Tablica prostih brojeva od 1 do 10000. Tablica prostih brojeva od 1 do 1000

Ispod je tablica prostih brojeva od 2 do 10000 (1229 komada). Nažalost, jedinica nije uključena. Neki smatraju da jedinica nije uključena jer... ona ne može biti tamo. " Prost broj je broj koji ima dva djelitelja: jedan i sam broj."A broj 1 ima samo jedan djelitelj, ne odnosi se ni na proste ni na složene brojeve. (Objašnjenje od Olge 21.09.12.) Međutim, sjećamo se da se prosti brojevi ponekad uvode ovako: " Prost broj je broj koji je ravnomjerno djeljiv s jedinicom i samim sobom.“U ovom slučaju, jedan je očito prost broj.

Tablica prostih brojeva od 2 do 1000. Tablica prostih brojeva od 2 do 1000 je zasivljena.

Ocjena članka:

U članku se obrađuju pojmovi prostih i složenih brojeva. Dane su definicije takvih brojeva s primjerima. Dajemo dokaz da je broj prostih brojeva neograničen i unosimo u tablicu prostih brojeva pomoću Eratostenove metode. Dokazat će se je li broj prost ili složen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prosti i složeni brojevi - definicije i primjeri

Prosti i složeni brojevi klasificiraju se kao pozitivni cijeli brojevi. Moraju biti veći od jedan. Također se djelitelji dijele na proste i složene. Da bismo razumjeli koncept složenih brojeva, potrebno je prvo proučiti koncepte djelitelja i višekratnika.

Definicija 1

Prosti brojevi su cijeli brojevi koji su veći od jedan i imaju dva pozitivna djelitelja, to jest sebe i 1.

Definicija 2

Složeni brojevi su cijeli brojevi koji su veći od jedan i imaju najmanje tri pozitivna djelitelja.

Jedan nije ni prost ni složeni broj. Ima samo jedan pozitivan djelitelj, pa se razlikuje od svih ostalih pozitivnih brojeva. Svi prirodni brojevi nazivaju se prirodnim, odnosno koriste se u brojanju.

Definicija 3

primarni brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo dva pozitivna djelitelja.

Definicija 4

Složeni broj je prirodan broj koji ima više od dva pozitivna djelitelja.

Svaki broj veći od 1 je ili prost ili složen. Iz svojstva djeljivosti imamo da će 1 i broj a uvijek biti djelitelji za svaki broj a, odnosno bit će djeljiv sam sa sobom i s 1. Dajemo definiciju cijelih brojeva.

Definicija 5

Prirodni brojevi koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi.

Prosti brojevi: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Djeljivi su samo sa sobom i sa 1. Složeni brojevi: 6, 63, 121, 6697. Naime, broj 6 se može rastaviti na 2 i 3, a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63, a 121 na 11, 11, odnosno njegovi djelitelji će biti 1, 11, 121. Broj 6697 će se rastaviti na 37 i 181. Imajte na umu da su koncepti prostih brojeva i relativno prostih brojeva različiti pojmovi.

Da biste olakšali korištenje prostih brojeva, morate koristiti tablicu:

Tablica za sve postojeće prirodne brojeve je nerealna, jer ih ima beskonačno mnogo. Kada brojevi dosegnu veličinu od 10000 ili 1000000000, tada biste trebali razmisliti o korištenju Eratostenova sita.

Razmotrimo teorem koji objašnjava posljednju tvrdnju.

Teorem 1

Najmanji pozitivni djelitelj prirodnog broja veći od 1 osim 1 je prost broj.

Dokaz 1

Pretpostavimo da je a prirodan broj veći od 1, b najmanji djelitelj koji nije jedan od a. Moramo dokazati da je b prost broj koristeći metodu kontradikcije.

Recimo da je b složeni broj. Odavde imamo da postoji djelitelj za b, koji je različit od 1 kao i od b. Takav djelitelj se označava kao b 1 . Potrebno je ispuniti uvjet 1< b 1 < b je dovršen.

Iz uvjeta se vidi da je a djeljivo s b, b je djeljivo s b 1, što znači da se pojam djeljivosti izražava na sljedeći način: a = b q i b = b 1 q 1 , odakle je a = b 1 (q 1 q) , gdje su q i q 1 su cijeli brojevi. Prema pravilu množenja cijelih brojeva imamo da je umnožak cijelih brojeva cijeli broj s jednakošću oblika a = b 1 · (q 1 · q) . Vidi se da je b 1 je djelitelj od a. Nejednakost 1< b 1 < b ne podudaranja, jer dobivamo da je b najmanji pozitivni djelitelj koji nije 1 od a.

Teorem 2

Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Dokaz 2

Pretpostavimo da uzmemo konačan broj prirodnih brojeva n i označimo kao p 1 , p 2 , … , p n . Razmotrimo varijantu pronalaženja prostog broja različitog od navedenih.

Razmotrimo broj p koji je jednak p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Nije jednak svakom od brojeva koji odgovaraju prostim brojevima oblika p 1 , p 2 , … , p n . Broj p je prost. Tada se teorem smatra dokazanim. Ako je složen, tada trebamo uzeti zapis p n + 1 i pokazuju neusklađenost djelitelja s bilo kojim od p 1 , p 2 , … , p n .

Kad to ne bi bilo tako, onda bi na temelju svojstva djeljivosti umnoška p 1 , p 2 , … , p n , dobivamo da bi bio djeljiv s p n + 1 . Primijetimo da je izraz p n + 1 broj p je podijeljen jednak zbroju p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Dobivamo da je izraz p n + 1 drugi član ovog zbroja, koji je jednak 1, mora se podijeliti, ali to je nemoguće.

Može se vidjeti da se bilo koji prosti broj može naći među bilo kojim brojem zadanih prostih brojeva. Slijedi da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Budući da ima puno prostih brojeva, tablice su ograničene na brojeve 100, 1000, 10000 i tako dalje.

Prilikom sastavljanja tablice prostih brojeva treba uzeti u obzir činjenicu da takav zadatak zahtijeva sekvencijalnu provjeru brojeva, počevši od 2 do 100. Ako djelitelja nema, upisuje se u tablicu, a ako je složen, ne upisuje se u tablicu.

Razmotrimo korak po korak.

Ako počnete s brojem 2, onda on ima samo 2 djelitelja: 2 i 1, što znači da se može unijeti u tablicu. Također s brojem 3 . Broj 4 je složen, treba ga rastaviti na 2 i 2. Broj 5 je prost, što znači da se može fiksirati u tablici. Učinite to do broja 100.

Ova metoda je nezgodna i dugotrajna. Možete napraviti stol, ali ćete morati potrošiti puno vremena. Potrebno je koristiti kriterije djeljivosti, što će ubrzati proces pronalaženja djelitelja.

Metoda pomoću Eratostenovog sita smatra se najprikladnijom. Pogledajmo donje tablice. Za početak su napisani brojevi 2, 3, 4, ..., 50.

Sada trebate prekrižiti sve brojeve koji su višekratnici broja 2. Napravite uzastopno precrtavanje. Dobijamo tablicu oblika:

Prijeđimo na precrtavanje brojeva koji su višekratnici broja 5. Dobivamo:

Precrtavamo brojeve koji su višekratnici broja 7, 11. Konačno stol izgleda

Prijeđimo na formulaciju teorema.

Teorem 3

Najmanji pozitivni djelitelj koji nije 1 osnovnog broja a ne prelazi a , gdje je a aritmetički korijen zadanog broja.

Dokaz 3

Potrebno je označiti b kao najmanji djelitelj složenog broja a. Postoji cijeli broj q, gdje je a = b · q, i imamo da je b ≤ q. Nejednakost oblika b > q jer je povrijeđen uvjet. Obje strane nejednadžbe b ≤ q treba pomnožiti bilo kojim pozitivnim brojem b koji nije jednak 1. Dobivamo da je b b ≤ b q , gdje je b 2 ≤ a i b ≤ a .

Iz dokazanog teorema je vidljivo da brisanje brojeva u tablici dovodi do toga da je potrebno početi s brojem koji je jednak b 2 i zadovoljava nejednakost b 2 ≤ a . Odnosno, ako prekrižite brojeve koji su višekratnici broja 2, onda proces počinje od broja 4, a oni koji su višekratnici broja 3 počinje od broja 9 i tako dalje do 100.

Sastavljanje takve tablice pomoću Eratostenovog teorema kaže da će, kada se precrtaju svi složeni brojevi, ostati prosti koji ne prelaze n. U primjeru gdje je n = 50, imamo da je n = 50. Odavde dobivamo da Eratostenovo sito prosijava sve složene brojeve koji nisu veći po vrijednosti od vrijednosti korijena iz 50. Traženje brojeva vrši se precrtavanjem.

Prije rješavanja potrebno je saznati je li broj prost ili složen. Često se koriste kriteriji djeljivosti. Pogledajmo to u primjeru u nastavku.

Primjer 1

Dokažite da je 898989898989898989 složeni broj.

Riješenje

Zbroj znamenki zadanog broja je 9 8 + 9 9 = 9 17 . Dakle, broj 9 17 je djeljiv s 9, prema znaku djeljivosti s 9. Iz toga slijedi da je složena.

Takvi znakovi ne mogu dokazati primarnost broja. Ako je potrebna provjera, potrebno je poduzeti druge korake. Najprikladniji način je nabrajanje brojeva. Tijekom procesa mogu se pronaći prosti i složeni brojevi. Odnosno, brojevi u vrijednosti ne bi smjeli premašiti a . To jest, broj a mora se rastaviti na proste faktore. ako je to točno, tada se broj a može smatrati prostim.

Primjer 2

Odredite složeni ili prosti broj 11723.

Riješenje

Sada trebate pronaći sve djelitelje za broj 11723. Treba procijeniti 11723 .

Odavde vidimo da je 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 i 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Za točniju procjenu broja 11723 potrebno je napisati izraz 108 2 = 11 664, a 109 2 = 11 881 , onda 108 2 < 11 723 < 109 2 . Iz toga proizlazi da je 11723. god< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Prilikom rastavljanja dobivamo da je 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 su svi prosti brojevi. Cijeli ovaj proces može se prikazati kao podjela po stupcu. Odnosno, podijelite 11723 s 19. Broj 19 je jedan od njegovih faktora, jer dobivamo dijeljenje bez ostatka. Oslikajmo podjelu stupcem:

Iz toga slijedi da je 11723 složeni broj, jer osim sebe i 1 ima djelitelj 19 .

Odgovor: 11723 je složeni broj.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom ćemo članku proučavati prosti i složeni brojevi. Prvo dajemo definicije prostih i složenih brojeva, a također dajemo i primjere. Nakon toga dokazujemo da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Zatim pišemo tablicu prostih brojeva i razmatramo metode sastavljanja tablice prostih brojeva, posebno ćemo se pažljivo zadržati na metodi koja se zove Eratostenovo sito. Zaključno, ističemo glavne točke koje treba uzeti u obzir pri dokazivanju da je određeni broj prost ili složen.

Navigacija po stranici.

Prosti i složeni brojevi - definicije i primjeri

Koncepti prostih brojeva i složenih brojeva odnose se na one koji su veći od jedan. Takvi se brojevi, ovisno o broju njihovih pozitivnih djelitelja, dijele na proste i složene brojeve. Pa da razumijemo definicije prostih i složenih brojeva, morate imati dobru ideju o tome što je djelitelja i višekratnika.

Definicija.

primarni brojevi su cijeli brojevi, veći od jedan, koji imaju samo dva pozitivna djelitelja, naime sebe i 1 .

Definicija.

Složeni brojevi su cijeli brojevi veći od jedan koji imaju najmanje tri pozitivna djelitelja.

Zasebno napominjemo da se broj 1 ne odnosi ni na proste ni na složene brojeve. Jedinica ima samo jedan pozitivni djelitelj, a to je sam broj 1. Ovo razlikuje broj 1 od svih ostalih prirodnih brojeva koji imaju najmanje dva pozitivna djelitelja.

S obzirom da su prirodni brojevi , a jedinica ima samo jedan pozitivni djelitelj, mogu se dati i druge formulacije zvučnih definicija prostih i složenih brojeva.

