ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ คุณต้อง:

1. วิเคราะห์วัตถุหรือกระบวนการจริงอย่างรอบคอบ
2. เน้นคุณสมบัติและคุณสมบัติที่สำคัญที่สุด
3. กำหนดตัวแปร กล่าวคือ พารามิเตอร์ที่มีค่าส่งผลต่อคุณสมบัติหลักและคุณสมบัติของวัตถุ
4. อธิบายการพึ่งพาคุณสมบัติพื้นฐานของอ็อบเจกต์ กระบวนการ หรือระบบต่อค่าของตัวแปรโดยใช้ความสัมพันธ์เชิงตรรกะและคณิตศาสตร์ (สมการ ความเสมอภาค อสมการ โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์)
5. เน้นการเชื่อมต่อภายในของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบโดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเท่าเทียมกัน ความไม่เท่าเทียมกัน โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์
6. กำหนดความสัมพันธ์ภายนอกและอธิบายโดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเสมอภาค อสมการ โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ และการรวบรวมคำอธิบายทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังรวมถึง:

1. การสร้างอัลกอริทึมที่จำลองพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ
2. การทวนสอบความเพียงพอของแบบจำลองและวัตถุ กระบวนการหรือระบบโดยอาศัยการทดลองทางคอมพิวเตอร์และทางธรรมชาติ
3. การปรับรุ่น;
4. โดยใช้โมเดล

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการและระบบภายใต้การศึกษาขึ้นอยู่กับ:

1. ธรรมชาติของกระบวนการหรือระบบจริงและถูกรวบรวมบนพื้นฐานของกฎฟิสิกส์ เคมี กลศาสตร์ อุณหพลศาสตร์ อุทกพลศาสตร์ วิศวกรรมไฟฟ้า ทฤษฎีของพลาสติก ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ
2. ความน่าเชื่อถือและความถูกต้องของการศึกษาและการศึกษากระบวนการและระบบที่แท้จริง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเริ่มต้นด้วยการสร้างและวิเคราะห์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุดของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ในอนาคต หากจำเป็น แบบจำลองจะได้รับการปรับปรุง ความสอดคล้องกับวัตถุจะสมบูรณ์ยิ่งขึ้น

ลองมาดูตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องกำหนดพื้นที่ผิวของโต๊ะ โดยปกติสำหรับสิ่งนี้จะวัดความยาวและความกว้างจากนั้นจึงนำตัวเลขที่ได้มาคูณกัน ขั้นตอนพื้นฐานดังกล่าวจริง ๆ แล้วหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: วัตถุจริง (พื้นผิวตาราง) ถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นามธรรม - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาดที่ได้จากการวัดความยาวและความกว้างของพื้นผิวโต๊ะนั้นมาจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังกล่าวจะประมาณว่าเป็นพื้นที่ที่ต้องการของตาราง อย่างไรก็ตาม โมเดลสี่เหลี่ยมผืนผ้าตั้งโต๊ะเป็นโมเดลที่เรียบง่ายและหยาบที่สุด ด้วยแนวทางแก้ไขปัญหาที่จริงจังมากขึ้น ก่อนที่จะใช้แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อกำหนดพื้นที่ตาราง แบบจำลองนี้ต้องได้รับการตรวจสอบ การตรวจสอบสามารถทำได้ดังนี้: วัดความยาวของด้านตรงข้ามของตารางตลอดจนความยาวของเส้นทแยงมุมและเปรียบเทียบกัน ถ้าด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ ความยาวของด้านตรงข้ามและความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากัน ดังนั้นพื้นผิวของตารางจึงถือเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ มิฉะนั้น แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะต้องถูกปฏิเสธและแทนที่ด้วยแบบจำลองสี่เหลี่ยมทั่วไป ด้วยความต้องการความแม่นยำที่สูงขึ้น อาจจำเป็นต้องปรับแต่งโมเดลให้ดียิ่งขึ้นไปอีก ตัวอย่างเช่น โดยคำนึงถึงการปัดเศษของมุมโต๊ะด้วย

ด้วยความช่วยเหลือของตัวอย่างง่ายๆ นี้ แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยวัตถุ กระบวนการ หรือ ระบบ.

หรือ (จะได้รับการยืนยันในวันพรุ่งนี้)

วิธีแก้เสื่อ. รุ่น:

1, การสร้าง ม. บนพื้นฐานของกฎธรรมชาติ (วิธีการวิเคราะห์)

2. วิธีที่เป็นทางการด้วยความช่วยเหลือของสถิติ ผลการประมวลผลและการวัด (วิธีการทางสถิติ)

3. การสร้างมิเตอร์ตามแบบจำลองขององค์ประกอบ (ระบบที่ซับซ้อน)

1, วิเคราะห์ - ใช้กับการศึกษาที่เพียงพอ. ความสม่ำเสมอทั่วไปที่ทราบ โมเดล

2. การทดลอง ในกรณีที่ไม่มีข้อมูล

3. เลียนแบบ m. - สำรวจคุณสมบัติของวัตถุ sst. โดยทั่วไป.

ตัวอย่างการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการแสดงทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ล้วนเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยจะแทนที่วัตถุด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมต่อของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กับความเป็นจริงนั้นดำเนินการโดยใช้ห่วงโซ่ของสมมติฐาน การทำให้เป็นอุดมคติ และการทำให้เข้าใจง่าย ด้วยความช่วยเหลือของวิธีการทางคณิตศาสตร์ตามกฎแล้วจะมีการอธิบายวัตถุในอุดมคติซึ่งสร้างขึ้นในขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย

เหตุใดจึงต้องมีแบบจำลอง

บ่อยครั้งเมื่อศึกษาวัตถุจะเกิดปัญหาขึ้น ต้นฉบับอาจไม่พร้อมใช้งานในบางครั้ง หรือไม่แนะนำให้ใช้ หรือการมีส่วนร่วมของต้นฉบับมีค่าใช้จ่ายสูง ปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการจำลอง แบบจำลองในแง่หนึ่งสามารถแทนที่วัตถุภายใต้การศึกษาได้

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของโมเดล

§ ภาพถ่ายสามารถเรียกได้ว่าเป็นแบบอย่างของบุคคล เพื่อที่จะจำบุคคลได้ก็เพียงพอที่จะเห็นรูปถ่ายของเขา

§ สถาปนิกสร้างเลย์เอาต์ของพื้นที่อยู่อาศัยใหม่ เขาสามารถย้ายอาคารสูงจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งได้ด้วยมือของเขา ในความเป็นจริงนี้จะเป็นไปไม่ได้

ประเภทรุ่น

โมเดลสามารถแบ่งออกเป็น วัสดุ"และ ในอุดมคติ. ตัวอย่างข้างต้นเป็นแบบจำลองวัสดุ โมเดลในอุดมคติมักมีรูปทรงที่เป็นสัญลักษณ์ ในขณะเดียวกัน แนวคิดที่แท้จริงก็ถูกแทนที่ด้วยสัญญาณบางอย่าง ซึ่งสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายบนกระดาษ ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ ฯลฯ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นของคลาสของการสร้างแบบจำลองสัญญาณ ในเวลาเดียวกัน แบบจำลองสามารถสร้างขึ้นจากวัตถุทางคณิตศาสตร์ใดๆ: ตัวเลข ฟังก์ชัน สมการ ฯลฯ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

§ มีหลายขั้นตอนในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์:

1. เข้าใจงาน เน้นคุณภาพ คุณสมบัติ ค่านิยม และพารามิเตอร์ที่สำคัญที่สุดสำหรับเรา

2. การแนะนำสัญกรณ์

3. จัดทำระบบข้อ จำกัด ที่ต้องปฏิบัติตามค่าที่ป้อน

4. การกำหนดและการบันทึกสภาวะที่โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดต้องเป็นไปตามที่ต้องการ

กระบวนการสร้างแบบจำลองไม่ได้จบลงด้วยการรวบรวมแบบจำลอง แต่จะเริ่มต้นด้วยมันเท่านั้น เมื่อรวบรวมแบบจำลองแล้วจึงเลือกวิธีการหาคำตอบแก้ปัญหา เมื่อพบคำตอบแล้วให้เปรียบเทียบกับความเป็นจริง และเป็นไปได้ว่าคำตอบไม่เป็นที่พอใจ ซึ่งในกรณีนี้ โมเดลจะถูกปรับเปลี่ยนหรือเลือกแบบจำลองที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

งาน

สมาคมการผลิต ซึ่งรวมถึงโรงงานเฟอร์นิเจอร์ 2 แห่ง จำเป็นต้องปรับปรุงลานจอดเครื่องจักร นอกจากนี้ โรงงานเฟอร์นิเจอร์แห่งแรกจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องจักรสามเครื่อง และอีกเจ็ดเครื่องที่สอง สามารถสั่งซื้อได้ที่โรงงานเครื่องมือเครื่องจักรสองแห่ง โรงงานแรกสามารถผลิตเครื่องจักรได้ไม่เกิน 6 เครื่อง และโรงงานแห่งที่สองจะยอมรับคำสั่งซื้อหากมีอย่างน้อยสามเครื่อง จำเป็นต้องกำหนดวิธีการสั่งซื้อ

แนวคิดของแบบจำลองและการจำลอง

แบบจำลองในความหมายกว้าง- นี่คือภาพใดๆ ที่คล้ายคลึงกันของภาพในจิตใจหรือภาพที่สร้างขึ้น คำอธิบาย ไดอะแกรม ภาพวาด แผนที่ ฯลฯ ของปริมาณ กระบวนการหรือปรากฏการณ์ใดๆ ที่ใช้แทนหรือเป็นตัวแทน วัตถุ กระบวนการ หรือปรากฏการณ์นั้นเรียกว่าต้นแบบของโมเดลนี้

การสร้างแบบจำลอง - เป็นการศึกษาวัตถุหรือระบบของวัตถุใด ๆ โดยการสร้างและศึกษาแบบจำลองของมัน นี่คือการใช้แบบจำลองเพื่อกำหนดหรือปรับแต่งคุณลักษณะและหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของวิธีการสร้างวัตถุที่สร้างขึ้นใหม่

วิธีการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ใด ๆ ขึ้นอยู่กับแนวคิดของการสร้างแบบจำลองในขณะเดียวกันเครื่องหมายชนิดต่าง ๆ แบบจำลองนามธรรมถูกนำมาใช้ในวิธีการทางทฤษฎีและแบบจำลองหัวเรื่องที่ใช้ในการทดลอง

ในการศึกษานี้ ปรากฏการณ์จริงที่ซับซ้อนถูกแทนที่ด้วยสำเนาหรือโครงร่างที่ง่ายขึ้น บางครั้งสำเนาดังกล่าวมีไว้เพื่อจดจำและรับรู้ปรากฏการณ์ที่ต้องการในการประชุมครั้งต่อไปเท่านั้น บางครั้งรูปแบบที่สร้างขึ้นสะท้อนถึงคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างช่วยให้คุณเข้าใจกลไกของปรากฏการณ์ทำให้สามารถทำนายการเปลี่ยนแปลงได้ โมเดลที่แตกต่างกันสามารถสอดคล้องกับปรากฏการณ์เดียวกันได้

หน้าที่ของผู้วิจัยคือการทำนายธรรมชาติของปรากฏการณ์และขั้นตอนของกระบวนการ

บางครั้งก็เกิดขึ้นที่วัตถุที่มีอยู่ แต่การทดลองกับวัตถุนั้นมีราคาแพงหรือนำไปสู่ผลกระทบด้านสิ่งแวดล้อมที่ร้ายแรง ความรู้เกี่ยวกับกระบวนการดังกล่าวได้มาจากความช่วยเหลือของแบบจำลอง

จุดสำคัญคือธรรมชาติของวิทยาศาสตร์ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการศึกษาปรากฏการณ์เฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่เป็นปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกันในวงกว้าง มันแสดงถึงความจำเป็นในการกำหนดข้อความหมวดหมู่ทั่วไปซึ่งเรียกว่ากฎหมาย โดยธรรมชาติแล้ว ด้วยสูตรดังกล่าว รายละเอียดหลายอย่างจึงถูกละเลย เพื่อที่จะระบุรูปแบบได้ชัดเจนยิ่งขึ้น พวกเขาจงใจใช้ความหยาบ การทำให้เป็นอุดมคติ แผนผัง กล่าวคือ พวกเขาไม่ได้ศึกษาปรากฏการณ์นั้นเอง แต่เป็นสำเนาหรือแบบจำลองที่แน่นอนไม่มากก็น้อย กฎหมายทั้งหมดเป็นกฎหมายเกี่ยวกับแบบจำลอง ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่เมื่อเวลาผ่านไป จะพบว่าทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์บางอย่างใช้ไม่ได้ สิ่งนี้ไม่ได้นำไปสู่การล่มสลายของวิทยาศาสตร์ เนื่องจากแบบจำลองหนึ่งถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองอื่น ทันสมัยขึ้น.

