نمودار X 2 y 3x 1. تبدیل نمودار با ماژول

1. تابع کسری خطی و نمودار آن

تابعی به شکل y = P(x) / Q(x)، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، تابع گویا کسری نامیده می شود.

احتمالاً از قبل با مفهوم اعداد گویا آشنا هستید. به همین ترتیب توابع منطقیتوابعی هستند که می توان آنها را به صورت ضریبی از دو چند جمله ای نشان داد.

اگر یک تابع گویا کسری ضریبی از دو تابع خطی باشد - چند جمله ای درجه اول، یعنی. عملکرد مشاهده

y = (ax + b) / (cx + d)، سپس خطی کسری نامیده می شود.

توجه داشته باشید که در تابع y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (در غیر این صورت تابع خطی می شود y = ax/d + b/d) و a/c ≠ b/d (در غیر این صورت تابع تابع یک ثابت است). تابع کسری خطی برای همه اعداد حقیقی به جز x = -d/c تعریف شده است. نمودارهای توابع خطی-کسری از نظر شکل با نموداری که می دانید y = 1/x تفاوتی ندارند. منحنی که نمودار تابع y = 1/x است نامیده می شود هایپربولی. با افزایش نامحدود x در مقدار مطلق، تابع y = 1/x به طور نامحدود در مقدار مطلق کاهش می یابد و هر دو شاخه نمودار به محور آبسیسا نزدیک می شوند: سمت راست از بالا و سمت چپ از پایین. خطوطی که شاخه های هذلولی به آنها نزدیک می شوند، آن نامیده می شوند مجانبی.

مثال 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

راه حل.

بیایید قسمت صحیح را انتخاب کنیم: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: انتقال 3 واحد به سمت راست، کشش در امتداد محور Oy به میزان 7 برابر و جابجایی با 2 واحد بخش به بالا

هر کسری y = (ax + b) / (cx + d) را می توان به همین ترتیب نوشت و "کل قسمت" را برجسته کرد. در نتیجه، نمودارهای همه توابع خطی-کسری هذلولی هستند که به طرق مختلف در امتداد محورهای مختصات جابجا شده و در امتداد محور Oy کشیده شده‌اند.

برای رسم نموداری از یک تابع خطی-کسری دلخواه، تغییر کسری که این تابع را تعریف می کند، اصلاً ضروری نیست. از آنجایی که می دانیم نمودار یک هذلولی است، کافی است خطوطی را که شاخه های آن به آن نزدیک می شوند پیدا کنیم - مجانب هذلولی x = -d/c و y = a/c.

مثال 2

مجانب نمودار تابع y = (3x + 5)/(2x + 2) را بیابید.

راه حل.

تابع برای x = -1 تعریف نشده است. از این رو، خط x = -1 به عنوان مجانبی عمودی عمل می کند. برای یافتن مجانب افقی، بیایید دریابیم که وقتی آرگومان x در مقدار مطلق افزایش می یابد، مقادیر تابع y(x) به چه چیزی نزدیک می شود.

برای این کار، صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم می کنیم:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

به عنوان x → ∞ کسر به 3/2 تمایل دارد. بنابراین مجانب افقی خط مستقیم y = 3/2 است.

مثال 3

تابع y = (2x + 1)/(x + 1) را رسم کنید.

راه حل.

ما "قسمت کامل" کسری را انتخاب می کنیم:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: تغییر 1 واحد به چپ، نمایش متقارن نسبت به Ox، و شیفت. از 2 واحد فواصل در امتداد محور Oy.

دامنه تعریف D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (-∞؛ 2)ᴗ(2; +∞).

نقاط تقاطع با محورها: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2؛ 0). تابع در هر یک از بازه های دامنه تعریف افزایش می یابد.

پاسخ: شکل 1.

2. تابع کسری - گویا

یک تابع گویا کسری به شکل y = P(x) / Q(x) را در نظر بگیرید، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله‌ای با درجه بالاتر از اولی هستند.

نمونه هایی از این توابع منطقی:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) یا y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

اگر تابع y = P(x) / Q(x) ضریبی از دو چند جمله‌ای با درجه بالاتر از تابع اول باشد، نمودار آن معمولاً پیچیده‌تر خواهد بود و گاهی اوقات ساختن آن دقیقاً دشوار است. ، با تمام جزئیات با این حال، اغلب استفاده از تکنیک هایی مشابه با تکنیک هایی که قبلاً در بالا با آنها آشنا شدیم کافی است.

