ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์ กลศาสตร์ทางเทคนิค กลศาสตร์เชิงทฤษฎี

(ระบบเครื่องกล) – ตัวเลือก IV

1. สมการพื้นฐานของไดนามิกของจุดวัสดุดังที่ทราบกันดีแสดงโดยสมการ สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดไม่อิสระ ระบบเครื่องกลการแบ่งแรงมี 2 วิธี สามารถเขียนได้เป็น 2 รูปแบบ:

(1) โดยที่ k=1, 2, 3, … , n – จำนวนจุดของระบบวัสดุ

(2)

มวลของจุด k อยู่ที่ไหน - เวกเตอร์รัศมีของจุดที่ k - แรง (แอคทีฟ) ที่กำหนดซึ่งกระทำต่อจุดที่ k หรือผลลัพธ์ของแรงแอคทีฟทั้งหมดที่กระทำต่อจุดที่ k - ผลลัพธ์ของแรงปฏิกิริยาพันธะที่กระทำต่อจุดที่ k - ผลลัพธ์ กองกำลังภายในทำหน้าที่บนจุดที่ k; - ผลของแรงภายนอกที่กระทำต่อจุดที่ k

การใช้สมการ (1) และ (2) ทำให้เราสามารถพยายามแก้ไขปัญหาไดนามิกทั้งที่หนึ่งและที่สองได้ อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาที่สองของไดนามิกสำหรับระบบกลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก ไม่เพียงแต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นเพราะเรากำลังเผชิญกับความยากลำบากขั้นพื้นฐานอีกด้วย ประกอบด้วยความจริงที่ว่าทั้งสำหรับระบบ (1) และสำหรับระบบ (2) จำนวนสมการมีความสำคัญ จำนวนน้อยลงไม่ทราบ

ดังนั้น หากเราใช้ (1) พลวัตที่ทราบสำหรับปัญหาที่สอง (ผกผัน) จะเป็น และ และพลศาสตร์ที่ไม่ทราบจะเป็น และ สมการเวกเตอร์จะเป็น " n” และสิ่งที่ไม่รู้จัก -“ 2n”

หากเราดำเนินการจากระบบสมการ (2) ก็จะทราบแรงภายนอกบางส่วน ทำไมต้องเป็นส่วนหนึ่ง? ความจริงก็คือจำนวนแรงภายนอกยังรวมถึงปฏิกิริยาภายนอกของการเชื่อมต่อที่ไม่ทราบด้วย นอกจากนี้..ยังจะไม่มีใครรู้จัก..

ดังนั้นทั้งระบบ (1) และระบบ (2) จึงไม่ถูกปิด จำเป็นต้องเพิ่มสมการโดยคำนึงถึงสมการของการเชื่อมต่อ และอาจจำเป็นต้องกำหนดข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับการเชื่อมต่อด้วย จะทำอย่างไร?

หากเราเริ่มจาก (1) เราก็จะสามารถทำตามแนวทางการแต่งสมการลากรองจ์ประเภทแรกได้ แต่เส้นทางนี้ไม่สมเหตุสมผลเพราะว่า งานที่ง่ายขึ้น(ระดับความเป็นอิสระน้อยลง) ยิ่งแก้ได้ยากจากมุมมองทางคณิตศาสตร์

ถ้าอย่างนั้น เรามาสนใจระบบ (2) โดยที่ - ไม่เป็นที่รู้จักเสมอไป ขั้นตอนแรกในการแก้ปัญหาระบบคือการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้เหล่านี้ ควรจำไว้ว่าตามกฎแล้วเราไม่สนใจแรงภายในเมื่อระบบเคลื่อนที่นั่นคือเมื่อระบบเคลื่อนที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่าแต่ละจุดของระบบเคลื่อนที่อย่างไร แต่ก็เพียงพอแล้ว เพื่อทราบว่าระบบโดยรวมมีความเคลื่อนไหวอย่างไร

ดังนั้นหาก วิธีทางที่แตกต่างแยกกองกำลังที่ไม่รู้จักออกจากระบบ (2) จากนั้นเราจะได้ความสัมพันธ์บางอย่าง กล่าวคือ บางอย่างปรากฏขึ้น ลักษณะทั่วไปสำหรับระบบ ความรู้ที่ช่วยให้เราสามารถตัดสินได้ว่าระบบเคลื่อนไหวโดยทั่วไปอย่างไร ลักษณะเหล่านี้ถูกนำมาใช้โดยใช้สิ่งที่เรียกว่า ทฤษฎีบททั่วไปของพลศาสตร์ มีสี่ทฤษฎีดังกล่าว:

1. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล;

2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลไก;

3. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ การเปลี่ยนแปลงโมเมนต์จลน์ของระบบกลไก;

4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบเครื่องกล.

บ่อยครั้งสามารถแยกออกได้ คุณสมบัติที่สำคัญการเคลื่อนที่ของระบบเครื่องกลโดยไม่ต้องใช้การบูรณาการของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบททั่วไปของพลศาสตร์

5.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

แรงภายนอกและภายในแรงใดๆ ก็ตามที่กระทำต่อจุดหนึ่งในระบบกลไกนั้นจำเป็นต้องเป็นแรงแอคทีฟหรือปฏิกิริยาคัปปลิ้ง แรงทั้งชุดที่กระทำต่อจุดของระบบสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทที่แตกต่างกัน: แรงภายนอกและแรงภายใน (ดัชนี e และ i - จากคำภาษาละติน externus - ภายนอกและภายใน - ภายใน) แรงภายนอกคือแรงที่กระทำต่อจุดของระบบจากจุดและวัตถุที่ไม่เป็นส่วนหนึ่งของระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา พลังแห่งปฏิสัมพันธ์ระหว่างจุดและส่วนต่างๆ ของระบบที่กำลังพิจารณาเรียกว่าภายใน

แผนกนี้ขึ้นอยู่กับจุดวัสดุและเนื้อหาที่ผู้วิจัยรวมไว้ในระบบเครื่องกลที่อยู่ระหว่างการพิจารณา หากคุณขยายองค์ประกอบของระบบโดยรวมจุดและวัตถุเพิ่มเติม แรงบางอย่างที่อยู่ภายนอกสำหรับระบบก่อนหน้านี้สามารถกลายเป็นภายในสำหรับระบบที่ขยายได้

