Формулата за намиране на периметъра на кръг. Как да намерите и каква ще бъде обиколката на кръг

1. Обиколка.Окръжността е затворена плоска крива линия, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка (О), наречена център на окръжността (фиг. 27).

Кръгът се чертае с пергел. За да направите това, острият крак на компаса се поставя в центъра, а другият (с молив) се завърта около първия, докато краят на молива начертае пълен кръг. Разстоянието от центъра до която и да е точка на окръжността се нарича нейно радиус.От определението следва, че всички радиуси на една окръжност са равни един на друг.

Нарича се отсечка с права линия (АВ), свързваща произволни две точки от окръжността и минаваща през нейния център диаметър. Всички диаметри на един кръг са равни един на друг; диаметърът е равен на два радиуса.

Как да намерите обиколката на кръг? На практика в някои случаи обиколката може да се намери чрез директно измерване. Това може да се направи например при измерване на обиколката на относително малки предмети (кофа, стъкло и др.). За да направите това, можете да използвате рулетка, плитка или шнур.

В математиката се използва методът за косвено определяне на обиколката на кръг. Състои се в изчислението по готовата формула, която сега ще изведем.

Ако вземем няколко големи и малки кръгли предмета (монета, чаша, кофа, варел и др.) и измерим обиколката и диаметъра на всеки от тях, ще получим две числа за всеки предмет (едното измерва обиколката, а другото е дължината на диаметъра). Естествено, за малките обекти тези числа ще бъдат малки, а за големите обекти ще бъдат големи.

Ако обаче във всеки от тези случаи вземем съотношението на двете получени числа (обиколка и диаметър), то при внимателно измерване ще намерим почти същото число. Означете обиколката с буквата ОТ, дължината на диаметъра с буквата д, тогава тяхната връзка ще изглежда така C:D. Реалните измервания винаги са придружени от неизбежни неточности. Но след като извършихме посочения експеримент и направихме необходимите изчисления, ще получим за отношението C:Dприблизително следните числа: 3,13; 3.14; 3.15. Тези числа се различават много малко един от друг.

В математиката чрез теоретични съображения се установява, че желаното съотношение C:Dникога не се променя и е равна на безкрайна непериодична дроб, чиято приблизителна стойност с точност до десет хилядни е равна на 3,1416 . Това означава, че всеки кръг е по-дълъг от диаметъра си със същия брой пъти. Това число обикновено се обозначава с гръцката буква π (пи). Тогава съотношението на обиколката към диаметъра се записва като: C:D = π . Ще ограничим това число само до стотни, т.е π = 3,14.

Нека напишем формула за определяне на обиколката на кръг.

защото C:D= π , тогава

° С = πD

т.е. обиколката е равна на произведението на числото π за диаметър.

Задача 1.Намерете обиколката ( ОТ) на кръгла стая, ако нейният диаметър д= 5,5 м.

Като вземем предвид горното, трябва да увеличим диаметъра с 3,14 пъти, за да решим този проблем:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Задача 2.Намерете радиуса на колело, чиято обиколка е 125,6 cm.

Този проблем е обратен на предишния. Намерете диаметъра на колелото:

125,6 : 3,14 = 40 (cm).

Сега нека намерим радиуса на колелото:

40:2 = 20 (cm).

2. Площ на кръг.За да се определи площта на кръг, човек може да начертае кръг с даден радиус върху хартия, да го покрие с прозрачна карирана хартия и след това да преброи клетките вътре в кръга (фиг. 28).

Но този метод е неудобен по много причини. Първо, близо до контура на кръга се получават множество непълни клетки, чийто размер е трудно да се прецени. Второ, не можете да покриете голям обект с лист хартия (кръгла цветна леха, басейн, фонтан и др.). Трето, след като преброихме клетките, все още не получихме никакво правило, което да ни позволи да решим друг подобен проблем. Поради това нека го направим по различен начин. Нека сравним кръга с някоя позната ни фигура и го направим по следния начин: изрежете кръг от хартия, разрежете го първо по диаметър наполовина, след това разрежете всяка половина отново наполовина, всяка четвъртина отново наполовина и т.н., докато не нарежете кръга, например, на 32 части с формата на зъби (фиг. 29).