Definicija.

primarni brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo dva pozitivna djelitelja.

Definicija.

Složeni brojevi su prirodni brojevi koji imaju više od dva pozitivna djelitelja.

Imajte na umu da je svaki pozitivni cijeli broj veći od jedan ili prost broj ili složeni broj. Drugim riječima, ne postoji niti jedan cijeli broj koji nije ni prost ni složen. Ovo slijedi iz svojstva djeljivosti, što kaže da su brojevi 1 i a uvijek djelitelji bilo kojeg cijelog broja a .

Na temelju informacija iz prethodnog paragrafa, možemo dati sljedeću definiciju složenih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi koji nisu prosti nazivaju se sastavni.

Donesimo primjeri prostih i složenih brojeva.

Kao primjere složenih brojeva dajemo 6, 63, 121 i 6697. Ova izjava također zahtijeva objašnjenje. Broj 6, osim pozitivnih djelitelja 1 i 6, također ima djelitelje 2 i 3, budući da je 6 \u003d 2 3, dakle 6 je stvarno složeni broj. Pozitivni djelitelji broja 63 su brojevi 1, 3, 7, 9, 21 i 63. Broj 121 jednak je umnošku 11 11, pa su njegovi pozitivni djelitelji 1, 11 i 121. A broj 6697 je složen, jer su njegovi pozitivni djelitelji, osim 1 i 6697, i brojevi 37 i 181.

U zaključku ovog paragrafa, želio bih skrenuti pozornost na činjenicu da prosti brojevi i relativno prostih brojeva- daleko od toga da je isto.

Tablica prostih brojeva

Prosti brojevi, radi lakšeg korištenja, bilježe se u tablici koja se naziva tablica prostih brojeva. Ispod je tablica prostih brojeva do 1000 .

Postavlja se logično pitanje: “Zašto smo popunili tablicu prostih brojeva samo do 1000, zar nije moguće napraviti tablicu svih postojećih prostih brojeva”?

Odgovorimo najprije na prvi dio ovog pitanja. Za većinu problema koji uključuju proste brojeve, prosti brojevi do tisuću bit će dovoljni. U drugim slučajevima, najvjerojatnije, morat ćete pribjeći nekim posebnim tehnikama rješenja. Iako, naravno, možemo postaviti tablice prostih brojeva do proizvoljno velikog konačnog pozitivnog cijelog broja, bilo da je to 10 000 ili 1 000 000 000, u sljedećem odlomku ćemo govoriti o metodama za sastavljanje tablica prostih brojeva, posebno ćemo analizirati metodu nazvao.

Sada pogledajmo mogućnost (ili bolje rečeno, nemogućnost) sastavljanja tablice svih postojećih prostih brojeva. Ne možemo napraviti tablicu svih prostih brojeva jer prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Posljednja tvrdnja je teorem koji ćemo dokazati nakon sljedećeg pomoćnog teorema.

Teorema.

Najmanji pozitivni djelitelj prirodnog broja veći od 1 osim 1 je prost broj.

Dokaz.

Neka a je prirodni broj veći od jedan, a b je najmanji pozitivni djelitelj koji nije jedan od a. Dokažimo da je b prost broj kontradikcijom.

Pretpostavimo da je b složeni broj. Zatim postoji djelitelj broja b (označimo ga b 1 ), koji je različit i od 1 i od b . Ako još uzmemo u obzir da apsolutna vrijednost djelitelja ne prelazi apsolutnu vrijednost djelitelja (to znamo iz svojstava djeljivosti), tada vrijedi uvjet 1

Kako je broj a po uvjetu djeljiv s b, a rekli smo da je b djeljiv s b 1, onda nam koncept djeljivosti dopušta da govorimo o postojanju takvih cijelih brojeva q i q 1 da je a=b q i b=b 1 q 1 , odakle a= b 1 ·(q 1 ·q) . Iz toga slijedi da je umnožak dva cijela broja cijeli broj, a jednakost a=b 1 ·(q 1 ·q) znači da je b 1 djelitelj broja a . Uzimajući u obzir gornje nejednakosti 1

Sada možemo dokazati da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.