Zadaci o klasičnom određivanju vjerovatnoće. Osnove teorije vjerovatnoće za aktuare

U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala temeljna nauka. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće

Dvije osobe kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge od svojih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je prezbiterijanski sveštenik. Očigledno je želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o tome da izvesna Fortuna daje sreću svojim miljenicima dala podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, u stvari, svaka kockarska igra sa svojim dobicima i gubicima samo je simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući strasti Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i čovjek koji nije bio ravnodušan prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: „Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?“ Drugo pitanje, koje je gospodina veoma zanimalo: „Kako podeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?“ Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.

Ranije nijedan matematičar nikada nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blaise Pascal je dao prvu definiciju vjerovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može opravdati matematički. Teorija vjerovatnoće je postala osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj nauci.

Šta je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.

Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.

Da bismo mogli raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerovatnoća slučajnog događaja

Da bismo započeli matematički dio vjerovatnoće, potrebno je definirati sve njene komponente.

Vjerovatnoća događaja je numerička mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat nekog iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).

U teoriji vjerovatnoće razlikuju:

• pouzdan zagarantovano je da će se događaj dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
• nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
• nasumično događaj se nalazi između pouzdanog i nemogućeg, odnosno verovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (verovatnoća slučajnog događaja je uvek u opsegu 0≤R(A)≤ 1).

Odnosi između događaja

Uzimaju se u obzir i jedan i zbir događaja A+B, kada se događaj računa kada je barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B, ispunjena.

U međusobnoj vezi događaji mogu biti:

• Jednako moguće.
• Kompatibilan.
• Nekompatibilno.
• Suprotnost (međusobno isključiva).
• Zavisni.

Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.

Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerovatnoću pojave događaja B, onda kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje glava je automatski nepojavljivanje glava.

Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog od događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao “ne A”). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja se formiraju puna grupa sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.

Zavisni događaji međusobno utiču, smanjujući ili povećavajući verovatnoću jedni drugih.

Odnosi između događaja. Primjeri

Koristeći primjere, mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja.

Eksperiment koji će se izvoditi sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.

Događaj je jedan od mogući ishodi iskustvo - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest itd.

Test br. 1. Uključeno je 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima na sebi, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.

Test br. 2. Uključeno 6 lopti plave boje sa brojevima od jedan do šest.

Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

• Pouzdan događaj. Na španskom Događaj broj 2 „dobi plavu kuglu“ je pouzdan, jer je verovatnoća njegovog nastanka jednaka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
• Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj „dobivanje ljubičaste kuglice“ je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
• Jednako mogući događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su mogući događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
• Kompatibilni događaji. Dobiti šesticu dva puta zaredom dok bacate kocku je kompatibilan događaj.
• Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Broj 1, događaji „dobiti crvenu loptu” i „dobiti loptu sa neparnim brojem” ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
• Suprotni događaji. Većina sjajan primjer Ovo je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glava ekvivalentno ne izvlačenju repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (cijela grupa).
• Zavisni događaji. Dakle, na španskom Br. 1, možete postaviti cilj da izvučete crvenu loptu dva puta zaredom. Da li će biti preuzet prvi put ili ne utiče na vjerovatnoću da će biti preuzet drugi put.

Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).

Formula vjerovatnoće događaja

Prelazak sa proricanja sudbine na precizne podatke odvija se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što je „velika verovatnoća” ili „minimalna verovatnoća” mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati ​​i unositi takav materijal u složenije proračune.

Sa računske tačke gledišta, određivanje vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u vezi sa određenim događajem. Verovatnoća je označena sa P(A), gde P označava reč „verovatno“, što je sa francuskog prevedeno kao „verovatnoća“.

Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja uvijek leži između 0 i 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer

Uzmimo španski. Br. 1 sa kuglicama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.

Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:

• A - crvena lopta ispada. Postoje 3 crvene kuglice, a postoji ukupno 6 opcija najjednostavniji primjer, u kojem je vjerovatnoća događaja jednaka P(A)=3/6=0,5.
• B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
• C - pojavljivanje broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda od 6. Vjerovatnoća događaja C jednaka je P(C)=4 /6=0,67.

Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj vjerovatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nekompatibilni događaji

Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1 nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kocki istovremeno.

Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov proizvod AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.

