نحوه حذف ماژول در نابرابری نابرابری های مدول

راه های مختلفی برای حل نابرابری های حاوی مدول وجود دارد. بیایید برخی از آنها را در نظر بگیریم.

1) حل نابرابری با استفاده از ویژگی هندسی ماژول.

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ویژگی هندسی ماژول چیست: ماژول عدد x فاصله مبدا تا نقطه با مختصات x است.

در مسیر حل نابرابری ها از این طریق، 2 مورد ممکن است پیش بیاید:

1. |x| ≤ ب،

و نابرابری با مدول بدیهی است که به یک سیستم دو نابرابری کاهش می یابد. در اینجا علامت می تواند سخت باشد، در این صورت نقاط در تصویر "پانچ شده" می شوند.

2. |x| ≥ ب،سپس تصویر راه حل به صورت زیر است:

و نابرابری با مدول آشکارا به مجموعه دو نابرابری کاهش می یابد. در اینجا علامت می تواند سخت باشد، در این صورت نقاط در تصویر "پانچ شده" می شوند.

مثال 1

حل نابرابری |4 – |x|| ≥ 3.

راه حل.

این نابرابری معادل مجموعه زیر است:

U [-1;1] U

مثال 2

حل نابرابری ||x+2| – 3| ≤ 2.

راه حل.

این نابرابری معادل سیستم زیر است.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

اولین نابرابری سیستم را جداگانه حل می کنیم. معادل مجموعه زیر است:

U[-1; 3].

2) حل نابرابری ها با استفاده از تعریف ماژول.

بگذارید یادآوری کنم که شروع کنید تعریف ماژول

|a| = a اگر a ≥ 0 و |a| = -a اگر a< 0.

به عنوان مثال، |34| = 34، |-21| = -(-21) = 21.

مثال 1

حل نابرابری 3|x – 1| ≤ x + 3.

راه حل.

با استفاده از تعریف ماژول، دو سیستم دریافت می کنیم:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

با حل سیستم اول و دوم به طور جداگانه، به دست می آوریم:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(ایکس< 1
(x ≥ 0.

راه حل نابرابری اصلی همه راه حل های سیستم اول و همه راه حل های سیستم دوم خواهد بود.

پاسخ: x €.

3) حل نابرابری ها با مربع.

مثال 1

حل نابرابری |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

راه حل.

بیایید دو طرف نابرابری را مربع کنیم. متذکر می شوم که دو طرف نابرابری تنها در صورتی امکان پذیر است که هر دو مثبت باشند. در این حالت، ماژول هایی در سمت چپ و راست داریم، بنابراین می توانیم این کار را انجام دهیم.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

حالا بیایید از ویژگی ماژول زیر استفاده کنیم: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x - 2) (2x - 1)< 0.

ما با روش فاصله حل می کنیم.

پاسخ: x € (-∞؛ 0) U (1/2؛ 2)

4) حل نابرابری ها به روش تغییر متغیرها.

مثال.

حل نابرابری (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

راه حل.

توجه داشته باشید که (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . سپس نابرابری را دریافت می کنیم

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

بیایید تغییر y = |2x + 3| را انجام دهیم.

اجازه دهید نابرابری خود را با در نظر گرفتن جایگزینی بازنویسی کنیم.

y 2 - y ≤ 30،

y 2 – y – 30 ≤ 0.

مثلث مربع سمت چپ را فاکتور می کنیم.

y1 = (1 + 11) / 2،

y2 = (1 - 11) / 2،

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

با روش بازه حل می کنیم و می گیریم:

بازگشت به جایگزینی:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

این نابرابری مضاعف معادل سیستم نابرابری ها است:

(| 2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

هر یک از نابرابری ها را جداگانه حل می کنیم.

اولی معادل سیستم است

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

حلش کنیم

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

نابرابری دوم آشکارا برای همه x صادق است، زیرا مدول طبق تعریف یک عدد مثبت است. از آنجایی که جواب سیستم تمام x است که به طور همزمان نابرابری اول و دوم سیستم را برآورده می کند، پس حل سیستم اصلی حل نابرابری مضاعف اول آن خواهد بود (بالاخره، دومی برای همه x صادق است).

