Средно ниво

Успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат (2019)

1. Успоредник

Сложна дума "успоредник"? А зад него стои много проста фигура.

Е, това означава, че взехме две успоредни линии:

Пресечен от още две:

А вътре - успоредник!

Какви са свойствата на успоредник?

Свойства на успоредник.

Тоест, какво може да се използва, ако в задачата е даден успоредник?

На този въпрос отговаря следната теорема:

Нека нарисуваме всичко подробно.

Какво прави първа точка от теоремата? И фактът, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава със сигурност

Вторият параграф означава, че ако има успоредник, тогава, отново, непременно:

Е, и накрая, третата точка означава, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава бъдете сигурни:

Вижте какво богатство на избор? Какво да използвате в задачата? Опитайте се да се съсредоточите върху въпроса за задачата или просто опитайте всичко на свой ред - някакъв „ключ“ ще свърши работа.

А сега нека си зададем още един въпрос: как да разпознаем успоредник "в лицето"? Какво трябва да се случи с един четириъгълник, за да имаме право да му дадем „титлата“ на успоредник?

На този въпрос отговарят няколко признака на успоредник.

Характеристики на успоредник.

внимание! Започнете.

Успоредник.

Обърнете внимание: ако сте намерили поне един знак в проблема си, тогава имате точно успоредник и можете да използвате всички свойства на успоредник.

2. Правоъгълник

Мисля, че изобщо няма да е новина за вас.

Първият въпрос е: успоредник ли е правоъгълникът?

Разбира се, че е! В края на краищата той има - помните ли, нашия знак 3?

И от тук, разбира се, следва, че за правоъгълник, както за всеки успоредник, и, и диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина.

Но има правоъгълник и едно отличително свойство.

Свойство правоъгълник

Защо това свойство е отличително? Защото никой друг успоредник няма равни диагонали. Нека го формулираме по-ясно.

Обърнете внимание: за да стане правоъгълник, четириъгълникът трябва първо да се превърне в успоредник и след това да представи равенството на диагоналите.

3. Диамант

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Свойства на ромб

Погледни снимката:

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че имаме не просто успоредник, а ромб.

Знаци на ромб

И отново обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник с перпендикулярни диагонали, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, че не, въпреки че неговите диагонали и са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъгли u. Но ... диагоналите не се разделят, пресечната точка наполовина, следователно - НЕ е успоредник и следователно НЕ е ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? - ромб - ъглополовящата на ъгъл А, която е равна на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! Думите " свойства на успоредник» означава, че ако имате задача имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека да видим защо това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Тъй като е успоредник, тогава:

• като лежане на кръст
• като легнал напречно.

Следователно (на основание II: и - общо.)

Е, веднъж, тогава - това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

Защо? Но в края на краищата (вижте снимката), това е, именно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според знака II (ъгълът и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Характеристики на успоредник

Спомнете си, че знакът на успоредник отговаря на въпроса "как да разберете?" Че фигурата е успоредник.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, това е още по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

Исъщо е лесно. Но… различно!

Означава,. Еха! Но и - вътрешно едностранно при секуща!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава те са вътрешни едностранни при секуща! И следователно.

Вижте колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всекисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. Така че нека докажем това

И така, на два крака (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълника сред всички успоредници. Тоест вярно е следното твърдение

Да видим защо?

И така, (което означава ъглите на успоредника). Но още веднъж, запомнете това - успоредник, и следователно.

Означава,. И, разбира се, от това следва, че всеки от тях В крайна сметка в количеството, което трябва да дадат!

Тук доказахме, че ако успоредникизведнъж (!) ще бъдат равни диагонали, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Става въпрос за успоредници! Не всекичетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът е: ромбът успоредник ли е или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (Запомнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че ромбът има равни противоположни ъгли, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разделят на две от точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Ние формулираме.

Свойства на ромб

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

Защо? Да, точно затова!

С други думи, диагоналите и се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Ромбови знаци.

