किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें? किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान माना अंतराल में कोटि का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) स्वीकृत मान है।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. जाँच करें कि दिए गए खंड में कौन से स्थिर बिंदु शामिल हैं।
2. चरण 3 . से खंड के सिरों पर और स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
3. प्राप्त परिणामों में से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान चुनें।

अधिकतम या न्यूनतम अंक खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. $f"(x)$ . फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए
2. समीकरण $f"(x)=0$ . को हल करके स्थिर बिंदु खोजें
3. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को फ़ैक्टराइज़ करें।
4. एक समन्वय रेखा खींचें, उस पर स्थिर बिंदु रखें और प्राप्त अंतराल में व्युत्पन्न के संकेतों को खंड 3 के संकेतन का उपयोग करके निर्धारित करें।
5. नियम के अनुसार अधिकतम या न्यूनतम अंक ज्ञात करें: यदि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो यह अधिकतम बिंदु होगा (यदि माइनस से प्लस तक, तो यह न्यूनतम बिंदु होगा)। व्यवहार में, अंतराल पर तीरों की छवि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है: अंतराल पर जहां व्युत्पन्न धनात्मक होता है, तीर ऊपर की ओर खींचा जाता है और इसके विपरीत।

कुछ प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका:

भेदभाव के बुनियादी नियम

1. योग और अंतर का व्युत्पन्न प्रत्येक पद के व्युत्पन्न के बराबर है

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

फलन $f(x) = 3x^5 - cosx + (1)/(x)$ . का अवकलज ज्ञात कीजिए

योग और अंतर का व्युत्पन्न प्रत्येक पद के व्युत्पन्न के बराबर है

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. किसी उत्पाद का व्युत्पन्न।

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

व्युत्पन्न खोजें $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. भागफल का व्युत्पन्न

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

व्युत्पन्न खोजें $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

समारोह का न्यूनतम बिंदु खोजें $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. फ़ंक्शन का ODZ खोजें: $x+11>0; x>-11$

2. फ़ंक्शन का अवकलज ज्ञात कीजिए $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. अवकलज को शून्य से जोड़कर स्थिर बिंदु ज्ञात कीजिए

$(2x+21)/(x+11)=0$

एक भिन्न शून्य है यदि अंश शून्य है और हर शून्य नहीं है

$2x+21=0; x≠-11$

4. एक निर्देशांक रेखा खींचिए, उस पर स्थिर बिंदु रखिए और प्राप्त अंतरालों में अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम चरम दाएं क्षेत्र से किसी भी संख्या को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, शून्य।

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस पर हस्ताक्षर करता है, इसलिए, $-10.5$ बिंदु न्यूनतम बिंदु है।

उत्तर: $-10.5$

खंड $[-5;1]$ पर फ़ंक्शन $y=6x^5-90x^3-5$ का अधिकतम मान ज्ञात करें

1. फलन $y′=30x^4-270x^2$ . का अवकलज ज्ञात कीजिए

2. अवकलज को शून्य के बराबर कीजिए और स्थिर बिंदु ज्ञात कीजिए

$30x^4-270x^2=0$

आइए सामान्य कारक $30x^2$ को कोष्ठक से बाहर निकालें

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट करें

$x^2=0 ; एक्स -3 = 0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. स्थिर बिंदु चुनें जो दिए गए खंड $[-5;1]$ . से संबंधित हों

स्थिर बिंदु $x=0$ और $x=-3$ हमारे लिए उपयुक्त हैं

4. खंड के सिरों पर और आइटम 3 . से स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें

इस लेख में मैं इस बारे में बात करूंगा कि किसी फ़ंक्शन के अध्ययन में खोजने की क्षमता को कैसे लागू किया जाए: इसका सबसे बड़ा या सबसे छोटा मूल्य खोजने के लिए। और फिर हम ओपन टास्क बैंक के लिए टास्क बी15 से कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

हमेशा की तरह, आइए पहले सिद्धांत से शुरू करें।

किसी फलन के किसी भी अध्ययन की शुरुआत में, हम इसे पाते हैं

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर बढ़ता है और किस पर घटता है।

ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने और इसके निरंतर संकेत के अंतराल का अध्ययन करने की आवश्यकता है, अर्थात अंतराल जिस पर व्युत्पन्न अपना चिन्ह बनाए रखता है।

वे अंतराल जिन पर किसी फलन का अवकलज धनात्मक होता है, बढ़ते फलन के अंतराल होते हैं।

वे अंतराल जिन पर किसी फलन का अवकलज ऋणात्मक होता है, घटते फलन के अंतराल होते हैं।

एक । आइए कार्य B15 को हल करें (नंबर 245184)

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करेंगे:

ए) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें

बी) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

ग) इसे शून्य के बराबर सेट करें।

d) आइए हम फलन के अचर चिह्न के अंतराल ज्ञात करें।

ई) उस बिंदु का पता लगाएं जिस पर फ़ंक्शन सबसे बड़ा मान लेता है।

f) इस बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए।

मैं इस कार्य का विस्तृत समाधान VIDEO LESSON में बताता हूँ:

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फ़ायर्फ़ॉक्स

2. आइए कार्य B15 को हल करें (नंबर 282862)

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन खंड पर अधिकतम बिंदु, x = 2 पर सबसे बड़ा मान लेता है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

उत्तर: 5

3. आइए कार्य B15 (नंबर 245180) को हल करें:

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

1.शीर्षक="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. मूल फ़ंक्शन के दायरे के बाद से title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. अंश शून्य पर है। आइए देखें कि ओडीजेड फ़ंक्शन से संबंधित है या नहीं। ऐसा करने के लिए, जांचें कि क्या स्थिति शीर्षक = "(!LANG:4-2x-x^2>0 .)"> при .!}

शीर्षक="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

तो बिंदु फ़ंक्शन के ODZ के अंतर्गत आता है

हम बिंदु के दाएं और बाएं व्युत्पन्न के संकेत की जांच करते हैं:

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है। आइए अब फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

नोट 1. ध्यान दें कि इस समस्या में हमें फ़ंक्शन का डोमेन नहीं मिला: हमने केवल बाधाओं को तय किया और जांच की कि जिस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है वह फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है या नहीं। इस समस्या में, यह पर्याप्त निकला। हालांकि, यह मामला हमेशा नहीं होता है। यह कार्य पर निर्भर करता है।

टिप्पणी 2. किसी जटिल फलन के व्यवहार का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित नियम का प्रयोग किया जा सकता है:

• यदि किसी यौगिक फलन का बाह्य फलन बढ़ रहा है, तो फलन अपना अधिकतम मान उसी बिंदु पर ग्रहण करता है, जिस बिंदु पर आंतरिक फलन अपना अधिकतम मान लेता है। यह एक बढ़ते हुए फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नानुसार है: फ़ंक्शन अंतराल I पर बढ़ता है यदि इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।
• यदि किसी सम्मिश्र फलन का बाह्य फलन घट रहा है, तो फलन उसी बिंदु पर अधिकतम मान लेता है जिस पर आंतरिक फलन सबसे छोटा मान लेता है। . यह घटते हुए फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नानुसार है: फ़ंक्शन अंतराल I पर घटता है यदि इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है

हमारे उदाहरण में, बाहरी कार्य - परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है। लघुगणक के संकेत के तहत एक अभिव्यक्ति है - एक वर्ग त्रिपद, जो एक नकारात्मक वरिष्ठ गुणांक के साथ, बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है . इसके बाद, हम x के इस मान को फ़ंक्शन के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसका सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए मानक एल्गोरिथ्म में फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के बाद, अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों का निर्धारण शामिल है। फिर अधिकतम (या न्यूनतम) और अंतराल की सीमा पर पाए गए बिंदुओं पर मूल्यों की गणना, इस बात पर निर्भर करती है कि स्थिति में क्या प्रश्न है।

मैं आपको सलाह देता हूं कि चीजों को थोड़ा अलग तरीके से करें। क्यों? इसके बारे में लिखा।

मैं ऐसे कार्यों को निम्नानुसार हल करने का प्रस्ताव करता हूं:

1. व्युत्पन्न खोजें।
2. अवकलज के शून्यक ज्ञात कीजिए।
3. निर्धारित करें कि उनमें से कौन दिए गए अंतराल से संबंधित है।
4. हम अंतराल की सीमाओं और आइटम 3 के बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।
5. हम एक निष्कर्ष निकालते हैं (हम पूछे गए प्रश्न का उत्तर देते हैं)।

