Нарича се линейно уравнение с една променлива. Уравнения с една променлива

Първо трябва да разберете какво представлява.

Има проста дефиниция линейно уравнение, което се дава в обикновено училище: "уравнение, в което променлива се среща само на първа степен." Но не е съвсем вярно: уравнението не е линейно, дори не се свежда до такова, свежда се до квадратно.

По-точно определение е: линейно уравнениее уравнение, което еквивалентни трансформацииможе да се редуцира до формата where title="(!LANG:a,b в bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Всъщност, за да се разбере дали едно уравнение е линейно или не, то трябва първо да бъде опростено, тоест доведено до форма, в която неговата класификация ще бъде недвусмислена. Не забравяйте, че можете да правите всичко с уравнението, което не променя корените му - това е еквивалентна трансформация. От най-простите еквивалентни трансформации можем да различим:

1. разширяване на скоби
2. привеждане на подобни
3. умножение и/или деление на двете страни на уравнението с различно от нула число
4. събиране и/или изваждане от двете части на едно и също число или израз*

Можете да направите тези трансформации безболезнено, без да мислите дали "разваляте" уравнението или не.
*Специфична интерпретация на последната трансформация е "прехвърлянето" на термини от една част в друга със смяна на знака.

Пример 1:
(отворени скоби)
(добавете към двете части и извадете / прехвърлете с промяна на знака на числото вляво и променливите вдясно)
(дай подобни)
(разделете на 3 двете страни на уравнението)

Така че имаме уравнение, което има същите корени като първоначалното. Напомняме на читателя, че "реши уравнение"означава да намериш всичките му корени и да докажеш, че няма други, и "корен на уравнението"- това е число, което, когато бъде заменено с неизвестното, ще превърне уравнението в истинско равенство. Е, в последното уравнение намирането на число, което превръща уравнението в правилно равенство, е много просто - това е числото. Никое друго число няма да направи това уравнение идентичност. Отговор:

Пример 2:
(умножете двете страни на уравнението по , като се уверим, че не умножаваме по : title="(!LANG:x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(отворени скоби)
(преместване на термини)
(дай подобни)
(разделете двете части на )

Ето как се решават всички линейни уравнения. За по-младите читатели най-вероятно това обяснение изглежда сложно, затова предлагаме версията "линейни уравнения за 5 клас"

• Равенството с променлива се нарича уравнение.
• Решаването на уравнение означава намиране на множеството от неговите корени. Едно уравнение може да има един, два, няколко, много корени или нито един.
• Всяка стойност на променливата, при която даденото уравнение се превръща в истинско равенство, се нарича корен на уравнението.
• Уравнения, които имат еднакви корени, се наричат ​​еквивалентни уравнения.
• Всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от една част на равенството в друга, като същевременно се промени знакът на члена на противоположния.
• Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на това уравнение.

Примери. Решете уравнението.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Събрахме членовете, съдържащи променливата от лявата страна на равенството, и свободните членове от дясната страна на равенството. Използвано е следното свойство:

1,2x = -6. Доведохме подобни термини според правилото:

х = -6 : 1.2. И двете части на равенството бяха разделени на коефициента на променливата, тъй като

х = -5. Разделено според правилото за деление на десетична дроб на десетична дроб:

за да разделите число на десетична запетая, трябва да преместите запетаите в делителя и делителя толкова цифри вдясно, колкото са след десетичната точка в делителя, и след това да разделите на естествено число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Отговор: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Отворихме скобите, използвайки разпределителния закон на умножението по отношение на изваждането: (a-b) ∙ c = a ∙ в-б ∙ ° С.

6x-4x = -16+27. Събрахме членовете, съдържащи променливата от лявата страна на равенството, и свободните членове от дясната страна на равенството. Използвано е следното свойство: всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от една част на равенството в друга, като същевременно се промени знакът на члена на противоположния.

2x \u003d 11. Те ​​донесоха подобни термини според правилото: за да донесете подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да умножите резултата по общата им буквена част (т.е. да добавите общата им буквена част към резултата).

х = 11 : 2. И двете части на равенството бяха разделени на коефициента на променливата, тъй като ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на това уравнение.

Отговор: 5,5.

3. 7x-(3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Отворихме скобите според правилото за отваряне на скоби, пред които има знак "-": ако има знак „-“ пред скобите, тогава премахваме скобите, знака „-“ и записваме термините в скоби с противоположни знаци.

7x-2x-x \u003d -9 + 3. Събрахме членовете, съдържащи променливата от лявата страна на равенството, и свободните членове от дясната страна на равенството. Използвано е следното свойство: всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от една част на равенството в друга, като същевременно се промени знакът на члена на противоположния.

4x = -6. Доведохме подобни термини според правилото: за да донесете подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да умножите резултата по общата им буквена част (т.е. да добавите общата им буквена част към резултата).

х = -6 : 4. И двете части на равенството бяха разделени на коефициента на променливата, тъй като ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на това уравнение.

Отговор: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Умножете двете страни на уравнението по 12 - най-малкия общ знаменател за знаменателите на тези дроби.

3x-15 = 84-8x+44. Отворихме скобите, използвайки разпределителния закон на умножението по отношение на изваждането: за да умножите разликата на две числа по третото число, можете да умножите отделно намаленото и отделно изваденото по третото число и след това да извадите втория резултат от първия резултат, т.е.(a-b) ∙ c = a ∙ в-б ∙ ° С.

3x+8x = 84+44+15. Събрахме членовете, съдържащи променливата от лявата страна на равенството, и свободните членове от дясната страна на равенството. Използвано е следното свойство: всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от една част на равенството в друга, като същевременно се промени знакът на члена на противоположния.

Линейно уравнение с една променлива има общ вид
ax + b = 0.
Тук x е променлива, a и b са коефициенти. По друг начин a се нарича „коефициент на неизвестното“, b е „свободен член“.

Коефициентите са някакви числа и решаването на уравнението означава намиране на стойността x, за която изразът ax + b = 0 е верен. Например, имаме линейно уравнение 3x - 6 \u003d 0. Решаването му означава да намерим на какво трябва да бъде равно x, така че 3x - 6 да е равно на 0. Извършвайки трансформации, получаваме:
3x=6
х=2

Така изразът 3x - 6 = 0 е верен за x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 е коренът на това уравнение. Когато решавате уравнение, намирате неговите корени.

Коефициентите a и b могат да бъдат всякакви числа, но има такива стойности, когато има повече от един корен на линейно уравнение с една променлива.

Ако a = 0, тогава ax + b = 0 се превръща в b = 0. Тук x е „унищожено“. Самият израз b = 0 може да бъде верен само ако знанието за b е 0. Тоест уравнението 0*x + 3 = 0 е невярно, защото 3 = 0 е невярно твърдение. Въпреки това, 0*x + 0 = 0 е правилният израз. От тук се заключава, че ако a \u003d 0 и b ≠ 0, линейно уравнение с една променлива изобщо няма корени, но ако a = 0 и b \u003d 0, тогава уравнението има безкраен брой корени.

Ако b \u003d 0 и a ≠ 0, тогава уравнението ще приеме формата ax \u003d 0. Ясно е, че ако a ≠ 0, но резултатът от умножението е 0, тогава x \u003d 0. Тоест, коренът на това уравнение е 0.

Ако нито a, нито b са равни на нула, тогава уравнението ax + b = 0 се трансформира във формата
x \u003d -b / a.
Стойността на x в този случай ще зависи от стойностите на a и b. Въпреки това ще бъде единственият. Това означава, че е невъзможно да се получат две или повече различни x стойности за едни и същи коефициенти. Например,
-8,5x - 17 = 0
х = 17 / -8,5
х = -2
Никое друго число освен -2 не може да се получи чрез разделяне на 17 на -8,5.

Има уравнения, които на пръв поглед не приличат на общата форма на линейно уравнение с една променлива, но лесно се превръщат в него. Например,
-4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Ако преместим всичко отляво, тогава 0 ще остане отдясно:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Сега уравнението е сведено до стандартната форма и можете да го решите:
х = 16,8 / 0,2
х=84

Когато решаваме линейни уравнения, ние се стремим да намерим корен, тоест стойност за променлива, която ще превърне уравнението в правилно равенство.

За да намерите корена на уравнението, от което се нуждаете еквивалентните трансформации привеждат даденото ни уравнение във формата

\(x=[число]\)

Това число ще бъде коренът.

Тоест трансформираме уравнението, като го улесняваме с всяка стъпка, докато го редуцираме до напълно примитивно уравнение „x = число“, където коренът е очевиден. Най-често използваните при решаването на линейни уравнения са следните трансформации:

Например: добавете \(5\) към двете страни на уравнението \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Моля, имайте предвид, че бихме могли да получим същия резултат по-бързо - просто като напишем петицата от другата страна на уравнението и променим знака му в процеса. Всъщност точно така се прави училищното „преминаване през равни със смяна на знака към противоположния“.

2. Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също число или израз.

Например: Разделете уравнението \(-2x=8\) на минус две

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Обикновено тази стъпка се прави в самия край, когато уравнението вече е намалено до \(ax=b\), и ние разделяме на \(a\), за да го премахнем отляво.

3. Използване на свойствата и законите на математиката: отваряне на скоби, редуциране на подобни членове, редуциране на дроби и др.