بگذارید کسر مناسب باشد (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

بدیهی است که نمودار یک تابع گویا کسری را می توان به عنوان مجموع نمودارهای کسرهای ابتدایی به دست آورد.

رسم توابع گویا کسری

چندین روش برای رسم یک تابع کسری - گویا در نظر بگیرید.

مثال 4

تابع y = 1/x 2 را رسم کنید.

راه حل.

ما از نمودار تابع y \u003d x 2 برای رسم نمودار y \u003d 1 / x 2 استفاده می کنیم و از روش "تقسیم" نمودارها استفاده می کنیم.

دامنه D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (0؛ +∞).

هیچ نقطه تقاطعی با محورها وجود ندارد. عملکرد یکنواخت است. برای همه x از بازه (-∞؛ 0) افزایش می یابد، برای x از 0 به +∞ کاهش می یابد.

پاسخ: شکل 2.

مثال 5

تابع y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

در اینجا از تکنیک فاکتورگیری، کاهش و کاهش به یک تابع خطی استفاده کردیم.

پاسخ: شکل 3.

مثال 6

تابع y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه تعریف D(y) = R است. از آنجایی که تابع زوج است، نمودار نسبت به محور y متقارن است. قبل از رسم، دوباره عبارت را با برجسته کردن قسمت صحیح تبدیل می کنیم:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

توجه داشته باشید که انتخاب جزء صحیح در فرمول یک تابع کسری - گویا یکی از اصلی ترین موارد هنگام رسم نمودارها است.

اگر x → ±∞، آنگاه y → 1، یعنی، خط y = 1 یک مجانب افقی است.

پاسخ: شکل 4.

مثال 7

تابع y = x/(x 2 + 1) را در نظر بگیرید و سعی کنید دقیقاً بزرگترین مقدار آن را پیدا کنید. بالاترین نقطه در نیمه سمت راست نمودار برای ساخت دقیق این نمودار، دانش امروزی کافی نیست. بدیهی است که منحنی ما نمی تواند بسیار بالا "صعود" کند، زیرا مخرج به سرعت شروع به "سبقت گرفتن" از صورت می کند. بیایید ببینیم آیا مقدار تابع می تواند برابر با 1 باشد. برای انجام این کار، باید معادله x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 را حل کنید. این معادله هیچ ریشه واقعی ندارد. پس فرض ما اشتباه است. برای پیدا کردن بزرگترین مقدار تابع، باید دریابید که معادله A \u003d x / (x 2 + 1) برای کدام بزرگترین A راه حل خواهد داشت. اجازه دهید معادله اصلی را با یک درجه دوم جایگزین کنیم: Ax 2 - x + A \u003d 0. این معادله زمانی راه حل دارد که 1 - 4A 2 ≥ 0 باشد. از اینجا بزرگترین مقدار A \u003d 1/2 را پیدا می کنیم.

پاسخ: شکل 5، حداکثر y(x) = ½.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه نمودار تابع بسازید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

ساخت نمودارهای توابع حاوی ماژول ها معمولاً مشکلات قابل توجهی را برای دانش آموزان ایجاد می کند. با این حال، همه چیز چندان بد نیست. کافی است چندین الگوریتم را برای حل چنین مسائلی به خاطر بسپارید و حتی به ظاهر پیچیده ترین تابع را نیز به راحتی ترسیم کنید. بیایید ببینیم این الگوریتم ها چیست؟

1. رسم تابع y = |f(x)|

توجه داشته باشید که مجموعه مقادیر تابع y = |f(x)| : y ≥ 0. بنابراین، نمودارهای چنین توابعی همیشه به طور کامل در نیم صفحه بالایی قرار دارند.

رسم تابع y = |f(x)| شامل چهار مرحله ساده زیر است.

1) نمودار تابع y = f(x) را با دقت و با دقت بسازید.

2) تمام نقاط نمودار که در بالا یا روی محور 0x هستند را بدون تغییر رها کنید.

3) بخشی از نمودار که زیر محور 0x قرار دارد، به صورت متقارن حول محور 0x نمایش داده می شود.

مثال 1. نموداری از تابع y = |x 2 - 4x + 3|

1) ما یک نمودار از تابع y \u003d x 2 - 4x + 3 می سازیم. واضح است که نمودار این تابع یک سهمی است. بیایید مختصات تمام نقاط تقاطع سهمی با محورهای مختصات و مختصات راس سهمی را پیدا کنیم.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3، x 2 = 1.

بنابراین، سهمی محور 0x را در نقاط (3، 0) و (1، 0) قطع می کند.

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

بنابراین، سهمی محور 0y را در نقطه (0، 3) قطع می کند.

