Lineárna funkcia, jej vlastnosti a graf. Lineárna funkcia

Pojem numerickej funkcie. Spôsoby nastavenia funkcie. Vlastnosti funkcie.

Číselná funkcia je funkcia, ktorá pôsobí z jedného číselného priestoru (množiny) do iného číselného priestoru (množiny).

Existujú tri hlavné spôsoby definovania funkcie: analytická, tabuľková a grafická.

1. Analytický.

Metóda špecifikácie funkcie pomocou vzorca sa nazýva analytická. Táto metóda je hlavná v podložke. analýzy, ale v praxi to nie je pohodlné.

2. Tabuľkový spôsob nastavenia funkcie.

Funkciu je možné definovať pomocou tabuľky obsahujúcej hodnoty argumentov a im zodpovedajúce funkčné hodnoty.

3. Grafický spôsob nastavenia funkcie.

Funkcia y \u003d f (x) sa volá graficky, ak je vytvorený jej graf. Tento spôsob nastavenia funkcie umožňuje určiť hodnoty funkcie len približne, keďže zostrojenie grafu a nájdenie hodnôt funkcie na ňom je spojené s chybami.

Vlastnosti funkcie, ktoré treba brať do úvahy pri vykresľovaní jej grafu:

1) Rozsah funkcie.

Rozsah funkcií, teda tie hodnoty, ktoré môže nadobudnúť argument x funkcie F =y (x).

2) Intervaly rastúcej a klesajúcej funkcie.

Funkcia sa nazýva zvyšovanie na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sa z uvažovaného intervalu prevezmú dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2 a x 1 > x 2, potom y (x 1) > y (x 2).

Funkcia sa nazýva klesajúca na uvažovanom intervale, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie y(x). To znamená, že ak sa z uvažovaného intervalu prevezmú dva ľubovoľné argumenty x 1 a x 2, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkčné nuly.

Body, v ktorých funkcia F \u003d y (x) pretína os x (získajú sa riešením rovnice y (x) \u003d 0) a nazývajú sa nuly funkcie.

4) Párne a nepárne funkcie.

Funkcia sa nazýva párna, ak pre všetky hodnoty argumentu z rozsahu

y(-x) = y(x).

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre všetky hodnoty argumentu z rozsahu

y(-x) = -y(x).

Graf párnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.

Mnohé funkcie nie sú párne ani nepárne.

5) Periodicita funkcie.

Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje číslo P také, že pre všetky hodnoty argumentu z oblasti definície

y(x + P) = y(x).

Lineárna funkcia, jej vlastnosti a graf.

Lineárna funkcia je funkciou formy y = kx + b, definované na množine všetkých reálnych čísel.

k– faktor sklonu (skutočné číslo)

b- voľný termín (reálne číslo)

X je nezávislá premenná.

· V konkrétnom prípade, ak k = 0, dostaneme konštantnú funkciu y = b, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou Ox, prechádzajúca bodom so súradnicami (0; b).

· Ak b = 0, tak dostaneme funkciu y = kx, čo je priama úmernosť.

o Geometrický význam koeficientu b je dĺžka segmentu, ktorý priamka odreže pozdĺž osi Oy, počítajúc od začiatku.

o Geometrický význam koeficientu k je uhol sklonu priamky ku kladnému smeru osi Ox, uvažuje sa proti smeru hodinových ručičiek.

Vlastnosti lineárnej funkcie:

1) Definičný obor lineárnej funkcie je celá reálna os;

2) Ak k ≠ 0, potom rozsahom lineárnej funkcie je celá reálna os.

Ak k = 0, potom rozsah lineárnej funkcie pozostáva z čísla b;

3) Rovnomernosť a nepárnosť lineárnej funkcie závisí od hodnôt koeficientov k a b.

a) b ≠ 0, k = 0, teda y = b je párne;

b) b = 0, k ≠ 0, teda y = kx je nepárne;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, teda y = kx + b je všeobecná funkcia;

d) b = 0, k = 0, teda y = 0 je párna aj nepárna funkcia.

4) Lineárna funkcia nemá vlastnosť periodicity;

5) Priesečníky so súradnicovými osami:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, preto (-b / k; 0) je priesečník s osou x.

