Kako napraviti konstrukciju kuta jednakog zadanom. Kako konstruirati kut jednak zadanom

Često je potrebno nacrtati (“sagraditi”) kut koji bi bio jednak zadanom kutu, a konstrukcija se mora obaviti bez pomoći kutomjera, već samo pomoću šestara i ravnala. Znajući kako izgraditi trokut na tri strane, možemo riješiti ovaj problem. Neka na ravnoj liniji MN(dev. 60 i 61) potrebno je izgraditi na točki K kut jednak kutu B. To znači da je potrebno s točke K povući ravnu liniju constituting MN kut jednak B.

Da biste to učinili, označite točku na svakoj strani zadanog kuta, na primjer ALI i IZ, i povežite se ALI i IZ ravna crta. Nabavite trokut ABC. Gradimo sada na ravnoj liniji MN ovaj trokut tako da njegov vrh NA bio u točki Do: tada će ova točka imati kut jednak kutu NA. Izgradite trokut na tri strane Sunce, VA i AC možemo: odgoditi (dev. 62) od točke Do segment linije kl, jednak Sunce; dobiti bod L; oko K, kao blizu središta, opisujemo krug s radijusom VA, i okolo L- radius SA. Točka R spojite sjecišta kružnica sa Do i Z, - dobivamo trokut KPL, trokutasti ABC; ima kutak Do= angl. NA.

Ova konstrukcija je brža i praktičnija ako je odozgo NA odvojite jednake segmente (s jednim otpuštanjem šestara) i, bez pomicanja nogu, opišite istim radijusom krug oko točke DO, kao blizu centra.

Kako prerezati kut na pola

Neka je potrebno podijeliti kut ALI(Sl. 63) šestarom i ravnalom, bez kutomjera, podijeliti na dva jednaka dijela. Pokazat ćemo vam kako to učiniti.

Od vrha ALI nacrtati jednake segmente na stranicama kuta AB i AC(Sl. 64; to se radi jednim otpuštanjem šestara). Zatim stavljamo vrh kompasa na točke NA i IZ i opišite jednakim radijusima lukove koji se sijeku u točki D. ravna linija spajanja ALI a D dijeli kut ALI pola.

Objasnimo zašto. Ako je točka D povezivanje sa NA i C (slika 65), tada dobivate dva trokuta ADC i adb, u koji imaju zajedničku stranu OGLAS; strana AB jednaka strani AC, a BD jednako je CD. Trokuti su na tri stranice jednaki, pa su im i kutovi jednaki. loše i DAC, leže nasuprot jednakih strana BD i CD. Stoga, ravna linija OGLAS dijeli kut VAS pola.

Prijave

12. Konstruiraj kut od 45° bez kutomjera. Na 22°30'. Na 67°30'.

Rješenje Dijeleći pravi kut na pola, dobivamo kut od 45 °. Podijelimo li kut od 45° na pola, dobijemo kut od 22°30'. Konstruiranjem zbroja kutova 45° + 22°30' dobivamo kut od 67°30'.

Kako nacrtati trokut s dvije stranice i kutom između njih

Neka se na terenu traži udaljenost između dva miljokaza ALI i NA(uređaj 66), odvojena neprohodnom močvarom.

Kako to učiniti?

Možemo učiniti ovo: osim močvare, izaberemo takvu točku IZ, odakle su vidljiva oba miljokaza i moguće je mjeriti udaljenosti AC i Sunce. Kutak IZ mjerimo uz pomoć posebnog goniometrijskog uređaja (zvanog astrolab). Prema tim podacima, tj. prema izmjerenim stranama AC i Sunce i kut IZ između njih, izgraditi trokut ABC negdje na prikladnom mjestu kako slijedi. Na primjer, izmjerivši jednu poznatu stranu u ravnoj liniji (slika 67). AC, gradite s njim u točki IZ kutak IZ; s druge strane ovog kuta mjeri se poznata stranica Sunce. Krajevi poznatih stranica, tj. točaka ALI i NA povezani ravnom linijom. Ispada trokut u kojem dvije strane i kut između njih imaju unaprijed određene dimenzije.

Iz načina konstrukcije jasno je da se može konstruirati samo jedan trokut s obzirom na dvije stranice i kut između njih. dakle, ako su dvije stranice jednog trokuta jednake dvjema stranicama drugog i kutovi između tih stranica su isti, tada se takvi trokuti mogu postaviti jedan na drugi po svim točkama, tj. njihove treće stranice i ostali kutovi također moraju biti jednaki . To znači da jednakost dviju stranica trokuta i kuta između njih može poslužiti kao znak potpune jednakosti tih trokuta. Ukratko:

Trokuti su jednaki prema dvjema stranicama i kutovima između njih.

