Определение 1. Казва се, че в някои опит събитие НО води след себе сипоследвано от настъпване на събитие ATако когато се случи събитието НОсъбитието идва AT. Нотиране на това определение НО Ì AT. По отношение на елементарните събития това означава, че всяко елементарно събитие, включено в НО, също е включена в AT.

Определение 2. Събития НОи ATсе наричат ​​равни или еквивалентни (означават НО= AT), ако НО Ì ATи ATÌ A, т.е. НОи ATсе състоят от едни и същи елементарни събития.

Достоверно събитиее представено от обхващащо множество Ω, а невъзможно събитие е празно подмножество от Æ в него. Непоследователност на събитията НОи ATозначава, че съответните подмножества НОи ATне се пресичат: НО∩AT = Æ.

Определение 3. Сумата от две събития Аи AT(означено ОТ= НО + AT) се нарича събитие ОТ, състояща се от началото на понеедно от събитията НОили AT(съюзът "или" за сумата е ключова дума), т.е. идва или НО, или AT, или НОи ATзаедно.

Пример. Нека двама стрелци стрелят по мишената едновременно и събитието НОсе състои в това, че 1-вият стрелец уцелва целта и събитието б- че вторият стрелец уцелва целта. Събитие А+ бозначава, че мишената е улучена или, с други думи, че поне един от стрелците (1-ви стрелец или 2-ри стрелец, или и двамата стрелци) е улучил мишената.

По същия начин, сумата от краен брой събития НО 1 , НО 2 , …, НО n (обозначено НО= НО 1 + НО 2 + … + НО n) събитието се извиква НО, състояща се от появата на поне единот събития НОаз ( аз = 1, … , н), или произволен набор НОаз ( аз = 1, 2, … , н).

Пример. Сборът от събития А, Б, Ве събитие, състоящо се от настъпването на едно от следните събития: НО, B, C, НОи AT, НОи ОТ, ATи ОТ, НОи ATи ОТ, НОили AT, НОили ОТ, ATили ОТ,НОили ATили ОТ.

Определение 4. Продукт на две събития НОи ATнаречено събитие ОТ(означено ОТ = A ∙ B), състоящ се в това, че в резултат на теста е настъпило и събитие НО,и събитие ATедновременно. (Съюзът „и“ за създаване на събития е ключовата дума.)

Подобно на произведението на краен брой събития НО 1 , НО 2 , …, НО n (обозначено НО = НО 1 ∙НО 2 ∙…∙ НО n) събитието се извиква НО, състоящ се в това, че в резултат на теста са настъпили всички посочени събития.

Пример. Ако събития НО, AT, ОТе появата на "герб" съответно в първия, втория и третия процес, след това събитието НО× AT× ОТи в трите процеса има спад "герб".

Забележка 1. За несъвместими събития НОи ATсправедливо равенство A ∙ B= Æ, където Æ е невъзможно събитие.

Забележка 2. Събития НО 1 , НО 2, … , НО n образуват пълна група от по двойки несъвместими събития, ако .

Определение 5. противоположни събитиясе наричат ​​две уникално възможни несъвместими събития, които образуват пълна група. Събитие, противоположно на събитието НО,е посочено. Събитие, противоположно на събитието НО, е допълнение към събитието НОкъм множеството Ω.

За противоположни събития две условия са изпълнени едновременно A ∙= Æ и A+= Ω.

Определение 6. разликасъбития НОи AT(означено НО– AT) се нарича събитие, състоящо се в това, че събитието НОще дойде и събитието В -не и е равно НО– AT= НО× .

Имайте предвид, че събитията A + B, A ∙ B, , А - Будобно е да се интерпретира графично с помощта на диаграмите на Ойлер-Вен (фиг. 1.1).

Ориз. 1.1. Операции върху събития: отрицание, сума, произведение и разлика

Нека формулираме един пример по следния начин: нека опитът Жсе състои в стрелба на случаен принцип в областта Ω, чиито точки са елементарни събития ω. Нека попадението в областта Ω е определено събитие Ω и попадението в областта НОи AT- според събитията НОи AT. След това събитията A+B(или НОÈ AT- светлина площ на фигурата), A ∙ B(или НОÇ В -зона в центъра) А - Б(или НО\В -леки поддомейни) ще съответства на четирите изображения на фиг. 1.1. При условията на предишния пример с двама стрелци, стрелящи по мишена, продукт на събитията НОи ATще има събитие C = AÇ AT, състоящ се в поразяване на целта с двете стрели.