Zbir više događaja je događaj koji pretpostavlja nastanak barem jednog od njih. Proizvodnja nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.

U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba veznika "i" označava zbir, a veznik "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja

Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka sabiranju njihovih vjerovatnoća:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: hajde da izračunamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama pojaviće se broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća dobijanja broja 2 je 1/6, verovatnoća dobijanja broja 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga suprotan događaj Ā, kao što je poznato,

P(A) + P(Ā) = 1

Vjerovatnoća nastanka nekompatibilnih događaja

Množenje vjerovatnoće se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerovatnoća da na španskom Br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka

Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja loptica, izvuku samo plave kuglice je 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se nastanak jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Uprkos činjenici da su zajednički, razmatra se vjerovatnoća nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvije kocke može dati rezultat kada se na objema pojavi broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica nema uticaj na to.

Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.

Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer

Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbiru vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog nastanka (odnosno njihovog zajedničkog nastupa):

R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Pretpostavimo da je vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da možete pogoditi metu i prvim i drugim hicima. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (barem jednim)? prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: “Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica je 64%”.

Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.

Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće

Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što se može vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Zapiši to geometrijska rješenja- nije neuobičajeno u teoriji vjerovatnoće.

Određivanje vjerovatnoće zbira mnogih (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Događaji se nazivaju zavisnim ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih događaja uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B, podložna nastanku događaja A (hipoteza), od kojeg zavisi.

Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja je potrebna i može se uzeti u obzir u izvršenim proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.

Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo zavisne događaje. Moramo odrediti vjerovatnoću da će druga karta izvučena iz špila biti od dijamanata ako je prva izvučena karta:

1. Bubnovaya.
2. Drugačija boja.

Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je prva opcija tačna, da u špilu ima 1 karta (35) i 1 romb (8) manje, vjerovatnoća događaja B:

R A (B) =8/35=0,23

Ako je druga opcija tačna, onda špil sada ima 35 karata i to puni broj tambura (9), tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:

R A (B) =9/35=0,26.

Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.

Umnožavanje zavisnih događaja

Vođeni prethodnim poglavljem, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini je on slučajne prirode. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno izvlačenja dijamanta iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi u praktične svrhe, pošteno je primijetiti da je ono što je najčešće potrebno vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.

Prema teoremi o proizvodu vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A, pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (zavisnog od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Zatim, u primjeru špila, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte sa odijelom dijamanata je:

9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%

I vjerovatnoća da se prvo ne izvuku dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerovatnoća da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje osim dijamanata. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerovatnoća događaja

Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višeslojan, ne može se izračunati korišćenjem konvencionalnih metoda. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Dakle, formula za ukupnu vjerovatnoću za događaj B sa kompletnom grupom slučajnih događaja A1, A2,..., A n je jednaka:

Pogled u budućnost

Vjerovatnoća slučajnog događaja je izuzetno neophodna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnoće, potrebne su posebne radne metode. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se utvrdi mogućnost greške ili kvara.

Možemo reći da prepoznavanjem vjerovatnoće na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.

U ekonomiji, kao iu drugim oblastima ljudska aktivnost ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu tačno predvideti. Dakle, obim prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga, kada organizirate proizvodnju i obavljate prodaju, ishod takvih aktivnosti morate predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.

Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično, ako se kao rezultat iskustva može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat datog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerovatnoće je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

Iznos događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

Posao događaji je događaj koji se sastoji od istovremene pojave svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji od pojavljivanja dvije robe u trgovini u isto vrijeme je proizvod događaja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih sigurno dogodi u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo brodova na vezovima, - prisustvo jednog broda na jednom od veza, - prisustvo dva broda na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest elementarnih ishoda na osnovu broja bodova na stranama.

Od elementarnih ishoda možete kreirati složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka dotičnog događaja je vjerovatnoća.

Najčešće korištene definicije vjerovatnoće događaja su: klasična I statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom povoljnog ishoda.

Ishod se zove povoljno na dati događaj ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U gornjem primjeru, događaj o kojem je riječ – paran broj bodova na prebačenoj strani – ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj ishoda povoljnih za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizuje (postavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, vjerovatnoća događaja se uzima kao relativna frekvencija u dovoljnoj mjeri veliki broj testovi.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), često se koriste kombinatoričke formule koje se koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.