U konstrukcijskim zadacima razmatrat ćemo konstrukciju geometrijskog lika, koja se može izvesti pomoću ravnala i šestara.

Pomoću ravnala možete:

proizvoljna linija;

proizvoljni pravac koji prolazi kroz zadanu točku;

pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke.

Koristeći šestar, možete opisati kružnicu zadanog polumjera iz zadanog središta.

Šestar se može koristiti za crtanje segmenta na danoj liniji iz dane točke.

Razmotrite glavne zadatke za izgradnju.

Zadatak 1. Konstruirajte trokut sa zadanim stranicama a, b, c (slika 1).

Riješenje. Uz pomoć ravnala nacrtajte proizvoljnu ravnu crtu i na njoj uzmite proizvoljnu točku B. Otvorom šestara jednakim a opisujemo kružnicu sa središtem B i polumjerom a. Neka je C točka njegova sjecišta s pravcem. Otvorom šestara jednakim c opisujemo kružnicu iz središta B, a otvorom šestara jednakim b - kružnicu iz središta C. Neka je A sjecište tih kružnica. Trokut ABC ima stranice jednake a, b, c.

Komentar. Da bi tri odsječka služila kao stranice trokuta, potrebno je da veći od njih bude manji od zbroja druga dva (i< b + с).

Zadatak 2.

Riješenje. Ovaj kut s vrhom A i gredom OM prikazani su na slici 2.

Nacrtaj proizvoljnu kružnicu sa središtem u vrhu A zadanog kuta. Neka su B i C točke presjeka kruga sa stranama kuta (slika 3, a). Nacrtajmo krug polumjera AB sa središtem u točki O - početnoj točki ove zrake (slika 3, b). Točku presjeka ove kružnice sa zadanom zrakom označit ćemo kao S 1 . Opišimo kružnicu sa središtem C 1 i polumjerom BC. Točka B 1 sjecišta dviju kružnica leži na stranici traženog kuta. To proizlazi iz jednakosti Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (treći kriterij za jednakost trokuta).

Zadatak 3. Konstruiraj simetralu zadanog kuta (slika 4).

Riješenje. Iz vrha A zadanog kuta, kao iz središta, nacrtamo kružnicu proizvoljnog radijusa. Neka su B i C točke njegova sjecišta sa stranicama kuta. Iz točaka B i C s istim polumjerom opisujemo kružnice. Neka je D njihova sjecišna točka, različita od A. Zraka AD dijeli kut A na pola. To proizlazi iz jednakosti ΔABD = ΔACD (treći kriterij jednakosti trokuta).

Zadatak 4. Nacrtajte središnju okomitu na ovaj segment (slika 5).

Riješenje. Proizvoljnim ali identičnim šestarskim otvorom (veliki 1/2 AB) opisujemo dva luka sa središtima u točkama A i B, koji se sijeku u nekim točkama C i D. Pravac CD bit će tražena okomica. Doista, kao što se vidi iz konstrukcije, svaka od točaka C i D jednako je udaljena od A i B; stoga te točke moraju ležati na simetrali okomice na segment AB.

Zadatak 5. Podijelite ovaj segment na pola. Rješava se na isti način kao i problem 4 (vidi sl. 5).

Zadatak 6. Kroz zadanu točku povuci pravac okomit na zadani pravac.

Riješenje. Moguća su dva slučaja:

1) zadana točka O leži na zadanoj pravci a (slika 6).

Iz točke O nacrtamo kružnicu proizvoljnog polumjera koja siječe pravac a u točkama A i B. Iz točaka A i B nacrtamo kružnice istog polumjera. Neka je O 1 njihova sjecišna točka različita od O. Dobivamo OO 1 ⊥ AB. Doista, točke O i O 1 jednako su udaljene od krajeva segmenta AB i stoga leže na simetrali okomici na ovaj segment.

Konstruiranje kuta jednakog zadanom. Zadano je: kut A. A Konstruirani kut O. B C C D E Dokažite: A \u003d O Dokaz: razmotrite trokute ABC i ODE. 1.AC=OE, kao polumjeri jedne kružnice. 2.AB=OD, kao polumjeri jedne kružnice. 3.BC=DE, kao polumjeri jedne kružnice. ABC \u003d ODE (3 nagrade) A \u003d O

Dokažimo da je poluprava AB simetrala A P L A N 1. Dodatna konstrukcija. 2. Dokažimo jednakost trokuta ACB i ADB. 3. Zaključci A B C D 1.AC=AD, kao polumjeri jedne kružnice. 2.CB=DB, kao polumjeri jedne kružnice. 3.AB - zajednička strana. ASV \u003d ADB, prema III znaku jednakosti trokuta Greda AB - simetrala Konstrukcija simetrale kuta.

