Числен изразе всеки запис на числа, аритметични знаци и скоби. Числовият израз може да се състои и само от едно число. Припомнете си, че основните аритметични операции са "събиране", "изваждане", "умножение" и "деление". Тези действия съответстват на знаците "+", "-", "∙", ":".

Разбира се, за да получим числов израз, записът от числа и аритметични знаци трябва да има смисъл. Така например, такъв запис 5: + ∙ не може да се нарече числов израз, тъй като това е случаен набор от знаци, който няма смисъл. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 вече е реален числов израз.

Стойността на числов израз.

Да кажем веднага, че ако извършим действията, посочени в числов израз, тогава в резултат ще получим число. Този номер се нарича стойността на числов израз.

Нека се опитаме да изчислим какво получаваме в резултат на извършване на действията от нашия пример. Според реда на извършване на аритметичните операции първо извършваме операцията умножение. Умножете 8 по 9. Получаваме 72. Сега събираме 72 и 5. Получаваме 77.
И така, 77 - значениечислов израз 5 + 8 ∙ 9.

Числено равенство.

Можете да го напишете по следния начин: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Тук първо използвахме знака "=" ("Равно"). Такава нотация, в която два числови израза са разделени със знака "=", се нарича числово равенство. Освен това, ако стойностите на лявата и дясната част на равенството са еднакви, тогава равенството се нарича верен. 5 + 8 ∙ 9 = 77 е правилното равенство.
Ако напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, тогава това вече ще бъде фалшиво равенство, тъй като стойностите на лявата и дясната страна на това равенство вече не съвпадат.

Трябва да се отбележи, че в числов израз можем да използваме и скоби. Скобите влияят на реда, в който се изпълняват действията. Така например, ние модифицираме нашия пример, като добавим скоби: (5 + 8) ∙ 9. Сега първо трябва да съберем 5 и 8. Получаваме 13. И след това да умножим 13 по 9. Получаваме 117. Така (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значениечислов израз (5 + 8) ∙ 9.

За да прочетете правилно израз, трябва да определите кое действие се извършва последно за изчисляване на стойността на даден числов израз. Така че, ако последното действие е изваждане, тогава изразът се нарича "разлика". Съответно, ако последното действие е сумата - "сума", разделяне - "частно", умножение - "продукт", степенуване - "степен".

Например числовият израз (1 + 5) (10-3) се чете така: „произведението на сумата от числата 1 и 5 и разликата между числата 10 и 3.“

Примери за числови изрази.

Ето пример за по-сложен числов израз:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

В този цифров израз се използват прости числа, обикновени и десетични дроби. Използват се и символите за събиране, изваждане, умножение и деление. Дробната лента също замества знака за деление. С привидна сложност, намирането на стойността на този числов израз е доста просто. Основното е да можете да извършвате операции с дроби, както и внимателно и точно да правите изчисления, като спазвате реда на действията.

В скоби имаме израза $\frac(1)(4)+3.75$ . Нека преобразуваме десетичната дроб 3,75 в обикновена.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Така, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Освен това, в числителя на фракцията \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]имаме израза 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. За да опростим този израз, ние прилагаме комутативния закон за събиране, който гласи: „Сборът не се променя от промяна на местата на членовете.“ Тоест 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателя на дробта изразът $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Получаваме $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Кога числовите изрази нямат смисъл?

Нека разгледаме още един пример. В знаменателя на дроб $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$стойността на израза $3\centerdot 3-9$ е 0. А, както знаем, деленето на нула е невъзможно. Следователно дробта $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ няма стойност. За числовите изрази, които нямат значение, се казва, че „нямат значение“.

Ако използваме букви в допълнение към числата в числов израз, тогава ще получим

Числени и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.

Какво е израз в математиката? Защо са необходими преобразувания на изрази?

Въпросът, както се казва, е интересен... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.

Да кажем, че имате зъл пример. Много голям и много сложен. Да кажем, че си добър по математика и не те е страх от нищо! Можете ли да отговорите веднага?

Ще трябва решитози пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам. По определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази. Колко успешно извършвате тези трансформации, толкова сте силни в математиката. Ако не знаете как да правите правилните трансформации, в математиката не можете да го направите Нищо...

За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще ...), не пречи да разберете тази тема.)