บทบาทพิเศษทางวิทยาศาสตร์เล่นโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ วัสดุก่อสร้างและเครื่องมือของแบบจำลองเหล่านี้ - แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ได้สะสมและปรับปรุงมาเป็นเวลาหลายพันปี คณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นวิธีการวิจัยที่มีประสิทธิภาพและเป็นสากล เกือบทุกแนวคิดในวิชาคณิตศาสตร์ ทุกวัตถุทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากแนวคิดของตัวเลข เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่นั้น จะแยกแยะลักษณะเฉพาะ คุณลักษณะ และรายละเอียดของวัตถุนั้นออก ซึ่งในด้านหนึ่งมีข้อมูลที่ครบถ้วนสมบูรณ์เกี่ยวกับวัตถุนั้นมากหรือน้อย และในทางกลับกัน อนุญาตให้ใช้ทางคณิตศาสตร์ การทำให้เป็นทางการ การจัดรูปแบบทางคณิตศาสตร์หมายความว่าคุณลักษณะและรายละเอียดของวัตถุสามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม: ตัวเลข ฟังก์ชัน เมทริกซ์ และอื่นๆ จากนั้นการเชื่อมต่อและความสัมพันธ์ที่พบและสันนิษฐานในวัตถุภายใต้การศึกษาระหว่างแต่ละส่วนและส่วนประกอบสามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์: ความเท่าเทียมกัน, ความไม่เท่าเทียมกัน, สมการ ผลที่ได้คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา กล่าวคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักเกี่ยวข้องกับกฎการดำเนินการบางอย่างกับวัตถุที่กำลังศึกษา กฎเหล่านี้สะท้อนถึงความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นขั้นตอนสำคัญในการศึกษาหรือออกแบบระบบใดๆ การวิเคราะห์วัตถุในภายหลังทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณภาพของแบบจำลอง การสร้างแบบจำลองไม่ใช่ขั้นตอนที่เป็นทางการ ขึ้นอยู่กับผู้วิจัยอย่างมาก ประสบการณ์และรสนิยมของเขา ขึ้นอยู่กับวัสดุทดลองบางอย่างเสมอ แบบจำลองควรมีความถูกต้องเพียงพอ เพียงพอ และสะดวกต่อการใช้งาน

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นมุ่งมั่น และ สุ่ม .

กำหนดขึ้น แบบอย่าง และ - เหล่านี้เป็นแบบจำลองที่มีการกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวแปรที่อธิบายวัตถุหรือปรากฏการณ์

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับกลไกการทำงานของวัตถุ วัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองมักจะซับซ้อนและการถอดรหัสกลไกของวัตถุนั้นอาจใช้เวลานานและใช้เวลานาน ในกรณีนี้ พวกเขาดำเนินการดังนี้: การทดลองดำเนินการกับต้นฉบับ ผลลัพธ์จะถูกประมวลผล และโดยไม่ต้องเจาะลึกกลไกและทฤษฎีของวัตถุแบบจำลอง โดยใช้วิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง ตัวแปรที่อธิบายวัตถุ ในกรณีนี้ รับสุ่ม แบบอย่าง . ที่ สุ่ม แบบจำลอง ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเป็นแบบสุ่ม บางครั้งก็เกิดขึ้นโดยพื้นฐาน ผลกระทบของปัจจัยจำนวนมาก การรวมกันของปัจจัยเหล่านี้นำไปสู่ชุดตัวแปรสุ่มที่อธิบายวัตถุหรือปรากฏการณ์ โดยธรรมชาติของโหมด ตัวแบบคือสถิติ และ พลวัต.

สถิติแบบอย่างรวมคำอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลักของวัตถุจำลองในสถานะคงตัวโดยไม่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์เมื่อเวลาผ่านไป

ที่ พลวัตรุ่นอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลักของวัตถุจำลองในการเปลี่ยนจากโหมดหนึ่งไปอีกโหมดหนึ่ง

โมเดลคือ ไม่ต่อเนื่องและ ต่อเนื่อง, เช่นเดียวกับ ผสม พิมพ์. ที่ ต่อเนื่อง ตัวแปรรับค่าจากช่วงเวลาหนึ่งในไม่ต่อเนื่องตัวแปรรับค่าที่แยกออกมา

โมเดลเชิงเส้น- ฟังก์ชันและความสัมพันธ์ทั้งหมดที่อธิบายแบบจำลองนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นมิฉะนั้น.

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ความต้องการ , นำเสนอ ให้กับโมเดล

1. ความเก่งกาจ- กำหนดลักษณะความสมบูรณ์ของการแสดงผลตามแบบจำลองคุณสมบัติที่ศึกษาของวัตถุจริง

1. ความเพียงพอ - ความสามารถในการสะท้อนคุณสมบัติที่ต้องการของวัตถุโดยมีข้อผิดพลาดไม่สูงกว่าที่ระบุ
2. ความแม่นยำ - ประมาณโดยระดับของความบังเอิญของค่าลักษณะของวัตถุจริงและค่าของลักษณะเหล่านี้ที่ได้รับโดยใช้แบบจำลอง
3. เศรษฐกิจ - กำหนดโดยต้นทุนของทรัพยากรหน่วยความจำคอมพิวเตอร์และเวลาสำหรับการใช้งานและการดำเนินงาน

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลอง

1. คำชี้แจงของปัญหา

การกำหนดวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์และวิธีการเพื่อให้บรรลุและพัฒนาแนวทางร่วมกันสำหรับปัญหาภายใต้การศึกษา ในขั้นตอนนี้ จำเป็นต้องมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในสาระสำคัญของงาน บางครั้ง การกำหนดงานให้ถูกต้องนั้นไม่ยากน้อยกว่าการแก้ปัญหา การแสดงละครไม่ใช่กระบวนการที่เป็นทางการ ไม่มีกฎเกณฑ์ทั่วไป

2. การศึกษาฐานรากทางทฤษฎีและการรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุประสงค์ของต้นฉบับ

ในขั้นตอนนี้จะมีการเลือกหรือพัฒนาทฤษฎีที่เหมาะสม หากไม่มีอยู่ จะมีการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างตัวแปรที่อธิบายวัตถุ ข้อมูลอินพุตและเอาต์พุตถูกกำหนดโดยทำให้สมมติฐานง่ายขึ้น

3. การทำให้เป็นทางการ

ประกอบด้วยการเลือกระบบสัญลักษณ์และใช้เพื่อเขียนความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบของวัตถุในรูปแบบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ มีการสร้างคลาสของงานซึ่งสามารถนำมาประกอบกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เป็นผลลัพธ์ของวัตถุได้ อาจยังไม่ได้ระบุค่าของพารามิเตอร์บางตัวในขั้นตอนนี้

4. การเลือกวิธีการแก้ปัญหา

ในขั้นตอนนี้ พารามิเตอร์ขั้นสุดท้ายของแบบจำลองจะถูกกำหนดโดยคำนึงถึงเงื่อนไขสำหรับการทำงานของวัตถุ สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับ จะเลือกวิธีแก้ไขหรือพัฒนาวิธีพิเศษ เมื่อเลือกวิธีการ ความรู้ของผู้ใช้ ความชอบของเขา และความชอบของนักพัฒนาจะถูกนำมาพิจารณาด้วย

5. การดำเนินการตามแบบจำลอง

หลังจากพัฒนาอัลกอริธึมแล้ว โปรแกรมจะถูกเขียนขึ้นซึ่งถูกดีบั๊ก ทดสอบ และได้วิธีแก้ไขปัญหาที่ต้องการ

6. การวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้รับ

มีการเปรียบเทียบโซลูชันที่ได้รับและที่คาดไว้ ข้อผิดพลาดของแบบจำลองถูกควบคุม

7. ตรวจสอบความเพียงพอของวัตถุจริง

ผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจำลองจะถูกเปรียบเทียบไม่ว่าจะด้วยข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับวัตถุหรือทำการทดลองและเปรียบเทียบผลลัพธ์กับสิ่งที่คำนวณได้

กระบวนการสร้างแบบจำลองเป็นแบบวนซ้ำ กรณีที่ผลงานไม่เป็นที่น่าพอใจ 6. หรือ 7. กลับไปสู่ระยะแรกซึ่งอาจนำไปสู่การพัฒนาแบบจำลองที่ไม่ประสบความสำเร็จ ขั้นตอนนี้และขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดได้รับการขัดเกลา และการปรับแต่งแบบจำลองดังกล่าวจะเกิดขึ้นจนกว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ยอมรับได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงในภาษาคณิตศาสตร์ จุดประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือการสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการรับรู้ของโลกรอบข้าง ซึ่งทำให้สามารถควบคุมได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการทดลองเต็มรูปแบบในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีจักรวาลวิทยานี้หรือทฤษฎีนั้น โดยหลักการแล้ว เป็นไปได้ แต่แทบจะไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะทดลองการแพร่กระจายของโรคบางชนิด เช่น กาฬโรค หรือเพื่อดำเนินการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ โดยก่อนหน้านี้ได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

1.1.2 2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้ มีการระบุวัตถุที่ "ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์" บางอย่าง เช่น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การก่อสร้าง แผนเศรษฐกิจ กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ คำอธิบายสถานการณ์ที่ชัดเจนเป็นเรื่องยากขั้นแรกให้ระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดขึ้นในภาษาของคณิตศาสตร์ กล่าวคือ มีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้น นี่เป็นส่วนที่ยากที่สุดของการสร้างแบบจำลอง

2) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ตัวแบบนำไปสู่. ในขั้นตอนนี้ให้ความสำคัญกับการพัฒนาอัลกอริธึมและวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งผลลัพธ์จะพบได้อย่างแม่นยำและภายในเวลาที่ยอมรับได้

3) การตีความผลที่ตามมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลที่ตามมาจากแบบจำลองในภาษาของคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานี้

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้ จะพบว่าผลลัพธ์ของการทดลองสอดคล้องกับผลทางทฤษฎีจากแบบจำลองภายในความแม่นยำที่แน่นอนหรือไม่

5) การปรับเปลี่ยนโมเดลในขั้นตอนนี้ ตัวแบบจะซับซ้อนมากขึ้นเพื่อให้เพียงพอต่อความเป็นจริง หรือทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ในทางปฏิบัติ

