Definicija 1. Kaže se da je u nekom iskustvu događaj ALI povlači za sobom nakon čega slijedi nastanak događaja AT ako se događaj desi ALI događaj dolazi AT. Oznaka ove definicije ALI Ì AT. Što se tiče elementarnih događaja, to znači da svaki elementarni događaj uključen u ALI, također je uključen u AT.

Definicija 2. Događaji ALI i AT nazivaju se jednaki ili ekvivalentni (označeni ALI= AT), ako ALI Ì AT i ATÌ A, tj. ALI i AT sastoje se od istih elementarnih događaja.

Vjerodostojan događaj je predstavljen skupom Ω koji obuhvata, a nemoguć događaj je prazan podskup Æ u njemu. Nedosljednost događaja ALI i AT znači da odgovarajući podskupovi ALI i AT ne seku: ALI∩AT = Æ.

Definicija 3. Zbir dva događaja A i AT(označeno OD= ALI + AT) se naziva događaj OD, koji se sastoji od početak najmanje jedan od događaja ALI ili AT(veznik "ili" za iznos je ključna riječ), tj. dolazi ili ALI, ili AT, ili ALI i AT zajedno.

Primjer. Neka dva strijelca istovremeno pucaju u metu i događaj ALI sastoji se u tome da 1. strijelac pogađa metu, i događaj B- da drugi strijelac pogodi metu. Događaj A+ B znači da je meta pogođena, ili, drugim riječima, da je barem jedan od strijelaca (1. strijelac ili 2. strijelac, ili oba strijelca) pogodio metu.

Slično, zbir konačnog broja događaja ALI 1 , ALI 2 , …, ALI n (označeno ALI= ALI 1 + ALI 2 + … + ALI n) događaj je pozvan ALI, koji se sastoji od pojava najmanje jednog od događaja ALI ja ( i = 1, … , n), ili proizvoljan skup ALI ja ( i = 1, 2, … , n).

Primjer. Zbir događaja A, B, C je događaj koji se sastoji od pojave jednog od sljedećih događaja: ALI, B, C, ALI i AT, ALI i OD, AT i OD, ALI i AT i OD, ALI ili AT, ALI ili OD, AT ili OD,ALI ili AT ili OD.

Definicija 4. Proizvod dva događaja ALI i AT zove događaj OD(označeno OD = A ∙ B), koji se sastoji u činjenici da se kao rezultat testa dogodio i događaj ALI, i događaj AT istovremeno. (Veznik "i" za proizvodnju događaja je ključna riječ.)

Slično kao proizvod konačnog broja događaja ALI 1 , ALI 2 , …, ALI n (označeno ALI = ALI 1 ∙ALI 2 ∙…∙ ALI n) događaj je pozvan ALI, koji se sastoji u činjenici da su se kao rezultat testa dogodili svi navedeni događaji.

Primjer. Ako događaji ALI, AT, OD je pojava "grba" u prvom, drugom i trećem ogledu, respektivno, zatim događaj ALI× AT× OD postoji ispadanje "grba" u sva tri suđenja.

Napomena 1. Za nekompatibilne događaje ALI i AT pravedna jednakost A ∙ B= Æ, gdje je Æ nemoguć događaj.

Napomena 2. Događaji ALI 1 , ALI 2, … , ALI n formiraju kompletnu grupu parno nekompatibilnih događaja ako .

Definicija 5. suprotnih događaja nazivaju se dva jedinstveno moguća nekompatibilna događaja koji čine kompletnu grupu. Događaj suprotan događaju ALI, je naznačeno. Događaj suprotan događaju ALI, je dodatak događaju ALI na skup Ω.

Za suprotne događaje, dva uslova su istovremeno zadovoljena A ∙= Æ i A+= Ω.

Definicija 6. razlika događaji ALI i AT(označeno ALI– AT) se naziva događaj koji se sastoji u činjenici da je događaj ALI doći će i događaj AT - ne i jednako je ALI– AT= ALI× .

Imajte na umu da događaji A + B, A ∙ B, , A - B zgodno je grafički interpretirati koristeći Euler-Venn dijagrame (slika 1.1).