प्रस्तुत उदाहरणों को हल करने के क्रम में द्विघात समीकरणों के हल पर विस्तार से विचार नहीं किया जाता है, आपको ऐसा करने में सक्षम होना चाहिए। उन्हें भी पता होना चाहिए।

उदाहरणों पर विचार करें:

77422. फलन y=x . का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए 3 -3x+4 खंड पर [-2;0]।

आइए व्युत्पन्न के शून्य खोजें:

बिंदु x = -1, शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम अंक -2, -1 और 0 पर फ़ंक्शन मानों की गणना करते हैं:

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 6 है।

उत्तर: 6

77425. खंड पर फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए व्युत्पन्न के शून्य खोजें:

बिंदु x = 2 शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम अंक 1, 2 और 4 पर फ़ंक्शन मानों की गणना करते हैं:

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान -2 है।

उत्तर: -2

77426. खंड [-3; 3] पर फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 6x 2 का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए व्युत्पन्न के शून्य खोजें:

बिंदु x = 0 शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम अंक -3, 0 और 3 पर फ़ंक्शन मानों की गणना करते हैं:

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान 0 है।

उत्तर: 0

77429. खंड पर फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

3x 2 - 4x + 1 = 0

हमें जड़ें मिलती हैं: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3।

केवल x = 1 शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

बिंदु 1 और 4 पर फ़ंक्शन मान ज्ञात करें:

हमने पाया कि फलन का सबसे छोटा मान 3 है।

उत्तर: 3

77430. खंड [- 4; पर फ़ंक्शन y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें; -एक]।

दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न के शून्य खोजें, द्विघात समीकरण को हल करें:

3x 2 + 4x + 1 = 0

आइए जड़ें प्राप्त करें:

मूल х = -1 स्थिति में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

अंक -4, -1, -1/3 और 1 पर फ़ंक्शन मान खोजें:

हमने पाया कि फलन का सबसे बड़ा मान 3 है।

उत्तर: 3

77433. खंड पर फ़ंक्शन y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न के शून्य खोजें, द्विघात समीकरण को हल करें:

3x 2 - 2x - 40 = 0

आइए जड़ें प्राप्त करें:

मूल x = 4 शर्त में निर्दिष्ट अंतराल के अंतर्गत आता है।

हम फ़ंक्शन के मान को अंक 0 और 4 पर पाते हैं:

हमने पाया कि फलन का सबसे छोटा मान -109 है।

उत्तर:-109

व्युत्पन्न के बिना कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक विधि पर विचार करें। इस दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है यदि आपको व्युत्पन्न की परिभाषा के साथ बड़ी समस्याएं हैं। सिद्धांत सरल है - हम सभी पूर्णांक मानों को अंतराल से फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं (तथ्य यह है कि ऐसे सभी प्रोटोटाइप में उत्तर एक पूर्णांक है)।

77437. खंड [-2; 2] पर फ़ंक्शन y \u003d 7 + 12x - x 3 का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

हम अंक -2 से 2 तक स्थानापन्न करते हैं: समाधान देखें

77434. खंड [-2; 0] पर फ़ंक्शन y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1 . हम ODZ फ़ंक्शन ढूंढते हैं।

2 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें

4 . हम उन अंतरालों को पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ता है।

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम देखतें है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

पर फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.

पर समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन संकेत "-" से "+".

6 . हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे बड़ा चुनें यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है
• या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालांकि, अंतराल पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, इस पर निर्भर करते हुए, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

समारोह पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए ओपन टास्क बैंक से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें

एक । टास्क बी15 (#26695)

कट पर।

1. फ़ंक्शन को x . के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और व्युत्पन्न x के सभी मूल्यों के लिए सकारात्मक है। इसलिए, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x=0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर : 5.

2 . टास्क बी15 (नंबर 26702)

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर।

1.ODZ समारोह शीर्षक = "(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, शीर्षक = "(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मूल्य लेता है, पर।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए व्यंजक को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर : 5.

3. टास्क बी15 (#26708)

अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक = "(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: तथा

चलो निशान लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

आइए समन्वय रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन को चित्रित करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जहां व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करते हैं), और अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु पर और खंड के बाएं छोर पर, .