1.1.3 3. การจำแนกแบบจำลอง

โมเดลสามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นแบบที่ใช้งานได้และแบบโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงลักษณะปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงเป็นปริมาณ ในขณะเดียวกัน ตัวแปรบางตัวถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวถือเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง แบบจำลองกำหนดลักษณะของโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อน ซึ่งประกอบด้วยส่วนที่แยกจากกัน ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่าง โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ ในการสร้างแบบจำลองดังกล่าว สะดวกในการใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางส่วนเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ตามลักษณะของข้อมูลเบื้องต้นและผลการทำนาย ตัวแบบสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดขึ้นเองและแบบสถิติความน่าจะเป็น แบบจำลองประเภทแรกให้การคาดการณ์ที่ชัดเจนและชัดเจน แบบจำลองประเภทที่สองอิงตามข้อมูลทางสถิติ และการคาดคะเนที่ได้รับจากความช่วยเหลือนั้นมีความน่าจะเป็น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการคำนวณทั่วไปหรือแบบจำลองการจำลอง

ตอนนี้เมื่อระบบคอมพิวเตอร์เกือบเป็นสากลเกิดขึ้นในประเทศเราสามารถได้ยินคำพูดจากผู้เชี่ยวชาญจากหลากหลายอาชีพ: "มาแนะนำคอมพิวเตอร์ในประเทศของเรากันเถอะงานทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขทันที" มุมมองนี้ผิดอย่างสิ้นเชิง คอมพิวเตอร์เองไม่สามารถทำอะไรได้หากไม่มีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการบางอย่าง และใครๆ ก็ฝันถึงการใช้คอมพิวเตอร์แบบสากลเท่านั้น

เพื่อสนับสนุนสิ่งที่กล่าวมานี้ เราจะพยายามปรับความจำเป็นในการสร้างแบบจำลอง รวมถึงการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เปิดเผยข้อดีในความรู้และการเปลี่ยนแปลงของโลกภายนอกโดยบุคคล ระบุข้อบกพร่องที่มีอยู่ และไปที่ ... การจำลองแบบจำลอง เช่น การสร้างแบบจำลองโดยใช้คอมพิวเตอร์ แต่ทุกอย่างเป็นระเบียบ

ก่อนอื่น มาตอบคำถามกันก่อนว่า Model คืออะไร?

แบบจำลองคือวัสดุหรือวัตถุที่แสดงออกทางจิตใจซึ่งในกระบวนการรับรู้ (การศึกษา) แทนที่ของเดิม โดยคงคุณสมบัติทั่วไปบางอย่างที่สำคัญสำหรับการศึกษานี้ไว้

โมเดลที่สร้างขึ้นมาอย่างดีนั้นสามารถเข้าถึงได้สำหรับการวิจัยมากกว่าวัตถุจริง ตัวอย่างเช่น การทดลองกับเศรษฐกิจของประเทศเพื่อการศึกษาเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ ในที่นี้ เราทำไม่ได้หากไม่มีแบบจำลอง

สรุปสิ่งที่พูดไป เราสามารถตอบคำถามว่า โมเดลมีไว้เพื่ออะไร? ถึง

• เข้าใจว่าวัตถุทำงานอย่างไร (โครงสร้าง คุณสมบัติ กฎการพัฒนา ปฏิสัมพันธ์กับโลกภายนอก)
• เรียนรู้ที่จะจัดการวัตถุ (กระบวนการ) และกำหนดกลยุทธ์ที่ดีที่สุด
• ทำนายผลของผลกระทบต่อวัตถุ

อะไรคือค่าบวกในทุกรูปแบบ? ช่วยให้คุณได้รับความรู้ใหม่เกี่ยวกับวัตถุ แต่น่าเสียดายที่มันไม่เสร็จสมบูรณ์ในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น

แบบอย่างสูตรในภาษาของคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

จุดเริ่มต้นของการก่อสร้างมักจะเป็นงานบางอย่าง เช่น ด้านเศรษฐกิจ ทางคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายทั้งเชิงพรรณนาและการปรับให้เหมาะสม จำแนกลักษณะต่างๆ กระบวนการทางเศรษฐกิจและเหตุการณ์เช่น:

• การจัดสรรทรัพยากร
• การตัดอย่างมีเหตุผล
• การขนส่ง
• การรวมกิจการ
• การวางแผนเครือข่าย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สร้างขึ้นได้อย่างไร?

• ขั้นแรกให้กำหนดวัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษา
• ประการที่สอง เน้นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดที่สอดคล้องกับเป้าหมายนี้
• ประการที่สาม อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของแบบจำลองด้วยวาจา
• นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ยังเป็นแบบแผน
• และการคำนวณจะดำเนินการตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์โซลูชันที่ได้รับ

การใช้อัลกอริธึมนี้ คุณสามารถแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมได้ รวมถึงปัญหาหลายเกณฑ์ เช่น ซึ่งไม่ใช่เป้าหมายเดียว แต่หลายเป้าหมาย รวมทั้งเป้าหมายที่ขัดแย้งด้วย

ลองมาดูตัวอย่างกัน ทฤษฎีการจัดคิว - ปัญหาการเข้าคิว คุณต้องสร้างสมดุลระหว่างสองปัจจัย - ค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษาอุปกรณ์บริการและค่าใช้จ่ายในการอยู่ในสายการผลิต เมื่อสร้างคำอธิบายอย่างเป็นทางการของแบบจำลองแล้ว การคำนวณจะทำโดยใช้วิธีการวิเคราะห์และการคำนวณ หากแบบจำลองดี คำตอบที่พบด้วยความช่วยเหลือก็เพียงพอสำหรับระบบการสร้างแบบจำลอง หากไม่ดีก็จะต้องปรับปรุงและเปลี่ยนใหม่ เกณฑ์ความเพียงพอคือการปฏิบัติ

โมเดลการปรับให้เหมาะสมรวมถึงแบบหลายเกณฑ์มีคุณสมบัติร่วมกัน - เป้าหมาย (หรือหลายเป้าหมาย) เป็นที่รู้จักกันเพื่อให้บรรลุซึ่งมักจะต้องจัดการกับระบบที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้เกี่ยวกับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมมากนัก แต่เกี่ยวกับการวิจัยและคาดการณ์สถานะ ขึ้นอยู่กับกลยุทธ์การควบคุมที่เลือก และที่นี่เรากำลังประสบปัญหาในการดำเนินการตามแผนก่อนหน้านี้ พวกเขามีดังนี้:

• ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบต่างๆ มากมาย
• ระบบจริงได้รับอิทธิพลจากปัจจัยสุ่ม เป็นไปไม่ได้ที่จะนำมาพิจารณาในเชิงวิเคราะห์
• ความเป็นไปได้ของการเปรียบเทียบต้นฉบับกับแบบจำลองนั้นมีเฉพาะตอนเริ่มต้นและหลังการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เท่านั้นเพราะ ผลลัพธ์ขั้นกลางอาจไม่มีแอนะล็อกในระบบจริง

ในการเชื่อมต่อกับปัญหาที่ระบุไว้ที่เกิดขึ้นเมื่อศึกษาระบบที่ซับซ้อน การฝึกต้องใช้วิธีการที่ยืดหยุ่นกว่าและปรากฏว่า - แบบจำลองการจำลอง " การสร้างแบบจำลอง Simujation".

โดยปกติแล้ว โมเดลจำลองจะเข้าใจว่าเป็นชุดของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่อธิบายการทำงานของแต่ละกลุ่มของระบบและกฎของการโต้ตอบระหว่างกัน การใช้ตัวแปรสุ่มทำให้จำเป็นต้องทำการทดลองซ้ำๆ กับระบบจำลอง (บนคอมพิวเตอร์) และการวิเคราะห์ทางสถิติที่ตามมาของผลลัพธ์ที่ได้ ตัวอย่างทั่วไปของการใช้แบบจำลองการจำลองคือการแก้ปัญหาการเข้าคิวโดยวิธี MONTE CARLO

ดังนั้น การทำงานกับระบบจำลองจึงเป็นการทดลองบนคอมพิวเตอร์ มีประโยชน์อย่างไร?

– ความใกล้ชิดกับระบบจริงมากกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

– หลักการบล็อกทำให้สามารถตรวจสอบแต่ละบล็อกได้ก่อนที่จะรวมไว้ในระบบโดยรวม

– การใช้การพึ่งพาในลักษณะที่ซับซ้อนมากขึ้น ไม่ได้อธิบายโดยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย

ข้อดีที่ระบุไว้กำหนดข้อเสีย

– การสร้างแบบจำลองนั้นยาวกว่า ยากกว่า และมีราคาแพงกว่า

– การทำงานกับระบบจำลองต้องมีคอมพิวเตอร์ที่เหมาะสมกับชั้นเรียน

– ปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ใช้กับแบบจำลอง (อินเทอร์เฟซ) ไม่ควรซับซ้อนเกินไป สะดวกและเป็นที่รู้จักกันดี

- การสร้างแบบจำลองการจำลองต้องมีการศึกษากระบวนการจริงที่ลึกซึ้งกว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คำถามเกิดขึ้น: การจำลองแบบจำลองสามารถแทนที่วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพได้หรือไม่? ไม่ แต่สะดวกเสริมพวกเขา โมเดลจำลองคือโปรแกรมที่ใช้อัลกอริธึมบางอย่างเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการควบคุมซึ่งปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพจะได้รับการแก้ไขก่อน

ดังนั้น คอมพิวเตอร์หรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรืออัลกอริทึมสำหรับการศึกษาแยกกันไม่สามารถแก้ปัญหาที่ค่อนข้างซับซ้อนได้ แต่ร่วมกันเป็นตัวแทนของพลังที่ช่วยให้คุณรู้จักโลกรอบตัวคุณจัดการเพื่อผลประโยชน์ของมนุษย์

1.2 การจำแนกแบบจำลอง

1.2.1 การจำแนกประเภทโดยคำนึงถึงปัจจัยด้านเวลาและพื้นที่ใช้งาน (Makarova N.A. ) แบบคงที่ -มันเหมือนกับข้อมูลชิ้นเดียวบนวัตถุ (ผลการสำรวจครั้งเดียว) พลวัต รุ่นอนุญาต เห็นความเปลี่ยนแปลงของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป (การ์ดในคลินิก) โมเดลสามารถจำแนกได้ตาม พวกเขาอยู่ในความรู้ด้านใด(ทางชีวภาพ ประวัติศาสตร์, นิเวศวิทยา ฯลฯ ) กลับไปเริ่มต้น

1.2.2 จำแนกตามพื้นที่การใช้งาน (Makarova N.A.) การฝึกอบรม-ภาพตัวช่วย เทรนเนอร์ , โอ้ ฟาดฟันโปรแกรม มีประสบการณ์ รุ่นลด สำเนา (รถในอุโมงค์ลม) วิทยาศาสตร์และเทคนิคซินโครฟาโซตรอน, ย่อมาจากการทดสอบอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ เกม-เศรษฐกิจ,กีฬา,เกมส์ธุรกิจ การจำลอง-ไม่พวกเขาเพียงแค่สะท้อนความเป็นจริง แต่เลียนแบบมัน (ยาได้รับการทดสอบกับหนูทดลองในโรงเรียน ฯลฯ วิธีการสร้างแบบจำลองนี้เรียกว่า การลองผิดลองถูก กลับไปเริ่มต้น

1.2.3 จำแนกตามวิธีการนำเสนอ Makarova N.A. ) วัสดุ รุ่น- มิฉะนั้น เรียกว่าเรื่องก็ได้ พวกเขารับรู้ถึงคุณสมบัติทางเรขาคณิตและทางกายภาพของต้นฉบับและมีรูปแบบที่แท้จริงอยู่เสมอ ข้อมูล โมเดล-ไม่อนุญาต สัมผัสหรือดู พวกเขาอยู่บนพื้นฐานของข้อมูล .ข้อมูล model คือ ชุดข้อมูลที่แสดงถึงคุณสมบัติและสถานะของวัตถุ กระบวนการ ปรากฏการณ์ ตลอดจนความสัมพันธ์กับโลกภายนอก รูปแบบวาจา -แบบจำลองข้อมูลในรูปแบบทางจิตหรือการสนทนา Iconic โมเดลข้อมูล แบบจำลองที่แสดงโดยสัญญาณ , เช่น.. โดยใช้ภาษาทางการใดๆ รุ่นคอมพิวเตอร์ - ม โมเดลที่ดำเนินการโดยสภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์

