Za izradu matematičkog modela potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni objekt ili proces;
2. istaknuti njegove najznačajnije značajke i svojstva;
3. definirati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne značajke i svojstva objekta;
4. logičkim i matematičkim odnosima (jednadžbe, jednakosti, nejednadžbe, logičke i matematičke konstrukcije) opisati ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sustava o vrijednosti varijabli;
5. istaknuti unutarnje veze objekta, procesa ili sustava pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija;
6. odrediti vanjske odnose i opisati ih pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sustava i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, također uključuje:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sustava;
2. provjera primjerenosti modela i objekta, procesa ili sustava na temelju računalnog i prirodnog eksperimenta;
3. prilagodba modela;
4. pomoću modela.

Matematički opis procesa i sustava koji se proučavaju ovisi o:

1. prirodu stvarnog procesa ili sustava i sastavlja se na temelju zakona fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. zahtijevanu pouzdanost i točnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sustava.

Izrada matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela objekta, procesa ili sustava koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Morate odrediti površinu stola. Obično se za to mjeri njegova duljina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (površinu stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom - pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja duljine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika približno se uzima kao željena površina stola. Međutim, pravokutni model stola je najjednostavniji, najgrublji model. S ozbiljnijim pristupom problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, potrebno je provjeriti ovaj model. Provjere se mogu provesti na sljedeći način: izmjerite duljine suprotnih strana stola, kao i duljine njegovih dijagonala i međusobno ih usporedite. Ako su, s potrebnim stupnjem točnosti, duljine suprotnih stranica i duljine dijagonala po paru jednake, tada se površina stola doista može smatrati pravokutnikom. U protivnom će model pravokutnika morati biti odbačen i zamijenjen općim modelom četverokuta. S višim zahtjevima za točnost, možda će biti potrebno dodatno poboljšati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje kutova stola.

Uz pomoć ovog jednostavnog primjera pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen istraživanim objektom, procesom ili sustav.

ILI (potvrđujemo sutra)

Načini rješavanja mat. Modeli:

1, Konstrukcija m. na temelju zakona prirode (analitička metoda)

2. Formalni način uz pomoć statističkih. Obrada i mjerenje rezultata (statistički pristup)

3. Konstrukcija brojila po modelu elemenata (složeni sustavi)

1, Analitički - koristiti uz dovoljno proučavanja. Opća pravilnost poznata. modeli.

2. pokus. U nedostatku informacija

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta sst. općenito.

Primjer izgradnje matematičkog modela.

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje je proces konstruiranja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene znanosti koje se služe matematičkim aparatom u biti se bave matematičkim modeliranjem: objekt zamjenjuju njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Povezivanje matematičkog modela sa stvarnošću provodi se uz pomoć niza hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Uz pomoć matematičkih metoda, u pravilu, opisuje se idealan objekt, izgrađen u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su modeli potrebni?

Vrlo često, kada proučavate objekt, nastaju poteškoće. Sam izvornik ponekad nije dostupan, ili njegova uporaba nije preporučljiva, ili je korištenje izvornika skupo. Svi ti problemi mogu se riješiti uz pomoć simulacije. Model u određenom smislu može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste osobu prepoznali, dovoljno je vidjeti njenu fotografiju.

§ Arhitekt je izradio tlocrt novog stambenog područja. Pokretom ruke može premjestiti visoku zgradu s jednog dijela na drugi. U stvarnosti to ne bi bilo moguće.

Vrste modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" i idealan. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeli često imaju kultni oblik. U isto vrijeme, stvarni pojmovi zamijenjeni su nekim znakovima, koji se lako mogu fiksirati na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje pripada klasi znakovnog modeliranja. U isto vrijeme, modeli se mogu kreirati iz bilo kojeg matematičkog objekta: brojeva, funkcija, jednadžbi itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Postoji nekoliko faza konstruiranja matematičkog modela:

1. Razumijevanje zadatka, isticanje najvažnijih kvaliteta, svojstava, vrijednosti i parametara za nas.

2. Uvođenje notnog zapisa.

3. Izrada sustava ograničenja koje moraju zadovoljiti unesene vrijednosti.

4. Formuliranje i evidentiranje uvjeta koje mora zadovoljiti željeno optimalno rješenje.

Proces modeliranja ne završava sastavljanjem modela, već njime tek počinje. Nakon što su sastavili model, odabiru metodu za pronalaženje odgovora, rješavaju problem. nakon što se odgovor pronađe, usporedite ga sa stvarnošću. A moguće je da odgovor ne zadovoljava, u kojem slučaju se model modificira ili čak izabere potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koje uključuje dvije tvornice namještaja, treba unaprijediti strojni park. Štoviše, prva tvornica namještaja treba zamijeniti tri stroja, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije tvornice alatnih strojeva. Prva tvornica može proizvesti najviše 6 strojeva, a druga tvornica će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Potrebno je odrediti kako se postavljaju narudžbe.

Pojam modela i simulacije.

Model u širem smislu- ovo je svaka slika, analogija mentalne ili ustaljene slike, opis, dijagram, crtež, karta itd. bilo kojeg volumena, procesa ili fenomena, koji se koristi kao njegova zamjena ili predstavnik. Sam objekt, proces ili pojava naziva se izvornik ovog modela.

Modeliranje - ovo je proučavanje bilo kojeg objekta ili sustava objekata izgradnjom i proučavanjem njihovih modela. To je korištenje modela za određivanje ili doradu karakteristika i racionalizaciju načina konstruiranja novoizgrađenih objekata.

Svaka metoda znanstvenog istraživanja temelji se na ideji modeliranja, pri čemu se u teorijskim metodama koriste različite vrste znakova, apstraktni modeli, au eksperimentalnim predmetni modeli.

U studiju se složena stvarna pojava zamjenjuje nekom pojednostavljenom kopijom ili shemom, ponekad takva kopija služi samo za pamćenje i prepoznavanje željene pojave pri sljedećem susretu. Ponekad konstruirana shema odražava neke bitne značajke, omogućuje vam razumijevanje mehanizma fenomena, omogućuje predviđanje njegove promjene. Različiti modeli mogu odgovarati istoj pojavi.

Zadatak istraživača je predvidjeti prirodu pojave i tijek procesa.

Ponekad se dogodi da je predmet dostupan, ali su eksperimenti s njim skupi ili dovode do ozbiljnih ekoloških posljedica. Do znanja o takvim procesima dolazi se uz pomoć modela.

Važna točka je da sama priroda znanosti ne uključuje proučavanje jednog specifičnog fenomena, već široke klase srodnih fenomena. To podrazumijeva potrebu formuliranja nekih općih kategoričkih izjava, koje se nazivaju zakonima. Naravno, kod takve formulacije mnogi su detalji zanemareni. Kako bi jasnije identificirali obrazac, oni namjerno idu na ogrubljivanje, idealizaciju, shematičnost, odnosno ne proučavaju samu pojavu, već više ili manje točnu kopiju ili model iste. Svi su zakoni zakoni o modelima i stoga ne čudi da se s vremenom neke znanstvene teorije pokažu neupotrebljivima. To ne dovodi do kolapsa znanosti, budući da je jedan model zamijenjen drugim. više moderno.

Posebnu ulogu u znanosti imaju matematički modeli, građa i alati tih modela - matematički pojmovi. Oni su se nakupljali i poboljšavali tisućama godina. Moderna matematika pruža iznimno snažna i univerzalna sredstva istraživanja. Gotovo svaki pojam u matematici, svaki matematički objekt, počevši od pojma broja, matematički je model. Prilikom izgradnje matematičkog modela predmeta ili pojave koji se proučava, razlikuju se one njegove značajke, značajke i detalji koji, s jedne strane, sadrže manje ili više potpune informacije o objektu, a, s druge strane, omogućuju matematičku formalizacija. Matematička formalizacija znači da se značajke i detalji objekta mogu povezati s odgovarajućim odgovarajućim matematičkim konceptima: brojevima, funkcijama, matricama i tako dalje. Tada se veze i odnosi koji se nalaze i pretpostavljaju u predmetu koji se proučava između njegovih pojedinih dijelova i komponenti mogu napisati pomoću matematičkih odnosa: jednakosti, nejednakosti, jednadžbi. Rezultat je matematički opis procesa ili pojave koji se proučava, odnosno njegov matematički model.

Proučavanje matematičkog modela uvijek je povezano s nekim pravilima djelovanja na objekte koji se proučavaju. Ova pravila odražavaju odnose između uzroka i posljedica.

Izgradnja matematičkog modela središnja je faza u proučavanju ili dizajnu bilo kojeg sustava. Cjelokupna naknadna analiza objekta ovisi o kvaliteti modela. Izrada modela nije formalni postupak. To jako ovisi o istraživaču, njegovom iskustvu i ukusu, uvijek se oslanja na određeni eksperimentalni materijal. Model treba biti dovoljno točan, primjeren i prikladan za korištenje.

Matematičko modeliranje.

Klasifikacija matematičkih modela.

Matematički modeli mogu bitiodlučan i stohastički .

Deterministički model i - to su modeli u kojima se uspostavlja korespondencija jedan na jedan između varijabli koje opisuju predmet ili pojavu.

Ovaj pristup temelji se na poznavanju mehanizma funkcioniranja objekata. Objekt koji se modelira često je složen i dešifriranje njegovog mehanizma može biti vrlo naporno i dugotrajno. U tom slučaju postupaju na sljedeći način: provode se eksperimenti na originalu, rezultati se obrađuju i, ne upuštajući se u mehanizam i teoriju modeliranog objekta, metodama matematičke statistike i teorije vjerojatnosti utvrđuju se odnosi između varijable koje opisuju objekt. U ovom slučaju, dobitistohastički model . NA stohastički modelu, odnos između varijabli je slučajan, ponekad se događa fundamentalno. Utjecaj velikog broja čimbenika, njihova kombinacija dovodi do slučajnog skupa varijabli koje opisuju predmet ili pojavu. Po prirodi modusa model jestatistički i dinamičan.

Statističkimodeluključuje opis odnosa između glavnih varijabli simuliranog objekta u stabilnom stanju bez uzimanja u obzir promjene parametara tijekom vremena.

NA dinamičanmodeliopisuje odnos između glavnih varijabli simuliranog objekta pri prijelazu iz jednog načina rada u drugi.

Modeli su diskretna i stalan, kao i mješoviti tip. NA stalan varijable uzimaju vrijednosti iz određenog intervala, udiskretnavarijable uzimaju izolirane vrijednosti.

Linearni modeli- sve funkcije i relacije koje opisuju model linearno su ovisne o varijablama inije linearnainače.

Matematičko modeliranje.

Zahtjevi , predstavljeni modelima.

1. Svestranost- karakterizira cjelovitost prikaza modelom proučavanih svojstava stvarnog objekta.

1. Adekvatnost - sposobnost odražavanja željenih svojstava objekta s pogreškom koja nije veća od navedene.
2. Točnost - procjenjuje se stupnjem podudarnosti vrijednosti karakteristika stvarnog objekta i vrijednosti tih karakteristika dobivenih pomoću modela.
3. Ekonomija - određuje se troškovima memorijskih resursa računala i vremenom za njegovu implementaciju i rad.

Matematičko modeliranje.

Glavne faze modeliranja.

1. Izjava problema.

Određivanje svrhe analize i načina za njezino postizanje te razvijanje zajedničkog pristupa proučavanom problemu. U ovoj fazi potrebno je duboko razumijevanje suštine zadatka. Ponekad nije manje teško ispravno postaviti zadatak nego ga riješiti. Inscenacija nije formalan proces, nema općih pravila.

2. Proučavanje teorijskih temelja i prikupljanje podataka o predmetu izvornika.

U ovoj fazi odabire se ili razvija odgovarajuća teorija. Ako ga nema, uspostavljaju se uzročne veze između varijabli koje opisuju objekt. Utvrđeni su ulazni i izlazni podaci, napravljene su pojednostavljene pretpostavke.

3. Formalizacija.

Sastoji se od odabira sustava simbola i njihove uporabe za zapisivanje odnosa između komponenti predmeta u obliku matematičkih izraza. Uspostavljena je klasa zadataka kojoj se može pripisati dobiveni matematički model objekta. Vrijednosti nekih parametara u ovoj fazi možda još nisu navedene.

4. Izbor metode rješenja.

U ovoj fazi se postavljaju konačni parametri modela, uzimajući u obzir uvjete za rad objekta. Za dobiveni matematički problem odabire se metoda rješenja ili se razvija posebna metoda. Prilikom odabira metode uzimaju se u obzir znanje korisnika, njegove preferencije, kao i preferencije programera.

5. Implementacija modela.

Razvijenim algoritmom napiše se program koji se otklanja, testira i dobiva rješenje željenog problema.

6. Analiza primljenih informacija.

Uspoređuje se primljeno i očekivano rješenje, kontrolira pogreška modeliranja.

7. Provjera prikladnosti stvarnog objekta.

Uspoređuju se rezultati dobiveni modelombilo s dostupnim informacijama o objektu, ili se provodi eksperiment i njegovi se rezultati uspoređuju s izračunatim.

Proces modeliranja je iterativan. U slučaju nezadovoljavajućih rezultata faza 6. ili 7. provodi se povratak u jednu od ranih faza, što bi moglo dovesti do razvoja neuspješnog modela. Ova faza i sve naredne faze se dorađuju, a takva dorada modela se događa sve dok se ne dobiju prihvatljivi rezultati.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta jezikom matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje tih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je također metoda spoznaje okolnog svijeta, koja omogućuje njegovo upravljanje.

Matematičko modeliranje i pridruženi računalni eksperiment neophodni su u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz jednog ili drugog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti cjeloviti eksperiment u povijesti da se provjeri “što bi se dogodilo da...” Nemoguće je provjeriti točnost ove ili one kozmološke teorije. Načelno je moguće, ali teško razumno, eksperimentirati sa širenjem neke vrste bolesti, poput kuge, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučavale njezine posljedice. Međutim, sve se to može učiniti na računalu, nakon što su prethodno izgrađeni matematički modeli fenomena koji se proučavaju.

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izrada modela. U ovoj fazi specificira se neki "nematematički" objekt - prirodni fenomen, građevina, gospodarski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, u pravilu, jasan opis situacije je težak. Najprije se utvrđuju glavne značajke fenomena i njihov odnos na kvalitativnoj razini. Zatim se pronađene kvalitativne ovisnosti formuliraju jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteži dio modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj se fazi velika pažnja posvećuje razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računalu, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći s potrebnom točnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobivenih posljedica iz matematičkog modela.Posljedice izvedene iz modela jezikom matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovom području.

4) Provjera adekvatnosti modela.U ovoj se fazi utvrđuje slažu li se rezultati eksperimenta s teorijskim posljedicama iz modela unutar određene točnosti.

5) Modifikacija modela.U ovoj fazi ili se model usložnjava kako bi bio primjereniji stvarnosti ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

1.1.3 3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasificirati prema različitim kriterijima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturne. U prvom slučaju, sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet izražene su kvantitativno. Pritom se neke od njih smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama tih veličina. Matematički model obično je sustav jednadžbi različitih vrsta (diferencijalne, algebarske, itd.) koje uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta koji se sastoji od zasebnih dijelova između kojih postoje određene veze. Tipično, ti se odnosi ne mogu kvantificirati. Za izradu takvih modela prikladno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekt koji je skup točaka (vrhova) na ravnini ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (brdovima).

Prema prirodi početnih podataka i rezultata predviđanja, modeli se mogu podijeliti na determinističke i probabilističko-statističke. Modeli prvog tipa daju definitivna, nedvosmislena predviđanja. Modeli druge vrste temelje se na statističkim informacijama, a predviđanja dobivena uz njihovu pomoć su vjerojatnosne prirode.

MATEMATIČKO MODELIRANJE I OPĆA KOMPJUTERIZACIJA ILI SIMULACIONI MODELI

Sada, kada se u zemlji odvija gotovo univerzalna informatizacija, mogu se čuti izjave stručnjaka raznih struka: "Uvedimo računalo u našu zemlju, tada će se svi zadaci odmah riješiti." Ovakvo gledište potpuno je pogrešno, sama računala ne mogu ništa bez matematičkih modela određenih procesa, a o sveopćoj informatizaciji može se samo sanjati.

U prilog navedenom, pokušat ćemo opravdati potrebu za modeliranjem, uključujući matematičko modeliranje, otkriti njegove prednosti u poznavanju i transformaciji vanjskog svijeta od strane osobe, identificirati postojeće nedostatke i prijeći ... na simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje pomoću računala. Ali sve je u redu.

Prije svega, odgovorimo na pitanje: što je model?

Model je materijalni ili misaono prikazani objekt koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje original, zadržavajući neka tipična svojstva koja su važna za ovo proučavanje.

Dobro izgrađen model je pristupačniji za istraživanje od stvarnog objekta. Na primjer, eksperimenti s gospodarstvom zemlje u obrazovne svrhe su neprihvatljivi, ovdje se ne može bez modela.

Rezimirajući rečeno, možemo odgovoriti na pitanje čemu služe modeli? Do

• razumjeti kako objekt funkcionira (njegova struktura, svojstva, zakonitosti razvoja, interakcija s vanjskim svijetom).
• naučiti upravljati objektom (procesom) i odrediti najbolje strategije
• predvidjeti posljedice udara na objekt.

Što je pozitivno u bilo kojem modelu? Omogućuje vam da dobijete nova znanja o predmetu, ali, nažalost, nije potpuna u jednom ili drugom stupnju.

Modelformuliran jezikom matematike pomoću matematičkih metoda naziva se matematički model.

Polazna točka za njegovu izgradnju obično je neki zadatak, na primjer, ekonomski. Široko rasprostranjen, i opisni i optimizacijski matematički, karakterizirajući različite ekonomski procesi i događaje kao što su:

• alokacija resursa
• racionalno rezanje
• prijevoz
• okrupnjavanje poduzeća
• mrežno planiranje.

Kako se gradi matematički model?

• Prvo se formuliraju svrha i predmet studije.
• Drugo, istaknute su najvažnije karakteristike koje odgovaraju ovom cilju.
• Treće, verbalno se opisuju odnosi između elemenata modela.
• Nadalje, odnos je formaliziran.
• A proračun se provodi prema matematičkom modelu i analizi dobivenog rješenja.

Pomoću ovog algoritma možete riješiti bilo koji problem optimizacije, uključujući i višekriterijski, tj. onaj u kojem se teži ne jednom, nego nekoliko ciljeva, uključujući i proturječne.

Uzmimo primjer. Teorija čekanja – problem čekanja. Morate uravnotežiti dva faktora - trošak održavanja servisnih uređaja i trošak održavanja reda. Nakon izgradnje formalnog opisa modela, izračuni se rade pomoću analitičkih i računskih metoda. Ako je model dobar, tada su odgovori dobiveni pomoću njega adekvatni sustavu modeliranja; ako je loš, onda ga treba poboljšati i zamijeniti. Kriterij primjerenosti je praksa.

Optimizacijski modeli, uključujući višekriterijske, imaju zajedničko svojstvo - poznat je cilj (ili više ciljeva) za čije postizanje se često mora nositi sa složenim sustavima, gdje se ne radi toliko o rješavanju optimizacijskih problema, koliko o istraživanju i predviđanju stanja ovisno o odabranim strategijama upravljanja. I tu se susrećemo s poteškoćama u realizaciji prethodnog plana. Oni su sljedeći:

• složeni sustav sadrži mnoge veze među elementima
• stvarni sustav je pod utjecajem slučajnih faktora, nemoguće ih je analitički uzeti u obzir
• mogućnost usporedbe originala s modelom postoji samo na početku i nakon primjene matematičkog aparata, jer međurezultati možda neće imati analogije u stvarnom sustavu.

U vezi s navedenim poteškoćama koje se javljaju pri proučavanju složenih sustava, praksa je zahtijevala fleksibilniju metodu, te se pojavila - simulacijsko modeliranje "Simujacijsko modeliranje".

Obično se simulacijski model shvaća kao skup računalnih programa koji opisuje funkcioniranje pojedinih blokova sustava i pravila interakcije među njima. Korištenje slučajnih varijabli zahtijeva opetovano provođenje eksperimenata sa simulacijskim sustavom (na računalu) i naknadnu statističku analizu dobivenih rezultata. Vrlo čest primjer korištenja simulacijskih modela je rješavanje problema čekanja MONTE CARLO metodom.

Dakle, rad sa simulacijskim sustavom je eksperiment koji se provodi na računalu. Koje su prednosti?

– Veća blizina stvarnom sustavu od matematičkih modela;

– Princip bloka omogućuje provjeru svakog bloka prije nego što se uključi u cjelokupni sustav;

– Korištenje ovisnosti složenije prirode, koje se ne opisuju jednostavnim matematičkim odnosima.

Navedene prednosti određuju nedostatke

– izrada simulacijskog modela je duža, teža i skuplja;

– za rad sa simulacijskim sustavom potrebno je imati računalo primjereno nastavi;

– interakcija između korisnika i simulacijskog modela (sučelja) ne smije biti previše komplicirana, zgodna i dobro poznata;

- konstrukcija simulacijskog modela zahtijeva dublje proučavanje stvarnog procesa od matematičkog modeliranja.

Postavlja se pitanje: može li simulacijsko modeliranje zamijeniti optimizacijske metode? Ne, ali ih zgodno nadopunjuje. Simulacijski model je program koji implementira neki algoritam, za optimizaciju upravljanja kojim se najprije rješava problem optimizacije.

Dakle, ni računalo, ni matematički model, ni algoritam za odvojeno proučavanje ne mogu riješiti prilično kompliciran problem. Ali zajedno predstavljaju snagu koja vam omogućuje da upoznate svijet oko sebe, upravljate njime u interesu čovjeka.