پاسخ: x € [-4.5; 1.5].

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

ریاضی نمادی از حکمت علم است,

نمونه ای از دقت و سادگی علمی,

معیار کمال و زیبایی در علم

فیلسوف روسی، پروفسور A.V. ولوشینوف

نابرابری های مدول

مشکل ترین مسائل حل در ریاضیات مدرسه، نابرابری ها هستند, حاوی متغیرهایی در زیر علامت ماژول. برای حل موفقیت آمیز چنین نابرابری هایی، لازم است ویژگی های ماژول را به خوبی بشناسیم و مهارت استفاده از آنها را داشته باشیم.

مفاهیم و ویژگی های اساسی

مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعینشان داده شده است و به صورت زیر تعریف می شود:

ویژگی های ساده ماژول شامل روابط زیر است:

و .

توجه داشته باشید، که دو خاصیت آخر برای هر درجه زوجی وجود دارد.

همچنین، اگر، کجا، سپس و

ویژگی های پیچیده تر ماژول, که می تواند به طور موثر در حل معادلات و نابرابری ها با ماژول ها استفاده شود, با استفاده از قضایای زیر فرموله می شوند:

قضیه 1.برای هر توابع تحلیلیو نابرابری.

قضیه 2.برابری معادل نابرابری است.

قضیه 3.برابری معادل نابرابری است.

رایج ترین نابرابری ها در ریاضیات مدرسه, حاوی متغیرهای ناشناخته در زیر علامت مدول, نابرابری های شکل هستندو کجا مقداری ثابت مثبت

قضیه 4.نابرابری معادل یک نابرابری مضاعف است, و راه حل نابرابریبه حل مجموعه نابرابری ها تقلیل می دهدو .

این قضیه یک مورد خاص از قضایای 6 و 7 است.

نابرابری های پیچیده تر, حاوی ماژول نابرابری های فرم هستند، و .

با استفاده از سه قضیه زیر می‌توان روش‌های حل چنین نامساوی‌هایی را فرمول‌بندی کرد.

قضیه 5.نابرابری معادل ترکیب دو سیستم نابرابری است

و (1)

اثباتاز آن به بعد

این دلالت بر اعتبار (1) دارد.

قضیه 6.نابرابری معادل سیستم نابرابری است

اثباتزیرا ، سپس از نابرابریبه دنبال آن است . تحت این شرایط، نابرابریو در این حالت سیستم دوم نابرابری ها (1) ناسازگار است.

قضیه ثابت شده است.

قضیه 7.نابرابری معادل ترکیب یک نابرابری و دو سیستم نابرابری است

و (3)

اثباتاز آنجا که، پس از آن نابرابری همیشه اجرا می شود، اگر .

اجازه دهید ، سپس نابرابریمساوی با نابرابری خواهد بود, که مجموعه دو نامساوی از آن به دست می آیدو .

قضیه ثابت شده است.

نمونه های معمولی از حل مسائل را در مورد "نابرابری ها" در نظر بگیرید, حاوی متغیرهایی در زیر علامت ماژول.

حل نابرابری ها با مدول

ساده ترین روش برای حل نابرابری ها با مدول روش است, بر اساس گسترش ماژول این روش عمومی است, با این حال، در حالت کلی، استفاده از آن می تواند به محاسبات بسیار دست و پا گیر منجر شود. بنابراین، دانش‌آموزان باید روش‌ها و تکنیک‌های دیگر (کارآمدتر) را نیز برای حل این نابرابری‌ها بدانند. به خصوص, نیاز به داشتن مهارت برای اعمال قضایا, در این مقاله ارائه شده است.

مثال 1نابرابری را حل کنید

. (4)

راه حل.نابرابری (4) با روش "کلاسیک" - روش گسترش مدول حل خواهد شد. برای این منظور، محور عددی را می شکنیمنقطه و فواصل و سه مورد را در نظر بگیرید.

1. اگر، پس،،، و نابرابری (4) شکل می گیردیا .

از آنجایی که مورد در اینجا در نظر گرفته شده است، راه حلی برای نابرابری است (4).