1.2.4 การจำแนกแบบจำลองที่ให้ไว้ในหนังสือ "ดินแดนแห่งสารสนเทศ" (Gein A.G. )) "...นี่เป็นงานที่ดูเหมือนง่าย: จะใช้เวลานานเท่าใดในการข้ามทะเลทรายคาราคัม? ตอบได้เลยว่าขึ้นอยู่กับรูปแบบการเดินทาง ถ้า เดินทางต่ออูฐ ถ้าอย่างนั้นก็จะต้องใช้หนึ่งเทอม อีกเทอมหนึ่งถ้าคุณไปโดยรถยนต์ ส่วนที่สามถ้าคุณบินโดยเครื่องบิน และที่สำคัญที่สุด ต้องใช้รุ่นต่างๆ ในการวางแผนการเดินทาง สำหรับกรณีแรก โมเดลที่ต้องการสามารถพบได้ในบันทึกความทรงจำของนักสำรวจทะเลทรายที่มีชื่อเสียง ท้ายที่สุดแล้ว ไม่มีใครทำไม่ได้หากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับโอเอซิสและเส้นทางอูฐ ในกรณีที่สอง ข้อมูลที่ไม่สามารถถูกแทนที่ได้ในแผนที่ถนน ในครั้งที่สาม - คุณสามารถใช้ตารางการบินได้ โมเดลทั้งสามนี้มีความแตกต่างกัน - บันทึกความทรงจำ แผนที่และตารางเวลา และลักษณะของการนำเสนอข้อมูล ในกรณีแรก โมเดลจะแสดงด้วยคำพูดของข้อมูล (รุ่นอธิบาย)ในวินาที - เหมือนภาพถ่ายจากธรรมชาติ (แบบธรรมชาติ), ในตารางที่สาม - ตารางที่มีสัญลักษณ์: เวลาออกเดินทางและมาถึง, วันในสัปดาห์, ราคาตั๋ว (แบบที่เรียกว่าป้าย)อย่างไรก็ตาม หมวดนี้มีเงื่อนไขมาก - แผนที่และไดอะแกรม (องค์ประกอบของแบบจำลองเต็มสเกล) สามารถพบได้ในบันทึกความทรงจำ มีสัญลักษณ์บนแผนที่ (องค์ประกอบของแบบจำลองสัญญาณ) การถอดรหัสสัญลักษณ์ (องค์ประกอบของแบบจำลองเชิงพรรณนา ) ระบุไว้ในกำหนดการ ดังนั้นการจำแนกประเภทของแบบจำลองนี้ ... ในความเห็นของเรานั้นไม่เกิดผล" ในความคิดของฉัน ส่วนนี้แสดงให้เห็นถึงการพรรณนา (ภาษาและรูปแบบการนำเสนอที่ยอดเยี่ยม) ทั่วไปในหนังสือของ Gein ทุกเล่ม และรูปแบบการสอนแบบโสกราตีส (ทุกคนคิดว่าเป็นเช่นนี้ ฉันเห็นด้วยกับคุณอย่างยิ่ง แต่ถ้าคุณมองอย่างใกล้ชิดแล้ว ... )ในหนังสือดังกล่าว ค่อนข้างยากที่จะหาระบบคำจำกัดความที่ชัดเจน (ซึ่งผู้เขียนไม่ได้ตั้งใจ) ในตำราเรียนแก้ไขโดย N.A. Makarova แสดงให้เห็นถึงแนวทางที่แตกต่าง - คำจำกัดความของแนวคิดมีความชัดเจนและค่อนข้างคงที่

1.2.5 การจำแนกประเภทของแบบจำลองที่ระบุในคู่มือของ A.I. Bochkin มีหลายวิธีในการจำแนก .พวกเรานำเสนอเพียงไม่กี่รากฐานที่รู้จักกันดีและ สัญญาณ: ความรอบคอบและ ความต่อเนื่อง เมทริกซ์และตัวแบบสเกลาร์ ตัวแบบสถิตและไดนามิก ตัวแบบเชิงวิเคราะห์และแบบข้อมูล ตัวแบบประธานและแบบสัญลักษณ์ แบบสเกลขนาดใหญ่และแบบไม่ใช่สเกล... ทุกป้าย ให้บางอย่างความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของทั้งแบบจำลองและความเป็นจริงแบบจำลอง ป้ายสามารถใช้เป็นคำใบ้เกี่ยวกับวิธีการจำลองหรือจะต้องทำ ความรอบคอบและ ความต่อเนื่อง ความไม่รอบคอบ - คุณลักษณะเฉพาะของรุ่นคอมพิวเตอร์ .หลังจากนั้นคอมพิวเตอร์สามารถอยู่ในสถานะที่ จำกัด แม้ว่าจะมีจำนวนมาก ดังนั้นแม้ว่าวัตถุจะต่อเนื่อง (เวลา) ในแบบจำลองก็จะเปลี่ยนเป็นการกระโดด ก็ถือได้ ความต่อเนื่องสัญลักษณ์ของโมเดลที่ไม่ใช่คอมพิวเตอร์ สุ่มและ ความมุ่งมั่น . ความไม่แน่นอน อุบัติเหตุเริ่มแรกต่อต้านโลกของคอมพิวเตอร์: อัลกอริธึมที่เปิดตัวอีกครั้งต้องทำซ้ำและให้ผลลัพธ์เหมือนเดิม แต่ในการจำลองกระบวนการสุ่ม จะใช้เซ็นเซอร์ตัวเลขสุ่มหลอก การแนะนำการสุ่มเข้าไปในปัญหาที่กำหนดจะนำไปสู่แบบจำลองที่ทรงพลังและน่าสนใจ (การคำนวณพื้นที่สุ่มโยน) เมทริกซ์ - สเกลาร์. ความพร้อมใช้งานของพารามิเตอร์ เมทริกซ์แบบจำลองบ่งบอกถึงความซับซ้อนที่มากกว่าและอาจมีความแม่นยำเมื่อเปรียบเทียบกับ สเกลาร์. ตัวอย่างเช่น หากเราไม่เลือกกลุ่มอายุทั้งหมดในประชากรของประเทศ โดยพิจารณาถึงการเปลี่ยนแปลงโดยรวม เราจะได้แบบจำลองสเกลาร์ (เช่น แบบจำลอง Malthus) หากเราแยกแยะ เมทริกซ์ (เพศและอายุ) แบบอย่าง. เป็นแบบจำลองเมทริกซ์ที่ทำให้สามารถอธิบายความผันผวนของอัตราการเกิดหลังสงครามได้ ไดนามิกแบบสถิต. คุณสมบัติเหล่านี้ของแบบจำลองมักจะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของวัตถุจริง ไม่มีเสรีภาพในการเลือกที่นี่ แค่ คงที่โมเดลสามารถก้าวไปสู่ พลวัตหรือตัวแปรรุ่นบางตัวอาจถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงในขณะนี้ ตัวอย่างเช่น ดาวเทียมเคลื่อนที่รอบโลก การเคลื่อนที่ได้รับอิทธิพลจากดวงจันทร์ หากเราถือว่าดวงจันทร์หยุดนิ่งระหว่างการปฏิวัติของดาวเทียม เราจะได้แบบจำลองที่เรียบง่ายกว่านี้ โมเดลเชิงวิเคราะห์. คำอธิบายของกระบวนการ วิเคราะห์, สูตรและสมการ แต่เมื่อพยายามสร้างกราฟ การมีตารางค่าฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์จะสะดวกกว่า โมเดลจำลอง. การจำลองโมเดลปรากฏขึ้นเมื่อนานมาแล้วในรูปแบบของสำเนาขนาดใหญ่ของเรือ สะพาน ฯลฯ ปรากฏขึ้นเมื่อนานมาแล้ว แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้มีการพิจารณาเกี่ยวกับการเชื่อมต่อกับคอมพิวเตอร์ รู้ว่าเชื่อมถึงกันแค่ไหนองค์ประกอบของแบบจำลองในเชิงวิเคราะห์และเชิงตรรกะ ง่ายกว่าที่จะไม่แก้ระบบของความสัมพันธ์และสมการบางอย่าง แต่ให้แมประบบจริงลงในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ โดยคำนึงถึงความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบหน่วยความจำ โมเดลข้อมูล. ข้อมูลเป็นเรื่องปกติที่จะต่อต้านแบบจำลองกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ อัตราส่วนข้อมูล/อัลกอริทึมมีความสำคัญที่นี่ หากมีข้อมูลมากกว่านี้หรือมีความสำคัญมากกว่า เราก็มีโมเดลข้อมูล มิฉะนั้น - คณิตศาสตร์. หัวเรื่อง รุ่น. นี่เป็นโมเดลสำหรับเด็กเป็นหลัก - ของเล่น โมเดลสัญลักษณ์เชิงสัญลักษณ์. โดยพื้นฐานแล้วเป็นแบบอย่างในจิตใจของมนุษย์: เป็นรูปเป็นร่าง, ถ้าภาพกราฟิกมีอำนาจเหนือกว่า และ สัญลักษณ์หากมีมากกว่าคำและ/หรือตัวเลข โมเดลสัญลักษณ์เป็นรูปเป็นร่างสร้างขึ้นบนคอมพิวเตอร์ แบบจำลองมาตราส่วน. ถึง ขนาดใหญ่โมเดลคือโมเดลของหัวเรื่องหรือแบบจำลองที่เป็นรูปเป็นร่างซึ่งทำซ้ำรูปร่างของวัตถุ (แผนที่)

ตามตำราของ Sovetov และ Yakovlev: "แบบจำลอง (lat. โมดูลัส - การวัด) เป็นการทดแทนวัตถุของวัตถุดั้งเดิมซึ่งให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ" (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยวัตถุอื่นเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมด้วยความช่วยเหลือของวัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “ภายใต้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะเข้าใจกระบวนการสร้างสัมพันธ์กับวัตถุจริงที่กำหนดของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ ซึ่งทำให้ได้ลักษณะของวัตถุจริงที่อยู่ในการพิจารณา . ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับทั้งธรรมชาติของวัตถุจริงและงานของการศึกษาวัตถุและความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้

สุดท้าย คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: "สมการแสดงความคิด».

การจำแนกแบบจำลอง

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างขึ้นในรูปของการแบ่งขั้ว ตัวอย่างเช่น ชุดไดโคโทมียอดนิยมชุดหนึ่งคือ:

และอื่นๆ แบบจำลองที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดหรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว แบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: เน้นในลักษณะหนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) แบบจำลองแบบกระจายในอีกรูปแบบหนึ่ง เป็นต้น

การจำแนกตามวิธีการแสดงวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทที่เป็นทางการแล้ว แบบจำลองต่างๆ จะแตกต่างกันไปตามวิธีการเป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือการใช้งาน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุเป็นระบบที่มีอุปกรณ์และกลไกการทำงานของตัวเอง โมเดลการทำงานอย่าใช้การแสดงแทนดังกล่าวและสะท้อนให้เห็นเฉพาะพฤติกรรมที่รับรู้ภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุ ในการแสดงออกที่รุนแรง พวกเขาจะเรียกอีกอย่างว่าโมเดล "กล่องดำ" นอกจากนี้ยังสามารถรวมประเภทของแบบจำลองได้ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "แบบจำลอง" กล่องสีเทา».

