Kako se označavaju točke na koordinatnoj ravnini. Koordinatna ravnina: što je to? Kako označavati točke i graditi oblike na koordinatnoj ravnini

Matematika je prilično složena znanost. Proučavajući ga, potrebno je ne samo rješavati primjere i probleme, već i raditi s raznim figurama, pa čak i ravninama. Jedan od najčešće korištenih u matematici je koordinatni sustav u ravnini. Djeca su podučavana kako pravilno raditi s njim više od godinu dana. Stoga je važno znati što je to i kako s njim ispravno raditi.

Hajde da shvatimo što je ovaj sustav, koje radnje možete izvesti s njim, a također saznajte njegove glavne karakteristike i značajke.

Definicija pojma

Koordinatna ravnina je ravnina na kojoj je definiran određeni koordinatni sustav. Takvu ravninu definiraju dvije ravne linije koje se sijeku pod pravim kutom. Sjecište ovih linija je ishodište koordinata. Svaka točka na koordinatnoj ravnini dana je parom brojeva koji se nazivaju koordinate.

U školskom tečaju matematike učenici moraju vrlo blisko raditi s koordinatnim sustavom - na njemu graditi figure i točke, određivati ​​kojoj ravnini određena koordinata pripada, a također određivati ​​koordinate točke te ih pisati ili imenovati. Stoga, razgovarajmo detaljnije o svim značajkama koordinata. Ali prvo, dotaknimo se povijesti stvaranja, a zatim ćemo govoriti o tome kako raditi na koordinatnoj ravnini.

Referenca povijesti

Ideje o stvaranju koordinatnog sustava bile su u danima Ptolomeja. Već tada su astronomi i matematičari razmišljali o tome kako naučiti odrediti položaj točke na ravnini. Nažalost, u to vrijeme nije postojao nama poznati koordinatni sustav, pa su znanstvenici morali koristiti druge sustave.

U početku postavljaju točke određivanjem zemljopisne širine i dužine. Dugo je to bio jedan od najčešće korištenih načina mapiranja ovih ili onih informacija. No 1637. Rene Descartes stvorio je vlastiti koordinatni sustav, kasnije nazvan po "kartezijskom".

Već krajem XVII stoljeća. koncept "koordinatne ravnine" postao je široko korišten u svijetu matematike. Unatoč činjenici da je prošlo nekoliko stoljeća od nastanka ovog sustava, on se još uvijek široko koristi u matematici, pa čak iu životu.

Primjeri koordinatnih ravnina

Prije nego što govorimo o teoriji, dat ćemo nekoliko ilustrativnih primjera koordinatne ravnine kako biste je mogli zamisliti. Koordinatni sustav se prvenstveno koristi u šahu. Na ploči svaki kvadrat ima svoje koordinate - jedna koordinata slova, druga - digitalna. Uz njegovu pomoć možete odrediti položaj pojedine figure na ploči.

Drugi najupečatljiviji primjer je omiljena igra "Battleship". Sjetite se kako tijekom igranja imenujete koordinatu, na primjer, B3, pokazujući na taj način točno gdje ciljate. Istovremeno, prilikom postavljanja brodova postavljate točke na koordinatnoj ravnini.

Ovaj koordinatni sustav naširoko se koristi ne samo u matematici, logičkim igrama, već iu vojnim poslovima, astronomiji, fizici i mnogim drugim znanostima.

Koordinatne osi

Kao što je već spomenuto, u koordinatnom sustavu razlikuju se dvije osi. Razgovarajmo malo o njima, jer su od velike važnosti.

Prva os - apscisa - je vodoravna. Označava se kao ( Vol). Druga os je ordinata, koja prolazi okomito kroz referentnu točku i označava se kao ( Joj). Ove dvije osi tvore koordinatni sustav, dijeleći ravninu na četiri četvrtine. Ishodište se nalazi u sjecištu ove dvije osi i poprima vrijednost 0 . Samo ako ravninu tvore dvije osi koje se sijeku okomito i imaju referentnu točku, ona je koordinatna ravnina.

Također imajte na umu da svaka od osi ima svoj smjer. Obično je pri konstruiranju koordinatnog sustava uobičajeno smjer osi označiti u obliku strelice. Osim toga, prilikom konstruiranja koordinatne ravnine, svaka od osi je potpisana.

četvrtine

Recimo sada nekoliko riječi o takvom konceptu kao što su četvrtine koordinatne ravnine. Ravnina je podijeljena dvjema osima na četiri četvrtine. Svaki od njih ima svoj broj, dok je numeriranje ravnina suprotno od kazaljke na satu.

Svaka od četvrti ima svoje karakteristike. Dakle, u prvoj četvrtini apscisa i ordinata su pozitivne, u drugoj četvrtini apscisa je negativna, ordinata je pozitivna, u trećoj su i apscisa i ordinata negativne, u četvrtoj je apscisa pozitivna, a ordinata negativna.