2. اگر، سپس از نابرابری (4) بدست می آوریمیا . از آنجایی که تقاطع فواصلو خالی است, پس هیچ راه حلی برای نابرابری (4) در بازه در نظر گرفته شده وجود ندارد.

3. اگر، سپس نابرابری (4) شکل می گیردیا . بدیهی است که همچنین راه حلی برای نابرابری است (4).

پاسخ: ، .

مثال 2نابرابری را حل کنید.

راه حل.بیایید آن را فرض کنیم. زیرا ، سپس نابرابری داده شده شکل می گیردیا . از آن به بعد و از این رو به دنبال داردیا .

با این حال , بنابراین یا .

مثال 3نابرابری را حل کنید

. (5)

راه حل.زیرا ، آنگاه نابرابری (5) معادل نابرابری ها استیا . از اینجا، طبق قضیه 4, مجموعه ای از نابرابری ها داریمو .

پاسخ: ، .

مثال 4نابرابری را حل کنید

. (6)

راه حل.بیایید نشان دهیم. سپس از نابرابری (6) نابرابری های , , یا .

از اینجا، با استفاده از روش فاصله، ما گرفتیم . زیرا ، پس در اینجا ما یک سیستم نابرابری داریم

راه حل اولین نابرابری سیستم (7) اتحاد دو بازه استو و حل نابرابری دوم نابرابری مضاعف است. این دلالت می کنه که ، که راه حل سیستم نابرابری ها (7) اتحاد دو بازه استو .

پاسخ: ،

مثال 5نابرابری را حل کنید

. (8)

راه حل. نابرابری (8) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

یا .

استفاده از روش فاصله, راه حلی برای نابرابری بدست می آوریم (8).

پاسخ: .

توجه داشته باشید. اگر و را در شرط قضیه 5 قرار دهیم، آنگاه بدست می آوریم.

مثال 6نابرابری را حل کنید

. (9)

راه حل. از نابرابری (9) به دست می آید. نابرابری (9) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

یا

از آن پس یا .

پاسخ: .

مثال 7نابرابری را حل کنید

. (10)

راه حل.از آنجایی که و پس از آن یا .

در این اتصال و نابرابری (10) شکل می گیرد

یا

. (11)

از این نتیجه می شود که یا . از آنجا که ، پس نابرابری (11) نیز دلالت دارد یا .

پاسخ: .

توجه داشته باشید. اگر قضیه 1 را در سمت چپ نابرابری اعمال کنیم (10)، سپس دریافت می کنیم . از اینجا و از نابرابری (10) به دست می آید، آن یا . زیرا ، سپس نابرابری (10) شکل می گیردیا .

مثال 8نابرابری را حل کنید

. (12)

راه حل.از آن به بعد و نابرابری (12) دلالت داردیا . با این حال , بنابراین یا . از اینجا می گیریم یا .

پاسخ: .

مثال 9نابرابری را حل کنید

. (13)

راه حل.با توجه به قضیه 7، راه حل های نابرابری (13) یا .

بگذار حالا در این مورد و نابرابری (13) شکل می گیردیا .

اگر فواصل را با هم ترکیب کنیمو سپس راه حلی برای نابرابری (13) شکل بدست می آوریم.

مثال 10نابرابری را حل کنید

. (14)

راه حل.اجازه دهید نابرابری (14) را به شکلی معادل بازنویسی کنیم: . اگر قضیه 1 را در سمت چپ این نابرابری اعمال کنیم، نابرابری را بدست می آوریم.

از اینجا و از قضیه 1 نتیجه می شود, که نابرابری (14) برای هر مقداری برآورده می شود.

پاسخ: هر عددی.

مثال 11.نابرابری را حل کنید

. (15)

راه حل. اعمال قضیه 1 در سمت چپ نابرابری (15)، ما گرفتیم . از اینجا و از نابرابری (15) معادله را دنبال می کند, که به نظر می رسد.

طبق قضیه 3، معادله معادل نابرابری است. از اینجا می گیریم.