مختصات راس سهمی:

x در \u003d - (-4/2) \u003d 2، y در \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

بنابراین، نقطه (2، -1) راس این سهمی است.

با استفاده از داده های دریافتی سهمی رسم کنید (عکس. 1)

2) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد نسبت به محور 0x به صورت متقارن نمایش داده می شود.

3) نمودار تابع اصلی را دریافت می کنیم ( برنج. 2، با خط نقطه نشان داده شده است).

2. رسم تابع y = f(|x|)

توجه داشته باشید که توابع شکل y = f(|x|) زوج هستند:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). این به این معنی است که نمودارهای چنین توابعی در مورد محور 0y متقارن هستند.

رسم تابع y = f(|x|) از زنجیره ساده زیر تشکیل شده است.

1) تابع y = f(x) را رسم کنید.

2) آن قسمت از نمودار را که x ≥ 0 برای آن است، یعنی بخشی از نمودار که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد، رها کنید.

3) بخشی از نمودار مشخص شده در بند (2) را به صورت متقارن با محور 0y نمایش دهید.

4) به عنوان نمودار نهایی، اتحاد منحنی های به دست آمده در بندهای (2) و (3) را انتخاب کنید.

مثال 2. نموداری از تابع y = x 2 – 4 · |x| رسم کنید + 3

از آنجایی که x 2 = |x| 2، سپس تابع اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. و اکنون می توانیم الگوریتم ارائه شده در بالا را اعمال کنیم.

1) ما نمودار تابع y \u003d x 2 - 4 x + 3 را با دقت و با دقت می سازیم (همچنین ببینید برنج. یکی).

2) آن قسمت از نمودار را که x ≥ 0 برای آن است، یعنی بخشی از نمودار که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد، رها می کنیم.

3) سمت راست نمودار را به صورت متقارن با محور 0y نمایش دهید.

(شکل 3).

مثال 3. نمودار تابع y = log 2 |x| را رسم کنید

ما طرح ارائه شده در بالا را اعمال می کنیم.

1) تابع y = log 2 x را رسم می کنیم (شکل 4).

3. رسم تابع y = |f(|x|)|

توجه داشته باشید که توابع شکل y = |f(|x|)| نیز یکنواخت هستند. در واقع، y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x)، و بنابراین، نمودارهای آنها در مورد محور 0y متقارن هستند. مجموعه مقادیر چنین توابعی: y ≥ 0. از این رو، نمودارهای چنین توابعی به طور کامل در نیم صفحه بالایی قرار دارند.

برای رسم تابع y = |f(|x|)|، باید:

1) یک نمودار منظم از تابع y = f(|x|) بسازید.

2) بخشی از نمودار را که در بالا یا روی محور 0x قرار دارد، بدون تغییر رها کنید.

3) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد باید به صورت متقارن نسبت به محور 0x نمایش داده شود.

4) به عنوان نمودار نهایی، اتحاد منحنی های به دست آمده در بندهای (2) و (3) را انتخاب کنید.

مثال 4. نموداری از تابع y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) توجه داشته باشید که x 2 = |x| 2. از این رو، به جای تابع اصلی y = -x 2 + 2|x| - یکی

می توانید از تابع y = -|x| استفاده کنید 2 + 2|x| - 1، زیرا نمودارهای آنها یکسان است.

ما یک نمودار می سازیم y = -|x| 2 + 2|x| – 1. برای این کار از الگوریتم 2 استفاده می کنیم.

الف) تابع y \u003d -x 2 + 2x - 1 را رسم می کنیم (شکل 6).

ب) آن قسمت از نمودار را که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد، رها می کنیم.

ج) قسمت حاصل از نمودار را به صورت متقارن با محور 0y نمایش دهید.

د) نمودار حاصل در شکل با خط نقطه نشان داده شده است (شکل 7).

2) هیچ نقطه ای بالای محور 0x وجود ندارد، نقاط روی محور 0x را بدون تغییر می گذاریم.

3) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد به صورت متقارن نسبت به 0x نمایش داده می شود.

4) نمودار به دست آمده در شکل با یک خط نقطه نشان داده شده است (شکل 8).

مثال 5. تابع y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) ابتدا باید تابع y = (2|x| – 4) / (|x| +3) را رسم کنید. برای این کار به الگوریتم 2 برمی گردیم.

الف) تابع y = (2x – 4) / (x + 3) را با دقت رسم کنید. (شکل 9).

