Ako odstrániť modul v nerovnosti. Modulové nerovnosti

Existuje niekoľko spôsobov riešenia nerovností obsahujúcich modul. Uvažujme o niektorých z nich.

1) Riešenie nerovnosti pomocou geometrickej vlastnosti modulu.

Pripomeniem, aká je geometrická vlastnosť modulu: modul čísla x je vzdialenosť od začiatku k bodu so súradnicou x.

Pri riešení nerovností týmto spôsobom môžu nastať 2 prípady:

1. |x| ≤ b,

A nerovnosť s modulom sa samozrejme redukuje na systém dvoch nerovností. Tu môže byť znak striktný, v takom prípade budú body na obrázku „vyrazené“.

2. |x| ≥ b, potom obrázok riešenia vyzerá takto:

A nerovnosť s modulom sa očividne znižuje na množinu dvoch nerovností. Tu môže byť znak striktný, v takom prípade budú body na obrázku „vyrazené“.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť |4 – |x|| ≥ 3.

Riešenie.

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcej množine:

U [-1;1] U

Príklad 2

Vyriešte nerovnosť ||x+2| – 3| ≤ 2.

Riešenie.

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcemu systému.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Samostatne riešime prvú nerovnosť sústavy. Je ekvivalentná nasledujúcej množine:

U[-1; 3].

2) Riešenie nerovností pomocou definície modulu.

Dovoľte mi pripomenúť vám, aby ste začali definícia modulu.

|a| = a ak a ≥ 0 a |a| = -a ak a< 0.

Napríklad |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť 3|x – 1| ≤ x + 3.

Riešenie.

Pomocou definície modulu dostaneme dva systémy:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

Pri oddelenom riešení prvého a druhého systému dostaneme:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(X< 1
(x ≥ 0.

Riešením pôvodnej nerovnosti budú všetky riešenia prvého systému a všetky riešenia druhého systému.

Odpoveď: x €.

3) Riešenie nerovností pomocou kvadratúry.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Riešenie.

Vyrovnajme obe strany nerovnosti. Podotýkam, že kvadratúra oboch strán nerovnosti je možná len vtedy, ak sú obe kladné. V tomto prípade máme moduly vľavo aj vpravo, takže to môžeme urobiť.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Teraz použijeme nasledujúcu vlastnosť modulu: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x - 2) (2x - 1)< 0.

Riešime intervalovou metódou.

Odpoveď: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Riešenie nerovníc metódou zmeny premenných.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Riešenie.

Všimnite si, že (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Potom dostaneme nerovnosť

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Urobme zmenu y = |2x + 3|.

Prepíšme našu nerovnosť berúc do úvahy náhradu.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Rozdelíme štvorcovú trojčlenku vľavo na faktor.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Riešime intervalovou metódou a dostaneme:

Späť na výmenu:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Táto dvojitá nerovnosť je ekvivalentná systému nerovností:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Každú z nerovností riešime samostatne.

Prvý je ekvivalentný systému

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Poďme to vyriešiť.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Druhá nerovnosť samozrejme platí pre všetky x, pretože modul je podľa definície kladné číslo. Keďže riešením sústavy sú všetky x, ktoré súčasne vyhovujú prvej a druhej nerovnici sústavy, potom riešením pôvodnej sústavy bude riešenie jej prvej dvojitej nerovnosti (druhá napokon platí pre všetky x).

Odpoveď: x € [-4,5; 1,5].

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Matematika je symbolom múdrosti vedy,

príklad vedeckej prísnosti a jednoduchosti,

štandard dokonalosti a krásy vo vede.

Ruský filozof, profesor A.V. Vološinov

Modulové nerovnosti

Najťažšie riešiteľné problémy v školskej matematike sú nerovnosti, obsahujúce premenné pod znakom modulu. Na úspešné vyriešenie takýchto nerovností je potrebné dobre poznať vlastnosti modulu a mať zručnosti na ich používanie.

