U ovom članku nudimo primjere matematičkih modela. Pored toga, obratićemo pažnju na faze kreiranja modela i analizirati neke probleme vezane za matematičko modeliranje.

Drugo pitanje koje imamo jesu matematički modeli u ekonomiji, čije ćemo primjere definiciju pogledati malo kasnije. Predlažemo da započnemo naš razgovor sa samim konceptom „modela“, ukratko razmotrimo njihovu klasifikaciju i pređemo na naša glavna pitanja.

Koncept "modela"

Često čujemo riječ “model”. Šta je? Ovaj pojam ima mnogo definicija, evo samo tri od njih:

• specifičan objekat koji je kreiran za primanje i pohranjivanje informacija, koje odražavaju neka svojstva ili karakteristike, itd., originala ovog objekta (ovaj specifični objekt može se izraziti u različitim oblicima: mentalni, opis pomoću znakova i tako dalje);
• Model takođe znači odraz specifične situacije, života ili upravljanja;
• model može biti mala kopija objekta (kreirani su za detaljnije proučavanje i analizu, budući da model odražava strukturu i odnose).

Na osnovu svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućava da detaljno proučavate složeni sistem ili objekt.

Svi modeli se mogu klasifikovati prema nizu karakteristika:

• po oblasti upotrebe (obrazovne, eksperimentalne, naučno-tehničke, igre, simulacije);
• po dinamici (statička i dinamička);
• po grani znanja (fizička, hemijska, geografska, istorijska, sociološka, ​​ekonomska, matematička);
• po načinu prezentacije (materijalno i informativno).

Informacijski modeli se, pak, dijele na simboličke i verbalne. I simbolične - na kompjuterske i neračunarske. Pređimo sada na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.

Matematički model

Kao što možete pretpostaviti, matematički model odražava sve karakteristike objekta ili fenomena koristeći posebne matematičke simbole. Matematika je potrebna da bi modelirala obrasce okolnog svijeta na svom specifičnom jeziku.

Metoda matematičkog modeliranja nastala je prilično davno, prije više hiljada godina, zajedno sa pojavom ove nauke. Međutim, podsticaj razvoju ove metode modeliranja dala je pojava računara (elektronskih računara).

Pređimo sada na klasifikaciju. Može se izvesti i prema nekim znakovima. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.

Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo najnoviju klasifikaciju, jer ona odražava opće obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se kreiraju.

Deskriptivni modeli

U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Da bi sve bilo vrlo jasno, dat će se primjer.

Počnimo s činjenicom da se ovaj pogled može nazvati deskriptivnim. To je zbog činjenice da jednostavno radimo kalkulacije i prognoze, ali ni na koji način ne možemo utjecati na ishod događaja.

Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je proračun putanje leta, brzine i udaljenosti od Zemlje komete koja je napala prostranstva našeg Sunčevog sistema. Ovaj model je deskriptivan, jer nas svi dobijeni rezultati mogu samo upozoriti na bilo kakvu opasnost. Nažalost, ne možemo uticati na ishod događaja. Međutim, na osnovu dobijenih proračuna moguće je poduzeti bilo kakve mjere za očuvanje života na Zemlji.

Optimizacijski modeli

Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu poslužiti kao različite trenutne situacije. U ovom slučaju govorimo o modelima koji pomažu u pronalaženju pravog odgovora pod određenim uvjetima. Definitivno imaju neke parametre. Da bude potpuno jasno, pogledajmo primjer iz poljoprivrednog sektora.

Imamo žitnicu, ali se žito vrlo brzo pokvari. U tom slučaju moramo odabrati prave temperaturne uvjete i optimizirati proces skladištenja.

Dakle, možemo definisati koncept „optimizacionog modela“. U matematičkom smislu, to je sistem jednačina (linearnih i ne), čije rješenje pomaže u pronalaženju optimalnog rješenja u konkretnoj ekonomskoj situaciji. Pogledali smo primjer matematičkog modela (optimizacija), ali želim da dodam: ovaj tip spada u klasu ekstremnih problema, oni pomažu u opisu funkcionisanja ekonomskog sistema.

Napominjemo još jednu nijansu: modeli mogu biti različite prirode (vidi tabelu ispod).

Višekriterijumski modeli

Sada vas pozivamo da malo popričamo o matematičkom modelu višekriterijumske optimizacije. Prije ovoga dali smo primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa prema bilo kojem kriteriju, ali što ako ih ima mnogo?

Upečatljiv primjer višekriterijumskog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i istovremeno ekonomične ishrane za velike grupe ljudi. Ovakvi zadaci se često susreću u vojsci, školskim menzama, letnjim kampovima, bolnicama itd.

Koji su nam kriterijumi dati u ovom zadatku?

1. Ishrana treba da bude zdrava.
2. Troškovi hrane trebaju biti minimalni.

Kao što vidite, ovi ciljevi se uopšte ne poklapaju. To znači da je prilikom rješavanja problema potrebno tražiti optimalno rješenje, balans između dva kriterija.