Rice. 1.1. Operacije nad događajima: negacija, zbir, proizvod i razlika

Formulirajmo primjer na sljedeći način: neka iskustvo G sastoji se u nasumičnom ispaljivanju preko područja Ω, čije su tačke elementarni događaji ω. Neka je pogodak u regiju Ω određeni događaj Ω, a pogodak u regiju ALI i AT- prema događajima ALI i AT. Zatim događaji A+B(ili ALIÈ AT– svjetlo područje na slici), A ∙ B(ili ALIÇ AT - prostor u centru) A - B(ili ALI\AT - lagane poddomene) odgovaraće četiri slike na sl. 1.1. U uslovima prethodnog primera sa dva strelca koji gađaju metu, proizvod događaja ALI i AT bit će događaj C = AÇ AT, koji se sastoji u pogađanju mete s obje strijele.

Napomena 3. Ako su operacije nad događajima predstavljene kao operacije nad skupovima, a događaji su predstavljeni kao podskupovi nekog skupa Ω, tada je zbir događaja A+B match union ALIÈ AT ovi podskupovi, već proizvod događaja A ∙ B- raskrsnica ALI∩AT ove podskupove.

Stoga se operacije nad događajima mogu preslikati na operacije nad skupovima. Ova korespondencija je data u tabeli. 1.1

Tabela 1.1

Notacija	Jezik teorije vjerovatnoće	Jezik teorije skupova
	Space element. događaji	Univerzalni set
	elementarni događaj	Element iz univerzalnog seta
	slučajni događaj	Podskup elemenata ω iz Ω
	Vjerodostojan događaj	Skup svih ω
	Nemoguć događaj	Prazan set
ALIÌ V	ALI povlači za sobom AT	ALI- podset AT
A+B(ALIÈ AT)	Zbir događaja ALI i AT	Unija skupova ALI i AT
ALI× V(ALIÇ AT)	Produkcija događaja ALI i AT	Raskrsnica mnogih ALI i AT
A - B(ALI\AT)	Event Difference	Postavite razliku

Akcije na događajima imaju sljedeća svojstva:

A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(pomak);

(A+B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A + C) × ( B + C) (distributivni);

(A+B) + OD = ALI + (B + C), (A ∙ B) ∙ OD= ALI ∙ (B ∙ C) (asocijativno);

A + A = A, A ∙ A = A;

ALI + Ω = Ω, ALI∙ Ω = ALI;

Zajednički i ne-zajednički događaji.

Dva događaja se zovu joint u datom eksperimentu, ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Primjeri : pogoditi neuništivu metu s dvije različite strele, bacajući isti broj na dvije kocke.

Dva događaja se zovu nekompatibilno(nekompatibilno) u datom ispitivanju ako se ne mogu pojaviti zajedno u istom ispitivanju. Za nekoliko događaja se kaže da su nekompatibilni ako su parovi nekompatibilni. Primjeri nespojivih događaja: a) pogodak i promašaj jednim udarcem; b) dio je nasumično izvučen iz kutije sa dijelovima - događaji “uklonjen standardni dio” i “uklonjen nestandardni dio”; c) propast kompanije i njene dobiti.

Drugim riječima, događaji ALI i AT su kompatibilni ako su odgovarajući skupovi ALI i AT imaju zajedničke elemente i nekonzistentni su ako su odgovarajući skupovi ALI i AT nemaju zajedničke elemente.

Prilikom određivanja vjerovatnoća događaja, koncept se često koristi podjednako moguće događaji. Nekoliko događaja u datom eksperimentu naziva se jednako vjerojatnim ako, prema uvjetima simetrije, postoji razlog za vjerovanje da nijedan od njih nije objektivno mogući od drugih (ispadanje iz grba i repa, pojava karte bilo koje odijelo, biranje lopte iz urne, itd.)

Uz svako ispitivanje je povezan niz događaja koji se, općenito govoreći, mogu dogoditi istovremeno. Na primjer, kada se baca kocka, događaj je dvojka, a događaj je paran broj bodova. Očigledno, ovi događaji se međusobno ne isključuju.

