Задачи за класическото определение на вероятността. Основи на теорията на вероятностите за актюери

Първоначално, бидейки просто сбор от информация и емпирични наблюдения на играта на зарове, теорията на вероятностите се превърна в солидна наука. Ферма и Паскал са първите, които му дават математическа рамка.

От размисли за вечното до теорията на вероятностите

Двама души, на които теорията на вероятностите дължи много фундаментални формули, Блез Паскал и Томас Байес, са известни като дълбоко религиозни хора, като последният е бил презвитериански свещеник. Очевидно желанието на тези двама учени да докажат погрешността на мнението за определена Фортуна, давайки късмет на нейните фаворити, даде тласък на изследванията в тази област. В края на краищата всъщност всяка хазартна игра, с нейните печалби и загуби, е просто симфония от математически принципи.

Благодарение на вълнението на Chevalier de Mere, който беше еднакво комарджия и човек, който не беше безразличен към науката, Паскал беше принуден да намери начин да изчисли вероятността. Де Мере се интересуваше от този въпрос: „Колко пъти трябва да хвърлите два зара по двойки, така че вероятността да получите 12 точки да надхвърли 50%?“. Вторият въпрос, който изключително много интересуваше господина: „Как да разделим залога между участниците в незавършената игра?“ Разбира се, Паскал успешно отговори и на двата въпроса на дьо Мере, който стана неволен инициатор на развитието на теорията на вероятностите. Интересно е, че личността на дьо Мер остава известна в тази област, а не в литературата.

Преди това нито един математик все още не е направил опит да изчисли вероятностите за събития, тъй като се смяташе, че това е само едно предположение. Блез Паскал даде първото определение на вероятността от събитие и показа, че това е конкретна цифра, която може да бъде оправдана математически. Теорията на вероятностите се е превърнала в основа на статистиката и се използва широко в съвременната наука.

Какво е случайност

Ако разгледаме тест, който може да се повтори безкраен брой пъти, тогава можем да дефинираме случайно събитие. Това е един от възможните резултати от опита.

Опитът е изпълнението на конкретни действия в постоянни условия.

За да може да се работи с резултатите от опита, събитията обикновено се обозначават с буквите A, B, C, D, E ...

Вероятност за случайно събитие

За да може да се премине към математическата част на вероятността, е необходимо да се дефинират всички нейни компоненти.

Вероятността за събитие е числена мярка за възможността за възникване на някакво събитие (A или B) в резултат на преживяване. Вероятността се означава като P(A) или P(B).

Теорията на вероятностите е:

• надежденсъбитието гарантирано ще настъпи в резултат на експеримента Р(Ω) = 1;
• невъзможенсъбитието никога не може да се случи Р(Ø) = 0;
• случаенсъбитието се намира между сигурно и невъзможно, т.е. вероятността за възникването му е възможна, но не е гарантирана (вероятността за случайно събитие винаги е в рамките на 0≤P(A)≤1).

Връзки между събития

И едното, и сумата от събития A + B се разглеждат, когато събитието се брои при изпълнението на поне един от компонентите, A или B, или и двата - A и B.

Във връзка едно с друго събитията могат да бъдат:

• Еднакво възможно.
• съвместим.
• Несъвместим.
• Противоположни (взаимно изключващи се).
• Зависим.

Ако две събития могат да се случат с еднаква вероятност, тогава те еднакво възможно.

Ако настъпването на събитие A не анулира вероятността за настъпване на събитие B, тогава те съвместим.

Ако събития A и B никога не се случват по едно и също време в един и същи експеримент, тогава те се извикват несъвместими. хвърляне на монета - добър пример: появата на опашки автоматично е непоява на глави.

Вероятността за сумата от такива несъвместими събития се състои от сумата от вероятностите за всяко от събитията:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ако настъпването на едно събитие прави невъзможно настъпването на друго, тогава те се наричат ​​противоположни. Тогава единият от тях се обозначава като A, а другият - Ā (чете се като "не A"). Настъпването на събитие A означава, че Ā не е настъпило. Тези две събития формират пълна групасъс сумата на вероятностите, равна на 1.

Зависимите събития имат взаимно влияние, като взаимно намаляват или увеличават вероятността.

Връзки между събития. Примери

Много по-лесно е да разберете принципите на теорията на вероятностите и комбинацията от събития, като използвате примери.

Експериментът, който ще се проведе, е да извадите топките от кутията, като резултатът от всеки експеримент е елементарен резултат.

Събитието е едно от възможни резултатина опит - червена топка, синя топка, топка с номер шест и т.н.

Тест номер 1. Има 6 топки, три от които са сини с нечетни числа, а другите три са червени с четни числа.

Тест номер 2. Участват 6 топки от син цвятс числа от едно до шест.