Като начало, нека разберем какво е израз в математиката. Какво числов изрази какво е алгебричен израз.

Какво е израз в математиката?

Изразяване в математикатае много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме в математиката, е набор от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко се състои от математически изрази.

3+2 е математически израз. c 2 - d 2също е математически израз. И здрава дроб, и дори едно число - всичко това са математически изрази. Уравнението например е:

5x + 2 = 12

се състои от два математически израза, свързани със знак за равенство. Единият израз е отляво, другият отдясно.

В общи линии терминът математически израз" се използва най-често, за да не мърморите. Ще ви попитат какво е обикновена дроб, например? И как да отговорите ?!

Отговор 1: „Това е... Мммм... такова нещо ... в което ... Мога ли да напиша дроб по-добре? Кое искаш?"

Вторият вариант на отговор: „Обикновена дроб е (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател!"

Вторият вариант е някак по-впечатляващ, нали?)

За тази цел фразата " математически израз "много добре. И правилно, и солидно. Но за практическо приложение трябва да сте добре запознати с него специфични видове изрази в математиката .

Конкретният тип е друг въпрос. то съвсем друго нещо!Всеки вид математически израз има моятанабор от правила и техники, които трябва да се използват при вземането на решение. За работа с дроби - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - вторият. За работа с логаритми - третият. И така нататък. Някъде тези правила съвпадат, някъде рязко се различават. Но не се плашете от тези ужасни думи. Логаритми, тригонометрия и други мистериозни неща ще усвоим в съответните раздели.

Тук ще овладеем (или - повторете, както искате...) два основни вида математически изрази. Числови изрази и алгебрични изрази.

Числови изрази.

Какво числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с числа. Така е. Математически израз, съставен от числа, скоби и знаци на аритметични операции, се нарича числов израз.

7-3 е числов израз.

(8+3,2) 5,4 също е числов израз.

И това чудовище:

също числов израз, да...

Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без х и други букви - всичко това са числови изрази.

основна характеристика числовиизрази в него няма букви. Нито един. Само числа и математически икони (ако е необходимо). Просто е, нали?

И какво може да се направи с числови изрази? Числовите изрази обикновено могат да бъдат преброени. За да направите това, понякога трябва да отваряте скоби, да променяте знаци, да съкращавате, да разменяте термини - т.е. направи преобразувания на изрази. Но повече за това по-долу.

Тук ще се занимаем с такъв забавен случай, когато с числен израз не трябва да правите нищо.Е, съвсем нищо! Тази хубава операция да не правя нищо)- се изпълнява, когато изразът няма смисъл.

Кога числовият израз няма смисъл?

Разбира се, ако видим пред себе си някаква абракадабра, като напр

тогава нищо няма да направим. Тъй като не е ясно какво да се прави с него. Някакви глупости. Освен ако не преброите броя на плюсовете ...

Но има външно доста прилични изрази. Например това:

(2+3) : (16 - 2 8)

Въпреки това, този израз също е няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броиш - получаваш нула. Не можеш да делиш на нула! Това е забранена операция в математиката. Следователно не е необходимо да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: — Изразът няма смисъл!

За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще бъде в скоби. И понякога в скоби такъв обрат ... Е, няма какво да се направи по въпроса.

В математиката няма толкова много забранени операции. Има само един в тази тема. Деление на нула. Допълнителни забрани, възникващи при корени и логаритми, се обсъждат в съответните теми.

И така, представа за това какво е числов израз- има. концепция числовият израз няма смисъл- осъзнах. Да отидем по-нататък.

Алгебрични изрази.

Ако в числов израз се появят букви, този израз става... Изразът става... Да! Става алгебричен израз. Например:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Такива изрази също се наричат буквални изрази.Или изрази с променливи.На практика е същото. Изразяване 5а +в, например - както буквални, така и алгебрични, и изрази с променливи.

концепция алгебричен израз -по-широк от числения. То включваи всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без буквите. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга...)

Защо буквален- ясно. Е, тъй като има букви ... Фраза израз с променливисъщо не е много объркващо. Ако разбирате, че цифрите са скрити под буквите. Под буквите могат да се скрият всякакви цифри ... И 5, и -18, и каквото искате. Тоест едно писмо може замениза различни номера. Затова се наричат ​​буквите променливи.

В израза у+5, например, при- променлива. Или просто кажете " променлива", без думата "стойност". За разлика от петицата, която е постоянна стойност. Или просто - постоянен.

Срок алгебричен изразозначава, че за да работите с този израз, трябва да използвате законите и правилата алгебра. Ако аритметикатогава работи с конкретни числа алгебра- с всички числа наведнъж. Прост пример за пояснение.

В аритметиката може да се напише това

Но ако напишем подобно равенство чрез алгебрични изрази:

a + b = b + a

веднага ще решим всичковъпроси. За всички числаудар. За безкрайно много неща. Защото под буквите аи bподразбира се всичкочисла. И не само числата, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.

Кога един алгебричен израз няма смисъл?

За числовия израз всичко е ясно. Не можеш да делиш на нула. А с буквите може ли да разберем на какво делим?!

Нека вземем следния променлив израз като пример:

2: (а - 5)

Има ли смисъл? Но кой го познава? а- всяко число...

Всякакви, всякакви... Но има едно значение а, за които този израз точноняма смисъл! И какво е това число? да 5 е! Ако променливата азаменете (казват - "заместване") с числото 5, в скоби ще се окаже нула. които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, ако а = 5. Но за други стойности аима ли смисъл? Можете ли да замените други числа?

Разбира се. В такива случаи просто се казва, че изразът

2: (а - 5)

има смисъл за всяка стойност а, с изключение на a = 5 .

Целият набор от числа могазаместител в дадения израз се извиква валиден диапазонтози израз.

Както можете да видите, няма нищо сложно. Разглеждаме израза с променливи и мислим: при каква стойност на променливата се получава забранената операция (деление на нула)?

И тогава не забравяйте да погледнете въпроса за задачата. Какво питат?

няма смисъл, нашата забранена стойност ще бъде отговорът.

Ако попитат при каква стойност на променливата е изразът има значението(почувствайте разликата!), отговорът ще бъде всички останали числас изключение на забраненото.

Защо се нуждаем от значението на израза? Има го, няма го... Каква е разликата?! Факт е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за такива солидни концепции като диапазона от валидни стойности или обхвата на функция. Без това изобщо няма да можете да решавате сериозни уравнения или неравенства. Като този.

Преобразуване на изрази. Трансформации на идентичността.

Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разберете какво означава фразата "изразът няма смисъл". Сега трябва да разберем какво преобразуване на изрази.Отговорът е прост, възмутително.) Това е всяко действие с израз. И това е. Вие правите тези трансформации от първи клас.

Вземете готиния числов израз 3+5. Как може да се преобразува? Да, много лесно! Изчисли:

Това изчисление ще бъде трансформацията на израза. Можете да напишете същия израз по различен начин:

Тук не сме броили нищо. Просто запишете израза в различна форма.Това също ще бъде трансформация на израза. Може да се напише така:

И това също е трансформация на израз. Можете да направите колкото искате от тези трансформации.

Всякаквидействие върху израз всякаквизаписването му в различна форма се нарича трансформация на израз. И всички неща. Всичко е много просто. Но тук има едно нещо много важно правило.Толкова важно, че спокойно може да се нарече основно правилоцялата математика. Нарушаването на това правило неизбежноводи до грешки. разбираме ли?)

Да кажем, че сме трансформирали нашия израз произволно, така:

Трансформация? Разбира се. Написахме израза в различна форма, какво не е наред тук?

Не е така.) Факт е, че трансформациите "както и да е"математиката изобщо не се интересува.) Цялата математика е изградена върху трансформации, при които външният вид се променя, но същността на израза не се променя.Три плюс пет може да се напише във всякаква форма, но трябва да е осем.

трансформации, изрази, които не променят същносттаНаречен идентичен.

Точно идентични трансформациии ни позволяват, стъпка по стъпка, да превърнем сложен пример в прост израз, запазвайки същността на примера.Ако направим грешка във веригата от трансформации, ще направим НЕ идентична трансформация, тогава ще решим другпример. С други отговори, които не са свързани с правилните.)

Тук е основното правило за решаване на всякакви задачи: спазване на идентичността на трансформациите.