След това ги сгъваме, както е показано на Фигура 30, т.е. първо поставяме 16 зъба под формата на трион, след това поставяме 15 зъба в образуваните дупки и накрая срязваме последния останал зъб по радиуса наполовина и го прикрепяме едната част отляво, другата - отдясно. Тогава ще получите фигура, наподобяваща правоъгълник.

Дължината на тази фигура (основата) е приблизително равна на дължината на полукръга, а височината е приблизително равна на радиуса. Тогава площта на такава фигура може да се намери чрез умножаване на числата, изразяващи дължината на полукръга и дължината на радиуса. Ако означим площта на кръг с буквата С, обиколката на буквата ОТ, радиус буква r, тогава можем да напишем формула за определяне на площта на кръг:

което гласи така: Площта на кръга е равна на дължината на полукръга, умножена по радиуса.

Задача.Намерете площта на кръг, чийто радиус е 4 см. Първо намерете обиколката, след това дължината на полукръга и след това го умножете по радиуса.

1) Обиколка ОТ = π д= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Дължина на половин кръг ° С / 2 \u003d 25,12: 2 \u003d 12,56 (cm).

3) Площ на окръжност S = ° С / 2 r\u003d 12,56 4 \u003d 50,24 (кв. см).

§ 118. Повърхнина и обем на цилиндър.

Задача 1.Намерете общата повърхност на цилиндър с диаметър на основата 20,6 cm и височина 30,5 cm.

Формата на цилиндър (фиг. 31) е: кофа, чаша (нефасетирана), тенджера и много други предмети.

Пълната повърхност на цилиндъра (както пълната повърхност на правоъгълен паралелепипед) се състои от страничната повърхност и площите на двете основи (фиг. 32).

За да визуализирате за какво говорим, трябва внимателно да направите модел на цилиндър от хартия. Ако извадим две основи от този модел, тоест два кръга, и разрежем страничната повърхност по дължина и я разгънем, тогава ще бъде съвсем ясно как да изчислим общата повърхност на цилиндъра. Страничната повърхност ще се разгъне в правоъгълник, чиято основа е равна на обиколката на кръга. Следователно решението на проблема ще изглежда така:

1) Обиколка: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Площ на страничната повърхност: 64,684 30,5= 1972,862 (кв.см).

3) Площта на една основа: 32.342 10.3 \u003d 333.1226 (кв. см).

4) Пълна повърхност на цилиндъра:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (кв.см) ≈ 2639 (кв.см).

Задача 2.Намерете обема на желязна бъчва с форма на цилиндър с размери: диаметър на основата 60 cm и височина 110 cm.

За да изчислите обема на цилиндър, трябва да запомните как изчислихме обема на правоъгълен паралелепипед (полезно е да прочетете § 61).

Мерната единица за обем е кубическият сантиметър. Първо трябва да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат поставени върху основната площ и след това да умножите намереното число по височината.

За да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат поставени върху основната площ, трябва да изчислите основната площ на цилиндъра. Тъй като основата е кръг, трябва да намерите площта на кръга. След това, за да определите обема, го умножете по височината. Решението на проблема изглежда така:

1) Обиколка: 60 ​​3,14 = 188,4 (cm).

2) Площ на кръг: 94.230 = 2826 (кв. см).

3) Обем на цилиндъра: 2826 110 \u003d 310 860 (cc).

Отговор. Обемът на цевта е 310,86 куб.м. дм.

Ако означим обема на един цилиндър с буквата V, основна площ С, височина на цилиндъра з, тогава можете да напишете формула за определяне на обема на цилиндър:

V = S H

което гласи така: Обемът на цилиндър е равен на площта на основата, умножена по височината.

§ 119. Таблици за изчисляване на обиколката на кръг по диаметър.

При решаването на различни производствени проблеми често е необходимо да се изчисли обиколката. Представете си работник, който произвежда кръгли детайли според посочените му диаметри. Той трябва всеки път, знаейки диаметъра, да изчисли обиколката. За да спести време и да се застрахова от грешки, той прибягва до готови таблици, в които са посочени диаметрите и съответните обиколки.

Ето малка част от тези таблици и ще ви кажа как да ги използвате.

Нека се знае, че диаметърът на кръга е 5 м. Търсим в таблицата във вертикалната колона под буквата дномер 5. Това е дължината на диаметъра. До това число (вдясно, в колоната, наречена "Обиколка") ще видим числото 15,708 (m). По абсолютно същия начин откриваме, че if д\u003d 10 cm, тогава обиколката е 31,416 cm.

Същите таблици могат да се използват за извършване на обратни изчисления. Ако обиколката е известна, тогава можете да намерите съответния диаметър в таблицата. Нека обиколката е приблизително 34,56 см. Нека намерим в таблицата най-близкото до даденото число. Това ще бъде 34,558 (0,002 разлика). Диаметърът, съответстващ на такава обиколка, е приблизително 11 cm.

Споменатите тук таблици са налични в различни справочници. По-специално те могат да бъдат намерени в книгата "Четирицифрени математически таблици" на В. М. Брадис. и в проблемната книга по аритметика на С. А. Пономарев и Н. И. Сърнев.

Кръг се среща в ежедневието не по-малко от правоъгълник. И за много хора задачата как да изчислят обиколката на кръг е трудна. И всичко това, защото тя няма ъгли. С тях всичко би било много по-лесно.

Какво е кръг и къде се появява?

Тази плоска фигура е брой точки, които са разположени на същото разстояние от друга, която е центърът. Това разстояние се нарича радиус.

В ежедневието не е необходимо често да се изчислява обиколката, освен за хора, които са инженери и дизайнери. Те проектират механизми, които използват например зъбни колела, илюминатори и колела. Архитектите създават къщи с кръгли или сводести прозорци.

Всеки от тези и други случаи изисква своя прецизност. Освен това е абсолютно невъзможно да се изчисли обиколката на кръг с абсолютна точност. Това се дължи на безкрайността на основното число във формулата. "Pi" все още се уточнява. И най-често се използва закръглената стойност. Степента на точност се избира така, че да даде най-правилния отговор.

Запис на величини и формули

Сега е лесно да се отговори на въпроса как да се изчисли обиколката на кръг от радиус, това ще изисква следната формула:

Тъй като радиусът и диаметърът са свързани един с друг, има друга формула за изчисления. Тъй като радиусът е два пъти по-малък, изразът ще се промени леко. И формулата за това как да се изчисли обиколката на кръг, знаейки диаметъра, ще бъде както следва:

l \u003d π * d.

Ами ако трябва да изчислите периметъра на кръг?

Само не забравяйте, че окръжността включва всички точки вътре в окръжността. Така че неговият периметър съвпада с дължината му. И след като изчислите обиколката, поставете знак за равенство с периметъра на кръга.

Между другото, те имат еднакви обозначения. Това важи за радиуса и диаметъра, а латинската буква P е периметър.

Примерни задачи

Задача първа

Състояние.Намерете обиколката на окръжност, чийто радиус е 5 cm.

Решение.Тук е лесно да разберете как да изчислите обиколката на кръг. Просто трябва да използвате първата формула. Тъй като радиусът е известен, всичко, което трябва да направите, е да въведете стойностите и да преброите. 2, умножено по радиус от 5 см, дава 10. Остава да го умножим по стойността на π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Отговор: l = 31,4 см.

Задача втора

Състояние.Има колело, чиято обиколка е известна и равна на 1256 мм. Трябва да изчислите неговия радиус.