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1 Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje uporabe (Makarova N.A.) Statički model - to je kao jednokratni isječak informacija o objektu (rezultat jedne ankete) Dinamičan model-dopušta vidjeti promjene na objektu tijekom vremena (kartica u klinici) Modeli se mogu klasificirati prema kojem području znanja pripadaju(biološki, povijesni, ekološki itd.) Povratak na početak

1.2.2 Klasifikacija prema području uporabe (Makarova N.A.) Trening- vizualni pomagala, trenažeri , o mlaćenje programa Iskusan modeli-smanjeni kopije (auto u zračnom tunelu) Znanstveno-tehnički sinkrofazotron, stalak za ispitivanje elektroničke opreme Igra- ekonomski, sportske, poslovne igre simulacija- ne oni jednostavno odražavaju stvarnost, ali je oponašaju (lijekovi se testiraju na miševima, eksperimenti se provode u školama itd.). Ova metoda modeliranja tzv. pokušaj i pogreška Povratak na početak

1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarova N.A.) materijal modeli- inače može se nazvati subjektom. Oni percipiraju geometrijska i fizička svojstva originala i uvijek imaju stvarno utjelovljenje. Informativni modeli-nije dozvoljeno dodirnuti ili vidjeti. Temelje se na informacijama. .Informacija model je skup informacija koje karakteriziraju svojstva i stanja nekog objekta, procesa, pojave, kao i odnos s vanjskim svijetom. Verbalni model - informacijski model u mentalnom ili razgovornom obliku. Ikonski modelno-informacijski model izražen znakovima , tj.. pomoću bilo kojeg formalnog jezika. Računalni model - m Model implementiran pomoću softverskog okruženja.

1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Zemlja informatike" (Gein A.G.)) „...evo naizgled jednostavnog zadatka: koliko će vremena trebati da prijeđemo pustinju Karakum? Odgovorite, naravno ovisi o načinu putovanja. Ako a putovati dalje deve, tada će biti potreban jedan termin, drugi ako idete automobilom, treći ako letite avionom. I što je najvažnije, za planiranje putovanja potrebni su različiti modeli. Za prvi slučaj, traženi model može se pronaći u memoarima poznatih istraživača pustinje: uostalom, ne može se bez informacija o oazama i stazama deva. U drugom slučaju, nezamjenjivi podaci sadržani u atlasu cesta. U trećem - možete koristiti raspored letova. Razlikuju se ova tri modela - memoari, atlas i vozni red te priroda prezentacije informacija. U prvom slučaju, model je predstavljen verbalnim opisom informacije (opisni model), u drugom - poput fotografije iz prirode (prirodni model), u trećem - tablica sa simbolima: vrijeme polaska i dolaska, dan u tjednu, cijena karte (tzv. model znakova) Međutim, ova je podjela vrlo uvjetna - karte i dijagrami (elementi modela u punoj mjeri) mogu se naći u memoarima, postoje simboli na kartama (elementi modela znakova), dekodiranje simbola (elementi modela opisa). ) dan je u rasporedu. Dakle, ova klasifikacija modela ... po našem mišljenju je neproduktivna" Po mom mišljenju, ovaj fragment demonstrira deskriptivnost (divan jezik i stil prezentacije) zajedničku svim Geinovim knjigama i, takoreći, sokratov stil poučavanja (Svi misle da je to tako. Potpuno se slažem s vama, ali ako bolje pogledate, onda ...). U takvim je knjigama prilično teško pronaći jasan sustav definicija (autor ga nije namjeravao). U udžbeniku koji je uredio N.A. Makarova pokazuje drugačiji pristup - definicije pojmova su jasno razlučene i pomalo statične.

1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. Bochkina Postoji mnogo načina za klasifikaciju .Predstavljamo samo nekoliko poznatijih temelja i znakovi: diskretnost i kontinuitet, matrica i skalarni modeli, statički i dinamički modeli, analitički i informacijski modeli, predmetni i figurativno-znakovni modeli, veliki i nerazmjerni... Svaki znak daje određeni znanje o svojstvima i modela i modelirane stvarnosti. Znak može poslužiti kao nagovještaj o načinu na koji je simulacija izvedena ili kako će se napraviti. Diskretnost i kontinuiteta diskretnost - karakteristična značajka računalnih modela .Nakon svega računalo može biti u konačnom, iako vrlo velikom broju stanja. Dakle, čak i ako je objekt kontinuiran (vrijeme), u modelu će se mijenjati skokovito. Moglo bi se razmotriti kontinuiteta znak modela nekompjutorskog tipa. Slučajnost i determinizam . Nesigurnost, nesreća u početku suprotstavljen svijetu računala: algoritam koji se ponovno pokreće mora se ponoviti i dati iste rezultate. Ali za simulaciju slučajnih procesa koriste se senzori pseudoslučajnih brojeva. Uvođenje slučajnosti u determinističke probleme dovodi do snažnih i zanimljivih modela (izračun slučajnog područja bacanja). Matrica - skalar. Dostupnost parametara matrica modela ukazuje na njegovu veću složenost i, moguće, točnost u usporedbi s skalar. Na primjer, ako ne izdvajamo sve dobne skupine u stanovništvu zemlje, promatrajući njegovu promjenu u cjelini, dobivamo skalarni model (npr. Malthusov model), ako izdvajamo, matricu (spol i dob) model. Upravo je matrični model omogućio objašnjenje fluktuacija nataliteta nakon rata. statički dinamizam. Ova svojstva modela obično su unaprijed određena svojstvima stvarnog objekta. Ovdje nema slobode izbora. Samo statički model može biti korak prema dinamičan, ili se neke od varijabli modela za sada mogu smatrati nepromijenjenima. Na primjer, satelit se kreće oko Zemlje, na njegovo kretanje utječe Mjesec. Ako smatramo da Mjesec miruje tijekom revolucije satelita, dobivamo jednostavniji model. Analitički modeli. Opis procesa analitički, formule i jednadžbe. Ali kada pokušavate izgraditi grafikon, prikladnije je imati tablice vrijednosti funkcije ​​i argumenata. simulacijski modeli. simulacija modeli su se pojavili davno u obliku velikih kopija brodova, mostova i sl. pojavili su se davno, ali u vezi s računalima razmatraju se nedavno. Znajući kako povezani modelirati elemente analitički i logički, lakše je ne rješavati sustav određenih odnosa i jednadžbi, nego preslikati stvarni sustav u memoriju računala, uzimajući u obzir veze između memorijskih elemenata. Informacijski modeli. Informativni Uobičajeno je da se modelima suprotstavljaju matematički, točnije algoritamski. Ovdje je važan omjer podataka/algoritma. Ako ima više podataka ili su važniji, imamo informacijski model, inače - matematički. Predmetni modeli. Ovo je prije svega dječji model – igračka. Figurativno-znakovni modeli. To je prvenstveno model u ljudskom umu: figurativno, ako prevladavaju grafičke slike, i ikoničan, ako ima više od riječi i/ili brojeva. Figurativno-znakovni modeli izrađuju se na računalu. makete u mjerilu. Do velikih razmjera modeli su oni predmetni ili figurativni modeli koji ponavljaju oblik predmeta (karte).

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: "model (lat. modulus - mjera) je objekt-zamjena izvornog objekta, koji omogućuje proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim u svrhu dobivanja informacija o najvažnijim svojstvima izvornog objekta uz pomoć modela objekta naziva se modeliranje.” (str. 6) “Pod matematičkim modeliranjem razumjet ćemo proces uspostavljanja korespondencije s danim stvarnim objektom nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje tog modela, koji omogućuje dobivanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra. . Vrsta matematičkog modela ovisi kako o prirodi stvarnog objekta tako io zadacima proučavanja objekta i potrebnoj pouzdanosti i točnosti rješavanja ovog problema.

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: "Jednadžba koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela temelji se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se gradi u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

i tako dalje. Svaki konstruirani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički, ... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu (po parametrima), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu predstavljanja predmeta

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju i po načinu na koji predstavljaju objekt:

• Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekt kao sustav s vlastitim uređajem i mehanizmom funkcioniranja. funkcionalni modeli ne koristiti takve prikaze i odražavati samo izvana percipirano ponašanje (funkcioniranje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima "crne kutije". Moguće su i kombinirane vrste modela, koje se ponekad nazivaju "modeli" siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja navode da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, tj. model sadržaja. Ovdje nema ustaljene terminologije, a drugi autori ovo nazivaju idealnim objektom konceptualni model , spekulativni model ili predmodel. U ovom slučaju poziva se konačna matematička konstrukcija formalni model ili samo matematički model dobiven kao rezultat formalizacije ovog sadržaja modela (predmodel). Smisleni model može se izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna njihala, elastični mediji itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u područjima znanja u kojima nema potpuno dovršenih formaliziranih teorija (vrh fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije i većine drugih područja), stvaranje smislenih modela dramatično je kompliciranije.