Modeli igara

Kada se govori o modelima igara, potrebno je razumjeti pojam „teorije igara“. Jednostavno rečeno, ovi modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Samo morate shvatiti da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja specifična pravila.

Sada ćemo dati minimum informacija iz teorije igara koje će vam pomoći da shvatite šta je model igre. Dakle, model nužno sadrži stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igračima.

Svi modeli imaju određene karakteristike.

Model igre može biti uparen ili višestruk. Ako imamo dva subjekta, onda je sukob uparen; Također možete razlikovati antagonističku igru, također se zove igra sa nultom sumom. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od učesnika jednak gubitku drugog.

Simulacijski modeli

U ovom odeljku obratićemo pažnju na simulacione matematičke modele. Primjeri zadataka uključuju:

• model dinamike populacije mikroorganizama;
• model molekularnog kretanja i tako dalje.

U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što je moguće bliži stvarnim procesima. Uglavnom, imitiraju neku manifestaciju u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo simulirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. Istovremeno, možete posmatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju se rijetko koristi matematički opis; češće su prisutni pisani uvjeti:

• nakon pet dana ženka polaže jaja;
• nakon dvadeset dana mrav umire i tako dalje.

Stoga se koriste za opisivanje velikog sistema. Matematički zaključak je obrada dobijenih statističkih podataka.

Zahtjevi

Vrlo je važno znati da ovaj tip modela ima neke zahtjeve, uključujući i one navedene u donjoj tabeli.

Svestranost	Ovo svojstvo vam omogućava da koristite isti model kada opisujete slične grupe objekata. Važno je napomenuti da su univerzalni matematički modeli potpuno nezavisni od fizičke prirode objekta koji se proučava.
Adekvatnost	Ovdje je važno shvatiti da vam ovo svojstvo omogućava da što preciznije reprodukujete stvarne procese. U operativnim zadacima ovo svojstvo matematičkog modeliranja je veoma važno. Primjer modela je proces optimizacije korištenja plinskog sistema. U ovom slučaju se upoređuju izračunati i stvarni pokazatelji, kao rezultat toga, provjerava se ispravnost sastavljenog modela
Preciznost	Ovaj zahtjev podrazumijeva podudarnost vrijednosti koje dobijemo prilikom izračunavanja matematičkog modela i ulaznih parametara našeg stvarnog objekta
Ekonomičan	Zahtjev isplativosti za bilo koji matematički model karakteriziraju troškovi implementacije. Ako s modelom radite ručno, tada morate izračunati koliko će vremena biti potrebno za rješavanje jednog problema pomoću ovog matematičkog modela. Ako govorimo o kompjuterski potpomognutom dizajnu, onda se izračunavaju pokazatelji vremena i troškova memorije računala

Faze modeliranja

Ukupno, matematičko modeliranje se obično dijeli u četiri faze.

1. Formulacija zakona koji povezuju dijelove modela.
2. Proučavanje matematičkih problema.
3. Utvrđivanje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
4. Analiza i modernizacija modela.

Ekonomsko-matematički model

U ovom odjeljku ćemo ukratko istaknuti problem Primjeri zadataka uključuju:

• formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih prerađevina koji osigurava maksimalan proizvodni profit;
• maksimiziranje profita organizacije izračunavanjem optimalne količine stolova i stolica proizvedenih u fabrici namještaja, itd.

Ekonomsko-matematički model prikazuje ekonomsku apstrakciju koja se izražava matematičkim terminima i simbolima.

Računarski matematički model

Primjeri kompjuterskog matematičkog modela su:

• hidraulički problemi pomoću dijagrama toka, dijagrama, tabela, itd.;
• problemi sa mehanikom čvrstog materijala i tako dalje.

Kompjuterski model je slika objekta ili sistema, predstavljena u obliku:

• stolovi;
• blok dijagrami;
• dijagrami;
• grafike i tako dalje.

Štaviše, ovaj model odražava strukturu i međusobne veze sistema.

Izgradnja ekonomsko-matematičkog modela

Već smo govorili o tome šta je ekonomsko-matematički model. Sada ćemo razmotriti primjer rješavanja problema. Moramo analizirati proizvodni program kako bismo identifikovali rezervu za povećanje profita sa pomakom u asortimanu.

Nećemo u potpunosti razmatrati problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterijum našeg zadatka je maksimizacija profita. Tada funkcija ima oblik: A=r1*h1+r2*h2..., teži maksimumu. U ovom modelu, p je profit po jedinici, a x je broj proizvedenih jedinica. Zatim, na osnovu konstruisanog modela, potrebno je izvršiti proračune i sumirati.

Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela

Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:

• 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
• 20% ulova su stanovnici južnih mora;
• Iz lokalne rijeke nije pronađena nijedna riba.

Koliko je ribe kupio u radnji?

Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema izgleda ovako. Ukupan broj riba označavamo sa x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombinujemo sve dostupne informacije i dobijamo matematički model problema: x=0,2x+8. Rješavamo jednačinu i dobivamo odgovor na glavno pitanje: kupio je 10 riba u trgovini.