Решение.В тази задача ще трябва да използвате същата формула. Но само известната дължина ще трябва да бъде разделена на произведението от 2 и π. Оказва се, че продуктът ще даде резултата: 6,28. След разделянето остава числото: 200. Това е желаната стойност.

Отговор: r = 200 mm.

Трета задача

Състояние.Изчислете диаметъра, ако е известна обиколката, която е 56,52 cm.

Решение.Подобно на предишния проблем, трябва да разделите известната дължина на стойността на π, закръглена до стотни. В резултат на такова действие се получава числото 18. Резултатът се получава.

Отговор: d = 18 см.

Четвърта задача

Състояние.Стрелките на часовника са с дължина 3 и 5 см. Необходимо е да се изчислят дължините на окръжностите, които описват краищата им.

Решение.Тъй като стрелките съвпадат с радиусите на окръжностите, се изисква първата формула. Необходимо е да се използва два пъти.

За първата дължина продуктът ще се състои от фактори: 2; 3.14 и 3. Резултатът ще бъде числото 18.84 cm.

За втория отговор трябва да умножите 2, π и 5. Продуктът ще даде число: 31,4 cm.

Отговор: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Задача пета

Състояние.Катерица тича в колело с диаметър 2 м. Колко разстояние изминава за един пълен оборот на колелото?

Решение.Това разстояние е равно на обиколката на кръга. Следователно трябва да използвате подходящата формула. А именно, умножете стойността на π и 2 м. Изчисленията дават резултат: 6,28 м.

Отговор:Катерицата бяга 6,28 м.

Кръгът е крива линия, която обхваща кръг. В геометрията фигурите са плоски, така че определението се отнася до двуизмерно изображение. Приема се, че всички точки на тази крива са на еднакво разстояние от центъра на окръжността.

Кръгът има няколко характеристики, въз основа на които се правят изчисленията, свързани с тази геометрична фигура. Те включват: диаметър, радиус, площ и обиколка. Тези характеристики са взаимосвързани, тоест информацията за поне един от компонентите е достатъчна, за да се изчислят. Например, като знаете само радиуса на геометрична фигура, използвайки формулата, можете да намерите обиколката, диаметъра и нейната площ.

• Радиусът на окръжност е сегмент вътре в окръжността, свързан с нейния център.
• Диаметърът е линеен сегмент вътре в кръг, който свързва неговите точки и минава през центъра. Всъщност диаметърът е два радиуса. Точно така изглежда формулата за изчисляването му: D=2r.
• Има още един компонент на кръга - акордът. Това е права линия, която свързва две точки на окръжност, но не винаги минава през центъра. Така че хордата, която минава през него, също се нарича диаметър.

Как да намерите обиколката на кръг? Сега нека разберем.

Обиколка: формула

За обозначаване на тази характеристика е избрана латинската буква p. Архимед също доказа, че съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър е едно и също число за всички кръгове: това е числото π, което е приблизително равно на 3,14159. Формулата за изчисляване на π изглежда така: π = p/d. Според тази формула стойността на p е равна на πd, тоест обиколката: p= πd. Тъй като d (диаметър) е равен на два радиуса, същата формула за обиколка може да бъде записана като p=2πr.Нека разгледаме приложението на формулата, използвайки прости задачи като пример:

Задача 1

В основата на Цар Камбаната диаметърът е 6,6 метра. Каква е обиколката на основата на камбаната?

1. И така, формулата за изчисляване на окръжността е p= πd
2. Заменяме съществуващата стойност във формулата: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Отговор: Обиколката на основата на камбаната е 20,7 метра.

Задача 2

Изкуствен спътник на Земята се върти на разстояние 320 км от планетата. Радиусът на Земята е 6370 км. Каква е дължината на кръговата орбита на сателита?

1. 1. Изчислете радиуса на кръговата орбита на спътника на Земята: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Изчислете дължината на кръговата орбита на сателита по формулата: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Отговор: дължината на кръговата орбита на спътника на Земята е 42013,2 км.