مثال 12.نابرابری را حل کنید

. (16)

راه حل. از نابرابری (16)، طبق قضیه 4، سیستم نابرابری ها را به دست می آوریم

هنگام حل نابرابریاز قضیه 6 استفاده می کنیم و سیستم نابرابری ها را به دست می آوریمکه از آن در زیر آمده است.

نابرابری را در نظر بگیرید. طبق قضیه 7, مجموعه ای از نابرابری ها را به دست می آوریمو . دومین نابرابری جمعیت برای هر واقعیتی صادق است.

در نتیجه ، راه حل نابرابری (16) هستند.

مثال 13نابرابری را حل کنید

. (17)

راه حل.طبق قضیه 1 می توانیم بنویسیم

(18)

با در نظر گرفتن نابرابری (17)، نتیجه می گیریم که هر دو نابرابری (18) به برابری تبدیل می شوند، یعنی. یک سیستم معادلات وجود دارد

با قضیه 3، این سیستم معادلات معادل سیستم نامساوی است

یا

مثال 14نابرابری را حل کنید

. (19)

راه حل.از آن به بعد . اجازه دهید هر دو قسمت نابرابری (19) را در عبارت ضرب کنیم که برای هر مقدار فقط مقادیر مثبت می گیرد. سپس نابرابری را به دست می آوریم که معادل نامساوی (19) است

از اینجا می رسیم یا کجا . از آنجایی که و سپس راه حل های نابرابری (19) هستندو .

پاسخ: ، .

برای مطالعه عمیق تر روش های حل نابرابری ها با ماژول، توصیه می شود به آموزش ها مراجعه کنید., در لیست خواندن های توصیه شده ذکر شده است.

1. مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان دانشگاه فنی / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م .: جهان و آموزش، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش هایی برای حل و اثبات نابرابری ها. - M.: Lenand / URSS، 2018. - 264 ص.

3. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش های غیر استاندارد برای حل مسائل. - M .: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

آیا هیچ سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

شماره مدولخود این عدد اگر غیر منفی باشد یا همان عدد با علامت مقابل اگر منفی باشد نامیده می شود.

مثلاً مدول 6 برابر با 6 است و مدول 6- نیز 6 است.

یعنی مدول یک عدد به عنوان یک مقدار مطلق درک می شود، قدر مطلق این عدد بدون در نظر گرفتن علامت آن.

به صورت زیر مشخص می شود: |6|، | ایکس|, |آ| و غیره.

(برای جزئیات بیشتر به بخش "ماژول شماره" مراجعه کنید).

معادلات مدولو

مثال 1 . معادله را حل کنید|10 ایکس - 5| = 15.

راه حل.

مطابق قانون، معادله معادل ترکیب دو معادله است:

10ایکس - 5 = 15
10ایکس - 5 = -15

ما تصمیم گرفتیم:

10ایکس = 15 + 5 = 20
10ایکس = -15 + 5 = -10

ایکس = 20: 10
ایکس = -10: 10

ایکس = 2
ایکس = -1

پاسخ: ایکس 1 = 2, ایکس 2 = -1.

مثال 2 . معادله را حل کنید|2 ایکس + 1| = ایکس + 2.

راه حل.

از آنجایی که مدول یک عدد غیر منفی است، پس ایکس+ 2 ≥ 0. بر این اساس:

ایکس ≥ -2.

دو معادله می سازیم:

2ایکس + 1 = ایکس + 2
2ایکس + 1 = -(ایکس + 2)

ما تصمیم گرفتیم:

2ایکس + 1 = ایکس + 2
2ایکس + 1 = -ایکس - 2

2ایکس - ایکس = 2 - 1
2ایکس + ایکس = -2 - 1

ایکس = 1
ایکس = -1

هر دو عدد بزرگتر از 2- هستند. بنابراین هر دو ریشه معادله هستند.

پاسخ: ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 1.

مثال 3 . معادله را حل کنید

|ایکس + 3| - 1
————— = 4
ایکس - 1

راه حل.