Prisjećajući se ovih značajki, možete lako odrediti kojoj četvrtini pripada određena točka. Osim toga, ove vam informacije mogu biti korisne ako morate računati pomoću kartezijanskog sustava.

Rad s koordinatnom ravninom

Kada smo se pozabavili konceptom ravnine i razgovarali o njegovim četvrtinama, možemo prijeći na takav problem kao što je rad s ovim sustavom, a također razgovarati o tome kako staviti točke, koordinate figura na njega. Na koordinatnoj ravnini to nije tako teško kao što se na prvi pogled čini.

Prije svega, sam sustav je izgrađen, na njega su primijenjene sve važne oznake. Zatim slijedi rad izravno s točkama ili figurama. U ovom slučaju, čak i kada se konstruiraju figure, točke se prvo nanose na ravninu, a zatim se figure već crtaju.

Pravila za konstruiranje ravnine

Ako odlučite početi označavati oblike i točke na papiru, trebat će vam koordinatna ravnina. Na njemu su ucrtane koordinate točaka. Za izradu koordinatne ravnine potrebni su vam samo ravnalo i olovka. Prvo se povlači vodoravna apscisa, zatim okomita - ordinata. Važno je zapamtiti da se osi sijeku pod pravim kutom.

Sljedeća obavezna stavka je označavanje. Jedinice-segmenti označeni su i potpisani na svakoj od osi u oba smjera. To je učinjeno kako biste tada mogli raditi s avionom uz maksimalnu udobnost.

Označavanje točke

Sada razgovarajmo o tome kako iscrtati koordinate točaka na koordinatnoj ravnini. Ovo su osnove koje trebate znati kako biste uspješno postavili različite oblike na ravninu, pa čak i označili jednadžbe.

Prilikom konstruiranja točaka treba zapamtiti kako su njihove koordinate ispravno zabilježene. Dakle, obično postavljajući točku, dva broja su napisana u zagradama. Prva znamenka označava koordinatu točke duž apscisne osi, druga - duž ordinatne osi.

Točku treba graditi na ovaj način. Prvo označite na osi Vol danu točku, zatim označite točku na osi Joj. Zatim nacrtajte zamišljene linije iz ovih oznaka i pronađite mjesto njihovog sjecišta - to će biti zadana točka.

Sve što trebate učiniti je označiti i potpisati. Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno i ne zahtijeva posebne vještine.

Postavljanje oblika

Sada prijeđimo na takvo pitanje kao što je konstrukcija figura na koordinatnoj ravnini. Da biste izgradili bilo koju figuru na koordinatnoj ravnini, trebali biste znati postaviti točke na nju. Ako znate kako to učiniti, postavljanje figure u avion nije tako teško.

Prije svega, trebat će vam koordinate točaka figure. Na njima ćemo primijeniti one koje ste odabrali na naš koordinatni sustav.Razmotrimo crtanje pravokutnika, trokuta i kruga.

Počnimo s pravokutnikom. Nanošenje je prilično jednostavno. Najprije se na ravninu primjenjuju četiri točke koje označavaju kutove pravokutnika. Tada su sve točke uzastopno povezane jedna s drugom.

Crtanje trokuta nije ništa drugačije. Jedino što ima tri ugla, što znači da su na ravninu nanesene tri točke koje označavaju njezine vrhove.

Što se tiče kruga, ovdje biste trebali znati koordinate dviju točaka. Prva točka je središte kruga, a druga točka koja označava njegov polumjer. Ove dvije točke su ucrtane u ravninu. Zatim se uzima šestar, mjeri se udaljenost između dvije točke. Vrh šestara postavlja se u točku koja označava središte i opisuje se krug.

Kao što vidite, ovdje također nema ništa komplicirano, glavna stvar je da uvijek postoji ravnalo i kompas pri ruci.

Sada znate kako iscrtati koordinate oblika. Na koordinatnoj ravnini to nije tako teško učiniti, kao što se može činiti na prvi pogled.

zaključke

Dakle, s vama smo razmotrili jedan od najzanimljivijih i najosnovnijih pojmova matematike s kojim se svaki učenik mora nositi.

Utvrdili smo da je koordinatna ravnina ravnina koja nastaje sjecištem dviju osi. Uz njegovu pomoć možete postaviti koordinate točaka, staviti oblike na njega. Zrakoplov je podijeljen na četvrtine, od kojih svaka ima svoje karakteristike.

Glavna vještina koju treba razviti pri radu s koordinatnom ravninom je sposobnost ispravnog iscrtavanja zadanih točaka na njoj. Da biste to učinili, trebali biste znati točan položaj osi, značajke četvrti, kao i pravila po kojima su postavljene koordinate točaka.

Nadamo se da su informacije koje smo pružili bile dostupne i razumljive, a također su vam bile korisne i pomogle da bolje razumijete ovu temu.

Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je u kartici "Job Files" u PDF formatu

Uvod

U govoru odraslih mogli ste čuti sljedeću frazu: "Ostavite mi svoje koordinate." Ovaj izraz znači da sugovornik mora ostaviti svoju adresu ili broj telefona po kojem ga se može pronaći. Oni od vas koji su igrali "morsku bitku" koristili su odgovarajući koordinatni sustav. Sličan koordinatni sustav koristi se u šahu. Sjedala u gledalištu kina označena su s dva broja: prvi broj označava broj reda, a drugi je broj sjedala u tom redu. Ideja određivanja položaja točke na ravnini pomoću brojeva nastala je u antici. Koordinatni sustav prožima cijeli praktični život čovjeka i ima ogromnu praktičnu primjenu. Stoga smo odlučili izraditi ovaj projekt kako bismo proširili svoje znanje o temi "Koordinatna ravnina"

Ciljevi projekta:

upoznati povijest nastanka pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini;

eminentne osobe koje se bave ovom temom;

pronaći zanimljive povijesne činjenice;

dobro percipiraju koordinate na uho; izvoditi konstrukcije jasno i točno;

pripremiti prezentaciju.

Poglavlje I. Koordinatna ravnina

Ideja da se položaj točke na ravnini odredi brojevima nastala je još u antici - prvenstveno među astronomima i geografima prilikom sastavljanja zvjezdanih i geografskih karata, kalendara.

§jedan. Ishodište koordinata. Koordinatni sustav u geografiji

200 godina prije Krista grčki znanstvenik Hiparh uveo je geografske koordinate. Predložio je crtanje paralela i meridijana na geografskoj karti te označavanje zemljopisne širine i dužine brojevima. Pomoću ova dva broja možete točno odrediti položaj otoka, sela, planine ili bunara u pustinji i staviti ih na kartu ili globus. Naučeći odrediti zemljopisnu širinu i dužinu lokacije broda u otvorenom svijetu , pomorci su mogli izabrati smjer koji im je potreban.

Istočna dužina i sjeverna širina označene su brojevima sa znakom plus, a zapadna dužina i južna širina označene su predznakom minus. Dakle, par brojeva sa predznakom jednoznačno definira točku na kugli zemaljskoj.

Geografska širina? - kut između viska u određenoj točki i ravnine ekvatora, računajući od 0 do 90 u oba smjera od ekvatora. Geografska dužina? - kut između ravnine meridijana koji prolazi kroz danu točku i ravnine početka meridijana (vidi Greenwich meridijan). Geografske dužine od 0 do 180 istočno od početka meridijana nazivaju se istočnim, a zapadno - zapadnim.

Da biste pronašli neki objekt u gradu, u većini slučajeva dovoljno je znati njegovu adresu. Poteškoće nastaju ako trebate objasniti gdje se nalazi, na primjer, ljetna kućica, mjesto u šumi. Geografske koordinate služe kao univerzalno sredstvo za određivanje lokacije.

Prilikom ulaska u hitan slučaj, osoba se prije svega mora moći snalaziti na terenu. Ponekad je potrebno odrediti geografske koordinate vaše lokacije, na primjer, za prijenos u službu spašavanja ili u druge svrhe.

U modernoj navigaciji standardno se koristi svjetski koordinatni sustav WGS-84. Svi GPS navigatori i veliki kartografski projekti na Internetu rade u ovom koordinatnom sustavu. Koordinate u sustavu WGS-84 često se koriste i svi ih razumiju kao i univerzalno vrijeme. Općenito dostupna točnost pri radu s geografskim koordinatama je 5 - 10 metara na tlu.

Zemljopisne koordinate su označeni brojevi (zemljopisna širina od -90° do +90°, zemljopisna dužina od -180° do +180°) i mogu se pisati u različitim oblicima: u stupnjevima (ddd.ddddd°); stupnjevi i minute (ddd° mm.mmm"); stupnjevi, minute i sekunde (ddd° mm" ss.s"). Obrasci za snimanje mogu se lako pretvoriti jedan u drugi (1 stupanj = 60 minuta, 1 minuta = 60 sekundi) Za označavanje znaka koordinata često se koriste slova prema nazivu kardinalnih točaka: N i E - sjeverna širina i istočna dužina - pozitivni brojevi, S i W - južna širina i zapadna dužina - negativni brojevi.

Oblik zapisa koordinata u STUPNJEVIMA je najprikladniji za ručni unos i podudara se s matematičkim zapisom broja. Oblik koordinata STUPNJEVI I MINUTE je preferirani format u mnogim slučajevima, to je zadani format u većini GPS navigatora i standard koji se koristi u zrakoplovstvu i na moru. Klasični oblik zapisivanja koordinata u STUPNJEVIMA, MINUTAMA I SEKUNDAMA zapravo nema mnogo praktične primjene.

§2. Koordinatni sustav u astronomiji. Mitovi o zviježđima

Kao što je gore spomenuto, ideja da se odredi položaj točke na ravnini pomoću brojeva nastala je u davna vremena među astronomima prilikom sastavljanja zvjezdanih karata. Ljudi su trebali računati vrijeme, predviđati sezonske pojave (plime i oseke, sezonske kiše, poplave), morali su se kretati terenom dok su putovali.