คุณสมบัติของแรงภายในเนื่องจากแรงเหล่านี้เป็นแรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่าง ๆ ของระบบ พวกมันจึงเข้าสู่ระบบแรงภายในที่สมบูรณ์ในรูปแบบ "สอง" ซึ่งจัดระเบียบตามสัจพจน์การกระทำ-ปฏิกิริยา แต่ละ "สอง" ดังกล่าวมีจุดแข็ง

เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางโดยพลการมีค่าเท่ากับศูนย์ เพราะ ระบบที่สมบูรณ์พลังภายในประกอบด้วย "สอง" เท่านั้น

1) เวกเตอร์หลักของระบบแรงภายในคือศูนย์

2) ช่วงเวลาหลักของระบบแรงภายในที่สัมพันธ์กับจุดใดก็ได้เท่ากับศูนย์

มวลของระบบคือผลรวมทางคณิตศาสตร์ของมวล mk ของจุดและวัตถุทั้งหมดที่สร้างระบบ:

ศูนย์กลางของมวล(จุดศูนย์กลางความเฉื่อย) ของระบบเครื่องกลคือจุดเรขาคณิต C ซึ่งเป็นเวกเตอร์รัศมีและพิกัดที่กำหนดโดยสูตร

เวกเตอร์รัศมีและพิกัดของจุดที่สร้างระบบอยู่ที่ไหน

สำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่อยู่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลและจุดศูนย์ถ่วงจะตรงกัน ในกรณีอื่นๆ จุดเหล่านี้คือจุดทางเรขาคณิตที่แตกต่างกัน

เมื่อใช้ร่วมกับระบบอ้างอิงเฉื่อย ระบบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยซึ่งเคลื่อนที่ในเชิงแปลมักถูกพิจารณาพร้อมกัน แกนพิกัดของมัน (แกนเคอนิก) ถูกเลือกเพื่อให้จุดกำเนิด C เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบกลไกอย่างต่อเนื่อง ตามคำจำกัดความ จุดศูนย์กลางมวลไม่เคลื่อนที่ในแกนโคนิกและอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบสัมพันธ์กับแกนคือปริมาณสเกลาร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของมวล mk ของจุดทั้งหมดของระบบด้วยกำลังสองของระยะทางถึงแกน:

หากระบบกลไกเป็นแบบแข็ง หากต้องการหา 12 คุณสามารถใช้สูตรได้

โดยที่ความหนาแน่นคือปริมาตรที่ร่างกายครอบครอง

ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์ของระบบร่างกาย ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมหลัก การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ หลักการของดาล็องแบร์และการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ สมการทั่วไปของพลศาสตร์ สมการลากรองจ์

ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์ของวัตถุเกร็งและระบบของวัตถุ

ทฤษฎีบททั่วไปของพลศาสตร์- นี่คือทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมหลัก (โมเมนตัมจลน์) และทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ ของระบบเครื่องกล

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล
ผลคูณของมวลของระบบและความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ:
.

โดยที่ M คือมวลของระบบ:
;
a C คือความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:
;
โวลต์ C - ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:
;
r C - เวกเตอร์รัศมี (พิกัด) ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:
;
- พิกัด (สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่) และมวลของจุดที่ประกอบกันเป็นระบบ

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม (โมเมนตัม)

ปริมาณการเคลื่อนที่ (แรงกระตุ้น) ของระบบเท่ากับผลคูณของมวลของระบบทั้งหมดด้วยความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลหรือผลรวมของโมเมนตัม (ผลรวมของแรงกระตุ้น) ของแต่ละจุดหรือส่วนที่ประกอบกันเป็นระบบ:
.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล
อนุพันธ์ของเวลาของปริมาณการเคลื่อนที่ (โมเมนตัม) ของระบบเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ:
.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในรูปแบบอินทิกรัล
การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม (โมเมนตัม) ของระบบในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของแรงกระตุ้นภายนอกในช่วงเวลาเดียวกัน:
.

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม (โมเมนตัม)
ถ้าผลรวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบเป็นศูนย์ เวกเตอร์โมเมนตัมของระบบจะคงที่ นั่นคือ เส้นโครงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะคงค่าคงที่ไว้

หากผลรวมของเส้นโครงของแรงภายนอกบนแกนใด ๆ เป็นศูนย์ ดังนั้นการฉายภาพปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบบนแกนนี้จะคงที่

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมหลัก (ทฤษฎีบทของโมเมนตัม)

โมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลาง O ที่กำหนด คือปริมาณเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของจุดทุกจุดของระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้:
.
ในที่นี้วงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงผลคูณไขว้

ระบบที่แนบมา

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้กับกรณีที่ระบบกลไกมีจุดหรือแกนคงที่ซึ่งคงที่โดยสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ตัวอย่างเช่น ตัวเครื่องถูกยึดด้วยลูกปืนทรงกลม หรือระบบของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปรอบจุดศูนย์กลางคงที่ นอกจากนี้ยังอาจเป็นแกนคงที่ซึ่งวัตถุหรือระบบของวัตถุหมุนอยู่ ในกรณีนี้ ควรเข้าใจว่าโมเมนต์เป็นโมเมนต์ของแรงกระตุ้นและแรงสัมพันธ์กับแกนคงที่

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมหลัก (ทฤษฎีบทของโมเมนตัม)
อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ O เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเดียวกัน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมหลัก (โมเมนตัมเชิงมุม)
หากผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่ O เท่ากับศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้จะคงที่ นั่นคือ เส้นโครงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะคงค่าคงที่ไว้

หากผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับแกนคงที่บางแกนเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับแกนนี้จะคงที่

ระบบตามอำเภอใจ

ทฤษฎีบทต่อไปนี้มีลักษณะที่เป็นสากล ใช้ได้กับทั้งระบบที่อยู่กับที่และเคลื่อนที่อย่างอิสระ ในกรณีของระบบคงที่ จำเป็นต้องคำนึงถึงปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อที่จุดคงที่ด้วย มันแตกต่างจากทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ตรงที่แทนที่จะใช้จุดคงที่ O เราควรใช้จุดศูนย์กลางมวล C ของระบบ