Дадох пример с цифров израз 3 + 5 за яснота. В алгебричните изрази идентичните трансформации се дават чрез формули и правила. Да кажем, че има формула в алгебрата:

a(b+c) = ab + ac

Така че във всеки пример можем вместо израза a(b+c)не се колебайте да напишете израз ab+ac. И обратно. то идентична трансформация.Математиката ни дава избор между тези два израза. А кой да напише зависи от конкретния пример.

Друг пример. Едно от най-важните и необходими трансформации е основното свойство на дроб. Повече подробности можете да видите на линка, но тук само напомням правилото: ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.Ето пример за идентични трансформации за това свойство:

Както вероятно се досещате, тази верига може да бъде продължена безкрайно...) Много важно свойство. Именно то ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)

Има много формули, дефиниращи идентични трансформации. Но най-важното - доста разумна сума. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всякаква математика – от начална до напреднала. Да започнем с него. в следващия урок.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Формула

Събиране, изваждане, умножение, деление - аритметични операции (или аритметични операции). Тези аритметични операции съответстват на знаците на аритметичните операции:

+ (Прочети " плюс") - знакът на операцията за добавяне,

- (Прочети " минус") - знакът на операцията за изваждане,

∙ (Прочети " умножават се") - знакът на операцията за умножение,

: (Прочети " разделям") е знакът на операцията за деление.

Извиква се запис, състоящ се от числа, свързани помежду си със знаци на аритметични операции числено изражение.Скобите могат да присъстват и в числов израз, например запис 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) е числов израз.

Резултатът от извършването на операции с числа в числов израз се нарича стойността на числов израз. Извършването на тези действия се нарича изчисляване на стойността на числов израз. Преди да напишете стойността на числов израз, поставете знак за равенство"=". Таблица 1 показва примери за числови изрази и техните значения.

Запис, състоящ се от цифри и малки букви от латинската азбука, свързани помежду си със знаци на аритметични операции, се нарича буквален израз. Този запис може да съдържа скоби. Например вписването а +b - 3 ∙° Се буквален израз. Вместо букви в буквален израз можете да замените различни числа. В този случай значението на буквите може да се промени, така че буквите в буквалния израз също се наричат променливи.

Замествайки числа вместо букви в буквалния израз и изчислявайки стойността на получения числов израз, те намират стойността на буквален израз, дадена на стойностите на буквите(за дадените стойности на променливите). Таблица 2 показва примери за буквални изрази.

Буквалният израз може да няма стойност, ако чрез заместване на стойностите на буквите се получи числов израз, чиято стойност за естествени числа не може да бъде намерена. Такъв числов израз се нарича неправилноза естествени числа. Те също така казват, че значението на такъв израз " недефиниран"за естествени числа и самия израз "няма смисъл". Например буквалният израз а-бняма значение за a = 10 и b = 17. Наистина, за естествените числа умаленото не може да бъде по-малко от субтрахенда. Например, ако имате само 10 ябълки (a = 10), не можете да подарите 17 от тях (b = 17)!

Таблица 2 (колона 2) показва пример за буквален израз. По аналогия попълнете таблицата изцяло.

За естествени числа изразът 10 -17 грешно (няма смисъл), т.е. разликата 10 -17 не може да се изрази като естествено число. Друг пример: не можете да разделите на нула, така че за всяко естествено число b, частното b:0 недефиниран.

Математическите закони, свойства, някои правила и съотношения често се записват в буквална форма (т.е. под формата на буквален израз). В тези случаи се извиква буквалният израз формула. Например, ако страните на седмоъгълник са равни а,б,° С,д,д,е,ж, след това формулата (буквален израз) за изчисляване на неговия периметър стризглежда като:

p=а +б +c +d+д +f +ж

За a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметърът на седмоъгълника е p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

За a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметърът на друг седмоъгълник е p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Речник

Направете речник на новите термини и определения от параграфа. За да направите това, в празните клетки въведете думите от списъка с термини по-долу. В таблицата (в края на блока) посочете номерата на термините в съответствие с номерата на кадрите. Препоръчва се внимателно да прегледате параграфа, преди да попълните клетките на речника.

1. Операции: събиране, изваждане, умножение, деление.

2. Знаци "+" (плюс), "-" (минус), "∙" (умножение, " : " (разделям).

3. Запис, състоящ се от числа, които са свързани помежду си със знаци на аритметични операции и в които могат да присъстват и скоби.

4. Резултатът от извършването на операции с числа в числено изражение.