Astronomija je znanost o zvijezdama, planetima, nebeskim tijelima, njihovoj građi i razvoju.

Prošle su tisuće godina, znanost je zakoračila daleko naprijed, a osoba još uvijek ne može otrgnuti svoj pogled pun divljenja od ljepote noćnog neba.

Zviježđa su dijelovi zvjezdanog neba, karakteristični likovi koje čine sjajne zvijezde. Cijelo nebo podijeljeno je na 88 sazviježđa koja olakšavaju snalaženje među zvijezdama. Većina imena zviježđa dolazi iz antike.

Najpoznatije zviježđe je Veliki medvjed. U starom Egiptu zvali su ga "Nilski konj", a Kazahstanci su ga zvali "Konj na uzici", iako izvana zviježđe ne nalikuje nijednoj životinji. Što je?

Stari Grci su imali legendu o zviježđima Velikog i Malog medvjeda. Svemogući bog Zeus odlučio je oženiti prelijepu nimfu Calisto, jednu od sluškinja božice Afrodite, protivno željama potonje. Kako bi spasio Calisto od progona božice, Zeus je pretvorio Calisto u Velikog medvjeda, njezinog voljenog psa u Malog medvjeda i odnio ih na nebo. Prenesite sazviježđa Velikog i Malog medvjeda sa zvjezdanog neba na koordinatnu ravninu. . Svaka od zvijezda Ursa Major Bucket ima svoje ime.

VELIKI MEDVJED

Prepoznajem po KANTI!

Ovdje svjetluca sedam zvijezda

A evo kako se zovu:

DUBHE osvjetljava tamu,

Uz njega gori MERAK,

Sa strane je FEKDA s MEGRETSOM,

Drzak mladić.

Iz Megretsa za polazak

ALIOT se nalazi,

A iza njega - MITSAR s ALCOROM

(Ovo dvoje horski sjaje).

Zatvara našu kantu

Neusporediv BENETNASH.

Pokazuje na oko

Put do sazviježđa ČIZME,

Tamo gdje prekrasni ARCTUR sjaji,

Sad će to svi primijetiti!

Ništa manje lijepa legenda o zviježđima Cepheus, Cassiopeia i Andromeda.

Etiopijom je nekoć vladao kralj Kefej. Jednom je njegova žena, kraljica Kasiopeja, imala neopreznost da se pohvali svojom ljepotom pred stanovnicima mora - Nereidama. Potonji se, uvrijeđen, požalio bogu mora Posejdonu, a vladar mora, razbješnjen Kasiopejinom smjelošću, pustio je morsko čudovište Kitu na obale Etiopije. Kako bi spasio svoje kraljevstvo od uništenja, Kefej je, po savjetu proročišta, odlučio žrtvovati čudovište i dati mu svoju voljenu kćer Andromedu da je pojede. Vezao je Andromedu za obalnu stijenu i ostavio je da čeka odluku svoje sudbine.

U međuvremenu, na drugom kraju svijeta, mitski junak Perzej je napravio odvažan podvig. Prošao je na osamljeni otok gdje su živjele gorgone - nevjerojatna čudovišta u obliku žena sa zmijama na glavi umjesto kose. Izgled gorgona bio je toliko užasan da su se svi koje su pogledali odmah pretvarali u kamen.

Iskoristivši san ovih čudovišta, Perzej je jednom od njih, Gorgoni Meduzi, odsjekao glavu. U tom trenutku iz odsječenog tijela Meduze odleprša konj Pegaz. Perzej je zgrabio glavu meduze, skočio na Pegaza i pojurio kroz zrak u svoju domovinu. Kad je letio iznad Etiopije, vidio je Andromedu okovanu za stijenu. U ovom trenutku, kit je već izronio iz morskih dubina, spremajući se progutati svoj plijen. Ali Perzej, žureći u smrtnu bitku s Keithom, porazio je čudovište. Pokazao je Keithu glavu meduze koja još nije izgubila snagu, a čudovište se okamenilo, pretvorivši se u otok. Što se tiče Perzeja, oslobodivši Andromedu okova, vratio ju je ocu, a Kefej, dirnut srećom, dao je Andromedu za ženu Perzeju. Tako je sretno završila ova priča čije su glavne likove stari Grci smjestili u raj.

Na zvjezdanoj karti možete pronaći ne samo Andromedu s ocem, majkom i mužem, već i čarobnog konja Pegaza i krivca za sve nevolje - čudovište Kitu.

Zviježđe Kit se nalazi ispod Pegaza i Andromede. Nažalost, nije obilježeno nikakvim karakterističnim sjajnim zvijezdama i stoga spada u red manjih zviježđa.

§3. Korištenje ideje pravokutnih koordinata u slikarstvu.

Tragovi primjene ideje pravokutnih koordinata u obliku kvadratne mreže (paleta) prikazani su na zidu jedne od grobnih komora starog Egipta. U grobnoj komori piramide Ramzesovog oca na zidu se nalazi mreža kvadrata. Uz njihovu pomoć, slika je prenesena u uvećanom obliku. Pravokutne mreže koristili su i renesansni umjetnici.