ทฤษฎีบทของโมเมนต์เกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล
อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลางของมวล C เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางเดียวกัน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
ถ้าผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบสัมพันธ์กับศูนย์กลางของมวล C เท่ากับศูนย์ โมเมนตัมหลักของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้จะคงที่ นั่นคือ เส้นโครงทั้งหมดบนแกนพิกัดจะคงค่าคงที่ไว้

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย

หากร่างกายหมุนรอบแกน zด้วยความเร็วเชิงมุม ω z ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุม (โมเมนตัมจลน์) ที่สัมพันธ์กับแกน z จะถูกกำหนดโดยสูตร:
L z = เจ z ω z ,
โดยที่ J z คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกน z

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกน zกำหนดโดยสูตร:
,
โดยที่ h k คือระยะห่างจากจุดมวล m k ถึงแกน z
สำหรับวงแหวนบางๆ ที่มีมวล M และรัศมี R หรือทรงกระบอกที่มีมวลกระจายไปตามขอบของมัน
เจ แซด = ม อาร์ 2 .
สำหรับวงแหวนหรือทรงกระบอกที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เป็นของแข็ง
.

ทฤษฎีบทสไตเนอร์-ไฮเกนส์
ให้ Cz เป็นแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย Oz เป็นแกนที่ขนานกับมัน โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนเหล่านี้สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:
เจ ออซ = เจ Cz + ม 2 ,
โดยที่ M คือน้ำหนักตัว a คือระยะห่างระหว่างแกน

ในกรณีทั่วไปมากขึ้น:
,
เทนเซอร์ความเฉื่อยของร่างกายอยู่ที่ไหน
นี่คือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายไปยังจุดที่มีมวล m k

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์

ปล่อยให้วัตถุที่มีมวล M ทำการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω รอบแกน z จากนั้นพลังงานจลน์ของร่างกายจะถูกกำหนดโดยสูตร:
,
โดยที่ v C คือความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย
J Cz คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายขนานกับแกนการหมุน ทิศทางของแกนหมุนสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา สูตรนี้ให้ค่าพลังงานจลน์ในทันที

ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล
ส่วนต่าง (ส่วนเพิ่ม) ของพลังงานจลน์ของระบบในระหว่างการเคลื่อนไหวบางอย่างจะเท่ากับผลรวมของส่วนต่างของงานกับการเคลื่อนที่ของแรงภายนอกและภายในทั้งหมดที่ใช้กับระบบ:
.

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบในรูปแบบอินทิกรัล
การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบระหว่างการเคลื่อนไหวบางอย่างเท่ากับผลรวมของงานกับการเคลื่อนที่ของแรงภายนอกและภายในทั้งหมดที่ใช้กับระบบ:
.

งานที่ทำโดยใช้กำลังมีค่าเท่ากัน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์แรงและการกระจัดเล็กน้อยของจุดใช้งาน:
,
นั่นคือผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ F และ ds โดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

งานที่ทำในช่วงเวลาแห่งแรงเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรงบิดและมุมการหมุนที่น้อยที่สุด:
.

หลักการของดาล็องแบร์

แก่นแท้ของหลักการของดาล็องแบร์คือการลดปัญหาด้านพลศาสตร์ให้เหลือเพียงปัญหาด้านสถิตยศาสตร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สันนิษฐาน (หรือทราบล่วงหน้า) ว่าส่วนต่างๆ ของระบบมีความเร่ง (เชิงมุม) ที่แน่นอน ต่อไป แรงเฉื่อยและ (หรือ) โมเมนต์ของแรงเฉื่อยถูกนำมาใช้ซึ่งมีขนาดเท่ากันและตรงข้ามกับแรงและโมเมนต์ของแรงที่ตามกฎของกลศาสตร์ จะสร้างความเร่งหรือความเร่งเชิงมุมที่กำหนด

ลองดูตัวอย่าง ร่างกายมีการเคลื่อนไหวแบบแปลนและถูกกระทำโดยแรงภายนอก เรายังสันนิษฐานอีกว่าแรงเหล่านี้สร้างความเร่งที่จุดศูนย์กลางมวลของระบบ ตามทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์กลางมวลของร่างกายจะมีความเร่งเท่ากันหากมีแรงกระทำต่อร่างกาย ต่อไปเราจะแนะนำพลังแห่งความเฉื่อย:
.
หลังจากนี้ปัญหาไดนามิก:
.
;
.

สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนให้ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ปล่อยให้วัตถุหมุนรอบแกน z และถูกกระทำโดยแรงภายนอก M e zk เราถือว่าช่วงเวลาเหล่านี้สร้างความเร่งเชิงมุม ε z ต่อไป เราจะแนะนำโมเมนต์ของแรงเฉื่อย M И = - J z ε z หลังจากนี้ปัญหาไดนามิก:
.
กลายเป็นปัญหาทางสถิตยศาสตร์:
;
.

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ใช้เพื่อแก้ปัญหาสถิตยศาสตร์ ในปัญหาบางข้อ จะให้คำตอบที่สั้นกว่าการเขียนสมการสมดุล นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับระบบที่มีการเชื่อมต่อ (เช่น ระบบของเนื้อหาที่เชื่อมต่อกันด้วยเธรดและบล็อก) ที่ประกอบด้วยเนื้อหาจำนวนมาก

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้.
เพื่อความสมดุลของระบบกลไกที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดที่กระทำต่อการเคลื่อนที่ของระบบที่เป็นไปได้นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอ

การย้ายระบบที่เป็นไปได้- นี่เป็นการเคลื่อนไหวเล็กน้อยซึ่งการเชื่อมต่อที่กำหนดบนระบบจะไม่ขาดหาย

การเชื่อมต่อในอุดมคติ- การเชื่อมต่อเหล่านี้ไม่ทำงานเมื่อระบบเคลื่อนที่ แม่นยำยิ่งขึ้นปริมาณงานที่ดำเนินการโดยการเชื่อมต่อเมื่อเคลื่อนย้ายระบบจะเป็นศูนย์

สมการทั่วไปของพลศาสตร์ (หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์)

หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์เป็นการผสมผสานระหว่างหลักการดาล็องแบร์กับหลักการของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ นั่นคือ เมื่อแก้ไขปัญหาไดนามิก เราจะแนะนำแรงเฉื่อยและลดปัญหาให้เป็นปัญหาคงที่ ซึ่งเราแก้ไขโดยใช้หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้

หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์.
เมื่อระบบทางกลที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติเคลื่อนที่ ในแต่ละช่วงเวลา ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำที่ประยุกต์ทั้งหมดและแรงเฉื่อยทั้งหมดต่อการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบจะเป็นศูนย์:
.
สมการนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของพลศาสตร์.

