Tangenta na funkciju u točki. online kalkulator

U članku se detaljno objašnjavaju definicije, geometrijsko značenje izvedenice s grafičkim zapisom. Razmatrat će se jednadžba tangente na primjerima, naći će se jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kut nagiba ravne crte y \u003d k x + b naziva se kut α, koji se mjeri od pozitivnog smjera osi x do ravne crte y \u003d k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer ox označen zelenom strelicom i zelenim lukom, a kut nagiba crvenim lukom. Plava linija odnosi se na ravnu liniju.

Definicija 2

Nagib ravne linije y \u003d k x + b naziva se numerički koeficijent k.

Nagib je jednak nagibu pravca, drugim riječima k = t g α .

• Nagib ravne linije je 0 samo kada je o x paralelan i nagib je jednak nuli, jer je tangens nule 0. Dakle, oblik jednadžbe će biti y = b.
• Ako je kut nagiba pravca y = k x + b oštar, tada su ispunjeni uvjeti 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , a na grafu postoji porast.
• Ako je α \u003d π 2, tada je mjesto linije okomito na x. Jednakost je određena jednakošću x = c pri čemu je vrijednost c realan broj.
• Ako je kut nagiba ravne linije y = k x + b tup, tada odgovara uvjetima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definicija 3

Sekanta je pravac koji prolazi kroz 2 točke funkcije f (x). Drugim riječima, sekans je ravna crta koja prolazi kroz bilo koje dvije točke na grafu dane funkcije.

Slika pokazuje da je A B sekanta, a f (x) je crna krivulja, α je crveni luk, koji označava kut nagiba sekante.

Kad je nagib pravca jednak tangensu kuta nagiba, jasno je da se tangenta iz pravokutnog trokuta A B C može pronaći u odnosu na suprotni krak na susjedni.

Definicija 4

Dobivamo formulu za pronalaženje sekansa oblika:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, gdje su apscise točaka A i B vrijednosti x A, x B, i f (x A), f (x B) su funkcije vrijednosti u tim točkama.

Očito, nagib sekante definiran je pomoću jednakosti k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B, a jednadžba se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanta vizualno dijeli graf na 3 dijela: lijevo od točke A, od A do B, desno od B. Slika ispod pokazuje da postoje tri sekante za koje se smatra da su iste, tj. postaviti pomoću slične jednadžbe.

Po definiciji je jasno da se pravac i njegova sekansa u ovom slučaju podudaraju.

Sekans može više puta presijecati graf dane funkcije. Ako postoji jednadžba oblika y \u003d 0 za sekantu, tada je broj sjecišta sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u točki x 0 ; f (x 0) naziva se pravac koji prolazi kroz zadanu točku x 0; f (x 0) , uz prisustvo segmenta koji ima mnogo x vrijednosti blizu x 0 .

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada se može vidjeti da se pravac zadan funkcijom y = x + 1 smatra tangentom na y = 2 x u točki s koordinatama (1 ; 2) . Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafikone s vrijednostima blizu (1; 2). Funkcija y = 2 x označena je crnom bojom, plava linija je tangenta, crvena točka je točka presjeka.

Očito, y \u003d 2 x spaja se s linijom y \u003d x + 1.

Za određivanje tangente treba razmotriti ponašanje tangente A B dok se točka B beskonačno približava točki A. Radi jasnoće, predstavljamo sliku.

Sekanta A B, označena plavom crtom, teži položaju same tangente, a kut nagiba sekante α počet će se približavati kutu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y \u003d f (x) u točki A je granični položaj sekante A B u B koja teži A, odnosno B → A.

Sada prelazimo na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u točki.

Prijeđimo na razmatranje sekante A B za funkciju f (x), gdje su A i B s koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x je označen kao inkrement argumenta. Sada će funkcija poprimiti oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Radi jasnoće, uzmimo sliku kao primjer.

Razmotrite rezultat pravokutni trokut A B C. Za rješenje koristimo definiciju tangente, odnosno dobivamo omjer ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente slijedi lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Prema pravilu derivacije u točki, imamo da se derivacija f (x) u točki x 0 naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, gdje je ∆ x → 0, tada označava se kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Slijedi da je f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

Odnosno, dobivamo da f ' (x) može postojati u točki x 0 i, kao i tangenta na zadani graf funkcije u točki dodira jednaka x 0 , f 0 (x 0) , gdje je vrijednost nagiba tangente u točki jednaka je izvodnici u točki x 0 . Tada dobivamo da je k x = f "(x 0) .

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki je da je dan koncept postojanja tangente na graf u istoj točki.

Da bismo napisali jednadžbu bilo koje ravne linije u ravnini, potrebno je imati nagib s točkom kroz koju ona prolazi. Njegova oznaka se uzima kao x 0 na raskrižju.