Riječ "perspektiva" na latinskom znači "jasno vidjeti". U likovnoj umjetnosti, linearna perspektiva je prikaz objekata u ravnini u skladu s prividnim promjenama njihove veličine. Temelje moderne teorije perspektive postavili su veliki umjetnici renesanse - Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer i drugi. Jedna od Durerovih gravura (sl. 3) prikazuje metodu crtanja iz života kroz staklo s kvadratnom mrežom nanesenom na njega. Ovaj se proces može opisati na sljedeći način: ako stojite ispred prozora i, bez promjene točke gledišta, zaokružite sve što je vidljivo iza njega na staklu, tada će rezultirajući crtež biti perspektivna slika prostora.

Egipatske metode dizajna koje su se, čini se, temeljile na uzorcima kvadratne mreže. Brojni su primjeri u egipatskoj umjetnosti koji pokazuju da su slikari i kipari prvo iscrtavali mrežu na zidu koju je trebalo oslikati ili rezbariti kako bi se zadržale utvrđene proporcije. Jednostavni numerički odnosi ovih mreža srž su svih velikih umjetničkih djela Egipćana.

Istu su metodu koristili mnogi renesansni umjetnici, uključujući Leonarda da Vincija. U starom Egiptu to je bilo utjelovljeno u Velikoj piramidi, što je pojačano njezinom bliskom vezom s uzorkom na Marlborough Downu.

Prionuvši na posao, egipatski umjetnik iscrtao je mrežu ravnih linija na zidu, a zatim pažljivo prenio figure na njega. Ali geometrijski red nije ga spriječio da rekreira prirodu s detaljnom točnošću. Izgled svake ribe, svake ptice prenosi se s takvom istinitošću da moderni zoolozi mogu lako odrediti njihovu vrstu. Slika 4 prikazuje detalj kompozicije sa ilustracije - stablo s pticama uhvaćenim u Khnumhotepovu mrežu. Pokret umjetnikove ruke nije vođen samo zalihama njegova umijeća, već i okom osjetljivim na obrise prirode.

Sl.4 Ptice na bagremu

poglavlje II. Metoda koordinata u matematici

§jedan. Primjena koordinata u matematici. Zasluge

francuski matematičar René Descartes

Dugo se vremena samo geografija "opis zemlje" služila ovim divnim izumom, a tek u 14. stoljeću francuski matematičar Nicolas Orem (1323-1382) pokušao ju je primijeniti na "mjerenje zemlje" - geometriju. Predložio je da se ravnina pokrije pravokutnom mrežom i da se zemljopisna širina i dužina nazove ono što sada zovemo apscisa i ordinata.

Na temelju ove uspješne inovacije nastala je metoda koordinata koja povezuje geometriju s algebrom. Glavne zasluge u stvaranju ove metode pripadaju velikom francuskom matematičaru Renéu Descartesu (1596. - 1650.). U njegovu čast, takav koordinatni sustav naziva se kartezijanskim, označavajući položaj bilo koje točke u ravnini udaljenostima od ove točke do "nulte geografske širine" - osi apscisa "i" nultog meridijana" - osi ordinate.

Međutim, ovaj briljantni francuski znanstvenik i mislilac 17. stoljeća (1596. - 1650.) nije odmah pronašao svoje mjesto u životu. Rođen u plemićkoj obitelji, Descartes je stekao dobro obrazovanje. Godine 1606. otac ga šalje u isusovački kolegij La Fleche. S obzirom na Descartesovo ne baš dobro zdravlje, učinjene su mu neke oproste u strogom režimu ove obrazovne ustanove, na primjer, bilo mu je dopušteno ustati kasnije od ostalih. Stekavši mnoga znanja u koledžu, Descartes je u isto vrijeme bio prožet antipatijom prema skolastičkoj filozofiji, koju je zadržao cijelog života.

Nakon što je završio koledž, Descartes je nastavio školovanje. Godine 1616. na Sveučilištu u Poitiersu stekao je diplomu iz prava. Godine 1617. Descartes se pridružio vojsci i mnogo putovao Europom.

Znanstveno se pokazalo da je 1619. ključna godina za Descartesa.

U to vrijeme, kako je sam zapisao u svom dnevniku, otkriveni su mu temelji nove “nevjerojatne znanosti”. Najvjerojatnije je Descartes mislio na otkriće univerzalne znanstvene metode koju je kasnije plodonosno primijenio u raznim disciplinama.

Dvadesetih godina 16. stoljeća Descartes je upoznao matematičara M. Mersennea, preko kojeg je dugi niz godina “održavao kontakt” s cijelom europskom znanstvenom zajednicom.

Godine 1628. Descartes se nastanio u Nizozemskoj na više od 15 godina, ali se nije nastanio ni na jednom mjestu, već je promijenio svoje mjesto boravka dvadesetak puta.