สมการลากรองจ์

พิกัด q ทั่วไป 1 , คิว 2 , ..., คิวเอ็น คือเซตของปริมาณ n ที่กำหนดตำแหน่งของระบบโดยไม่ซ้ำกัน

จำนวนพิกัดทั่วไป n เกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบ

ความเร็วทั่วไปเป็นอนุพันธ์ของพิกัดทั่วไปเทียบกับเวลา t

กองกำลังทั่วไป Q 1 , คำถาม 2 , ..., คำถามn .
ลองพิจารณาการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบ ซึ่งพิกัด q k จะได้รับการเคลื่อนไหว δq k พิกัดที่เหลือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ให้ δA k เป็นงานที่กระทำโดยแรงภายนอกระหว่างการเคลื่อนที่ดังกล่าว แล้ว
δA k = Q k δq k หรือ
.

หากระบบเคลื่อนที่ไปได้ พิกัดทั้งหมดจะเปลี่ยนไป งานที่ทำโดยแรงภายนอกระหว่างการเคลื่อนที่ดังกล่าวจะมีรูปแบบ:
δA = ถาม 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
แรงทั่วไปนั้นเป็นอนุพันธ์บางส่วนของงานเกี่ยวกับการกระจัด:
.

สำหรับพลังที่มีศักยภาพด้วยศักยภาพ Π
.

สมการลากรองจ์- นี่คือสมการการเคลื่อนที่ของระบบกลไกในพิกัดทั่วไป:

โดยที่ T คือพลังงานจลน์ มันเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป ความเร็ว และอาจรวมถึงเวลาด้วย ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของมันจึงเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป ความเร็ว และเวลาด้วย ต่อไป คุณต้องคำนึงว่าพิกัดและความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลา ดังนั้น หากต้องการหาอนุพันธ์ทั้งหมดเทียบกับเวลา คุณต้องใช้กฎการหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:
.

อ้างอิง:
เอส.เอ็ม.ทาร์ก หลักสูตรระยะสั้นกลศาสตร์เชิงทฤษฎี” บัณฑิตวิทยาลัย", 2010.

ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของระบบวัตถุวัตถุบางอย่างสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ เมื่อระบบไม่ว่างก็ถือว่าเป็นอิสระหากเราละทิ้งการเชื่อมต่อที่กำหนดในระบบและแทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน

ให้เราแบ่งแรงทั้งหมดที่ใช้กับระบบออกเป็นภายนอกและภายใน ทั้งสองอย่างอาจรวมถึงปฏิกิริยาการทิ้งด้วย

การเชื่อมต่อ อนุญาต และแสดงถึงเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับจุด A

1. ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมถ้า คือ ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบ แล้ว (ดู)

นั่นคือทฤษฎีบทนั้นใช้ได้: อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมของระบบเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกทั้งหมด

โดยการแทนที่เวกเตอร์ผ่านนิพจน์ โดยที่ มวลของระบบ คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล สมการ (4.1) สามารถมีรูปแบบอื่นได้:

ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าจุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่เหมือนจุดวัสดุซึ่งมีมวลเท่ากับมวลของระบบและเป็นแรงที่ใช้ซึ่งในเชิงเรขาคณิตเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบ ข้อความสุดท้ายเรียกว่าทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล (จุดศูนย์กลางความเฉื่อย) ของระบบ

ถ้าจากนั้นจาก (4.1) จะเป็นไปตามว่าเวกเตอร์โมเมนตัมมีค่าคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อฉายภาพบนแกนพิกัด เราจะได้อินทิกรัลสเกลาร์ตัวแรกสามตัว ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของดับเบิ้ลแคปของระบบ:

อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลโมเมนตัม เมื่อความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลคงที่ กล่าวคือ มันจะเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง

ถ้าเส้นโครงของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกบนแกนใดแกนหนึ่ง เช่น บนแกน มีค่าเท่ากับศูนย์ เราก็จะมีอินทิกรัลตัวแรกหนึ่งอัน หรือถ้าสองเส้นโครงของเวกเตอร์หลักเท่ากับศูนย์ ก็จะมีสองเส้นโครง อินทิกรัลของโมเมนตัม

2. ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจลน์ให้ A เป็นจุดใดก็ได้ในอวกาศ (เคลื่อนที่หรือหยุดนิ่ง) ซึ่งไม่จำเป็นต้องตรงกับจุดวัตถุเฉพาะใดๆ ของระบบตลอดเวลาที่มีการเคลื่อนที่ เราแสดงความเร็วของมันในระบบพิกัดคงที่โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาจลน์ของระบบวัสดุสัมพันธ์กับจุด A มีรูปแบบ

หากจุด A ได้รับการแก้ไข ความเท่าเทียมกัน (4.3) จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า:

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแปรผันของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบสัมพันธ์กับจุดคงที่: อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ ซึ่งคำนวณโดยสัมพันธ์กับจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่ง จะเท่ากับโมเมนต์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กัน ถึงจุดนี้

ถ้าตาม (4.4) เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อฉายภาพบนแกนพิกัดเราจะได้อินทิกรัลแรกของสเกลาร์ของสมการเชิงอนุพันธ์ของระบบคู่:

อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลโมเมนตัมหรืออินทิกรัลพื้นที่

ถ้าจุด A ตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบ เทอมแรกทางด้านขวาของความเสมอภาค (4.3) จะหายไป และทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมจะมีรูปแบบการเขียนเหมือนกัน (4.4) ในกรณีของ จุดคงที่ A หมายเหตุ (ดูหน้า 4 § 3) ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา โมเมนตัมเชิงมุมสัมบูรณ์ของระบบทางด้านซ้ายของค่าเท่ากัน (4.4) สามารถถูกแทนที่ด้วยโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากันของระบบ ในการเคลื่อนที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล

อนุญาต เป็นแกนคงที่หรือแกนของทิศทางคงที่ที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของระบบ และให้ เป็นโมเมนต์จลน์ของระบบสัมพันธ์กับแกนนี้ จาก (4.4) เป็นไปตามนั้น