Въз основа на този пример можем да именуваме комбинации:

• Надеждно събитие.На Испански № 2, събитието "вземете синята топка" е надеждно, тъй като вероятността за възникването му е 1, тъй като всички топки са сини и не може да има пропуск. Докато събитието „вземете топката с номер 1“ е случайно.
• Невъзможно събитие.На Испански № 1 със сини и червени топки, събитието "вземете лилавата топка" е невъзможно, тъй като вероятността за възникването му е 0.
• Еквивалентни събития.На Испански № 1, събитията „вземете топката с номер 2“ и „вземете топката с номер 3“ са еднакво вероятни, както и събитията „вземете топката с четно число“ и „вземете топката с номер 2“ ” имат различни вероятности.
• Съвместими събития.Получаването на шестица в процеса на хвърляне на зар два пъти подред са съвместими събития.
• Несъвместими събития.На същия испански Събития №1 „вземи червената топка“ и „вземи топката с нечетно число“ не могат да се комбинират в едно и също изживяване.
• противоположни събития.Повечето отличен примерТова е хвърляне на монета, когато тегленето на глави е същото като нетеглене на опашки и сумата от техните вероятности винаги е 1 (пълна група).
• Зависими събития. И така, на испански № 1, можете да си поставите за цел да извадите червена топка два пъти подред. Извличането му или не извличането му за първи път влияе върху вероятността за извличането му втори път.

Вижда се, че първото събитие значително влияе върху вероятността от второто (40% и 60%).

Формула за вероятност на събитието

Преходът от гадаене към точни данни става чрез прехвърляне на темата в математическата равнина. Това означава, че преценките за случайно събитие като "висока вероятност" или "минимална вероятност" могат да бъдат преведени в конкретни числени данни. Вече е допустимо да се оценява, сравнява и въвежда такъв материал в по-сложни изчисления.

От гледна точка на изчислението дефиницията на вероятността за събитие е съотношението на броя на елементарните положителни резултати към броя на всички възможни резултати от опита по отношение на конкретно събитие. Вероятността се обозначава с P (A), където P означава думата "вероятност", която се превежда от френски като "вероятност".

И така, формулата за вероятността от събитие е:

Където m е броят на благоприятните резултати за събитие А, n е сумата от всички възможни резултати за това преживяване. Вероятността за събитие винаги е между 0 и 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Изчисляване на вероятността от събитие. Пример

Да вземем испански. № 1 с топки, който е описан по-рано: 3 сини топки с номера 1/3/5 и 3 червени топки с номера 2/4/6.

Въз основа на този тест могат да се разгледат няколко различни задачи:

• A - падане на червена топка. Има 3 червени топки, а опциите са общо 6. Това е най-простият пример, при което вероятността за събитие е P(A)=3/6=0,5.
• B - отпадане на четно число. Има общо 3 (2,4,6) четни числа, а общият брой възможни числови опции е 6. Вероятността за това събитие е P(B)=3/6=0,5.
• C - загуба на число, по-голямо от 2. Има 4 такива опции (3,4,5,6) от общия брой възможни резултати 6. Вероятността за събитие C е P(C)=4/6= 0,67.

Както може да се види от изчисленията, събитие C има по-висока вероятност, тъй като броят на възможните положителни резултати е по-висок, отколкото в A и B.

Несъвместими събития

Такива събития не могат да се появят едновременно в едно и също преживяване. Като на испански № 1, невъзможно е да получите синя и червена топка едновременно. Тоест можете да получите или синя, или червена топка. По същия начин четно и нечетно число не могат да се появят в зара едновременно.

Вероятността от две събития се разглежда като вероятността от тяхната сума или продукт. Сумата от такива събития A + B се счита за събитие, което се състои в появата на събитие A или B, а произведението на техните AB - в появата на двете. Например, появата на две шестици наведнъж върху лицата на два зара при едно хвърляне.

Сумата от няколко събития е събитие, което предполага настъпването на поне едно от тях. Продуктът на няколко събития е съвместната поява на всички тях.

В теорията на вероятностите, като правило, използването на съюза "и" означава сумата, съюзът "или" - умножение. Формулите с примери ще ви помогнат да разберете логиката на събирането и умножението в теорията на вероятностите.

Вероятност на сумата от несъвместими събития

Ако се вземе предвид вероятността от несъвместими събития, тогава вероятността от сумата от събития е равна на сумата от техните вероятности:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например: изчисляваме вероятността на испански. Номер 1 със синя и червена топка ще пусне число между 1 и 4. Ще смятаме не с едно действие, а чрез сумата от вероятностите на елементарните компоненти. И така, в такъв експеримент има само 6 топки или 6 от всички възможни изхода. Числата, които отговарят на условието, са 2 и 3. Вероятността да се получи числото 2 е 1/6, вероятността за числото 3 също е 1/6. Вероятността да получите число между 1 и 4 е:

Вероятността за сумата от несъвместими събития на пълна група е 1.

Така че, ако в експеримента с куб съберем вероятностите да получим всички числа, тогава в резултат ще получим едно.

Това важи и за противоположни събития, например в експеримента с монета, където едната й страна е събитието А, а другата е противоположното събитие Ā, както е известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятност за създаване на несъвместими събития

Умножението на вероятностите се използва, когато се разглежда появата на две или повече несъвместими събития в едно наблюдение. Вероятността събитията A и B да се появят в него едновременно е равна на произведението на техните вероятности или:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Например вероятността в № 1 в резултат на два опита ще се появи синя топка два пъти, равна на

Тоест, вероятността да се случи събитие, когато в резултат на два опита с изваждане на топки ще бъдат извлечени само сини топки, е 25%. Много е лесно да се направят практически експерименти по този проблем и да се види дали това наистина е така.

Съвместни събития

Събитията се считат за съвместни, когато появата на едно от тях може да съвпадне с появата на другото. Въпреки факта, че са съвместни, се взема предвид вероятността от независими събития. Например хвърлянето на два зара може да даде резултат, когато и на двата се падне числото 6. Въпреки че събитията съвпадат и се появяват по едно и също време, те са независими едно от друго – може да падне само една шестица, вторият зар няма влияние върху него.

Вероятността от съвместни събития се разглежда като вероятността от тяхната сума.

Вероятността на сумата от съвместни събития. Пример

Вероятността от сумата от събития А и Б, които са съвместни едно спрямо друго, е равна на сумата от вероятностите на събитието минус вероятността от техния продукт (т.е. съвместното им изпълнение):

R става. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Да приемем, че вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,4. След това събитие А - попадение в целта от първия опит, Б - от втория. Тези събития са съвместни, тъй като е възможно да се уцели целта както от първия, така и от втория изстрел. Но събитията не са зависими. Каква е вероятността за поразяване на целта с два изстрела (поне един)? Според формулата:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Отговорът на въпроса е: "Вероятността за попадение в целта с два изстрела е 64%."

Тази формула за вероятността от събитие може да се приложи и към несъвместими събития, където вероятността за съвместно възникване на събитие P(AB) = 0. Това означава, че вероятността от сумата от несъвместими събития може да се счита за специален случай от предложената формула.

Геометрия на вероятностите за яснота

Интересното е, че вероятността от сумата от съвместни събития може да бъде представена като две области A и B, които се пресичат една с друга. Както можете да видите от снимката, площта на тяхното обединение е равна на общата площ минус площта на тяхното пресичане. Това геометрично обяснение прави привидно нелогичната формула по-разбираема. Забележи, че геометрични решенияне е необичайно в теорията на вероятностите.

Дефиницията на вероятността за сумата от набор (повече от две) съвместни събития е доста тромава. За да го изчислите, трябва да използвате формулите, предоставени за тези случаи.

Зависими събития

Зависими събития се наричат, ако появата на едно (A) от тях влияе върху вероятността за възникване на другото (B). Освен това се отчита влиянието както на настъпването на събитие А, така и на неговото ненастъпване. Въпреки че събитията се наричат ​​зависими по дефиниция, само едно от тях е зависимо (B). Обичайната вероятност се обозначава като P(B) или вероятността от независими събития. При зависимите се въвежда ново понятие - условната вероятност P A (B), която е вероятността за зависимото събитие B при условие, че е настъпило събитието A (хипотеза), от което то зависи.

Но събитие А също е случайно, така че също има вероятност, която трябва и може да бъде взета предвид при изчисленията. Следващият пример ще покаже как да работите със зависими събития и хипотеза.

Пример за изчисляване на вероятността от зависими събития

Добър пример за изчисляване на зависими събития е стандартно тесте карти.

На примера на тесте от 36 карти, разгледайте зависимите събития. Необходимо е да се определи вероятността втората изтеглена карта от тестето да бъде каро, ако първата изтеглена карта е:

1. тамбура.
2. Друг костюм.

Очевидно вероятността за второто събитие B зависи от първото A. Така че, ако първата опция е вярна, което е 1 карта (35) и 1 каро (8) по-малко в тестето, вероятността за събитие B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Ако втората опция е вярна, тогава има 35 карти в тестето и общ бройдайре (9), тогава вероятността от следното събитие B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Може да се види, че ако събитие А зависи от факта, че първата карта е каро, тогава вероятността за събитие Б намалява и обратно.

Умножение на зависими събития

Въз основа на предходната глава приемаме първото събитие (А) за факт, но по същество то има случаен характер. Вероятността за това събитие, а именно извличането на тамбурина от тесте карти, е равна на:

P(A) = 9/36=1/4

Тъй като теорията не съществува сама по себе си, а е призована да служи на практически цели, справедливо е да се отбележи, че най-често е необходима вероятността за създаване на зависими събития.