اگر مخرج برابر با صفر نباشد معادله معنا دارد - پس اگر ایکس≠ 1. بیایید این شرط را در نظر بگیریم. اولین اقدام ما ساده است - ما نه تنها از شر کسری خلاص می شویم، بلکه آن را به گونه ای تغییر می دهیم که ماژول را به خالص ترین شکل آن تبدیل کنیم:

|ایکس+ 3| - 1 = 4 ( ایکس - 1),

|ایکس + 3| - 1 = 4ایکس - 4,

|ایکس + 3| = 4ایکس - 4 + 1,

|ایکس + 3| = 4ایکس - 3.

اکنون فقط عبارت زیر مدول سمت چپ معادله را داریم. حرکت کن.
مدول یک عدد یک عدد غیر منفی است - یعنی باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. بر این اساس، نابرابری را حل می کنیم:

4ایکس - 3 ≥ 0

4ایکس ≥ 3

ایکس ≥ 3/4

بنابراین، یک شرط دوم داریم: ریشه معادله باید حداقل 3/4 باشد.

طبق قانون، مجموعه ای از دو معادله را می سازیم و آنها را حل می کنیم:

ایکس + 3 = 4ایکس - 3
ایکس + 3 = -(4ایکس - 3)

ایکس + 3 = 4ایکس - 3
ایکس + 3 = -4ایکس + 3

ایکس - 4ایکس = -3 - 3
ایکس + 4ایکس = 3 - 3

ایکس = 2
ایکس = 0

ما دو پاسخ دریافت کردیم. بیایید بررسی کنیم که آیا آنها ریشه های معادله اصلی هستند یا خیر.

ما دو شرط داشتیم: ریشه معادله نمی تواند برابر با 1 باشد و باید حداقل 3/4 باشد. به این معنا که ایکس ≠ 1, ایکس≥ 3/4. هر دوی این شرایط تنها با یکی از دو پاسخ دریافت شده مطابقت دارند - عدد 2. بنابراین، فقط آن ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: ایکس = 2.

نابرابری با مدول.

مثال 1 . نابرابری را حل کنید| ایکس - 3| < 4

راه حل.

قانون ماژول می گوید:

|آ| = آ، اگر آ ≥ 0.

|آ| = -آ، اگر آ < 0.

مدول می تواند هم عدد غیر منفی و هم عدد منفی داشته باشد. پس باید هر دو مورد را در نظر بگیریم: ایکس- 3 ≥ 0 و ایکس - 3 < 0.

1) چه زمانی ایکس- 3 ≥ 0 نابرابری اصلی ما فقط بدون علامت مدول باقی می ماند:
ایکس - 3 < 4.

2) چه زمانی ایکس - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(ایکس - 3) < 4.

با باز کردن پرانتزها دریافت می کنیم:

-ایکس + 3 < 4.

بنابراین، از این دو شرط، به اتحاد دو نظام نابرابری رسیده ایم:

ایکس - 3 ≥ 0
ایکس - 3 < 4

ایکس - 3 < 0
-ایکس + 3 < 4

بیایید آنها را حل کنیم:

ایکس ≥ 3
ایکس < 7

ایکس < 3
ایکس > -1

بنابراین، در پاسخ ما اتحاد دو مجموعه را داریم:

3 ≤ ایکس < 7 U -1 < ایکس < 3.

کوچکترین و بزرگترین مقادیر را تعیین کنید. اینها -1 و 7 هستند. در همان زمان ایکسبزرگتر از -1 اما کمتر از 7.
بعلاوه، ایکس≥ 3. بنابراین، راه حل نابرابری کل مجموعه اعداد از 1- تا 7 است، به استثنای این اعداد شدید.

پاسخ: -1 < ایکس < 7.

یا: ایکس ∈ (-1; 7).

افزونه ها.

1) یک راه ساده تر و کوتاهتر برای حل نابرابری ما وجود دارد - گرافیکی. برای این کار یک محور افقی رسم کنید (شکل 1).

بیان | ایکس - 3| < 4 означает, что расстояние от точки ایکسبه نقطه 3 کمتر از چهار واحد. روی محور عدد 3 را علامت می زنیم و 4 تقسیم را در سمت چپ و راست آن می شماریم. در سمت چپ به نقطه -1 خواهیم رسید، در سمت راست - به نقطه 7. بنابراین، نقاط ایکسما فقط بدون محاسبه آنها را دیدیم.