Neka se svi mogući rezultati testa provedu u nizu jedinih mogućih posebnih slučajeva koji se međusobno isključuju. Onda

ü svaki ishod testa predstavlja jedan i samo jedan elementarni događaj;

ü svaki događaj povezan sa ovim testom je skup konačnog ili beskonačnog broja elementarnih događaja;

ü događaj se dešava ako i samo ako se realizuje jedan od elementarnih događaja koji su uključeni u ovaj skup.

Proizvoljan, ali fiksni prostor elementarnih događaja može se predstaviti kao neko područje na ravni. U ovom slučaju, elementarni događaji su tačke ravni koje leže unutar . Budući da je događaj identificiran skupom, sve operacije koje se mogu izvesti nad skupovima mogu se izvesti nad događajima. Po analogiji sa teorijom skupova, konstruiše se algebra događaja. U ovom slučaju se mogu definirati sljedeće operacije i odnosi između događaja:

AÌ B(set relacija uključivanja: set ALI je podskup skupa AT) – događaj A vodi do događaja B. Drugim riječima, događaj AT javlja se kad god se dogodi neki događaj A. Primjer - Izbacivanje dvojke povlači za sobom paran broj bodova.

(odnos ekvivalencije skupa) – događaj identično ili ekvivalentno događaj . Ovo je moguće ako i samo ako i istovremeno, tj. svaka se javlja kad god se pojavi druga. Primjer - događaj A - kvar uređaja, događaj B - kvar barem jednog od blokova (dijelova) uređaja.

() – zbroj događaja. Ovo je događaj koji se sastoji u činjenici da se dogodio barem jedan od dva događaja ili (logično "ili"). U opštem slučaju, zbir nekoliko događaja se shvata kao događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja. Primjer - cilj je pogođen prvim, drugim ili oba istovremeno.

() – proizvod događaja. Ovo je događaj koji se sastoji u zajedničkoj implementaciji događaja i (logično "i"). U opštem slučaju, proizvod više događaja se shvata kao događaj koji se sastoji u istovremenoj implementaciji svih ovih događaja. Dakle, događaji i su nekompatibilni ako je njihov proizvod nemoguć događaj, tj. . Primjer - događaj A - vađenje karte dijamantske boje iz špila, događaj B - vađenje asa, zatim - pojava dijamantskog asa nije nastupila.

Geometrijska interpretacija operacija nad događajima je često korisna. Grafička ilustracija operacija naziva se Venov dijagram.

Pravilo sabiranja- ako se element A može izabrati na n načina, a element B na m načina, onda se A ili B može izabrati na n + m načina.

^ pravilo množenja - ako se element A može izabrati na n načina, a za bilo koji izbor A, element B se može izabrati na m načina, tada se par (A, B) može izabrati na n m načina.

Permutacija. Permutacija skupa elemenata je raspored elemenata u određenom redoslijedu. Dakle, sve različite permutacije skupa od tri elementa su

Broj svih permutacija elemenata je označen sa . Stoga se broj svih različitih permutacija izračunava po formuli

Smještaj. Broj položaja skupa elemenata po elementima jednak je

^ Postavljanje sa ponavljanjem. Ako postoji skup od n tipova elemenata i trebate postaviti element nekog tipa na svako od m mjesta (tipovi elemenata se mogu podudarati na različitim mjestima), tada će broj opcija za to biti n m .

^ Kombinacija. Definicija. Kombinacije iz raznih elemenata premaelementi se nazivaju kombinacijama koje se sastoje od podataka elementi po elemenata i razlikuju se za najmanje jedan element (drugim riječima,-elementni podskupovi datog skupa iz elementi). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>

1. 
   Prostor elementarnih događaja. Slučajni događaj. Pouzdan događaj. Nemoguć događaj.

Prostor elementarnih dešavanja - bilo koji skup međusobno isključivih ishoda eksperimenta, tako da se svaki rezultat koji nas zanima može jedinstveno opisati korištenjem elemenata ovog skupa. Događa se konačno i beskonačno (prebrojivo i nebrojivo)

slučajni događaj - bilo koji podskup prostora elementarnih događaja.

^ Vjerodostojan događaj - će se sigurno dogoditi kao rezultat eksperimenta.

Nemoguć događaj - neće nastati kao rezultat eksperimenta.

1. 
   Akcije na događaje: zbir, proizvod i razlika događaja. suprotan događaj. Zajednički i ne-zajednički događaji. Kompletna grupa događaja.

Zajednički događaji - ako se mogu pojaviti istovremeno kao rezultat eksperimenta.

^ Nekompatibilni događaji - ako se ne mogu pojaviti istovremeno kao rezultat eksperimenta. Rečeno je da se formira nekoliko nepovezanih događaja kompletna grupa događaja, ako se jedan od njih pojavi kao rezultat eksperimenta.

Ako se prvi događaj sastoji od svih elementarnih ishoda, osim onih koji su uključeni u drugi događaj, onda se takvi događaji nazivaju suprotno.

Zbir dva događaja A i B je događaj koji se sastoji od elementarnih događaja koji pripadaju najmanje jednom od događaja A ili B. ^ Proizvod dva događaja A i B događaj koji se sastoji od elementarnih događaja koji istovremeno pripadaju A i B. Razlika između A i B je događaj koji se sastoji od elemenata A koji ne pripadaju događaju B.

1. 
   Klasične, statističke i geometrijske definicije vjerovatnoće. Osnovna svojstva vjerovatnoće događaja.

Klasična shema: P(A)=, n je broj mogućih ishoda, m je broj ishoda koji favorizuju događaj A. statistička definicija: W(A)=, n je broj izvedenih eksperimenata, m je broj izvedenih eksperimenata u kojima se pojavio događaj A. Geometrijska definicija: P(A)= , g – dio slike G.

^ Osnovna svojstva vjerovatnoće: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Verovatnoća određenog događaja je 1, 3) Verovatnoća nemogućeg događaja je 0.

1. 
   Teorema sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja i posljedica iz nje.

P(A+B) = P(A)+P(B).Posljedica 1. P (A 1 + A 2 + ... + A k) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A k), A 1, A 2, ..., A k - su parno nekompatibilni. Posljedica 2 . P(A)+P(Ᾱ) = 1. Zaključak 3 . Zbir vjerovatnoća događaja koji formiraju kompletnu grupu je 1.

1. 
   Uslovna verovatnoća. nezavisnih događaja. Množenje vjerovatnoće zavisnih i nezavisnih događaja.

Uslovna vjerovatnoća - P(B), izračunava se pod pretpostavkom da se događaj A već dogodio. A i B su nezavisni ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog.

^ Množenje vjerovatnoća: Za ovisnike. Teorema. P (A ∙ B) \u003d P (A) ∙ P A (B). Komentar. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Posljedica. P (A 1 ∙ ... ∙ A k) \u003d P (A 1) ∙ P A1 (A 2) ∙ ... ∙ P A1-Ak-1 (A k). Za nezavisne. P(A∙B) = P(A)∙P(B).

1. 
   ^Tteorema za sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja. Teorema . Vjerovatnoća pojave barem jednog od dva zajednička događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog nastupa

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A∙B)

1. 
   Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesove formule.

Formula ukupne vjerovatnoće

H 1, H 2 ... H n - formiraju kompletnu grupu - hipoteze.

Događaj A može se dogoditi samo ako se pojavi H 1, H 2 ... H n,

Zatim P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)

^ Bayesova formula

Neka su H 1, H 2 ... H n hipoteze, događaj A se može dogoditi pod jednom od hipoteza

P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)

Pretpostavimo da se dogodio događaj A.

Kako se promijenila vjerovatnoća H 1 zbog činjenice da se A dogodilo? One. R A (H 1)

R (A * H 1) \u003d R (A) * R A (H 1) \u003d R (H 1) * R n1 (A) => R A (H 1) = (P (H 1) * R n1 (A))/ P(A)

H 2 , H 3 ... H n su definisani slično

Opšti oblik:

R A (N i)= (R (N i)* R n i (A))/ R (A) , gdje je i=1,2,3…n.