Základné pojmy a vlastnosti

Modul (absolútna hodnota) reálneho čísla označené a je definovaný takto:

Jednoduché vlastnosti modulu zahŕňajú nasledujúce vzťahy:

A .

Poznámka, že posledné dve vlastnosti platia pre ľubovoľný párny stupeň.

Tiež, ak , kde , potom a

Zložitejšie vlastnosti modulu, ktoré možno efektívne využiť pri riešení rovníc a nerovníc s modulmi, sú formulované pomocou nasledujúcich teorémov:

Veta 1.Pre akékoľvek analytické funkcie a nerovnosť.

Veta 2. Rovnosť je ekvivalentná nerovnosti.

Veta 3. Rovnosť je ekvivalentná nerovnosti.

Najčastejšie nerovnosti v školskej matematike, obsahujúce neznáme premenné pod znakom modulo, sú nerovnosti tvaru a kde nejaká pozitívna konštanta.

Veta 4. Nerovnosť je ekvivalentná dvojitej nerovnosti, a riešenie nerovnostiredukuje na riešenie množiny nerovností a .

Táto veta je konkrétnym prípadom vety 6 a 7.

Zložitejšie nerovnosti, obsahujúce modul sú nerovnosti formulára a .

Metódy riešenia takýchto nerovností možno formulovať pomocou nasledujúcich troch viet.

Veta 5. Nerovnosť je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov nerovností

A (1)

Dôkaz. Odvtedy

To znamená platnosť (1).

Veta 6. Nerovnosť je ekvivalentom systému nerovností

Dôkaz. pretože , potom z nerovnosti z toho vyplýva . Za tejto podmienky nerovnosťa v tomto prípade sa druhý systém nerovností (1) ukazuje ako nekonzistentný.

Veta bola dokázaná.

Veta 7. Nerovnosť je ekvivalentná kombinácii jednej nerovnosti a dvoch systémov nerovností

A (3)

Dôkaz. Od , potom nerovnosť vždy vykonaný, ak .

nechaj, potom nerovnosťsa bude rovnať nerovnosti, z ktorej vyplýva množina dvoch nerovníc a .

Veta bola dokázaná.

Zvážte typické príklady riešenia problémov na tému „Nerovnosti, obsahujúce premenné pod znakom modulu.

Riešenie nerovností modulom

Najjednoduchšia metóda na riešenie nerovností s modulom je metóda, na základe rozšírenia modulov. Táto metóda je všeobecná, vo všeobecnom prípade však jeho aplikácia môže viesť k veľmi ťažkopádnym výpočtom. Študenti by preto mali poznať aj iné (efektívnejšie) metódy a techniky riešenia takýchto nerovností. Najmä, musíte mať zručnosti na aplikáciu teorémov, uvedené v tomto článku.

Príklad 1Vyriešte nerovnosť

. (4)

Riešenie.Nerovnosť (4) bude riešená „klasickou“ metódou – metódou moduli expanzie. Za týmto účelom zlomíme číselnú os bodky a intervaloch a zvážte tri prípady.

1. Ak , potom , , , a nerovnosť (4) nadobúda tvar alebo .

Keďže sa tu uvažuje o tomto prípade, , je riešením nerovnosti (4).

2. Ak , potom z nerovnosti (4) dostaneme alebo . Od priesečníka intervalov a je prázdny, potom neexistujú žiadne riešenia nerovnosti (4) na uvažovanom intervale.

3. Ak , potom má tvar nerovnosť (4). alebo . To je zrejmé je tiež riešením nerovnosti (4).

Odpoveď: ,.

Príklad 2 Vyriešte nerovnosť.

Riešenie. Predpokladajme, že . pretože , potom daná nerovnosť nadobudne tvar alebo . Pretože teda a teda nasleduje alebo .

Avšak , preto alebo .

Príklad 3 Vyriešte nerovnosť

. (5)

Riešenie. pretože , potom nerovnosť (5) je ekvivalentná nerovniciam alebo . Odtiaľ, podľa vety 4, máme súbor nerovností a .