โมเมนต์ของแรงภายนอกสัมพันธ์กับแกนอยู่ที่ไหน หากในระหว่างการเคลื่อนไหวทั้งหมด เรามีอินทิกรัลตัวแรก

ในงานของ S.A. Chaplygin ได้รับทฤษฎีบทหลายประการเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจลน์ซึ่งถูกนำไปใช้ในการแก้ปัญหาจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับลูกบอลกลิ้ง ลักษณะทั่วไปเพิ่มเติมของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนต์เชิงกลและการประยุกต์ในปัญหาพลวัตของวัตถุแข็งเกร็งนั้นมีอยู่ในผลงานนี้ ผลลัพธ์หลักของงานเหล่านี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมจลน์ที่สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่โดยผ่านจุดที่เคลื่อนที่ A อยู่ตลอดเวลา อนุญาต เป็นเวกเตอร์หน่วยที่กำกับตามแกนนี้ การคูณสเกลาร์ด้วยความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน (4.3) และเพิ่มคำลงในสองส่วนที่เราได้รับ

เมื่อตรงตามเงื่อนไขจลนศาสตร์

สมการ (4.5) ตามมาจาก (4.7) และหากเป็นไปตามเงื่อนไข (4.8) ในระหว่างการเคลื่อนไหวทั้งหมด ก็แสดงว่าอินทิกรัลแรก (4.6) ยังคงอยู่

ถ้าการเชื่อมต่อของระบบเหมาะสมที่สุด และยอมให้มีการหมุนของระบบในลักษณะวัตถุแข็งรอบแกน และจากนั้นให้โมเมนต์หลักของปฏิกิริยาสัมพันธ์กับแกนและมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นค่าบน ทางด้านขวาของสมการ (4.5) แสดงถึงโมเมนต์หลักของแรงกระทำภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกน และ ความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของช่วงเวลานี้และความถูกต้องของความสัมพันธ์ (4.8) จะอยู่ในกรณีที่พิจารณาเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัล (4.6)

ถ้าทิศทางของแกน และ คงที่ เงื่อนไข (4.8) จะเขียนอยู่ในรูป

ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าการฉายภาพความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลและความเร็วของจุด A บนแกนและบนระนาบที่ตั้งฉากกับสิ่งนี้จะขนานกัน ในงานของ S.A. Chaplygin แทนที่จะเป็น (4.9) จำเป็นต้องมีการปฏิบัติตามเงื่อนไขทั่วไปที่น้อยกว่าโดยที่ X คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ

โปรดทราบว่าเงื่อนไข (4.8) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดบน อันที่จริง ให้ P เป็นจุดใดก็ได้บนแกน แล้ว

และดังนั้นจึง

โดยสรุป เราสังเกตการตีความทางเรขาคณิตของสมการ (4.1) และ (4.4) ของ Rézal): เวกเตอร์ความเร็วสัมบูรณ์ของปลายเวกเตอร์และเท่ากันตามลำดับกับเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุด A .

กระทรวงเกษตรและอาหารแห่งสาธารณรัฐเบลารุส

สถาบันการศึกษา "เกษตรกรรมของรัฐเบลารุส

มหาวิทยาลัยเทคนิค"

ภาควิชากลศาสตร์ทฤษฎีและทฤษฎีกลไกและเครื่องจักร

กลศาสตร์เชิงทฤษฎี

ระเบียบวิธีที่ซับซ้อนสำหรับนักศึกษาพิเศษ

74 06 วิศวกรรมเกษตร

เป็น 2 ตอนที่ 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

รวบรวมโดย:

ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ รองศาสตราจารย์ หยู S. Biza ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์เทคนิค รองศาสตราจารย์ N. L. Rakova อาจารย์อาวุโส อ. ทาราเซวิช

ผู้วิจารณ์:

ภาควิชากลศาสตร์เชิงทฤษฎีของสถาบันการศึกษา "มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งชาติเบลารุส" (หัวหน้า

ภาควิชากลศาสตร์ทฤษฎี BNTU วิทยาศาสตรบัณฑิต สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ศาสตราจารย์ ก. V. Chigarev);

นักวิจัยชั้นนำของห้องปฏิบัติการป้องกันการสั่นสะเทือนของระบบเครื่องกลของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งรัฐ United Institute of Mechanical Engineering

NAS แห่งเบลารุส" ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์เทคนิค รองศาสตราจารย์ A. M. Goman

กลศาสตร์เชิงทฤษฎี- ส่วน "ไดนามิก": การศึกษา

วิธี T33 ซับซ้อน. ใน 2 ส่วน ส่วนที่ 1 / เรียบเรียงโดย: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich – มินสค์: BGATU, 2013. – 120 น.

ไอ 978-985-519-616-8.

ศูนย์การศึกษาและระเบียบวิธีนำเสนอเนื้อหาสำหรับการศึกษาส่วน "ไดนามิกส์" ตอนที่ 1 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวินัย "กลศาสตร์เชิงทฤษฎี" รวมหลักสูตรการบรรยายสื่อพื้นฐานในการแสดง ชั้นเรียนภาคปฏิบัติการมอบหมายและตัวอย่างการมอบหมายสำหรับงานอิสระและการควบคุม กิจกรรมการศึกษานักศึกษาเต็มเวลาและนอกเวลา

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

การแนะนำ

กลศาสตร์ทฤษฎีเป็นศาสตร์แห่ง กฎหมายทั่วไป การเคลื่อนไหวทางกลสมดุลและอันตรกิริยาของวัตถุ

นี่เป็นหนึ่งในสาขาวิชาฟิสิกส์-คณิตศาสตร์พื้นฐานทางวิทยาศาสตร์ทั่วไป เป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของเทคโนโลยีสมัยใหม่

การศึกษากลศาสตร์เชิงทฤษฎี ควบคู่ไปกับสาขาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์อื่นๆ ช่วยขยายขอบเขตทางวิทยาศาสตร์ พัฒนาความสามารถในการคิดที่เป็นรูปธรรมและเชิงนามธรรม และช่วยปรับปรุงวัฒนธรรมทางเทคนิคทั่วไปของผู้เชี่ยวชาญในอนาคต

กลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งเป็นพื้นฐานทางวิทยาศาสตร์ของสาขาวิชาเทคนิคทั้งหมดมีส่วนช่วยในการพัฒนาทักษะ การตัดสินใจที่มีเหตุผลงานวิศวกรรมที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินงาน การซ่อมแซม และการออกแบบเครื่องจักรและอุปกรณ์ในการถมที่ดินเพื่อการเกษตรและที่ดิน

ขึ้นอยู่กับลักษณะของปัญหาที่กำลังพิจารณา กลศาสตร์จะแบ่งออกเป็นสถิตศาสตร์ จลนศาสตร์ และพลศาสตร์ พลศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้

ใน การศึกษาและระเบียบวิธีคอมเพล็กซ์ (UMK) นำเสนอสื่อการเรียนรู้หมวด “ไดนามิกส์” ซึ่งรวมถึงหลักสูตรการบรรยาย สื่อพื้นฐานในการดำเนินการ งานภาคปฏิบัติงานและตัวอย่างการดำเนินการสำหรับ งานอิสระและติดตามกิจกรรมการศึกษาของนักศึกษาเต็มเวลาและนอกเวลา

ใน ผลการเรียนหมวด “ไดนามิกส์” ทำให้ผู้เรียนต้องเรียนรู้ พื้นฐานทางทฤษฎีพลศาสตร์และเชี่ยวชาญวิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหาพลวัต:

รู้วิธีการแก้ปัญหาพลศาสตร์ ทฤษฎีบททั่วไปพลศาสตร์ หลักการกลศาสตร์

สามารถกำหนดกฎการเคลื่อนไหวของร่างกายได้ขึ้นอยู่กับแรงที่กระทำต่อร่างกาย ใช้กฎและทฤษฎีบทของกลศาสตร์ในการแก้ปัญหา กำหนดปฏิกิริยาคงที่และไดนามิกของการเชื่อมต่อที่จำกัดการเคลื่อนไหวของร่างกาย

หลักสูตรของสาขาวิชา "กลศาสตร์เชิงทฤษฎี" มีจำนวนชั่วโมงเรียนทั้งหมด - 136 ชั่วโมง รวมถึง 36 ชั่วโมงสำหรับการศึกษาหัวข้อ "ไดนามิกส์"

1. เนื้อหาทางวิทยาศาสตร์และทฤษฎีของความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธี

1.1. อภิธานศัพท์

สถิตยศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ที่กำหนดหลักคำสอนทั่วไปเกี่ยวกับแรง ศึกษาการลดระบบแรงที่ซับซ้อนให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด และสร้างสภาวะสมดุล ระบบต่างๆความแข็งแกร่ง

จลนศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุวัตถุโดยไม่คำนึงถึงสาเหตุที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหว กล่าวคือ โดยไม่คำนึงถึงแรงที่กระทำต่อวัตถุเหล่านี้

พลวัตเป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุ (จุด) ภายใต้การกระทำของแรงที่ใช้

จุดวัสดุ– ตัววัตถุ ความแตกต่างในการเคลื่อนที่ของจุดซึ่งไม่มีนัยสำคัญ

มวลของร่างกายเป็นปริมาณบวกสเกลาร์ซึ่งขึ้นอยู่กับปริมาณของสารที่มีอยู่ในวัตถุที่กำหนด และกำหนดการวัดความเฉื่อยในระหว่างการเคลื่อนที่ของการแปล

ระบบอ้างอิงคือระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับวัตถุซึ่งมีการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุอื่น

ระบบเฉื่อย– ระบบที่เป็นไปตามกฎไดนามิกที่หนึ่งและที่สอง

แรงกระตุ้นเป็นเวกเตอร์ที่ใช้วัดการกระทำของแรงในช่วงเวลาหนึ่ง

โมเมนตัมของจุดวัสดุ – เวกเตอร์การวัดการเคลื่อนที่ของมัน เท่ากับผลคูณของมวลของจุดและเวกเตอร์ความเร็วของมัน

พลังงานจลน์– การวัดสเกลาร์ของการเคลื่อนที่ทางกล

งานเบื้องต้นของกำลังคือปริมาณสเกลาร์ที่เล็กที่สุดซึ่งเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรงและเวกเตอร์ของการกระจัดเล็กอนันต์ของจุดที่ใช้แรง

พลังงานจลน์– การวัดสเกลาร์ของการเคลื่อนที่ทางกล

พลังงานจลน์ของจุดวัตถุคือพลังงานสเกลาร์

ปริมาณบวกเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวลของจุดหนึ่งและกำลังสองของความเร็ว

พลังงานจลน์ของระบบเครื่องกล - เลขคณิต -

ผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัตถุทั้งหมดของระบบนี้

แรงเป็นหน่วยวัดปฏิสัมพันธ์ทางกลของร่างกาย โดยระบุลักษณะความรุนแรงและทิศทางของมัน

1.2. หัวข้อการบรรยายและเนื้อหา

ส่วนที่ 1 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพลศาสตร์ แนวคิดพื้นฐาน

กลศาสตร์คลาสสิก

หัวข้อที่ 1. พลวัตของจุดวัสดุ

กฎพลศาสตร์ของจุดวัตถุ (กฎของกาลิเลโอ – กฎของนิวตัน) สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ ปัญหาหลักสองประการของไดนามิกสำหรับจุดวัสดุ การแก้ปัญหาที่สองของพลศาสตร์ ค่าคงที่ของการอินทิเกรตและการกำหนดตามเงื่อนไขเริ่มต้น

วรรณกรรม:, หน้า 180-196, , หน้า 12-26.

หัวข้อที่ 2 พลวัตของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของวัสดุ

การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด การถ่ายโอนและแรงเฉื่อยโบลิทาร์ หลักสัมพัทธภาพในกลศาสตร์คลาสสิก กรณีของความสงบสุขสัมพัทธ์

วรรณกรรม: , หน้า 180-196, , หน้า 127-155.

หัวข้อที่ 3 เรขาคณิตของมวล จุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล

มวลของระบบ จุดศูนย์กลางมวลของระบบและพิกัดของมัน

วรรณกรรม:, หน้า 86-93, หน้า 264-265

หัวข้อที่ 4. โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายแข็งเกร็ง

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งสัมพันธ์กับแกนและขั้ว รัศมีความเฉื่อย ทฤษฎีบทเรื่องโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนขนาน โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวัตถุบางส่วน

โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงเป็นลักษณะของความไม่สมดุลของร่างกาย

วรรณกรรม: , หน้า 265-271, , หน้า 155-173.