BILJEŠKE S PREDAVANJA

Prema stopi

"Matematičko modeliranje mašina i transportnih sistema"

Na predmetu se proučavaju pitanja vezana za matematičko modeliranje, oblik i princip predstavljanja matematičkih modela. Razmatraju se numeričke metode za rješavanje jednodimenzionalnih nelinearnih sistema. Obrađena su pitanja kompjuterskog modeliranja i računskog eksperimenta. Razmatraju se metode obrade podataka dobijenih kao rezultat naučnih ili industrijskih eksperimenata; istraživanje različitih procesa, utvrđivanje obrazaca u ponašanju objekata, procesa i sistema. Razmatraju se metode interpolacije i aproksimacije eksperimentalnih podataka. Razmatraju se pitanja vezana za kompjutersko modeliranje i rješavanje nelinearnih dinamičkih sistema. Posebno se razmatraju metode numeričke integracije i rješavanja običnih diferencijalnih jednadžbi prvog, drugog i višeg reda.

Predavanje: Matematičko modeliranje. Oblik i principi predstavljanja matematičkih modela

Na predavanju se razmatraju opšta pitanja matematičkog modeliranja. Data je klasifikacija matematičkih modela.

Kompjuter je čvrsto ušao u naše živote i praktično ne postoji područje ljudske aktivnosti u kojem se računar ne koristi. Računari se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih mašina, novih tehnoloških procesa i traženju njihovih optimalnih opcija; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim nivoima. Stvaranje velikih objekata u raketnoj tehnici, proizvodnji aviona, brodogradnji, kao i projektovanje brana, mostova itd. generalno je nemoguće bez upotrebe kompjutera.

Da bi se kompjuter koristio u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti „preveden“ na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinskog modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se originalni ili modelirajući objekt, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je zamjenski objekt za originalni objekt, koji omogućava proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je da se dobiju, obrađuju, prezentiraju i koriste informacije o objektima koji su u interakciji jedni s drugima i vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za razumijevanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Modeliranje ima široku primenu u različitim oblastima ljudske delatnosti, posebno u oblastima dizajna i menadžmenta, gde su procesi donošenja efektivnih odluka na osnovu dobijenih informacija posebni.

Model se uvijek gradi sa određenom svrhom, koja utiče na to koja su svojstva objektivne pojave značajna, a koja ne. Model je kao projekcija objektivne stvarnosti iz određenog ugla. Ponekad, ovisno o ciljevima, možete dobiti brojne projekcije objektivne stvarnosti koje dolaze u sukob. Ovo je tipično, po pravilu, za složene sisteme u kojima svaka projekcija bira ono što je bitno za određenu svrhu iz skupa nebitnih.

Teorija modeliranja je grana nauke koja proučava načine proučavanja svojstava originalnih objekata na osnovu njihove zamjene drugim modelskim objektima. Teorija modeliranja zasniva se na teoriji sličnosti. Prilikom modeliranja ne dolazi do apsolutne sličnosti, već se samo nastoji osigurati da model dovoljno dobro odražava aspekt funkcioniranja objekta koji se proučava. Apsolutna sličnost može se dogoditi samo kada se jedan objekt zamijeni drugim potpuno istim.

Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:

1. pravi,

2. idealan.

Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. puna skala,

2. fizički,

3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizuelni,

2. kultni,

3. matematički.

Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli su modeli, lutke koje reproduciraju fizička svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički modeli su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski i kombinovani modeli.

U gornjoj klasifikaciji, neki modeli imaju dvostruku interpretaciju (na primjer, analogni). Svi modeli, osim onih u punoj skali, mogu se kombinovati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod ljudskog apstraktnog mišljenja.

Zaustavimo se na jednom od najuniverzalnijih tipova modeliranja - matematičkom, koji simulirani fizički proces povezuje sa sistemom matematičkih odnosa, čije nam rješenje omogućava da dobijemo odgovor na pitanje o ponašanju objekta bez stvaranja fizički model, koji se često pokaže skupim i neefikasnim.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sistema zamjenom istih matematičkim modelom koji je pogodniji za eksperimentalno istraživanje korištenjem kompjutera.

Matematički model je približna reprezentacija stvarnih objekata, procesa ili sistema, izražena matematičkim terminima i koja čuva bitne karakteristike originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, koristeći logičke i matematičke konstrukcije, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

Uopšteno govoreći, matematički model realnog objekta, procesa ili sistema predstavlja se kao sistem funkcionalnosti

F i (X,Y,Z,t)=0,

gdje je X vektor ulaznih varijabli, X= t,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t,

Z - vektor spoljnih uticaja, Z= t,

t - vremenska koordinata.

Izgradnja matematičkog modela sastoji se od utvrđivanja veza između određenih procesa i pojava, stvaranja matematičkog aparata koji omogućava kvantitativno i kvalitativno izražavanje odnosa između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da je nemoguće uvesti cijeli njihov skup u model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela, zadatak istraživanja je da se identifikuju i iz razmatranja izuzmu faktori koji ne utiču značajno na konačni rezultat (matematički model obično uključuje znatno manji broj faktora nego u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora koji se unose u matematički model. Takva veza se često izražava sistemima parcijalnih diferencijalnih jednačina (na primjer, u problemima mehanike čvrstih tijela, tekućina i plinova, teorije filtracije, toplotne provodljivosti, teorije elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate od interesa za specijaliste.