Jednadžba tangente na graf funkcije y \u003d f (x) u točki x 0, f 0 (x 0) ima oblik y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

To znači da konačna vrijednost derivacije f "(x 0) može odrediti položaj tangente, odnosno okomito pod uvjetom lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ili uopće odsutnost pod uvjetom lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Položaj tangente ovisi o vrijednosti njezinog nagiba k x \u003d f "(x 0). Kada je paralelna s osi x, dobivamo da je k k \u003d 0, kada je paralelna s oko y - k x \u003d ∞, a oblik tangentne jednadžbe x \u003d x 0 raste s k x > 0, smanjuje se s k x< 0 .

Primjer 2

Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u točki s koordinatama (1; 3) s definicijom kuta nagib.

Riješenje

Pod pretpostavkom imamo da je funkcija definirana za sve realne brojeve. Dobivamo da je točka s koordinatama određenim uvjetom (1 ; 3) dodirna točka, tada je x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Potrebno je pronaći derivaciju u točki s vrijednošću -1. Shvaćamo to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f ’ (x) u točki dodira je nagib tangente, koja je jednaka tangenti nagiba.

Tada je k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odgovor: jednadžba tangente poprima oblik

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće, dajemo primjer u grafičkoj ilustraciji.

Crna boja se koristi za graf izvorne funkcije, plava boja je slika tangente, crvena točka je dodirna točka. Slika s desne strane prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Utvrditi postojanje tangente na graf zadane funkcije
y = 3 x - 1 5 + 1 u točki s koordinatama (1 ; 1) . Napišite jednadžbu i odredite nagibni kut.

Riješenje

Pod pretpostavkom imamo da je domena zadane funkcije skup svih realnih brojeva.

Prijeđimo na pronalaženje izvoda

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1 , tada f ' (x) nije definiran, ali su limiti zapisani kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , što znači postojanje vertikalne tangente na točka (1 ; 1) .

Odgovor: jednadžba će imati oblik x \u003d 1, gdje će kut nagiba biti jednak π 2.

Prikažimo to grafički radi jasnoće.

Primjer 4

Odredite točke grafa funkcije y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , gdje je

1. Tangenta ne postoji;
2. Tangenta je paralelna s x;
3. Tangenta je paralelna s pravcem y = 8 5 x + 4 .

Riješenje

Potrebno je obratiti pažnju na domenu definicije. Pod pretpostavkom imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširiti modul i riješiti sustav s intervalima x ∈ - ∞ ; 2 i [-2; +∞) . Shvaćamo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funkciju treba razlikovati. Imamo to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Kada je x = - 2, tada derivacija ne postoji jer jednostrane granice u toj točki nisu jednake:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunavamo vrijednost funkcije u točki x \u003d - 2, gdje to dobivamo

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, odnosno tangenta na točka (- 2; - 2) neće postojati.
2. Tangenta je paralelna s x kada je nagib nula. Zatim k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To jest, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada ga derivat funkcije pretvori u nulu. To jest, vrijednosti ​​od f ' (x) i bit će dodirne točke, gdje je tangenta paralelna s x.

Kada je x ∈ - ∞ ; - 2 , zatim - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , a za x ∈ (- 2 ; + ∞) dobivamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunavamo odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 smatraju se željenim točkama grafa funkcije.

Razmotrite grafički prikaz rješenja.

Crna linija je graf funkcije, crvene točke su dodirne točke.

1. Kada su linije paralelne, nagibi su jednaki. Zatim je potrebno tražiti točke grafa funkcije u kojima će nagib biti jednak vrijednosti 8 5 . Da biste to učinili, trebate riješiti jednadžbu oblika y "(x) = 8 5. Zatim, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobivamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2 ; + ∞) , tada je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prva jednadžba nema korijena jer je diskriminant manji od nule. Zapišimo to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Druga jednadžba, dakle, ima dva stvarna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Prijeđimo na pronalaženje vrijednosti funkcije. Shvaćamo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi s vrijednostima - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 su točke u kojima su tangente paralelne s pravcem y = 8 5 x + 4 .

Odgovor: crna linija - graf funkcije, crvena linija - graf y \u003d 8 5 x + 4, plava linija - tangente u točkama - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Moguće je postojanje beskonačnog broja tangenti za dane funkcije.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih dostupnih tangensi funkcije y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , koje su okomite na pravac y = - 2 x + 1 2 .

Riješenje

Za izradu jednadžbe tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate točke dodira, na temelju uvjeta okomitosti linija. Definicija zvuči ovako: umnožak nagiba koji su okomiti na ravne crte jednak je - 1, odnosno piše se kao k x · k ⊥ = - 1. Iz uvjeta imamo da je nagib okomit na ravnu liniju i da je k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Sada moramo pronaći koordinate dodirnih točaka. Trebate pronaći x, a zatim njegovu vrijednost za zadanu funkciju. Primijetimo da iz geometrijskog značenja derivacije u točki
x 0 dobivamo k x \u003d y "(x 0) . Iz ove jednakosti nalazimo x vrijednosti za dodirne točke.

Shvaćamo to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ova trigonometrijska jednadžba će se koristiti za izračunavanje ordinata dodirnih točaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

Pronađeno x kontaktnih točaka. Sada morate prijeći na traženje y vrijednosti:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Odavde dobivamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 su dodirne točke.