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าในขั้นแรก การก่อสร้างในอุดมคติแบบพิเศษได้ถูกสร้างขึ้น โมเดลเนื้อหา. ไม่มีศัพท์เฉพาะที่นี่ และผู้เขียนคนอื่นเรียกสิ่งนี้ว่า วัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , แบบจำลองเก็งกำไรหรือ พรีโมเดล. ในกรณีนี้ จะเรียกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายว่า แบบเป็นทางการหรือเพียงแค่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับจากการจัดรูปแบบเนื้อหานี้ให้เป็นแบบแผน (รุ่นก่อนแบบจำลอง) โมเดลที่มีความหมายสามารถสร้างได้โดยใช้ชุดของอุดมคติสำเร็จรูป เช่นในกลไก ซึ่งสปริงในอุดมคติ ตัวเครื่องที่แข็งแรง ลูกตุ้มในอุดมคติ สื่อที่ยืดหยุ่นได้ ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในด้านความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการที่สมบูรณ์ (ความล้ำหน้าของฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่น ๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายนั้นซับซ้อนกว่ามาก

การจำแนกแบบจำลองที่มีความหมาย

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้ในคราวเดียว Richard Feynman กล่าวไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีความสามารถในการพิสูจน์หักล้างทฤษฎีได้เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณเสนอสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ คำนวณว่ามันจะนำไปสู่ที่ใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันหมายความว่าคุณล้มเหลวในการหักล้างมัน

หากมีการสร้างแบบจำลองประเภทแรกขึ้น แสดงว่าแบบจำลองนั้นได้รับการยอมรับชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นการหยุดชั่วคราวเท่านั้น: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถอยู่ได้เพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยา (ทำตัวเหมือน…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยามีกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันเพียงพอโดยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่เห็นด้วยกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุ ดังนั้นแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะของการแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบและจำเป็นต้องค้นหา "กลไกที่แท้จริง" ต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls อ้างถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของตัวแบบในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ข้อมูลและทฤษฎีใหม่ ๆ อาจเกิดขึ้นได้เพื่อยืนยันแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาและได้รับการส่งเสริมให้อยู่ในสถานะของสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง - สมมติฐานประเภทแรก และอาจถูกถ่ายโอนไปยังความรู้ที่สอง ดังนั้น แบบจำลองควาร์กจึงค่อยๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์ก็ผ่านเข้าสู่ประเภทแรก แต่โมเดลอีเธอร์ได้เปลี่ยนจากประเภทที่ 1 เป็นประเภทที่ 2 และตอนนี้มันอยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายแตกต่างกัน Peierls แยกแยะความแตกต่างของการทำให้เข้าใจง่ายสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภท 3: ค่าประมาณ (บางอย่างถือว่าใหญ่มากหรือเล็กมาก)

หากสามารถสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะแก้ได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา แบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้น. สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

และนี่คือประเภทที่ 8 ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตความเป็นไปได้ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองทางความคิดด้วยด้วยเอนทิตีจินตภาพแสดงให้เห็นว่า ปรากฏการณ์ที่ควรจะเป็นสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและความสอดคล้องภายใน นี่คือข้อแตกต่างหลักจากรุ่น 7 ที่เผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

หนึ่งในการทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตจินตภาพ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลนศาสตร์อย่างเป็นทางการของการแกว่งทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของไอน์สไตน์-โพดอลสกี-โรเซนถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภทที่ 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ในทางที่ไม่ได้วางแผนไว้อย่างสมบูรณ์ ในที่สุดก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลด้วยควอนตัม

ตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและโหลดมวล ซึ่งติดอยู่กับปลายอิสระของสปริง เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในทิศทางของแกนสปริง (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) ให้เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้ เราจะอธิบายสถานะของระบบโดยระยะทางจากจุดศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายการโต้ตอบของสปริงและโหลดโดยใช้ กฎของฮุก() หลังจากนั้นเราใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับเวลา:

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางกายภาพที่พิจารณา รูปแบบนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจัดประเภทที่เป็นทางการ โมเดลนี้เป็นเชิงเส้น กำหนด ไดนามิก เข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการสร้าง เราตั้งสมมติฐานหลายอย่าง (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน ความเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่สำเร็จ

เมื่อเทียบกับความเป็นจริงแล้ว โมเดลนี้มักจะเป็นแบบที่ 4 การทำให้เข้าใจง่าย(“เราละรายละเอียดบางอย่างเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่จำเป็นบางอย่าง (เช่น การกระจายตัว) ถูกละไว้ ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนของโหลดจากสภาวะสมดุลนั้นน้อย มีแรงเสียดทานน้อย ไม่นานเกินไปและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขอื่นๆ บางอย่าง) โมเดลดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจากปัจจัยที่ถูกละทิ้ง มีผลเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้สามารถปรับปรุงได้โดยคำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้บางประการ สิ่งนี้จะนำไปสู่โมเดลใหม่ที่มีขอบเขตที่กว้างขึ้น (แต่ก็ถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อแบบจำลองได้รับการขัดเกลา ความซับซ้อนของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของมันสามารถเพิ่มขึ้นอย่างมากและทำให้แบบจำลองนั้นไร้ประโยชน์อย่างแท้จริง บ่อยครั้ง โมเดลที่เรียบง่ายช่วยให้คุณสำรวจระบบจริงได้ดีและลึกซึ้งยิ่งขึ้น มากกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า (และเป็นทางการ "ถูกต้องกว่า")

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่มีความหมายอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา น่าจะมาจากประเภท 6 ความคล้ายคลึง(“มาพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นแข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของโมเดลที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการสร้างอุดมคติที่แข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง ในการแก้ไขปัญหาการบังคับใช้จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยไปมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องตรวจสอบโมเดล "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของโมเดล "แข็ง" สามารถให้ตัวอย่างเช่นโดยสมการต่อไปนี้:

ที่นี่ - ฟังก์ชั่นบางอย่างซึ่งสามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืด - พารามิเตอร์เล็ก ๆ บางอย่าง รูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชันไม่ได้สนใจเราในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองที่อ่อนนุ่มนั้นไม่ได้มีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากแบบจำลองแบบแข็ง (โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบที่ชัดเจนของปัจจัยที่ก่อกวน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองแบบแข็ง มิฉะนั้น การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือฟังก์ชันของรูปแบบ นั่นคือ การแกว่งที่มีแอมพลิจูดคงที่ จากนี้ไปออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งไปเรื่อย ๆ ด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากการพิจารณาระบบที่มีการเสียดสีเล็กน้อยตามอำเภอใจ (มักอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงเกิดการสั่นสะท้าน พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบยังคงพฤติกรรมเชิงคุณภาพภายใต้การรบกวนเล็กน้อย กล่าวกันว่ามีความเสถียรทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบโครงสร้างที่ไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในช่วงเวลาจำกัด

ความเป็นสากลของรุ่น

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเป็นสากล: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่ได้อธิบายเฉพาะพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม การผันผวนของระดับของเหลวในภาชนะรูปทรงหรือ เปลี่ยนความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น จากการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจึงศึกษาปรากฏการณ์ทั้งชั้นที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นในคราวเดียว นี่คือความต่างของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่ทำให้ Ludwig von Bertalanffy สร้าง "ทฤษฎีระบบทั่วไป"

ปัญหาทางตรงและผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างโครงร่างพื้นฐานของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง เพื่อทำซ้ำภายในกรอบของการทำให้เป็นอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้น รถยนต์รถไฟจึงกลายเป็นระบบของเพลตและวัตถุที่ซับซ้อนมากขึ้นที่ทำจากวัสดุที่แตกต่างกัน วัสดุแต่ละชนิดจึงถูกกำหนดให้เป็นอุดมคติทางกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลียืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากรวบรวมสมการแล้ว รายละเอียดบางส่วนจะถูกยกเลิก ระหว่างทางไม่มีนัยสำคัญ , ทำการคำนวณ, เปรียบเทียบกับการวัด, แบบจำลองได้รับการขัดเกลา, และอื่นๆ. อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะเป็นประโยชน์ในการแยกกระบวนการนี้ออกเป็นองค์ประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาหลักสองประเภทที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ตรงและผกผัน

ปัญหาโดยตรง: พิจารณาโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมด หน้าที่หลักคือการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานสามารถรับน้ำหนักสถิตย์อะไรได้บ้าง? มันจะตอบสนองต่อโหลดแบบไดนามิกอย่างไร (เช่นในการเดินขบวนของกองทหารหรือทางเดินของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) เครื่องบินจะเอาชนะอุปสรรคเสียงได้อย่างไรไม่ว่าจะกระพือปีกหรือไม่ - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของงานโดยตรง การกำหนดปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานอาจพังได้ แม้ว่าจะมีการสร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของมันแล้วก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์จึงถล่มในบริเตนใหญ่ ผู้ออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานขึ้น โดยคำนวณจากระยะขอบ 20 เท่าของความปลอดภัยสำหรับน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมไปว่าลมที่พัดเข้ามาตลอดเวลา สถานที่เหล่านั้น และหลังจากนั้นหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์หนึ่งสมการ) ปัญหาโดยตรงจะง่ายมากและลดลงเป็นคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: รู้จักโมเดลที่เป็นไปได้มากมาย จำเป็นต้องเลือกโมเดลเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับออบเจ็กต์ ส่วนใหญ่มักจะรู้จักโครงสร้างของแบบจำลองและจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติมหรือในข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( งานออกแบบ). ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถเกิดขึ้นได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษระหว่างการแก้ปัญหา ( การเฝ้าระวังเชิงรุก).

ตัวอย่างแรกๆ ของวิธีแก้ปัญหาอัจฉริยะของปัญหาผกผันที่มีการใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่มากที่สุดคือวิธีการที่สร้างโดย I. Newton สำหรับการสร้างแรงเสียดทานขึ้นใหม่จากการสั่นของแดมเปอร์ที่สังเกตได้

อีกตัวอย่างหนึ่งคือสถิติทางคณิตศาสตร์ งานของวิทยาศาสตร์นี้คือการพัฒนาวิธีการบันทึก อธิบาย และวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตและการทดลองเพื่อสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มมวล เหล่านั้น. ชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้ถูกจำกัดโดยแบบจำลองความน่าจะเป็น ในปัญหาเฉพาะ ชุดของรุ่นมีจำกัดมากขึ้น

ระบบจำลองด้วยคอมพิวเตอร์

เพื่อสนับสนุนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนาขึ้น เช่น Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim เป็นต้น ซึ่งช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการและบล็อกของกระบวนการและอุปกรณ์ทั้งที่ง่ายและซับซ้อน และเปลี่ยนพารามิเตอร์ของแบบจำลองได้อย่างง่ายดายในระหว่าง การจำลอง บล็อกโมเดลถูกแสดงด้วยบล็อก (ส่วนใหญ่มักเป็นกราฟิก) ชุดและการเชื่อมต่อที่ระบุโดยไดอะแกรมแบบจำลอง

ตัวอย่างเพิ่มเติม

รุ่น Malthus

อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในปัจจุบัน อธิบายโดยสมการอนุพันธ์

โดยที่พารามิเตอร์ที่กำหนดโดยความแตกต่างระหว่างอัตราการเกิดและอัตราการเสียชีวิต คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หากอัตราการเกิดเกินอัตราการเสียชีวิต () ขนาดประชากรจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและเร็วมาก เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากทรัพยากรที่จำกัด เมื่อถึงขนาดของประชากรที่สำคัญ แบบจำลองจะหยุดเพียงพอ เนื่องจากไม่คำนึงถึงทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัด การปรับแต่งแบบจำลอง Malthus สามารถเป็นแบบลอจิสติกส์ ซึ่งอธิบายโดยสมการอนุพันธ์ของ Verhulst

ขนาดประชากร "สมดุล" อยู่ที่ไหนซึ่งอัตราการเกิดได้รับการชดเชยด้วยอัตราการเสียชีวิตอย่างแน่นอน ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่ค่าดุลยภาพ และพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบล่าเหยื่อ