5. Знакът пред стойността на числов израз.

6. Запис, състоящ се от цифри и малки букви от латинската азбука, свързани помежду си със знаци на аритметични операции (може да има и скоби).

7. Общото наименование на буквите в буквалния израз.

8. Стойността на числов израз, която се получава чрез заместване на променливи в буквален израз.

9. Числен израз, чиято стойност за естествени числа не може да бъде намерена.

10. Числен израз, чиято стойност за естествени числа може да се намери.

11. Математически закони, свойства, някои правила и съотношения, написани в буквална форма.

12. Азбука, чиито малки букви се използват за писане на буквални изрази.

Блок 2. Съвпадение

Свържете задачата в лявата колона с решението в дясната. Запишете отговора във формата: 1a, 2d, 3b ...

Блок 3. Фасетен тест. Цифрови и азбучни изрази

Фасетираните тестове заменят колекцията от задачи по математика, но се сравняват благоприятно с тях, тъй като могат да се решават на компютър, да се проверяват решенията и веднага да се разбере резултатът от работата. Този тест съдържа 70 задачи. Но можете да решавате задачи по избор, за това има таблица за оценка, в която са изброени прости задачи и по-трудни. По-долу има тест.

1. Даден е триъгълник със страни ° С,д,м,изразено в cm
2. Даден е четириъгълник със страни б,° С,д,мизразено в m
3. Скоростта на автомобила в km/h е б,времето за пътуване в часове е д
4. Разстояние, изминато от турист мчаса, е скм
5. Разстоянието, изминато от турист, движещ се със скорост мкм/ч е bкм
6. Сборът на две числа е по-голям от второто число с 15
7. Разликата е по-малка от намалената със 7
8. Пътническият лайнер има две палуби с еднакъв брой пътнически места. Във всеки от редовете на палубата мседалки, редове на палубата нповече от места в ред
9. Петя е на m години Маша е на n години, а Катя е на k години по-малка от Петя и Маша заедно
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. Стойността на този израз
2. Буквалният израз за периметъра е
3. Периметър, изразен в сантиметри
4. Формула за изминатото разстояние s от автомобила
5. Формула за скорост v, туристически движения
6. Времева формула t, туристически движения
7. Изминато разстояние с кола в километри
8. Туристическа скорост в километри в час
9. Време за пътуване в часове
10. Първото число е...
11. Извадено е равно на...
12. Изразът за най-големия брой пътници, които лайнерът може да превози кполети
13. Най-големият брой пътници, които един самолет може да превози кполети
14. Буквен израз за възрастта на Катя
15. Възрастта на Катя
16. Координатата на точка B, ако координатата на точка C е T
17. Координатата на точка D, ако координатата на точка C е T
18. Координатата на точка А, ако координатата на точка С е T
19. Дължината на отсечката BD на числовата ос
20. Дължината на отсечката CA на числовата ос
21. Дължината на отсечката DA на числовата ос

аз Изрази, в които заедно с букви могат да се използват числа, знаци на аритметични операции и скоби, се наричат ​​алгебрични изрази.

Примери за алгебрични изрази:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4а + 2б); a 2 - 2ab;

Тъй като буква в алгебричен израз може да бъде заменена с няколко различни числа, буквата се нарича променлива, а самият алгебричен израз се нарича израз с променлива.

II. Ако в алгебричен израз буквите (променливите) се заменят с техните стойности и се извършат посочените действия, тогава полученото число се нарича стойност на алгебричния израз.

Примери. Намерете стойността на израз:

1) a + 2b -c за a = -2; b = 10; с = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y=-5; z = 6.

Решение.

1) a + 2b -c за a = -2; b = 10; с = -3,5. Вместо променливи, заместваме техните стойности. Получаваме:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y=-5; z = 6. Заменяме посочените стойности. Не забравяйте, че модулът на отрицателно число е равен на противоположното му число, а модулът на положително число е равен на самото това число. Получаваме:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.Стойностите на буква (променлива), за които алгебричният израз има смисъл, се наричат ​​валидни стойности на буквата (променлива).

Примери. При какви стойности на променливата изразът няма смисъл?

Решение.Знаем, че е невъзможно да се раздели на нула, следователно всеки от тези изрази няма да има смисъл със стойността на буквата (променливата), която превръща знаменателя на дробта в нула!