Godine 1633., doznavši za osudu Galileija od strane crkve, Descartes odbija objaviti prirodno-filozofsko djelo Svijet, koje je ocrtalo ideje o prirodnom podrijetlu svemira prema mehaničkim zakonima materije.

Godine 1637. na francuskom je objavljena Descartesova Rasprava o metodi, kojom je, kako mnogi smatraju, započela moderna europska filozofija.

Veliki utjecaj na europsku misao imalo je i posljednje Descartesovo filozofsko djelo Strasti duše objavljeno 1649. Iste godine, na poziv švedske kraljice Christine, Descartes odlazi u Švedsku. Oštra klima i neobičan režim (kraljica je prisilila Descartesa da ustane u 5 ujutro kako bi joj davala lekcije i obavljala druge zadatke) potkopali su Descartesovo zdravlje, a on je, nakon što se prehladio,

umro od upale pluća.

Prema tradiciji koju je uveo Descartes, "geografska širina" točke označava se slovom x, "dužina" - slovom y.

Mnogi načini određivanja mjesta temelje se na ovom sustavu.

Na primjer, na karti za kino postoje dva broja: red i sjedalo - oni se mogu smatrati koordinatama sjedala u dvorani.

Slične koordinate su prihvaćene u šahu. Umjesto jednog od brojeva, uzima se slovo: okomiti redovi ćelija označeni su slovima latinične abecede, a vodoravni redovi brojevima. Tako je svakoj ćeliji šahovske ploče dodijeljen par slova i brojeva, a šahisti dobivaju priliku zapisati svoje partije. Konstantin Simonov piše o korištenju koordinata u svojoj pjesmi "Sin topnika".

Cijelu noć hodajući kao klatno

Major nije oka sklopio,

Dok je ujutro na radiju

Stigao je prvi signal:

"U redu je, razumijem,

Nijemci su me napustili

Koordinate (3;10),

Nego, palimo!

Puške su bile napunjene

Major je sve sam izračunao.

I uz urlik prve salve

Udarili su u planine.

I opet signal na radiju:

"Nijemci me pravo,

Koordinate (5; 10),

Više vatre!

Letjela je zemlja i kamenje

Dizao se stup dima.

Činilo se da sada od tamo

Nitko ne izlazi živ.

Treći signal na radiju:

"Nijemci oko mene,

Koordinate (4; 10),

Ne štedi vatru.

Major je problijedio kad je čuo:

(4;10) - samo

Mjesto gdje je njegova Lyonka

Sada moram sjesti.

Konstantin Simonov "Sin topnika"

§2. Legende o izumu koordinatnog sustava

Postoji nekoliko legendi o izumu koordinatnog sustava koji nosi ime Descartes.

Legenda 1

Takva je priča došla do naših vremena.

Posjećujući pariška kazališta, Descartes se nikada nije umorio od iznenađenja zbrkom, prepirkama, a ponekad i izazovima na dvoboj uzrokovanim nedostatkom elementarnog reda rasporeda publike u gledalištu. Sustav numeriranja koji je predložio, u kojem je svako mjesto dobivalo broj reda i redni broj s ruba, odmah je uklonio sve prilike za svađu i izazvao senzaciju u pariškom visokom društvu.

Legenda2. Jednom je Rene Descartes cijeli dan ležao u krevetu, razmišljajući o nečemu, a muha je zujala okolo i nije mu dala da se koncentrira. Počeo je razmišljati o tome kako matematički opisati položaj muhe u bilo kojem trenutku kako bi je mogao pljusnuti bez promašaja. I ... došao do, Kartezijevih koordinata, jednog od najvećih izuma u povijesti čovječanstva.

Markovcev Ju.

Jednom davno u nepoznatom gradu

Stigao je mladi Descartes.

Bio je užasno gladan.

Bio je hladan mjesec ožujak.

Odlučio se obratiti prolazniku

Descartes, pokušavajući smiriti drhtanje:

Gdje je hotel, molim?

I gospođa je počela objašnjavati:

- Idi do mljekare

Zatim do pekare, iza nje

Ciganin prodaje pribadače

I otrov za štakore i za miševe,

Pronađite ih sigurno

Sirevi, keksi, voće

I šarene svile...

Slušao sam sva ta objašnjenja

Descartes, drhteći od hladnoće.

Jako je želio jesti

- Iza dućana je ljekarna

(tamo je farmaceut brkati Šveđanin),

I crkva, gdje je početkom stoljeća

Oženjen, čini se, moj djed ...

Kad je gospođa na trenutak zašutjela,

Odjednom je njezin sluga rekao:

- Hodajte tri bloka ravno

I dva desno. Ulaz sa ugla.

Ovo je treća velika priča o događaju koji je Descartesu dao ideju koordinata.

Zaključak

Prilikom izrade našeg projekta upoznali smo se s primjenom koordinatne ravnine u raznim područjima znanosti i svakodnevnog života, saznali neke podatke iz povijesti nastanka koordinatne ravnine te matematičare koji su dali veliki doprinos ovom izumu. Materijal koji smo prikupili tijekom pisanja rada može se koristiti u nastavi kao dodatni materijal za nastavu. Sve to može zainteresirati učenike i uljepšati proces učenja.