Методи за измерване на обиколката

Изчисляването на обиколката на кръг не се използва често на практика. Причината за това е приблизителната стойност на числото π. В ежедневието се използва специално устройство за намиране на дължината на окръжност - кривомер. На окръжността се маркира произволна референтна точка и от нея устройството се насочва строго по линията, докато отново достигне тази точка.

Как да намерите обиколката на кръг? Просто трябва да имате предвид прости формули за изчисления.

Кръгът се състои от много точки, които са на еднакво разстояние от центъра. Това е плоска геометрична фигура и намирането на нейната дължина не е трудно. Човек всеки ден се сблъсква с кръжок и кръжок, независимо от сферата, в която работи. Много зеленчуци и плодове, устройства и механизми, съдове и мебели имат кръгла форма. Кръгът е набор от точки, който е в границите на кръг. Следователно дължината на фигурата е равна на периметъра на кръга.

Характеристики на фигурата

В допълнение към факта, че описанието на концепцията за кръг е доста просто, неговите характеристики също са лесни за разбиране. С тяхна помощ можете да изчислите дължината му. Вътрешната част на кръга се състои от много точки, сред които две - А и В - могат да се видят под прав ъгъл. Този сегмент се нарича диаметър, той се състои от два радиуса.

В окръжността има точки X такива, което не се променя и не е равно на единица, отношението AX / BX. В кръг това условие задължително се спазва, в противен случай тази фигура няма формата на кръг. Правилото важи за всяка точка, съставляваща фигурата: сумата от квадратите на разстоянията от тези точки до две други винаги надвишава половината от дължината на отсечката между тях.

Основни условия на кръга

За да можете да намерите дължината на фигура, трябва да знаете основните термини, свързани с нея. Основните параметри на фигурата са диаметър, радиус и хорда. Радиусът е сегмент, който свързва центъра на окръжност с която и да е точка от нейната крива. Стойността на хорда е равна на разстоянието между две точки на извитата фигура. Диаметър - разстояние между точкитеминаваща през центъра на фигурата.

Основни формули за изчисления

Параметрите се използват във формулите за изчисляване на стойностите на кръга:

Диаметър във формулите за изчисление

В икономиката и математиката често се налага да се намери обиколката на кръг. Но в ежедневието можете да срещнете тази необходимост, например по време на изграждането на ограда около кръгъл басейн. Как да изчислим обиколката на кръг от диаметър? В този случай използвайте формулата C \u003d π * D, където C е желаната стойност, D е диаметърът.

Така например ширината на басейна е 30 метра, а стълбовете за оградата се предвижда да бъдат поставени на разстояние десет метра от него. В този случай формулата за изчисляване на диаметъра е: 30+10*2 = 50 метра. Желаната стойност (в този пример дължината на оградата): 3,14 * 50 \u003d 157 метра. Ако стълбовете на оградата стоят на разстояние три метра един от друг, тогава ще са необходими общо 52.

Изчисления на радиуса

Как да изчислим обиколката на окръжност по известен радиус? За това се използва формулата C \u003d 2 * π * r, където C е дължината, r е радиусът. Радиусът в кръга е по-малък от половината от диаметъра и това правило може да бъде полезно в ежедневието. Например, в случай на приготвяне на пай в плъзгаща се форма.

За да не се замърсява кулинарният продукт, е необходимо да се използва декоративна обвивка. И как да изрежете хартиен кръг с подходящ размер?

Тези, които са малко запознати с математиката, разбират, че в този случай трябва да умножите числото π по два пъти радиуса на използваната форма. Например, диаметърът на формата е 20 сантиметра, съответно радиусът му е 10 сантиметра. Според тези параметри се намира необходимият размер на кръга: 2 * 10 * 3, 14 \u003d 62,8 сантиметра.