Защо така? И виж

Следователно и и двететези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да "стане" успоредник и след това вече да демонстрира характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - ъглополовяща на ъгъла, който е равен на. Така че той се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло - диагоналите на паралелограма се разделят от пресечната точка наполовина.

Защо? Е, просто приложете Питагоровата теорема към.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Свойства на паралелограма:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Противоположните ъгли са: , .
3. Ъглите при едната страна се събират до: , .
4. Диагоналите са разделени от пресечната точка наполовина: .

Свойства на правоъгълника:

1. Диагоналите на правоъгълник са: .
2. Правоъгълникът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за правоъгълник).

Свойства на ромб:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (всички свойства на успоредник са изпълнени за ромб).

Квадратни свойства:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрата са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. Както и.

Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни, тоест лежат на успоредни прави (фиг. 1).

Теорема 1. За свойствата на страните и ъглите на успоредник.В успоредник противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сборът от ъглите, съседни на едната страна на успоредника, е 180°.

Доказателство. В този успоредник ABCD начертайте диагонал AC и получете два триъгълника ABC и ADC (фиг. 2).

Тези триъгълници са равни, тъй като ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (напречни ъгли при успоредни прави), а страната AC е обща. От равенството Δ ABC = Δ ADC следва, че AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Сумата от ъглите, съседни на едната страна, например ъгли A и D, е равна на 180 ° като един -страни с успоредни линии. Теоремата е доказана.

Коментирайте. Равенството на противоположните страни на успоредник означава, че сегментите на успоредните, отрязани от успоредните, са равни.

Следствие 1. Ако две прави са успоредни, то всички точки от едната права са на еднакво разстояние от другата права.

Доказателство. Наистина, нека || b (фиг. 3).

Нека от някои две точки B и C на правата b прекараме перпендикулярите BA и CD към правата a. Тъй като AB || CD, то фигурата ABCD е успоредник и следователно AB = CD.

Разстоянието между две успоредни прави е разстоянието от произволна точка на едната права до другата права.

Според доказаното тя е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от някаква точка на една от успоредните прави към другата права.

Пример 1Периметърът на успоредника е 122 см. Едната му страна е по-дълга от другата с 25 см. Намерете страните на успоредника.

Решение. Според теорема 1 срещуположните страни на успоредник са равни. Нека означим едната страна на успоредника като x, другата като y. След това по условие $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Решавайки тази система, получаваме x = 43, y = 18. Така страните на успоредника са 18, 43, 18 и 43 cm.

Пример 2

Решение. Нека фигура 4 отговаря на условието на задачата.

Означаваме AB с x и BC с y. По условие периметърът на успоредника е 10 см, т.е. 2(x + y) = 10, или x + y = 5. Периметърът на триъгълника ABD е 8 см. И тъй като AB + AD = x + y = 5 , тогава BD = 8 - 5 = 3 . Така че BD = 3 cm.

Пример 3Намерете ъглите на успоредника, като знаете, че единият от тях е с 50° по-голям от другия.

Решение. Нека фигура 5 отговаря на условието на задачата.

Нека означим градусната мярка на ъгъл A като x. Тогава градусната мярка на ъгъл D е x + 50°.

Ъглите BAD и ADC са вътрешни едностранни с успоредни прави AB и DC и секуща AD. Тогава сумата от тези именувани ъгли ще бъде 180°, т.е.
x + x + 50° = 180°, или x = 65°. Така ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4Страните на успоредника са 4,5 dm и 1,2 dm. От върха на остър ъгъл е начертана ъглополовяща. На какви части разделя дългата страна на успоредника?

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието на задачата.

AE е ъглополовящата на острия ъгъл на успоредника. Следователно ∠ 1 = ∠ 2.

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешното полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Както в евклидовата геометрия, точката и правата са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от произволен връх към противоположната страна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD са диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на съотношението

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъгли, които са противоположни един на друг, са равни по двойки.