एक समारोह के रूप में गणितीय विश्लेषण की ऐसी वस्तु का अध्ययन बहुत महत्व रखता है। अर्थऔर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में। उदाहरण के लिए, आर्थिक विश्लेषण में व्यवहार का मूल्यांकन करने की लगातार आवश्यकता होती है कार्योंलाभ, अर्थात् इसकी अधिकतम निर्धारित करने के लिए अर्थऔर इसे प्राप्त करने के लिए एक रणनीति विकसित करें।

अनुदेश

किसी भी व्यवहार का अध्ययन हमेशा परिभाषा के क्षेत्र की खोज से शुरू होना चाहिए। आमतौर पर, किसी विशेष समस्या की स्थिति के अनुसार, सबसे बड़ा निर्धारित करना आवश्यक होता है अर्थ कार्योंया तो इस पूरे क्षेत्र में, या खुली या बंद सीमाओं के साथ इसके विशिष्ट अंतराल पर।

के आधार पर, सबसे बड़ा is अर्थ कार्यों y(x0), जिसके तहत परिभाषा के क्षेत्र के किसी भी बिंदु के लिए असमानता y(x0) y(x) (х x0) संतुष्ट है। ग्राफिक रूप से, यह बिंदु उच्चतम होगा यदि आप तर्क के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ व्यवस्थित करते हैं, और फ़ंक्शन स्वयं कोऑर्डिनेट अक्ष के साथ।

सबसे बड़ा निर्धारित करने के लिए अर्थ कार्यों, तीन-चरणीय एल्गोरिथम का पालन करें। ध्यान दें कि आपको एकतरफा और के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही व्युत्पन्न की गणना भी करनी चाहिए। तो, मान लीजिए कोई फलन y(x) दिया गया है और इसका सबसे बड़ा फलन ज्ञात करना आवश्यक है अर्थसीमा मान ए और बी के साथ कुछ अंतराल पर।

पता करें कि क्या यह अंतराल दायरे में है कार्यों. ऐसा करने के लिए, सभी संभावित प्रतिबंधों पर विचार करना आवश्यक है: अभिव्यक्ति में एक अंश, एक वर्गमूल आदि की उपस्थिति। परिभाषा का डोमेन तर्क मानों का समूह है जिसके लिए फ़ंक्शन समझ में आता है। निर्धारित करें कि क्या दिया गया अंतराल इसका सबसेट है। यदि हाँ, तो अगले चरण पर आगे बढ़ें।

व्युत्पन्न खोजें कार्योंऔर व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके परिणामी समीकरण को हल करें। इस प्रकार, आप तथाकथित स्थिर बिंदुओं के मान प्राप्त करेंगे। मूल्यांकन करें कि उनमें से कम से कम एक अंतराल ए, बी से संबंधित है।

तीसरे चरण में इन बिंदुओं पर विचार करें, उनके मूल्यों को फ़ंक्शन में बदलें। अंतराल प्रकार के आधार पर निम्नलिखित अतिरिक्त चरणों का पालन करें। यदि फॉर्म [ए, बी] का एक खंड है, तो सीमा बिंदु अंतराल में शामिल हैं, यह कोष्ठक द्वारा इंगित किया गया है। मूल्यों की गणना करें कार्यों x = A और x = B के लिए। यदि खुला अंतराल (A, B) है, तो सीमा मान पंचर हैं, अर्थात। इसमें शामिल नहीं हैं। x→A और x→B के लिए एकतरफा सीमाओं को हल करें। फॉर्म का एक संयुक्त अंतराल [ए, बी) या (ए, बी), जिसकी सीमाओं में से एक इससे संबंधित है, दूसरा नहीं है। एक तरफा सीमा का पता लगाएं क्योंकि x पंचर मान की ओर जाता है, और दूसरे को इसमें प्रतिस्थापित करता है फ़ंक्शन। अनंत दो-तरफा अंतराल (-∞, +∞) या रूप के एक तरफा अनंत अंतराल: , (-∞, बी) वास्तविक सीमा ए और बी के लिए, पहले से वर्णित सिद्धांतों के अनुसार आगे बढ़ें, और अनंत के लिए , क्रमशः x→-∞ और x→+∞ के लिए सीमाओं की तलाश करें।

इस स्तर पर कार्य