Odgovor: potrebne jednadžbe bit će zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz, razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da je mjesto funkcije na intervalu [ - 10 ; 10 ] , gdje je crna linija graf funkcije, plave linije su tangente koje su okomite na zadanu liniju oblika y = - 2 x + 1 2 . Crvene točke su dodirne točke.

Kanonske jednadžbe krivulja 2. reda nisu jednoznačne funkcije. Tangentne jednadžbe za njih sastavljaju se prema dobro poznatim shemama.

Tangenta na kružnicu

Za postavljanje kruga sa središtem u točki x c e n t e r ; y c e n t e r i polumjera R koristi se formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Ova se jednakost može napisati kao unija dviju funkcija:

y = R 2 - x - x centar 2 + y centar y = - R 2 - x - x centar 2 + y centar

Prva funkcija je na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u točki x 0 ; y 0 , koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafa funkcije oblika y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ili y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r na navedenoj točki.

Kada je u točkama x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente mogu se dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R, a u točkama x c e n t e r + R; y c e n t e r i
x c e n t e r - R; y c e n t e r će biti paralelan s y, tada ćemo dobiti jednadžbe oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipsu

Kad je središte elipse u x c e n t e r ; y c e n t e r s poluosima a i b, tada se može dati pomoću jednadžbe x-x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsa i krug mogu se označiti kombinacijom dviju funkcija, naime gornje i donje poluelipse. Onda to shvaćamo

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, tada su paralelne oko x ili oko y. Radi jasnoće, razmotrite donju sliku.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u točkama s x vrijednostima jednakim x = 2 .

Riješenje

Potrebno je pronaći dodirne točke koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Napravimo zamjenu u postojećoj jednadžbi elipse i dobijemo to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Zatim 2; 5 3 2 + 5 i 2 ; - 5 3 2 + 5 su tangente koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Prijeđimo na pronalaženje i rješavanje jednadžbe elipse s obzirom na y. Shvaćamo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očito je da je gornja poluelipsa određena funkcijom oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , a donja y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Standardni algoritam primjenjujemo kako bismo formulirali jednadžbu tangente na graf funkcije u točki. Zapisujemo da je jednadžba za prvu tangentu u točki 2 ; 5 3 2 + 5 će izgledati ovako

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dobivamo da je jednadžba druge tangente s vrijednošću u točki
2; - 5 3 2 + 5 postaje

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički se tangente označavaju na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kad hiperbola ima središte u točki x c e n t e r ; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α; y c e n t e r i x c e n t e r - α; y c e n t e r , dana je nejednadžba x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ako je s vrhovima x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r; y c e n t e r - b je tada zadan nejednakošću x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola se može prikazati kao dvije kombinirane funkcije oblika

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ili y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne s y, au drugom su paralelne s x.

Slijedi da je za pronalaženje jednadžbe tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada ta tangenta. Da bi se to utvrdilo, potrebno je izvršiti zamjenu u jednadžbama i provjeriti njihovu identičnost.

Primjer 7

Napišite jednadžbu tangente na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u točki 7; - 3 3 - 3 .

Riješenje

Potrebno je transformirati zapis rješenja nalaženja hiperbole pomoću 2 funkcije. Shvaćamo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ili y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je saznati kojoj funkciji pripada zadana točka s koordinatama 7; - 3 3 - 3 .

Očito, za provjeru prve funkcije potrebno je y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , tada točka ne pripada grafu, budući da jednakost nije zadovoljena.

Za drugu funkciju vrijedi y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , što znači da točka pripada zadanom grafu. Odavde biste trebali pronaći koeficijent nagiba.

Shvaćamo to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odgovor: jednadžba tangente može se prikazati kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Vizualizirano je na sljedeći način:

Tangenta na parabolu

Da biste sastavili jednadžbu tangente na parabolu y \u003d a x 2 + b x + c u točki x 0, y (x 0) , morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba poprimiti oblik y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takva tangenta na vrhu je paralelna s x.

Parabolu x = a y 2 + b y + c treba definirati kao uniju dviju funkcija. Stoga trebamo riješiti jednadžbu za y. Shvaćamo to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Prikažimo to grafički kao:

Kako biste saznali pripada li točka x 0 , y (x 0) funkciji, lagano slijedite standardni algoritam. Takva će tangenta biti paralelna s y u odnosu na parabolu.

Primjer 8

Napišite jednadžbu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 kada imamo nagib tangente od 150°.

Riješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvaćamo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u točki x 0 ove funkcije i jednaka je tangensu nagiba.

Dobivamo:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Odavde određujemo vrijednost x za dodirne točke.

Prva funkcija bit će zapisana kao

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očito nema pravih korijena, jer smo dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta s kutom od 150°.

Druga funkcija bit će zapisana kao

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da su dodirne točke - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odgovor: jednadžba tangente poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Prikažimo to ovako grafički:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Y \u003d f (x) i ako se u ovoj točki može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-os, tada je nagib tangente f "(a). Ovo smo već koristili nekoliko puta. Na primjer, u § 33 utvrđeno je da graf funkcije y \u003d sin x (sinusoida) u ishodištu tvori kut od 45 ° s osi apscisa (točnije, tangenta na graf na ishodište zaklapa kut od 45° s pozitivnim smjerom osi x), a u primjeru 5 iz § 33 točke pronađene su na zadanom rasporedu funkcije, u kojem je tangenta paralelna s x-osi. U primjeru 2 § 33 sastavljena je jednadžba za tangentu na graf funkcije y \u003d x 2 u točki x \u003d 1 (točnije, u točki (1; 1), ali češće samo naznačena je vrijednost apscise, uz pretpostavku da ako je vrijednost apscise poznata, tada se vrijednost ordinate može pronaći iz jednadžbe y = f(x)). U ovom odjeljku ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.

Neka su zadane funkcija y \u003d f (x) i točka M (a; f (a)), a također je poznato da f "(a) postoji. Sastavimo jednadžbu tangente na graf zadana funkcija u danoj točki. Ova jednadžba je kao jednadžba bilo koje ravne linije, koja nije paralelna s osi y, ima oblik y = kx + m, pa je problem pronaći vrijednosti koeficijenata k i m.

Nema problema s nagibom k: znamo da je k \u003d f "(a). Za izračun vrijednosti m koristimo činjenicu da željena linija prolazi kroz točku M (a; f (a)). To znači da ako koordinatne točke M zamijenimo u jednadžbu ravne linije, dobivamo ispravnu jednakost: f (a) \u003d ka + m, odakle nalazimo da je m \u003d f (a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata kita jednadžba ravno:

Dobili smo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d f (x) u točki x \u003d a.
ako, recimo,
Zamjenom u jednadžbi (1) pronađene vrijednosti a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) = 2, dobivamo: y \u003d 1 + 2 (x-f), tj. y = 2x -1.
Usporedite ovaj rezultat s onim dobivenim u 2. primjeru § 33. Naravno, dogodilo se isto.
Sastavimo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d tg x u ishodištu. Imamo: stoga cos x f "(0) = 1. Zamjenom pronađenih vrijednosti a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) = 1 u jednadžbu (1), dobivamo: y \u003d x .
Zato smo tangentoid u § 15 (vidi sl. 62) povukli kroz ishodište koordinata pod kutom od 45° na apscisnu os.
Rješavajući ove prilično jednostavne primjere, zapravo smo koristili određeni algoritam, koji je ugrađen u formulu (1). Učinimo ovaj algoritam eksplicitnim.

ALGORITAM ZA SASTAVLJANJE JEDNADŽBE FUNKCIJE TANGENTNE NA GRAF y \u003d f (x)

1) Apscisu dodirne točke označite slovom a.
2) Izračunajte 1 (a).
3) Nađite f "(x) i izračunajte f" (a).
4) Pronađene brojeve a, f(a), (a) zamijenite u formulu (1).

Primjer 1 Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki x = 1.
Upotrijebimo algoritam, s obzirom na to u ovom primjeru

Na sl. 126 prikazuje hiperbolu, izgrađena je ravna linija y \u003d 2x.
Crtež potvrđuje gornje izračune: doista, linija y \u003d 2-x dodiruje hiperbolu u točki (1; 1).

Odgovor: y \u003d 2-x.
Primjer 2 Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna s pravom y \u003d 4x - 5.
Pročistimo formulaciju problema. Zahtjev za "crtanje tangente" obično znači "napraviti jednadžbu za tangentu". To je logično, jer ako je osoba uspjela sastaviti jednadžbu za tangentu, onda vjerojatno neće imati poteškoća u konstruiranju ravne linije na koordinatnoj ravnini prema svojoj jednadžbi.
Poslužimo se algoritmom za sastavljanje jednadžbe tangente, s obzirom na to da u ovom primjeru, Ali, za razliku od prethodnog primjera, ovdje postoji nejasnoća: apscisa tangentne točke nije eksplicitno naznačena.
Počnimo ovako razgovarati. Željena tangenta mora biti paralelna s ravnom linijom y \u003d 4x-5. Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im nagibi jednaki. To znači da nagib tangente mora biti jednak nagibu zadane ravne linije: Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f "(a) \u003d 4.
Imamo:
Iz jednadžbe Dakle, dvije su tangente koje zadovoljavaju uvjete zadatka: jedna u točki s apscisom 2, druga u točki s apscisom -2.
Sada možete djelovati prema algoritmu.

Primjer 3 Iz točke (0; 1) povuci tangentu na graf funkcije
Upotrijebimo algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente, s obzirom da u ovom primjeru Primijetite da ovdje, kao i u primjeru 2, apscisa tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, postupamo prema algoritmu.

Prema uvjetu, tangenta prolazi točkom (0; 1). Zamjenom u jednadžbu (2) vrijednosti x = 0, y = 1, dobivamo:
Kao što vidite, u ovom primjeru tek smo u četvrtom koraku algoritma uspjeli pronaći apscisu dodirne točke. Zamjenom vrijednosti a \u003d 4 u jednadžbu (2), dobivamo:

Na sl. 127 prikazana je geometrijska ilustracija razmatranog primjera: graf funkcije

U § 32 primijetili smo da za funkciju y = f(x), koja ima derivaciju u fiksnoj točki x, vrijedi približna jednakost:

Radi lakšeg daljnjeg razmišljanja, mijenjamo zapis: umjesto x ćemo napisati a, umjesto toga ćemo napisati x, i sukladno tome umjesto toga ćemo napisati x-a. Tada će gore napisana približna jednakost imati oblik:

Sada pogledajte sl. 128. Na graf funkcije y \u003d f (x) povučena je tangenta u točki M (a; f (a)). Označena točka x na x-osi blizu a. Jasno je da je f(x) ordinata grafa funkcije u navedenoj točki x. A koliko je f (a) + f "(a) (x-a)? Ovo je ordinata tangente koja odgovara istoj točki x - vidi formulu (1). Koje je značenje približne jednakosti (3)? To za izračunati približnu vrijednost funkcije uzima se vrijednost tangente ordinate.

Primjer 4 Odredite približnu vrijednost brojevnog izraza 1,02 7 .
Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y \u003d x 7 u točki x \u003d 1,02. Koristimo formulu (3), uzimajući u obzir da u ovom primjeru
Kao rezultat toga dobivamo:

Ako koristimo kalkulator, dobivamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kao što vidite, točnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
Odgovor: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

Sadržaj lekcije sažetak lekcije okvir za podršku lekcija prezentacija akcelerativne metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoprovjera radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slikovne grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale varalice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa rasprave Integrirane lekcije

Tangenta je pravac , koji dodiruje graf funkcije u jednoj točki i čije su sve točke najmanje udaljene od grafa funkcije. Dakle, tangenta prolazi tangentno na graf funkcije pod određenim kutom i nekoliko tangenti ne može prolaziti kroz tangentu pod različitim kutovima. Pomoću derivacije sastavljaju se jednadžbe tangente i jednadžbe normale na graf funkcije.

Jednadžba tangente izvedena je iz jednadžbe ravne linije .

Izvodimo jednadžbu tangente, a potom i jednadžbu normale na graf funkcije.

g = kx + b .

U njemu k- kutni koeficijent.

Odavde dobivamo sljedeći unos:

g - g 0 = k(x - x 0 ) .

Izvedena vrijednost f "(x 0 ) funkcije g = f(x) u točki x0 jednak nagibu k=tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz točku M0 (x 0 , g 0 ) , gdje g0 = f(x 0 ) . To je što geometrijsko značenje izvedenice .

Dakle, možemo zamijeniti k na f "(x 0 ) i dobiti sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

g - g 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U zadacima za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije (a na njih ćemo uskoro prijeći) potrebno je jednadžbu dobivenu gornjom formulom dovesti do opća jednadžba pravca. Da biste to učinili, trebate prenijeti sva slova i brojeve na lijevu stranu jednadžbe, a ostaviti nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalan je pravac koji prolazi tangentom na graf funkcije okomito na tangentu. Normalna jednadžba :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(g - g 0 ) = 0

Za zagrijavanje prvog primjera, od vas se traži da ga sami riješite, a zatim pogledate rješenje. Postoji svaki razlog za nadu da ovaj zadatak neće biti "hladan tuš" za naše čitatelje.

Primjer 0. Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije u točki M (1, 1) .

Primjer 1 Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Nađimo izvod funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unosu danom u teoretskoj referenci kako bismo dobili jednadžbu tangente. Dobivamo

U ovom smo primjeru imali sreće: pokazalo se da je nagib jednak nuli, pa nije bilo potrebe zasebno dovoditi jednadžbu u opći oblik. Sada možemo napisati normalnu jednadžbu:

Na slici ispod: graf funkcije u bordo boji, tangenta u zelenoj, normala u narančastoj boji.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali koeficijent nagiba neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednadžbe u opći oblik.

Primjer 2

Riješenje. Nađimo ordinatu dodirne točke:

Nađimo izvod funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki dodira, odnosno nagib tangente:

Sve dobivene podatke zamijenimo u "praznu formulu" i dobijemo jednadžbu tangente:

Jednadžbu dovodimo u opći oblik (s lijeve strane skupljamo sva slova i brojeve osim nule, a s desne ostavljamo nulu):

Sastavljamo jednadžbu normale:

Primjer 3 Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Riješenje. Nađimo ordinatu dodirne točke:

Nađimo izvod funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki dodira, odnosno nagib tangente:

.

Nalazimo jednadžbu tangente:

Prije nego što jednadžbu dovedete u opći oblik, morate je malo "iskombinirati": pomnožite član po član s 4. To činimo i dovodimo jednadžbu u opći oblik:

Sastavljamo jednadžbu normale:

Primjer 4 Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Riješenje. Nađimo ordinatu dodirne točke:

.

Nađimo izvod funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u točki dodira, odnosno nagib tangente:

.

Dobivamo jednadžbu tangente:

Jednadžbu dovodimo u opći oblik:

Sastavljamo jednadžbu normale:

Uobičajena pogreška pri pisanju jednadžbi tangente i normale je ne primijetiti da je funkcija navedena u primjeru složena i izračunati njezinu derivaciju kao derivaciju jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već složene funkcije(odgovarajuća lekcija otvorit će se u novom prozoru).

Primjer 5 Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Riješenje. Nađimo ordinatu dodirne točke:

Pažnja! Ova funkcija je složena, budući da je argument tangente (2 x) sama je funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju složene funkcije.

Primjer 1 S obzirom na funkciju f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) u točki grafa s apscisom x 0 = 1.

Riješenje. Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo ga:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Zatim f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Jednadžba tangente ima oblik:

g = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

g = 10(x – 1) + 2,

g = 10x – 8.

Odgovor. g = 10x – 8.

Primjer 2 S obzirom na funkciju f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), paralelno s pravcem g = 2x – 11.

Riješenje. Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo ga:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Budući da tangenta na graf funkcije f(x) u točki s apscisom x 0 je paralelan s pravcem g = 2x– 11, tada mu je nagib 2, tj. x 0) = 2. Nađite ovu apscisu iz uvjeta da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo za x 0 = 0 i x 0 = 2. Budući da je u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim pravac g = 2x + b dodiruje graf funkcije bilo u točki (0; 5) ili u točki (2; 5).

U prvom slučaju vrijedi numerička jednakost 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju vrijedi brojčana jednakost 5 = 2 × 2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente g = 2x+ 5 i g = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) paralelan s pravcem g = 2x – 11.

Odgovor. g = 2x + 5, g = 2x + 1.

Primjer 3 S obzirom na funkciju f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) koja prolazi kroz točku A (2; –5).

Riješenje. Jer f(2) –5, zatim točka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa dodirne točke.

Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo ga:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Zatim f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Jednadžba tangente ima oblik:

g = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

g = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od točke A pripada tangenti, tada je numerička jednakost istinita

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz točku A moguće je povući dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako a x 0 = 0, tada jednadžba tangente ima oblik g = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada jednadžba tangente ima oblik g = 2x – 9.

Odgovor. g = –6x + 7, g = 2x – 9.

Primjer 4 Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napišimo jednadžbu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.

Riješenje. Neka x 1 - apscisa točke kontakta tražene linije s grafom funkcije f(x), a x 2 - apscisa točke dodira iste crte s grafom funkcije g(x).

Derivacija funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Pronađimo ga:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Zatim f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Jednadžba tangente ima oblik:

g = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

g = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Nađimo izvod funkcije g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Video tutorial "Jednadžba tangente na graf funkcije" demonstrira obrazovni materijal za svladavanje teme. Tijekom video lekcije prezentira se teorijski materijal potreban za formiranje pojma jednadžbe tangente na graf funkcije u zadanoj točki, algoritam za pronalaženje takve tangente, primjeri rješavanja zadataka pomoću proučavane teorijske materijali su opisani.

Video vodič koristi metode koje poboljšavaju preglednost materijala. U prikaz se umeću crteži, dijagrami, daju se važni glasovni komentari, primjenjuju se animacije, isticanje boja i drugi alati.

Video lekcija započinje prikazom teme lekcije i slikom tangente na graf neke funkcije y=f(x) u točki M(a;f(a)). Poznato je da je nagib tangente povučene na graf u danoj točki jednak derivaciji funkcije f΄(a) u danoj točki. Također iz kolegija algebre poznata je jednadžba pravca y=kx+m. Shematski je prikazano rješenje problema nalaženja jednadžbe tangente u točki, koje se svodi na pronalaženje koeficijenata k, m. Znajući koordinate točke koja pripada grafu funkcije, m možemo pronaći supstitucijom vrijednosti koordinata u jednadžbu tangente f(a)=ka+m. Iz njega nalazimo m=f(a)-ka. Dakle, znajući vrijednost derivacije u danoj točki i koordinate točke, možemo predstaviti jednadžbu tangente na ovaj način y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Slijedi primjer sastavljanja jednadžbe tangente prema shemi. Dana je funkcija y=x 2 , x=-2. Prihvativši a=-2, nalazimo vrijednost funkcije u ovoj točki f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Odredimo derivaciju funkcije f΄(h)=2h. U ovom trenutku, derivacija je jednaka f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Za sastavljanje jednadžbe, pronađeni su svi koeficijenti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, pa je jednadžba tangente y=4+(-4)(x+2). Pojednostavljujući jednadžbu, dobivamo y \u003d -4-4x.

U sljedećem primjeru predlaže se formulacija jednadžbe tangente u ishodištu na graf funkcije y=tgx. U ovoj točki a=0, f(0)=0, f΄(h)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Dakle, jednadžba tangente izgleda kao y=x.

Kao generalizacija, proces sastavljanja jednadžbe tangente na graf funkcije u nekoj točki je formaliziran kao algoritam koji se sastoji od 4 koraka:

• Uvodi se oznaka za apscisu dodirne točke;
• izračunava se f(a);
• Određuje se F΄(h) i izračunava se f΄(a). Pronađene vrijednosti a, f(a), f΄(a) zamjenjuju se u formulu jednadžbe tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Primjer 1 razmatra sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y \u003d 1 / x u točki x \u003d 1. Za rješavanje problema koristimo algoritam. Za ovu funkciju u točki a=1 vrijedi vrijednost funkcije f(a)=-1. Derivacija funkcije f΄(h)=1/h 2 . U točki a=1 izvodi se f΄(a)= f΄(1)=1. Koristeći dobivene podatke, sastavlja se jednadžba tangente y \u003d -1 + (x-1), ili y \u003d x-2.

U primjeru 2 trebate pronaći jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2. Glavni uvjet je paralelnost tangente i ravne linije y \u003d -2x + 1. Prvo, nalazimo nagib tangente, jednak nagibu ravne linije y \u003d -2x + 1. Kako je f΄(a)=-2 za ovu ravnu liniju, onda je k=-2 za željenu tangentu. Nalazimo derivaciju funkcije (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Znajući da je f΄(a)=-2, nalazimo koordinate točke 3a 2 +6a-2=-2. Rješavanjem jednadžbe dobivamo 1 \u003d 0 i 2 \u003d -2. Pomoću pronađenih koordinata možete pronaći jednadžbu tangente pomoću dobro poznatog algoritma. Vrijednost funkcije nalazimo u točkama f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Vrijednost derivacije u točki f΄(a 1)= f΄(a 2)=-2. Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednadžbu tangente, dobivamo za prvu točku a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, a za drugu točku a 2 \u003d -2 jednadžbu tangente y \u003d -2x- 22.

Primjer 3 opisuje formulaciju jednadžbe tangente za njezino crtanje u točki (0;3) na graf funkcije y=√x. Odluka se donosi prema poznatom algoritmu. Dodirna točka ima koordinate x=a, gdje je a>0. Vrijednost funkcije u točki f(a)=√x. Derivacija funkcije f΄(h)=1/2√h, dakle, u zadanoj točki f΄(a)=1/2√a. Zamjenom svih dobivenih vrijednosti u tangentnu jednadžbu, dobivamo y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Transformacijom jednadžbe dobivamo y=x/2√a+√a/2. Znajući da tangenta prolazi kroz točku (0; 3), nalazimo vrijednost a. Pronađite a iz 3=√a/2. Stoga je √a=6, a=36. Nalazimo jednadžbu tangente y \u003d x / 12 + 3. Na slici je prikazan graf razmatrane funkcije i konstruirana željena tangenta.

Učenici se podsjećaju na približne jednakosti Δy=≈f΄(x)Δx i f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Uzimajući x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dobivamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), dakle f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

U primjeru 4 potrebno je pronaći približnu vrijednost izraza 2,003 6 . Budući da je potrebno pronaći vrijednost funkcije f (x) \u003d x 6 u točki x \u003d 2,003, možemo koristiti dobro poznatu formulu, uzimajući f (x) = x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6h 5 . Derivacija u točki f΄(2)=192. Prema tome, 2,003 6 ≈65-192 0,003. Nakon izračunavanja izraza dobivamo 2,003 6 ≈64,576.

Video lekcija "Jednadžba tangente na graf funkcije" preporučuje se za korištenje na tradicionalnom satu matematike u školi. Učitelju koji uči na daljinu video materijal pomoći će jasnije objasniti temu. Video se može preporučiti studentima za samostalno razmatranje ako je potrebno da prodube svoje razumijevanje predmeta.

INTERPRETACIJA TEKSTA:

Znamo da ako točka M (a; f (a)) (em s koordinatama a i eff iz a) pripada grafu funkcije y \u003d f (x) i ako se u toj točki može povući tangenta na graf funkcije, nije okomit na apscisnu os, tada je nagib tangente f "(a) (ef potez od a).

Neka su zadane funkcija y = f(x) i točka M (a; f(a)), a također je poznato da f´(a) postoji. Sastavimo jednadžbu tangente na graf zadane funkcije u zadanoj točki. Ova jednadžba, kao i jednadžba bilo koje ravne linije koja nije paralelna s osi y, ima oblik y = kx + m (y je jednako ka x plus em), pa je zadatak pronaći vrijednosti koeficijenata k i m. (ka i em)

Nagib k \u003d f "(a). Da bismo izračunali vrijednost m, koristimo se činjenicom da željena ravna linija prolazi točkom M (a; f (a)). To znači da ako zamijenimo koordinate točke M u jednadžbi pravca, dobivamo ispravnu jednakost : f(a) = ka+m, odakle nalazimo da je m = f(a) - ka.

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata ki i m u jednadžbu ravne linije:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

g= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y je jednako eff od plus ef hod od a pomnoženo s x minus a).

Dobili smo jednadžbu tangente na graf funkcije y = f(x) u točki x=a.

Ako je, recimo, y = x 2 i x = -2 (tj. a = -2), tada je f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) \u003d 2x, pa je f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (tada je eff iz a jednako četiri, eff prost iz x je jednako dva x, što znači da je ef potez od a jednako minus četiri)

Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednadžbu a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, dobivamo: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , tj. y \u003d -4x -četiri.

(y je jednako minus četiri x minus četiri)

Sastavimo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d tgx (y je jednako tangenti x) u ishodištu. Imamo: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , pa je f"(0) = l. Zamjenom pronađenih vrijednosti a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 u jednadžbu, dobivamo: y=x.

Generaliziramo naše korake za pronalaženje jednadžbe tangente na graf funkcije u točki x pomoću algoritma.

ALGORITAM ZA SASTAVLJANJE JEDNADŽBE FUNKCIJE tangentne na GRAFIKON y \u003d f (x):

1) Apscisu dodirne točke označite slovom a.

2) Izračunajte f(a).

3) Nađite f´(x) i izračunajte f´(a).

4) Pronađene brojeve a, f(a), f´(a) zamijenite u formulu g= f(a)+ f"(a) (x- a).

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d - u

točka x = 1.

Riješenje. Upotrijebimo algoritam, s obzirom na to u ovom primjeru

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Zamijenite tri pronađena broja: a = 1, f (a) = -1, f "(a) = 1 u formulu. Dobivamo: y = -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Odgovor: y = x-2.

Primjer 2. Zadana je funkcija y = x 3 +3x 2 -2x-2. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d f (x), paralelnu s ravnom linijom y \u003d -2x +1.

Koristeći algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente, uzimamo u obzir da je u ovom primjeru f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ali ovdje nije navedena apscisa dodirne točke.

Počnimo ovako razgovarati. Željena tangenta mora biti paralelna s ravnom linijom y \u003d -2x + 1. I paralelne linije imaju jednake nagibe. Dakle, nagib tangente jednak je nagibu zadane prave: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f ´ (a) \u003d -2.

Nađimo izvod funkcije y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

Iz jednadžbe f "(a) \u003d -2, tj. 3a 2 +6a-2\u003d -2 nalazimo 1 \u003d 0, a 2 \u003d -2. To znači da postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uvjete problema: jedna u točki s apscisom 0, druga u točki s apscisom -2.

Sada možete djelovati prema algoritmu.

1) a 1 \u003d 0 i 2 \u003d -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Zamjenom vrijednosti a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 u formulu, dobivamo:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Zamjenom vrijednosti a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 u formulu, dobivamo:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odgovor: y=-2x-2, y=-2x+2.

Primjer 3. Iz točke (0; 3) povucite tangentu na graf funkcije y \u003d. Riješenje. Upotrijebimo algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente s obzirom da je u ovom primjeru f(x) = . Imajte na umu da ovdje, kao u primjeru 2, apscisa dodirne točke nije eksplicitno naznačena. Ipak, postupamo prema algoritmu.

1) Neka je x = a apscisa dodirne točke; jasno je da je a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Zamjena vrijednosti a, f(a) = , f "(a) = u formulu

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), dobivamo:

Prema uvjetu, tangenta prolazi točkom (0; 3). Zamjenom vrijednosti x = 0, y = 3 u jednadžbu, dobivamo: 3 =, a zatim =6, a =36.

Kao što vidite, u ovom primjeru tek smo u četvrtom koraku algoritma uspjeli pronaći apscisu dodirne točke. Zamjenom vrijednosti a =36 u jednadžbu dobivamo: y=+3

Na sl. Slika 1 prikazuje geometrijsku ilustraciju razmatranog primjera: nacrtan je graf funkcije y \u003d, nacrtana je ravna linija y \u003d +3.

Odgovor: y = +3.

Znamo da za funkciju y = f(x), koja ima derivaciju u točki x, vrijedi približna jednakost: Δyf´(x)Δx

ili, detaljnije, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef od x plus delta x minus ef od x približno je jednako ef prim od x do delta x).

Radi lakšeg daljnjeg razmišljanja, mijenjamo oznaku:

umjesto x ćemo pisati a,

umjesto x + Δx pisat ćemo x

umjesto Δx pisat ćemo x-a.

Tada će gore napisana približna jednakost imati oblik:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef od x približno je jednak eff od a plus ef udar od a, pomnoženo s razlikom između x i a).

Primjer 4. Odredite približnu vrijednost brojevnog izraza 2.003 6 .

Riješenje. Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y \u003d x 6 u točki x \u003d 2,003. Upotrijebimo formulu f(x)f(a)+f´(a)(x-a), uzimajući u obzir da je u ovom primjeru f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x \u003d 2,003, f "(x) = 6x 5 i, prema tome, f" (a) = f "(2) \u003d 6 2 5 = 192.

Kao rezultat toga dobivamo:

2,003 6 64+192 0,003, tj. 2,003 6 = 64,576.

Ako koristimo kalkulator, dobivamo:

2,003 6 = 64,5781643...

Kao što vidite, točnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.