Забележка 3. Ако операциите върху събития са представени като операции върху множества, а събитията са представени като подмножества на някакво множество Ω, тогава сумата от събития A+Bмач съюз НОÈ ATтези подгрупи, но продукт на събития A ∙ B- кръстовище НО∩ATтези подгрупи.

По този начин операциите върху събития могат да бъдат съпоставени с операции върху множества. Това съответствие е дадено в табл. 1.1

Таблица 1.1

Нотация	Езикът на теорията на вероятностите	Езикът на теорията на множествата
	Космически елемент. събития	Универсален комплект
	елементарно събитие	Елемент от универсалния комплект
	случайно събитие	Подмножество от елементи ω от Ω
	Достоверно събитие	Множеството от всички ω
	Невъзможно събитие	Празен комплект
НОÌ V	НОводи след себе си AT	НО- подмножество AT
A+B(НОÈ AT)	Сума от събития НОи AT	Обединение на комплекти НОи AT
НО× V(НОÇ AT)	Продуциране на събития НОи AT	Пресечна точка на много НОи AT
А - Б(НО\AT)	Събитие Разлика	Задайте разлика

Действията върху събития имат следните свойства:

A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(изместване);

(A+B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A + C) × ( B + C) (разпределителен);

(A+B) + ОТ = НО + (B + C), (A ∙ B) ∙ ОТ= НО ∙ (B ∙ C) (асоциативен);

A + A = A, A ∙ A = A;

НО + Ω = Ω, НО∙ Ω = НО;

Съвместни и несъвместни събития.

Двете събития се наричат ставав даден експеримент, ако появата на един от тях не изключва появата на другия. Примери : Удряне на неразрушима цел с две различни стрели, хвърляне на едно и също число на два зара.

Двете събития се наричат несъвместими(несъвместими) в дадено изпитване, ако не могат да се появят заедно в едно и също изпитване. Казват, че няколко събития са несъвместими, ако са несъвместими по двойки. Примери за несъвместими събития: а) попадение и пропуск с един изстрел; б) случайно се извлича част от кутия с части - събитията „премахната стандартна част” и „премахната нестандартна част” в) разоряването на компанията и нейната печалба.

С други думи, събития НОи ATса съвместими, ако съответните набори НОи ATимат общи елементи и са непоследователни, ако съответните множества НОи ATнямат общи елементи.

Когато се определят вероятностите за събития, често се използва понятието еднакво възможно събития. Няколко събития в даден експеримент се наричат ​​еднакво вероятни, ако според условията на симетрия има основание да се смята, че нито едно от тях не е обективно по-възможно от други (изпадане на герб и опашка, поява на карта на всякакъв костюм, избор на топка от урна и т.н.)

С всяко изпитание е свързана поредица от събития, които, най-общо казано, могат да се случат едновременно. Например, когато хвърляте зар, събитието е двойка, а събитието е четен брой точки. Очевидно тези събития не се изключват взаимно.

Нека всички възможни резултати от теста се извършат в редица единствени възможни специални случаи, взаимно изключващи се един друг. Тогава

ü всеки резултат от теста е представен от едно и само едно елементарно събитие;

ü всяко събитие, свързано с този тест, е набор от краен или безкраен брой елементарни събития;

ü събитие възниква тогава и само ако се реализира едно от елементарните събития, включени в това множество.

Произволно, но фиксирано пространство от елементарни събития може да бъде представено като някаква област на равнината. В този случай елементарните събития са точки от равнината, разположени вътре. Тъй като едно събитие се идентифицира с набор, всички операции, които могат да бъдат извършени върху набори, могат да бъдат извършени върху събития. По аналогия с теорията на множествата се конструира алгебра на събитията. В този случай могат да се дефинират следните операции и връзки между събития:

АÌ б(задайте отношение на включване: набор НОе подмножество на множеството AT) – събитие А води до събитие Б. С други думи, събитието ATвъзниква винаги, когато се случи събитие А. Пример - Отпадането на двойка води до отпадане на четен брой точки.