توجه داشته باشید که این تابع خطی-کسری و نمودار آن هذلولی است. برای ایجاد یک منحنی، ابتدا باید مجانب نمودار را پیدا کنید. افقی - y \u003d 2/1 (نسبت ضرایب x در صورت و مخرج کسری)، عمودی - x \u003d -3.

2) بخشی از نمودار که در بالا یا روی محور 0x قرار دارد بدون تغییر باقی می ماند.

3) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد به صورت متقارن نسبت به 0x نمایش داده می شود.

4) نمودار نهایی در شکل نشان داده شده است (شکل 11).

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

"لگاریتم طبیعی" - 0.1. لگاریتم های طبیعی 4. «دارت لگاریتمی». 0.04. 7.121.

"گرید تابع توان 9" - U. سهمی مکعبی. Y = x3. معلم کلاس نهم لادوشکینا I.A. Y = x2. هذلولی. 0. Y \u003d xn، y \u003d x-n که در آن n یک عدد طبیعی داده شده است. X. توان یک عدد طبیعی زوج است (2n).

"تابع درجه دوم" - 1 تعریف تابع درجه دوم 2 ویژگی های تابع 3 نمودار توابع 4 نابرابری های درجه دوم 5 نتیجه گیری. ویژگی ها: نابرابری ها: تهیه شده توسط آندری گرلیتز، دانش آموز کلاس 8A. طرح: نمودار: فواصل یکنواختی در a > 0 در a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"تابع درجه دوم و نمودار آن" - تصمیم. y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A- متعلق است. وقتی a=1 فرمول y=ax شکل می گیرد.

"تابع درجه دوم کلاس 8" - 1) قسمت بالای سهمی را بسازید. رسم یک تابع درجه دوم. ایکس. -7. تابع را رسم کنید. جبر کلاس 8 معلم 496 مدرسه Bovina TV -1. نقشه ساخت. 2) محور تقارن x=-1 را بسازید. y

1. تابع کسری خطی و نمودار آن

تابعی به شکل y = P(x) / Q(x)، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، تابع گویا کسری نامیده می شود.

احتمالاً از قبل با مفهوم اعداد گویا آشنا هستید. به همین ترتیب توابع منطقیتوابعی هستند که می توان آنها را به صورت ضریبی از دو چند جمله ای نشان داد.

اگر یک تابع گویا کسری ضریبی از دو تابع خطی باشد - چند جمله ای درجه اول، یعنی. عملکرد مشاهده

y = (ax + b) / (cx + d)، سپس خطی کسری نامیده می شود.

توجه داشته باشید که در تابع y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (در غیر این صورت تابع خطی می شود y = ax/d + b/d) و a/c ≠ b/d (در غیر این صورت تابع تابع یک ثابت است). تابع کسری خطی برای همه اعداد حقیقی به جز x = -d/c تعریف شده است. نمودارهای توابع خطی-کسری از نظر شکل با نموداری که می دانید y = 1/x تفاوتی ندارند. منحنی که نمودار تابع y = 1/x است نامیده می شود هایپربولی. با افزایش نامحدود x در مقدار مطلق، تابع y = 1/x به طور نامحدود در مقدار مطلق کاهش می یابد و هر دو شاخه نمودار به محور آبسیسا نزدیک می شوند: سمت راست از بالا و سمت چپ از پایین. خطوطی که شاخه های هذلولی به آنها نزدیک می شوند، آن نامیده می شوند مجانبی.

مثال 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

راه حل.

بیایید قسمت صحیح را انتخاب کنیم: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: انتقال 3 واحد به سمت راست، کشش در امتداد محور Oy به میزان 7 برابر و جابجایی با 2 واحد بخش به بالا

هر کسری y = (ax + b) / (cx + d) را می توان به همین ترتیب نوشت و "کل قسمت" را برجسته کرد. در نتیجه، نمودارهای همه توابع خطی-کسری هذلولی هستند که به طرق مختلف در امتداد محورهای مختصات جابجا شده و در امتداد محور Oy کشیده شده‌اند.

برای رسم نموداری از یک تابع خطی-کسری دلخواه، تغییر کسری که این تابع را تعریف می کند، اصلاً ضروری نیست. از آنجایی که می دانیم نمودار یک هذلولی است، کافی است خطوطی را که شاخه های آن به آن نزدیک می شوند پیدا کنیم - مجانب هذلولی x = -d/c و y = a/c.

مثال 2

مجانب نمودار تابع y = (3x + 5)/(2x + 2) را بیابید.

راه حل.

تابع برای x = -1 تعریف نشده است. از این رو، خط x = -1 به عنوان مجانبی عمودی عمل می کند. برای یافتن مجانب افقی، بیایید دریابیم که وقتی آرگومان x در مقدار مطلق افزایش می یابد، مقادیر تابع y(x) به چه چیزی نزدیک می شود.