สมมติว่าสัตว์สองประเภทอาศัยอยู่ในพื้นที่หนึ่ง: กระต่าย (กินพืช) และจิ้งจอก (กินกระต่าย) ให้จำนวนกระต่ายจำนวนสุนัขจิ้งจอก โดยใช้แบบจำลอง Malthus กับการแก้ไขที่จำเป็นโดยคำนึงถึงการกินกระต่ายของสุนัขจิ้งจอกเรามาถึงระบบต่อไปนี้ซึ่งมีชื่อ รุ่นถาด - Volterra:

ระบบนี้มีสภาวะสมดุลซึ่งจำนวนกระต่ายและจิ้งจอกจะคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้นำไปสู่ความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ในกรณีของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่มีความเสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น โดยคำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัดที่กระต่ายต้องการ) อาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรม ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลสามารถมีเสถียรภาพ และความผันผวนของประชากรจะลดลง สถานการณ์ที่ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ร้ายแรง จนถึงการสูญพันธุ์โดยสมบูรณ์ของหนึ่งในสายพันธุ์ สำหรับคำถามที่ว่าสถานการณ์ใดเกิดขึ้นจริง โมเดล Volterra-Lotka ไม่ได้ให้คำตอบ: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. "การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง" (Encyclopaedia Britanica)
2. โนวิก ไอ.บี., เกี่ยวกับคำถามเชิงปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A. , Mikhailov A. P.การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย. วิธีการ ตัวอย่าง. - ครั้งที่ 2 แก้ไขแล้ว - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. การสร้างแบบจำลองกระบวนการทางเทคโนโลยี: ตำราเรียน / A.G. Sevostyanov, P.A. เซวอสเตียนอฟ - ม.: อุตสาหกรรมเบาและอาหาร 2527 - 344 น.
7. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
8. CliffsNotes.com อภิธานศัพท์วิทยาศาสตร์โลก. 20 ก.ย. 2553
9. การลดแบบจำลองและแนวทางการเกรนหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายขนาด, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 pp. ไอเอสบีเอ็น 3-540-35885-4
10. “ทฤษฎีถือว่าเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับว่า - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น อะไร - แบบจำลองเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง นักฟิสิกส์สมัยใหม่ ถ้าเขาบังเอิญกำหนดเอนทิตีที่สำคัญเช่น non-linearity ใหม่ ก็มักจะทำหน้าที่แตกต่างออกไป และเลือกที่จะให้ความไม่เป็นเชิงเส้นว่ามีความสำคัญมากกว่าและเป็นเรื่องธรรมดาของสิ่งที่ตรงกันข้ามทั้งสอง จะนิยามความเป็นเส้นตรงว่า "ไม่ใช่-ไม่ใช่- ความเป็นเส้นตรง" Danilov Yu. A., การบรรยายเกี่ยวกับพลวัตไม่เชิงเส้น. เบื้องต้นเบื้องต้น. Synergetics จากอดีตสู่อนาคต เอ็ด.2. - ม.: URSS, 2549. - 208 น. ISBN 5-484-00183-8
11. “ระบบไดนามิกที่สร้างแบบจำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจำนวนจำกัดเรียกว่าระบบก้อนหรือระบบจุด มีการอธิบายโดยใช้พื้นที่เฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเป็นองศาอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวและระบบเดียวกันภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกันสามารถถือเป็นแบบเข้มข้นหรือแบบกระจาย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจายคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการปริพันธ์ หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนของระดับความเป็นอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนอนันต์เพื่อกำหนดสถานะของระบบ Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, ฉบับที่ 11, p. 77-84.
12. “ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของกระบวนการที่ศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม แบบคงที่และแบบไดนามิก แบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่องแบบต่อเนื่อง แบบจำลองเชิงกำหนดจะแสดงกระบวนการที่กำหนดขึ้นเอง กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ เกิดขึ้น แบบจำลองสุ่มแสดงกระบวนการและเหตุการณ์ที่น่าจะเป็น … การสร้างแบบจำลองแบบคงที่ใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ในขณะที่การสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกจะสะท้อนพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าไม่ต่อเนื่องตามลำดับ การสร้างแบบจำลองต่อเนื่องช่วยให้คุณสะท้อนถึงกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบ และการสร้างแบบจำลองต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่องจะใช้สำหรับกรณีที่คุณต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. โดยปกติ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนโครงสร้าง (การจัดเรียง) ของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง คุณสมบัติและการเชื่อมต่อระหว่างส่วนประกอบต่างๆ ของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการศึกษา แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนถึงวิธีการทำงานของวัตถุเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ปฏิกิริยาตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก จะเรียกว่ากล่องดำที่ใช้งานได้จริงหรือในเชิงเปรียบเทียบ โมเดลรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน มิชกิส เอ.ดี. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “สิ่งที่เห็นได้ชัด แต่ขั้นตอนเริ่มต้นที่สำคัญที่สุดในการสร้างหรือเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการทำให้ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและเพื่อปรับแต่งโมเดลเนื้อหาตามการสนทนาที่ไม่เป็นทางการ ไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับมัน เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานจำนวนมากที่ใช้ไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าเพราะไม่สนใจเรื่องด้านนี้ มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « คำอธิบายของรูปแบบแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบ: ก) แบบจำลองแนวคิด M ถูกอธิบายด้วยคำศัพท์และแนวคิดที่เป็นนามธรรม b) คำอธิบายของแบบจำลองได้รับโดยใช้รูปแบบทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ค) สมมติฐานและสมมติฐานเป็นที่ยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองได้รับการพิสูจน์แล้ว Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2, หน้า. 93.
16. Blekhman I. I. , Myshkis A. D. , Panovko N. G., คณิตศาสตร์ประยุกต์: หัวเรื่อง, ตรรกะ, คุณสมบัติของแนวทาง พร้อมตัวอย่างจากกลศาสตร์ : หนังสือเรียน - ครั้งที่ 3 รายได้ และเพิ่มเติม - M.: URSS, 2549. - 376 หน้า ISBN 5-484-00163-3 บทที่ 2

ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ขึ้นอยู่กับความหมายภายใต้เงื่อนไขใดและสัมพันธ์กับวัตถุแห่งความรู้ความเข้าใจความสามารถของแบบจำลองในการสะท้อนความเป็นจริงนั้นเกิดขึ้นความหลากหลายอย่างมากของพวกเขาเกิดขึ้นและด้วย - การจำแนกประเภท โดยการสรุปการจำแนกประเภทที่มีอยู่ เราแยกแยะแบบจำลองพื้นฐานตามเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ โดยพิจารณาจากแบบจำลองพิเศษที่ได้รับการพัฒนา (รูปที่ 8.1)

รูปที่ 8.1 - การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แสดงวัตถุที่ศึกษา (กระบวนการ ระบบ) ในรูปแบบของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ชัดเจน: ความเสมอภาคและอสมการเชิงพีชคณิต อินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล ความแตกต่างจำกัด และนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ (กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม ตัวแบบการถดถอย ฯลฯ) เช่นเดียวกับความสัมพันธ์เชิงตรรกะทางคณิตศาสตร์

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติพื้นฐานสองประการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ประเภทของคำอธิบายของความสัมพันธ์ของเหตุและผลและการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป - มีแบบจำลองที่กำหนดขึ้นเองและสุ่มแบบคงที่และไดนามิก (รูปที่ 8.2)

จุดประสงค์ของแผนภาพที่แสดงในรูปคือเพื่อแสดงคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดได้ทั้งแบบกำหนดและสุ่ม

2) โมเดลที่กำหนดขึ้นเองและสุ่มสามารถเป็นได้ทั้งแบบคงที่และแบบไดนามิก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เรียกว่า กำหนด (กำหนด)หากพารามิเตอร์และตัวแปรทั้งหมดเป็นค่าที่กำหนดอย่างเฉพาะตัว และเป็นไปตามเงื่อนไขของความแน่นอนของข้อมูลที่สมบูรณ์ด้วย มิฉะนั้น ภายใต้เงื่อนไขของความไม่แน่นอนของข้อมูล เมื่อพารามิเตอร์และตัวแปรของแบบจำลองเป็นตัวแปรสุ่ม แบบจำลองจะเรียกว่า สุ่ม (ความน่าจะเป็น).

รูปที่ 8.2 - คลาสของตัวแบบทางคณิตศาสตร์

รุ่นที่เรียกว่า พลวัตหากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวเปลี่ยนแปลงไปตามช่วงเวลา และ คงที่ถ้าสมมุติฐานเป็นที่ยอมรับว่าตัวแปรไม่เปลี่ยนแปลงตามกาลเวลา

ในกรณีที่ง่ายที่สุด แบบจำลองความสมดุล ดำเนินการในรูปของสมการดุลยภาพ โดยที่ผลรวมของรายรับจะอยู่ทางด้านซ้าย และด้านรายจ่ายจะอยู่ในรูปของผลรวมทางด้านขวาด้วย ตัวอย่างเช่น ในรูปแบบนี้จะนำเสนองบประมาณประจำปีขององค์กร

บนพื้นฐานของข้อมูลทางสถิติ ไม่เพียงแต่สร้างสมดุล แต่ยังสามารถสร้างแบบจำลองการถดถอยสหสัมพันธ์ได้อีกด้วย

หากฟังก์ชัน Y ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร x 1 , x 2 , ... x n เท่านั้น แต่ยังขึ้นกับปัจจัยอื่นๆ ด้วย ความสัมพันธ์ระหว่าง Y และ x 1 , x 2 , ... x n นั้นไม่ถูกต้องหรือมีความสัมพันธ์กัน ตรงกันข้ามกับ ความสัมพันธ์ที่แน่นอนหรือการทำงาน ความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่น ในกรณีส่วนใหญ่เป็นการเชื่อมต่อที่สังเกตได้ระหว่างพารามิเตอร์เอาต์พุตของ OPS กับปัจจัยของสภาพแวดล้อมภายในและภายนอก (ดูหัวข้อ 5)

ตัวแบบสหสัมพันธ์-ถดถอยได้มาจากการศึกษาอิทธิพลของปัจจัยเชิงซ้อนทั้งหมดที่มีต่อคุณค่าของคุณลักษณะเฉพาะโดยใช้เครื่องมือทางสถิติ ในกรณีนี้ งานนี้ไม่เพียงแต่สร้างความสัมพันธ์เชิงสหสัมพันธ์เท่านั้น แต่ยังแสดงความสัมพันธ์นี้ในเชิงวิเคราะห์ด้วย นั่นคือเพื่อเลือกสมการที่อธิบายการพึ่งพาสหสัมพันธ์นี้ (สมการถดถอย)

ในการหาค่าตัวเลขของพารามิเตอร์ของสมการถดถอย ให้ใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด สาระสำคัญของวิธีนี้คือการเลือกเส้นตรงซึ่งผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของพิกัด Y ของแต่ละจุดจะน้อยที่สุด

ตัวแบบสหสัมพันธ์-ถดถอยมักใช้ในการศึกษาปรากฏการณ์เมื่อจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่สอดคล้องกันในอนุกรมตั้งแต่สองชุดขึ้นไป ในกรณีนี้ การถดถอยเชิงเส้นแบบคู่และเชิงพหุคูณของรูปแบบ

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b

จากการใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด ค่าของพารามิเตอร์ a หรือ a 1 , a 2 , …, a n และ b จะถูกตั้งค่า จากนั้นจึงทำการประมาณความแม่นยำโดยประมาณและความสำคัญของสมการถดถอยที่ได้

ในกลุ่มพิเศษได้แก่ แบบจำลองกราฟวิเคราะห์ . พวกเขาใช้กราฟิกที่แตกต่างกันและมีทัศนวิสัยที่ดี