Smislena klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u znanosti ne može se dokazati jednom zauvijek. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost opovrgnuti teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je točna. Pretpostavimo da iznesete uspješnu hipotezu, izračunate kamo ona vodi i ustanovite da su sve njezine posljedice eksperimentalno potvrđene. Znači li to da je vaša teorija točna? Ne, to jednostavno znači da ga niste uspjeli opovrgnuti.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. No, to ne može biti točka u istraživanju, već samo privremena stanka: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne slaže dobro s dostupnim teorijama i akumuliranim spoznajama o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat te je potrebno nastaviti potragu za "pravim mehanizmima". Peierls u drugu vrstu ubraja, primjerice, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica.

Uloga modela u istraživanju može se mijenjati tijekom vremena, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i oni budu promovirani u status hipoteze. Isto tako, nova saznanja mogu postupno doći u sukob s modelima-hipotezama prve vrste, te se mogu prenijeti na drugu. Dakle, model kvarka postupno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rješenje, ali je tijekom povijesti prešao u prvi tip. Ali modeli etera su prešli iz tipa 1 u tip 2 i sada su izvan znanosti.

Ideja pojednostavljenja vrlo je popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Približavanje (nešto se smatra vrlo velikim ili vrlo malim)

Ako je moguće konstruirati jednadžbe koje opisuju sustav koji se proučava, to ne znači da ih je moguće riješiti čak i uz pomoć računala. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je uporaba aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednadžbe su zamijenjene linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

A ovdje je tip 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sustava.

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavno je pokazati unutarnju dosljednost mogućnosti)

To su također misaoni eksperimenti. s imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen dosljedan osnovnim načelima i interno dosljedan. Ovo je glavna razlika od modela tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih od tih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela kemijskih i bioloških oscilacija, autovalova, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen zamišljen je kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplaniran način na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od opruge učvršćene na jednom kraju i tereta mase , pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se teret može kretati samo u smjeru osi opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Konstruirajmo matematički model ovog sustava. Stanje sustava opisat ćemo udaljenošću od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo međudjelovanje opruge i tereta pomoću Hookeov zakon() nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugu derivaciju od u odnosu na vrijeme: .

Rezultirajuća jednadžba opisuje matematički model razmatranog fizičkog sustava. Taj se uzorak naziva "harmonijski oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamički, koncentrirani, kontinuirani. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsutnosti vanjskih sila, odsutnosti trenja, malenosti odstupanja itd.), koje se u stvarnosti možda neće ispuniti.

U odnosu na stvarnost, to je najčešće model tipa 4. pojednostavljenje("izostavljamo neke detalje radi jasnoće"), budući da su izostavljena neka bitna univerzalna obilježja (na primjer, disipacija). U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, uz malo trenja, ne predugo i uz određene druge uvjete), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sustav, budući da odbačeni faktori imaju zanemariv učinak na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih čimbenika. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Međutim, kada se model rafinira, složenost njegove matematičke studije može značajno porasti i učiniti model praktički beskorisnim. Često vam jednostavniji model omogućuje bolje i dublje istraživanje stvarnog sustava od složenijeg (i, formalno, "ispravnijeg") modela.

Ako model harmonijskog oscilatora primijenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov smisleni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerojatnije bi ga trebalo pripisati tipu 6 analogija("Uzmimo u obzir samo neke značajke").

Tvrdi i meki modeli

Harmonijski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobiva se kao rezultat snažne idealizacije stvarnog fizičkog sustava. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je istražiti "meki" model koji se dobiva malom perturbacijom "tvrdog". Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije nas trenutno ne zanima. Dokažemo da se ponašanje mekog modela bitno ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela (bez obzira na eksplicitni oblik perturbirajućih čimbenika, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. U suprotnom, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije s konstantnom amplitudom. Slijedi li iz ovoga da će pravi oscilator neograničeno dugo titrati s konstantnom amplitudom? Ne, jer promatrajući sustav s proizvoljno malim trenjem (koji je uvijek prisutan u realnom sustavu), dobivamo prigušene oscilacije. Ponašanje sustava se kvalitativno promijenilo.

Ako sustav zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajem, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonijski oscilator primjer je strukturno nestabilnog (nehrapavog) sustava. Međutim, ovaj se model može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važna svojstva univerzalnost: temeljno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje tereta na opruzi, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije njihala, fluktuacije razine tekućine u posudi -oblika ili promjena jakosti struje u oscilatornom krugu. Tako, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom cijelu klasu fenomena koje on opisuje. Upravo taj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima znanstvenog znanja naveo je Ludwiga von Bertalanffyja da stvori "Opću teoriju sustava".

Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacija ove znanosti. Dakle, vagon se pretvara u sustav ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustoća, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednadžbe, neki detalji se odbacuju kao beznačajne usput. , rade se izračuni, uspoređuju s mjerenjima, model se pročišćava i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je ovaj proces rastaviti na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: izravni i inverzni.

Izravni problem: struktura modela i svi njegovi parametri smatraju se poznatima, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje može podnijeti most? Kako će reagirati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika ili na prolazak vlaka različitim brzinama), kako će avion prevladati zvučni zid, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri izravnog zadatka. Postavljanje ispravnog izravnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su dizajneri izradili model mosta, izračunali ga za 20-struku sigurnost nosivosti, ali su zaboravili na vjetrove koji neprestano pušu. ta mjesta. I nakon godinu i pol se srušio.

U najjednostavnijem slučaju (jednadžba jednog oscilatora, na primjer), izravni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje te jednadžbe.

Inverzni problem: poznati su mnogi mogući modeli, potrebno je odabrati određeni model na temelju dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći neovisno o procesu rješavanja inverznog problema ( pasivno promatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tijekom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz najpotpunije korištenje dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz promatranih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadaća ove znanosti je razvoj metoda za bilježenje, opisivanje i analizu opažačkih i eksperimentalnih podataka u svrhu izgradnje probabilističkih modela masovnih slučajnih pojava. Oni. skup mogućih modela ograničen je probabilističkim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Računalni simulacijski sustavi

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su računalni matematički sustavi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućuju stvaranje formalnih i blok modela jednostavnih i složenih procesa i uređaja te jednostavnu promjenu parametara modela tijekom simulacija. Blok modeli prikazuju se blokovima (najčešće grafičkim), čiji su skup i veza određeni dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta proporcionalna je trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između stope nataliteta i stope mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu mortaliteta (), veličina populacije raste neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih sredstava. Kada se dosegne određena kritična veličina populacije, model prestaje biti adekvatan jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Pročišćavanje Malthusovog modela može biti logistički model koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta točno kompenzirana stopom mortaliteta. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti , a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sustav predator-plijen

Recimo da na nekom području žive dvije vrste životinja: zečevi (koji se hrane biljkama) i lisice (koje se hrane zečevima). Neka broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model uz potrebne korekcije, uzimajući u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sustava koji nosi naziv modeli za pladnjeve - Volterra:

Ovaj sustav ima stanje ravnoteže u kojem je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao i u slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene u ponašanju. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od položaja ravnoteže dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, model Volterra-Lotka ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