Доказателство: разгледайте ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълник ABCD на права AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият критерий за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са еднакви по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигурата

Основна характеристикатези успоредни прави: точката на пресичане ги разполовява.

Доказателство: нека m.E е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според прави и секущи, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

Според втория знак за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE са: AE = CE, BE = DE и освен това те са съизмерими части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

При съседните страни сумата от ъглите е 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредните прави и секущата. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , паднали на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез изчертаване на ъглополовящата, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник по теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от основната й теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: Нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в t.E. Тъй като ∠AED = ∠BEC и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия знак за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните ъгли на пресичане на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура намерени по няколко начинаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: Начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен на правоъгълника EBCF, тъй като те също се състоят от пропорционални фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на тази геометрична фигура е същата като тази на правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на успоредник, ние обозначаваме височината като hb, и отстрани b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α - ъгъл между сегменти a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Преобразувайки съотношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредник и ъгъл,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: пресичащите се AC и BD образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери от израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , тогава в изчисленията се използва една единствена стойност на синуса. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно: добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториинеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - изграждаме вектори и . След това изграждаме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страни
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
диагонално и настрани
през височина и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на горната част между тях

Паралелограмът е четириъгълник, в който противоположните страни са по двойки успоредни.

Успоредникът има всички свойства на четириъгълниците, но има и свои собствени отличителни черти. Познавайки ги, можем лесно да намерим двете страни и ъгли на успоредник.

Свойства на успоредник

1. Сборът от ъглите във всеки успоредник, както във всеки четириъгълник, е 360°.
2. Средните линии на успоредник и неговите диагонали се пресичат в една точка и го разполовяват. Тази точка се нарича център на симетрия на успоредника.
3. Противоположните страни на успоредник винаги са равни.
4. Освен това тази фигура винаги има равни противоположни ъгли.
5. Сумата от ъглите, съседни на всяка страна на успоредник, винаги е 180°.
6. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на удвоения сбор от квадратите на двете му съседни страни. Това се изразява с формулата:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), където d 1 и d 2 са диагонали, a и b са съседни страни.
7. Косинусът на тъпия ъгъл винаги е по-малък от нула.

Как да намерим ъглите на даден успоредник, прилагайки тези свойства на практика? И какви други формули могат да ни помогнат за това? Обмислете конкретни задачи, които изискват: намерете ъглите на успоредника.

Намиране на ъглите на успоредник

Случай 1. Мярката на тъп ъгъл е известна, необходимо е да се намери остър ъгъл.

Пример: В успоредника ABCD ъгъл A е 120°. Намерете мярката на останалите ъгли.

Решение: Използвайки свойство № 5, можем да намерим мярката на ъгъл B, съседен на дадения в задачата ъгъл. Тя ще бъде равна на:

• 180°-120°= 60°

И сега, използвайки свойство #4, ние определяме, че двата останали ъгъла C и D са противоположни на ъглите, които вече намерихме. Ъгъл C е противоположен на ъгъл A, ъгъл D е противоположен на ъгъл B. Следователно те са равни по двойки.

• Отговор: B=60°, C=120°, D=60°

Случай 2. Известни са дължините на страните и диагоналът

В този случай трябва да използваме косинусовата теорема.

Първо можем да използваме формулата, за да изчислим косинуса на ъгъла, от който се нуждаем, и след това да използваме специална таблица, за да намерим на какво е равен самият ъгъл.

За остър ъгъл формулата е:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), където
• a е желаният остър ъгъл,
• A и B са страни на успоредник
• d - по-малък диагонал

За тъп ъгъл формулата се променя леко:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), където
• ß е тъп ъгъл,
• A и B са страни
• D - голям диагонал

Пример: трябва да намерите острия ъгъл на успоредник, чиито страни са 6 cm и 3 cm, а по-малкият диагонал е 5,2 cm

Заместваме стойностите във формулата за намиране на остър ъгъл:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Според таблицата откриваме, че желаният ъгъл е 60 °.