I završili bismo ovim riječima:

“Zamislite svoj život kao koordinatnu ravninu. Y-os je vaš položaj u društvu. X-os se kreće naprijed, prema cilju, prema vašem snu. A kao što znamo, to je beskonačno... možemo pasti, idući sve dublje i dublje u minus, možemo ostati na nuli i ne raditi ništa, apsolutno ništa. Možemo ustati, možemo pasti, možemo ići naprijed ili nazad, a sve zato što je cijeli naš život koordinatna ravan i ovdje je najvažnije koja je vaša koordinata..."

Bibliografija

Glazer G.I. Povijest matematike u školi: - M.: Obrazovanje, 1981. - 239 str., ilustr.

Lyatker Ya. A. Descartes. M .: Misao, 1975. - (Mislioci prošlosti)

Matvievskaya G. P. Rene Descartes, 1596-1650. Moskva: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinate Kvantni. 1977. br. 9

Matematika - prilog novinama "Prvi rujan", broj 7, broj 20, broj 17, 2003., broj 11, 2000.

Siegel F.Yu. Zvjezdana abeceda: Vodič za studente. - M.: Prosvjetljenje, 1981. - 191 str., Ilustr.

Steve Parker, Nicholas Harris. Ilustrirana enciklopedija za djecu. Tajne svemira. Harkov Belgorod. 2008. godine

Materijali sa stranice http://istina.rin.ru/

Na površini. Neka je jedan x, drugi y. I neka te linije budu međusobno okomite (odnosno, sijeku se pod pravim kutom). Štoviše, točka njihova sjecišta bit će ishodište koordinata za obje linije, a jedinični segment je isti (slika 1).

Tako smo dobili pravokutni koordinatni sustav, a naša je ravnina postala koordinata. Pravci x i y nazivaju se koordinatne osi. Štoviše, x-os je apscisna os, a y-os je os ordinata. Takva se ravnina obično označava nazivom osi i referentnom točkom - xOy. Naziva se i pravokutni koordinatni sustav Kartezijev koordinatni sustav, budući da ga je prvi put počeo aktivno koristiti francuski matematičar i filozof - Rene Descartes.

Pravi kutovi koje tvore pravci x i y nazivaju se koordinatni kutovi. Svaki kut ima svoj broj kao što je prikazano na sl. 2.

Dakle, kada smo govorili o koordinatnoj liniji, svaka točka na ovoj liniji imala je jednu koordinatu. Sada, kada je u pitanju koordinatna ravnina, tada će svaka točka ove ravnine već imati dvije koordinate. Jedna odgovara pravoj x (ova koordinata se zove apscisa), druga odgovara pravoj y (ova koordinata se zove ordinata). Zapisuje se ovako: M(x;y), gdje je x apscisa, a y ordinata. Čita se kao: "Točka M s koordinatama x, y."

Kako odrediti koordinate točke na ravnini?
Sada znamo da svaka točka na ravnini ima dvije koordinate. Da bismo saznali njegove koordinate, dovoljno je da kroz ovu točku povučemo dvije ravne crte, okomite na koordinatne osi. Točke sjecišta ovih linija s koordinatnim osima bit će željene koordinate. Tako, na primjer, na Sl. 3, utvrdili smo da su koordinate točke M 5 i 3.

Kako konstruirati točku na ravnini prema njezinim koordinatama?
Također se događa da već znamo koordinate točke na ravnini. I moramo pronaći njegovu lokaciju. Recimo da imamo koordinate točke (-2; 5). Odnosno, apscisa je -2, a ordinata je 5. Uzmimo točku s koordinatom -2 na x-pravu (apscisnoj osi) i povucimo kroz nju pravac a, paralelan s y-osi. Imajte na umu da će svaka točka na ovoj liniji imati apscisu jednaku -2. Nađimo sada točku s koordinatom 5 na y liniji (y-osi) i povucimo kroz nju pravac b, paralelan s x-osi. Imajte na umu da će svaka točka na ovom pravcu imati ordinatu jednaku 5. Na sjecištu pravaca a i b bit će točka s koordinatama (-2; 5). Označavamo ga slovom P (slika 4).

Također dodajemo da je pravac a, čije sve točke imaju apscisu -2, dan jednadžbom
x = -2 ili da je x = -2 jednadžba pravca a. Radi praktičnosti, ne možemo reći "ravna linija koja je dana jednadžbom x \u003d -2", već jednostavno "ravna linija x \u003d -2". Doista, za bilo koju točku pravca a vrijedi jednakost x = -2. A pravac b, čije sve točke imaju ordinatu 5, pak je dan jednadžbom y = 5, odnosno da je y = 5 jednadžba pravca b.