1. "Matematički prikaz stvarnosti" (Enciklopedija Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sustava: Proc. za sveučilišta - 3. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izd., ispravljeno. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izdanje, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. - M.: Lagana i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
7. Vikirječnik: matematički modeli
8. CliffsNotes.com. Glosar znanosti o Zemlji. 20. rujna 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
10. “Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, ovisno o tome koji - linearni ili nelinearni - matematički aparat, kakve - linearne ili nelinearne - matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Suvremeni fizičar, kad bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerojatnije bi postupio drugačije, te bi, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i zajedničkoj od dvije suprotnosti, definirao linearnost kao "ne-ne-ne-linearnost". linearnost". Danilov Yu. A., Predavanja iz nelinearne dinamike. Elementarni uvod. Sinergetika: serijal iz prošlosti u budućnost. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
11. “Dinamički sustavi modelirani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednadžbi nazivaju se lumped ili točkasti sustavi. Opisuju se pomoću konačnodimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sustav pod različitim uvjetima može se smatrati ili koncentriranim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sustava su parcijalne diferencijalne jednadžbe, integralne jednadžbe ili obične jednadžbe kašnjenja. Broj stupnjeva slobode distribuiranog sustava je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997., br. 11, str. 77-84 (prikaz, ostalo).
12. “Ovisno o prirodi proučavanih procesa u sustavu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističke i stohastičke, statičke i dinamičke, diskretne, kontinuirane i diskretno-kontinuirane. Determinističko modeliranje prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja nepostojanje bilo kakvih slučajnih utjecaja; stohastičko modeliranje prikazuje vjerojatnosne procese i događaje. … Statičko modeliranje koristi se za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku u vremenu, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tijekom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno, kontinuirano modeliranje omogućuje odražavanje kontinuiranih procesa u sustavima, a diskretno-kontinuirano modeliranje koristi se za slučajeve kada želite istaknuti prisutnost i diskretnih i kontinuiranih procesa. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Obično matematički model odražava strukturu (raspored) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe proučavanja; takav model nazivamo strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira - na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje - tada se naziva funkcionalna ili, slikovito, crna kutija. Mogući su i kombinirani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruiranja ili odabira matematičkog modela je što jasnije razjasniti objekt koji se modelira i poboljšati njegov model sadržaja na temelju neformalnih rasprava. U ovoj fazi ne treba štedjeti vrijeme i trud, o tome uvelike ovisi uspjeh cijelog studija. Ne jednom se dogodilo da se znatan rad uložen u rješavanje matematičkog problema pokaže neučinkovitim ili čak uzalud uzaludnim zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izdanje, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
15. « Opis konceptualnog modela sustava. U ovoj podfazi izgradnje modela sustava: a) konceptualni model M opisan je apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela dat je pomoću tipičnih matematičkih shema; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) obrazložen je izbor postupka aproksimacije realnih procesa pri izgradnji modela. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sustava: Proc. za sveučilišta - 3. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, značajke pristupa. Uz primjere iz mehanike: Udžbenik. - 3. izdanje, Rev. i dodatni - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, 2. poglavlje.

Vrste matematičkih modela

Ovisno o tome kojim se sredstvima, pod kojim uvjetima iu odnosu na koje objekte spoznaje ostvaruje sposobnost modela da odražavaju stvarnost, nastaje njihova velika raznolikost, a s njom i klasifikacije. Generalizacijom postojećih klasifikacija izdvajamo osnovne modele prema primijenjenom matematičkom aparatu, na temelju kojih se razvijaju posebni modeli (slika 8.1).

Slika 8.1 - Formalna klasifikacija modela

Matematički modeli prikazuju proučavane objekte (procese, sustave) u obliku eksplicitnih funkcionalnih odnosa: algebarskih jednakosti i nejednakosti, integrala i diferencijala, konačnih razlika i drugih matematičkih izraza (zakon distribucije slučajne varijable, regresijski modeli itd.) , kao i relacije matematičke logike.

Ovisno o dvjema temeljnim značajkama izgradnje matematičkog modela - vrsti opisa uzročno-posljedičnih veza i njihovim promjenama tijekom vremena - razlikuju se deterministički i stohastički, statički i dinamički modeli (slika 8.2).

Svrha dijagrama prikazanog na slici je prikazati sljedeće značajke:

1) matematički modeli mogu biti i deterministički i stohastički;

2) deterministički i stohastički modeli mogu biti i statični i dinamički.

Matematički model je tzv deterministički (deterministički), ako su svi njegovi parametri i varijable jednoznačno određene vrijednosti, a uz to je zadovoljen i uvjet potpune sigurnosti informacije. Inače, u uvjetima informacijske nesigurnosti, kada su parametri i varijable modela slučajne varijable, model se naziva stohastički (probabilistički).

Slika 8.2 - Klase matematičkih modela

Model se zove dinamičan ako se barem jedna varijabla mijenja tijekom vremenskih razdoblja, i statički ako se prihvati hipoteza da se varijable ne mijenjaju tijekom vremena.

U najjednostavnijem slučaju modeli ravnoteže djeluju u obliku bilančne jednadžbe, gdje se zbroj eventualnih primitaka nalazi na lijevoj strani, a rashodna strana također u obliku zbroja na desnoj strani. Na primjer, u ovom obliku prikazan je godišnji proračun organizacije.

Na temelju statističkih podataka mogu se graditi ne samo bilančni, već i korelacijsko-regresijski modeli.

Ako funkcija Y ne ovisi samo o varijablama x 1 , x 2 , ... x n , već i o drugim čimbenicima, odnos između Y i x 1 , x 2 , ... x n je netočan ili korelacijski, za razliku od točan ili funkcionalni odnos. Korelacije su, na primjer, u većini slučajeva uočene veze između izlaznih parametara OPS-a i čimbenika njegovog unutarnjeg i vanjskog okruženja (vidi temu 5).

Korelacijsko-regresijski modeli dobivena u proučavanju utjecaja čitavog kompleksa čimbenika na vrijednost pojedinog obilježja pomoću statističkog aparata. U ovom slučaju zadatak nije samo uspostaviti korelacijski odnos, već i analitički izraziti taj odnos, odnosno odabrati jednadžbe koje opisuju tu korelacijsku ovisnost (regresijska jednadžba).

Za pronalaženje numeričke vrijednosti parametara regresijske jednadžbe koristi se metoda najmanjih kvadrata. Bit ove metode je odabrati takav pravac u kojem bi zbroj kvadrata odstupanja ordinata Y pojedinih točaka od njega bio najmanji.

Korelacijsko-regresijski modeli često se koriste u proučavanju pojava kada je potrebno uspostaviti odnos između odgovarajućih karakteristika u dvije ili više serija. U ovom slučaju parna i višestruka linearna regresija obrasca

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b.

Kao rezultat primjene metode najmanjih kvadrata postavljaju se vrijednosti parametara a ili a 1 , a 2 , …, a n i b, a zatim se provode procjene aproksimacijske točnosti i značajnosti dobivene regresijske jednadžbe.

U posebnoj skupini su grafoanalitički modeli . Koriste različite grafike i stoga imaju dobru vidljivost.

Teorija grafova - jedna od teorija diskretne matematike, proučava grafove, koji se shvaćaju kao skup točaka i linija koje ih povezuju. Graf je neovisni matematički objekt (prvi ga je predstavio Koenig D.). Na temelju teorije grafova najčešće se grade stablo i mrežni modeli.

Model stabla (stablo) je neusmjereni povezani graf koji ne sadrži petlje i cikluse. Primjer takvog modela je stablo ciljeva.

Mrežni modeli naširoko se koriste u upravljanju radom. Mrežni modeli (grafovi) odražavaju redoslijed rada i trajanje svakog rada (slika 8.3).