Добавете \(2x\) отляво и отдясно

Извадете \(24\) от двете страни на уравнението

Отново представяме подобни условия

Сега разделяме уравнението на \ (-3 \), като по този начин премахваме преди x от лявата страна.

Отговор : \(7\)

Отговорът е намерен. Нека обаче го проверим. Ако седемте наистина е корен, тогава заместването му вместо x в оригиналното уравнение трябва да доведе до правилното равенство - еднакви числа отляво и отдясно. Опитваме.

Преглед:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Съгласен. Това означава, че седемте наистина е коренът на първоначалното линейно уравнение.

Не бъдете мързеливи, за да проверите отговорите, които сте намерили чрез заместване, особено ако решавате уравнение на тест или изпит.

Остава въпросът - как да определим какво да правим с уравнението на следващата стъпка? Как точно да го конвертирам? Споделете нещо? Или изваждане? И какво точно да извадя? Какво да споделя?

Отговорът е прост:

Вашата цел е да доведете уравнението до вида \(x=[число]\), тоест отляво x без коефициенти и числа, а отдясно - само число без променливи. Така че вижте какво ви спира и прави обратното на това, което прави смущаващият компонент.

За да разберем това по-добре, нека вземем стъпка по стъпка решение на линейното уравнение \(x+3=13-4x\).

Нека помислим: как това уравнение се различава от \(x=[число]\)? Какво ни спира? Какво не е наред?

Е, първо, тройката пречи, тъй като трябва да има само един X отляво, без числа. И какво прави триото? Добавенодо хх. Така че, за да го премахнете - изваждамсъщото трио. Но ако извадим една тройка отляво, тогава трябва да я извадим отдясно, за да не се наруши равенството.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Добре. Сега какво ви спира? \(4x\) отдясно, защото трябва да съдържа само числа. \(4x\) изваден- Премахване добавяне.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Сега даваме еднакви термини отляво и отдясно.

Вече е почти готово. Остава да премахнете петте отляво. Какво прави тя"? умноженина х. Така че го премахваме разделение.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Решението е пълно, коренът на уравнението е две. Можете да проверите чрез заместване.

забележи това най-често има само един корен в линейните уравнения. Въпреки това могат да възникнат два специални случая.

Специален случай 1 - в линейно уравнение няма корени.

Пример . Решете уравнението \(3x-1=2(x+3)+x\)

Решение :

Отговор : без корени.

Всъщност фактът, че ще стигнем до такъв резултат, беше видян по-рано, дори когато получихме \(3x-1=3x+6\). Помислете за това: как може \(3x\) да е равно, от което \(1\) е извадено и \(3x\), към което \(6\) е добавено? Очевидно няма начин, защото са правили различни действия с едно и също нещо! Ясно е, че резултатите ще бъдат различни.

Специален случай 2 - линейно уравнение има безкраен брой корени.

Пример . Решете линейното уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Решение :

Отговор : произволно число.

Между другото, това беше забележимо още по-рано, на етапа: \(8x+12=8x+12\). Наистина ляво и дясно са едни и същи изрази. Каквото и x да заместиш, ще има едно и също число и там, и там.

По-сложни линейни уравнения.

Оригиналното уравнение не винаги веднага изглежда като линейно, понякога то е „маскирано“ като други, по-сложни уравнения. В процеса на трансформация обаче маскирането отшумява.

Пример . Намерете корена на уравнението \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Решение :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Изглежда, че тук има x на квадрат - това не е линейно уравнение! Но не бързайте. Да кандидатстваме
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Защо резултатът от разгъването \((x-4)^(2)\) е в скоби, но резултатът от \((3+x)^(2)\) не е? Защото има минус преди първото квадратче, което ще промени всички знаци. И за да не го забравяме, вземаме резултата в скоби, които сега отваряме.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Даваме подобни условия
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Отново ето подобни.
		Като този. Оказва се, че първоначалното уравнение е доста линейно и x на квадрат не е нищо повече от екран, който да ни обърка. :) Завършваме решението, като разделим уравнението на \(2\), и получаваме отговора.

Отговор : \(x=5\)

Пример . Решете линейното уравнение \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Решение :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Уравнението не изглежда като линейно, някакви дроби... Нека обаче се отървем от знаменателите, като умножим двете части на уравнението по общия знаменател на всички - шест
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Отворена скоба отляво
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Сега намаляваме знаменателите
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Сега изглежда като обикновен линеен! Нека го решим.
		Чрез прехвърляне през равни събираме х-ове отдясно и числа отляво
		Е, разделяйки на \ (-4 \) дясната и лявата част, получаваме отговора

Отговор : \(x=-1,25\)

Уравнение с едно неизвестно, което след отваряне на скобите и редуциране на подобни членове приема формата

ax + b = 0, където a и b са произволни числа, се извиква линейно уравнение с едно неизвестно. Днес ще разберем как да решим тези линейни уравнения.