Съгласно теоремата за произведението на вероятностите от зависими събития, вероятността за възникване на съвместно зависими събития A и B е равна на вероятността за едно събитие A, умножена по условната вероятност за събитие B (в зависимост от A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

След това в примера с тесте, вероятността да изтеглите две карти с цвят каро е:

9/36*8/35=0,0571 или 5,7%

И вероятността първо да се извлекат не диаманти, а след това диаманти, е равна на:

27/36*9/35=0,19 или 19%

Може да се види, че вероятността за настъпване на събитие B е по-голяма, при условие че първо се изтегли карта от цвят, различен от каро. Този резултат е съвсем логичен и разбираем.

Обща вероятност за събитие

Когато проблем с условни вероятности стане многостранен, той не може да бъде изчислен с конвенционални методи. Когато има повече от две хипотези, а именно A1, A2, ..., A n , .. образува пълна група от събития при условието:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

И така, формулата за общата вероятност за събитие B с пълна група от случайни събития A1, A2, ..., A n е:

Поглед в бъдещето

Вероятността за случайно събитие е от съществено значение в много области на науката: иконометрия, статистика, физика и др. Тъй като някои процеси не могат да бъдат описани детерминистично, тъй като те самите са вероятностни, са необходими специални методи на работа. Вероятността на теорията на събитието може да се използва във всяка технологична област като начин за определяне на възможността за грешка или неизправност.

Може да се каже, че разпознавайки вероятността, ние по някакъв начин правим теоретична крачка в бъдещето, разглеждайки го през призмата на формулите.

В икономиката, както и в други сфери човешка дейностили в природата, постоянно трябва да се справяме със събития, които не могат да бъдат точно предвидени. По този начин обемът на продажбите на стоки зависи от търсенето, което може да варира значително, и от редица други фактори, които е почти невъзможно да се вземат предвид. Следователно при организацията на производството и продажбите трябва да се предвиди резултатът от такива дейности въз основа или на собствения предишен опит, или на подобен опит на други хора, или на интуицията, която също до голяма степен се основава на експериментални данни.

За да се оцени по някакъв начин разглежданото събитие, е необходимо да се вземат предвид или специално да се организират условията, при които се записва това събитие.

Изпълнението на определени условия или действия за идентифициране на въпросното събитие се нарича опитили експеримент.

Събитието се нарича случаендали в резултат на експеримента може или не може да се случи.

Събитието се нарича автентичен, ако непременно се появи в резултат на това преживяване, и невъзможенако не може да се появи в това преживяване.

Например снеговалежът в Москва на 30 ноември е случайно събитие. Ежедневният изгрев може да се счита за определено събитие. Снеговалежът на екватора може да се разглежда като невъзможно събитие.

Един от основните проблеми в теорията на вероятностите е проблемът за определяне на количествена мярка за възможността за възникване на събитие.

Алгебра на събитията

Събитията се наричат ​​несъвместими, ако не могат да бъдат наблюдавани заедно в едно и също преживяване. Така наличието на две и три коли в един магазин за продажба едновременно са две несъвместими събития.

сумасъбития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития

Пример за сбор от събития е наличието на поне един от два продукта в магазин.

работасъбития се нарича събитие, състоящо се в едновременното възникване на всички тези събития

Събитие, състоящо се в появата на две стоки едновременно в магазина, е продукт на събития: - появата на един продукт, - появата на друг продукт.

Събитията образуват пълна група от събития, ако поне едно от тях задължително се появява в преживяването.

Пример.Пристанището разполага с две кейови места за кораби. Могат да се разглеждат три събития: - липса на кораби на кейовите места, - присъствие на един кораб на едно от кейовите места, - присъствие на два кораба на две кейови места. Тези три събития образуват пълна група от събития.

Отсрещасе наричат ​​две уникални възможни събития, които образуват пълна група.

Ако едно от противоположните събития се обозначава с , тогава противоположното събитие обикновено се означава с .

Класически и статистически дефиниции на вероятността от събитие

Всеки от еднакво възможните тестови резултати (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се означават с букви. Например, хвърля се зар. Може да има шест елементарни изхода според броя точки от страните.

От елементарни резултати можете да съставите по-сложно събитие. И така, събитието с четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.

Количествена мярка за възможността за настъпване на разглежданото събитие е вероятността.

Две дефиниции на вероятността от събитие са най-широко използвани: класическии статистически.

Класическата дефиниция на вероятността е свързана с понятието благоприятен изход.

Изход се нарича благоприятентова събитие, ако настъпването му води до настъпването на това събитие.

В дадения пример разглежданото събитие е четен брой точки на отпадналия ръб, има три благоприятни изхода. В случая генералът
броя на възможните резултати. И така, тук можете да използвате класическата дефиниция на вероятността от събитие.

