"Slučajnost nije slučajna"... Zvuči kao što je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici je slučajnost teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.

Šta je teorija vjerovatnoće?

Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić gore, on može pasti glavom ili repom. Sve dok je novčić u zraku, obje ove mogućnosti su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je u korelaciji 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila sa 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da nema šta istraživati ​​i predviđati, posebno uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako više puta ponovite određenu radnju, tada možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost nastanka jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu.

Sa stranica istorije

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze sa matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce, o kojima su odlučili ispričati javnosti.

Istu tehniku ​​izmislio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerovatnoće", formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.

Od velikog značaja su radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme. Učinili su teoriju vjerovatnoće više kao matematičku disciplinu. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Razvoj

Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:

• Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće desiti ni u kom scenariju (novčić će ostati da visi u vazduhu).
• Slučajno. Oni koji će se desiti ili neće. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, s izuzetkom R, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = "studenti nisu došli na predavanje".

U praktičnim zadacima događaji se obično bilježe riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji takođe nisu podjednako verovatni. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice, u kojima je pomaknut centar gravitacije.

Događaji su također kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugog. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = "student je došao na predavanje."

Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog i pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nespojivi događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje nastanak drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu množiti i sabirati, respektivno, u disciplinu se uvode logički vezivi "AND" i "OR".

Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti.

Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Firma se nadmeće za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "firma će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
• B = "firma će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "firma neće dobiti drugi ugovor"
• C = "firma će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."

Pokušajmo izraziti sljedeće situacije koristeći radnje na događaje:

• K = "firma će primiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednačina će izgledati ovako: K = ABC.

• M = "firma neće dobiti nijedan ugovor."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Komplikujemo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Kako se ne zna koji će ugovor firma dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti čitav niz mogućih događaja:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji se također bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava gomilu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će kompanija dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete napisati i druge uslove u disciplini "Teorija vjerovatnoće". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerovatnoća

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:

• klasična;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoća. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n.

I, zapravo, događaj. Ako se pojavi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A \u003d "izvucite karticu odijela srca." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će iz špila bude izvučena karta u obliku srca biće 0,25.

na višu matematiku

Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se sreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerovatnoće je veoma interesantna. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti od malog - od statističke (ili učestalosti) definicije vjerovatnoće.

Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim pristupom, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stepenom vjerovatnoće će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitet proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

W n (A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 provjerenih proizvoda, 3 su se pokazala lošeg kvaliteta. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, ovo je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, onda se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 puteva od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od tačke A do tačke C.

Hajde da otežamo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.

To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se čitav niz brojeva međusobno množi.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulijeva formula

U teoriji vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača u svojoj oblasti koji su je podigli na novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod nezavisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju istog događaja u prethodnim ili narednim testovima.

Bernulijeva jednačina:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija desiti tačno m puta u n broj eksperimenata će se izračunati po formuli koja je prikazana gore. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji ukazuje na mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).

Zadatak 2: Posjetilac trgovine će obaviti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?

Rješenje: Pošto nije poznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.

A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (jer u radnji ima 6 kupaca). Broj m će se promijeniti od 0 (nijedan kupac neće izvršiti kupovinu) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2621.

Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Pošto je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C=1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da će dva posjetitelja kupiti robu.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.

osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju, λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3 O: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračunavanje koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema uslovu zadavanja).

n = 100000 (broj delova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobivamo:

100000 R (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješenja za koje su gore napisani, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U suštini, može se naći po formuli:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceova teorema

Ako je u Bernoullijevoj šemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama jednaka, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može pronađeno po Laplaceovoj formuli:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku.

Prvo nalazimo X m , zamjenjujemo podatke (svi su oni gore navedeni) u formulu i dobivamo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerovatnoća da će letak pogoditi tačno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerovatnoću događaja, na osnovu okolnosti koje bi se mogle povezati s njim. Glavna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) - uslovna verovatnoća, odnosno događaj A može se desiti, pod uslovom da je događaj B tačan.

R (V|A) - uslovna verovatnoća događaja V.

Dakle, završni dio kratkog kursa "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, deo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.

A = "slučajno uzet telefon."

B 1 - telefon koji je prva fabrika napravila. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat, dobijamo:

P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.

Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u firmama:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobivamo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerovatnoće, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Prostoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je uz njenu pomoć više puta pogodio džekpot.

U privredi, kao iu drugim oblastima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje robe zavisi od potražnje, koja može značajno da varira, i od niza drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga se u organizaciji proizvodnje i prodaje ishod takvih aktivnosti mora predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se također u velikoj mjeri zasniva na eksperimentalnim podacima.

Da bi se na neki način vrednovao događaj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično ako se, kao rezultat eksperimenta, može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove autentičan, ako se nužno pojavi kao rezultat ovog iskustva, i nemoguće ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati određenim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

suma događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

rad događaji se nazivaju događaji koji se sastoje od istovremenog nastupa svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u prodavnici je proizvod događaja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno javlja u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo plovila na vezovima, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisustvo dva plovila na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji su suprotni označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama može biti šest elementarnih ishoda.

Od elementarnih ishoda možete sastaviti složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka događaja koji se razmatra je vjerovatnoća.

Dvije definicije vjerovatnoće događaja se najčešće koriste: klasična i statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je sa pojmom povoljnog ishoda.

Egzodus se zove povoljno ovaj događaj, ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U datom primjeru, događaj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenoj ivici, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj povoljnih ishoda za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se po formuli

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizuje (uspostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja uzima se kao vjerovatnoća događaja.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja može se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), kombinatoričke formule se često koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.

Dakle, hajde da pričamo o temi koja zanima mnoge ljude. U ovom članku ću odgovoriti na pitanje kako izračunati vjerovatnoću događaja. Dat ću formule za takav izračun i nekoliko primjera da bude jasnije kako se to radi.

Šta je vjerovatnoća

Počnimo s činjenicom da je vjerovatnoća da će se desiti ovaj ili onaj događaj određena doza povjerenja u konačnu pojavu nekog rezultata. Za ovu kalkulaciju razvijena je formula ukupne vjerovatnoće koja vam omogućava da odredite da li će se događaj od interesa za vas dogoditi ili ne, kroz takozvane uslovne vjerovatnoće. Ova formula izgleda ovako: P \u003d n / m, slova se mogu mijenjati, ali to ne utječe na samu suštinu.

Primjeri vjerovatnoće

Na najjednostavnijem primjeru analizirat ćemo ovu formulu i primijeniti je. Recimo da imate neki događaj (P), neka to bude bacanje kocke, odnosno jednakostranična kocka. I moramo izračunati kolika je vjerovatnoća da dobijemo 2 boda na tome. Za to je potreban broj pozitivnih događaja (n), u našem slučaju - gubitak od 2 boda, za ukupan broj događaja (m). Gubitak od 2 boda može biti samo u jednom slučaju, ako se na kockici nalaze 2 boda, jer će u suprotnom iznos biti veći, slijedi da je n = 1. Zatim izračunavamo broj svih ostalih brojeva koji padaju na kocku. kockice, po 1 kocki - to su 1, 2, 3, 4, 5 i 6, dakle, postoji 6 povoljnih slučajeva, odnosno m \u003d 6. Sada, prema formuli, radimo jednostavan izračun P \ u003d 1/6 i dobijamo da je gubitak 2 boda na kocki 1/6, odnosno da je vjerovatnoća događaja vrlo mala.

Razmotrimo i primjer obojenih kuglica koje se nalaze u kutiji: 50 bijelih, 40 crnih i 30 zelenih. Morate odrediti kolika je vjerovatnoća da ćete izvući zelenu loptu. I tako, pošto ima 30 kuglica ove boje, odnosno može biti samo 30 pozitivnih događaja (n = 30), broj svih događaja je 120, m = 120 (prema ukupnom broju svih loptica), prema formuli izračunavamo da će vjerovatnoća izvlačenja zelene kuglice biti jednaka P = 30/120 = 0,25, odnosno 25% od 100. Na isti način možete izračunati vjerovatnoću izvlačenja kuglica druge boje (crna 33%, bijela 42%).

Kako izračunati vjerovatnoću događaja?

Razumijem da svi žele unaprijed znati kako će se završiti sportski događaj, ko će pobijediti, a ko izgubiti. Uz ove informacije možete se bez straha kladiti na sportske događaje. Ali da li je to uopšte moguće, i ako jeste, kako izračunati verovatnoću nekog događaja?