Удобни методи за изчисление

Ако не е възможно да намерите обиколката по формулата, тогава трябва да използвате наличните методи за изчисляване на тази стойност:

• При малък кръгъл предмет дължината му може да се намери с помощта на едно увито въже.
• Размерът на голям предмет се измерва по следния начин: върху плоска равнина се поставя въже и върху него се превърта веднъж кръг.
• Съвременните студенти и ученици използват калкулатори за изчисления. Известните параметри могат да се използват за намиране на неизвестни стойности онлайн.

Кръгли предмети в историята на човешкия живот

Първият кръгъл продукт, който човекът изобретил, беше колелото. Първите конструкции бяха малки заоблени трупи, монтирани на оси. След това се появиха колела, направени от дървени спици и джанти. Постепенно към продукта бяха добавени метални части, за да се намали износването. Именно за да разберат дължината на металните ленти за тапицерията на колелото, учените от миналите векове търсеха формула за изчисляване на тази стойност.

Грънчарското колело е оформено като колело, повечето детайли в сложни механизми, дизайни на водни мелници и въртящи се колела. Често има кръгли предмети в строителството - рамките на кръгли прозорци в романски архитектурен стил, илюминатори на кораби. Архитекти, инженери, учени, механици и дизайнери всеки ден в сферата на своята професионална дейност са изправени пред необходимостта да изчислят размера на кръг.

Знаете ли, че човек през целия си живот забравя за 40% получената от него информация. От това следва, че е много трудно да запомните всичко и още повече да знаете всичко, а понякога дори нереалистично. Например, след като ученик е завършил училище, а след това и колеж, например в хуманитарните науки, а не в техническия (строителен или инженерен отдел), може да се твърди с голяма вероятност, че той отдавна е забравил елементарната математика.

Помните ли как да намерите височината на трапец, как да намерите производната на функция или как да начертаете правилно графика? Със сигурност не. Рядко някой може да се справи с такава задача без допълнителна помощ. Вземете например ученик, който не е учил добре геометрията в училище и просто е забравил как да намери периметъра на кръг. Тази статия е полезна за тези, които искат да подновят училищната програма по математика на паметта. Често такава нужда възниква при родителите, към които учениците се обръщат за помощ при домашните по геометрия, както и при учениците, които сега изучават материала.

Необходимо:

е окръжността, чийто периметър трябва да се намери;
- училищен пергел и линийка;
- лист хартия и молив;
- калкулатор.

Инструкция:

• Намирането на периметъра на кръг е подобна задача на изчисляването на обиколката на кръг. Първо трябва да го измерите радиус . За да направите това, трябва да използвате кръг. Поставяме единия му крак в центъра на кръга, а втория в която и да е точка от кръга. Тъй като кръгът е съвкупност от всички еднакво отдалечени точки от центъра, няма значение къде точно ще бъде вторият крак на компаса, тъй като разстоянието навсякъде ще бъде еднакво.
• Ако няма компас под ръка, тогава можете да разберете диаметър на кръга с помощта на линийка. За да направите това, измерете дължината, като поставите линийката така, че да минава през центъра на кръга. Разстоянието, което получаваме, ще бъде диаметър . Тя е равна на два радиуса, така че формулата, дадена малко по-нататък, остава актуална.
• Ако кръг център не е отбелязано, тогава измерваме най-голямото разстояние от една точка на окръжността до друга с линийка. С този метод на изчисление полученият периметър на кръга ще бъде неточно число, тъй като не можахме да определим диаметъра съвсем точно. Полученото разстояние се измерва на владетеля, като към него се прикрепя компас. Резултатът се записва на лист хартия. Това е радиусът на нашата окръжност.
• За да намерите периметъра на кръг, използвайте формула . Много е просто: радиусът на нашия кръг се умножава по две, след което се умножава по Пи , която е постоянна и равна на стойността 3,14 . Изчислено е от древните математици и следващите поколения успешно го използват в изчисленията повече от хиляда години, така че няма съмнение в неговата коректност. След като извършим изчисленията, получаваме числото, което е желаното.
• За големи кръгове алгоритъмът и инструкциите за измерване остават същите, само линийката и пергелът се заменят със строителна ролетка и специални програми за изчисления.