Oblik i principi predstavljanja matematičkog modela zavise od mnogih faktora.

Na osnovu principa konstrukcije, matematički modeli se dijele na:

1. analitički;

2. imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u obliku eksplicitnih funkcionalnih zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

1. jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),

2. aproksimacijski problemi (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija i diferencijacija),

3. problemi optimizacije,

4. stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela pretvara se u nerješiv problem. Tada je istraživač primoran koristiti simulacijsko modeliranje.

U simulacionom modeliranju, funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisuje se skupom algoritama. Algoritmi simuliraju stvarne elementarne pojave koje sačinjavaju proces ili sistem, zadržavajući njihovu logičku strukturu i slijed tokom vremena. Simulaciono modeliranje omogućava, iz izvornih podataka, dobijanje informacija o stanjima procesa ili sistema u određenim vremenskim trenucima, ali je ovde teško predvideti ponašanje objekata, procesa ili sistema. Možemo reći da su simulacijski modeli kompjuterski bazirani računarski eksperimenti sa matematičkim modelima koji imitiraju ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode stvarnih procesa i sistema koji se proučavaju, matematički modeli mogu biti:

1. deterministički,

2. stohastički.

U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih uticaja, elementi modela (varijable, matematičke veze) su prilično precizno uspostavljeni, a ponašanje sistema se može tačno odrediti. Prilikom konstruisanja determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe i matrična algebra.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Na osnovu vrste ulaznih informacija, modeli se dijele na:

1. kontinuirano,

2. diskretno.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematičke veze stabilne, onda je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda je matematički model diskretan.

Na osnovu ponašanja modela tokom vremena, oni se dijele na:

1. statički,

2. dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Na osnovu stepena korespondencije između matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, matematički modeli se dijele na:

1. izomorfna (identična oblika),

2. homomorfni (različiti po obliku).

Model se naziva izomorfnim ako postoji potpuna korespondencija element po element između njega i stvarnog objekta, procesa ili sistema. Homomorfno - ako postoji korespondencija samo između najznačajnijih komponenti objekta i modela.

U budućnosti, da bismo ukratko definisali tip matematičkog modela u gornjoj klasifikaciji, koristićemo sledeću notaciju:

prvo slovo:

D - deterministički,

C - stohastički.

Drugo pismo:

N - kontinuirano,

D - diskretno.

Treće pismo:

A - analitičko,

I – imitacija.

1. Ne postoji (tačnije, ne uzima se u obzir) uticaj slučajnih procesa, tj. deterministički model (D).

2. Informacije i parametri su kontinuirani, tj. model - kontinuirani (N),

3. Funkcionisanje modela koljenastog mehanizma opisano je u obliku nelinearnih transcendentalnih jednačina, tj. model - analitički (A)

2. Predavanje: Osobine konstruisanja matematičkih modela

Predavanje opisuje proces konstruisanja matematičkog modela. Dat je verbalni algoritam procesa.

Da bi se kompjuter koristio u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti „preveden“ na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, koristeći logičke i matematičke konstrukcije, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

Za izradu matematičkog modela potrebno je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;

2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;

3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;

4. opisati zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičko-matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednačine, logičko-matematičke konstrukcije);

5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;

6. identificirati vanjske veze i opisati ih koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i izrade njegovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;

2. provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskih i eksperimenata u punoj mjeri;

3. prilagođavanje modela;

4. korištenje modela.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. priroda realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.

2. potrebna pouzdanost i tačnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sistema.

U fazi izbora matematičkog modela utvrđuju se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sistema, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stepen determinisanosti objekta ili procesa koji se proučava. U matematičkom modeliranju, namjerno se apstrahuje od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sistema i uglavnom se fokusira na proučavanje kvantitativnih zavisnosti između veličina koje opisuju ove procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetu, procesu ili sistemu koji se razmatra. Na osnovu pojednostavljenja i idealizacije, to je približan opis objekta. Stoga su rezultati dobijeni analizom modela približni. Njihova tačnost je određena stepenom adekvatnosti (usklađenosti) između modela i objekta.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija sa objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu radnog stola. Obično se to radi mjerenjem njegove dužine i širine, a zatim množenjem rezultirajućih brojeva. Ovaj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: pravi objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene mjerenjem dužine i širine površine stola dodjeljuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao potrebna površina stola.

Međutim, model pravougaonika za radni sto je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Koristeći ovaj jednostavan primjer, pokazano je da matematički model nije jedinstveno određen objektom, procesom ili sistemom koji se proučava. Za istu tabelu možemo usvojiti ili model pravougaonika, ili složeniji model opšteg četvorougla, ili četvorougao sa zaobljenim uglovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom tačnosti. Sa sve većom preciznošću, model se mora komplikovati, uzimajući u obzir nove i nove karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja koljenastog mehanizma (slika 2.1).