Например всички уравнения:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - линейно.

Стойността на неизвестното, която превръща уравнението в истинско равенство, се нарича решение или коренът на уравнението .

Например, ако в уравнението 3x + 7 \u003d 13 заместим числото 2 вместо неизвестното x, тогава получаваме правилното равенство 3 2 + 7 \u003d 13. Следователно стойността x \u003d 2 е решението или коренът на уравнението.

И стойността x \u003d 3 не превръща уравнението 3x + 7 \u003d 13 в истинско равенство, тъй като 3 2 + 7 ≠ 13. Следователно стойността x \u003d 3 не е решение или корен на уравнението.

Решението на всякакви линейни уравнения се свежда до решаването на уравнения от вида

ax + b = 0.

Прехвърляме свободния член от лявата страна на уравнението в дясната страна, докато променяме знака пред b на противоположния, получаваме

Ако a ≠ 0, тогава x = – b/a .

Пример 1 Решете уравнението 3x + 2 =11.

Прехвърляме 2 от лявата страна на уравнението в дясната страна, докато променяме знака пред 2 на противоположния, получаваме
3x \u003d 11 - 2.

Тогава да направим изваждането
3x = 9.

За да намерите x, трябва да разделите продукта на известен фактор, т.е.
х = 9:3.

Значи стойността x = 3 е решението или корена на уравнението.

Отговор: x = 3.

Ако a = 0 и b = 0, тогава получаваме уравнението 0x \u003d 0. Това уравнение има безкрайно много решения, тъй като при умножаване на произволно число по 0 получаваме 0, но b също е 0. Решението на това уравнение е произволно число.

Пример 2Решете уравнението 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Нека разширим скобите:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Ето подобни членове:
0x = 0.

Отговор: x е произволно число.

Ако a = 0 и b ≠ 0, тогава получаваме уравнението 0x = - b. Това уравнение няма решения, тъй като при умножаване на произволно число по 0 получаваме 0, но b ≠ 0.

Пример 3Решете уравнението x + 8 = x + 5.

Нека групираме термините, съдържащи неизвестни от лявата страна, и свободните термини от дясната страна:
x - x \u003d 5 - 8.

Ето подобни членове:
0x = - 3.

Отговор: няма решения.

На Фигура 1 показана е схемата за решаване на линейното уравнение

Нека съставим обща схема за решаване на уравнения с една променлива. Разгледайте решението на пример 4.

Пример 4 Нека решим уравнението

1) Умножете всички членове на уравнението по най-малкото общо кратно на знаменателите, равно на 12.

2) След редукция получаваме
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) За да разделите членове, съдържащи неизвестни и свободни членове, отворете скобите:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Групираме в едната част термините, съдържащи неизвестни, а в другата - свободните термини:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Ето подобни членове:
- 22x = - 154.

6) Разделете на - 22 , Получаваме
х = 7.

Както можете да видите, коренът на уравнението е седем.

Като цяло, такива уравненията могат да бъдат решени по следния начин:

а) доведете уравнението до цяло число;

б) отворени скоби;

в) групирайте членовете, съдържащи неизвестното в едната част на уравнението, и свободните членове в другата;

г) да доведе подобни членове;

д) решаване на уравнение от вида aх = b, получено след привеждане на подобни членове.

Тази схема обаче не е необходима за всяко уравнение. При решаването на много по-прости уравнения трябва да се започне не от първото, а от второто ( Пример. 2), трети ( Пример. 13) и дори от петия етап, както в пример 5.

Пример 5Решете уравнението 2x = 1/4.

Намираме неизвестното x \u003d 1/4: 2,
х = 1/8 .

Да разгледаме решението на някои линейни уравнения, срещани на основния държавен изпит.

Пример 6Решете уравнение 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Отговор: - 0,125

Пример 7Решете уравнението - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Отговор: 2.3

Пример 8 Решете уравнението

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Пример 9Намерете f(6), ако f (x + 2) = 3 7

Решение

Тъй като трябва да намерим f(6) и знаем f(x + 2),
тогава x + 2 = 6.

Решаваме линейното уравнение x + 2 = 6,
получаваме x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Ако x = 4 тогава
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Отговор: 27.

Ако все още имате въпроси, има желание да се справите с решението на уравненията по-задълбочено, запишете се за моите уроци в ГРАФИКА. Ще се радвам да ви помогна!

TutorOnline също така препоръчва да гледате нов видео урок от нашия преподавател Олга Александровна, който ще ви помогне да разберете както линейните уравнения, така и други.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.