Проблемът за намиране на производната на дадена функция е един от основните в курса по математика в гимназията и във висшите учебни заведения. Невъзможно е да се изследва напълно една функция, да се изгради нейната графика, без да се вземе нейната производна. Производната на функция може лесно да се намери, ако знаете основните правила за диференциране, както и таблицата с производни на основните функции. Нека разберем как да намерим производната на функция.

Производна на функция се нарича границата на отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента, когато увеличението на аргумента клони към нула.

Доста е трудно да се разбере това определение, тъй като понятието граница не се изучава напълно в училище. Но за да намерим производни на различни функции, не е необходимо да разбираме определението, нека го оставим на математиците и да преминем направо към намирането на производната.

Процесът на намиране на производната се нарича диференциране. При диференциране на функция ще получим нова функция.

За тяхното обозначаване ще използваме латинските букви f, g и т.н.

Има много различни обозначения за производни. Ще използваме инсулт. Например записът g" означава, че ще намерим производната на функцията g.

Производна таблица

За да се отговори на въпроса как да се намери производната, е необходимо да се предостави таблица с производни на основните функции. За да се изчислят производните на елементарни функции, не е необходимо да се извършват сложни изчисления. Достатъчно е просто да погледнете стойността му в таблицата с производни.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (ex)"=пр
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Пример 1. Намерете производната на функцията y=500.

Виждаме, че е константа. Според таблицата на производните е известно, че производната на константата е равна на нула (формула 1).

Пример 2. Намерете производната на функцията y=x 100 .

Това е степенна функция, чийто показател е 100, и за да намерите нейната производна, трябва да умножите функцията по степента и да я намалите с 1 (формула 3).

(x 100)"=100 x 99

Пример 3. Намерете производната на функцията y=5 x

Това е експоненциална функция, ние изчисляваме нейната производна с помощта на формула 4.

Пример 4. Намерете производната на функцията y= log 4 x

Намираме производната на логаритъма, използвайки формула 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Правила за диференциране

Нека сега разберем как да намерим производната на функция, ако тя не е в таблицата. Повечето от изследваните функции не са елементарни, а са комбинации от елементарни функции, използващи най-прости операции (събиране, изваждане, умножение, деление и умножение с число). За да намерите техните производни, трябва да знаете правилата за диференциране. Освен това буквите f и g означават функции, а C е константа.

1. От знака на производната може да се извади постоянен коефициент

Пример 5. Намерете производната на функцията y= 6*x 8

Изваждаме постоянния коефициент 6 и диференцираме само x 4 . Това е степенна функция, чиято производна намираме по формула 3 от таблицата с производни.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производната на сбора е равна на сбора на производните

(f + g)"=f" + g"

Пример 6. Намерете производната на функцията y= x 100 + sin x

Функцията е сумата от две функции, чиито производни можем да намерим от таблицата. Тъй като (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производната на сумата ще бъде равна на сумата от тези производни:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Производната на разликата е равна на разликата на производните

(f – g)"=f" – g"

Пример 7. Намерете производната на функцията y= x 100 - cos x

Тази функция е разликата на две функции, чиито производни също можем да намерим от таблицата. Тогава производната на разликата е равна на разликата на производните и не забравяйте да промените знака, тъй като (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Намерете производната на функцията y=e x +tg x– x 2 .

Тази функция има както сума, така и разлика, намираме производните на всеки член:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогава производната на оригиналната функция е:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производна на продукт

(f * g)"=f" * g + f * g"

Пример 9. Намерете производната на функцията y= cos x *e x

За да направите това, първо намерете производната на всеки фактор (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x. Сега нека заместим всичко във формулата на продукта. Умножете производната на първата функция по втората и добавете произведението на първата функция по производната на втората.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Производна на частното

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Пример 10. Намерете производната на функцията y= x 50 / sin x

За да намерите производната на частното, първо намерете производната на числителя и знаменателя поотделно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Замествайки във формулата производната на частното, получаваме:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Производна на сложна функция

Сложна функция е функция, представена от комбинация от няколко функции. За да намерите производната на сложна функция, има и правило:

(u(v))"=u"(v)*v"

Нека видим как да намерим производната на такава функция. Нека y= u(v(x)) е сложна функция. Функцията u ще се нарича външна, а v - вътрешна.

Например:

y=sin (x 3) е сложна функция.

Тогава y=sin(t) е външната функция

t=x 3 - вътрешен.

Нека се опитаме да изчислим производната на тази функция. Според формулата е необходимо да се умножат производните на вътрешната и външната функция.

(sin t)"=cos (t) - производна на външната функция (където t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - производна на вътрешната функция

Тогава (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 е производната на комплексната функция.