Slika 8.3 - Mrežni model izvedbe rada

Svaka linija mrežnog dijagrama je neka vrsta rada. Broj pored njega označava trajanje njegovog izvršenja.

Mrežni modeli omogućuju vam da pronađete takozvani kritični put i optimizirate vremenski raspored za proizvodnju rada pod ograničenjima drugih resursa.

Mrežni modeli mogu biti deterministički i stohastički. U potonjem slučaju, trajanje rada određeno je zakonima raspodjele slučajnih varijabli.

Optimizacijski modeli služe za određivanje optimalne putanje sustava za postizanje postavljenog cilja kada se nametnu neka ograničenja na kontrolu njegovog ponašanja i kretanja. U ovom slučaju, optimizacijski modeli opisuju različite vrste problema pronalaženja ekstrema neke ciljne funkcije (kriterij optimizacije).

Za prepoznavanje najboljeg načina za postizanje cilja upravljanja u uvjetima ograničenih resursa - tehničkih, materijalnih, radnih i financijskih - koriste se metode istraživačkih operacija. Tu spadaju metode matematičkog programiranja (linearno i nelinearno, cjelobrojno, dinamičko i stohastičko programiranje), analitičke i probabilističko-statističke metode, mrežne metode, metode teorije čekanja, teorije igara (teorija konfliktnih situacija) itd.

Optimizacijski modeli koriste se za volumetrijsko i rasporedno planiranje, upravljanje zalihama, raspodjelu resursa i rada, zamjenu, parametrizaciju i standardizaciju opreme, raspodjelu tokova robne ponude na transportnoj mreži i druge zadatke upravljanja.

Jedno od glavnih postignuća teorije operacijskih istraživanja je tipizacija modela upravljanja i metoda rješavanja problema. Na primjer, za rješavanje transportnog problema, ovisno o njegovoj dimenziji, razvijene su tipične metode - Vogelova metoda, potencijalna metoda, simpleks metoda. Također, pri rješavanju problema upravljanja zalihama, ovisno o njegovoj formulaciji, mogu se koristiti analitičke i probabilističko-statističke metode, metode dinamičkog i stohastičkog programiranja.

U menadžmentu se posebna važnost pridaje mrežnim metodama planiranja. Ove su metode omogućile pronalazak novog i vrlo zgodnog jezika za opisivanje, modeliranje i analizu složenih višefaznih radova i projekata. U operacijskim istraživanjima značajno se mjesto pridaje poboljšanju upravljanja složenim sustavima pomoću metoda teorije čekanja (vidi odjeljak 8.3) i aparature Markovljevih procesa.

Modeli Markovljevih slučajnih procesa- sustav diferencijalnih jednadžbi koji opisuje funkcioniranje sustava ili njegovih procesa kao skup uređenih stanja na određenoj trajektoriji ponašanja sustava. Ova klasa modela široko se koristi u matematičkom modeliranju funkcioniranja složenih sustava.

Modeli teorije igara služe za odabir optimalne strategije u uvjetima ograničenih slučajnih informacija ili potpune neizvjesnosti.

Igra je matematički model stvarne konfliktne situacije, čije se rješavanje provodi prema određenim pravilima, algoritmima koji opisuju određenu strategiju ponašanja osobe koja donosi odluku u uvjetima neizvjesnosti.

Postoje „igre s prirodom“ i „igre s neprijateljem“. Na temelju situacije utvrđuju se metode i kriteriji za ocjenu odlučivanja. Dakle, pri “igranju s prirodom” koriste se sljedeći kriteriji: Laplace, maksimin (Waldov kriterij) i minimaks, Hurwitz i Savage te niz drugih algoritamskih pravila. U “igrama s neprijateljem” za donošenje odluka koriste se isplatne matrice, maximin i minimax kriteriji, kao i posebne matematičke transformacije zbog činjenice da se donositelju odluke suprotstavlja neprijateljski protivnik.

Razmatrane vrste matematičkih modela ne pokrivaju svu njihovu moguću raznolikost, već samo karakteriziraju pojedine vrste ovisno o prihvaćenom aspektu klasifikacije. V. A. Kardash pokušao je stvoriti sustav za klasifikaciju modela prema četiri aspekta detalja (slika 8.4).

A - modeli bez prostornog razlikovanja parametara;

B - modeli s prostornom diferencijacijom parametara

Slika 8.4 - Klasifikacija modela prema četiri aspekta detaljizacije

S razvojem računalnih alata, jedna od najčešćih metoda donošenja odluka je poslovna igra, koja je numerički eksperiment u kojem aktivno sudjeluje osoba. Postoje stotine poslovnih igara. Koriste se za proučavanje niza problema menadžmenta, ekonomije, teorije organizacije, psihologije, financija i trgovine.

Računala su čvrsto ušla u naše živote i praktički ne postoji takvo područje ljudske aktivnosti gdje se računala ne bi koristila. Računala se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih strojeva, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih mogućnosti; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim razinama. Izrada velikih objekata u raketnoj tehnici, zrakoplovogradnji, brodogradnji, kao i projektiranje brana, mostova i sl., općenito je nemoguća bez uporabe računala.

Za korištenje računala u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekt, proces ili sustav mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinske riječi modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se original ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je objekt-zamjena izvornog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je dobivanje, obrada, prezentiranje i korištenje informacija o objektima koji su u međusobnoj interakciji i interakciji s vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za poznavanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sustava zamjenom matematičkog modela koji je prikladniji za eksperimentalno istraživanje pomoću računala.

Matematičko modeliranje je proces konstruiranja i proučavanja matematičkih modela stvarnih procesa i pojava. Sve prirodne i društvene znanosti koje se služe matematičkim aparatom u biti se bave matematičkim modeliranjem: stvarni objekt zamjenjuju njegovim modelom, a zatim ga proučavaju. Kao i u slučaju svake simulacije, matematički model ne opisuje u potpunosti fenomen koji se proučava, te su pitanja o primjenjivosti ovako dobivenih rezultata vrlo smislena. Matematički model je pojednostavljeni opis stvarnosti pomoću matematičkih pojmova.

Matematički model jezikom jednadžbi i drugim matematičkim sredstvima izražava bitne značajke objekta ili procesa. Strogo govoreći, sama matematika svoje postojanje duguje onome što pokušava reflektirati, tj. modelirati, svojim specifičnim jezikom, obrasce okolnog svijeta.

Na matematičko modeliranje proučavanje objekta provodi se pomoću modela formuliranog jezikom matematike pomoću određenih matematičkih metoda.

Put matematičkog modeliranja u naše vrijeme mnogo je obuhvatniji od prirodnog modeliranja. Veliki poticaj razvoju matematičkog modeliranja dala je pojava računala, iako je sama metoda rođena paralelno s matematikom prije više tisuća godina.

Matematičko modeliranje kao takvo ne zahtijeva uvijek računalnu podršku. Svaki stručnjak koji se profesionalno bavi matematičkim modeliranjem čini sve što je moguće za analitičko proučavanje modela. Analitička rješenja (tj. predstavljena formulama koje izražavaju rezultate studije kroz početne podatke) obično su prikladnija i informativnija od numeričkih. Mogućnosti analitičkih metoda za rješavanje složenih matematičkih problema su, međutim, vrlo ograničene i u pravilu su te metode mnogo kompliciranije od numeričkih.

Matematički model je približan prikaz stvarnih objekata, procesa ili sustava, izražen matematičkim pojmovima i zadržavajući bitne značajke originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sustava, njegove parametre, unutarnje i vanjske veze

Svi modeli mogu se podijeliti u dvije klase:

1. stvaran,
2. idealan.