Oy: y = 0k + b = b, teda (0; b) je priesečník s osou y.

Komentujte. Ak b = 0 ak = 0, potom funkcia y = 0 zmizne pre akúkoľvek hodnotu x. Ak b ≠ 0 a k = 0, potom funkcia y = b nezaniká pre žiadne hodnoty premennej x.

6) Intervaly stálosti znamienka závisia od koeficientu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b je kladné pre x od (-b/k; +∞),

y = kx + b je záporné pre x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b je kladné pre x od (-∞; -b/k),

y = kx + b je záporné pre x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je kladné v celej doméne,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervaly monotónnosti lineárnej funkcie závisia od koeficientu k.

k > 0, teda y = kx + b sa zvyšuje v celej doméne,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcia y \u003d ax 2 + bx + c, jej vlastnosti a graf.

Funkcia y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c sú konštantné hodnoty, a ≠ 0) sa nazýva kvadratický. V najjednoduchšom prípade, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), je graf zakrivená čiara prechádzajúca počiatkom. Krivka slúžiaca ako graf funkcie y \u003d ax 2 je parabola. Každá parabola má os symetrie tzv os paraboly. Bod O priesečníka paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly.

Graf je možné zostaviť podľa nasledujúcej schémy: 1) Nájdite súradnice vrcholu paraboly x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Postavíme niekoľko ďalších bodov, ktoré patria do paraboly, pri stavaní môžete použiť symetriu paraboly vzhľadom na priamku x = -b / 2a. 3) Naznačené body spojíme hladkou čiarou. Príklad. Zostrojte graf funkcie v \u003d x 2 + 2x - 3. Riešenia. Grafom funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor. Abscisa vrcholu paraboly x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, jej súradnice y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Takže vrchol paraboly je bod (-1; -4). Urobme tabuľku hodnôt pre niekoľko bodov, ktoré sú umiestnené napravo od osi symetrie paraboly - priamka x \u003d -1. Vlastnosti funkcie.

Definícia lineárnej funkcie

Uveďme definíciu lineárnej funkcie

Definícia

Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon priamky.

Pre $b=0$ sa lineárna funkcia nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.

Zvážte obrázok 1.

Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky

Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $BC=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

\ \

Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.

Z toho možno vyvodiť nasledujúci záver:

Záver

Geometrický význam koeficientu $k$. Sklon priamky $k$ sa rovná dotyčnici sklonu tejto priamky k osi $Ox$.

Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu

Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. Preto sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (obr. 2).

Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.

Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

1. Rozsah sú všetky čísla.
2. Rozsah sú všetky čísla.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
4. Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Pre $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (obr. 3).

Inštrukcia

Ak je grafom priamka prechádzajúca počiatkom a zvierajúca s osou OX uhol α (uhol sklonu priamky ku kladnej poloosi OX). Funkcia popisujúca tento riadok bude vyzerať ako y = kx. Faktor úmernosti k sa rovná tg α. Ak priamka prechádza cez 2. a 4. súradnicovú štvrtinu, potom k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 a funkcia je rastúca. Nech je to priamka umiestnená rôznymi spôsobmi vzhľadom na súradnicové osi. Toto je lineárna funkcia a má tvar y = kx + b, kde premenné x a y sú v prvej mocnine a k a b môžu mať kladné aj záporné hodnoty alebo sa rovnajú nule. Priamka je rovnobežná s priamkou y = kx a odrezáva na osi |b| Jednotky. Ak je priamka rovnobežná s osou x, potom k = 0, ak je os ordináta, potom má rovnica tvar x = konšt.

Krivka pozostávajúca z dvoch vetiev umiestnených v rôznych štvrtiach a symetrických okolo začiatku, hyperbola. Tento graf je inverznou závislosťou premennej y na x a je opísaný rovnicou y = k/x. Tu k ≠ 0 je koeficient proporcionality. Navyše, ak k > 0, funkcia klesá; ak k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Kvadratická funkcia má tvar y = ax2 + bx + c, kde a, b a c sú konštanty a a  0. Keď je splnená podmienka b = c = 0, rovnica funkcie vyzerá ako y = ax2 ( najjednoduchší prípad) a jeho grafom je parabola prechádzajúca počiatkom. Graf funkcie y = ax2 + bx + c má rovnaký tvar ako najjednoduchší prípad funkcie, ale jeho vrchol (priesečník s osou OY) neleží v počiatku.