(задайте отношение на еквивалентност) – събитие идентичноили еквивалентно насъбитие . Това е възможно тогава и само ако и едновременно , т.е. всеки се появява, когато се появява другият. Пример - събитие A - повреда на устройството, събитие B - повреда на поне един от блоковете (частите) на устройството.

() – сбор от събития. Това е събитие, състоящо се в това, че поне едно от двете събития или (логичното „или“) е настъпило. В общия случай сумата от няколко събития се разбира като събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития. Пример - целта е поразена от първия пистолет, втория или и двата едновременно.

() – продукт на събитията. Това е събитие, състоящо се в съвместното изпълнение на събития и (логическо "и"). В общия случай продуктът на няколко събития се разбира като събитие, състоящо се в едновременното изпълнение на всички тези събития. По този начин събитията и са несъвместими, ако техният продукт е невъзможно събитие, т.е. . Пример - събитие A - изваждане на карта с каро цвят от тестето, събитие B - изваждане на асо, след това - появата на каро асо не е настъпила.

Геометричната интерпретация на операциите върху събития често е полезна. Графичната илюстрация на операциите се нарича диаграма на Вен.

Правило за добавяне- ако елемент A може да бъде избран по n начина, а елемент B може да бъде избран по m начина, тогава A или B могат да бъдат избрани по n + m начина.

^ правило за умножение - ако елемент A може да бъде избран по n начина и за всеки избор на A, елемент B може да бъде избран по m начина, тогава двойката (A, B) може да бъде избрана по n m начина.

Пермутация.Пермутацията на набор от елементи е подреждането на елементите в определен ред. По този начин всички различни пермутации на набор от три елемента са

Броят на всички пермутации на елементи се означава с . Следователно броят на всички различни пермутации се изчислява по формулата

Настаняване.Броят на разположенията на набор от елементи по елементи е равен на

^ Поставяне с повторение. Ако има набор от n вида елементи и трябва да поставите елемент от някакъв тип на всяко от m места (типовете елементи могат да съвпадат на различни места), тогава броят на опциите за това ще бъде n m.

^ Комбинация. Определение. Комбинации от различни елементи споределементи се наричат ​​комбинации, които са съставени от данниелементи от елементи и се различават поне с един елемент (с други думи,-елементни подмножества на даденото множество отелементи). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>

1. 
   Пространство на елементарни събития. Случайно събитие. Надеждно събитие. Невъзможно събитие.

Пространство на елементарни събития -всеки набор от взаимно изключващи се резултати от експеримента, така че всеки резултат от интерес за нас може да бъде уникално описан с помощта на елементите на този набор. Случва се крайно и безкрайно (изброимо и неизброимо)

случайно събитие -всяко подмножество от пространството на елементарни събития.

^ Достоверно събитие - е задължително да се случи в резултат на експеримента.

Невъзможно събитие -няма да възникне в резултат на експеримента.

1. 
   Действия върху събития: сбор, произведение и разлика на събития. противоположно събитие. Съвместни и несъвместни събития. Пълна група от събития.

Съвместни събития -ако те могат да възникнат едновременно в резултат на експеримента.

^ Несъвместими събития - ако те не могат да възникнат едновременно в резултат на експеримента. Казва се, че се образуват няколко несвързани събития пълна група от събития, ако един от тях се появи в резултат на експеримента.

Ако първото събитие се състои от всички елементарни резултати, с изключение на тези, включени във второто събитие, тогава такива събития се наричат противоположност.

Сумата от две събития A и B есъбитие, състоящо се от елементарни събития, принадлежащи към поне едно от събитията A или B. ^ Продуктът на две събития A и B събитие, състоящо се от елементарни събития, които принадлежат едновременно на A и B. Разликата между А и Б есъбитие, състоящо се от елементи A, които не принадлежат на събитие B.

1. 
   Класически, статистически и геометрични определения на вероятността. Основни свойства на вероятността за събитие.

Класическа схема: P(A)=, n е броят на възможните резултати, m е броят на резултатите, благоприятстващи събитие A. статистическа дефиниция: W(A)=, n е броят на проведените експерименти, m е броят на проведените експерименти, при които се е появило събитие А. Геометрична дефиниция: P(A)= , g – част от фигура G.

^ Основни свойства на вероятността: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Вероятността за определено събитие е 1, 3) Вероятността за невъзможно събитие е 0.

1. 
   Теорема за събиране на вероятности от несъвместими събития и последствия от нея.

P(A+B) = P(A)+P(B).Следствие 1. P (A 1 + A 2 + ... + A k) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A k), A 1, A 2, ..., A k - са по двойки несъвместими. Следствие 2 . P(A)+P(Ᾱ) = 1. Следствие 3 . Сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група, е 1.

1. 
   Условна вероятност. независими събития. Умножаване на вероятностите за зависими и независими събития.

Условна вероятност - P(B), се изчислява при предположението, че събитие A вече е настъпило. А и В са независимиако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото.

^ Умножение на вероятностите: За наркомани. Теорема. P (A ∙ B) \u003d P (A) ∙ P A (B). Коментирайте. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Последица. P (A 1 ∙ ... ∙ A k) \u003d P (A 1) ∙ P A1 (A 2) ∙ ... ∙ P A1-Ak-1 (A k). За независимите. P(A∙B) = P(A)∙P(B).

1. 
   ^Ттеорема за събиране на вероятностите за съвместни събития. Теорема . Вероятността за настъпване на поне едно от двете съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития без вероятността за съвместното им настъпване.

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A∙B)

1. 
   Формула за пълна вероятност. Формули на Бейс.

Формула за пълна вероятност

H 1, H 2 ... H n - образуват пълна група - хипотези.

Събитие А може да възникне само ако се появи H 1, H 2 ... H n,

Тогава P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)

^ Формула на Бейс

Нека H 1, H 2 ... H n са хипотези, събитие А може да възникне при една от хипотезите

P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)

Да приемем, че се е случило събитие А.

Как се е променила вероятността за H 1 поради факта, че се е случило A? Тези. R A (H 1)

R (A * H 1) \u003d R (A) * R A (H 1) \u003d R (H 1) * R n1 (A) => R A (H 1) \u003d (P (H 1) * R n1 ( A))/ P(A)

H2, H3 ... Hn се дефинират по подобен начин

Обща форма:

Р А (Н i)= (Р (Н i)* Р n i (А))/ Р (А) , където i=1,2,3…n.

Формулите ви позволяват да надцените вероятностите на хипотезите в резултат на това как резултатът от теста става известен, в резултат на което се появи събитието А.

"Преди" теста - априорни вероятности - P (N 1), P (N 2) ... P (N n)

"След" теста - апостериорни вероятности - R A (H 1), R A (H 2) ... R A (H n)

Задните вероятности, подобно на предишните вероятности, се събират до 1.
9. Формули на Бернули и Поасон.

Формула на Бернули

Нека има n опита, във всяко от които събитие А може да се случи или да не се случи. Ако вероятността за събитие А във всеки от тези опити е постоянна, тогава тези опити са независими по отношение на А.

Да разгледаме n независими опита, във всяко от които А може да се появи с вероятност p. Такава последователност от тестове се нарича схема на Бернули.

Теорема: вероятността в n опита събитие А да се случи точно m пъти е равна на: P n (m)=C n m *p m *q n - m

Числото m 0 - настъпването на събитие А се нарича най-вероятно, ако съответната вероятност P n (m 0) не е по-малка от друга P n (m)

P n (m 0) ≥ P n (m), m 0 ≠ m

За да намерите m 0 използвайте:

np-q≤ m 0 ≤np+q

^ Формула на Поасон

Помислете за теста на Бернули:

n е броят на опитите, p е вероятността за успех

Нека p е малко (p→0) и n голямо (n→∞)

среден брой случаи на успех в n опита

λ=n*p → p= λвъвеждаме във формулата на Бернули:

P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →

→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Поасон)

Ако p≤0.1 и λ=n*p≤10, тогава формулата дава добри резултати.
10. Локални и интегрални теореми на Моавр-Лаплас.

Нека n е броят на опитите, p е вероятността за успех, n е голямо и клони към безкрайност. (n->∞)

^ Локална теорема

Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , където f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2

Ако npq≥ 20 - дава добри резултати, x=(m-np)/(npg)^ 1/2

^ Интегрална теорема

P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),

където ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt е функцията на Лаплас

x 1 \u003d (a-np) / (npq) ^ 1/2, x 2 \u003d (b-np) / (npq) ^ 1/2

Свойства на функцията на Лаплас

1. 
   ȹ(x) – странна функция: ȹ(-x)=- ȹ(x)
2. 
   ȹ(x) – монотонно нарастващ
3. 
   стойности ȹ(x) (-0.5;0.5), и lim x →∞ ȹ(x)=0.5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5

Последствия

1. 
   P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
2. 
   P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), където z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
3. 
   P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)

m/n относителна честота на поява на успех в опитите

11. Случайна стойност. Видове случайни величини. Методи за задаване на случайна величина.

SW е функция, дефинирана върху набор от елементарни събития.

X,Y,Z е NE и неговата стойност е x,y,z

Случаенте наричат ​​стойност, която в резултат на тестове ще приеме една и само една възможна стойност, която не е известна предварително и зависи от случайни причини, които не могат да бъдат взети предвид предварително.

SW отделен, ако множеството от неговите стойности е ограничено или преброено (те могат да бъдат номерирани). Той приема отделни, изолирани възможни стойности с определени вероятности. Броят на възможните стойности на дискретна CV може да бъде краен или безкраен.

SW непрекъснато, ако приема всички възможни стойности от някакъв интервал (по цялата ос). Неговите стойности могат да се различават много малко.

^ Дискретен закон за разпределение на SW м.б. дадено:

1.маса

х	х 1	х 2	…	x n
P(X)	стр. 1	стр. 2	…	p n

(обхват на разпространение)

X \u003d x 1) са несъвместими

p 1 + p 2 +… p n =1= ∑p i

2.графичен

Многоъгълник на разпределение на вероятностите

3.аналитичен

P=P(X)
12. Функция на разпределение на случайна величина. Основни свойства на функцията на разпределение.

Функцията на разпределение на CV X е функция F(X), която определя вероятността CV X да приеме стойност, по-малка от x, т.е.

x x = кумулативна функция на разпределение

Непрекъснатият SW има непрекъсната, частично диференцируема функция.

Цел:да запознае учениците с правилата за събиране и умножение на вероятности, концепцията за противоположни събития върху кръговете на Ойлер.

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава закономерностите в случайните явления.

случайно явление- това е феномен, който при многократно възпроизвеждане на едно и също преживяване протича всеки път по малко по-различен начин.

Ето примери за случайни събития: хвърлят се зарове, хвърля се монета, стреля се по мишена и т.н.

Всички дадени примери могат да се разглеждат от една и съща гледна точка: случайни вариации, неравномерни резултати от серия от експерименти, чиито основни условия остават непроменени.

Съвсем очевидно е, че в природата няма нито едно физическо явление, в което в една или друга степен да не присъстват елементи на случайност. Колкото и точно и детайлно да са определени условията на експеримента, не е възможно да се гарантира, че при повторение на експеримента резултатите напълно и точно съвпадат.

Случайни отклонения неизбежно съпътстват всяко природно явление. Въпреки това, в редица практически задачи тези случайни елементи могат да бъдат пренебрегнати, като вместо реално явление се разглежда неговата опростена „моделна“ схема и се приема, че при дадените експериментални условия явлението протича по напълно определен начин.

Съществуват обаче редица проблеми, при които резултатът от интересен за нас експеримент зависи от толкова голям брой фактори, че е практически невъзможно да се регистрират и вземат предвид всички тези фактори.

Случайните събития могат да се комбинират едно с друго по различни начини. В този случай се формират нови случайни събития.

За визуално представяне на събития използвайте Диаграми на Ойлер. На всяка такава диаграма правоъгълник представлява множеството от всички елементарни събития (фиг. 1). Всички останали събития са изобразени вътре в правоъгълника като част от него, ограничена със затворена линия. Обикновено такива събития изобразяват кръгове или овали в рамките на правоъгълник.

Нека разгледаме най-важните свойства на събитията, използвайки диаграми на Ойлер.

Комбиниране на събитияА ибнаричаме събитието C, състоящо се от елементарни събития, принадлежащи на събитието A или B (понякога обединението се нарича сума).

Резултатът от обединението може да бъде представен графично чрез диаграмата на Ойлер (фиг. 2).

Пресечна точка на събития А и Бизвикайте събитие C, което благоприятства както събитие A, така и събитие B (понякога пресечните точки се наричат ​​продукт).

Резултатът от пресичането може да бъде представен графично чрез диаграмата на Ойлер (фиг. 3).

Ако събития A и B нямат общи благоприятни елементарни събития, тогава те не могат да се появят едновременно в хода на едно и също преживяване. Такива събития се наричат несъвместими, и тяхното пресичане - празно събитие.

Разликата между събития А и Бнаричаме събитие C, състоящо се от елементарни събития A, които не са елементарни събития B.

Резултатът от разликата може да бъде представен графично чрез диаграмата на Ойлер (фиг. 4)

Нека правоъгълникът представлява всички елементарни събития. Събитие А е изобразено като кръг в правоъгълник. Останалата част от правоъгълника изобразява обратното на събитие А, събитието (фиг. 5)

Събитие, противоположно на събитие АСъбитие се нарича събитие, което се предпочита от всички елементарни събития, които не са благоприятни за събитие А.

Събитието, противоположно на събитието А, обикновено се означава с .

Примери за противоположни събития.

Комбиниране на множество събитиясе нарича събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.

Например, ако опитът се състои от пет изстрела по мишена и събитията са дадени:

A0 - няма попадения;
A1 - точно едно попадение;
А2 - точно 2 попадения;
А3 - точно 3 попадения;
А4 - точно 4 попадения;
А5 - точно 5 попадения.

Намерете събития: не повече от две попадения и не по-малко от три попадения.

Решение: A=A0+A1+A2 - не повече от две попадения;

B = A3 + A4 + A5 - поне три попадения.

Пресечна точка на няколко събитияНарича се събитие, състоящо се в съвместното възникване на всички тези събития.

Например, ако са произведени три изстрела по мишена и се вземат предвид събитията:

B1 - пропуск на първия изстрел,
B2 - пропуск на втори удар,
VZ - пропуск на третия изстрел,

това събитие е, че няма да има попадение в целта.

Когато се определят вероятностите, често е необходимо да се представят сложни събития като комбинации от по-прости събития, като се използват както обединение, така и пресичане на събития.

Например, да кажем, че са произведени три изстрела по мишена и се вземат предвид следните елементарни събития:

Първо попадение
- пропуск при първа стрелба
- удар на втория удар,
- пропуск на втория удар,
- удар на третия изстрел,
- пропуск на третата стрелба.

Да разгледаме по-сложно събитие B, състоящо се в това, че в резултат на тези три изстрела ще има точно едно попадение в целта. Събитие B може да бъде представено като следната комбинация от елементарни събития:

Събитие C, състоящо се във факта, че ще има поне две попадения в целта, може да бъде представено като:

Фигури 6.1 и 6.2 показват обединението и пресичането на три събития.

фиг.6

За определяне на вероятностите за събития се използват не преки преки методи, а косвени. Позволяване на известните вероятности за някои събития да определят вероятностите за други събития, свързани с тях. Прилагайки тези косвени методи, ние винаги използваме основните правила на теорията на вероятностите под една или друга форма. Има две от тези правила: правилото за добавяне на вероятности и правилото за умножаване на вероятностите.

Правилото за добавяне на вероятности е формулирано по следния начин.

Вероятността за комбиниране на две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

P(A) + P() = 1.

На практика често е по-лесно да се изчисли вероятността от противоположното събитие А, отколкото вероятността от директното събитие А. В тези случаи изчислете P (A) и намерете

P(A) = 1-P().

Нека да разгледаме няколко примера за прилагане на правилото за добавяне.

Пример 1. В лотарията има 1000 билета; от които един билет печели 500 рубли, 10 билета печелят 100 рубли, 50 билета печелят 20 рубли, 100 билета печелят 5 рубли, а останалите билети са непечеливши. Някой купува един билет. Намерете вероятността да спечелите поне 20 рубли.

Решение. Помислете за събитията:

A - спечелете поне 20 рубли,

A1 - спечелете 20 рубли,
A2 - спечелете 100 рубли,
A3 - спечелете 500 рубли.

Очевидно A = A1 + A2 + A3.

Според правилото за добавяне на вероятности:

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.

Пример 2. Бомбардирани са три склада с боеприпаси и е хвърлена една бомба. Вероятността за попадение в първия склад е 0,01; във втория 0,008; в третата 0,025. Когато един от складовете е ударен, и трите експлодират. Намерете вероятността складовете да бъдат взривени.

Сигурни и невъзможни събития

достоверенСъбитие се нарича събитие, което определено ще се случи, ако е изпълнен определен набор от условия.

НевъзможенСъбитие се нарича събитие, което със сигурност няма да се случи, ако е изпълнен определен набор от условия.

Извиква се събитие, което съвпада с празното множество невъзможенсъбитие, а събитие, което съвпада с цялото множество, се нарича надежденсъбитие.

Събитията се наричат еднакво възможноако няма причина да се смята, че едно събитие е по-вероятно от други.

Теорията на вероятностите е наука, която изучава моделите на случайни събития. Един от основните проблеми в теорията на вероятностите е проблемът за определяне на количествена мярка за възможността за възникване на събитие.

АЛГЕБРА НА СЪБИТИЯТА

Операции върху събития (сума, разлика, произведение)

Всяко изпитание е свързано с редица интересни за нас събития, които най-общо казано могат да се появят едновременно. Например, когато хвърляте зар (т.е. зар с точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 на лицата), събитието е двойка, а събитието е четен брой точки. Очевидно тези събития не се изключват взаимно.

Нека всички възможни резултати от теста се извършат в редица единствени възможни специални случаи, взаимно изключващи се един друг. Тогава:

• всеки резултат от теста е представен от едно и само едно елементарно събитие;
• · всяко събитие, свързано с този тест, е набор от краен или безкраен брой елементарни събития;
• · събитие възниква тогава и само ако се реализира едно от елементарните събития, включени в това множество.

С други думи, дадено е произволно, но фиксирано пространство от елементарни събития, което може да бъде представено като определена област на равнината. В този случай елементарните събития са точки от равнината, разположени вътре. Тъй като едно събитие се идентифицира с набор, всички операции, които могат да бъдат извършени върху набори, могат да бъдат извършени върху събития. Тоест, по аналогия с теорията на множествата, човек конструира алгебра на събитията. По-специално се дефинират следните операции и връзки между събития:

(връзка на включване на множества: множеството е подмножество на множество) - събитие A води до събитие B. С други думи, събитие B възниква винаги, когато се случва събитие A. (set equivalence relation) - събитие е идентично или еквивалентно на събитие. Това е възможно тогава и само ако и едновременно, т.е. всеки се появява, когато се появява другият. () - сбор от събития. Това е събитие, състоящо се в това, че е настъпило поне едно от двете събития или (без да се изключва логическото „или“). В общия случай сумата от няколко събития се разбира като събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.

() - продукт на събитията. Това е събитие, състоящо се в съвместното изпълнение на събития и (логическо "и"). В общия случай продуктът на няколко събития се разбира като събитие, състоящо се в едновременното изпълнение на всички тези събития. По този начин събитията и са несъвместими, ако техният продукт е невъзможно събитие, т.е. .

(съвкупност от елементи, принадлежащи, но не принадлежащи) - разлика от събития. Това е събитие, състоящо се от селекции, включени в, но не включени в. Тя се крие във факта, че събитие се случва, но събитие не се случва.

Обратното (допълнително) за събитие (означено) е събитие, състоящо се от всички резултати, които не са включени в. Две събития се наричат ​​противоположни, ако настъпването на едно от тях е еквивалентно на ненастъпването на другото. Събитие, противоположно на събитие, възниква тогава и само ако събитието не се случва. С други думи, настъпването на събитие просто означава, че събитието не се е случило.

Симетричната разлика на две събития и (означено) се нарича събитие, състоящо се от резултати, включени в или, но не включени в и едновременно. Значението на събитието е, че едно и само едно от събитията или се случва. Симетричната разлика се означава с: или.