A N B A C 1 = 2 12 U r/b trokutu AMB isječak MC je simetrala, a time i visina. Zatim, i MN. M Dokažimo da je MN. Pogledajmo gdje su kompasi. AM=AN=MB=BN kao jednaki radijusi. MN je zajednička strana. MBN= ČOVJEK, na tri strane Konstrukcija okomitih linija. M a

Q P VA APQ \u003d BPQ, na tri strane \u003d 2 trokuta ARV r / b. Dužnica RO je simetrala, a time i središnja. Tada je točka O polovište dužine AB. O Dokažimo da je O polovište duži AB. Konstrukcija sredine segmenta

D S Konstrukcija trokuta kojemu su zadane dvije stranice i kut između njih. Kut hk h 1. Gradimo gredu a. 2. Odvojimo dužinu AB koja je jednaka P 1 Q 1. 3. Konstruiraj kut jednak ovome. 4. Odvojimo dužinu AC jednaku P 2 Q 2. B A Trokut ABC je traženi. Opravdajte korištenje znaka I. Zadano: Segmenti P 1 Q 1 i P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D S Konstrukcija trokuta po stranici i dva uz nju priležuća kuta. Kut h 1 k 1 h2h2 1. Sagradimo gredu a. 2. Odvojimo dužinu AB koja je jednaka P 1 Q 1. 3. Konstruirajmo kut jednak zadanom h 1 k 1. 4. Konstruirajmo kut jednak h 2 k 2. B Trokut ABC je traženi. Opravdajte korištenje drugog znaka. Zadano: Segment P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Konstruirajmo zraku. 2. Odvojite dužinu AB koja je jednaka P 1 Q 1. 3. Konstruirajte luk sa središtem u točki A i polumjerom P 2 Q 2. 4. Konstruirajte luk sa središtem u točki B i polumjerom P 3 Q 3. B A Trokut ABC željeni. Opravdajte korištenje znaka III. Zadani su: odsječci P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 i P2P2 Q3Q3 Konstrukcija trokuta na tri stranice.

Svrha lekcije: Formiranje sposobnosti izgradnje kuta jednakog zadanom. Zadatak: Stvoriti uvjete za svladavanje algoritma konstrukcije pomoću šestara i ravnala kuta jednakog zadanom; stvoriti uvjete za svladavanje redoslijeda radnji pri rješavanju konstrukcijskog problema (analiza, konstrukcija, dokaz); usavršiti vještinu korištenja svojstava kružnice, znakova jednakosti trokuta za rješavanje problema dokaza; pružiti mogućnost primjene novih vještina u rješavanju problema

U geometriji se razlikuju konstrukcijski zadaci koji se mogu riješiti samo uz pomoć dva alata: šestara i ravnala bez podjele mjerila. Ravnalo vam omogućuje da nacrtate proizvoljnu ravnu liniju, kao i da izgradite ravnu liniju koja prolazi kroz dvije zadane točke; pomoću šestara možete nacrtati kružnicu proizvoljnog polumjera, kao i kružnicu sa središtem u danoj točki i polumjerom jednakim danom segmentu. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Zadano: kut A. A Konstruirano: kut O. B C K D E Dokažite: A = O Dokaz: razmotrite trokute ABC i ODE. 1.AC=OE, kao polumjeri jedne kružnice. 2.AB=OD, kao polumjeri jedne kružnice. 3.BC=DE, kao polumjeri jedne kružnice. ABC \u003d ODE (3 nagrade) A \u003d O Zadatak 2. Od zadane grede odvojite kut jednak ovome

Dokažimo da je poluprava AB simetrala dužine A 3. Dokaz: Dodatna konstrukcija (spojimo točku B s točkama D i C). Promotrimo ASV i ADB: A B C D 1.AC=AD kao polumjere jedne kružnice. 2.CB=DB, kao polumjeri jedne kružnice. 3. AB - zajednička strana. ASV \u003d ADB, prema III znaku jednakosti trokuta Greda AB je simetrala 4. Istraživanje: Problem uvijek ima jedinstveno rješenje.

Shema za rješavanje konstrukcijskih zadataka: Analiza (crtanje željene figure, uspostavljanje veza zadanih i željenih elemenata, plan konstrukcije). Zgrada prema planu. Dokaz da figura zadovoljava uvjete zadatka. Istraživanje (kada i koliko rješenja problem ima?).