Parabola je tiež grafom mocninnej funkcie vyjadrenej rovnicou y = xⁿ, ak n je ľubovoľné párne číslo. Ak je n akékoľvek nepárne číslo, graf takejto mocninovej funkcie bude vyzerať ako kubická parabola.
Ak n je ľubovoľné , rovnica funkcie má tvar. Graf funkcie pre nepárne n bude hyperbola a pre párne n budú ich vetvy symetrické okolo osi op-y.

Už v školských rokoch sa podrobne študujú funkcie a zostavujú sa ich grafy. Ale, bohužiaľ, prakticky neučia čítať graf funkcie a nájsť jej typ podľa prezentovaného výkresu. Je to vlastne celkom jednoduché, ak si pamätáte základné typy funkcií.

Inštrukcia

Ak je prezentovaný graf , ktorý je cez začiatok a s uhlom OX osi α (čo je uhol sklonu priamky ku kladnej poloosi), potom funkcia opisujúca takúto priamku bude reprezentovaná ako y = kx. V tomto prípade sa koeficient úmernosti k rovná dotyčnici uhla α.

Ak daná priamka prechádza cez druhú a štvrtú súradnicovú štvrtinu, potom k je 0 a funkcia je rastúca. Nech prezentovaný graf je priamka umiestnená akýmkoľvek spôsobom vzhľadom na súradnicové osi. Potom funkcia napr grafické umenie bude lineárny, čo je reprezentované tvarom y = kx + b, kde premenné y a x sú v prvom a b a k môžu nadobúdať záporné aj kladné hodnoty alebo .

Ak je priamka rovnobežná s priamkou s grafom y = kx a orezáva b jednotiek na osi y, potom má rovnica tvar x = const, ak je graf rovnobežný s osou x, potom k = 0 .

Zakrivená čiara, ktorá pozostáva z dvoch vetiev, symetrických okolo pôvodu a umiestnených v rôznych štvrtiach, hyperbola. Takýto graf znázorňuje inverznú závislosť premennej y od premennej x a je opísaný rovnicou v tvare y = k/x, kde k by sa nemalo rovnať nule, keďže ide o inverzný koeficient úmernosti. V tomto prípade, ak je hodnota k väčšia ako nula, funkcia klesá; ak je k menšie ako nula, zvyšuje sa.

Ak je navrhovaným grafom parabola prechádzajúca počiatkom, jeho funkcia, ak je splnená podmienka b = c = 0, bude vyzerať ako y = ax2. Toto je najjednoduchší prípad kvadratickej funkcie. Graf funkcie v tvare y = ax2 + bx + c bude mať rovnaký tvar ako v najjednoduchšom prípade, ale vrchol (bod, kde sa graf pretína s osou y) nebude v počiatku. V kvadratickej funkcii reprezentovanej tvarom y = ax2 + bx + c sú hodnoty a, b a c konštantné, zatiaľ čo a sa nerovná nule.

Parabolou môže byť aj graf mocninnej funkcie vyjadrený rovnicou v tvare y = xⁿ, len ak n je ľubovoľné párne číslo. Ak je hodnota n nepárne číslo, bude takýto graf mocninovej funkcie reprezentovaný kubickou parabolou. Ak je premenná n ľubovoľné záporné číslo, rovnica funkcie má tvar .

Podobné videá

Súradnica absolútne akéhokoľvek bodu v rovine je určená jeho dvoma hodnotami: pozdĺž osi x a osi y. Množina mnohých takýchto bodov je grafom funkcie. Podľa neho vidíte, ako sa mení hodnota Y v závislosti od zmeny hodnoty X. Môžete tiež určiť, v ktorom úseku (intervale) funkcia rastie a v ktorom klesá.

Inštrukcia

Čo možno povedať o funkcii, ak je jej graf priamka? Pozrite sa, či táto čiara prechádza cez začiatok súradníc (to znamená ten, kde hodnoty X a Y sú 0). Ak prejde, tak takúto funkciu popisuje rovnica y = kx. Je ľahké pochopiť, že čím väčšia je hodnota k, tým bližšie bude táto čiara k osi y. A samotná os Y vlastne zodpovedá nekonečne veľkej hodnote k.

Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf buď priamka alebo zakrivená čiara. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte na všeobecné pravidlá, podľa ktorých sa odvodzujú, a až potom prejdite na ďalší krok.

• Prečítajte si článok.
• Je popísané, ako zobrať najjednoduchšie derivácie, napríklad deriváciu exponenciálnej rovnice. Výpočty uvedené v nasledujúcich krokoch budú založené na metódach, ktoré sú tam opísané.

Naučte sa rozlišovať medzi problémami, v ktorých je potrebné vypočítať sklon z hľadiska derivácie funkcie. V úlohách sa nie vždy navrhuje nájsť sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x, y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x, y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.

Úlohy o vlastnostiach a grafoch kvadratickej funkcie, ako ukazuje prax, spôsobujú vážne ťažkosti. Je to dosť zvláštne, pretože kvadratická funkcia sa prejde v 8. ročníku a potom sa celý prvý štvrťrok 9. ročníka „mučí“ vlastnosťami paraboly a stavajú sa jej grafy na rôzne parametre.

Je to spôsobené tým, že núti študentov stavať paraboly, prakticky nevenujú čas „čítaniu“ grafov, to znamená, že necvičia pochopenie informácií získaných z obrázka. Zrejme sa predpokladá, že po zostavení dvoch desiatok grafov šikovný študent sám objaví a sformuluje vzťah medzi koeficientmi vo vzorci a vzhľadom grafu. V praxi to tak nefunguje. Na takéto zovšeobecnenie je potrebná vážna prax v matematickom minivýskume, ktorú, samozrejme, väčšina deviatakov nemá. Zatiaľ v GIA navrhujú určiť znamienka koeficientov presne podľa harmonogramu.

Nebudeme od školákov vyžadovať nemožné a jednoducho ponúkneme jeden z algoritmov na riešenie takýchto problémov.

Takže funkcia formulára y=ax2+bx+c sa nazýva kvadratický, jeho grafom je parabola. Ako už názov napovedá, hlavnou zložkou je sekera 2. Teda a by sa nemali rovnať nule, zostávajúce koeficienty ( b a s) sa môže rovnať nule.

Pozrime sa, ako znamienka jeho koeficientov ovplyvňujú vzhľad paraboly.

Najjednoduchšia závislosť pre koeficient a. Väčšina školákov sebavedomo odpovedá: „ak a> 0, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade a = 0,5

A teraz pre a < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade a = - 0,5

Vplyv koeficientu s je tiež dosť ľahké sledovať. Predstavte si, že chceme nájsť hodnotu funkcie v bode X= 0. Dosaďte do vzorca nulu:

r = a 0 2 + b 0 + c = c. Ukazuje sa, že y = c. Teda s je ordináta priesečníka paraboly s osou y. Spravidla je tento bod v grafe ľahko nájsť. A určiť, či leží nad nulou alebo pod. Teda s> 0 alebo s < 0.

s > 0:

y=x2+4x+3

s < 0

y = x 2 + 4 x - 3

V súlade s tým, ak s= 0, potom parabola nevyhnutne prejde cez počiatok:

y=x2+4x

Náročnejšie s parametrom b. Bod, v ktorom ho nájdeme, závisí nielen od b ale aj z a. Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (súradnica osi X) sa zistí podľa vzorca x v \u003d - b / (2a). Touto cestou, b = - 2x palec. To znamená, že konáme nasledovne: na grafe nájdeme vrchol paraboly, určíme znamienko jej úsečky, to znamená, že sa pozrieme napravo od nuly ( x v> 0) alebo doľava ( x v < 0) она лежит.

To však nie je všetko. Pozor si musíme dať aj na znamienko koeficientu a. To znamená, aby ste videli, kam smerujú vetvy paraboly. A až potom podľa vzorca b = - 2x palec určiť znamenie b.

Zvážte príklad:

Vetvy smerujúce nahor a> 0, parabola pretína os pri pod nulou znamená s < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Takže b = - 2x palec = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, s < 0.