Formule vam omogućavaju da precijenite vjerovatnoće hipoteza kao rezultat toga kako rezultat testa postaje poznat, zbog čega se pojavio događaj A.

"Prije" testa - apriorne vjerovatnoće - P (N 1), P (N 2) ... P (N n)

"Nakon" testa - a posteriori vjerovatnoće - R A (H 1), R A (H 2) ... R A (H n)

Posteriorne vjerovatnoće, kao i prethodne vjerovatnoće, imaju zbir do 1.
9. Formule Bernoullija i Poissona.

Bernulijeva formula

Neka postoji n pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi ili ne mora. Ako je vjerovatnoća događaja A u svakom od ovih pokušaja konstantna, onda su ta ispitivanja neovisna u odnosu na A.

Razmotrimo n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih se A može dogoditi sa vjerovatnoćom p. Takav niz testova naziva se Bernoullijeva šema.

Teorema: vjerovatnoća da će se u n pokušaja događaj A dogoditi tačno m puta jednaka je: P n (m)=C n m *p m *q n - m

Broj m 0 - pojava događaja A naziva se najvjerovatnijim ako odgovarajuća vjerovatnoća P n (m 0) nije manja od ostalih P n (m)

P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m

Za pronalaženje m 0 koristite:

np-q≤ m 0 ≤np+q

^ Poissonova formula

Razmotrite Bernoullijev test:

n je broj pokušaja, p je vjerovatnoća uspjeha

Neka je p mali (p→0) i n veliko (n→∞)

prosječan broj pojavljivanja uspjeha u n pokušaja

λ=n*p → p= λ stavljamo u Bernoullijevu formulu:

P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →

→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)

Ako je p≤0,1 i λ=n*p≤10, onda formula daje dobre rezultate.
10. Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea.

Neka je n broj pokušaja, p vjerovatnoća uspjeha, n je veliko i teži beskonačnosti. (n->∞)

^ Lokalna teorema

R n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , gdje je f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2

Ako npq≥ 20 - daje dobre rezultate, x=(m-np)/(npg)^ 1/2

^ Integral teorema

P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),

gdje je ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt Laplaceova funkcija

x 1 = (a-np) / (npq) ^ 1/2, x 2 \u003d (b-np) / (npq) ^ 1/2

Svojstva Laplaceove funkcije

1. 
   ȹ(x) – neparna funkcija: ȹ(-x)=- ȹ(x)
2. 
   ȹ(x) – monotono raste
3. 
   vrijednosti ȹ(x) (-0,5;0,5), i lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5

Posljedice

1. 
   P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
2. 
   P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), gdje je z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p) )/(pq/n)^ 1/2
3. 
   P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)

m/n relativna učestalost pojavljivanja uspjeha u ispitivanjima

11. Slučajna vrijednost. Vrste slučajnih varijabli. Metode za postavljanje slučajne varijable.

SW je funkcija definirana na skupu elementarnih događaja.

X,Y,Z je NE, a njegova vrijednost je x,y,z

Slučajno oni nazivaju vrijednost koja će, kao rezultat testova, uzeti jednu i samo jednu moguću vrijednost, nepoznatu unaprijed i ovisno o slučajnim uzrocima koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir.

SW diskretno, ako je skup njegovih vrijednosti konačan ili prebrojan (mogu se numerisati). On poprima odvojene, izolovane moguće vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama. Broj mogućih vrijednosti diskretne CV može biti konačan ili beskonačan.

SW kontinuirano, ako uzima sve moguće vrijednosti iz nekog intervala (na cijeloj osi). Njegove vrijednosti mogu se vrlo malo razlikovati.

^ Diskretni zakon distribucije SW m.b. dato:

1.table

X	x 1	x 2	…	x n
P(X)	p 1	p 2	…	p n

(raspon distribucije)

X \u003d x 1) nisu kompatibilni

p 1 + p 2 +… p n =1= ∑p i

2.grafički

Poligon raspodjele vjerovatnoće

3.analitički

P=P(X)
12. Funkcija distribucije slučajne varijable. Osnovna svojstva funkcije distribucije.