Odpoveď: ,.

Príklad 4Vyriešte nerovnosť

. (6)

Riešenie. Označme . Potom z nerovnosti (6) získame nerovnosti , , alebo .

Odtiaľ, pomocou intervalovej metódy, dostaneme . pretože , potom tu máme systém nerovností

Riešením prvej nerovnosti sústavy (7) je spojenie dvoch intervalov a , a riešením druhej nerovnosti je dvojitá nerovnosť. To znamená, že riešením sústavy nerovníc (7) je spojenie dvoch intervalov a .

odpoveď: ,

Príklad 5Vyriešte nerovnosť

. (8)

Riešenie. Nerovnosť (8) transformujeme takto:

Alebo .

Aplikácia intervalovej metódy, dostaneme riešenie nerovnosti (8).

Odpoveď: .

Poznámka. Ak dáme a do podmienky vety 5, potom dostaneme .

Príklad 6 Vyriešte nerovnosť

. (9)

Riešenie. Z nerovnosti (9) vyplýva. Nerovnosť (9) transformujeme takto:

Alebo

Od , potom alebo .

Odpoveď: .

Príklad 7Vyriešte nerovnosť

. (10)

Riešenie. Od a , potom alebo .

V tomto spojení a nerovnosť (10) nadobúda tvar

Alebo

. (11)

Z toho vyplýva, že resp. Keďže , potom nerovnosť (11) implikuje aj alebo .

Odpoveď: .

Poznámka. Ak použijeme vetu 1 na ľavú stranu nerovnosti (10), potom dostaneme . Odtiaľto a z nerovnosti (10) to vyplýva, to alebo . pretože , potom má tvar nerovnosť (10). alebo .

Príklad 8 Vyriešte nerovnosť

. (12)

Riešenie. Odvtedy a nerovnosť (12) implikuje alebo . Avšak , preto alebo . Odtiaľto dostaneme alebo .

Odpoveď: .

Príklad 9 Vyriešte nerovnosť

. (13)

Riešenie. Podľa vety 7 sú riešenia nerovnice (13) alebo .

Nechaj teraz. V tomto prípade a nerovnosť (13) nadobúda tvar alebo .

Ak spojíme intervaly a , potom dostaneme riešenie nerovnosti (13) tvaru.

Príklad 10 Vyriešte nerovnosť

. (14)

Riešenie. Prepíšme nerovnosť (14) do ekvivalentného tvaru: . Ak aplikujeme vetu 1 na ľavú stranu tejto nerovnosti, dostaneme nerovnosť .

Odtiaľto az vety 1 to vyplýva, že nerovnosť (14) je splnená pre akékoľvek hodnoty.

Odpoveď: akékoľvek číslo.

Príklad 11. Vyriešte nerovnosť

. (15)

Riešenie. Použitie vety 1 na ľavú stranu nerovnosti (15), dostaneme . Odtiaľto a od nerovnosti (15) vyplýva rovnica, ktorý vyzerá ako.

Podľa vety 3, rovnica je ekvivalentná nerovnosti. Odtiaľto sa dostaneme.

Príklad 12.Vyriešte nerovnosť

. (16)

Riešenie. Z nerovnosti (16) podľa vety 4 získame sústavu nerovností

Pri riešení nerovnostipoužijeme vetu 6 a získame systém nerovnícz čoho vyplýva.

Zvážte nerovnosť. Podľa vety 7, získame množinu nerovností a . Druhá populačná nerovnosť platí pre každú skutočnosť.

v dôsledku toho riešenie nerovnosti (16) sú.