В пример 1) това е стойността a = 0. Наистина, ако вместо a заместим 0, тогава числото 6 ще трябва да бъде разделено на 0, но това не може да стане. Отговор: израз 1) няма смисъл, когато a = 0.

В пример 2) знаменателят x - 4 = 0 при x = 4, следователно тази стойност x = 4 и не може да бъде взета. Отговор: израз 2) няма смисъл за x = 4.

В пример 3) знаменателят е x + 2 = 0 за x = -2. Отговор: израз 3) няма смисъл при x = -2.

В пример 4) знаменателят е 5 -|x| = 0 за |x| = 5. И тъй като |5| = 5 и |-5| \u003d 5, тогава не можете да вземете x \u003d 5 и x \u003d -5. Отговор: израз 4) няма смисъл за x = -5 и за x = 5.
IV. Два израза се наричат ​​идентично равни, ако за всякакви допустими стойности на променливите съответните стойности на тези изрази са равни.

Пример: 5 (a - b) и 5a - 5b са идентични, тъй като равенството 5 (a - b) = 5a - 5b ще бъде вярно за всякакви стойности на a и b. Равенство 5 (a - b) = 5a - 5b е идентичност.

Идентичност е равенство, което е валидно за всички допустими стойности на променливите, включени в него. Примери за тъждества, които вече са ви известни, са например свойствата на събиране и умножение, свойството на разпределение.

Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича тъждествено преобразуване или просто преобразуване на израз. Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

Примери.

а)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате разпределителното свойство на умножението:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение. Спомнете си разпределителното свойство (закон) на умножението:

(a+b) c=a c+b c(закон за разпределение на умножението по отношение на събирането: за да умножите сумата от две числа по трето число, можете да умножите всеки член по това число и да добавите резултатите).
(a-b) c=a c-b c(закон за разпределение на умножението по отношение на изваждането: за да умножите разликата на две числа по трето число, можете да умножите по това число, намалено и извадено отделно и да извадите второто от първия резултат).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на събирането:

4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Решение.Прилагаме законите (свойствата) на събирането:

a+b=b+a(преместване: сборът не се променя от пренареждането на членовете).
(a+b)+c=a+(b+c)(асоциативно: за да добавите трето число към сумата от два члена, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

в)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на умножението:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2 г · (-един); 9) 3а · (-3) · 2s.

Решение.Нека приложим законите (свойствата) на умножението:

a b=b a(преместване: пермутацията на фактори не променя продукта).
(a b) c=a (b c)(комбинативно: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 г · (-1) = 7 г.

9) 3а · (-3) · 2s = -18as.

Ако алгебричен израз е даден като редуцируема дроб, тогава с помощта на правилото за редуциране на дроби той може да бъде опростен, т.е. заменете идентично равен на него с по-прост израз.

Примери. Опростете, като използвате съкращаване на дроби.

Решение.Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също число (израз), различно от нула. Дроб 10) ще бъде намалена с 3б; дроб 11) намалете с аи дроб 12) намалете с 7n. Получаваме:

Алгебричните изрази се използват за формулиране на формули.

Формулата е алгебричен израз, записан като равенство, което изразява връзката между две или повече променливи.Пример: формулата на пътя, която знаете s=v t(s е изминатото разстояние, v е скоростта, t е времето). Спомнете си какви други формули знаете.

Страница 1 от 1 1

Когато изучавате темата за числови, буквени изрази и изрази с променливи, е необходимо да обърнете внимание на понятието стойност на израза. В тази статия ще отговорим на въпроса каква е стойността на числов израз и какво се нарича стойност на буквален израз и израз с променливи за избраните стойности на променливите. За да изясним тези определения, даваме примери.

Навигация в страницата.

Каква е стойността на числов израз?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика в училище. Почти веднага се въвежда понятието „стойност на числов израз“. Отнася се за изрази, съставени от числа, свързани с аритметични знаци (+, −, ·, :). Нека дадем подходящо определение.

Определение.

Стойността на числов израз- това е числото, което се получава след извършване на всички действия в оригиналния числов израз.

Например, разгледайте числовия израз 1+2. След изпълнение получаваме числото 3, то е стойността на числовия израз 1+2.