ทฤษฎีกราฟ - หนึ่งในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่อง ศึกษากราฟ ซึ่งเข้าใจว่าเป็นชุดของจุดและเส้นที่เชื่อมต่อกัน กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์อิสระ (แนะนำครั้งแรกโดย Koenig D. ) บนพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ โมเดลแบบต้นไม้และแบบเครือข่ายมักถูกสร้างขึ้นบ่อยที่สุด

แบบจำลองต้นไม้ (tree) เป็นกราฟที่เชื่อมต่อแบบไม่มีทิศทางซึ่งไม่มีการวนซ้ำและรอบ ตัวอย่างของโมเดลดังกล่าวคือแผนผังเป้าหมาย

โมเดลเครือข่ายใช้กันอย่างแพร่หลายในการจัดการงาน โมเดลเครือข่าย (กราฟ) แสดงถึงลำดับงานและระยะเวลาของแต่ละงาน (รูปที่ 8.3)

รูปที่ 8.3 - โมเดลเครือข่ายประสิทธิภาพการทำงาน

แต่ละบรรทัดของไดอะแกรมเครือข่ายเป็นงานบางประเภท ตัวเลขข้างๆ หมายถึงระยะเวลาในการดำเนินการ

โมเดลเครือข่ายช่วยให้คุณค้นหาเส้นทางวิกฤตที่เรียกว่า และปรับตารางเวลาให้เหมาะสมสำหรับการผลิตงานภายใต้ข้อจำกัดของทรัพยากรอื่นๆ

โมเดลเครือข่ายสามารถกำหนดและสุ่มได้ ในกรณีหลัง ระยะเวลาของงานถูกกำหนดโดยกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

โมเดลการเพิ่มประสิทธิภาพทำหน้าที่กำหนดวิถีที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบเพื่อให้บรรลุเป้าหมายที่ตั้งไว้เมื่อมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการในการควบคุมพฤติกรรมและการเคลื่อนไหวของระบบ ในกรณีนี้ แบบจำลองการปรับให้เหมาะสมจะอธิบายปัญหาประเภทต่างๆ ในการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บางอย่าง (เกณฑ์การเพิ่มประสิทธิภาพ)

เพื่อระบุวิธีที่ดีที่สุดในการบรรลุเป้าหมายของการจัดการในเงื่อนไขของทรัพยากรที่ จำกัด - เทคนิค, วัสดุ, แรงงานและการเงิน - ใช้วิธีการวิจัย ซึ่งรวมถึงวิธีการโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (โปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น จำนวนเต็ม ไดนามิกและสุ่ม) วิธีการวิเคราะห์และความน่าจะเป็นทางสถิติ วิธีเครือข่าย วิธีการของทฤษฎีการจัดคิว ทฤษฎีเกม (ทฤษฎีสถานการณ์ความขัดแย้ง) เป็นต้น

แบบจำลองการปรับให้เหมาะสมใช้สำหรับปริมาตรและการจัดกำหนดการ การจัดการสินค้าคงคลัง การกระจายทรัพยากรและงาน การเปลี่ยน การกำหนดพารามิเตอร์และการกำหนดมาตรฐานของอุปกรณ์ การกระจายกระแสการจัดหาสินค้าในเครือข่ายการขนส่ง และงานการจัดการอื่นๆ

ความสำเร็จที่สำคัญอย่างหนึ่งของทฤษฎีการวิจัยการดำเนินงานคือการจำแนกรูปแบบการควบคุมและวิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น เพื่อแก้ปัญหาการขนส่ง ขึ้นอยู่กับมิติของมัน วิธีการทั่วไปได้รับการพัฒนา - วิธี Vogel, วิธีที่เป็นไปได้, วิธี Simplex นอกจากนี้ เมื่อแก้ปัญหาการจัดการสินค้าคงคลัง ขึ้นอยู่กับสูตร วิธีการวิเคราะห์และความน่าจะเป็นทางสถิติ สามารถใช้วิธีการโปรแกรมแบบไดนามิกและสุ่มได้

ในการจัดการมีความสำคัญเป็นพิเศษกับวิธีการวางแผนเครือข่าย วิธีการเหล่านี้ทำให้สามารถค้นหาภาษาใหม่และสะดวกมากสำหรับการอธิบาย สร้างแบบจำลอง และวิเคราะห์งานและโครงการหลายขั้นตอนที่ซับซ้อน ในการวิจัยการดำเนินงาน ได้มีการมอบสถานที่สำคัญในการปรับปรุงการควบคุมระบบที่ซับซ้อนโดยใช้วิธีการของทฤษฎีการจัดคิว (ดูหัวข้อ 8.3) และอุปกรณ์ของกระบวนการมาร์คอฟ

แบบจำลองของกระบวนการ Markov Stochastic- ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายการทำงานของระบบหรือกระบวนการของระบบในฐานะชุดของสถานะที่ได้รับคำสั่งบนวิถีโคจรของพฤติกรรมของระบบ แบบจำลองคลาสนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของระบบที่ซับซ้อน

แบบจำลองทฤษฎีเกมทำหน้าที่เลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดภายใต้เงื่อนไขของข้อมูลสุ่มที่จำกัดหรือความไม่แน่นอนที่สมบูรณ์

เกมคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ความขัดแย้งที่แท้จริง การแก้ปัญหาจะดำเนินการตามกฎเกณฑ์บางประการ อัลกอริธึมที่อธิบายกลยุทธ์บางอย่างสำหรับพฤติกรรมของผู้ตัดสินใจภายใต้เงื่อนไขที่ไม่แน่นอน

มี "เกมกับธรรมชาติ" และ "เกมกับศัตรู" โดยพิจารณาจากสถานการณ์ วิธีการและเกณฑ์ในการประเมินการตัดสินใจจะถูกกำหนด ดังนั้น เมื่อ "เล่นกับธรรมชาติ" จะใช้เกณฑ์ต่อไปนี้: Laplace, maximin (เกณฑ์ Wald) และ minimax, Hurwitz และ Savage และกฎอัลกอริทึมอื่นๆ จำนวนหนึ่ง ใน "เกมกับศัตรู" เมทริกซ์ผลตอบแทน เกณฑ์สูงสุดและต่ำสุด ตลอดจนการแปลงทางคณิตศาสตร์พิเศษใช้สำหรับการตัดสินใจเนื่องจากผู้มีอำนาจตัดสินใจถูกฝ่ายตรงข้ามที่ไม่เป็นมิตรต่อต้าน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทที่พิจารณาแล้วไม่ได้ครอบคลุมความหลากหลายที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่จะกำหนดลักษณะเฉพาะแต่ละประเภทโดยขึ้นอยู่กับแง่มุมที่ยอมรับของการจำแนกประเภท V.A. Kardash พยายามสร้างระบบสำหรับการจำแนกแบบจำลองตามรายละเอียดสี่ด้าน (รูปที่ 8.4)

เอ - โมเดลที่ไม่มีความแตกต่างเชิงพื้นที่ของพารามิเตอร์

B - โมเดลที่มีความแตกต่างเชิงพื้นที่ของพารามิเตอร์

รูปที่ 8.4 - การจำแนกแบบจำลองตามรายละเอียดสี่ด้าน

ด้วยการพัฒนาเครื่องมือคอมพิวเตอร์ วิธีการตัดสินใจที่ใช้บ่อยที่สุดวิธีหนึ่งคือเกมธุรกิจ ซึ่งเป็นการทดลองเชิงตัวเลขโดยมีส่วนร่วมอย่างแข็งขันของบุคคล มีเกมธุรกิจหลายร้อยเกม ใช้เพื่อศึกษาปัญหาด้านการจัดการ เศรษฐศาสตร์ ทฤษฎีองค์กร จิตวิทยา การเงินและการค้า

คอมพิวเตอร์เข้ามาในชีวิตของเราอย่างแน่นหนาและไม่มีกิจกรรมของมนุษย์ที่จะไม่ใช้คอมพิวเตอร์ ปัจจุบันคอมพิวเตอร์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในกระบวนการสร้างและค้นคว้าเกี่ยวกับเครื่องจักรใหม่ กระบวนการทางเทคโนโลยีใหม่ และการค้นหาตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด เมื่อแก้ปัญหาเศรษฐกิจ เมื่อแก้ปัญหาการวางแผนและจัดการการผลิตในระดับต่างๆ การสร้างวัตถุขนาดใหญ่ในจรวด การสร้างเครื่องบิน การต่อเรือ ตลอดจนการออกแบบเขื่อน สะพาน ฯลฯ เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีคอมพิวเตอร์

ในการใช้คอมพิวเตอร์ในการแก้ปัญหาเชิงประยุกต์ อย่างแรกเลย ปัญหาที่ประยุกต์ต้อง "แปล" เป็นภาษาคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ กล่าวคือ สำหรับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง ต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คำว่า Model มาจากภาษาละติน modus (copy, image, outline) การสร้างแบบจำลองเป็นการแทนที่วัตถุ A กับวัตถุอื่น B ​​วัตถุที่ถูกแทนที่ A เรียกว่าวัตถุดั้งเดิมหรือวัตถุการสร้างแบบจำลอง และการแทนที่ B เรียกว่าแบบจำลอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบจำลองเป็นการแทนที่วัตถุของวัตถุดั้งเดิม โดยให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ

วัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองคือการได้รับ ประมวลผล นำเสนอ และใช้ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันและสภาพแวดล้อมภายนอก และแบบจำลองที่นี่ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการรู้คุณสมบัติและรูปแบบของพฤติกรรมของวัตถุ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง โดยการแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สะดวกกว่าสำหรับการวิจัยเชิงทดลองโดยใช้คอมพิวเตอร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการของการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการและปรากฏการณ์จริง วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้อุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์ล้วนเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยจะแทนที่วัตถุจริงด้วยแบบจำลอง จากนั้นจึงศึกษาแบบจำลองหลัง เช่นเดียวกับในกรณีของการจำลองใดๆ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้อธิบายปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอย่างเต็มที่ และคำถามเกี่ยวกับการบังคับใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับในลักษณะนี้มีความหมายมาก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายแบบง่ายของความเป็นจริงโดยใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แสดงคุณลักษณะที่สำคัญของวัตถุหรือกระบวนการในภาษาของสมการและวิธีการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ คณิตศาสตร์เองเป็นหนี้การดำรงอยู่ของมันกับสิ่งที่มันพยายามจะสะท้อนให้เห็น นั่นคือ เพื่อสร้างแบบจำลอง ในภาษาเฉพาะของตนเอง รูปแบบของโลกรอบข้าง

ที่ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์การศึกษาวัตถุจะดำเนินการโดยใช้แบบจำลองที่กำหนดในภาษาของคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

เส้นทางของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในสมัยของเรามีความครอบคลุมมากกว่าการสร้างแบบจำลองตามธรรมชาติ แรงผลักดันอย่างมากในการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ แม้ว่าวิธีการนี้จะถือกำเนิดขึ้นพร้อมกับคณิตศาสตร์เมื่อหลายพันปีก่อนก็ตาม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีคอมพิวเตอร์รองรับเสมอไป ผู้เชี่ยวชาญแต่ละคนมีส่วนร่วมอย่างมืออาชีพในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทำทุกอย่างที่เป็นไปได้สำหรับการศึกษาเชิงวิเคราะห์ของแบบจำลอง โซลูชันการวิเคราะห์ (กล่าวคือ แสดงโดยสูตรที่แสดงผลการศึกษาผ่านข้อมูลเริ่มต้น) มักจะสะดวกและให้ข้อมูลมากกว่าตัวเลข ความเป็นไปได้ของวิธีการวิเคราะห์ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนนั้นมีจำกัด และตามกฎแล้ว วิธีการเหล่านี้ซับซ้อนกว่าวิธีเชิงตัวเลขมาก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการแสดงค่าโดยประมาณของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง โดยแสดงในรูปของคณิตศาสตร์และคงคุณลักษณะที่สำคัญของต้นฉบับไว้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบเชิงปริมาณโดยใช้โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์ อธิบายคุณสมบัติหลักของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ พารามิเตอร์ การเชื่อมต่อภายในและภายนอก

ทุกรุ่นสามารถแบ่งออกเป็นสองคลาส:

1. จริง,
2. ในอุดมคติ.