Определение.Нека функцията \(y = f(x) \) е дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката \(x_0 \) вътре. Нека увеличим \(\Delta x \) към аргумента, за да не напускаме този интервал. Намерете съответното нарастване на функцията \(\Delta y \) (при преминаване от точка \(x_0 \) към точка \(x_0 + \Delta x \)) и съставете отношението \(\frac(\Delta y )(\Делта x) \). Ако има граница на тази връзка при \(\Delta x \rightarrow 0 \), тогава посочената граница се нарича производна функция\(y=f(x) \) в точката \(x_0 \) и означете \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се нарича така: производна на функцията y \u003d f (x).

Геометричният смисъл на производнатасе състои в следното. Ако допирателна, която не е успоредна на оста y, може да бъде начертана към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка с абсцисата x \u003d a, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
\(k = f"(a)\)

Тъй като \(k = tg(a) \), равенството \(f"(a) = tg(a) \) е вярно.

И сега тълкуваме дефиницията на производната от гледна точка на приблизителни равенства. Нека функцията \(y = f(x) \) има производна в определена точка \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x, приблизителното равенство \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Делтакс\). Смисловият смисъл на полученото приближено равенство е следният: нарастването на функцията е „почти пропорционално” на увеличението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например за функцията \(y = x^2 \) е вярно приблизителното равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ако анализираме внимателно дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y \u003d f (x)?

1. Фиксирайте стойност \(x \), намерете \(f(x) \)
2. Увеличете \(x \) аргумент \(\Delta x \), преместете се в нова точка \(x+ \Delta x \), намерете \(f(x+ \Delta x) \)
3. Намерете нарастването на функцията: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Съставете релацията \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производната на функцията при x.

Ако функцията y = f(x) има производна в точката x, тогава тя се нарича диференцируема в точката x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y \u003d f (x). диференциацияфункции y = f(x).

Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в точка?

Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точката M (x; f (x)) и, припомнете си, наклонът на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се "счупи" в точката M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в x.

Беше разсъждение "на пръсти". Нека представим по-строг аргумент. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). нула, тогава \(\Delta y \ ) също ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точка.

Така, ако една функция е диференцируема в точка x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент е невъзможно да се начертае допирателна към графиката на функцията, тогава в тази точка няма производна.

Още един пример. Функцията \(y=\sqrt(x) \) е непрекъсната на цялата числова ос, включително в точката x = 0. И допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 , Но в тази точка допирателната съвпада с оста y, тоест тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x \u003d 0. Няма наклон за такава права линия, което означава, че \ ( f "(0) \) също не съществува

И така, ние се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как можете да разберете дали дадена функция е диференцируема от графиката на функция?

Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в дадена точка може да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на оста x, тогава в тази точка функцията е диференцируема. Ако в дадена точка допирателната към графиката на функцията не съществува или е перпендикулярна на оста x, тогава в тази точка функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с „функции на функции“, тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията на производната, можем да извлечем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следните са верни правила за диференциране:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Производна на съставна функция:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица с производни на някои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Абсолютно невъзможно е да се решават физически задачи или примери по математика без познания за производната и методите за нейното изчисляване. Производната е една от най-важните концепции на математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази фундаментална тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометричен и физически смисъл на производната

Нека има функция f(x) , дадени в някакъв интервал (a,b) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разлика в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяната или увеличението на функция е разликата между стойностите на функцията в две точки. Производна дефиниция:

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? Но кое:

производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физическото значение на производната: производната по време на пътя е равна на скоростта на праволинейното движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е частен път. x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: извадете константата

Константата може да бъде извадена от знака на производната. Освен това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете като правило - ако можете да опростите израза, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функция:

Трето правило: производната на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да се каже за изчисляването на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент по производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо разглеждаме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: Производната на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частно от две функции:

Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

С всеки въпрос по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния контрол и да се справите със задачите, дори ако никога преди не сте се занимавали с изчисляване на производни.

Дата: 05/10/2015

Как да намерим производната?

Правила за диференциране.

За да намерите производната на която и да е функция, трябва да овладеете само три концепции:

2. Правила за диференциране.

3. Производна на сложна функция.

В този ред е. Това е намек.)

Разбира се, би било хубаво да имате представа за производната като цяло). За това какво е производна и как се работи с таблица с производни - това е достъпно в предишния урок. Тук ще разгледаме правилата за диференциация.

Диференцирането е операция за намиране на производна. Зад този термин не стои нищо повече. Тези. изрази "намерете производната на функция"и "диференциална функция"- Това е същото.

Изразяване "правила за диференциация"се отнася до намиране на производната от аритметични операции.Това разбиране много помага да избегнем кашата в главата.