Rice. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je konstruirati njegov kinematički model. Za ovo:

1. Mehanizam zamjenjujemo njegovom kinematičkom dijagramom, gdje su sve karike zamijenjene krutim vezama;

2. Koristeći ovaj dijagram, izvodimo jednačinu kretanja mehanizma;

3. Diferencirajući potonje, dobijamo jednačine brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.

Napišimo ove jednačine:

gdje je C 0 krajnja desna pozicija klizača C:

r – poluprečnik radilice AB;

l – dužina klipnjače BC;

– ugao rotacije poluge;

Rezultirajuće transcendentalne jednadžbe predstavljaju matematički model gibanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma, zasnovan na sljedećim pojednostavljujućim pretpostavkama:

1. nisu nas zanimali strukturni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili ravnim segmentima. Zapravo, sve karike mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složen sklop, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;

2. pri konstruisanju matematičkog modela kretanja mehanizma koji se razmatra, takođe nismo uzeli u obzir elastičnost tela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane apstraktnim apsolutno krutim tijelima. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam kreće, oni će se nekako deformirati, a u njima se mogu čak pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, uticati i na kretanje mehanizma;

3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su zahtjevi za preciznošću rezultata rješavanja problema veći, to je veća potreba da se prilikom konstruiranja matematičkog modela uzmu u obzir karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava. Međutim, važno je stati ovdje na vrijeme, jer se složeni matematički model može pretvoriti u težak problem za rješavanje.

Model se najlakše konstruiše kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva objekta, procesa ili sistema i postoji veliko praktično iskustvo u njihovoj primeni.

Složenija situacija nastaje kada je naše znanje o objektu, procesu ili sistemu koji se proučava nije dovoljno. U ovom slučaju, prilikom konstruisanja matematičkog modela, potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteza, takav model se naziva hipotetičkim. Zaključci dobijeni kao rezultat proučavanja ovakvog hipotetičkog modela su uslovni. Da bi se potvrdili zaključci, potrebno je uporediti rezultate proučavanja modela na računaru sa rezultatima eksperimenta u punoj veličini. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim problemima jedna je od najsloženijih i najvažnijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješavanja problema. Teškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkog i specijalnog znanja. Stoga je veoma važno da matematičari pri rješavanju primijenjenih problema imaju posebna znanja o objektu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svojoj oblasti, poznavanje računara i programiranja.

Predavanje 3. Računarsko modeliranje i računski eksperiment. Rješavanje matematičkih modela

Računarsko modeliranje kao nova metoda naučnog istraživanja zasniva se na:

1. izgradnja matematičkih modela za opisivanje procesa koji se proučavaju;

2. korištenje najnovijih kompjutera velike brzine (milioni operacija u sekundi) i sposobnih za vođenje dijaloga sa osobom.

Suština kompjuterskog modeliranja je sljedeća: na osnovu matematičkog modela izvodi se niz računskih eksperimenata pomoću računara, tj. proučavaju se svojstva objekata ili procesa, pronalaze njihovi optimalni parametri i režimi rada, te se model rafinira. Na primjer, ako imate jednadžbu koja opisuje tok određenog procesa, možete promijeniti njegove koeficijente, početne i granične uslove i proučavati kako će se objekt ponašati. Štaviše, moguće je predvidjeti ponašanje objekta u različitim uvjetima.

Računarski eksperiment vam omogućava da skupi eksperiment punog opsega zamijenite kompjuterskim proračunima. Omogućava da se u kratkom vremenu i bez značajnih materijalnih troškova prouči veliki broj opcija za projektovani objekat ili proces za različite načine njegovog rada, što značajno smanjuje vreme potrebno za razvoj složenih sistema i njihovu implementaciju u proizvodnju. .

Kompjutersko modeliranje i računarski eksperiment kao nova metoda naučnog istraživanja omogućavaju unapređenje matematičkog aparata koji se koristi u konstruisanju matematičkih modela, te omogućava da se matematičkim metodama razjasne i zakomplikuju matematički modeli. Najperspektivnije za izvođenje računskog eksperimenta je njegova upotreba za rješavanje velikih znanstvenih, tehničkih i društveno-ekonomskih problema našeg vremena (projektovanje reaktora za nuklearne elektrane, projektovanje brana i hidroelektrana, magnetohidrodinamičkih pretvarača energije, te u oblasti ekonomije). - izrada balansiranog plana za industriju, regiju, za državu, itd.).

U nekim procesima u kojima je prirodni eksperiment opasan po život i zdravlje ljudi, kompjuterski eksperiment je jedini moguć (termonuklearna fuzija, istraživanje svemira, projektovanje i istraživanje hemijskih i drugih industrija).

Da bi se provjerila adekvatnost matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, rezultati kompjuterskog istraživanja se upoređuju s rezultatima eksperimenta na prototipu modela punog mjerila. Rezultati testa se koriste za prilagođavanje matematičkog modela ili se rešava pitanje primenljivosti konstruisanog matematičkog modela na projektovanje ili proučavanje određenih objekata, procesa ili sistema.

U zaključku, još jednom naglašavamo da kompjutersko modeliranje i računski eksperiment omogućavaju da se proučavanje „nematematičkog“ objekta svede na rješenje matematičkog problema. Ovo otvara mogućnost korištenja dobro razvijenog matematičkog aparata u kombinaciji sa moćnom računarskom tehnologijom za njegovo proučavanje. Ovo je osnova za korištenje matematike i kompjutera za razumijevanje zakona stvarnog svijeta i njihovo korištenje u praksi.

U problemima projektovanja ili proučavanja ponašanja stvarnih objekata, procesa ili sistema, matematički modeli su obično nelinearni, jer moraju odražavati stvarne fizičke nelinearne procese koji se dešavaju u njima. Štaviše, parametri (varijable) ovih procesa su međusobno povezani fizičkim nelinearnim zakonima. Stoga se u problemima projektovanja ili proučavanja ponašanja stvarnih objekata, procesa ili sistema najčešće koriste matematički modeli poput DNK.

Prema klasifikaciji datoj u predavanju 1:

D – model je deterministički odsutan (tačnije, ne uzima se u obzir);

N – kontinuirani model, informacije i parametri su kontinuirani.

A – analitički model, funkcionisanje modela je opisano u obliku jednačina (linearni, nelinearni, sistemi jednačina, diferencijalne i integralne jednačine).

Dakle, izgradili smo matematički model predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra, tj. primijenjeni problem prikazao kao matematički. Nakon toga počinje druga faza rješavanja primijenjenog problema - traženje ili razvoj metode za rješavanje formulisanog matematičkog problema. Metoda mora biti pogodna za implementaciju na računaru i osigurati potreban kvalitet rješenja.

Sve metode za rješavanje matematičkih problema mogu se podijeliti u 2 grupe:

1. tačne metode rješavanja problema;

2. numeričke metode za rješavanje problema.

U egzaktnim metodama za rješavanje matematičkih problema, odgovor se može dobiti u obliku formula.

Na primjer, izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe:

ili, na primjer, izračunavanje derivacijskih funkcija:

ili izračunavanje određenog integrala:

Međutim, zamjenom brojeva u formulu kao konačnih decimalnih razlomaka, i dalje dobivamo približne vrijednosti rezultata.

Za većinu problema koji se susreću u praksi, tačne metode rješenja su ili nepoznate ili pružaju vrlo glomazne formule. Međutim, oni nisu uvijek neophodni. Primijenjeni problem se može smatrati praktično riješenim ako smo u mogućnosti da ga riješimo sa potrebnim stepenom tačnosti.

Za rješavanje takvih problema razvijene su numeričke metode u kojima se rješavanje složenih matematičkih problema svodi na sekvencijalno izvršavanje velikog broja jednostavnih aritmetičkih operacija. Direktan razvoj numeričkih metoda pripada računarskoj matematici.

Primjer numeričke metode je metoda pravokutnika za približnu integraciju, koja ne zahtijeva izračunavanje antiderivata za integrand. Umjesto integrala, izračunava se konačni kvadraturni zbir:

x 1 =a – donja granica integracije;

x n+1 =b – gornja granica integracije;

n – broj segmenata na koje je podijeljen integracijski interval (a,b);

– dužina elementarnog segmenta;

f(x i) – vrijednost integranda na krajevima elementarnih segmenata integracije.

Što je veći broj segmenata n na koje je podijeljen interval integracije, približno rješenje je bliže pravom, tj. što je rezultat tačniji.

Dakle, u primijenjenim zadacima, kako kada se koriste metode egzaktnog rješenja, tako i kada se koriste metode numeričkog rješenja, rezultati proračuna su približni. Važno je samo osigurati da se greške uklapaju u potrebnu tačnost.

Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema bile su poznate već dugo, čak i prije pojave računara, ali su se rijetko koristile i to samo u relativno jednostavnim slučajevima zbog izuzetne složenosti proračuna. Široka upotreba numeričkih metoda postala je moguća zahvaljujući kompjuterima.

vektor ulaznih varijabli, X= t,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y=t,

Z je vektor vanjskih utjecaja, Z=t,

t - vremenska koordinata.

Izgradnja matematički model sastoji se u utvrđivanju veza između određenih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućava kvantitativno i kvalitativno izražavanje veze između pojedinih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da je nemoguće uvesti cijeli njihov skup u model. Prilikom izgradnje matematički model Prije studije postavlja se zadatak identificirati i isključiti iz razmatranja faktore koji ne utiču bitno na konačni rezultat ( matematički model obično uključuje znatno manji broj faktora nego u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora koji se unose u matematički model. Takva veza se često izražava sistemima diferencijala parcijalne diferencijalne jednadžbe(na primjer, u problemima mehanike čvrstih tijela, tekućina i plinova, teorije filtracije, toplotne provodljivosti, teorije elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate od interesa za specijaliste.

Forma i principi prezentacije matematički model zavisi od mnogo faktora.

Po principima gradnje matematički modeli podijeljen u:

1. analitički;
2. imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u formi eksplicitnog funkcionalne zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

1. jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),
2. problemi aproksimacije (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija I diferencijaciju),
3. problemi optimizacije,
4. stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela pretvara se u nerješiv problem. Tada je istraživač primoran da koristi simulacija.

IN simulacijsko modeliranje funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisano je skupom algoritama. Algoritmi simuliraju stvarne elementarne pojave koje čine proces ili sistem dok ih čuvaju logička struktura i redosled dešavanja tokom vremena. Simulacijsko modeliranje omogućava vam da dobijete informacije o izvornim podacima stanja procesa ili sistema u određenim vremenskim momentima, ali je ovde teško predvideti ponašanje objekata, procesa ili sistema. Može se reći da simulacijski modeli- izvode se na računaru kompjuterski eksperimenti With matematički modeli, simulirajući ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode stvarnih procesa i sistema koji se proučavaju matematički modeli može biti:

1. deterministički,
2. stohastički.

U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih uticaja, elementi modela (varijable, matematičke veze) su prilično precizno uspostavljeni, a ponašanje sistema se može tačno odrediti. Prilikom konstruisanja determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe i matrična algebra.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Na osnovu vrste ulaznih informacija, modeli se dijele na:

1. kontinuirano,
2. diskretno.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematičke veze stabilne, onda je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda matematički model- diskretno.

Na osnovu ponašanja modela tokom vremena, oni se dijele na:

1. statično,
2. dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Prema stepenu korespondencije između

Šta je matematički model?

Koncept matematičkog modela.

Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I veoma važno. Matematički modeli su ti koji povezuju matematiku i stvarni život.

jednostavnim riječima, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. To je sve. Model može biti primitivan, ili može biti super složen. Kakva god da je situacija, takav je model.)

U bilo kom (ponavljam - u bilo kom!) u slučaju kada treba nešto prebrojati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako ne sumnjamo.)

P = 2 CB + 3 CM

Ovaj unos će biti matematički model troškova naših kupovina. Model ne uzima u obzir boju pakovanja, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije stvarna kupovina. Ali troškovi, tj. šta nam treba- Saznaćemo sigurno. Naravno, ako je model ispravan.

Korisno je zamisliti šta je matematički model, ali to nije dovoljno. Najvažnije je da budete u mogućnosti da napravite ove modele.

Izrada (konstrukcija) matematičkog modela problema.

Stvoriti matematički model znači prevesti uslove problema u matematički oblik. One. pretvoriti riječi u jednačinu, formulu, nejednakost itd. Štaviše, transformirajte ga tako da ova matematika striktno odgovara izvornom tekstu. U suprotnom, na kraju ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)

Tačnije, trebate

Na svijetu postoji beskrajan broj zadataka. Stoga ponudite jasne upute korak po korak za izradu matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.

Ali postoje tri glavne tačke na koje morate obratiti pažnju.

1. Bilo koji problem sadrži tekst, što je čudno.) Ovaj tekst, po pravilu, sadrži eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.

2. Bilo koji problem ima skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja dodatno znanje u vašoj glavi. Nema šanse bez njih. Osim toga, matematičke informacije su često skrivene iza jednostavnih riječi i... izmiču pažnji.

3. Svaki zadatak se mora dati međusobno povezivanje podataka. Ova veza može biti data u običnom tekstu (nešto je jednako nečemu), ili može biti skrivena iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice se često zanemaruju. A model nije sastavljen ni na koji način.

Odmah ću reći: da biste primijenili ove tri tačke, morate pročitati problem (i pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.

A sada - primjeri.

Počnimo s jednostavnim problemom:

Petrović se vratio sa pecanja i ponosno predstavio svoj ulov porodici. Pažljivijim ispitivanjem ispostavilo se da je 8 riba došlo iz sjevernih mora, 20% svih riba je došlo iz južnih mora, a nijedna nije došla iz lokalne rijeke u kojoj je Petrović lovio. Koliko ribe je Petrović kupio u prodavnici morskih plodova?

Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednačine. Da biste to uradili trebate, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka u problemu.

Gdje početi? Prvo, izdvojimo sve podatke iz zadatka. Počnimo redom:

Obratimo pažnju na prvu tačku.

Koji je ovde? eksplicitno matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali nam ne treba puno.)

Obratimo pažnju na drugu tačku.

Tražite skriveno informacije. Ovdje je. ovo su riječi: „20% sve ribe Ovdje morate razumjeti Šta su kamate i kako se obračunavaju? U suprotnom, problem se ne može riješiti. Upravo to je dodatna informacija koja bi trebala biti u vašoj glavi.