หมวดที่ 2 ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์ของจุดวัสดุ

และระบบเครื่องกล

หัวข้อที่ 5. ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทเรื่องการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ

วรรณกรรม: , หน้า 274-277, , หน้า 175-192.

หัวข้อที่ 6 โมเมนตัมของจุดวัสดุ

และระบบเครื่องกล

ปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุและระบบกลไก แรงกระตุ้นเบื้องต้นและแรงกระตุ้นในช่วงเวลาจำกัด ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดและระบบในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

วรรณกรรม: , หน้า 280-284, , หน้า 192-207.

หัวข้อที่ 7 โมเมนตัมของจุดวัสดุ

และระบบกลไกสัมพันธ์กับศูนย์กลางและแกน

โมเมนตัมของจุดที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางและแกน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของจุด โมเมนต์จลน์ของระบบกลไกสัมพันธ์กับศูนย์กลางและแกน

โมเมนต์จลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่กำลังหมุนรอบแกนการหมุน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

วรรณกรรม: , หน้า 292-298, , หน้า 207-258.

หัวข้อที่ 8 งานและพลังของกองกำลัง

งานเบื้องต้นของกำลัง การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ งานที่ทำโดยกองกำลังในเส้นทางสุดท้าย งานแรงโน้มถ่วง แรงยืดหยุ่น ผลรวมของงานที่ทำโดยแรงภายในที่กระทำต่อวัตถุแข็งจะเท่ากับศูนย์ งานของแรงที่กระทำต่อวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่ พลัง. ประสิทธิภาพ.

วรรณกรรม: , หน้า 208-213, , หน้า 280-290.

หัวข้อที่ 9 พลังงานจลน์ของจุดวัตถุ

และระบบเครื่องกล

พลังงานจลน์ของจุดวัสดุและระบบเครื่องกล การคำนวณพลังงานจลน์ของวัตถุเกร็งในกรณีต่างๆ ของการเคลื่อนที่ ทฤษฎีบทของเคอนิก ทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของจุดในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบเครื่องกลในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล

วรรณกรรม: , หน้า 301-310, , หน้า 290-344.

หัวข้อที่ 10 สนามพลังศักย์และศักย์ไฟฟ้า

แนวคิดเรื่องสนามพลัง สนามแรงศักย์และฟังก์ชันแรง งานของแรงในการกระจัดสุดท้ายของจุดในสนามแรงศักย์ พลังงานศักย์

วรรณกรรม: , หน้า 317-320, , หน้า 344-347.

หัวข้อที่ 11 การเปลี่ยนแปลงของร่างกายที่เข้มงวด

สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุเกร็ง สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ ลูกตุ้มทางกายภาพ สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ระนาบของวัตถุแข็งเกร็ง

วรรณกรรม: , หน้า 323-334, , หน้า 157-173.

ส่วนที่ 1 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพลศาสตร์ แนวคิดพื้นฐาน

กลศาสตร์คลาสสิก

พลวัตเป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุ (จุด) ภายใต้การกระทำของแรงที่ใช้

ร่างกายวัสดุ- ร่างกายที่มีมวล

จุดวัสดุ– ตัววัตถุ ความแตกต่างในการเคลื่อนที่ของจุดซึ่งไม่มีนัยสำคัญ นี่อาจเป็นได้ทั้งร่างกายที่มีขนาดระหว่างการเคลื่อนไหวที่สามารถละเลยได้ หรือร่างกายที่มีขนาดจำกัดถ้ามันเคลื่อนที่ในการแปล

จุดวัสดุเรียกอีกอย่างว่าอนุภาคซึ่งวัตถุที่เป็นของแข็งจะถูกสลายทางจิตใจเมื่อพิจารณาถึงลักษณะไดนามิกบางอย่าง ตัวอย่างของจุดวัตถุ (รูปที่ 1): ก – การเคลื่อนที่ของโลกรอบดวงอาทิตย์ โลกเป็นจุดวัตถุ b – การเคลื่อนที่แบบแปลของวัตถุแข็งเกร็ง ตัวแข็ง-แม่

อัลชี้เพราะ V B = V A ; ก B = ก ; c คือการหมุนของร่างกายรอบแกน

อนุภาคของร่างกายเป็นจุดวัตถุ

ความเฉื่อยเป็นสมบัติของวัตถุในการเปลี่ยนความเร็วของการเคลื่อนที่ให้เร็วขึ้นหรือช้าลงภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้

มวลของร่างกายเป็นปริมาณบวกสเกลาร์ซึ่งขึ้นอยู่กับปริมาณของสารที่มีอยู่ในวัตถุที่กำหนดและกำหนดการวัดความเฉื่อยในระหว่างการเคลื่อนที่ของการแปล ในกลศาสตร์คลาสสิก มวลคือปริมาณคงที่

แรงคือการวัดเชิงปริมาณของปฏิสัมพันธ์ทางกลระหว่างวัตถุหรือระหว่างวัตถุ (จุด) กับสนาม (ไฟฟ้า แม่เหล็ก ฯลฯ)

แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีลักษณะขนาด จุดใช้งาน และทิศทาง (แนวการกระทำ) (รูปที่ 2: A - จุดใช้งาน; AB - เส้นแรงกระทำ)

ข้าว. 2

ในพลศาสตร์พร้อมกับแรงคงที่ ยังมีแรงที่แปรผันได้อีกด้วย ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับเวลา t ความเร็วϑ ระยะทาง หรือตามผลรวมของปริมาณเหล่านี้ กล่าวคือ

ฉ = คอนสตรัค;

ฉ = ฉ(t) ;

ฉ = ฉ(ϑ ) ;

ฉ = ฉ(ร) ;

F = F(t, r, ϑ) .