Нека се концентрираме и запомним всички-всички-всички аритметични операции. Има четири от тях). Събиране (сума), изваждане (разлика), умножение (продукт) и деление (частно). Ето ги, правилата за разграничаване:

Плочата показва петправила за четириаритметични операции. Не съм сбъркал.) Просто правило 4 е елементарно следствие от правило 3. Но е толкова популярно, че има смисъл да го запишете (и запомните!) като независима формула.

Под нотацията Uи Vнякои (абсолютно всякакви!) функции се подразбират U(x)и V(x).

Нека да разгледаме няколко примера. Първо, най-простите.

Намерете производната на функцията y=sinx - x 2

Тук имаме разликадве елементарни функции. Прилагаме правило 2. Ще приемем, че sinx е функция U, а x 2 е функция v.Имаме пълното право да напишем:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Вече по-добре, нали?) Остава да намерим производните на синуса и квадрата на x. За това има таблица с производни. Ние просто търсим в таблицата функциите, от които се нуждаем ( sinxи x2), разгледайте техните производни и запишете отговора:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Това е всичко. Правило 1 за диференциране на сумата работи по абсолютно същия начин.

Ами ако имаме няколко термина? Всичко е наред.) Разделяме функцията на членове и търсим производната на всеки член, независимо от останалите. Например:

Намерете производната на функцията y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Чувствайте се свободни да пишете:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

В края на урока ще дам съвети за улесняване на живота при разграничаване.)

Практически съвети:

1. Преди диференциране, гледаме дали е възможно да се опрости оригиналната функция.

2. В объркани примери рисуваме решението подробно, с всички скоби и щрихи.

3. Когато диференцираме дроби с постоянно число в знаменателя, превръщаме делението в умножение и използваме правило 4.

Операцията за намиране на производна се нарича диференциране.

В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) са първите, които работят в областта на намирането на производни.

Следователно, в наше време, за да се намери производната на която и да е функция, не е необходимо да се изчислява горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а само трябва да се използва таблицата на производните и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под знака щрих разбийте прости функциии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. Освен това намираме производните на елементарни функции в таблицата на производните, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата с производните и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сумата от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "X" е равна на единица, а производната на синуса е косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата на производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:

Пример 2Намерете производната на функция

Решение. Диференцирайте като производна на сумата, в която вторият член с постоянен множител, той може да бъде изваден от знака на производната:

Ако все още има въпроси за това откъде идва нещо, те, като правило, стават ясни, след като прочетете таблицата на производните и най-простите правила за диференциация. Точно сега отиваме при тях.

Таблица с производни на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните
3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степен.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна на корен квадратен
6. Производна по синус
7. Производна по косинус
8. Тангенсна производна
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинуса
11. Производна на аркосинус
12. Производна на аркутангенс
13. Производна на обратната допирателна
14. Производна на натурален логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на показателя
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбора или разликата
2. Производна на продукт
2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител
3. Производна на частното
4. Производна на сложна функция

Правило 1Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава в същата точка функциите

и

тези. производната на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с константа, тогава техните производни са, т.е.

Правило 2Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт също е диференцируем в същата точка

и

тези. производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки от факторите и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3Ако функции

диференцируеми в даден момент и , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемо.u/v и

тези. производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадрат на предишния числител .

Къде да търсите на други страници

При намиране на производната на произведението и частното в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че повече примери за тези производни има в статията.„Производна на произведение и частно“.

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сумата и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средният ученик решава няколко едно-двукомпонентни примера, средният ученик вече не допуска тази грешка.

И ако, когато диференцирате продукт или частно, имате член u"v, при което u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (такъв случай е анализиран в пример 10) .

Друга често срещана грешка е механичното решение на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияпосветен на отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководствата за нов Windows Действия със сили и корении Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни със степени и корени, т.е. как изглежда функцията , след което следвайте урока "Производна на сбора от дроби със степени и корени".

Ако имате задача като , значи сте в урока "Производни на прости тригонометрични функции".

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3Намерете производната на функция

Решение. Определяме частите на израза на функцията: целият израз представлява произведението, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай, във всеки сбор, вторият член със знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "х" се превръща в едно, а минус 5 - в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните стойности на производните:

Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:

Пример 4Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частно: производната на частно на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, и знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се взема със знак минус:

Ако търсите решения на такива задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например тогава добре дошли в класа "Производна на сумата от дроби със степени и корени" .

Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава имате урок "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме продукт, един от множителите на който е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Съгласно правилото за диференциране на продукта и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

Пример 6Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частното, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Според правилото за диференциране на частното, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме.