В тази статия предлагаме примери за математически модели. Освен това ще обърнем внимание на етапите на създаване на модели и ще анализираме някои проблеми, свързани с математическото моделиране.

Друг въпрос, който имаме, са математическите модели в икономиката, примери за които ще разгледаме дефиницията малко по-късно. Предлагаме да започнем нашия разговор със самото понятие „модел“, да разгледаме накратко тяхната класификация и да преминем към нашите основни въпроси.

Понятието "модел"

Често чуваме думата „модел“. Какво е? Този термин има много определения, ето само три от тях:

• специфичен обект, който е създаден, за да получава и съхранява информация, отразяваща някои свойства или характеристики и т.н., на оригинала на този обект (този специфичен обект може да бъде изразен в различни форми: умствено, описание с помощта на знаци и т.н.);
• Модел също означава представяне на конкретна ситуация, живот или управление;
• моделът може да бъде намалено копие на обект (те са създадени за по-подробно изследване и анализ, тъй като моделът отразява структурата и връзките).

Въз основа на всичко, което беше казано по-рано, можем да направим малък извод: моделът ви позволява да изучавате подробно сложна система или обект.

Всички модели могат да бъдат класифицирани според редица характеристики:

• по област на използване (образователни, експериментални, научни и технически, игри, симулация);
• по динамика (статични и динамични);
• по отрасъл на знанието (физически, химически, географски, исторически, социологически, икономически, математически);
• по метода на представяне (материален и информационен).

Информационните модели от своя страна се делят на символни и вербални. А символичните - на компютърни и некомпютърни. Сега нека да преминем към подробно разглеждане на примери за математическия модел.

Математически модел

Както може би се досещате, математическият модел отразява всякакви характеристики на обект или явление, използвайки специални математически символи. Математиката е необходима, за да се моделират моделите на заобикалящия свят на неговия специфичен език.

Методът на математическото моделиране е възникнал доста отдавна, преди хиляди години, заедно с появата на тази наука. Тласъкът за развитието на този метод на моделиране обаче е даден от появата на компютри (електронни компютри).

Сега да преминем към класификацията. Може да се извърши и според някои признаци. Те са представени в таблицата по-долу.

Предлагаме да спрем и да разгледаме по-отблизо най-новата класификация, тъй като тя отразява общите модели на моделиране и целите на създаваните модели.

Описателни модели

В тази глава предлагаме да се спрем по-подробно на описателните математически модели. За да стане всичко много ясно, ще бъде даден пример.

Нека започнем с факта, че този тип може да се нарече описателен. Това се дължи на факта, че ние просто правим изчисления и прогнози, но не можем по никакъв начин да повлияем на резултата от събитието.

Ярък пример за описателен математически модел е изчисляването на траекторията на полета, скоростта и разстоянието от Земята на комета, нахлула в просторите на нашата слънчева система. Този модел е описателен, тъй като всички получени резултати могат само да ни предупредят за всяка опасност. За съжаление не можем да повлияем на изхода от събитието. Въз основа на получените изчисления обаче е възможно да се предприемат всякакви мерки за запазване на живота на Земята.

Оптимизационни модели

Сега ще поговорим малко за икономически и математически модели, примери за които могат да служат като различни текущи ситуации. В този случай говорим за модели, които помагат да се намери правилният отговор при определени условия. Определено имат някакви параметри. За да стане напълно ясно, нека да разгледаме един пример от селскостопанския сектор.

Имаме хамбар, но зърното много бързо се разваля. В този случай трябва да изберем правилните температурни условия и да оптимизираме процеса на съхранение.

По този начин можем да дефинираме понятието „модел на оптимизация“. В математически смисъл това е система от уравнения (както линейни, така и не), чието решение помага да се намери оптималното решение в конкретна икономическа ситуация. Разгледахме пример за математически модел (оптимизация), но бих искал да добавя: този тип принадлежи към класа на екстремните проблеми, те помагат да се опише функционирането на икономическата система.

Нека отбележим още един нюанс: моделите могат да бъдат от различно естество (вижте таблицата по-долу).

Многокритериални модели

Сега ви каним да поговорим малко за математическия модел на многокритериалната оптимизация. Преди това дадохме пример за математически модел за оптимизиране на процес според всеки един критерий, но какво ще стане, ако има много от тях?

Ярък пример за многокритериална задача е организирането на правилно, здравословно и в същото време икономично хранене за големи групи хора. Такива задачи често се срещат в армията, училищните столове, летните лагери, болниците и т.н.

Какви критерии са ни дадени в тази задача?

1. Храненето трябва да е здравословно.
2. Разходите за храна трябва да са минимални.

Както можете да видите, тези цели изобщо не съвпадат. Това означава, че при решаването на даден проблем е необходимо да се търси оптимално решение, баланс между два критерия.

Игрови модели

Когато говорим за модели на игри, е необходимо да разберем понятието „теория на игрите“. Просто казано, тези модели отразяват математически модели на реални конфликти. Просто трябва да разберете, че за разлика от истинския конфликт, математическият модел на играта има свои специфични правила.

Сега ще предоставим минимум информация от теорията на игрите, която ще ви помогне да разберете какво представлява моделът на играта. И така, моделът задължително съдържа партии (две или повече), които обикновено се наричат ​​играчи.

Всички модели имат определени характеристики.

Моделът на играта може да бъде сдвоен или множество. Ако имаме два субекта, тогава конфликтът е двоен, ако са повече, той е множествен. Можете също така да различите антагонистична игра, тя се нарича още игра с нулева сума. Това е модел, при който печалбата на един от участниците е равна на загубата на другия.

Симулационни модели

В този раздел ще обърнем внимание на симулационните математически модели. Примерите за задачи включват:

• модел на динамика на популацията на микроорганизми;
• модел на молекулярно движение и т.н.

В този случай говорим за модели, които са максимално близки до реалните процеси. Като цяло те имитират някакво проявление в природата. В първия случай, например, можем да симулираме динамиката на броя на мравките в една колония. В същото време можете да наблюдавате съдбата на всеки отделен индивид. В този случай рядко се използва математическо описание; по-често присъстват писмени условия:

• след пет дни женската снася яйца;
• след двадесет дни мравката умира и т.н.

По този начин те се използват за описание на голяма система. Математически извод е обработката на получените статистически данни.

Изисквания

Много е важно да знаете, че този тип модели имат някои изисквания, включително тези, посочени в таблицата по-долу.

Универсалност	Това свойство ви позволява да използвате един и същ модел, когато описвате подобни групи от обекти. Важно е да се отбележи, че универсалните математически модели са напълно независими от физическата природа на изследвания обект
Адекватност	Тук е важно да се разбере, че това свойство ви позволява да възпроизвеждате реални процеси възможно най-точно. В оперативните задачи това свойство на математическото моделиране е много важно. Пример за модел е процесът на оптимизиране на използването на газова система. В този случай се сравняват изчислените и действителните показатели, в резултат на което се проверява коректността на съставения модел
точност	Това изискване предполага съвпадението на стойностите, които получаваме при изчисляване на математическия модел и входните параметри на нашия реален обект
Икономичен	Изискването за рентабилност за всеки математически модел се характеризира с разходи за внедряване. Ако работите с модела ръчно, тогава трябва да изчислите колко време ще отнеме решаването на един проблем с помощта на този математически модел. Ако говорим за компютърно проектиране, тогава се изчисляват показатели за времето и разходите за компютърна памет

Етапи на моделиране

Като цяло математическото моделиране обикновено се разделя на четири етапа.

1. Формулиране на закони, свързващи части от модела.
2. Изучаване на математически проблеми.
3. Установяване на съвпадението на практически и теоретични резултати.
4. Анализ и модернизация на модела.

Икономически и математически модел

В този раздел ще подчертаем накратко проблема. Примерите за задачи включват:

• формиране на производствена програма за производство на месни продукти, която осигурява максимална производствена печалба;
• максимизиране на печалбата на организацията чрез изчисляване на оптималното количество маси и столове, произведени в мебелна фабрика и т.н.

Икономико-математическият модел показва икономическа абстракция, която се изразява с помощта на математически термини и символи.

Компютърен математически модел

Примери за компютърен математически модел са:

• хидравлични проблеми с помощта на блок-схеми, диаграми, таблици и др.;
• задачи по механика на твърдо тяло и т.н.

Компютърният модел е изображение на обект или система, представено във формата:

• маси;
• блокови схеми;
• диаграми;
• графики и така нататък.

Освен това този модел отразява структурата и взаимовръзките на системата.

Изграждане на икономико-математически модел

Вече говорихме за това какво е икономико-математически модел. Пример за решаване на проблема ще бъде разгледан точно сега. Трябва да анализираме производствената програма, за да идентифицираме резерв за увеличаване на печалбите с промяна в асортимента.

Няма да разглеждаме цялостно проблема, а само ще изградим икономико-математически модел. Критерият на нашата задача е максимизиране на печалбата. Тогава функцията има вида: А=р1*х1+р2*х2..., клоняща към максимума. В този модел p е печалбата на единица, а x е броят на произведените единици. След това, въз основа на конструирания модел, е необходимо да се направят изчисления и да се обобщят.

Пример за изграждане на прост математически модел

Задача.Рибарят се върна със следния улов:

• 8 риби - обитатели на северните морета;
• 20% от улова са жители на южните морета;
• От местната река не се намери нито една риба.

Колко риби е купил от магазина?

И така, пример за конструиране на математически модел на този проблем изглежда така. Означаваме общия брой риби с x. Следвайки условието, 0,2x е броят на рибите, живеещи в южните ширини. Сега комбинираме цялата налична информация и получаваме математически модел на проблема: x=0,2x+8. Решаваме уравнението и получаваме отговора на основния въпрос: той купи 10 риби в магазина.

ЗАПИС НА ЛЕКЦИЯТА

Според тарифата

"Математическо моделиране на машини и транспортни системи"

В дисциплината се разглеждат въпроси, свързани с математическото моделиране, формата и принципа на представяне на математическите модели. Разглеждат се числени методи за решаване на едномерни нелинейни системи. Разглеждат се въпроси на компютърното моделиране и изчислителния експеримент. Разглеждат се методи за обработка на данни, получени в резултат на научни или промишлени експерименти; изследване на различни процеси, идентифициране на закономерности в поведението на обекти, процеси и системи. Разгледани са методи за интерполация и апроксимация на експериментални данни. Разглеждат се въпроси, свързани с компютърното моделиране и решаване на нелинейни динамични системи. По-специално се разглеждат методите за числено интегриране и решаване на обикновени диференциални уравнения от първи, втори и по-високи редове.

Лекция: Математическо моделиране. Форма и принципи на представяне на математически модели

В лекцията се разглеждат общи въпроси на математическото моделиране. Дадена е класификация на математическите модели.

Компютърът твърдо навлезе в живота ни и практически няма област от човешката дейност, където да не се използва компютър. Сега компютрите се използват широко в процеса на създаване и изследване на нови машини, нови технологични процеси и търсене на техните оптимални възможности; при решаване на икономически проблеми, при решаване на проблеми на планирането и управлението на производството на различни нива. Създаването на големи обекти в ракетната техника, самолетостроенето, корабостроенето, както и проектирането на язовири, мостове и др., по принцип е невъзможно без използването на компютри.

За да се използва компютър за решаване на приложни проблеми, първо, приложният проблем трябва да бъде „преведен“ на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система трябва да бъде изграден негов математически модел.

Думата "Модел" идва от латинския modus (копие, изображение, контур). Моделирането е замяната на някакъв обект A с друг обект B. Замененият обект A се нарича оригинален или моделиращ обект, а заместващият B се нарича модел. С други думи, моделът е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изследването на някои свойства на оригинала.

Целта на моделирането е получаване, обработка, представяне и използване на информация за обекти, които взаимодействат помежду си и с външната среда; и моделът тук действа като средство за разбиране на свойствата и моделите на поведение на даден обект.

Моделирането се използва широко в различни области на човешката дейност, особено в областта на дизайна и управлението, където процесите на вземане на ефективни решения въз основа на получената информация са специални.

Моделът винаги се изгражда с определена цел, която влияе върху това кои свойства на обективно явление са значими и кои не. Моделът е като проекция на обективната реалност от определен ъгъл. Понякога, в зависимост от целите, можете да получите редица проекции на обективната реалност, които влизат в конфликт. Това е характерно, като правило, за сложни системи, в които всяка проекция избира това, което е съществено за определена цел от набор от несъществени.

Теорията на моделирането е клон на науката, който изучава начини за изследване на свойствата на оригинални обекти въз основа на замяната им с други моделни обекти. Теорията на моделирането се основава на теорията на подобието. При моделирането няма абсолютно сходство и се стреми само да гарантира, че моделът отразява достатъчно добре аспекта на функционирането на обекта, който се изследва. Абсолютно сходство може да възникне само когато един обект се замени с друг, напълно същият.

Всички модели могат да бъдат разделени на два класа:

1. истински,

2. идеален.

От своя страна реалните модели могат да бъдат разделени на:

1. в пълен мащаб,

2. физически,

3. математически.

Идеалните модели могат да бъдат разделени на:

1. визуален,

2. емблематичен,

3. математически.

Реалните пълномащабни модели са реални обекти, процеси и системи, върху които се извършват научни, технически и промишлени експерименти.

Реалните физически модели са модели, манекени, които възпроизвеждат физическите свойства на оригиналите (кинематични, динамични, хидравлични, термични, електрически, светлинни модели).

Реално математическите са аналогови, структурни, геометрични, графични, цифрови и кибернетични модели.

Идеалните визуални модели са диаграми, карти, чертежи, графики, графики, аналози, структурни и геометрични модели.

Идеалните знакови модели са символи, азбука, езици за програмиране, подредена нотация, топологична нотация, мрежово представяне.

Идеалните математически модели са аналитични, функционални, симулационни и комбинирани модели.

В горната класификация някои модели имат двойна интерпретация (например аналогова). Всички модели, с изключение на пълномащабните, могат да бъдат комбинирани в един клас ментални модели, тъй като те са продукт на човешкото абстрактно мислене.

Нека се спрем на един от най-универсалните видове моделиране - математическото, което свързва симулирания физически процес със система от математически зависимости, чието решение ни позволява да получим отговор на въпроса за поведението на даден обект, без да създаваме физически модел, който често се оказва скъп и неефективен.

Математическото моделиране е средство за изучаване на реален обект, процес или система чрез замяната им с математически модел, който е по-удобен за експериментално изследване с помощта на компютър.

Математическият модел е приблизително представяне на реални обекти, процеси или системи, изразено в математически термини и запазващо основните характеристики на оригинала. Математическите модели в количествена форма, използвайки логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни връзки.

Като цяло, математическият модел на реален обект, процес или система се представя като система от функционали

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

където X е векторът на входните променливи, X= t,

Y - вектор на изходните променливи, Y= t,

Z - вектор на външните въздействия, Z= t,

t - времева координата.

Изграждането на математически модел се състои в определяне на връзките между определени процеси и явления, създаване на математически апарат, който позволява да се изрази количествено и качествено връзката между определени процеси и явления, между физическите величини, които представляват интерес за специалист, и факторите, влияещи върху краен резултат.

Обикновено има толкова много от тях, че е невъзможно да се въведе целият им набор в модела. При изграждането на математически модел изследователската задача е да се идентифицират и изключат от разглеждането фактори, които не влияят значително на крайния резултат (математическият модел обикновено включва значително по-малък брой фактори, отколкото в действителност). Въз основа на експерименталните данни се излагат хипотези за връзката между величините, изразяващи крайния резултат, и факторите, въведени в математическия модел. Такава връзка често се изразява чрез системи от частични диференциални уравнения (например в проблемите на механиката на твърди тела, течности и газове, теорията на филтрацията, топлопроводимостта, теорията на електростатичните и електродинамичните полета).

Крайната цел на този етап е формулирането на математическа задача, чието решение с необходимата точност изразява резултатите от интерес за специалиста.

Формата и принципите на представяне на математическия модел зависят от много фактори.

Въз основа на принципите на конструиране математическите модели се разделят на:

1. аналитичен;

2. подражание.

В аналитичните модели процесите на функциониране на реални обекти, процеси или системи се записват под формата на изрични функционални зависимости.

Аналитичният модел е разделен на типове в зависимост от математическия проблем:

1. уравнения (алгебрични, трансцендентални, диференциални, интегрални),

2. апроксимационни проблеми (интерполация, екстраполация, числено интегриране и диференциране),

3. проблеми с оптимизацията,

4. стохастични проблеми.

Въпреки това, тъй като обектът на моделиране става по-сложен, изграждането на аналитичен модел се превръща в неразрешим проблем. Тогава изследователят е принуден да използва симулационно моделиране.