Postoji također matematički informacije koje su potpuno nevidljive. Ovo pitanje zadatka: "Koliko sam ribe kupio..." Ovo je takođe broj. A bez toga se neće formirati nijedan model. Stoga, označimo ovaj broj slovom "X". Još ne znamo čemu je x jednako, ali ova oznaka će nam biti vrlo korisna. Više detalja o tome šta treba poduzeti za X i kako se nositi s tim napisano je u lekciji Kako rješavati zadatke iz matematike? Zapišimo to odmah:

x komada - ukupan broj riba.

U našem problemu južne ribe su date u procentima. Moramo ih pretvoriti u komade. Za što? Šta onda unutra bilo koji problem modela mora biti nacrtan u istoj vrsti količina. Komadi - tako da je sve u komadima. Ako se daju, recimo, sati i minute, sve prevodimo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije bitno šta je. Važno je da sve vrijednosti su bile istog tipa.

Vratimo se na otkrivanje informacija. Ko ne zna šta je procenat nikad neće otkriti, da... A ko zna, odmah će reći da su ovdje dati procenti od ukupnog broja riba. A ovaj broj ne znamo. Ništa neće raditi!

Nije uzalud ukupan broj ribe (u komadima!) "X" određen. Neće se moći izbrojati broj južnjačkih riba, ali možemo ih zapisati? Volim ovo:

0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.

Sada smo preuzeli sve informacije iz zadatka. I očigledne i skrivene.

Obratimo pažnju na treću tačku.

Tražite matematička veza između podataka zadatka. Ova veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primjećuju... Ovo se često dešava. Ovdje je korisno jednostavno zapisati prikupljene podatke na hrpu i vidjeti šta je šta.

šta imamo? Jedi 8 komada sjeverne ribe, 0,2 x komada- južna riba i x riba- ukupan iznos. Da li je moguće nekako povezati ove podatke? Yes Easy! Ukupan broj riba jednaki zbir južnog i severnog! Pa ko bi rekao...) Pa zapisujemo:

x = 8 + 0,2x

Ovo je jednadžba matematički model našeg problema.

Imajte na umu da u ovom problemu Od nas se ne traži ništa da preklopimo! Mi smo sami, van glave, shvatili da će nam zbir južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očigledna da ostaje neprimećena. Ali bez ovog dokaza, matematički model se ne može stvoriti. Volim ovo.

Sada možete koristiti punu snagu matematike da riješite ovu jednačinu). Upravo zbog toga je sastavljen matematički model. Hajde da to rešimo linearna jednačina i dobijamo odgovor.

odgovor: x=10

Hajde da napravimo matematički model drugog problema:

Pitali su Petrovića: "Imaš li puno novca?" Petrović je počeo da plače i odgovorio: „Da, samo malo ako potrošim polovinu novca, a polovinu ostatka, ostaće mi samo jedna vreća novca...“ Koliko novca ima?

Opet radimo tačku po tačku.

1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Ima još nekih polovina... Pa, to ćemo pogledati u drugoj tački.

2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Šta? Nije baš jasno. Tražimo dalje. Postoji još jedno pitanje za zadatak: "Koliko novca ima Petrović?" Označimo iznos novca slovom "X":

X- sav novac

I ponovo čitamo problem. Već znam da je Petrović X novac. Ovdje će polovice raditi! Zapisujemo:

0,5 x- pola novca.

Ostatak će također biti polovina, tj. 0,5 x. A pola pola se može napisati ovako:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovina ostatka.

Sada su sve skrivene informacije otkrivene i snimljene.

3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičevu patnju i zapisati je matematički):

Ako potrošim pola novca...

Snimimo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Fraza se pretvara u snimak:

x - 0,5 x

da pola ostalo...

Oduzmimo drugu polovinu ostatka:

x - 0,5 x - 0,25x

onda će mi ostati samo jedna vreća novca...

I tu smo našli jednakost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Evo ga, matematički model! Opet je linearna jednačina, riješimo, dobijemo:

Pitanje za razmatranje. Šta je četiri? Rublja, dolar, juan? A u kojim jedinicama je novac napisan u našem matematičkom modelu? U vrećama! To znači četiri torba novac od Petroviča. Dobro, također.)

Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila suština izrade matematičkog modela. Neki zadaci mogu sadržavati mnogo više podataka u kojima se može lako izgubiti. To se često dešava u tzv. zadaci kompetencije. Kako izdvojiti matematički sadržaj iz gomile riječi i brojeva prikazano je na primjerima

Još jedna napomena. U klasičnim školskim problemima (cijevi pune bazen, čamci koji negdje plutaju, itd.), svi podaci se po pravilu biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- ima dovoljno informacija u problemu da ga se riješi,
- U problemu nema nepotrebnih informacija.

Ovo je nagoveštaj. Ako je neka vrijednost ostala neiskorištena u matematičkom modelu, razmislite da li postoji greška. Ako nema dovoljno podataka, najvjerovatnije nisu sve skrivene informacije identificirane i zabilježene.

U poslovima vezanim za kompetencije i drugim životnim zadacima ova pravila se ne poštuju striktno. Nema pojma. Ali i takvi problemi se mogu riješiti. Ako, naravno, vježbate na klasičnim.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.