Što je izravna prizma. Baza prizme: trokutasta do poligonalna

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos bočna područja lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine rebara baze, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih rebara. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Zadatak (22) . U kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočne rubove i sijekući sve bočne rubove. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka p, a bočni bridovi l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju koji kombinira baze prizme. U ovom slučaju dobivamo ravnu prizmu, u kojoj presjek izvorne prizme služi kao baza, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama sažeti temu prizme i prisjetiti se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, za prizmu, sve su njezine baze jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Što je ravna prizma?

Ako je bočni brid prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom crtom.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Što je kosa prizma?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Što je ispravna prizma?

Ako pravilni mnogokut leži u podnožju ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Sada se prisjetimo koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedimo veličine bočnih rebara, tada su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takva figura, u pravilu, naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

A sada pokušajmo učvrstiti naučenu temu rješavanjem zadataka.

Nacrtajmo kosu trokutastu prizmu, u kojoj će razmak između njezinih bridova biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina te prizme jednaka 60 cm2. Pomoću ovih parametara pronađite bočni rub zadane prizme.

Znate li da nas geometrijske figure neprestano okružuju ne samo u nastavi geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svaki dom, škola ili posao ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući glavnom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

1. Najmanji broj bridova ima tetraedar - 6.

2. Prizma ima n stranica. Koji poligon leži u njegovoj bazi?

(n - 2) - kvadrat.

3. Je li prizma ravna ako su joj dvije susjedne bočne plohe okomite na ravninu baze?

Da je.

4. U kojoj su prizmi bočni bridovi paralelni s njezinom visinom?

u ravnoj prizmi.

5. Je li prizma pravilna ako su joj svi bridovi međusobno jednaki?

Ne, možda nije izravno.

6. Može li visina jedne od bočnih ploha nagnute prizme biti i visina prizme?

Da, ako je ovo lice okomito na baze.

7. Postoji li prizma kojoj je: a) bočni brid okomit samo na jedan brid baze; b) samo je jedna bočna ploha okomita na osnovicu?

a) da. b) ne.

8. Pravilna trokutasta prizma podijeljena je ravninom koja prolazi središnjicama baza na dvije prizme. Kako su površine bočnih ploha tih prizmi?

Prema teoremu točke 27 dobivamo da se bočne plohe odnose kao 5:3.

9. Hoće li piramida biti pravilna ako su joj bočne strane pravilni trokuti?

10. Koliko ploha okomitih na ravninu baze može imati piramida?

11. Postoji li četverokutna piramida čije su nasuprotne stranice okomite na bazu?

Ne, inače bi najmanje dvije ravne crte, okomite na baze, prolazile vrhom piramide.

12. Mogu li sva lica trokutaste piramide biti pravokutni trokuti?

Da (Slika 183).

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli područje baze prizme, morate shvatiti kako izgleda.

Opća teorija

Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štoviše, bilo koji poliedar može biti u svojoj bazi - od trokuta do n-kuta. Štoviše, baze prizme uvijek su međusobno jednake. Ono što se ne odnosi na bočna lica - mogu se značajno razlikovati u veličini.

Pri rješavanju problema ne nailazi se samo na područje baze prizme. Možda će biti potrebno poznavati bočnu plohu, odnosno sva lica koja nisu baze. Puna površina već će biti spoj svih površina koje čine prizmu.

Ponekad se u zadacima pojavljuju visine. Okomit je na baze. Dijagonala poliedra je isječak koji u paru povezuje bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj plohi.

Treba napomenuti da područje baze ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjem i donjem licu, tada će im površine biti jednake.

trokutasta prizma

U osnovi ima lik s tri vrha, odnosno trokut. Zna se da je drugačije. Ako je tada dovoljno prisjetiti se da je njegova površina određena polovicom umnoška krakova.

Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.

Da biste saznali područje baze u općem obliku, korisne su formule: Čaplja i ona u kojoj je polovica strane uzeta na visinu koja je nacrtana na nju.

Prva formula bi trebala biti napisana ovako: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ovaj unos sadrži poluopseg (p), to jest zbroj tri strane podijeljen s dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite znati područje baze trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se trokut ispostavlja kao jednakostraničan. Ima svoju formulu: S = ¼ a 2 * √3.

četverokutna prizma

Njegova baza je bilo koji od poznatih četverokuta. To može biti pravokutnik ili kvadrat, paralelopiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu baze prizme, trebat će vam vlastita formula.

Ako je baza pravokutnik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = av, gdje su a, b stranice pravokutnika.

Kada je u pitanju četverokutna prizma, osnovna površina pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u bazi. S \u003d a 2.

U slučaju kada je baza paralelopiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S \u003d a * n a. Dešava se da su zadane stranica paralelopipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete upotrijebiti dodatnu formulu: na \u003d b * sin A. Štoviše, kut A je uz stranu "b", a visina je na suprotno od ovog kuta.

Ako romb leži na dnu prizme, tada će biti potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (budući da je to njegov poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovaj: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna peterokutna prizma

Ovaj slučaj uključuje dijeljenje poligona u trokute, čija je površina lakše pronaći. Iako se događa da figure mogu biti s različitim brojem vrhova.

Budući da je baza prizme pravilan peterokut, može se podijeliti na pet jednakostraničnog trokuta. Tada je površina baze prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnožena s pet.

Pravilna heksagonalna prizma

Prema principu opisanom za peterokutnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnog trokuta. Formula za površinu baze takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadaci

1. Dana je pravilna ravna linija. Njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu baze prizme i cijele površine.

Riješenje. Osnovica prizme je kvadrat, ali njena stranica nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njezinom visinom (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trokutu čije su katete jednake stranici kvadrata. Odnosno, x 2 \u003d a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada je lako saznati osnovnu površinu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruku vrijednost osnovne površine i učetverostručiti stranu. Potonje je lako pronaći formulom za pravokutnik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. Odnosno, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Utvrđeno je da je ukupna površina prizme 960 cm 2 .

Odgovor. Osnovna površina prizme je 144 cm2. Ukupna površina - 960 cm 2 .

Broj 2. Dana Na bazi leži trokut sa stranicom 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne plohe je 10 cm.Izračunaj površine: baze i bočne plohe.

Riješenje. Budući da je prizma pravilna, baza joj je jednakostranični trokut. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 kvadratnih puta ¼ i kvadratnom korijenu iz 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.

Sve bočne strane su jednake i pravokutnici su sa stranicama 6 i 10 cm, a za izračunavanje njihovih površina dovoljno je pomnožiti te brojeve. Zatim ih pomnožite s tri, jer prizma ima točno toliko bočnih stranica. Zatim je površina bočne površine namotana 180 cm 2.

Odgovor. Područja: baza - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.