Jasno je da svaki događaj ima različit stepen mogućnosti svog nastanka (njegove implementacije). Da bismo kvantitativno uporedili događaje jedni s drugima prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći što je događaj mogući. Ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja– je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti nastanka ovog događaja.

Razmotrimo stohastički eksperiment i slučajni događaj A koji je uočen u ovom eksperimentu. Ponovimo ovaj eksperiment n puta i neka m(A) bude broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A.

Relacija (1.1)

pozvao relativna frekvencija događaji A u seriji izvedenih eksperimenata.

Lako je provjeriti ispravnost svojstava:

ako su A i B nekonzistentni (AB= ), tada je ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Relativna frekvencija se određuje tek nakon serije eksperimenata i, općenito govoreći, može varirati od serije do serije. Međutim, iskustvo pokazuje da se u mnogim slučajevima, kako se broj eksperimenata povećava, relativna frekvencija približava određenom broju. Ova činjenica stabilnosti relativne frekvencije je više puta provjerena i može se smatrati eksperimentalno utvrđenom.

Primjer 1.19.. Ako bacite jedan novčić, niko ne može predvidjeti na kojoj će strani pasti. Ali ako bacite dvije tone novčića, onda će svi reći da će oko jedna tona pasti s grbom, odnosno relativna učestalost ispadanja grba je otprilike 0,5.

Ako, s povećanjem broja eksperimenata, relativna frekvencija događaja ν(A) teži određenom fiksnom broju, onda se kaže da događaj A je statistički stabilan, i ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja A.

Vjerovatnoća događaja A poziva se neki fiksni broj P(A) kojem teži relativna frekvencija ν(A) ovog događaja kako se broj eksperimenata povećava, tj.

Ova definicija se zove statističko određivanje vjerovatnoće .

Razmotrimo određeni stohastički eksperiment i neka se prostor njegovih elementarnih događaja sastoji od konačnog ili beskonačnog (ali prebrojivog) skupa elementarnih događaja ω 1, ω 2, …, ω i, …. Pretpostavimo da je svakom elementarnom događaju ω i dodeljen određeni broj - r i, koji karakteriše stepen mogućnosti pojave datog elementarnog događaja i zadovoljava sledeća svojstva:

Ovaj broj p i se zove vjerovatnoća elementarnog događajaωi.

Neka je sada A slučajni događaj uočen u ovom eksperimentu i neka odgovara određenom skupu

U ovoj postavci vjerovatnoća događaja A nazovite zbir vjerovatnoća elementarnih događaja koji favorizuju A(uključeno u odgovarajući set A):

(1.4)

Ovako uvedena vjerovatnoća ima ista svojstva kao i relativna frekvencija, i to:

A ako je AB = (A i B su nekompatibilni),

onda P(A+B) = P(A) + P(B)

Zaista, prema (1.4)

U posljednjoj vezi iskoristili smo činjenicu da niti jedan elementarni događaj ne može favorizirati dva nespojiva događaja u isto vrijeme.

Posebno napominjemo da teorija vjerovatnoće ne ukazuje na metode za određivanje p i, već ih se mora tražiti iz praktičnih razloga ili dobiti iz odgovarajućeg statističkog eksperimenta.

Kao primjer, razmotrite klasična šema teorija vjerovatnoće. Da biste to učinili, razmotrite stohastički eksperiment, čiji se prostor elementarnih događaja sastoji od konačnog (n) broja elemenata. Uzmimo dodatno da su svi ovi elementarni događaji podjednako mogući, odnosno da su vjerovatnoće elementarnih događaja jednake p(ω i)=p i =p. Iz toga slijedi

Primjer 1.20. Prilikom bacanja simetričnog novčića, dobijanje glave i repa je jednako moguće, njihove vjerovatnoće su jednake 0,5.

Primjer 1.21. Prilikom bacanja simetrične kocke sva lica su jednako moguća, njihove vjerovatnoće su jednake 1/6.

Neka sada događaj A favorizuje m elementarnih događaja, oni se obično nazivaju ishodi povoljni za događaj A. Onda

Got klasična definicija vjerovatnoće: vjerovatnoća P(A) događaja A jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za događaj A i ukupnog broja ishoda

Primjer 1.22. Urna sadrži m bijelih i n crnih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?