Vjerovatnoća je relativna vrijednost, stoga ne može govoriti sa tačnošću ni o jednom događaju. Ova vrijednost vam omogućava da analizirate i procijenite potrebu da se kladite na određeno takmičenje. Definicija vjerovatnoće je čitava nauka koja zahtijeva pažljivo proučavanje i razumijevanje.

Koeficijent vjerovatnoće u teoriji vjerovatnoće

U sportskom klađenju postoji nekoliko opcija za ishod takmičenja:

• pobjeda prvog tima;
• pobjeda drugog tima;
• draw;
• ukupno

Svaki ishod takmičenja ima svoju vjerovatnoću i učestalost s kojom će se ovaj događaj dogoditi, pod uslovom da su sačuvane početne karakteristike. Kao što je ranije spomenuto, nemoguće je precizno izračunati vjerovatnoću bilo kojeg događaja - može se, ali i ne mora podudarati. Dakle, vaša opklada može ili dobiti ili izgubiti.

Ne može postojati precizna 100% prognoza rezultata takmičenja, jer mnogo faktora utiče na ishod utakmice. Naravno, kladionice ne znaju unaprijed ishod meča i samo pretpostavljaju rezultat, donoseći odluku na svom sistemu analize i nude određene kvote za opklade.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja?

Recimo da je kvota kladionice 2.1/2 - dobijamo 50%. Ispada da je koeficijent 2 jednak vjerovatnoći od 50%. Po istom principu, možete dobiti omjer vjerovatnoće preloma - 1 / vjerovatnoća.

Mnogi igrači misle da će se nakon nekoliko ponovljenih poraza sigurno dogoditi pobjeda - ovo je pogrešno mišljenje. Verovatnoća dobijanja opklade ne zavisi od broja gubitaka. Čak i ako bacite nekoliko glava zaredom u igri novčića, vjerovatnoća bacanja repa ostaje ista - 50%.

Kada se novčić baci, može se reći da će pasti glavom gore, ili vjerovatnoća od toga je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, on će nužno pasti na glavu 5 puta. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, tada će se glave u pola vremena približiti vrlo blizu. Dakle, postoje dvije vrste vjerovatnoća: eksperimentalni i teorijski .

Eksperimentalna i teorijska vjerovatnoća

Ako bacimo novčić veliki broj puta - recimo 1000 - i izbrojimo koliko puta će se iskrsnuti, možemo odrediti vjerovatnoću da će se iskrsnuti. Ako se glave pojave 503 puta, možemo izračunati vjerovatnoću da će se pojaviti:
503/1000 ili 0,503.

to eksperimentalni definicija vjerovatnoće. Ova definicija vjerovatnoće proizlazi iz posmatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Na primjer, evo nekih vjerovatnoća koje su određene eksperimentalno:

1. Šansa da žena dobije rak dojke je 1/11.

2. Ako poljubite nekoga ko je prehlađen, onda je vjerovatnoća da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.

3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.

Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je jednaka vjerovatnoća da će se pojaviti glava ili rep, možemo izračunati vjerovatnoću ispadanja novčića: 1 / 2. Ovo je teorijska definicija vjerovatnoće. Evo još nekih vjerovatnoća koje su teoretski određene pomoću matematike:

1. Ako je u prostoriji 30 ljudi, vjerovatnoća da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.

2. Tokom putovanja upoznate nekoga i tokom razgovora otkrijete da imate zajedničkog poznanika. Tipična reakcija: "To ne može biti!" Zapravo, ova fraza ne odgovara, jer je vjerovatnoća takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.

Stoga je eksperimentalna vjerovatnoća određena posmatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerovatnoće su određene matematičkim rezoniranjem. Primjeri eksperimentalnih i teoretskih vjerovatnoća, poput onih o kojima je bilo riječi gore, a posebno onih koje ne očekujemo, dovode nas do važnosti proučavanja vjerovatnoće. Možete pitati: "Šta je prava vjerovatnoća?" Zapravo, ne postoji. Eksperimentalno je moguće odrediti vjerovatnoće u određenim granicama. One se mogu ili ne moraju podudarati sa vjerovatnoćama koje dobijamo teoretski. Postoje situacije u kojima je mnogo lakše definirati jednu vrstu vjerovatnoće nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerovatnoću prehlade koristeći teorijsku vjerovatnoću.