Funkcija distribucije CV X je funkcija F(X) koja određuje vjerovatnoću da će CV X poprimiti vrijednost manju od x, tj.

x x = kumulativna funkcija distribucije

Kontinuirani SW ima kontinuiranu funkciju koja se može diferencirati po komadima.

Cilj: upoznati učenike sa pravilima sabiranja i množenja vjerovatnoća, pojmom suprotnih događaja na Ojlerovim krugovima.

Teorija vjerovatnoće je matematička nauka koja proučava pravilnosti slučajnih pojava.

slučajni fenomen- ovo je fenomen koji se, uz opetovanu reprodukciju istog iskustva, svaki put odvija na malo drugačiji način.

Evo primjera slučajnih događaja: kockice se bacaju, novčić se baca, meta se ispaljuje itd.

Svi navedeni primjeri mogu se posmatrati sa iste tačke gledišta: slučajne varijacije, nejednaki rezultati serije eksperimenata, čiji osnovni uvjeti ostaju nepromijenjeni.

Sasvim je očito da u prirodi ne postoji niti jedna fizička pojava u kojoj elementi slučajnosti ne bi bili prisutni u ovoj ili onoj mjeri. Bez obzira na to koliko su precizno i ​​detaljno fiksirani uvjeti eksperimenta, nemoguće je osigurati da se pri ponavljanju eksperimenta rezultati potpuno i tačno poklapaju.

Slučajna odstupanja neminovno prate svaki prirodni fenomen. Ipak, u nizu praktičnih problema ovi slučajni elementi se mogu zanemariti, uzimajući u obzir umjesto realnog fenomena njegovu pojednostavljenu „modelnu“ shemu i pod pretpostavkom da se u datim eksperimentalnim uvjetima fenomen odvija na potpuno određen način.

Međutim, postoji niz problema kod kojih ishod eksperimenta koji nas zanima zavisi od toliko velikog broja faktora da je praktički nemoguće registrovati i uzeti u obzir sve te faktore.

Slučajni događaji se mogu kombinovati jedni s drugima na različite načine. U tom slučaju se formiraju novi slučajni događaji.

Za vizuelni prikaz događaja koristite Ojlerovi dijagrami. Na svakom takvom dijagramu pravougaonik predstavlja skup svih elementarnih događaja (slika 1). Svi ostali događaji su prikazani unutar pravougaonika kao neki njegov dio, omeđen zatvorenom linijom. Obično takvi događaji prikazuju krugove ili ovale unutar pravokutnika.

Razmotrimo najvažnija svojstva događaja koristeći Ojlerove dijagrame.

Kombinovanje događajaA iB nazovite događaj C, koji se sastoji od elementarnih događaja koji pripadaju događaju A ili B (ponekad se unija naziva zbir).

Rezultat ujedinjenja može se grafički predstaviti Ojlerovim dijagramom (slika 2).

Presjek događaja A i B nazovite događaj C koji favorizuje i događaj A i događaj B (ponekad se raskrsnice nazivaju proizvodom).

Rezultat raskrsnice može se grafički prikazati Ojlerovim dijagramom (slika 3).

Ako događaji A i B nemaju zajedničke povoljne elementarne događaje, onda se ne mogu dogoditi istovremeno u toku istog iskustva. Takvi događaji se nazivaju nekompatibilno, i njihova raskrsnica - prazan događaj.

Razlika između događaja A i B nazovite događaj C koji se sastoji od elementarnih događaja A, koji nisu elementarni događaji B.

Rezultat razlike može se grafički prikazati Ojlerovim dijagramom (slika 4)

Neka pravougaonik predstavlja sve elementarne događaje. Događaj A je prikazan kao krug unutar pravougaonika. Preostali dio pravokutnika prikazuje suprotan događaju A, događaj (slika 5)

Događaj suprotan događaju A Događaj se naziva događaj kojem favoriziraju svi elementarni događaji koji nisu povoljni za događaj A.