Rješenje. Ukupan broj elementarnih događaja je m+n. Svi su podjednako vjerovatni. Povoljan događaj A od kojih m. dakle, .

Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:

Nekretnina 1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.

Zaista, ako je događaj pouzdan, onda svaki elementarni ishod testa favorizira događaj. U ovom slučaju t=p, dakle,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Nekretnina 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan od elementarnih ishoda testa ne favorizuje događaj. U ovom slučaju T= 0, dakle, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Nekretnina 3.Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Zaista, samo dio ukupnog broja elementarnih ishoda testa favorizira slučajni događaj. To jest, 0≤m≤n, što znači 0≤m/n≤1, dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava dvostruku nejednakost 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Upoređujući definicije vjerovatnoće (1.5) i relativne frekvencije (1.1), zaključujemo: definicija vjerovatnoće ne zahtijeva provođenje testiranja zapravo; definicija relativne frekvencije pretpostavlja da testovi su zaista obavljeni. Drugim riječima, vjerovatnoća se izračunava prije eksperimenta, a relativna učestalost - nakon eksperimenta.

Međutim, izračunavanje vjerovatnoće zahtijeva preliminarne informacije o broju ili vjerovatnoćama elementarnih ishoda povoljnih za dati događaj. U nedostatku takvih preliminarnih informacija, empirijski podaci se koriste za određivanje vjerovatnoće, odnosno relativna učestalost događaja se utvrđuje na osnovu rezultata stohastičkog eksperimenta.

Primjer 1.23. Odjel tehnička kontrola otkriveno 3 nestandardni dijelovi u seriji od 80 nasumično odabranih dijelova. Relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova r(A)= 3/80.

Primjer 1.24. Prema namjeni.proizvedeno 24 pucao, a zabilježeno je 19 pogodaka. Relativna stopa pogodaka cilja. r(A)=19/24.

Dugoročna zapažanja su pokazala da ako se eksperimenti izvode pod identičnim uvjetima, u svakom od kojih je broj testova dovoljno velik, tada relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti. Ova nekretnina je da se u različitim eksperimentima relativna frekvencija malo mijenja (što manje, to se više testova izvodi), fluktuirajući oko određenog konstantnog broja. Pokazalo se da se ovaj konstantni broj može uzeti kao približna vrijednost vjerovatnoće.

Odnos između relativne frekvencije i vjerovatnoće će biti opisan detaljnije i preciznije u nastavku. Sada ćemo ilustrirati svojstvo stabilnosti primjerima.

Primjer 1.25. Prema švedskoj statistici, relativnu učestalost rađanja djevojčica za 1935. godinu po mjesecima karakterišu sljedeći brojevi (brojevi su raspoređeni po mjesecima, počevši od Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Relativna frekvencija fluktuira oko broja 0,481, što se može uzeti kao približna vrijednost za vjerovatnoću rađanja djevojčica.

Imajte na umu da statistički podaci raznim zemljama daju približno istu vrijednost relativne frekvencije.

Primjer 1.26. Eksperimenti bacanja novčića izvedeni su više puta, u kojima se računao broj pojavljivanja “grba”. Rezultati nekoliko eksperimenata prikazani su u tabeli.

Događaji koji se događaju u stvarnosti ili u našoj mašti mogu se podijeliti u 3 grupe. To su određeni događaji koji će se sigurno dogoditi, nemogući događaji i slučajni događaji. Teorija vjerovatnoće proučava slučajne događaje, tj. događaji koji se mogu desiti, a ne moraju. Ovaj članak će predstaviti u ukratko formule teorije vjerovatnoće i primjeri rješavanja zadataka iz teorije vjerovatnoće koji će biti u zadatku 4 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profilni nivo).

Zašto nam je potrebna teorija vjerovatnoće?

Istorijski gledano, potreba za proučavanjem ovih problema pojavila se u 17. veku u vezi sa razvojem i profesionalizacijom. kockanje i pojavu kazina. Ovo je bio pravi fenomen koji je zahtijevao vlastito proučavanje i istraživanje.

Igranje karata, kockica i ruleta stvorilo je situacije u kojima se može dogoditi bilo koji od konačnog broja jednako mogućih događaja. Postojala je potreba da se daju numeričke procjene mogućnosti nastanka određenog događaja.