Често във фразата „стойност на числов израз“ се пропуска думата „числов“ и се казва просто „стойност на израза“, тъй като все още е ясно кой израз се има предвид.

Горната дефиниция на значението на израза важи и за числови изрази от по-сложен вид, които се изучават в гимназията. Тук трябва да се отбележи, че може да се натъкнете на числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат посочени. Това се дължи на факта, че в някои изрази е невъзможно да се изпълнят записаните действия. Например, следователно не можем да посочим стойността на израза 3:(2−2) . Такива числови изрази се наричат изрази, които нямат смисъл.

Често на практика интерес представлява не толкова числовият израз, колкото неговата стойност. Тоест възниква задачата, която се състои в определяне на стойността на този израз. В този случай те обикновено казват, че трябва да намерите стойността на израза. В тази статия процесът на намиране на стойността на числови изрази от различни типове е анализиран подробно и са разгледани много примери с подробно описание на решенията.

Значение на буквални и променливи изрази

В допълнение към числовите изрази, те изучават буквални изрази, тоест изрази, в които присъстват една или повече букви заедно с числа. Буквите в буквален израз могат да означават различни числа и ако буквите се заменят с тези числа, тогава буквалният израз става числов.

Определение.

Наричат ​​се числата, които заместват букви в буквен израз значенията на тези букви, а стойността на получения числен израз се извиква стойността на буквалния израз предвид стойностите на буквите.

Така че за буквалните изрази се говори не само за значението на буквален израз, а за значението на буквален израз за дадени (дадени, посочени и т.н.) стойности на букви.

Да вземем пример. Нека вземем буквалния израз 2·a+b. Нека стойностите на буквите a и b са дадени, например a=1 и b=6. Заменяйки буквите в оригиналния израз с техните стойности, получаваме числов израз от формата 2 1+6 , чиято стойност е 8 . По този начин числото 8 е стойността на буквалния израз 2·a+b при дадени стойности на буквите a=1 и b=6. Ако бяха дадени други буквени стойности, тогава ще получим стойността на буквалния израз за тези буквени стойности. Например при a=5 и b=1 имаме стойност 2 5+1=11 .

В гимназията, когато се изучава алгебра, буквите в буквалните изрази могат да приемат различни значения, такива букви се наричат ​​променливи, а буквалните изрази са изрази с променливи. За тези изрази се въвежда концепцията за стойността на израз с променливи за избраните стойности на променливите. Нека да разберем какво е то.

Определение.

Стойността на израз с променливи за избраните стойности на променливитесе нарича стойността на числов израз, който се получава след заместване на избраните стойности на променливите в оригиналния израз.

Нека обясним прозвучалото определение с пример. Да разгледаме израз с променливи x и y във формата 3·x·y+y. Нека вземем x=2 и y=4, заместваме тези стойности на променливата в оригиналния израз, получаваме числения израз 3 2 4+4. Нека изчислим стойността на този израз: 3 2 4+4=24+4=28 . Намерената стойност 28 е стойността на оригиналния израз с променливите 3·x·y+y с избраните стойности на променливите x=2 и y=4.

Ако изберете други стойности на променливи, например x=5 и y=0 , тогава тези избрани стойности на променливи ще съответстват на стойността на израза с променливи, равни на 3 5 0+0=0 .

Може да се отбележи, че понякога равни стойности на израза могат да бъдат получени за различни избрани стойности на променливи. Например, за x=9 и y=1, стойността на израза 3 x y+y е 28 (защото 3 9 1+1=27+1=28), а по-горе показахме, че същата стойност е израз с променливи има при x=2 и y=4.

Стойностите на променливите могат да бъдат избрани от съответните им диапазони на приемливи стойности. В противен случай заместването на стойностите на тези променливи в оригиналния израз ще доведе до цифров израз, който няма смисъл. Например, ако изберете x=0 и заместите тази стойност в израза 1/x, ще получите числовия израз 1/0, което няма смисъл, тъй като делението на нула е недефинирано.

Остава само да добавим, че има изрази с променливи, чиито стойности не зависят от стойностите на съставните им променливи. Например, стойността на израз с променлива x във формата 2+x−x не зависи от стойността на тази променлива, тя е равна на 2 за всяка избрана стойност на променливата x от нейния диапазон от валидни стойности, което в този случай е множеството от всички реални числа.

Библиография.

• Математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.