علاوه بر این، با توجه به شرط نابرابری، 1- و 7 خود در مجموعه راه حل ها قرار نمی گیرند. بنابراین، ما به پاسخ می رسیم:

1 < ایکس < 7.

2) اما راه حل دیگری وجود دارد که حتی ساده تر از روش گرافیکی است. برای انجام این کار، نابرابری ما باید به شکل زیر ارائه شود:

4 < ایکس - 3 < 4.

بالاخره طبق قاعده ماژول اینطور است. عدد غیر منفی 4 و عدد منفی مشابه -4 مرزهای حل نابرابری هستند.

4 + 3 < ایکس < 4 + 3

1 < ایکس < 7.

مثال 2 . نابرابری را حل کنید| ایکس - 2| ≥ 5

راه حل.

این مثال تفاوت قابل توجهی با نمونه قبلی دارد. سمت چپ بزرگتر از 5 یا مساوی 5 است. از نقطه نظر هندسی راه حل نابرابری تمام اعدادی است که از نقطه 2 5 واحد یا بیشتر فاصله دارند (شکل 2). نمودار نشان می دهد که اینها همه اعدادی هستند که کوچکتر یا مساوی 3- و بزرگتر یا مساوی 7 هستند. بنابراین، ما قبلاً پاسخ را دریافت کرده ایم.

پاسخ: -3 ≥ ایکس ≥ 7.

در طول مسیر، همان نابرابری را با مرتب کردن مجدد عبارت آزاد به چپ و راست با علامت مخالف حل می کنیم:

5 ≥ ایکس - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ ایکس ≥ 5 + 2

پاسخ یکسان است: -3 ≥ ایکس ≥ 7.

یا: ایکس ∈ [-3; 7]

مثال حل شد

مثال 3 . نابرابری را حل کنید 6 ایکس 2 - | ایکس| - 2 ≤ 0

راه حل.

عدد ایکسمی تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. بنابراین، ما باید هر سه شرایط را در نظر بگیریم. همانطور که می دانید، آنها در دو نابرابری در نظر گرفته می شوند: ایکس≥ 0 و ایکس < 0. При ایکس≥ 0، فقط بدون علامت مدول، نابرابری اصلی خود را همانطور که هست بازنویسی می کنیم:

6x 2 - ایکس - 2 ≤ 0.

حال برای مورد دوم: اگر ایکس < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6ایکس 2 - (-ایکس) - 2 ≤ 0.

گسترش براکت ها:

6ایکس 2 + ایکس - 2 ≤ 0.

بنابراین، ما دو سیستم معادلات را دریافت کردیم:

6ایکس 2 - ایکس - 2 ≤ 0
ایکس ≥ 0

6ایکس 2 + ایکس - 2 ≤ 0
ایکس < 0

ما باید نابرابری ها را در سیستم ها حل کنیم - به این معنی که باید ریشه های دو معادله درجه دوم را پیدا کنیم. برای این کار، سمت چپ نابرابری ها را با صفر برابر می کنیم.

بیایید با اولی شروع کنیم:

6ایکس 2 - ایکس - 2 = 0.

چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم - به بخش "معادله چهارگانه" مراجعه کنید. ما بلافاصله پاسخ را نام می بریم:

ایکس 1 \u003d -1/2، x 2 \u003d 2/3.

از اولین سیستم نابرابری ها، دریافتیم که راه حل نابرابری اصلی، کل مجموعه اعداد از 1/2- تا 2/3 است. ما اتحاد راه حل ها را برای ایکس ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

حال بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم:

6ایکس 2 + ایکس - 2 = 0.

ریشه های آن:

ایکس 1 = -2/3, ایکس 2 = 1/2.

نتیجه گیری: چه زمانی ایکس < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

بیایید این دو پاسخ را با هم ترکیب کنیم و پاسخ نهایی را به دست آوریم: راه حل کل مجموعه اعداد از 2/3- تا 2/3 است که شامل این اعداد شدید است.

پاسخ: -2/3 ≤ ایکس ≤ 2/3.

یا: ایکس ∈ [-2/3; 2/3].