U 20. veku postalo je jasno da ova naizgled neozbiljna nauka igra važnu ulogu u razumevanju fundamentalnih procesa koji se dešavaju u mikrokosmosu. Je napravljeno moderna teorija vjerovatnoće.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće

Predmet proučavanja teorije vjerovatnoće su događaji i njihove vjerovatnoće. Ako je događaj složen, onda se može rastaviti na jednostavne komponente čije je vjerovatnoće lako pronaći.

Zbir događaja A i B naziva se događaj C, koji se sastoji u činjenici da su se ili događaj A, ili događaj B, ili događaji A i B dogodili istovremeno.

Proizvod događaja A i B je događaj C, što znači da su se desili i događaj A i događaj B.

Događaji A i B nazivaju se nekompatibilnima ako se ne mogu dogoditi istovremeno.

Događaj A se naziva nemogućim ako se ne može dogoditi. Takav događaj je označen simbolom.

Događaj A se naziva izvjesnim ako je siguran da će se dogoditi. Takav događaj je označen simbolom.

Neka je svakom događaju A pridružen broj P(A). Ovaj broj P(A) naziva se verovatnoća događaja A ako su ispunjeni sledeći uslovi sa ovom korespondencijom.

Važan poseban slučaj je situacija kada postoje podjednako vjerovatni elementarni ishodi, a proizvoljni od ovih ishoda formiraju događaje A. U ovom slučaju vjerovatnoća se može unijeti pomoću formule. Ovako uvedena vjerovatnoća naziva se klasičnom vjerovatnoćom. Može se dokazati da su u ovom slučaju zadovoljene osobine 1-4.

Problemi teorije vjerovatnoće koji se pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike uglavnom se odnose na klasičnu vjerovatnoću. Takvi zadaci mogu biti vrlo jednostavni. Posebno su jednostavni problemi u teoriji vjerovatnoće u demo opcije. Lako je izračunati broj povoljnih ishoda, broj svih ishoda je zapisan tačno u uslovu.

Odgovor dobijamo pomoću formule.

Primjer zadatka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike o određivanju vjerovatnoće

Na stolu je 20 pita - 5 sa kupusom, 7 sa jabukama i 8 sa pirinčem. Marina želi uzeti pitu. Kolika je vjerovatnoća da će uzeti pirinčanu tortu?

Rješenje.

Postoji 20 jednako vjerovatnih elementarnih ishoda, odnosno Marina može uzeti bilo koju od 20 pita. Ali moramo procijeniti vjerovatnoću da će Marina uzeti pitu od riže, odnosno gdje je A izbor pite od riže. To znači da je broj povoljnih ishoda (izbor pita sa pirinčem) samo 8. Tada će se vjerovatnoća odrediti po formuli:

Nezavisni, suprotni i proizvoljni događaji

Međutim, u otvorena tegla Počeli su se susresti složeniji zadaci. Stoga, skrenemo pažnju čitatelja na druga pitanja koja se proučavaju u teoriji vjerovatnoće.

Za događaje A i B kaže se da su nezavisni ako vjerovatnoća svakog od njih ne zavisi od toga da li će se drugi događaj desiti.

Događaj B je da se događaj A nije dogodio, tj. događaj B je suprotan događaju A. Vjerovatnoća suprotnog događaja jednaka je jedan minus vjerovatnoća direktnog događaja, tj. .

Teoreme sabiranja i množenja vjerojatnosti, formule

Za proizvoljne događaje A i B, vjerovatnoća zbira ovih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća bez vjerovatnoće njihovog zajednički događaj, tj. .

Za nezavisne događaje A i B vjerovatnoća nastanka ovih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, tj. u ovom slučaju .

Posljednje 2 tvrdnje nazivaju se teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća.

Brojanje rezultata nije uvijek tako jednostavno. U nekim slučajevima potrebno je koristiti kombinatoričke formule. Najvažnije je izbrojati broj događaja koji zadovoljavaju određene uslove. Ponekad ove vrste proračuna mogu postati samostalni zadaci.

Na koliko načina može 6 učenika sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina da drugi učenik zauzme mjesto. Ostala su 4 slobodna mjesta za trećeg učenika, 3 za četvrtog, 2 za petog, a šesti će zauzeti jedino preostalo mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod koji je označen simbolom 6! i glasi "šest faktorijala".

