvitku broja 210 (takvi su faktori 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon rastavljanja brojeva 441 i 700 na proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Riješenje.

Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Na ovaj način, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odgovor:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz proširenja broja a dodamo faktore koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja na proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz rastavljanja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz rastavljanja broja 210, dobivamo umnožak 2 3 5 5 7 čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Riješenje.

Prvo dobivamo rastavljanje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz rastavljanja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz rastavljanja broja 648, dobivamo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM(84, 648)=4 536 .

Pronalaženje LCM tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetite se odgovarajućeg teorema koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.

Primjer.

Odredite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Riješenje.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nalazimo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , koji je također određen Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18 , odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Odnosno, m 3 \u003d 3 780.

Preostalo pronaći m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) pomoću Euklidovog algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Odnosno, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva lako se pronalazi korištenjem prostih faktora zadanih brojeva. U ovom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći broj se dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću rastavljanja brojeva na proste faktore.

Primjer.

Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Riješenje.

Prvo, dobivamo proširenja ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prostih faktora) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2 , 2 , 3 i 7 ) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6 . Proširenje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u razvitku prvog broja 84 . Nadalje faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržan u njemu. Na kraju faktorima 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143 . Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Ali mnogi prirodni brojevi ravnomjerno su djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a je prirodni broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a i b je broj kojim su oba dana djeljiva bez ostatka a i b.

zajednički višekratnik više brojeva naziva se broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m i n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m i n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika za LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. Kao i:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je najveći zajednički djelitelj poznat, možete koristiti njegov odnos s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

gdje p 1 ,...,p k su različiti prosti brojevi, i d 1 ,...,d k i e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim LCM ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM proširenje sadrži sve proste faktore koji su uključeni u barem jedno od proširenja brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika više brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- najveće proširenje prenijeti na faktore željenog umnoška (umnožak faktora najvećeg broja zadanih), a zatim dodati faktore iz proširenja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se nalaze u njemu manji broj puta;

- rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Svaka dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), dobiveni umnožak (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) čiji su višekratnici svi navedeni brojevi.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Ispisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Drugi broj: b=

Razdjelnik znamenki Nema razdjelnika razmaka " ´

Proizlaziti:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj(gcd) ovih brojeva. Označava se kao gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) dva cijela broja a i b je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s a i b bez ostatka. Označava se kao LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Pozivaju se cijeli brojevi a i b istoprostorni ako nemaju zajedničkih djelitelja osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka su dana dva pozitivna broja a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. naći takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vrijeme. Opišimo algoritam.

1) U ovom će članku riječ broj značiti cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak od dijeljenja a 1 uključeno a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Hajdemo to pretvarati λ dijeli a 1 i a 2, dakle λ dijeli m 1 a 2 i λ dijeli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdnja članka "Djeljivost brojeva. Znak djeljivosti"). Slijedi da svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3 . Vrijedi i obrnuto ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3, dakle m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 se također dijele na λ . Odatle zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1 , onda možemo reći da je rješenje problema nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveo na jednostavniji problem nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 uključeno a 3 . Zatim

,

gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak dijeljenja a 2 uključeno a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim razmišljanjem dolazimo do zaključka da zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 je isto što i uobičajeni djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a također i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim na nekom koraku n, ostatak dijeljenja a n na a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2=0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevima a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1. Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj a n i a n+1 je broj a n+1, jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (sjetite se toga a n+2=0). Slijedom toga a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj broja a n i a n+1 , budući da je najveći djelitelj a n+1 je sam a n+1. Ako a a n + 1 može se predstaviti kao umnožak cijelih brojeva, tada su ti brojevi također uobičajeni djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se nazivaju najveći zajednički djelitelj brojevima a 1 i a 2 .

Brojke a 1 i a 2 mogu biti i pozitivni i negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj tih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj brojeva nula nije definiran.

Gornji algoritam se zove Euklidov algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju cijelih brojeva.

Primjer nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva

Odredi najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Primijetite da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Zatim se pozivaju ti brojevi međusobno prosti brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Teorema 1. Ako a a 1 i a 2 relativno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ i a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uvjeta teorema proizlazi da najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, i stoga a n i a n+1 je 1. tj. a n+1=1.

Pomnožimo sve te jednakosti s λ , onda

.