§ 1 Koordinatni sustav: definicija i način konstrukcije

U ovoj lekciji upoznat ćemo se s pojmovima "koordinatni sustav", "koordinatna ravnina", "koordinatne osi", naučit ćemo kako graditi točke na ravnini prema koordinatama.

Uzmite koordinatni pravac x s ishodišnom točkom O, pozitivnim smjerom i jediničnim segmentom.

Kroz ishodišnu točku O koordinatne linije x povlačimo drugu koordinatnu liniju y okomito na x, postavljamo pozitivan smjer prema gore, jedinični segment je isti. Tako smo izgradili koordinatni sustav.

Dajmo definiciju:

Dvije međusobno okomite koordinatne crte koje se sijeku u točki koja je ishodište svake od njih, čine koordinatni sustav.

§ 2 Koordinatna os i koordinatna ravnina

Pravci koji tvore koordinatni sustav nazivaju se koordinatnim osima, od kojih svaka ima svoje ime: x koordinatni pravac je apscisna os, y koordinatni pravac je ordinatna os.

Ravnina na kojoj je odabran koordinatni sustav naziva se koordinatna ravnina.

Opisani koordinatni sustav nazivamo pravokutnim. Često se naziva Kartezijevim koordinatnim sustavom u čast francuskog filozofa i matematičara Renéa Descartesa.

Svaka točka koordinatne ravnine ima dvije koordinate, koje se mogu odrediti spuštanjem okomica na koordinatnu os iz točke. Koordinate točke na ravnini su par brojeva od kojih je prvi broj apscisa, a drugi broj ordinata. Apscisa prikazuje okomicu na os x, ordinata prikazuje okomicu na os y.

Na koordinatnoj ravnini označimo točku A, iz nje povučemo okomice na osi koordinatnog sustava.

Uzduž okomice na os apscise (os x) odredimo apscisu točke A, ona je jednaka 4, ordinata točke A - duž okomice na os ordinata (os y) je 3. Koordinate naše točka su 4 i 3. A (4; 3). Dakle, koordinate se mogu pronaći za bilo koju točku u koordinatnoj ravnini.

§ 3 Konstrukcija točke na ravnini

A kako izgraditi točku na ravnini sa zadanim koordinatama, tj. odrediti njegov položaj iz koordinata točke u ravnini? U ovom slučaju korake izvodimo obrnutim redoslijedom. Na koordinatnim osima nalazimo točke koje odgovaraju zadanim koordinatama kroz koje povlačimo ravne crte okomite na osi x i y. Sjecište okomica bit će željena, tj. točka sa zadanim koordinatama.

Izvršimo zadatak: na koordinatnoj ravnini izgradimo točku M (2; -3).

Da bismo to učinili, na osi x nalazimo točku s koordinatom 2, povlačimo ravnu liniju okomitu na os x kroz ovu točku. Na y-osi nalazimo točku s koordinatom -3, kroz nju povlačimo liniju okomitu na y-osu. Sjecište okomitih pravaca bit će dana točka M.

Sada pogledajmo nekoliko posebnih slučajeva.

Na koordinatnoj ravnini označimo točke A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Apscise tih točaka jednake su 0. Slika pokazuje da su sve točke na y-osi.

Dakle, točke čije su apscise jednake nuli leže na y-osi.

Zamijenimo koordinate ovih točaka.

Uzmite A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). U ovom slučaju sve su ordinate 0, a točke su na x-osi.

To znači da točke čije su ordinate jednake nuli leže na osi apscisa.

Razmotrimo još dva slučaja.

Na koordinatnoj ravnini označimo točke M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Lako je vidjeti da su sve apscise točaka jednake. Ako se te točke povežu, dobiva se pravac paralelan s osi ordinata i okomit na os apscisa.

Zaključak se nameće sam od sebe: točke koje imaju istu apscisu leže na istoj ravnoj liniji koja je paralelna s osi ordinata i okomita na os apscisa.

Ako mjestimično promijenimo koordinate točaka M, N, P, tada dobivamo M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Ordinate točaka postat će iste. U ovom slučaju, ako spojite ove točke, dobit ćete ravnu liniju paralelnu s osi apscise i okomitu na os ordinata.

Dakle, točke s istom ordinatom leže na istoj pravoj liniji paralelnoj s apscisnom osi i okomitom na ordinatnu os.

U ovoj ste se lekciji upoznali s pojmovima "koordinatni sustav", "koordinatna ravnina", "koordinatne osi - apscisna os i y-os". Naučili smo pronaći koordinate točke na koordinatnoj ravnini i naučili graditi točke na ravnini po njezinim koordinatama.

Popis korištene literature:

1. Matematika. 6. razred: nastavni planovi za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-sastavljač L.A. Topilin. – Mnemozina, 2009.
2. Matematika. Razred 6: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. Razred 6: udžbenik za obrazovne ustanove / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov i drugi / uredio G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija obrazovanja. - M.: "Prosvjetljenje", 2010
4. Matematički priručnik - http://lyudmilanik.com.ua
5. Priručnik za učenike srednjih škola http://shkolo.ru