برای این کار، صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم می کنیم:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

به عنوان x → ∞ کسر به 3/2 تمایل دارد. بنابراین مجانب افقی خط مستقیم y = 3/2 است.

مثال 3

تابع y = (2x + 1)/(x + 1) را رسم کنید.

راه حل.

ما "قسمت کامل" کسری را انتخاب می کنیم:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: تغییر 1 واحد به چپ، نمایش متقارن نسبت به Ox، و شیفت. از 2 واحد فواصل در امتداد محور Oy.

دامنه تعریف D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (-∞؛ 2)ᴗ(2; +∞).

نقاط تقاطع با محورها: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2؛ 0). تابع در هر یک از بازه های دامنه تعریف افزایش می یابد.

پاسخ: شکل 1.

2. تابع کسری - گویا

یک تابع گویا کسری به شکل y = P(x) / Q(x) را در نظر بگیرید، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله‌ای با درجه بالاتر از اولی هستند.

نمونه هایی از این توابع منطقی:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) یا y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

اگر تابع y = P(x) / Q(x) ضریبی از دو چند جمله‌ای با درجه بالاتر از تابع اول باشد، نمودار آن معمولاً پیچیده‌تر خواهد بود و گاهی اوقات ساختن آن دقیقاً دشوار است. ، با تمام جزئیات با این حال، اغلب استفاده از تکنیک هایی مشابه با تکنیک هایی که قبلاً در بالا با آنها آشنا شدیم کافی است.

بگذارید کسر مناسب باشد (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

بدیهی است که نمودار یک تابع گویا کسری را می توان به عنوان مجموع نمودارهای کسرهای ابتدایی به دست آورد.

رسم توابع گویا کسری

چندین روش برای رسم یک تابع کسری - گویا در نظر بگیرید.

مثال 4

تابع y = 1/x 2 را رسم کنید.

راه حل.

ما از نمودار تابع y \u003d x 2 برای رسم نمودار y \u003d 1 / x 2 استفاده می کنیم و از روش "تقسیم" نمودارها استفاده می کنیم.

دامنه D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (0؛ +∞).

هیچ نقطه تقاطعی با محورها وجود ندارد. عملکرد یکنواخت است. برای همه x از بازه (-∞؛ 0) افزایش می یابد، برای x از 0 به +∞ کاهش می یابد.

پاسخ: شکل 2.

مثال 5

تابع y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

در اینجا از تکنیک فاکتورگیری، کاهش و کاهش به یک تابع خطی استفاده کردیم.

پاسخ: شکل 3.

مثال 6

تابع y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه تعریف D(y) = R است. از آنجایی که تابع زوج است، نمودار نسبت به محور y متقارن است. قبل از رسم، دوباره عبارت را با برجسته کردن قسمت صحیح تبدیل می کنیم:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

توجه داشته باشید که انتخاب جزء صحیح در فرمول یک تابع کسری - گویا یکی از اصلی ترین موارد هنگام رسم نمودارها است.

اگر x → ±∞، آنگاه y → 1، یعنی، خط y = 1 یک مجانب افقی است.

پاسخ: شکل 4.

مثال 7

تابع y = x/(x 2 + 1) را در نظر بگیرید و سعی کنید دقیقاً بزرگترین مقدار آن را پیدا کنید. بالاترین نقطه در نیمه سمت راست نمودار برای ساخت دقیق این نمودار، دانش امروزی کافی نیست. بدیهی است که منحنی ما نمی تواند بسیار بالا "صعود" کند، زیرا مخرج به سرعت شروع به "سبقت گرفتن" از صورت می کند. بیایید ببینیم آیا مقدار تابع می تواند برابر با 1 باشد. برای انجام این کار، باید معادله x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 را حل کنید. این معادله هیچ ریشه واقعی ندارد. پس فرض ما اشتباه است. برای پیدا کردن بزرگترین مقدار تابع، باید دریابید که معادله A \u003d x / (x 2 + 1) برای کدام بزرگترین A راه حل خواهد داشت. اجازه دهید معادله اصلی را با یک درجه دوم جایگزین کنیم: Ax 2 - x + A \u003d 0. این معادله زمانی راه حل دارد که 1 - 4A 2 ≥ 0 باشد. از اینجا بزرگترین مقدار A \u003d 1/2 را پیدا می کنیم.

پاسخ: شکل 5، حداکثر y(x) = ½.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه نمودار تابع بسازید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.