U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj permutacija od n elemenata.U našem slučaju.

Razmotrimo sada još jedan slučaj sa našim studentima. Na koliko načina 2 učenika mogu sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina da drugi učenik zauzme mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod.

Općenito, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj smještaja n elemenata preko k elemenata

U našem slučaju.

I poslednji slučaj u ovoj seriji. Na koliko načina možete izabrati tri učenika od 6? Prvi učenik se može izabrati na 6 načina, drugi - na 5 načina, treći - na četiri načina. Ali među ovim opcijama, ista tri učenika se pojavljuju 6 ​​puta. Da biste pronašli broj svih opcija, morate izračunati vrijednost: . Općenito, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj kombinacija elemenata po elementu:

U našem slučaju.

Primjeri rješavanja zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za određivanje vjerovatnoće

Zadatak 1. Iz zbirke koju priređuje. Yashchenko.

Na tanjiru je 30 pita: 3 sa mesom, 18 sa kupusom i 9 sa višnjama. Sasha bira jednu pitu nasumce. Pronađite vjerovatnoću da će on završiti sa trešnjom.

.

Odgovor: 0.3.

Zadatak 2. Iz zbirke koju priređuje. Yashchenko.

U svakoj seriji od 1000 sijalica u prosjeku je 20 neispravnih. Pronađite vjerovatnoću da će sijalica uzeta nasumično iz serije raditi.

Rješenje: Broj radnih sijalica je 1000-20=980. Tada će vjerovatnoća da će sijalica uzeta nasumično iz serije raditi:

Odgovor: 0,98.

Verovatnoća da će učenik U tačno rešiti više od 9 zadataka tokom testa iz matematike je 0,67. Verovatnoća da će U. tačno rešiti više od 8 zadataka je 0,73. Nađite vjerovatnoću da će U tačno riješiti tačno 9 zadataka.

Ako zamislimo brojevnu pravu i na njoj označimo tačke 8 i 9, tada ćemo vidjeti da je uvjet „U. će riješiti tačno 9 zadataka” je uključeno u uslov “U. će tačno riješiti više od 8 zadataka”, ali se ne odnosi na uvjet “U. će tačno riješiti više od 9 problema.”

Međutim, uslov „U. će riješiti više od 9 problema ispravno” sadržano je u uvjetu “U. će tačno riješiti više od 8 problema.” Dakle, ako označimo događaje: „U. riješit će tačno 9 problema" - do A, "U. će tačno riješiti više od 8 problema" - do B, "U. će ispravno riješiti više od 9 problema” do C. To rješenje će izgledati ovako:

Odgovor: 0.06.

Na ispitu iz geometrije student odgovara na jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje trigonometrije je 0,2. Vjerovatnoća da je ovo pitanje o vanjskim uglovima je 0,15. Ne postoje pitanja koja se istovremeno odnose na ove dvije teme. Pronađite vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Hajde da razmislimo o tome koje događaje imamo. Nama su data dva nespojiva događaja. Odnosno, ili će se pitanje odnositi na temu “Trigonometrija” ili na temu “Spoljni uglovi”. Prema teoremi vjerovatnoće, vjerovatnoća nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog događaja, moramo pronaći zbir vjerovatnoća ovih događaja, odnosno:

Odgovor: 0,35.

Prostorija je osvetljena fenjerom sa tri lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u toku godine je 0,29. Pronađite vjerovatnoću da barem jedna lampa neće pregorjeti tokom godine.

Hajde da razmotrimo moguće događaje. Imamo tri sijalice, od kojih svaka može ili ne mora da pregori nezavisno od bilo koje druge sijalice. To su nezavisni događaji.

Zatim ćemo navesti opcije za takve događaje. Koristimo sljedeće oznake: - sijalica je upaljena, - sijalica je pregorjela. I odmah pored njega ćemo izračunati vjerovatnoću događaja. Na primjer, vjerovatnoća događaja u kojem su se desila tri nezavisna događaja “sijalica je pregorjela”, “sijalica je upaljena”, “sijalica je upaljena”: , gdje je vjerovatnoća događaja “sijalica je uključen“ izračunava se kao verovatnoća događaja suprotnog događaju „sijalica nije upaljena“, i to: .

Imajte na umu da postoji samo 7 nekompatibilnih događaja koji su nam povoljni. Vjerovatnoća takvih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog od događaja: .