Proračun eksperimentalnih vjerovatnoća

Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerovatnoće. Osnovni princip koji koristimo za izračunavanje takvih vjerovatnoća je sljedeći.

Princip P (eksperimentalno)

Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n zapažanja, situacija ili događaj E dogodi m puta u n opservacija, tada se kaže da je eksperimentalna vjerovatnoća događaja P (E) = m/n.

Primjer 1 Sociološko istraživanje. Provedeno je eksperimentalno istraživanje kako bi se utvrdio broj ljevaka, dešnjaka i osoba kod kojih su obje ruke podjednako razvijene, a rezultati su prikazani na grafikonu.

a) Odredite vjerovatnoću da je osoba dešnjak.

b) Odrediti vjerovatnoću da je osoba ljevak.

c) Odredite vjerovatnoću da osoba podjednako tečno rukuje objema rukama.

d) Većina PBA turnira ima 120 igrača. Na osnovu ovog eksperimenta, koliko igrača može biti ljevoruk?

Rješenje

a) Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevaka je 17, a broj onih koji podjednako tečno drže obje ruke je 1. Ukupan broj zapažanja je 100. Dakle, vjerovatnoća da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.

b) Vjerovatnoća da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100 ili 0,17 ili 17%.

c) Vjerovatnoća da osoba podjednako tečno govori obje ruke je P, gdje
P = 1/100 ili 0,01 ili 1%.

d) 120 kuglača i od (b) možemo očekivati ​​17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati ​​oko 20 igrača koji će biti ljevoruki.

Primjer 2 Kontrola kvaliteta . Za proizvođača je veoma važno da kvalitet svojih proizvoda održava na visokom nivou. U stvari, kompanije angažuju inspektore za kontrolu kvaliteta kako bi osigurali ovaj proces. Cilj je izbaciti minimalan mogući broj neispravnih proizvoda. Ali pošto kompanija proizvodi hiljade artikala svaki dan, ne može sebi priuštiti da pregleda svaki artikl kako bi utvrdila da li je neispravan ili ne. Kako bi saznali koji je postotak proizvoda neispravan, kompanija testira mnogo manje proizvoda.
USDA zahtijeva da 80% sjemena koje uzgajivači prodaju klija. Za utvrđivanje kvaliteta sjemena koje poljoprivredno preduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki od proizvedenih. Nakon toga je izračunato da je klijalo 417 sjemenki.

a) Kolika je vjerovatnoća da će sjeme proklijati?

b) Da li sjeme ispunjava vladine standarde?

Rješenje a) Znamo da je od 500 zasađenih sjemenki niknulo 417. Vjerovatnoća klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, odnosno 83,4%.

b) S obzirom da je procenat klijavog sjemena premašio 80% na zahtjev, sjeme zadovoljava državne standarde.

Primjer 3 TV rejting. Prema statistikama, u Sjedinjenim Državama postoji 105.500.000 TV domaćinstava. Svake sedmice se prikupljaju i obrađuju informacije o gledanju programa. U roku od jedne sedmice, 7.815.000 domaćinstava gledalo je CBS-ovu hit humorističku seriju Svi vole Rejmonda, a 8.302.000 domaćinstava gledalo je NBC-jev hit Zakon i red (Izvor: Nielsen Media Research). Kolika je vjerovatnoća da je TV u jednom domu podešen na "Svi vole Rejmonda" tokom date sedmice? na "Zakon i red"?

Rješenje Verovatnoća da je TV u jednom domaćinstvu podešen na "Svi vole Rejmonda" je P, i
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Mogućnost da je kućni TV postavljen na "Zakon i red" je P, i
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ovi procenti se nazivaju rejtingi.

teorijska vjerovatnoća

Pretpostavimo da radimo eksperiment, kao što je bacanje novčića ili strelice, izvlačenje karte iz špila ili testiranje predmeta na montažnoj traci. Svaki mogući ishod takvog eksperimenta naziva se Exodus . Skup svih mogućih ishoda se zove prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.

Primjer 4 Bacanje pikado. Pretpostavimo da u eksperimentu "bacanje strelica" strelica pogodi metu. Pronađite svako od sljedećeg:

b) Prostor ishoda

Rješenje
a) Ishodi su: udaranje crnog (H), udaranje crvenog (K) i udaranje bijelog (B).

b) Postoji prostor za ishod (pogodi crno, pogodi crveno, pogodi belo), koji se može napisati jednostavno kao (B, R, B).