S druge strane, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. prirodno,
2. fizički,
3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizualni,
2. ikoničan,
3. matematički.

Pravi modeli u punom mjerilu su stvarni objekti, procesi i sustavi na kojima se izvode znanstveni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizikalni modeli su makete, modeli koji reproduciraju fizikalna svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, toplinski, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizualni modeli su dijagrami, karte, crteži, dijagrami, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni znakovni modeli su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinirani modeli.

U gornjoj klasifikaciji neki modeli imaju dvostruko tumačenje (na primjer, analogno). Svi modeli, osim onih u punoj veličini, mogu se kombinirati u jednu klasu mentalnih modela, jer proizvod su čovjekova apstraktnog mišljenja.

Elementi teorije igara

U općem slučaju, rješavanje igrice prilično je težak zadatak, a složenost problema i količina izračuna potrebnih za rješavanje naglo raste s povećanjem . Međutim, te poteškoće nisu temeljne prirode i povezane su samo s vrlo velikim opsegom izračuna, koji se u nizu slučajeva mogu pokazati praktički neizvedivim. Temeljna strana metode pronalaženja rješenja ostaje za sve jedno te isto.

Ilustrirajmo to na primjeru igre. Dajmo mu geometrijsku interpretaciju – već prostornu. Naše tri strategije, prikazat ćemo s tri točke na ravnini ; prvi se nalazi u ishodištu (slika 1). drugi i treći - na osi Oh i OU na udaljenostima 1 od ishodišta.

Osi I-I, II-II i III-III povučene su kroz točke, okomite na ravninu . Na osi I-I isplate za strategiju su iscrtane na osi II-II i III-III - isplate za strategije. Svaka neprijateljska strategija bit će predstavljena ravninom koja odsijeca na osi I-I, II-II i III-III, segmenti jednaki dobicima

uz odgovarajuću strategiju i strategiju . Nakon što smo tako konstruirali sve strategije neprijatelja, dobit ćemo familiju aviona nad trokutom (slika 2).

Za ovu obitelj također je moguće konstruirati donju granicu isplate, kao što smo učinili u ovom slučaju, i pronaći točku N na ovoj granici s maksimalnom visinom na ravnini . Ova visina će biti cijena igre.

Učestalosti strategija u optimalnoj strategiji bit će određene koordinatama (x, y) točke N, odnosno:

Međutim, takvu geometrijsku konstrukciju, čak ni za kućište, nije jednostavno izvesti i zahtijeva veliko ulaganje vremena i mašte. U općem slučaju igre, međutim, ona se prenosi u -dimenzionalni prostor i gubi svu jasnoću, iako korištenje geometrijske terminologije u nekim slučajevima može biti korisno. Pri rješavanju igara u praksi prikladnije je koristiti ne geometrijske analogije, već računalne analitičke metode, pogotovo jer su te metode jedine prikladne za rješavanje problema na računalima.

Sve ove metode su u biti svedene na rješavanje problema uzastopnim pokušajima, ali poredak slijeda pokušaja omogućuje vam da izgradite algoritam koji vodi do rješenja na najekonomičniji način.

Ovdje ćemo se kratko zadržati na jednoj računskoj metodi za rješavanje igara - metodom tzv. "linearnog programiranja".

Da bismo to učinili, prvo dajemo opću izjavu o problemu pronalaženja rješenja igre. Neka igra bude dana t strategije igrača ALI i n strategije igrača NA i data je matrica isplate

Potrebno je pronaći rješenje igre, odnosno dvije optimalne mješovite strategije za igrače A i B.

gdje (neki od brojeva i mogu biti jednaki nuli).

Naša optimalna strategija S*A trebao bi nam osigurati isplatu ne manju od , za bilo kakvo ponašanje neprijatelja, i isplatu jednaku , za njegovo optimalno ponašanje (strategija S*B).Slično strategiji S*B mora osigurati neprijatelju gubitak ne veći od , za bilo koje naše ponašanje i jednak za naše optimalno ponašanje (strategija S*A).

Vrijednost igre u ovom slučaju nije nam poznata; pretpostavit ćemo da je jednak nekom pozitivnom broju. Pretpostavljajući ovo, ne kršimo općenitost zaključivanja; da bi bila > 0, očito je dovoljno da svi elementi matrice budu nenegativni. To se uvijek može postići dodavanjem dovoljno velike pozitivne vrijednosti L elementima; u tom slučaju će se cijena igre povećati za L, a rješenje se neće promijeniti.

Izaberimo svoju optimalnu strategiju S* A . Tada će naša prosječna isplata za protivničku strategiju biti jednaka:

Naša optimalna strategija S*A ima svojstvo da, za bilo koje ponašanje protivnika, daje dobitak ne manji od ; dakle, nijedan od brojeva ne može biti manji od . Dobivamo niz uvjeta:

(1)

Nejednadžbe (1) podijelimo pozitivnom vrijednošću i označimo:

Tada se uvjet (1) može napisati kao

(2)

gdje su nenegativni brojevi. Jer količine zadovoljavaju uvjet

Želimo da naša zajamčena pobjeda bude što veća; Očito je da u ovom slučaju desna strana jednakosti (3) ima minimalnu vrijednost.

Tako se problem pronalaženja rješenja igre svodi na sljedeći matematički problem: definirati nenegativne veličine zadovoljava uvjete (2), tako da njihov zbroj

bila minimalna.

Obično se pri rješavanju problema vezanih uz pronalaženje ekstremnih vrijednosti (maksimuma i minimuma) funkcija diferencira, a derivacije se izjednačavaju s nulom. Ali takva je tehnika u ovom slučaju beskorisna, budući da funkcija F, koja potreba minimizirati, linearan je, a njegove derivacije u odnosu na sve argumente jednake su jedinici, tj. nigdje ne nestaju. Posljedično, maksimum funkcije se postiže negdje na granici područja promjene argumenata, što je određeno zahtjevom nenegativnosti argumenata i uvjeta (2). Metoda pronalaženja ekstremnih vrijednosti pomoću diferencijacije također je neprikladna u onim slučajevima kada je maksimum donje (ili minimum gornje) granice isplate određen za rješenje igre, kao što smo mi učinili. npr. radili su to prilikom rješavanja igrica. Doista, donju granicu čine odsječci ravnih linija, a maksimum se postiže ne u točki gdje je derivacija jednaka nuli (takve točke uopće nema), ali na granici intervala ili na mjestu presjeka ravnih dionica.

Za rješavanje takvih problema, koji su dosta česti u praksi, u matematici je razvijen poseban aparat. linearno programiranje.

Problem linearnog programiranja postavlja se na sljedeći način.

Zadan je sustav linearnih jednadžbi:

(4)

Potrebno je pronaći nenegativne vrijednosti veličina koje zadovoljavaju uvjete (4) i istovremeno minimiziraju zadanu homogenu linearnu funkciju veličina (linearni oblik):

Lako je vidjeti da je gore postavljeni problem teorije igara poseban slučaj problema linearnog programiranja za

Na prvi pogled može se činiti da uvjeti (2) nisu ekvivalentni uvjetima (4), jer umjesto znakova jednakosti sadrže znakove nejednakosti. Međutim, lako se riješiti znakova nejednakosti uvođenjem novih fiktivnih nenegativnih varijabli i ispisivanjem uvjeta (2) u obliku:

(5)

Oblik F, koji se mora minimizirati, jednak je

Aparat za linearno programiranje omogućuje odabir vrijednosti pomoću relativno malog broja uzastopnih uzoraka , zadovoljavajući zahtjeve. Radi veće jasnoće, ovdje ćemo demonstrirati korištenje ovog aparata izravno na materijalu rješavanja određenih igara.