หัวรถจักรไฟฟ้า c − F = F (r) – แรงผลักจากศูนย์กลาง O หรือแรงดึงดูดของมัน

ระบบอ้างอิงคือระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับวัตถุซึ่งมีการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุอื่น

ระบบเฉื่อยคือระบบที่เป็นไปตามกฎไดนามิกที่หนึ่งและที่สอง นี่คือระบบพิกัดคงที่หรือระบบเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง

การเคลื่อนไหวในกลศาสตร์คือการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของร่างกายในอวกาศและเวลาสัมพันธ์กับวัตถุอื่น

อวกาศในกลศาสตร์คลาสสิกนั้นเป็นสามมิติ ซึ่งเป็นไปตามเรขาคณิตแบบยุคลิด

เวลาคือปริมาณสเกลาร์ที่ไหลเท่ากันในระบบอ้างอิงใดๆ

ระบบหน่วยคือชุดของหน่วยการวัด ปริมาณทางกายภาพ- ในการวัดปริมาณเชิงกลทั้งหมด หน่วยพื้นฐานสามหน่วยก็เพียงพอแล้ว: หน่วยความยาว เวลา มวล หรือแรง

หน่วยวัดปริมาณเชิงกลอื่นๆ ทั้งหมดได้มาจากหน่วยเหล่านี้ มีการใช้ระบบหน่วยสองประเภท: ระบบสากลของหน่วย SI (หรือเล็กกว่า - GHS) และระบบทางเทคนิคของหน่วย - ICGSS

หัวข้อที่ 1. ไดนามิกของจุดวัสดุ

1.1. กฎพลศาสตร์ของจุดวัตถุ (กฎกาลิเลโอ–นิวตัน)

กฎข้อที่หนึ่ง (กฎความเฉื่อย)

แยกออกจาก อิทธิพลภายนอกจุดวัสดุคงสถานะการนิ่งหรือเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงจนกว่าแรงที่ใช้จะบังคับให้เปลี่ยนสถานะนี้

การเคลื่อนไหวที่กระทำโดยจุดหนึ่งโดยไม่มีแรงหรืออยู่ภายใต้การกระทำของระบบแรงที่สมดุลเรียกว่าการเคลื่อนที่โดยความเฉื่อย

เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุไปในทางเรียบ (แรงเสียดทานเป็นศูนย์)

พื้นผิวแนวนอน (รูปที่ 4: G – น้ำหนักตัว N – ปฏิกิริยาระนาบปกติ)

เนื่องจาก G = − N ดังนั้น G + N = 0

เมื่อ ϑ 0 ≠ 0 ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน เมื่อ ϑ 0 = 0 ร่างกายหยุดนิ่ง (ϑ 0 คือความเร็วเริ่มต้น)

กฎข้อที่สอง (กฎพื้นฐานของพลวัต)

ผลคูณของมวลของจุดและความเร่งที่ได้รับภายใต้อิทธิพลของแรงที่กำหนดจะมีขนาดเท่ากับแรงนี้ และทิศทางของจุดนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร่ง

ข

ในทางคณิตศาสตร์ กฎนี้แสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์

เมื่อ F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – จุดเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงหรือที่ ϑ 0 = 0 – จุดนั้นอยู่นิ่ง (กฎความเฉื่อย) ที่สอง

กฎหมายอนุญาตให้เราสร้างการเชื่อมโยงระหว่างมวล m ของร่างกายที่อยู่ใกล้พื้นผิวโลกกับน้ำหนักของมัน G .G = mg โดยที่ g คือ

ความเร่งของแรงโน้มถ่วง

กฎข้อที่สาม (กฎแห่งความเท่าเทียมกันของการกระทำและปฏิกิริยา) จุดวัสดุสองจุดกระทำต่อกันด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากันและพุ่งไปตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมต่อกัน

จุดเหล่านี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม

เนื่องจากแรง F 1 = − F 2 ใช้กับจุดต่างๆ ระบบแรง (F 1 , F 2 ) จึงไม่สมดุล กล่าวคือ (F 1 , F 2 )µ 0 (รูปที่ 6)

มวลของจุดที่มีปฏิสัมพันธ์จะแปรผกผันกับความเร่ง

กฎข้อที่สี่ (กฎแห่งความเป็นอิสระของการกระทำของกองกำลัง) ความเร่งที่ได้รับจากจุดหนึ่งเมื่อกระทำกับมันในเวลาเดียวกัน

แต่แรงหลายอย่างเท่ากัน ผลรวมทางเรขาคณิตความเร่งที่จุดนั้นจะได้รับเมื่อแต่ละแรงถูกกระทำแยกกัน

คำอธิบาย (รูปที่ 7)

ไม่ใช่

1 a kF n

แรงลัพธ์ R (F 1 ,...F k ,...F n )

เนื่องจาก ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = ma n ดังนั้น

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k นั่นคือกฎข้อที่สี่เทียบเท่ากัน

เค = 1

กฎการเพิ่มกำลัง

1.2. สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ

ปล่อยให้แรงหลายแรงกระทำพร้อมกันบนจุดวัสดุ ซึ่งมีทั้งค่าคงที่และตัวแปร

ให้เราเขียนกฎข้อที่สองของพลศาสตร์ในรูปแบบ

จุด จากนั้น (1.2) มีอนุพันธ์ของ r และเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในรูปแบบเวกเตอร์หรือสมการพื้นฐานของไดนามิกของจุดวัสดุ

การฉายภาพความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (1.2): - บนแกนพิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่ 8, a)

บนแกนธรรมชาติ (รูปที่ 8, b)

มาบ = m0 = ∑ Fk ข

เค = 1

ไม่เป็นไร

สมการ (1.3) และ (1.4) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ ตามลำดับ ในแกนพิกัดคาร์ทีเซียนและแกนธรรมชาติ กล่าวคือ สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมชาติที่มักใช้สำหรับการเคลื่อนที่เชิงโค้งของจุด ถ้าเป็นวิถีของ ทราบจุดและรัศมีความโค้งของมัน

1.3. ปัญหาหลักสองประการของพลศาสตร์สำหรับจุดวัสดุและวิธีแก้ไข

งานแรก (โดยตรง)

เมื่อรู้กฎการเคลื่อนที่และมวลของจุดแล้ว จะสามารถกำหนดแรงที่กระทำต่อจุดนั้นได้

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณจำเป็นต้องทราบความเร่งของจุด ในปัญหาประเภทนี้สามารถระบุได้โดยตรงหรือสามารถระบุกฎการเคลื่อนที่ของจุดได้ตามที่สามารถกำหนดได้

1. ดังนั้นหากมีการระบุการเคลื่อนที่ของจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน

x = f 1 (t), y = f 2 (t) และ z = f 3 (t) จากนั้นประมาณการความเร่งจะถูกกำหนด