Класическо определениее равно на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати

където е вероятността за събитието, е броят на благоприятните резултати за събитието, е общият брой възможни резултати.

В разглеждания пример

Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на поява на дадено събитие в експериментите.

Относителната честота на възникване на дадено събитие се изчислява по формулата

където е броят на поява на събитие в серия от експерименти (тестове).

Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, спрямо което относителната честота се стабилизира (установява) с неограничено увеличаване на броя на експериментите.

В практическите задачи относителната честота се приема като вероятност за събитие при достатъчно големи числатестове.

От тези дефиниции на вероятността за събитие може да се види, че неравенството винаги е в сила

За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват комбинаторни формули за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой възможни резултати.

Ясно е, че всяко събитие има някаква степен на възможност за настъпване (за осъществяване). За да се сравнят количествено събитията едно с друго според тяхната степен на възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Това число се нарича вероятност на събитието.

Вероятност на събитието- е числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на това събитие.

Помислете за стохастичен експеримент и случайно събитие А, наблюдавано в този експеримент. Нека повторим този експеримент n пъти и нека m(A) е броят експерименти, в които се е случило събитие А.

Отношение (1.1)

Наречен относителна честотасъбитие А в поредицата от експерименти.

Лесно е да проверите валидността на свойствата:

ако A и B са несъвместими (AB= ), тогава ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Относителната честота се определя само след серия от експерименти и, най-общо казано, може да варира от серия на серия. Опитът обаче показва, че в много случаи, с увеличаване на броя на експериментите, относителната честота се доближава до определен брой. Този факт на стабилността на относителната честота е многократно проверен и може да се счита за експериментално установен.

Пример 1.19.. Ако хвърлите една монета, никой не може да предвиди на коя страна ще падне. Но ако хвърлите два тона монети, тогава всеки ще каже, че около един тон ще падне нагоре като герб, тоест относителната честота на падане на герба е приблизително 0,5.

Ако с нарастването на броя на експериментите относителната честота на събитието ν(A) клони към някакво фиксирано число, тогава казваме, че събитие А е статистически стабилнои това число се нарича вероятност за събитие А.

Вероятност за събитие НОнарича се някакво фиксирано число P(A), към което относителната честота ν(A) на това събитие клони с увеличаване на броя на експериментите, т.е.

Това определение се нарича статистическа дефиниция на вероятността .

Помислете за някакъв стохастичен експеримент и нека пространството на неговите елементарни събития се състои от краен или безкраен (но изброим) набор от елементарни събития ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . да предположим, че на всяко елементарно събитие ω i е присвоено определено число - р i , което характеризира степента на възможност за възникване на това елементарно събитие и удовлетворява следните свойства:

Такова число p i се нарича вероятност за елементарно събитиеω i .

Нека сега А е случайно събитие, наблюдавано в този експеримент, и определен набор съответства на него

В такава обстановка вероятност за събитие НО се нарича сбор от вероятностите за елементарни събития, благоприятстващи A(включени в съответния комплект А):

(1.4)

Вероятността, въведена по този начин, има същите свойства като относителната честота, а именно:

И ако AB \u003d (A и B са несъвместими),

тогава P(A+B) = P(A) + P(B)

Действително, съгласно (1.4)

В последното отношение се възползвахме от факта, че никое елементарно събитие не може да благоприятства едновременно две несъвместими събития.

Специално отбелязваме, че теорията на вероятностите не посочва методи за определяне на p i , те трябва да се търсят от практически съображения или да се получат от подходящ статистически експеримент.

Като пример, помислете класическа схематеория на вероятностите. За да направите това, разгледайте стохастичен експеримент, чието пространство от елементарни събития се състои от краен (n) брой елементи. Нека допълнително приемем, че всички тези елементарни събития са еднакво вероятни, т.е. вероятностите за елементарни събития са p(ω i)=p i =p. Оттук следва, че

Пример 1.20. При хвърляне на симетрична монета, гербът и опашката са еднакво възможни, техните вероятности са 0,5.

Пример 1.21. Когато се хвърли симетричен зар, всички лица са еднакво вероятни, техните вероятности са 1/6.

Нека сега събитие А се предпочита от m елементарни събития, те обикновено се наричат резултати в полза на събитие А. Тогава

Има класическо определение на вероятността: вероятността P(A) за събитие А е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятстващи събитие А, към общия брой резултати

Пример 1.22. Една урна съдържа m бели топки и n черни. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?

Решение. Има общо m+n елементарни събития. Всички те са еднакво невероятни. Благоприятно събитие A от тях m. Следователно, .

Следните свойства следват от определението за вероятност:

Имот 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В такъв случай m=p,Следователно,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Имот 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от опита не благоприятства събитието. В такъв случай T= 0, следователно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Имот 3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста благоприятства случайно събитие. Тоест 0≤m≤n, което означава 0≤m/n≤1, следователно вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Сравнявайки дефинициите на вероятност (1.5) и относителна честота (1.1), заключаваме: дефиницията на вероятност не изисква извършване на тестовев действителност; дефиницията на относителната честота предполага, че действително са проведени тестове. С други думи, вероятността се изчислява преди опита, а относителната честота - след опита.

Изчисляването на вероятността обаче изисква предварителна информация за броя или вероятностите на елементарните резултати, благоприятстващи дадено събитие. При липса на такава предварителна информация се използват емпирични данни за определяне на вероятността, т.е. относителната честота на събитието се определя от резултатите от стохастичен експеримент.

Пример 1.23. Отдел технически контрол открит 3нестандартни части в партида от 80 произволно избрани части. Относителна честота на поява на нестандартни части r (A)= 3/80.

Пример 1.24. По предназначение.произведени 24 стрелба, като са регистрирани 19 попадения. Относителната честота на попадение в целта. r (A)=19/24.

Дългосрочните наблюдения показват, че ако експериментите се провеждат при едни и същи условия, във всеки от които броят на тестовете е достатъчно голям, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност. Този имот е че в различни експерименти относителната честота се променя малко (колкото по-малко, толкова повече тестове се правят), варирайки около определено постоянно число.Оказа се, че това постоянно число може да се приеме като приблизителна стойност на вероятността.

Връзката между относителната честота и вероятността ще бъде описана по-подробно и по-точно по-долу. Сега нека илюстрираме свойството стабилност с примери.

Пример 1.25. Според шведската статистика относителната раждаемост на момичетата през 1935 г. по месеци се характеризира със следните числа (числата са подредени по месеци, като се започне от януари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относителната честота варира около числото 0,481, което може да се приеме като приблизителна стойност за вероятността да имате момичета.

Имайте предвид, че статистиката различни странидават приблизително същата стойност на относителната честота.

Пример 1.26.Бяха проведени многократни експерименти с хвърляне на монета, в които се отчиташе броят на срещанията на "герба". Резултатите от няколко експеримента са показани в таблицата.

Събитията, които се случват в реалността или в нашето въображение, могат да бъдат разделени на 3 групи. Това са определени събития, които определено ще се случат, невъзможни събития и случайни събития. Теорията на вероятностите изучава случайни събития, т.е. събития, които могат или не могат да се случат. Тази статия ще бъде представена в резюмеформули за теория на вероятностите и примери за решаване на проблеми по теория на вероятностите, които ще бъдат в 4-та задача на USE по математика (ниво на профил).

Защо се нуждаем от теорията на вероятностите

В исторически план необходимостта от изследване на тези проблеми възниква през 17 век във връзка с развитието и професионализирането на хазарти появата на казиното. Това беше истински феномен, който изискваше своето изучаване и изследване.

Карти за игра, зарове, рулетка създават ситуации, в които всяко от краен брой еднакво вероятни събития може да се случи. Имаше нужда да се дадат числени оценки на възможността за настъпване на събитие.

През 20 век става ясно, че тази на пръв поглед несериозна наука играе важна роля в разбирането на фундаменталните процеси, протичащи в микрокосмоса. Беше създаден съвременна теориявероятности.

Основни понятия на теорията на вероятностите

Обект на изследване на теорията на вероятностите са събитията и техните вероятности. Ако събитието е сложно, тогава то може да бъде разделено на прости компоненти, вероятностите за които са лесни за намиране.

Сумата от събития A и B се нарича събитие C, което се състои в това, че или събитие A, или събитие B, или събития A и B са се случили по едно и също време.

Продуктът на събития A и B е събитие C, което се състои в това, че се случват както събитието A, така и събитието B.

Събития A и B се наричат ​​несъвместими, ако не могат да се случат по едно и също време.

Казва се, че събитие А е невъзможно, ако не може да се случи. Такова събитие се обозначава със символа.

Събитие А се нарича сигурно, ако определено ще се случи. Такова събитие се обозначава със символа.

Нека на всяко събитие A се присвои номер P(A). Това число P(A) се нарича вероятност на събитието A, ако следните условия са изпълнени с такова съответствие.

Важен специален случай е ситуацията, когато има еднакво вероятни елементарни резултати и произволни от тези резултати формират събития А. В този случай вероятността може да бъде въведена чрез формулата . Въведената по този начин вероятност се нарича класическа вероятност. Може да се докаже, че в този случай са валидни свойства 1-4.

Задачите по теория на вероятностите, които се срещат на изпита по математика, са свързани предимно с класическата вероятност. Такива задачи могат да бъдат много прости. Особено прости са проблемите в теорията на вероятностите демо версии. Лесно е да се изчисли броят на благоприятните резултати, броят на всички резултати се записва директно в условието.

Получаваме отговора по формулата.

Примерна задача от изпита по математика за определяне на вероятността

На масата има 20 пити - 5 със зеле, 7 с ябълки и 8 с ориз. Марина иска да вземе пай. Каква е вероятността тя да вземе оризова торта?

Решение.

Има общо 20 равновероятни елементарни изхода, тоест Марина може да вземе всяка от 20-те пая. Но трябва да оценим вероятността Марина да вземе оризова баница, т.е. където А е изборът на оризова баница. Това означава, че имаме общо 8 благоприятни изхода (избор на оризовки), тогава вероятността ще се определя по формулата:

Независими, противоположни и произволни събития

Въпреки това, в отворен бурканзадачите започнаха да срещат по-сложни задачи. Затова нека насочим вниманието на читателя към други въпроси, изучавани в теорията на вероятностите.

Събития A и B се наричат ​​независими, ако вероятността за всяко от тях не зависи от това дали другото събитие се е случило.

Събитие Б се състои в това, че събитие А не е настъпило, т.е. събитие B е противоположно на събитие A. Вероятността за противоположното събитие е равна на едно минус вероятността за директното събитие, т.е. .

Теореми за събиране и умножение, формули

За произволни събития A и B, вероятността от сумата от тези събития е равна на сумата от техните вероятности без вероятността от техните съвместно събитие, т.е. .

За независими събития A и B вероятността от произведението на тези събития е равна на произведението от техните вероятности, т.е. в такъв случай .

Последните 2 твърдения се наричат ​​теореми за събиране и умножение на вероятности.

Не винаги преброяването на броя на резултатите е толкова просто. В някои случаи е необходимо да се използват комбинаторни формули. Най-важното е да преброите броя на събитията, които отговарят на определени условия. Понякога такива изчисления могат да се превърнат в независими задачи.

По колко начина могат да се настанят 6 ученика на 6 празни места? Първият ученик ще заеме някое от 6-те места. Всяка от тези опции отговаря на 5 начина за поставяне на втория ученик. За трети ученик има 4 свободни места, за четвърти - 3, за пети - 2, шестият ще заеме единственото останало място. За да намерите броя на всички опции, трябва да намерите продукта, който е означен със символа 6! и се чете "шест факториел".

В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на пермутациите на n елемента.В нашия случай .

Помислете сега за друг случай с нашите студенти. По колко начина могат да се настанят 2 ученика на 6 празни места? Първият ученик ще заеме някое от 6-те места. Всяка от тези опции отговаря на 5 начина за поставяне на втория ученик. За да намерите броя на всички опции, трябва да намерите продукта.

В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на поставянията на n елемента по k елемента

В нашия случай.

И последният от тази поредица. Колко начина има да изберете 3 ученика от 6? Първият ученик може да бъде избран по 6 начина, вторият по 5 начина, а третият по 4 начина. Но сред тези опции същите трима ученика се срещат 6 пъти. За да намерите броя на всички опции, трябва да изчислите стойността: . В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на комбинациите от елементи по елементи:

В нашия случай.

Примери за решаване на задачи от изпита по математика за определяне на вероятността

Задача 1. От сборника, изд. Ященко.

В чинията има 30 пая: 3 с месо, 18 със зеле и 9 с череши. Саша произволно избира един пай. Намерете вероятността той да се окаже с череша.

.

Отговор: 0,3.

Задача 2. От сборника, изд. Ященко.

Във всяка партида от 1000 крушки, средно по 20 дефектни. Намерете вероятността електрическа крушка, избрана произволно от партида, да е добра.

Решение: Броят на изправните крушки е 1000-20=980. Тогава вероятността електрическа крушка, взета на случаен принцип от партидата, да бъде използваема е:

Отговор: 0,98.

Вероятността ученикът У. да реши правилно повече от 9 задачи на тест по математика е 0,67. Вероятността U. да реши правилно повече от 8 задачи е 0,73. Намерете вероятността U. да реши правилно точно 9 задачи.

Ако си представим числова права и отбележим на нея точки 8 и 9, ще видим, че условието „U. реши правилно точно 9 задачи” е включено в условието „U. решава правилно повече от 8 задачи“, но не се отнася за условието „W. правилно решава повече от 9 задачи.

Въпреки това условието „У. реши правилно повече от 9 задачи“ се съдържа в условието „У. правилно решаване на повече от 8 задачи. Така, ако обозначим събития: „W. правилно реши точно 9 задачи“ – през А, „У. правилно решаване на повече от 8 задачи“ – през Б, „У. правилно решаване на повече от 9 проблема ”чрез C. Тогава решението ще изглежда така:

Отговор: 0,06.

На изпита по геометрия студентът отговаря на един въпрос от списъка с изпитни въпроси. Вероятността това да е тригонометричен въпрос е 0,2. Вероятността това да е въпрос за външни ъгли е 0,15. Няма въпроси, свързани с тези две теми едновременно. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.

Нека помислим какви събития имаме. Дадени са ни две несъвместими събития. Тоест, или въпросът ще се отнася до темата "Тригонометрия", или до темата "Външни ъгли". Според теоремата за вероятността, вероятността от несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за всяко събитие, трябва да намерим сумата от вероятностите за тези събития, тоест:

Отговор: 0,35.

Стаята се осветява от фенер с три лампи. Вероятността една лампа да изгори за една година е 0,29. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори в рамките на една година.

Нека разгледаме възможните събития. Имаме три електрически крушки, всяка от които може или не може да изгори независимо от всяка друга крушка. Това са независими събития.

След това ще посочим вариантите на такива събития. Приемаме обозначението: - крушката свети, - крушката е изгоряла. И веднага след това изчисляваме вероятността за събитие. Например, вероятността от събитие, при което са настъпили три независими събития „крушката изгоря“, „крушката свети“, „крушката свети“: .

Имайте предвид, че благоприятните за нас несъвместими събития са само 7. Вероятността за такива събития е равна на сумата от вероятностите за всяко от събитията: .

Отговор: 0,975608.

Можете да видите друг проблем на снимката:

Така ние с вас разбрахме какво е теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, които можете да срещнете във версията на изпита.

Знаейки, че вероятността може да бъде измерена, нека се опитаме да я изразим в числа. Има три възможни пътя.

Ориз. 1.1. Измерване на вероятността

ВЕРОЯТНОСТ, ОПРЕДЕЛЕНА ОТ СИМЕТРИЯ

Има ситуации, при които възможните резултати са еднакво вероятни. Например, когато хвърляте монета веднъж, ако монетата е стандартна, вероятността да получите глави или опашки е една и съща, т.е. P(глави) = P(опашки). Тъй като са възможни само два резултата, тогава P(глави) + P(опашки) = 1, следователно P(глави) = P(опашки) = 0,5.

В експерименти, при които резултатите имат равни шансове за възникване, вероятността за събитието E, P(E) е:

Пример 1.1. Монетата се хвърля три пъти. Каква е вероятността две глави и една опашка?

Първо, нека намерим всички възможни резултати: За да сме сигурни, че всички възможни вариантиоткрихме, ще използваме дървовидна диаграма (вижте глава 1, раздел 1.3.1).

И така, има 8 еднакво вероятни резултата, следователно вероятността за тях е 1/8. Събитие E - два "орела" и "опашка" - бяха три. Ето защо:

Пример 1.2. Стандартен зар се хвърля два пъти. Каква е вероятността сборът от точките да е 9 или повече?

Нека намерим всички възможни резултати.

Таблица 1.2. Общият брой точки, получен при двукратно хвърляне на зар

И така, при 10 от 36 възможни изхода сборът от точки е 9, или следователно:

ЕМПИРИЧНО ОПРЕДЕЛЕНА ВЕРОЯТНОСТ

Пример с монета от табл. 1.1 ясно илюстрира механизма за определяне на вероятностите.

При общ бройчиито експерименти са успешни, вероятността за желания резултат се изчислява, както следва:

Съотношението е относителната честота на поява на определен резултат в достатъчно дълъг експеримент. Вероятността се изчислява или на базата на данните от експеримента, или на базата на минали данни.

Пример 1.3. От петстотинте тествани електрически лампи 415 са работили повече от 1000 часа. Въз основа на данните от този експеримент може да се заключи, че вероятността за нормална работа на лампа от този тип за повече от 1000 часа е:

Забележка. Контролът е разрушителен, така че не всички лампи могат да бъдат тествани. Ако се тества само една лампа, тогава вероятността ще бъде 1 или 0 (т.е. ще може ли да работи 1000 часа или не). Оттук и необходимостта от повторение на експеримента.

Пример 1.4. В табл. 1.3 показва данни за опита на мъжете, работещи в компанията:

Таблица 1.3. Мъж трудов стаж

Каква е вероятността следващият човек, нает от фирмата, да работи поне две години?

Решение.

Таблицата показва, че 38 от 100 служители работят в компанията повече от две години. Емпиричната вероятност следващият служител да остане в компанията повече от две години е:

В същото време предполагаме, че нов служител„Типични и условията на труд са непроменени.

СУБЕКТИВНА ОЦЕНКА НА ВЕРОЯТНОСТТА

В бизнеса често има ситуации, в които няма симетрия, няма и експериментални данни. Следователно определянето на вероятността за благоприятен изход под влияние на възгледите и опита на изследователя е субективно.

Пример 1.5.

1. Инвестиционен експерт смята, че вероятността да реализирате печалба през първите две години е 0,6.

2. Прогноза на маркетинг мениджъра: вероятността да се продадат 1000 единици продукт през първия месец след пускането му на пазара е 0,4.