Príklad 13Vyriešte nerovnosť

. (17)

Riešenie. Podľa vety 1 môžeme písať

(18)

Berúc do úvahy nerovnosť (17) prichádzame k záveru, že obe nerovnosti (18) sa menia na rovnosť, t.j. existuje systém rovníc

Podľa vety 3 je tento systém rovníc ekvivalentný systému nerovníc

alebo

Príklad 14Vyriešte nerovnosť

. (19)

Riešenie. Odvtedy . Vynásobme obe časti nerovnosti (19) výrazom , ktorý pre akékoľvek hodnoty nadobúda iba kladné hodnoty. Potom dostaneme nerovnosť, ktorá je ekvivalentná nerovnosti (19) tvaru

Odtiaľto sa dostaneme alebo , kde . Od a potom riešenia nerovnosti (19) sú a .

Odpoveď: ,.

Pre hlbšie štúdium metód riešenia nerovností pomocou modulu je vhodné odkázať na tutoriály, uvedené v zozname odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: metódy riešenia a dokazovania nerovníc. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 s.

3. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: neštandardné metódy riešenia úloh. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.

Máte nejaké otázky?

Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

číslo modulo toto číslo samotné sa volá, ak je nezáporné, alebo rovnaké číslo s opačným znamienkom, ak je záporné.

Napríklad modul 6 je 6 a modul -6 je tiež 6.

To znamená, že modul čísla sa chápe ako absolútna hodnota, absolútna hodnota tohto čísla bez zohľadnenia jeho znamienka.

Označuje sa takto: |6|, | X|, |a| atď.

(Ďalšie podrobnosti nájdete v časti „Modul čísla“).

Modulové rovnice.

Príklad 1 . vyriešiť rovnicu|10 X - 5| = 15.

Riešenie.

V súlade s pravidlom je rovnica ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Rozhodujeme sa:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Odpoveď: X 1 = 2, X 2 = -1.

Príklad 2 . vyriešiť rovnicu|2 X + 1| = X + 2.

Riešenie.

Pretože modul je nezáporné číslo, potom X+ 2 ≥ 0. Podľa toho:

X ≥ -2.

Zostavíme dve rovnice:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Rozhodujeme sa:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Obidve čísla sú väčšie ako -2. Takže obe sú koreňmi rovnice.

Odpoveď: X 1 = -1, X 2 = 1.

Príklad 3 . vyriešiť rovnicu

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Riešenie.

Rovnica má zmysel, ak sa menovateľ nerovná nule – teda ak X≠ 1. Berme túto podmienku do úvahy. Naša prvá akcia je jednoduchá – zlomku sa nielen zbavíme, ale transformujeme ho tak, aby sme získali modul v jeho najčistejšej forme:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Teraz máme iba výraz pod modulom na ľavej strane rovnice. Pohni sa.
Modul čísla je nezáporné číslo – to znamená, že musí byť väčší alebo rovný nule. Podľa toho riešime nerovnosť:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Máme teda druhú podmienku: koreň rovnice musí byť aspoň 3/4.

V súlade s pravidlom zostavíme sadu dvoch rovníc a vyriešime ich:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Dostali sme dve odpovede. Skontrolujeme, či sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Mali sme dve podmienky: koreň rovnice nemôže byť rovný 1 a musí byť aspoň 3/4. Teda X ≠ 1, X≥ 3/4. Obe tieto podmienky zodpovedajú iba jednej z dvoch prijatých odpovedí - číslu 2. Preto je iba koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: X = 2.

Nerovnosti s modulom.

Príklad 1 . Vyriešte nerovnosť| X - 3| < 4

Riešenie.

Pravidlo modulu hovorí:

|a| = a, ak a ≥ 0.

|a| = -a, ak a < 0.

Modul môže mať nezáporné aj záporné číslo. Takže musíme zvážiť oba prípady: X- 3 ≥ 0 a X - 3 < 0.

1) Kedy X- 3 ≥ 0 naša pôvodná nerovnosť zostáva taká, aká je, iba bez znamienka modulo:
X - 3 < 4.

2) Kedy X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Otvorením zátvoriek dostaneme:

-X + 3 < 4.