Primjer 5 Bacanje kocke. Kocka je kocka sa šest strana, od kojih svaka ima jednu do šest tačaka.


Pretpostavimo da bacamo kocku. Nađi
a) Ishodi
b) Prostor ishoda

Rješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Prostor ishoda (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Označavamo vjerovatnoću da se događaj E desi kao P(E). Na primjer, "novčić će pasti na rep" može se označiti sa H. Tada je P(H) vjerovatnoća da će novčić pasti na rep. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerovatnoću da će se dogoditi, za njih se kaže da su jednako vjerovatni. Da biste vidjeli razliku između događaja koji su jednako vjerovatni i događaja koji nisu jednako vjerovatni, razmotrite cilj prikazan ispod.

Za metu A, događaji crnog, crvenog i bijelog pogotka su jednako vjerovatni, jer su crni, crveni i bijeli sektori isti. Međutim, za metu B, zone sa ovim bojama nisu iste, odnosno pogoditi ih nije jednako vjerovatno.

Princip P (teorijski)

Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerovatnoća događaj, P(E) je
P(E) = m/n.

Primjer 6 Kolika je vjerovatnoća bacanja 3 bacanjem kocke?

Rješenje Postoji 6 jednako vjerovatnih ishoda na kockici i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerovatnoća P biti P(3) = 1/6.

Primjer 7 Kolika je vjerovatnoća bacanja parnog broja na kockicu?

Rješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednakovjerovatnih ishoda je 6. Tada je vjerovatnoća P(parna) = 3/6, odnosno 1/2.

Koristit ćemo niz primjera koji se odnose na standardni špil od 52 karte. Takav špil se sastoji od karata prikazanih na donjoj slici.

Primjer 8 Kolika je vjerovatnoća da izvučete asa iz dobro promiješanog špila karata?

Rješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), podjednako su vjerovatni (ako je špil dobro pomiješan), a postoje 4 načina da se izvuče as, pa prema P principu vjerovatnoća
P(izvlačenje asa) = 4/52, ili 1/13.

Primjer 9 Pretpostavimo da izaberemo ne gledajući jedan kliker iz vrećice od 3 crvena klikera i 4 zelena klikera. Kolika je vjerovatnoća da odaberete crvenu loptu?

Rješenje Postoji 7 jednako vjerovatnih ishoda da dobijete bilo koju loptu, a pošto je broj načina da se izvuče crvena kuglica 3, dobijamo
P(odabir crvene lopte) = 3/7.

Sljedeće izjave su rezultati P principa.

Svojstva vjerovatnoće

a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako se događaj E mora dogoditi onda je P(E) = 1.
c) Vjerovatnoća da će se dogoditi događaj E je broj između 0 i 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primjer, pri bacanju novčića, slučaj da novčić sleti na njegovu ivicu ima nultu vjerovatnoću. Vjerovatnoća da je novčić ili glava ili rep ima vjerovatnoću 1.

Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila sa 52 karte. Kolika je vjerovatnoća da su obojica pikovi?

Rješenje Broj načina n izvlačenja 2 karte iz dobro izmiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Pošto su 13 od 52 karte pikovi, broj m načina za izvlačenje 2 pika je 13 C 2 . onda,
P (istezanje 2 vrha) = m / n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Kolika je vjerovatnoća da će biti izabrani 1 muškarac i 2 žene?

Rješenje Broj načina da izaberete tri osobe iz grupe od 10 osoba 10 C 3 . Jedan muškarac se može izabrati na 6 C 1 načina, a 2 žene na 4 C 2 načina. Prema osnovnom principu brojanja, broj načina za odabir 1. muškarca i 2 žene je 6 C 1 . 4C2. Tada je vjerovatnoća da će biti izabran 1 muškarac i 2 žene
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerovatnoća baciti ukupno 8 na dvije kocke?

Rješenje Postoji 6 mogućih ishoda na svakoj kocki. Ishodi se udvostručuju, odnosno postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje brojevi na dvije kockice mogu pasti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će vam pomoći da vizualizirate rezultat.)

Parovi brojeva koji imaju zbir do 8 prikazani su na donjoj slici. Postoji 5 mogućih načina da dobijete zbir jednak 8, stoga je vjerovatnoća 5/36.