Događaj suprotan događaju A obično se označava sa .

Primjeri suprotnih događaja.

Kombinovanje više događaja naziva se događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja.

Na primjer, ako se iskustvo sastoji od pet hitaca u metu i događaji su dati:

A0 - nema pogodaka;
A1 - tačno jedan pogodak;
A2 - tačno 2 pogotka;
A3 - tačno 3 pogotka;
A4 - tačno 4 pogotka;
A5 - tačno 5 pogodaka.

Pronađite događaje: ne više od dva i ne manje od tri pogotka.

Rešenje: A=A0+A1+A2 - ne više od dva pogotka;

B = A3 + A4 + A5 - najmanje tri pogotka.

Raskrsnica nekoliko događaja Događaj koji se sastoji od zajedničkog nastupa svih ovih događaja naziva se.

Na primjer, ako se u metu ispaljuju tri metka i događaji se uzmu u obzir:

B1 - promašaj pri prvom udarcu,
B2 - promašaj pri drugom šutu,
VZ - promašaj na trećem udarcu,

taj događaj je da neće biti pogotka u metu.

Prilikom određivanja vjerovatnosti, često je potrebno kompleksne događaje predstaviti kao kombinacije jednostavnijih događaja, koristeći i uniju i sjecište događaja.

Na primjer, recimo da se u metu ispaljuju tri metka, a uzmu se u obzir sljedeći elementarni događaji:

Pogodio prvi hitac
- promašaj na prvom udarcu
- pogodio drugi hitac,
- promašaj pri drugom udarcu,
- pogodio treći hitac,
- promašaj na trećem udarcu.

Razmotrimo složeniji događaj B, koji se sastoji u činjenici da će kao rezultat ova tri hica biti tačno jedan pogodak u metu. Događaj B se može predstaviti kao sljedeća kombinacija elementarnih događaja:

Događaj C, koji se sastoji u činjenici da će biti najmanje dva pogotka u metu, može se predstaviti kao:

Slike 6.1 i 6.2 prikazuju uniju i presek tri događaja.

sl.6

Za određivanje vjerovatnoće događaja ne koriste se direktne direktne metode, već indirektne. Dopuštajući poznatim vjerovatnoćama nekih događaja da odrede vjerovatnoće drugih događaja povezanih s njima. Primjenjujući ove indirektne metode, uvijek koristimo osnovna pravila teorije vjerovatnoće u ovom ili onom obliku. Postoje dva od ovih pravila: pravilo zbrajanja vjerovatnoća i pravilo množenja vjerovatnoća.

Pravilo sabiranja vjerovatnoće je formulirano na sljedeći način.

Verovatnoća kombinovanja dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru verovatnoća ovih događaja:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan:

P(A) + P() = 1.

U praksi je često lakše izračunati vjerovatnoću suprotnog događaja A nego vjerovatnoću direktnog događaja A. U tim slučajevima izračunajte P (A) i pronađite

P(A) = 1-P().

Pogledajmo nekoliko primjera primjene pravila sabiranja.

Primjer 1. U lutriji ima 1000 listića; od kojih jedan tiket osvaja 500 rubalja, 10 tiketa osvaja 100 rubalja, 50 tiketa osvaja 20 rubalja, 100 tiketa osvaja 5 rubalja, a ostali tiketi su neosvojivi. Neko kupi jednu kartu. Pronađite vjerovatnoću da dobijete najmanje 20 rubalja.

Rješenje. Razmotrite događaje:

A - osvojite najmanje 20 rubalja,

A1 - osvoji 20 rubalja,
A2 - osvojite 100 rubalja,
A3 - osvojite 500 rubalja.

Očigledno, A = A1 + A2 + A3.

Prema pravilu sabiranja vjerovatnoća:

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.

Primer 2. Tri skladišta municije su bombardovana, a jedna bomba je bačena. Vjerovatnoća udarca u prvo skladište je 0,01; u drugom 0,008; u trećem 0,025. Kada je jedno od skladišta pogođeno, sva tri eksplodiraju. Pronađite vjerovatnoću da će skladišta biti dignuta u zrak.

Određeni i nemogući događaji

kredibilan Događajem se naziva događaj koji će se definitivno dogoditi ako je ispunjen određeni skup uslova.

Nemoguće Događaj se naziva događaj koji se sigurno neće dogoditi ako je ispunjen određeni skup uslova.

Poziva se događaj koji se poklapa sa praznim skupom nemoguće događaj, a događaj koji se poklapa sa cijelim skupom se zove autentičan događaj.

Događaji se zovu podjednako moguće ako nema razloga vjerovati da je jedan događaj vjerovatniji od drugih.

Teorija vjerovatnoće je nauka koja proučava obrasce slučajnih događaja. Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

ALGEBRA DOGAĐAJA

Operacije nad događajima (zbir, razlika, proizvod)

Svako suđenje je povezano s nizom događaja koji nas zanimaju, a koji se, općenito govoreći, mogu pojaviti istovremeno. Na primjer, kada se baci kocka (tj. kocka sa tačkama 1, 2, 3, 4, 5, 6 na licu), događaj je dvojka, a događaj je paran broj bodova. Očigledno, ovi događaji se međusobno ne isključuju.

Neka se svi mogući rezultati testa provedu u nizu jedinih mogućih posebnih slučajeva koji se međusobno isključuju. onda:

• svaki ishod testa predstavlja jedan i samo jedan elementarni događaj;
• · svaki događaj povezan sa ovim testom je skup konačnog ili beskonačnog broja elementarnih događaja;
• · događaj se dešava ako i samo ako se realizuje jedan od elementarnih događaja koji su uključeni u ovaj skup.

Drugim riječima, dat je proizvoljan, ali fiksiran prostor elementarnih događaja, koji se može predstaviti kao određeno područje na ravni. U ovom slučaju, elementarni događaji su tačke ravni koje leže unutra. Budući da je događaj identificiran skupom, sve operacije koje se mogu izvesti nad skupovima mogu se izvesti nad događajima. To jest, po analogiji sa teorijom skupova, konstruiše se algebra događaja. Posebno su definirane sljedeće operacije i odnosi između događaja:

(odnos uključivanja skupova: skup je podskup skupa) - događaj A povlači događaj B. Drugim riječima, događaj B se javlja kad god se dogodi događaj A. (odnos ekvivalencije skupa) - događaj je identičan ili ekvivalentan događaju. To je moguće ako i samo ako i istovremeno, tj. svaka se javlja kad god se pojavi druga. () - zbir događaja. Ovo je događaj koji se sastoji u činjenici da se dogodio barem jedan od dva događaja ili (ne isključujući logično "ili"). U opštem slučaju, zbir nekoliko događaja se shvata kao događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja.

() - proizvod događaja. Ovo je događaj koji se sastoji u zajedničkoj implementaciji događaja i (logično "i"). U opštem slučaju, proizvod više događaja se shvata kao događaj koji se sastoji u istovremenoj implementaciji svih ovih događaja. Dakle, događaji i su nekompatibilni ako je njihov proizvod nemoguć događaj, tj. .

(skup elemenata koji pripadaju, ali ne pripadaju) - razlika događaja. Ovo je događaj koji se sastoji od odabira koji su uključeni, ali nisu uključeni. Ona leži u činjenici da se događaj dogodi, ali se događaj ne dogodi.

Suprotno (dodatno) za događaj (označeno) je događaj koji se sastoji od svih ishoda koji nisu uključeni. Za dva događaja se kaže da su suprotna ako je pojava jednog od njih ekvivalentna nepostojanju drugog. Događaj suprotan događaju se događa ako i samo ako se događaj ne dogodi. Drugim riječima, pojava događaja jednostavno znači da se događaj nije dogodio.

Simetrična razlika dva događaja i (označeno) naziva se događaj koji se sastoji od ishoda koji su uključeni u ili, ali nisu uključeni u i istovremeno. Značenje događaja je da se jedan i samo jedan od događaja ili dešava. Simetrična razlika se označava: ili.