Z týchto dvoch podmienok sme teda dospeli k spojeniu dvoch systémov nerovností:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Poďme ich vyriešiť:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Takže v našej odpovedi máme spojenie dvoch množín:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Určte najmenšiu a najväčšiu hodnotu. Sú to -1 a 7. Súčasne X väčší ako -1, ale menší ako 7.
okrem toho X≥ 3. Riešením nerovnosti je teda celá množina čísel od -1 do 7, s výnimkou týchto extrémnych čísel.

Odpoveď: -1 < X < 7.

alebo: X ∈ (-1; 7).

Doplnky.

1) Na vyriešenie našej nerovnosti existuje jednoduchší a kratší spôsob – grafický. Za týmto účelom nakreslite vodorovnú os (obr. 1).

Výraz | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X k bodu 3 menej ako štyri jednotky. Na osi si označíme číslo 3 a vľavo a vpravo od neho napočítame 4 dieliky. Vľavo sa dostaneme k bodu -1, vpravo - k bodu 7. Teda body X len sme videli bez toho, aby sme ich vypočítali.

Navyše, podľa podmienky nerovnosti, samotné -1 a 7 nie sú zahrnuté v množine riešení. Dostávame teda odpoveď:

1 < X < 7.

2) Existuje však aj iné riešenie, ktoré je ešte jednoduchšie ako grafický spôsob. Aby sme to dosiahli, naša nerovnosť musí byť prezentovaná v tejto forme:

4 < X - 3 < 4.

Veď takto je to podľa pravidla modulu. Nezáporné číslo 4 a podobné záporné číslo -4 sú hranice riešenia nerovnice.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Príklad 2 . Vyriešte nerovnosť| X - 2| ≥ 5

Riešenie.

Tento príklad sa výrazne líši od predchádzajúceho. Ľavá strana je väčšia ako 5 alebo rovná 5. Z geometrického hľadiska sú riešením nerovnosti všetky čísla, ktoré sú od bodu 2 vo vzdialenosti 5 jednotiek a viac (obr. 2). Z grafu vyplýva, že sú to všetky čísla, ktoré sú menšie alebo rovné -3 a väčšie alebo rovné 7. Takže odpoveď sme už dostali.

Odpoveď: -3 ≥ X ≥ 7.

Popri tom tú istú nerovnosť riešime preskupením voľného termínu doľava a doprava s opačným znamienkom:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Odpoveď je rovnaká: -3 ≥ X ≥ 7.

alebo: X ∈ [-3; 7]

Príklad vyriešený.

Príklad 3 . Vyriešte nerovnosť 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Riešenie.

číslo X môže byť kladná, záporná alebo nulová. Preto musíme brať do úvahy všetky tri okolnosti. Ako viete, berú sa do úvahy v dvoch nerovnostiach: X≥ 0 a X < 0. При X≥ 0, jednoducho prepíšeme našu pôvodnú nerovnosť tak, ako je, iba bez znamienka modulo:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Teraz k druhému prípadu: ak X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Rozšírenie zátvoriek:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Dostali sme teda dva systémy rovníc:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Potrebujeme vyriešiť nerovnice v systémoch – čo znamená, že musíme nájsť korene dvoch kvadratických rovníc. Aby sme to dosiahli, prirovnáme ľavé strany nerovností k nule.

Začnime prvým:

6X 2 - X - 2 = 0.

Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu - pozri časť "Kvadrická rovnica". Odpoveď hneď pomenujeme:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Z prvej sústavy nerovníc dostaneme, že riešením pôvodnej nerovnosti je celá množina čísel od -1/2 do 2/3. Píšeme spojenie riešení pre X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Teraz vyriešme druhú kvadratickú rovnicu:

6X 2 + X - 2 = 0.

Jeho korene:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Záver: kedy X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Spojme dve odpovede a získame konečnú odpoveď: riešením je celá množina čísel od -2/3 do 2/3, vrátane týchto extrémnych čísel.

Odpoveď: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

alebo: X ∈ [-2/3; 2/3].