ในทางกลับกัน โมเดลจริงสามารถแบ่งออกเป็น:

1. เป็นธรรมชาติ,
2. ทางกายภาพ,
3. ทางคณิตศาสตร์

โมเดลในอุดมคติสามารถแบ่งออกเป็น:

1. ภาพ,
2. สัญลักษณ์
3. ทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองเต็มรูปแบบจริงคือวัตถุ กระบวนการ และระบบจริงที่ทำการทดลองทางวิทยาศาสตร์ เทคนิค และอุตสาหกรรม

แบบจำลองจริงทางกายภาพคือแบบจำลอง ซึ่งเป็นแบบจำลองที่สร้างคุณสมบัติทางกายภาพของต้นฉบับ (แบบจำลองจลนศาสตร์ ไดนามิก ไฮดรอลิก ความร้อน ไฟฟ้า และเบา)

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคือแบบจำลองแอนะล็อก โครงสร้าง เรขาคณิต กราฟิก ดิจิทัล และไซเบอร์เนติกส์

โมเดลภาพที่เหมาะสมที่สุดคือไดอะแกรม แผนที่ ภาพวาด กราฟ กราฟ แอนะล็อก แบบจำลองโครงสร้างและเรขาคณิต

โมเดลเครื่องหมายในอุดมคติ ได้แก่ สัญลักษณ์ ตัวอักษร ภาษาโปรแกรม สัญกรณ์เรียงลำดับ สัญกรณ์ทอพอโลยี การแสดงแทนเครือข่าย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติคือแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ เชิงฟังก์ชัน แบบจำลอง และแบบผสมผสาน

ในการจัดประเภทข้างต้น บางรุ่นมีการตีความสองครั้ง (เช่น แอนะล็อก) แบบจำลองทั้งหมด ยกเว้นแบบเต็มรูปแบบ สามารถรวมเป็นแบบจำลองทางจิตชั้นหนึ่งได้ตั้งแต่ เป็นผลจากการคิดเชิงนามธรรมของมนุษย์

องค์ประกอบของทฤษฎีเกม

ในกรณีทั่วไป การแก้ปัญหาเกมเป็นงานที่ค่อนข้างยาก และความซับซ้อนของปัญหาและจำนวนการคำนวณที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อเพิ่มขึ้น อย่างไรก็ตาม ปัญหาเหล่านี้ไม่ได้มีลักษณะพื้นฐานและเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมากเท่านั้น ซึ่งในบางกรณีอาจกลายเป็นสิ่งที่ทำไม่ได้ในทางปฏิบัติ ด้านพื้นฐานของวิธีการหาวิธีแก้ปัญหายังคงอยู่สำหรับใดๆ อันหนึ่งอันเดียวกัน

มาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างเกมกัน ให้การตีความทางเรขาคณิต - แล้วเป็นเชิงพื้นที่ สามกลยุทธ์ของเรา เราจะพรรณนาด้วยสามจุดบนเครื่องบิน ; อันแรกอยู่ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 1) ที่สองและสาม - บนแกน โอ้และ OUที่ระยะห่าง 1 จากจุดกำเนิด

แกน I-I, II-II และ III-III ถูกลากผ่านจุดที่ตั้งฉากกับระนาบ . บนแกน I-I ผลตอบแทนสำหรับกลยุทธ์จะถูกวางแผนบนแกน II-II และ III-III - ผลตอบแทนสำหรับกลยุทธ์ ทุกกลยุทธ์ของศัตรู จะแสดงด้วยระนาบตัดบนแกน I-I, II-II และ III-III, ส่วนเท่ากับกำไร

ด้วยกลยุทธ์และกลยุทธ์ที่เหมาะสม . เมื่อสร้างกลยุทธ์ทั้งหมดของศัตรูแล้ว เราจะได้เครื่องบินตระกูลเหนือรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 2)

สำหรับตระกูลนี้ ยังสามารถสร้างขอบเขตผลตอบแทนที่ต่ำกว่าได้ ดังที่เราทำในกรณี และหาจุด N บนขอบเขตนี้ด้วยความสูงสูงสุดบนระนาบ . ความสูงนี้จะเป็นราคาของเกม

ความถี่ของกลยุทธ์ในกลยุทธ์ที่เหมาะสมจะถูกกำหนดโดยพิกัด (x, y)คะแนน N กล่าวคือ:

อย่างไรก็ตาม โครงสร้างทางเรขาคณิตดังกล่าว แม้แต่ในกรณีนี้ ก็ไม่ง่ายที่จะนำไปใช้ และต้องใช้เวลาและจินตนาการอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ในกรณีทั่วไปของเกม มันจะถูกถ่ายโอนไปยังพื้นที่มิติและสูญเสียความชัดเจนทั้งหมด แม้ว่าการใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตในบางกรณีอาจมีประโยชน์ เมื่อแก้เกมในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าที่จะใช้ไม่ใช่การเปรียบเทียบเชิงเรขาคณิต แต่เป็นวิธีวิเคราะห์เชิงคำนวณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากวิธีการเหล่านี้เป็นวิธีการเดียวที่เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์

วิธีการทั้งหมดเหล่านี้จะลดลงในการแก้ปัญหาโดยการทดลองแบบต่อเนื่อง แต่การสั่งซื้อลำดับของการทดลองช่วยให้คุณสามารถสร้างอัลกอริทึมที่นำไปสู่การแก้ปัญหาด้วยวิธีที่ประหยัดที่สุด

ที่นี่เราอาศัยวิธีการคำนวณหนึ่งวิธีในการแก้เกมโดยสังเขป - ในวิธีที่เรียกว่า "การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น"

ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราให้คำชี้แจงทั่วไปเกี่ยวกับปัญหาในการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของเกม ปล่อยให้เกมได้รับ tกลยุทธ์ของผู้เล่น แต่และ นกลยุทธ์ของผู้เล่น ที่และให้เมทริกซ์ผลตอบแทน

จำเป็นต้องหาวิธีแก้ปัญหาของเกม นั่นคือ สองกลยุทธ์ผสมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผู้เล่น A และ B

โดยที่ (ตัวเลขบางตัวและสามารถเท่ากับศูนย์ได้)

กลยุทธ์ที่ดีที่สุดของเรา ส*อควรให้ผลตอบแทนแก่เราไม่น้อยกว่า , สำหรับพฤติกรรมใด ๆ ของศัตรู, และผลตอบแทนเท่ากับ , สำหรับพฤติกรรมที่เหมาะสมที่สุดของเขา (กลยุทธ์ เอส*บี).ในทำนองเดียวกันกลยุทธ์ เอส*บีต้องให้ศัตรูสูญเสียไม่เกิน , สำหรับพฤติกรรมใด ๆ ของเราและเท่ากับพฤติกรรมที่เหมาะสมของเรา (กลยุทธ์ ส*อ).

มูลค่าของเกมในกรณีนี้ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับเรา เราจะถือว่ามันเท่ากับจำนวนบวก สมมติว่าสิ่งนี้ เราไม่ละเมิดหลักการทั่วไปของการให้เหตุผล เพื่อให้เป็น > 0 เห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ไม่เป็นค่าลบ สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการเพิ่มค่าบวก L จำนวนมากเพียงพอให้กับองค์ประกอบ ในกรณีนี้ ค่าใช้จ่ายของเกมจะเพิ่มขึ้น L และวิธีแก้ปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราเลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุด ส*เอ.จากนั้นผลตอบแทนเฉลี่ยสำหรับกลยุทธ์ของคู่ต่อสู้จะเท่ากับ:

กลยุทธ์ที่ดีที่สุดของเรา ส*อมีคุณสมบัติที่สำหรับพฤติกรรมใด ๆ ของฝ่ายตรงข้าม จะได้รับไม่น้อยกว่า ; ดังนั้นจำนวนใด ๆ จะต้องไม่น้อยกว่า . เราได้รับเงื่อนไขหลายประการ:

(1)

หารความไม่เท่าเทียมกัน (1) ด้วยค่าบวกและแสดงว่า:

จากนั้นเงื่อนไข (1) สามารถเขียนเป็น

(2)

โดยที่ตัวเลขไม่เป็นลบ เพราะ ปริมาณตรงตามเงื่อนไข

เราต้องการรับประกันชัยชนะให้สูงที่สุด แน่นอน ในกรณีนี้ ด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (3) จะใช้ค่าต่ำสุด

ดังนั้นปัญหาในการหาวิธีแก้ปัญหาของเกมจึงลดลงเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้: กำหนดปริมาณที่ไม่เป็นลบ เป็นไปตามเงื่อนไข (2) เพื่อให้ผลรวมของพวกเขา

น้อยที่สุด

โดยปกติเมื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาค่าสุดขั้ว (สูงสุดและต่ำสุด) ฟังก์ชันจะมีความแตกต่างและอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ แต่เทคนิคดังกล่าวไม่มีประโยชน์ในกรณีนี้ เนื่องจากฟังก์ชัน Ф ซึ่ง ความต้องการย่อเล็กสุด เป็นเส้นตรง และอนุพันธ์ของมันเทียบกับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง กล่าวคือ พวกมันจะไม่หายไปไหน ดังนั้น ฟังก์ชันสูงสุดจะไปถึงที่ใดที่หนึ่งบนขอบเขตของขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งกำหนดโดยข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธของอาร์กิวเมนต์และเงื่อนไข (2) วิธีการหาค่าสุดขีดโดยใช้การสร้างความแตกต่างก็ไม่เหมาะสมในกรณีเหล่านั้นเมื่อมีการกำหนดขอบเขตการจ่ายเงินสูงสุดที่ต่ำกว่า (หรือต่ำสุดของด้านบน) สำหรับการแก้ปัญหาของเกมดังที่เราทำ ตัวอย่างเช่น พวกเขาทำมันตอนแก้เกม อันที่จริง ขอบล่างประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงและค่าสูงสุดไม่ถึงจุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ (ไม่มีจุดดังกล่าวเลย) แต่อยู่ที่ขอบของช่วงหรือที่จุดตัดของส่วนตรง

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว ซึ่งค่อนข้างเป็นเรื่องธรรมดาในทางปฏิบัติ ได้มีการพัฒนาเครื่องมือพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมีดังนี้

กำหนดระบบสมการเชิงเส้น:

(4)

จำเป็นต้องค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของปริมาณที่เป็นไปตามเงื่อนไข (4) และในขณะเดียวกันก็ลดฟังก์ชันเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของปริมาณที่กำหนด (รูปแบบเชิงเส้น):

ง่ายที่จะเห็นว่าปัญหาทฤษฎีเกมที่กล่าวข้างต้นเป็นกรณีเฉพาะของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสำหรับ

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าเงื่อนไข (2) ไม่เทียบเท่ากับเงื่อนไข (4) เนื่องจากแทนที่จะเป็นเครื่องหมายเท่ากับ พวกมันกลับมีเครื่องหมายอสมการ อย่างไรก็ตาม มันง่ายที่จะกำจัดเครื่องหมายอสมการโดยการแนะนำตัวแปรที่ไม่ใช่ค่าลบที่สมมติขึ้นใหม่และเงื่อนไขการเขียน (2) ในรูปแบบ:

(5)

รูปแบบ Ф ซึ่งต้องย่อให้เล็กสุด เท่ากับ

เครื่องมือโปรแกรมเชิงเส้นช่วยให้เลือกค่าได้โดยตัวอย่างต่อเนื่องกันจำนวนค่อนข้างน้อย , ตอบสนองความต้องการ เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ในที่นี้เราจะสาธิตการใช้อุปกรณ์นี้โดยตรงบนเนื้อหาในการไขเกมเฉพาะ