Odgovor: 0,975608.

Na slici možete vidjeti još jedan problem:

Dakle, shvatili smo što je teorija vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema na koje možete naići u verziji Jedinstvenog državnog ispita.

Znajući da se vjerovatnoća može izmjeriti, pokušajmo je izraziti brojevima. Postoje tri moguća načina.

Rice. 1.1. Measuring Probability

VEROVATNOĆA ODREĐENA SIMETRIJOM

Postoje situacije u kojima su mogući ishodi jednako vjerovatni. Na primjer, kada se novčić baci jednom, ako je novčić standardan, vjerovatnoća pojave „glava“ ili „repa“ je ista, tj. P("glave") = P("repove"). Pošto su moguća samo dva ishoda, onda je P(„glave“) + P(„repovi“) = 1, dakle, P(„glave“) = P(„repovi“) = 0,5.

U eksperimentima u kojima ishodi imaju jednake šanse za nastanak, vjerovatnoća događaja E, P (E) je jednaka:

Primjer 1.1. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?

Prvo, hajde da pronađemo sve moguće ishode: Da bismo bili sigurni u sve moguće opcije smo pronašli, koristimo dijagram stabla (vidi Poglavlje 1, Odjeljak 1.3.1).

Dakle, postoji 8 jednako mogućih ishoda, pa je vjerovatnoća za njih 1/8. Događaj E - dvije glave i repa - tri se dogodila. Zbog toga:

Primjer 1.2. Standardna kocka se baca dvaput. Kolika je vjerovatnoća da je rezultat 9 ili više?

Hajde da pronađemo sve moguće ishode.

Tabela 1.2. Ukupan broj poena dobijenih bacanjem kocke dva puta

Dakle, u 10 od 36 mogućih ishoda zbir bodova je 9 ili prema tome:

EMPIRIJSKI UTVRĐENA VEROVATNOĆA

Primjer sa novčićem iz stola. 1.1 jasno ilustruje mehanizam za određivanje vjerovatnoće.

At ukupan broj eksperimenti iz kojih su uspješni, vjerovatnoća traženog rezultata izračunava se na sljedeći način:

Odnos je relativna učestalost pojavljivanja određenog rezultata tokom dovoljno dugog eksperimenta. Vjerovatnoća se izračunava ili na osnovu podataka izvršenog eksperimenta, na osnovu prošlih podataka.

Primjer 1.3. Od pet stotina testiranih električnih lampi, 415 je radilo više od 1000 sati. Na osnovu podataka iz ovog eksperimenta možemo zaključiti da je vjerovatnoća normalnog rada svjetiljke ovog tipa duže od 1000 sati:

Bilješka. Ispitivanje je destruktivne prirode, tako da se sve lampe ne mogu testirati. Kada bi se testirala samo jedna lampa, vjerovatnoća bi bila 1 ili 0 (tj. da li može trajati 1000 sati ili ne). Stoga je potrebno ponoviti eksperiment.

Primjer 1.4. U tabeli 1.3 prikazuje podatke o radnom stažu muškaraca koji rade u kompaniji:

Tabela 1.3. Muško radno iskustvo

Kolika je vjerovatnoća da će sljedeća osoba koju angažuje kompanija raditi najmanje dvije godine:

Rješenje.

Tabela pokazuje da 38 od 100 zaposlenih u kompaniji radi više od dvije godine. Empirijska vjerovatnoća da će sljedeći zaposlenik ostati u kompaniji duže od dvije godine je:

Istovremeno, pretpostavljamo da novi zaposlenik“tipično, a uslovi rada nepromijenjeni.

SUBJEKTIVNA PROCENA VEROVATNOSTI

U poslovanju se često javljaju situacije u kojima nema simetrije, a nema ni eksperimentalnih podataka. Stoga je određivanje vjerovatnoće povoljnog ishoda pod uticajem pogleda i iskustva istraživača subjektivno.

Primjer 1.5.

1. Investicioni stručnjak procjenjuje da je vjerovatnoća ostvarivanja dobiti u prve dvije godine 0,6.

2. Prognoza marketing menadžera: vjerovatnoća prodaje 1000 jedinica proizvoda u prvom mjesecu nakon njegovog pojavljivanja na tržištu je 0,4.