При симулационното моделиране функционирането на обекти, процеси или системи се описва от набор от алгоритми. Алгоритмите симулират реални елементарни явления, които изграждат процес или система, като същевременно запазват своята логическа структура и последователност във времето. Симулационното моделиране позволява от изходните данни да се получи информация за състоянията на процес или система в определени моменти от време, но прогнозирането на поведението на обекти, процеси или системи тук е трудно. Можем да кажем, че симулационните модели са компютърно базирани изчислителни експерименти с математически модели, които имитират поведението на реални обекти, процеси или системи.

В зависимост от естеството на реалните процеси и системи, които се изучават, математическите модели могат да бъдат:

1. детерминистичен,

2. стохастичен.

При детерминистичните модели се приема, че няма случайни влияния, елементите на модела (променливи, математически връзки) са доста точно установени и поведението на системата може да бъде точно определено. При конструирането на детерминирани модели най-често се използват алгебрични уравнения, интегрални уравнения и матрична алгебра.

Стохастичният модел отчита случайния характер на процесите в изследваните обекти и системи, който се описва с методите на теорията на вероятностите и математическата статистика.

В зависимост от вида на входната информация, моделите се разделят на:

1. непрекъснато,

2. дискретен.

Ако информацията и параметрите са непрекъснати и математическите връзки са стабилни, тогава моделът е непрекъснат. И обратно, ако информацията и параметрите са дискретни, а връзките са нестабилни, то математическият модел е дискретен.

Въз основа на поведението на моделите във времето те се разделят на:

1. статичен,

2. динамичен.

Статичните модели описват поведението на обект, процес или система във всеки момент от време. Динамичните модели отразяват поведението на обект, процес или система във времето.

Въз основа на степента на съответствие между математическия модел и реален обект, процес или система, математическите модели се разделят на:

1. изоморфен (идентичен по форма),

2. хомоморфни (различни по форма).

Един модел се нарича изоморфен, ако има пълно съответствие елемент по елемент между него и реален обект, процес или система. Хомоморфен - ако има съответствие само между най-значимите компоненти на обекта и модела.

В бъдеще, за да дефинираме накратко вида на математическия модел в горната класификация, ще използваме следната нотация:

Първа буква:

D - детерминистичен,

C - стохастичен.

Второ писмо:

N - непрекъснато,

D - дискретни.

Трето писмо:

А - аналитичен,

И – имитация.

1. Няма (по-точно не се отчита) влиянието на случайни процеси, т.е. детерминиран модел (D).

2. Информацията и параметрите са непрекъснати, т.е. модел - непрекъснат (N),

3. Функционирането на модела на коляновия механизъм се описва под формата на нелинейни трансцендентални уравнения, т.е. модел - аналитичен (A)

2. Лекция: Особености на конструиране на математически модели

Лекцията описва процеса на конструиране на математически модел. Даден е словесен алгоритъм на процеса.

За да се използва компютър за решаване на приложни проблеми, първо, приложният проблем трябва да бъде „преведен“ на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система трябва да бъде изграден негов математически модел.

Математическите модели в количествена форма, използвайки логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни връзки.

За да изградите математически модел, трябва:

1. внимателно анализирайте реален обект или процес;

2. изтъкват най-съществените му характеристики и свойства;

3. дефинирайте променливи, т.е. параметри, чиито стойности влияят върху основните характеристики и свойства на обекта;

4. описват зависимостта на основните свойства на обект, процес или система от стойностите на променливите, използвайки логико-математически връзки (уравнения, равенства, неравенства, логико-математически конструкции);

5. подчертават вътрешните връзки на обект, процес или система с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции;

6. идентифицира външни връзки и ги описва с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции.

Математическото моделиране, в допълнение към изучаването на обект, процес или система и изготвянето на математическото му описание, също включва:

1. изграждане на алгоритъм, който моделира поведението на обект, процес или система;

2. проверка на адекватността на модела и обекта, процеса или системата въз основа на изчислителни и пълномащабни експерименти;

3. настройка на модела;

4. използване на модела.

Математическото описание на изследваните процеси и системи зависи от:

1. природата на реален процес или система и се съставя въз основа на законите на физиката, химията, механиката, термодинамиката, хидродинамиката, електротехниката, теорията на пластичността, теорията на еластичността и др.

2. необходимата достоверност и точност на изследването и изследването на реални процеси и системи.

На етапа на избор на математически модел се установяват: линейност и нелинейност на обект, процес или система, динамичност или статичност, стационарност или нестационарност, както и степента на детерминираност на обекта или процеса, който се изследва. При математическото моделиране човек умишлено се абстрахира от специфичната физическа природа на обекти, процеси или системи и се фокусира главно върху изследването на количествените зависимости между величините, които описват тези процеси.

Един математически модел никога не е напълно идентичен с разглеждания обект, процес или система. Въз основа на опростяване и идеализиране, това е приблизително описание на обекта. Следователно резултатите, получени от анализа на модела, са приблизителни. Тяхната точност се определя от степента на адекватност (съответствие) между модела и обекта.

Изграждането на математически модел обикновено започва с изграждането и анализа на най-простия, груб математически модел на разглеждания обект, процес или система. В бъдеще, ако е необходимо, моделът се усъвършенства и съответствието му с обекта се прави по-пълно.

Да вземем един прост пример. Необходимо е да се определи площта на бюрото. Обикновено това се прави чрез измерване на неговата дължина и ширина и след това умножаване на получените числа. Тази елементарна процедура всъщност означава следното: реален обект (повърхност на маса) се заменя с абстрактен математически модел - правоъгълник. Размерите, получени чрез измерване на дължината и ширината на повърхността на масата, се присвояват на правоъгълника, а площта на такъв правоъгълник приблизително се приема за необходимата площ на масата.

Въпреки това, правоъгълният модел за бюро е най-простият, най-груб модел. Ако подходите по-сериозно към проблема, преди да използвате правоъгълен модел за определяне на площта на масата, този модел трябва да бъде проверен. Проверките могат да се извършват по следния начин: измерете дължините на противоположните страни на масата, както и дължините на нейните диагонали и ги сравнете една с друга. Ако с необходимата степен на точност дължините на противоположните страни и дължините на диагоналите са равни по двойки, тогава повърхността на масата наистина може да се разглежда като правоъгълник. В противен случай правоъгълният модел ще трябва да бъде отхвърлен и заменен с общ четириъгълен модел. При по-високи изисквания за точност може да се наложи моделът да се прецизира още повече, например да се вземе предвид закръгляването на ъглите на масата.

Използвайки този прост пример, беше показано, че математическият модел не се определя еднозначно от обекта, процеса или системата, които се изучават. За една и съща таблица можем да приемем или модел на правоъгълник, или по-сложен модел на общ четириъгълник, или четириъгълник със заоблени ъгли. Изборът на един или друг модел се определя от изискването за точност. С нарастване на точността моделът трябва да се усложнява, като се отчитат все нови и нови особености на обекта, процеса или системата, които се изследват.

Нека разгледаме друг пример: изследване на движението на коляновия механизъм (фиг. 2.1).

Ориз. 2.1.

За кинематичния анализ на този механизъм, на първо място, е необходимо да се изгради неговият кинематичен модел. За това:

1. Заменяме механизма с кинематичната му схема, където всички връзки са заменени с твърди връзки;

2. Използвайки тази диаграма, извеждаме уравнението на движението на механизма;

3. Диференцирайки последните, получаваме уравненията на скоростите и ускорението, които са диференциални уравнения от 1-ви и 2-ри ред.

Нека напишем тези уравнения:

където C 0 е крайната дясна позиция на плъзгача C:

r – радиус на манивела AB;

l – дължина на мотовилката BC;

– ъгъл на завъртане на манивелата;

Получените трансцендентални уравнения представляват математически модел на движението на плосък аксиален колянов механизъм, базиран на следните опростяващи предположения:

1. не се интересувахме от структурните форми и разположението на масите, включени в механизма на телата, и заменихме всички тела на механизма с прави сегменти. Всъщност всички връзки на механизма имат маса и доста сложна форма. Например свързващият прът е сложен възел, чиято форма и размери, разбира се, ще повлияят на движението на механизма;

2. при конструирането на математически модел на движението на разглеждания механизъм също не взехме предвид еластичността на телата, включени в механизма, т.е. всички връзки се разглеждат като абстрактни абсолютно твърди тела. В действителност всички тела, включени в механизма, са еластични тела. Когато механизмът се движи, те по някакъв начин ще се деформират и дори могат да възникнат еластични вибрации в тях. Всичко това, разбира се, ще повлияе и на движението на механизма;

3. не сме взели под внимание производствената грешка на връзките, пропуските в кинематичните двойки A, B, C и т.н.

Ето защо е важно още веднъж да се подчертае, че колкото по-високи са изискванията за точност на резултатите от решаването на даден проблем, толкова по-голяма е необходимостта да се вземат предвид характеристиките на обекта, процеса или системата, които се изучават при конструирането на математически модел. Важно е обаче да спрете тук навреме, тъй като сложен математически модел може да се превърне в труден за решаване проблем.

Един модел се конструира най-лесно, когато законите, които определят поведението и свойствата на даден обект, процес или система, са добре известни и има богат практически опит в тяхното приложение.

По-сложна ситуация възниква, когато знанията ни за обекта, процеса или системата, които се изучават, са недостатъчни. В този случай при конструирането на математически модел е необходимо да се направят допълнителни предположения, които са от естеството на хипотези, такъв модел се нарича хипотетичен. Изводите, получени в резултат на изследването на такъв хипотетичен модел, са условни. За да се проверят заключенията, е необходимо да се сравнят резултатите от изучаването на модела на компютър с резултатите от пълномащабен експеримент. По този начин въпросът за приложимостта на определен математически модел за изследване на разглеждания обект, процес или система не е математически въпрос и не може да бъде решен с математически методи.

Основният критерий за истината е експериментът, практиката в най-широкия смисъл на думата.

Изграждането на математически модел в приложните задачи е един от най-сложните и важни етапи на работа. Опитът показва, че в много случаи изборът на правилния модел означава решаване на проблема повече от половината. Трудността на този етап е, че изисква комбинация от математически и специални знания. Ето защо е много важно при решаването на приложни задачи математиците да имат специални познания за обекта, а техните партньори, специалисти, да имат определена математическа култура, изследователски опит в своята област, познания по компютри и програмиране.

Лекция 3. Компютърно моделиране и изчислителен експеримент. Решаване на математически модели

Компютърното моделиране като нов метод на научно изследване се основава на:

1. изграждане на математически модели за описание на изследваните процеси;

2. използване на най-новите компютри с висока скорост (милиони операции в секунда) и способни да водят диалог с човек.

Същността на компютърното моделиране е следната: въз основа на математически модел се извършва серия от изчислителни експерименти с помощта на компютър, т.е. изследват се свойствата на обекти или процеси, намират се техните оптимални параметри и режими на работа и се усъвършенства моделът. Например, разполагайки с уравнение, което описва хода на определен процес, можете да промените неговите коефициенти, начални и гранични условия и да проучите как ще се държи обектът. Освен това е възможно да се предвиди поведението на даден обект при различни условия.

Изчислителният експеримент ви позволява да замените скъп пълномащабен експеримент с компютърни изчисления. Позволява за кратко време и без значителни материални разходи да се проучат голям брой опции за проектиран обект или процес за различни режими на неговата работа, което значително намалява времето, необходимо за разработване на сложни системи и тяхното внедряване в производството .

Компютърното моделиране и изчислителният експеримент като нов метод на научно изследване позволява да се подобри математическият апарат, използван при конструирането на математически модели, и позволява, използвайки математически методи, да изясни и усложни математическите модели. Най-обещаващото за провеждане на изчислителен експеримент е използването му за решаване на големи научни, технически и социално-икономически проблеми на нашето време (проектиране на реактори за атомни електроцентрали, проектиране на язовири и водноелектрически централи, магнитохидродинамични преобразуватели на енергия и в областта на икономиката - съставяне на балансиран план за отрасъл, регион, за страната и др.).

В някои процеси, при които естественият експеримент е опасен за живота и здравето на хората, изчислителният експеримент е единственият възможен (термоядрен синтез, изследване на космоса, проектиране и изследване на химическата и други индустрии).

За да се провери адекватността на математическия модел и реалния обект, процес или система, резултатите от компютърното изследване се сравняват с резултатите от експеримент върху прототип на пълномащабен модел. Резултатите от тестовете се използват за коригиране на математическия модел или се решава въпросът за приложимостта на конструирания математически модел за проектиране или изследване на определени обекти, процеси или системи.

В заключение още веднъж подчертаваме, че компютърното моделиране и изчислителният експеримент позволяват да се намали изследването на „нематематически“ обект до решаването на математически проблем. Това отваря възможността за използването на добре развит математически апарат в комбинация с мощна изчислителна технология за изучаването му. Това е основата за използването на математиката и компютрите за разбиране на законите на реалния свят и тяхното използване на практика.

В проблемите на проектирането или изучаването на поведението на реални обекти, процеси или системи, математическите модели обикновено са нелинейни, т.к. те трябва да отразяват реални физически нелинейни процеси, протичащи в тях. Освен това параметрите (променливите) на тези процеси са свързани помежду си с физически нелинейни закони. Ето защо в проблемите на проектирането или изучаването на поведението на реални обекти, процеси или системи най-често се използват математически модели като ДНК.

Според класификацията, дадена в лекция 1:

D – моделът е детерминиран, липсва влиянието на случайни процеси (по-точно не се отчита).

N – непрекъснат модел, информацията и параметрите са непрекъснати.

А – аналитичен модел, функционирането на модела се описва под формата на уравнения (линейни, нелинейни, системи от уравнения, диференциални и интегрални уравнения).

И така, изградихме математически модел на разглеждания обект, процес или система, т.е. представи приложния проблем като математически. След това започва вторият етап от решаването на приложния проблем - търсенето или разработването на метод за решаване на формулирания математически проблем. Методът трябва да е удобен за внедряването му на компютър и да осигурява необходимото качество на решението.

Всички методи за решаване на математически задачи могат да бъдат разделени на 2 групи:

1. точни методи за решаване на проблеми;

2. числени методи за решаване на задачи.

При точните методи за решаване на математически задачи отговорът може да се получи под формата на формули.

Например, изчисляване на корените на квадратно уравнение:

или, например, изчисляване на производни функции:

или изчисляване на определен интеграл:

Въпреки това, като заместваме числа във формулата като крайни десетични дроби, все още получаваме приблизителни стойности на резултата.

За повечето проблеми, срещани на практика, точните методи за решаване са или неизвестни, или предоставят много тромави формули. Те обаче не винаги са необходими. Един приложен проблем може да се счита за практически решен, ако сме в състояние да го решим с необходимата степен на точност.

За решаване на такива проблеми са разработени числени методи, при които решаването на сложни математически задачи се свежда до последователно изпълнение на голям брой прости аритметични операции. Прякото развитие на числените методи принадлежи на изчислителната математика.

Пример за числен метод е методът на правоъгълниците за приблизително интегриране, който не изисква изчисляване на първоизводната за интегралната функция. Вместо интеграла се изчислява крайната квадратурна сума:

x 1 =a – долна граница на интегриране;

x n+1 =b – горна граница на интегриране;

n – брой сегменти, на които е разделен интеграционният интервал (a,b);

– дължина на елементарен сегмент;

f(x i) – стойността на подинтегралната функция в краищата на елементарните интегрални сегменти.

Колкото по-голям е броят на сегментите n, на които е разделен интеграционният интервал, толкова по-близо е приблизителното решение до истинското, т.е. толкова по-точен е резултатът.

По този начин в приложни задачи, както при използване на точни методи за решаване, така и при използване на числени методи за решаване, резултатите от изчислението са приблизителни. Важно е само да се гарантира, че грешките отговарят на необходимата точност.

Числените методи за решаване на математически проблеми са известни отдавна, дори преди появата на компютрите, но те са били използвани рядко и само в сравнително прости случаи поради изключителната сложност на изчисленията. Широкото използване на числените методи стана възможно благодарение на компютрите.

вектор на входните променливи, X=t,

Y - вектор на изходните променливи, Y=t,

Z е векторът на външните въздействия, Z= t,

t - времева координата.

Строителство математически моделсе състои в установяване на връзки между определени процеси и явления, създаване на математически апарат, който позволява да се изрази количествено и качествено връзката между определени процеси и явления, между физическите величини, които представляват интерес за специалист, и факторите, влияещи върху крайния резултат.

Обикновено има толкова много от тях, че е невъзможно да се въведе целият им набор в модела. При изграждане математически моделПреди изследването възниква задачата да се идентифицират и изключат от разглеждането фактори, които не влияят значително на крайния резултат ( математически моделобикновено включва значително по-малък брой фактори, отколкото в действителност). Въз основа на експериментални данни се излагат хипотези за връзката между величините, изразяващи крайния резултат, и факторите, въведени в математически модел. Такава връзка често се изразява чрез диференциални системи частични диференциални уравнения(например в проблемите на механиката на твърди тела, течности и газове, теорията на филтрацията, топлопроводимостта, теорията на електростатичните и електродинамичните полета).

Крайната цел на този етап е формулирането на математическа задача, чието решение с необходимата точност изразява резултатите от интерес за специалиста.

Форма и принципи на представяне математически моделзависи от много фактори.

Според принципите на изграждане математически моделиразделена на:

1. аналитичен;
2. имитация.

В аналитичните модели процесите на функциониране на реални обекти, процеси или системи се записват под формата на изрични функционални зависимости.

Аналитичният модел е разделен на типове в зависимост от математическия проблем:

1. уравнения (алгебрични, трансцендентални, диференциални, интегрални),
2. апроксимационни проблеми (интерполация, екстраполация, числено интегриранеИ диференциация),
3. проблеми с оптимизацията,
4. стохастични проблеми.

Въпреки това, тъй като обектът на моделиране става по-сложен, изграждането на аналитичен модел се превръща в неразрешим проблем. Тогава изследователят е принуден да използва симулация.

IN симулационно моделиранефункционирането на обекти, процеси или системи се описва от набор от алгоритми. Алгоритмите симулират реални елементарни явления, които изграждат процес или система, като същевременно ги запазват логическа структураи последователността на възникване във времето. Симулационно моделираневи позволява да получите информация за изходните данни състояния на процесаили системи в определени моменти от време, но предвиждането на поведението на обекти, процеси или системи тук е трудно. Може да се каже, че симулационни модели- извършват се на компютър изчислителни експериментис математически модели, симулиращи поведението на реални обекти, процеси или системи.

В зависимост от характера на реалните процеси и системи, които се изучават математически моделиможе да бъде:

1. детерминистичен,
2. стохастичен.

При детерминистичните модели се приема, че няма случайни влияния, елементите на модела (променливи, математически връзки) са доста точно установени и поведението на системата може да бъде точно определено. При конструирането на детерминирани модели най-често се използват алгебрични уравнения, интегрални уравнения и матрична алгебра.

Стохастичен моделотчита случайния характер на процесите в изследваните обекти и системи, който се описва с методите на теорията на вероятностите и математическата статистика.

В зависимост от вида на входната информация, моделите се разделят на:

1. непрекъснато,
2. отделен.

Ако информацията и параметрите са непрекъснати и математическите връзки са стабилни, тогава моделът е непрекъснат. И обратното, ако информацията и параметрите са дискретни, а връзките са нестабилни, тогава математически модел- отделен.

Въз основа на поведението на моделите във времето те се разделят на:

1. статичен,
2. динамичен.

Статичните модели описват поведението на обект, процес или система във всеки момент от време. Динамичните модели отразяват поведението на обект, процес или система във времето.

Според степента на съответствие между

Какво е математически модел?

Концепцията за математически модел.

Математическият модел е много проста концепция. И много важно. Математическите модели са тези, които свързват математиката и реалния живот.

С прости думи, математическият модел е математическо описание на всяка ситуация.Това е всичко. Моделът може да бъде примитивен или може да бъде супер сложен. Каквато е ситуацията, такъв е моделът.)

Във всеки (повтарям - във всеки!) в случай, че трябва да преброите и изчислите нещо - ние се занимаваме с математическо моделиране. Дори и да не го подозираме.)

P = 2 CB + 3 CM

Този запис ще бъде математически модел на разходите за нашите покупки. Моделът не отчита цвят на опаковката, срок на годност, учтивост на касиерите и др. Ето защо тя модел,не е реална покупка. Но разходите, т.е. от което се нуждаем- ще разберем със сигурност. Ако моделът е правилен, разбира се.

Полезно е да си представим какво е математически модел, но не е достатъчно. Най-важното е да можете да изградите тези модели.

Съставяне (конструиране) на математически модел на задачата.

Да се ​​създаде математически модел означава да се преведат условията на проблема в математическа форма. Тези. превръщайте думите в уравнение, формула, неравенство и др. Освен това, трансформирайте го така, че тази математика да съответства стриктно на изходния текст. В противен случай ще завършим с математически модел на някакъв друг непознат за нас проблем.)

По-точно имате нужда от

В света има безкраен брой задачи. Затова предложете ясни инструкции стъпка по стъпка за изготвяне на математически модел всякаквизадачите са невъзможни.

Но има три основни момента, на които трябва да обърнете внимание.

1. Всеки проблем съдържа текст, колкото и да е странно.) Този текст, като правило, съдържа явна, отворена информация.Числа, стойности и т.н.

2. Всеки проблем има скрита информация.Това е текст, който предполага допълнителни знания в главата ви. Няма как без тях. Освен това математическата информация често е скрита зад прости думи и... се изплъзва от вниманието.

3. Всяка задача трябва да бъде дадена връзка на данните помежду си.Тази връзка може да бъде дадена в обикновен текст (нещо е равно на нещо) или може да бъде скрита зад прости думи. Но простите и ясни факти често се пренебрегват. И моделът не е компилиран по никакъв начин.

Ще кажа веднага: за да приложите тези три точки, трябва да прочетете проблема (и внимателно!) няколко пъти. Обичайното нещо.

А сега - примери.

Нека започнем с един прост проблем:

Петрович се върна от риболов и с гордост представи улова си на семейството. При по-внимателно разглеждане се оказа, че 8 риби идват от северните морета, 20% от всички риби идват от южните морета и нито една не идва от местната река, където Петрович лови риба. Колко риби е купил Петрович в магазина за морски дарове?

Всички тези думи трябва да се превърнат в някакво уравнение. За да направите това, трябва, повтарям, установете математическа връзка между всички данни в проблема.

Къде да започна? Първо, нека извлечем всички данни от задачата. Да започнем по ред:

Нека обърнем внимание на първата точка.

Кой е тук? изричноматематическа информация? 8 риби и 20%. Не много, но нямаме нужда от много.)

Нека обърнем внимание на втората точка.

Търсят скритинформация. Тук е. Това са думите: „20% от цялата риба". Тук трябва да разберете Какво представляват лихвите и как се изчисляват?В противен случай проблемът не може да бъде решен. Точно това е допълнителната информация, която трябва да бъде в главата ви.

Има и математическиинформация, която е напълно невидима. Това въпрос на задачата: "Колко риби купих..."Това също е число. И без него няма да се формира модел. Затова нека означим това число с буквата "Х".Все още не знаем на какво е равно x, но това обозначение ще ни бъде много полезно. Повече подробности за това какво да вземете за X и как да се справите с него са написани в урока Как се решават задачи по математика?Нека го запишем веднага:

x парчета - общ брой риби.

В нашата задача южните риби са дадени като проценти. Трябва да ги превърнем в парчета. За какво? Тогава какво в всякаквипроблемът на модела трябва да бъде изготвен в еднотипни количества.Парчета - значи всичко е на парчета. Ако са дадени, да речем, часове и минути, ние превеждаме всичко в едно нещо - или само часове, или само минути. Няма значение какво е. Важно е че всички стойности бяха от един и същи тип.

Да се ​​върнем на разкриването на информация. Кой не знае какво е процентникога няма да го разкрие, да... И кой знае, веднага ще каже, че тук са дадени процентите от общия брой риби. И ние не знаем този номер. Нищо няма да работи!

Не напразно пишем общия брой риби (на парчета!) "Х"определен. Няма да е възможно да преброим броя на южните риби, но можем да ги запишем? Като този:

0,2 x парчета - броят на рибите от южните морета.

Сега изтеглихме цялата информация от задачата. И явно, и скрито.

Нека обърнем внимание на третата точка.

Търсят математическа връзкамежду данните за задачите. Тази връзка е толкова проста, че мнозина не я забелязват... Това често се случва. Тук е полезно просто да запишете събраните данни на купчина и да видите какво е какво.

какво имаме Яжте 8 броясеверна риба, 0,2 х парчета- южна риба и х риба- обща сума. Възможно ли е някак да се свържат тези данни? Да Лесно! Общ брой риби равно насумата от южните и северните! Е, кой би си помислил...) Затова го записваме:

x = 8 + 0,2x

Това е уравнението математически модел на нашия проблем.

Моля, имайте предвид, че в този проблем От нас не се иска да сгъваме нищо!Ние самите, извън главите си, осъзнахме, че сумата от южната и северната риба ще ни даде общия брой. Нещото е толкова очевидно, че остава незабелязано. Но без това доказателство не може да бъде създаден математически модел. Като този.

Сега можете да използвате цялата мощ на математиката, за да решите това уравнение). Именно затова е съставен математическият модел. Нека го решим линейно уравнениеи получаваме отговора.

Отговор: х=10

Нека създадем математически модел на друг проблем:

Попитаха Петрович: „Имате ли много пари?“ Петрович започна да плаче и отговори: "Да, само малко. Ако похарча половината от всички пари и половината от останалите, тогава ще ми остане само една торба с пари ..." Колко пари има Петрович ?

Отново работим точка по точка.

1. Търсим изрична информация. Няма да го намерите веднага! Изричната информация е единторба с пари. Има някои други половини... Е, ще разгледаме това във втория параграф.

2. Търсим скрита информация. Това са половинки. Какво? Не е много ясно. Търсим по-нататък. Има още един въпрос: — Колко пари има Петрович?Нека обозначим сумата пари с буквата "Х":

х- всички пари

И отново четем проблема. Вече познавам този Петрович хпари. Това е мястото, където половинките ще работят! Записваме:

0,5 х- половината от всички пари.

Остатъкът също ще бъде половината, т.е. 0,5 х.И половината от половината може да се напише така:

0,5 0,5 x = 0,25x- половината от остатъка.

Сега цялата скрита информация е разкрита и записана.

3. Търсим връзка между записаните данни. Тук можете просто да прочетете страданието на Петрович и да го запишете математически):

Ако похарча половината от всички пари...

Нека запишем този процес. Всички пари - Х.половината - 0,5 х. Да харчиш означава да отнемаш. Фразата се превръща в запис:

х - 0,5 х

да половината останало...

Нека извадим друга половина от остатъка:

x - 0,5 x - 0,25x

тогава ще ми остане само една торба с пари...

И тук намерихме равенство! След всички изваждания остава една торба с пари:

х - 0,5 х - 0,25 х = 1

Ето го, математически модел! Отново е линейно уравнение,решаваме, получаваме:

Въпрос за разглеждане. Какво е четири? Рубла, долар, юан? И в какви единици са записани парите в нашия математически модел? В торби!Това означава четири чантапари от Петрович. Също добре.)

Задачите, разбира се, са елементарни. Това е специално за улавяне на същността на изготвянето на математически модел. Някои задачи може да съдържат много повече данни, в които може лесно да се изгубите. Това често се случва при т.нар. компетентностни задачи. Как да извлечете математическо съдържание от купчина думи и числа е показано с примери

Още една забележка. В класическите училищни проблеми (тръби, пълни басейн, лодки, плаващи някъде и т.н.), всички данни, като правило, се избират много внимателно. Има две правила:
- в проблема има достатъчно информация за разрешаването му,
- В проблем няма ненужна информация.

Това е намек. Ако има някаква стойност, останала неизползвана в математическия модел, помислете дали има грешка. Ако няма достатъчно данни, най-вероятно не цялата скрита информация е идентифицирана и записана.

При задачи, свързани с компетентност и други житейски задачи, тези правила не се спазват стриктно. Никаква представа. Но такива проблеми също могат да бъдат решени. Ако, разбира се, практикувате на класическите.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.