Neka zajednički djelitelj a 1 λ i a 2 je δ . Zatim δ ulazi kao faktor u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Unaprijediti δ ulazi kao faktor u a 2 λ i m 2 a 3 λ , pa stoga ulazi kao faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovakvim razmišljanjem uvjerili smo se da δ ulazi kao faktor u a n−1 λ i m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, tada δ ulazi kao faktor u λ . Otuda broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ i a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teorema 1.

Posljedica 1. Neka a i c prosti brojevi su relativni b. Zatim njihov proizvod ak je prost broj u odnosu na b.

Stvarno. Iz teorema 1 ak i b imaju iste zajedničke djelitelje kao c i b. Ali brojke c i b koprime, tj. imaju jedan jedini zajednički djelitelj 1. Zatim ak i b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Dakle ak i b međusobno jednostavni.

Posljedica 2. Neka a i b međusobno prosti brojevi i neka b dijeli ak. Zatim b dijeli i k.

Stvarno. Iz uvjeta tvrdnje ak i b imaju zajednički djelitelj b. Na temelju teorema 1, b mora biti zajednički djelitelj b i k. Slijedom toga b dijeli k.

Korolar 1 može se generalizirati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Zatim a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , umnožak ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom redu prost u odnosu na svaki broj u drugom redu. Zatim proizvod

Potrebno je pronaći takve brojeve koji su djeljivi sa svakim od tih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, onda izgleda sa 1, gdje s neki broj. Ako a q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

gdje s 1 je neki cijeli broj. Zatim

je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 međusobno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da svaki višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε i a 3 i obrnuto. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε i a 3 je ε jedan . Nadalje, višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i ačetiri . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 je ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m podudaraju se s višekratnicima nekog određenog broja ε n , koji se naziva najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva.

U konkretnom slučaju kada brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m međusobno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 kao što je gore prikazano ima oblik (3). Nadalje, budući da a 3 prosti broj u odnosu na brojeve a 1 , a 2, dakle a 3 je prosti relativni broj a jedan · a 2 (Korolar 1). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a jedan · a 2 · a 3 . Raspravljajući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom umnošku a jedan · a 2 · a 3 ··· a m .

Izjava 2. Svaki broj koji je djeljiv sa svakim od međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a jedan · a 2 · a 3 ··· a m .

Razmotrite tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik rastavljanjem danih brojeva na proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, rastavljamo svaki od ovih brojeva na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv s 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, trebamo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću potenciju i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije ravnomjerno djeljiv s 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, trebate ih rastaviti na proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom s kojim se pojavljuje i pomnožiti te faktore zajedno.

Budući da međusobno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su prosti. Zato

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik prilagodbom.

Primjer 1. Kada je najveći od zadanih brojeva ravnomjerno djeljiv s drugim zadanim brojevima, tada je LCM tih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, dana su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:

1. Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
2. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja, množimo ga prirodnim brojevima rastućim redoslijedom i provjeravamo jesu li preostali zadani brojevi djeljivi s dobivenim umnoškom.

Primjer 2. Dana su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite višekratnike broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i s 3:

24 1 = 24 je djeljivo s 3, ali nije djeljivo s 18.

24 2 = 48 - djeljivo s 3, ali ne djeljivo s 18.

24 3 \u003d 72 - djeljivo s 3 i 18.

Dakle, LCM(24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje sekvencijalnim nalaženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.

LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljenih njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Odredite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo na GCD:

Dakle, LCM(12, 8) = 24.

Za pronalaženje LCM tri ili više brojeva koristi se sljedeći postupak:

1. Prvo se pronalazi LCM bilo koja dva zadana broja.
2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i treći zadani broj.
3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, i tako dalje.
4. Stoga se LCM pretraga nastavlja sve dok ima brojeva.

Primjer 2. Nađimo LCM tri zadana broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Preostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik broja 24 i trećeg zadanog broja - 9. Odrediti njihov najveći zajednički djelitelj: gcd (24, 9) = 3. Pomnožiti LCM s brojem 9:

Proizvod dijelimo na GCD:

Dakle, LCM(12, 8, 9) = 72.

Nastavimo raspravu o najmanjem zajedničkom višekratniku koju smo započeli u odjeljku LCM - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri. U ovoj temi ćemo pogledati načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, analizirat ćemo pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Već smo utvrdili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada naučimo kako definirati LCM kroz GCD. Prvo, shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj pomoću formule LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Primjer 1

Potrebno je pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Riješenje

Uzmimo a = 126 , b = 70 . Zamijenite vrijednosti u formuli za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi GCD brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dakle gcd (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odgovor: LCM (126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite nok brojeva 68 i 34.

Riješenje

GCD je u ovom slučaju lako pronaći, budući da je 68 djeljivo s 34. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik pomoću formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom smo primjeru koristili pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika prirodnih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv s drugim, tada će LCM tih brojeva biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore

Sada pogledajmo način pronalaska LCM-a, koji se temelji na rastavljanju brojeva na proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sastavljamo umnožak svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• isključujemo sve proste faktore iz njihovih dobivenih proizvoda;
• umnožak dobiven nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora bit će jednak LCM zadanih brojeva.

Ovaj način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na jednakosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora koji sudjeluju u proširenju ta dva broja. U ovom slučaju, GCD dvaju brojeva jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ta dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210 . Možemo ih faktorizirati ovako: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7. Ako napravite umnožak svih faktora dva izvorna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako isključimo faktore koji su zajednički brojevima 3 i 5, dobit ćemo umnožak sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 i 700 , rastavljajući oba broja na proste faktore.

Riješenje

Pronađimo sve proste faktore brojeva danih u uvjetu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobivamo dva niza brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Umnožak svih faktora koji su sudjelovali u proširenju ovih brojeva izgledat će ovako: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pronađimo zajedničke faktore. Ovaj broj je 7. Isključujemo ga iz općeg proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispada da je NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odgovor: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Dajmo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo iz ukupnog broja isključili faktore zajedničke za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Rastavimo oba broja na proste faktore:
• umnošku prostih faktora prvog broja dodati faktore drugog broja koji nedostaju;
• dobivamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se brojevima 75 i 210 za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Rastavimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7. Umnošku faktora 3, 5 i 5 broju 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 i 7 brojevi 210 . Dobivamo: 2 3 5 5 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Riješenje

Rastavimo brojeve iz uvjeta na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 i 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajte umnošku faktora 2 , 2 , 3 i 7 brojevi 84 nedostaju faktori 2 , 3 , 3 i
3 brojevi 648 . Dobivamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ovo je najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odgovor: LCM (84, 648) = 4536.

Pronalaženje LCM tri ili više brojeva

Bez obzira s koliko brojeva imamo posla, algoritam naših radnji uvijek će biti isti: dosljedno ćemo pronaći LCM dvaju brojeva. Za ovaj slučaj postoji teorem.

Teorem 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k od ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Sada pogledajmo kako se teorem može primijeniti na specifične probleme.

Primjer 7

Trebate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiriju brojeva 140 , 9 , 54 i 250 .

Riješenje

Uvedimo oznake: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Upotrijebimo Euklidov algoritam za izračunavanje GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobivamo: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Stoga je m 2 = 1 260 .

Izračunajmo sada prema istom algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Tijekom izračuna dobivamo m 3 = 3 780.

Ostaje nam da izračunamo m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ponašamo se prema istom algoritmu. Dobivamo m 4 \u003d 94 500.

LCM četiri broja iz uvjeta primjera je 94500.

Odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Kao što vidite, izračuni su jednostavni, ali prilično naporni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam radnji:

• rastaviti sve brojeve na proste faktore;
• umnošku faktora prvog broja dodati faktore koji nedostaju iz umnoška drugog broja;
• dodajte faktore trećeg broja koji nedostaju proizvodu dobivenom u prethodnoj fazi itd.;
• dobiveni umnožak bit će najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Potrebno je pronaći LCM pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Riješenje

Rastavimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti na proste faktore. Takvi brojevi koincidiraju s njihovim rastavljanjem na proste faktore.

Sada uzmimo umnožak prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i pribrojimo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rastavili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u umnošku prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo zbrajati množitelje koji nedostaju. Okrećemo se broju 48, od umnoška prostih faktora od kojih uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo prosti faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 iz petog. Dobivamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

Odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, te brojeve prvo treba zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti izračune prema gore navedenim algoritmima.

Primjer 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Takvi postupci su dopušteni zbog činjenice da ako se prihvati da a i − a- suprotni brojevi
zatim skup višekratnika a poklapa se sa skupom višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 i − 45 .

Riješenje

Promijenimo brojeve − 145 i − 45 na njihove suprotne brojeve 145 i 45 . Sada pomoću algoritma izračunavamo LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45 : 5 = 1 305 , nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidovog algoritma.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

Odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter