Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich budete potrebovať? Prečo by ste si mali nájsť čas na ich štúdium?

Naučiť sa všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje vedomosti Každodenný život prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspechu absolvovanie OGE alebo Jednotnú štátnu skúšku a prijatie na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je matematická operácia rovnako ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudský jazyk veľmi jednoduché príklady. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko je tam koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký príklad s kolou môže byť napísaný inak: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet kolových fliaš a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, náročnejšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

Aké ďalšie šikovné počítacie triky vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je... A takéto problémy riešia v hlave – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

Všetko, čo musíte urobiť, je zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, toto vám výrazne uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa tomu hovorí druhý stupeň? námestiečísla a tretie - kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si štvorcový bazén s rozmermi jeden meter krát jeden meter. Bazén je na vašej chate. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale... bazén nemá dno! Dno bazéna musíte obložiť dlaždicami. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať spodnú časť bazéna.

Ukázaním prsta si jednoducho vypočítate, že dno bazéna pozostáva z kociek meter po meter. Ak máte dlaždice meter krát meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste už také obklady videli? Dlaždica bude s najväčšou pravdepodobnosťou cm krát cm. A potom vás bude mučiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobte a dostanete dlaždice ().

Všimli ste si, že na určenie plochy dna bazéna sme rovnaké číslo vynásobili sami? Čo to znamená? Keďže násobíme rovnaké číslo, môžeme použiť techniku ​​„umocňovania“. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb Pre jednotnú štátnu skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať na druhú mocninu bude (). Alebo môžeme povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás: spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej a druhej strane buniek. Ak chcete vypočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi alebo... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete odmocniť osem. Získate bunky. () Takže?

Príklad zo života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v Metre kubické. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno s rozmermi meter a hĺbkou meter a skúste spočítať, koľko kociek s rozmermi meter krát meter sa zmestí do vášho bazéna.

Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri...Koľko ste dostali? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak zjednodušia aj toto. Všetko sme zredukovali na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že rovnaké číslo sa samo násobí... Čo to znamená? To znamená, že môžete využiť titul. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia pri jednej akcii: tri kocky sa rovnajú. Píše sa takto: .

Zostáva len pamätajte na tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby som vás konečne presvedčil, že tituly vymysleli tí, čo sa vzdávajú, a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo skutočného života #4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka za každý zarobený milión zarobíte ďalší milión. To znamená, že každý milión, ktorý máte, sa na začiatku každého roka zdvojnásobuje. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a... hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva vynásobené dvoma... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku... Stop! Všimli ste si, že číslo sa násobí krát. Takže dve ku piatej mocnine je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto vie počítať najrýchlejšie, získa tieto milióny... Stojí za to pripomenúť si silu čísel, nemyslíte?

Príklad zo skutočného života číslo 5

Máte milión. Na začiatku každého roka za každý zarobený milión zarobíte dva ďalšie. Skvelé nie? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - vynásobte, potom výsledok ďalším... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Takže na štvrtú mocninu sa to rovná miliónu. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy... aby ste sa neplietli

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – je to číslo, ktoré je „na vrchole“ mocniny čísla. Nie vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné...

No zároveň čo takýto diplomový základ? Ešte jednoduchšie - toto je číslo, ktoré sa nachádza nižšie, na základni.

Tu je nákres pre dobrú mieru.

No v všeobecný pohľad, aby sme zovšeobecnili a lepšie si zapamätali... Titul so základom „ “ a exponentom „ “ sa číta ako „do stupňa“ a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo to je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie čísla, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní predmetov: jeden, dva, tri... Keď počítame predmety, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Tiež nehovoríme: „jedna tretina“ alebo „nula päť“. Toto nie sú prirodzené čísla. Čo myslíte, aké čísla sú to?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - je to vtedy, keď nič nie je. Čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.

Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že im chýbajú prirodzené čísla na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, nie?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečné desiatkový. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme pojem stupňa, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

1. Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
2. Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
3. Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:

Definícia. Zvýšenie čísla na prirodzenú mocnosť znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:
.

Vlastnosti stupňov

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz vám to ukážem.

Pozrime sa: čo to je A ?

A-priorita:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali multiplikátory a výsledkom sú multiplikátory.

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda: , čo je potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody!
Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

len pre súčin síl!

To v žiadnom prípade nemôžete napísať.

2. to je všetko mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to predsa nie je pravda.

Výkon so zápornou bázou

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V právomociach prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporné čísla?

Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme, funguje to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov na precvičenie

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak ignorujeme ôsmu mocnosť, čo tu vidíme? Pripomeňme si program pre 7. ročník. Tak čo, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozrime sa pozorne na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Poradie výrazov je nesprávne. Ak by boli obrátené, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Zázračne si pojmy zmenili miesto. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v rovnomernej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľahko zmeniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Celý nazývame prirodzené čísla, ich protiklady (t. j. brané so znamienkom " ") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?

Uvažujme nejaký stupeň so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme to isté, čo bolo - . Akým číslom vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať akýmkoľvek stupňom – akokoľvek vynásobíte nulu samým sebou, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo s nulovou mocninou, musí sa rovnať. Koľko z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporná mocnina, urobme ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakým číslom na zápornú mocninu:

Odtiaľto je ľahké vyjadriť, čo hľadáte:

Teraz rozšírme výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo so zápornou mocninou je prevrátená hodnota rovnakého čísla s kladnou mocninou. Ale v rovnakom čase Základ nemôže byť nulový:(pretože nemôžete deliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady nezávislých riešení:

Analýza problémov pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú desivé, ale na Jednotnej štátnej skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenia, ak ste ich nedokázali vyriešiť, a na skúške sa s nimi ľahko naučíte!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz uvažujme racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla a.

Aby ste pochopili, čo to je "zlomkový stupeň", zvážte zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si spomeňme na pravidlo o "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tej mocniny je inverzná operácia zvýšenia na mocninu: .

Ukazuje sa, že. Očividne toto špeciálny prípad možno rozšíriť: .

Teraz pridáme čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajme na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať párne korene zo záporných čísel!

To znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo výraz?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované vo forme iných, redukovateľných zlomkov, napr.

A ukáže sa, že existuje, ale neexistuje, ale sú to len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ak si ale ukazovateľ zapíšeme inak, opäť sa dostaneme do problémov: (teda dostali sme úplne iný výsledok!).

Aby sme sa vyhli takýmto paradoxom, uvažujeme iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Racionálne exponenty sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov na precvičenie

Rozbor 5 príkladov na tréning

No a teraz prichádza tá najťažšia časť. Teraz na to prídeme stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou

Koniec koncov, iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...číslo na nulovú mocninu- toto je akoby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určité „prázdne číslo“ , menovite číslo;

...záporné celé číslo- je to ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo sebou, ale rozdelené.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, na inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naučíš riešiť takéto príklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s obvyklým pravidlom pre zvýšenie moci na moc:

Teraz sa pozrite na indikátor. Nepripomína ti nič? Pripomeňme si vzorec pre skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch zredukujeme na rovnaký tvar: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určenie stupňa

Titul je vyjadrením tvaru: , kde:

• — základ stupňa;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným ukazovateľom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Stupeň s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

Stavebníctvo na nulový stupeň:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent záporné celé čísločíslo:

(pretože nemôžete deliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Mocnina s racionálnym exponentom

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňov

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorita:

Takže na pravej strane tohto výrazu dostaneme nasledujúci produkt:

Ale podľa definície je to mocnina čísla s exponentom, to znamená:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody. Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre súčin síl!

To v žiadnom prípade nemôžete napísať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:

Zostavme túto prácu takto:

Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne: !

Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to predsa nie je pravda.

Moc s negatívnou bázou.

Doteraz sme len diskutovali o tom, ako by to malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V právomociach prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme - .

A tak ďalej do nekonečna: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžeme sformulovať nasledovné jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáme, je jasné, že základ je menší ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich navzájom, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:

Predtým, ako to rozoberiete posledné pravidlo, poďme vyriešiť niekoľko príkladov.

Vypočítajte výrazy:

Riešenia :

Ak ignorujeme ôsmu mocnosť, čo tu vidíme? Pripomeňme si program pre 7. ročník. Tak čo, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozrime sa pozorne na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Poradie výrazov je nesprávne. Ak by boli obrátené, mohlo by platiť pravidlo 3. Ale ako? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to dopadá takto:

Zázračne si pojmy zmenili miesto. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v rovnomernej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľahko zmeniť. Ale je dôležité mať na pamäti: Všetky znaky sa menia súčasne! Nemôžete to nahradiť zmenou iba jednej nevýhody, ktorá sa nám nepáči!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to dokážeme? Samozrejme, ako obvykle: rozvinieme pojem titul a zjednodušíme ho:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen je celkovo? krát podľa násobiteľov - čo vám to pripomína? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: Boli tam len násobilky. To znamená, že toto je podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym exponentom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon, podľa definície, iracionálne čísla sú čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo s nulovou mocninou je ako keby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitý „prázdne číslo“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným záporným exponentom - je to, ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Je to skôr čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, na inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

Odpovede:

1. Spomeňme si na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky zredukujeme na rovnaký tvar: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ VZORCE

stupňa nazývaný výraz vo forme: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupeň, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Mocnina s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

stupeň, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňov

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Napíšte dole do komentárov, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s používaním vlastností stupňov.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia na skúškach!

Zo školy všetci poznáme pravidlo o umocňovaní: každé číslo s exponentom N sa rovná výsledku násobenia dané číslo na seba N koľkokrát. Inými slovami, 7 na mocninu 3 je 7 násobené sebou samým trikrát, teda 343. Ďalším pravidlom je, že umocnenie ľubovoľnej veličiny na 0 dáva jednotku a umocnenie zápornej veličiny je výsledkom obyčajného umocnenia na mocnina, ak je párna, a rovnaký výsledok so znamienkom mínus, ak je nepárna.

Pravidlá tiež dávajú odpoveď na to, ako zvýšiť číslo negatívny stupeň. Aby ste to dosiahli, musíte zvýšiť požadovanú hodnotu o modul indikátora obvyklým spôsobom a potom rozdeliť jednotku výsledkom.

Z týchto pravidiel je zrejmé, že implementácia skutočné problémy manipulácia s veľkým množstvom bude vyžadovať dostupnosť technických prostriedkov. Ručne môžete sami vynásobiť maximálny rozsah čísel do dvadsať až tridsať a potom nie viac ako tri alebo štyrikrát. Nehovoriac o delení jedného podľa výsledku. Preto pre tých, ktorí nemajú po ruke špeciálnu inžiniersku kalkulačku, vám povieme, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu v Exceli.

Riešenie problémov v Exceli

Na vyriešenie problémov s umocňovaním vám Excel umožňuje použiť jednu z dvoch možností.

Prvým je použitie vzorca so štandardným znakom „viečka“. Do buniek hárka zadajte nasledujúce údaje:

Rovnakým spôsobom môžete zvýšiť požadovanú hodnotu na ľubovoľnú mocninu - zápornú, zlomkovú. Vykonajte nasledujúce kroky a odpovedzme na otázku, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu. Príklad:

=B2^-C2 môžete opraviť priamo vo vzorci.

Druhou možnosťou je použiť hotovú funkciu „Stupeň“, ktorá má dva požadované argumenty - číslo a exponent. Ak ho chcete začať používať, jednoducho vložte znamienko rovnosti (=) do ľubovoľnej voľnej bunky označujúcej začiatok vzorca a zadajte vyššie uvedené slová. Zostáva len vybrať dve bunky, ktoré sa zúčastnia operácie (alebo zadať konkrétne čísla ručne) a stlačiť kláves Enter. Pozrime sa na niekoľko jednoduchých príkladov.

			Vzorec	Výsledok
			STUPEŇ(B2;C2)
			STUPEŇ(B3;C3)	0,002915

Ako vidíte, nie je nič zložité na tom, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu a na obvyklú hodnotu pomocou Excelu. Koniec koncov, na vyriešenie tohto problému môžete použiť známy symbol „veka“, ako aj vstavanú funkciu programu, ktorú si ľahko zapamätáte. Toto je jednoznačné plus!

Poďme na viac komplexné príklady. Spomeňme si na pravidlo, ako zvýšiť číslo na zápornú zlomkovú mocninu, a uvidíme, že tento problém je v Exceli veľmi ľahko vyriešený.

Zlomkové ukazovatele

Stručne povedané, algoritmus na výpočet čísla so zlomkovým exponentom je nasledujúci.

1. Konvertovať zlomkový ukazovateľ na správny alebo nesprávny zlomok.
2. Zvýšte naše číslo na čitateľa výsledného prevedeného zlomku.
3. Z čísla získaného v predchádzajúcom odseku vypočítajte odmocninu s podmienkou, že exponent odmocniny bude menovateľom zlomku získaného v prvej fáze.

Súhlaste s tým, že aj pri prevádzke s malými číslami a správne zlomky Takéto výpočty môžu trvať veľa času. Je dobré, že tabuľkovému procesoru Excelu nezáleží na tom, aké číslo sa zvýši na aký výkon. Skúste vyriešiť nasledujúci príklad na pracovnom hárku programu Excel:

Pomocou vyššie uvedených pravidiel môžete skontrolovať a uistiť sa, že výpočet bol vykonaný správne.

Na konci nášho článku uvedieme vo forme tabuľky so vzorcami a výsledkami niekoľko príkladov, ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu, ako aj niekoľko príkladov fungovania zlomkové čísla a stupne.

Príklad tabuľky

Pozrite si nasledujúce príklady v pracovnom hárku programu Excel. Aby všetko fungovalo správne, musíte pri kopírovaní vzorca použiť zmiešaný odkaz. Opravte číslo stĺpca obsahujúceho číslo, ktoré sa zvyšuje, a číslo riadku obsahujúceho indikátor. Váš vzorec by mal vyzerať takto: "=$B4^C$3."

Počet/stupeň

Upozorňujeme, že kladné čísla (dokonca aj iné ako celé čísla) sa dajú bez problémov vypočítať pre akýkoľvek exponent. Nie sú žiadne problémy so zvýšením akýchkoľvek čísel na celé čísla. Ale zvýšenie záporného čísla na zlomkovú mocninu sa pre vás ukáže ako chyba, pretože nie je možné dodržať pravidlo uvedené na začiatku nášho článku o zvyšovaní záporných čísel, pretože parita je charakteristikou výlučne CELÉHO čísla.

V piatom storočí pred Kr starogrécky filozof Zenón z Eley sformuloval svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles prebehne túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ...diskusie pokračujú aj v súčasnosti, príďte všeobecný názor vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo pochopiť podstatu paradoxov... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.

Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát aplikácie variabilné jednotky meranie buď ešte nebolo vyvinuté, alebo nebolo aplikované na Zenónove apórie. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné jednotky. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii logický paradox dá sa prekonať veľmi jednoducho – stačí si ujasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov vo vesmíre v jednom časovom bode, ale z nich nemôžete určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria ). Osobitne chcem upozorniť na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.

Streda 4. júla 2018

Rozdiely medzi setom a multisetom sú veľmi dobre popísané na Wikipédii. Pozrime sa.

Ako vidíte, „v množine nemôžu byť dva identické prvky“, ale ak sú v množine rovnaké prvky, takáto množina sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto absurdnú logiku. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, ktoré nemajú inteligenciu od slova „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, v člne pod mostom pri testovaní mosta. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „nezabudnite, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich neoddeliteľne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Použiteľné matematická teória sady pre samotných matematikov.

Matematiku sme sa učili výborne a teraz sedíme pri pokladni a rozdávame výplaty. Matematik si teda k nám príde po svoje peniaze. Odpočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický súbor platov“. Vysvetlime matematikovi, že zvyšné účty dostane až vtedy, keď dokáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade bude fungovať logika poslancov: "To sa dá použiť na iných, ale nie na mňa!" Potom nás začnú uisťovať, že zmenky rovnakej nominálnej hodnoty majú rôzne čísla účtov, čo znamená, že ich nemožno považovať za rovnaké prvky. Dobre, počítajme platy v minciach - na minciach nie sú žiadne čísla. Tu matematik začne horúčkovito spomínať na fyziku: na rôzne mince Je tam iné množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov je u každej mince jedinečné...

A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje – o všetkom rozhodujú šamani, veda tu ani zďaleka neklame.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou oblasťou poľa. Plochy polí sú rovnaké – čo znamená, že máme multiset. Ale keď sa pozrieme na názvy tých istých štadiónov, dostaneme ich veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je množina aj multimnožina. Ktoré je správne? A tu matematik-šaman-sharpista vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby ste pochopili ako novodobí šamani pracovať s teóriou množín a spájať ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale preto sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte si Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, ktorý by sa dal použiť na nájdenie súčtu číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v jazyku matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to dokážu ľahko.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet čísel dané číslo. Majme teda číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na grafický číselný symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden výsledný obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich jednotlivé čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Pridajte výsledné čísla. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Toto sú „kurzy strihania a šitia“, ktoré vyučujú šamani, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.

Z matematického hľadiska je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov V kalkulácii sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, pozrime sa na číslo 26 z článku o . Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme sa na každý krok pozerať pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla rôzny. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste určili plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, dostali by ste úplne iné výsledky.

Nula vyzerá rovnako vo všetkých číselných sústavách a nemá žiadny súčet číslic. To je ďalší argument v prospech skutočnosti, že. Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje niečo, čo nie je číslo? Čo, pre matematikov neexistuje nič okrem čísel? Šamanom to môžem dovoliť, ale vedcom nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.

Čo je skutočná matematika? Tu je výsledok matematická operácia nezávisí od veľkosti čísla, použitej mernej jednotky a toho, kto úkon vykonáva.

Nápis na dvere Otvára dvere a hovorí:

Oh! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium nečistej svätosti duší počas ich vzostupu do neba! Halo hore a šípka hore. Aký iný záchod?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole sú mužské.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa snažím u kakajúceho človeka (jeden obrázok) vidieť mínus štyri stupne (kompozícia viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je hlupák, ktorý nepozná fyziku. Má len silný stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je „mínus štyri stupne“ alebo „jedno a“. Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v šestnástkovej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.

možno nájsť pomocou násobenia. Napríklad: 5+5+5+5+5+5=5x6. Hovorí sa, že takýto výraz je, že súčet rovnakých výrazov sa poskladá do súčinu. A naopak, ak túto rovnosť prečítame sprava doľava, zistíme, že sme rozšírili súčet rovnakých pojmov. Podobne môžete zbaliť súčin niekoľkých rovnakých faktorov 5x5x5x5x5x5=5 6.

To znamená, že namiesto vynásobenia šiestich rovnakých faktorov 5x5x5x5x5x5 napíšu 5 6 a povedia „päť na šiestu mocninu“.

Výraz 5 6 je mocninou čísla, kde:

5 - základ stupňa;

6 - exponent.

Akcie, pri ktorých sa súčin rovnakých faktorov redukuje na mocninu, sa nazývajú pozdvihnutie k moci.

Všeobecne platí, že stupeň so základom „a“ a exponentom „n“ sa píše nasledovne

Zvýšenie čísla a na mocninu n znamená nájsť súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a

Ak sa základ stupňa „a“ rovná 1, potom sa hodnota stupňa pre ľubovoľné prirodzené číslo n bude rovnať 1. Napríklad 1 5 =1, 1 256 =1

Ak zvýšite číslo „a“ na prvý stupeň, potom dostaneme samotné číslo a: a 1 = a

Ak zvýšite akékoľvek číslo na nultý stupeň, potom ako výsledok výpočtov dostaneme jeden. a 0 = 1

Druhá a tretia mocnina čísla sa považujú za špeciálne. Vymysleli im mená: volá sa druhý stupeň odmocni číslo, tretí - kocka toto číslo.

Akékoľvek číslo môže byť umocnené - kladné, záporné alebo nulové. V tomto prípade neplatia nasledujúce pravidlá:

Pri hľadaní mocniny kladného čísla je výsledkom kladné číslo.

Pri výpočte nuly k prirodzenému výkonu dostaneme nulu.

x m · x n = x m + n

napríklad: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Komu deľte právomoci s rovnakými základmi Nezmeníme základ, ale odčítame exponenty:

x m / x n = x m - n , Kde, m > n,

napríklad: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Pri výpočte pozdvihnutie moci na moc Nemeníme základ, ale násobíme exponenty navzájom.

(pri m ) n = y m n

napríklad: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

napríklad:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Pri vykonávaní výpočtov podľa pozdvihnutie zlomku na moc zvýšime čitateľa a menovateľa zlomku na danú mocninu

(x/y)n = x n / r n

napríklad: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Postupnosť výpočtov pri práci s výrazmi obsahujúcimi stupeň.

Pri výpočtoch výrazov bez zátvoriek, ale obsahujúcich mocniny, vykonávajú v prvom rade umocňovanie, potom násobenie a delenie a až potom operácie sčítania a odčítania.

Ak potrebujete vypočítať výraz obsahujúci zátvorky, najprv vykonajte výpočty v zátvorkách v poradí uvedenom vyššie a potom zvyšné akcie v rovnakom poradí zľava doprava.

Veľmi široko v praktických výpočtoch sa na zjednodušenie výpočtov používajú hotové tabuľky výkonov.

V jednom z predchádzajúcich článkov sme už spomínali silu čísla. Dnes sa pokúsime navigovať v procese hľadania jeho významu. Vedecky vzaté, prídeme na to, ako správne povýšiť na silu. Zistíme, ako sa tento proces vykonáva, a zároveň sa dotkneme všetkých možných exponentov: prirodzeného, ​​iracionálneho, racionálneho, celého čísla.

Poďme sa teda bližšie pozrieť na riešenia príkladov a zistiť, čo to znamená:

1. Definícia pojmu.
2. Výchova k negatívnemu umeniu.
3. Celý ukazovateľ.
4. Zvýšenie čísla na iracionálnu silu.

Tu je definícia, ktorá presne odráža význam: „Umocnenie je definícia hodnoty mocniny čísla.“

V súlade s tým zvýšenie čísla a v čl. r a proces zisťovania hodnoty stupňa a s exponentom r sú totožné pojmy. Napríklad, ak je úlohou vypočítať hodnotu mocniny (0,6)6″, potom ju možno zjednodušiť na výraz „Zvýšte číslo 0,6 na mocninu 6“.

Potom môžete prejsť priamo k pravidlám výstavby.

Povýšenie na negatívnu silu

Kvôli prehľadnosti by ste mali venovať pozornosť nasledujúcemu reťazcu výrazov:

110 = 0,1 = 1 * 10 mínus 1 polievková lyžica,

1100=0,01=1*10 v mínus 2 stupňoch,

11000=0,0001=1*10 v mínus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 až mínus 4 stupne.

Vďaka týmto príkladom môžete jasne vidieť schopnosť okamžite vypočítať 10 ku ľubovoľnému mínus výkonu. Na tento účel stačí jednoducho posunúť desatinnú zložku:

• 10 na -1 stupeň - pred jednotkou je 1 nula;
• v -3 - tri nuly pred jednotkou;
• v -9 je 9 núl a tak ďalej.

Z tohto diagramu je tiež ľahké pochopiť, koľko bude 10 mínus 5 polievkových lyžíc. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Ako zvýšiť číslo na prirodzenú silu

Pamätajúc na definíciu berieme do úvahy, že prirodzené číslo a v čl. n sa rovná súčinu n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Znázornime: (a*a*…a)n, kde n je počet čísel, ktoré sa vynásobia. Preto, aby sme zvýšili a na n, je potrebné vypočítať súčin nasledujúceho tvaru: a*a*...a delený n-krát.

Z toho je zrejmé, že povýšenie na prirodzenú sv. sa spolieha na schopnosť vykonávať násobenie(tomuto materiálu sa venuje časť o násobení reálnych čísel). Pozrime sa na problém:

Zvýšte -2 na 4. st.

Máme do činenia s prirodzeným ukazovateľom. V súlade s tým bude priebeh rozhodovania nasledovný: (-2) v čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Teraz už zostáva len vynásobiť celé čísla: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dostávame 16.

Odpoveď na problém:

(-2) v čl. 4=16.

Príklad:

Vypočítajte hodnotu: tri body dve sedminy na druhú.

Tento príklad rovná sa ďalší kus: tri body dve sedminy vynásobené tromi bodmi dve sedminy. Spomienka na to, ako sa množiť zmiešané čísla, dokončíme stavbu:

• 3 bod 2 sedminy násobené sebou;
• rovná sa 23 sedminám vynásobeným 23 sedminami;
• rovná sa 529 štyridsiatim deviatim;
• zredukujeme a dostaneme 10 tridsaťdeväť štyridsaťdeväťdesiatin.

odpoveď: 10 39/49

Pokiaľ ide o otázku zvýšenia na iracionálny exponent, treba poznamenať, že výpočty sa začínajú vykonávať po dokončení predbežného zaokrúhlenia základu stupňa na ľubovoľnú číslicu, ktorá by umožnila získať hodnotu s danou presnosťou. Napríklad potrebujeme odmocniť číslo P (pi).

Začneme zaokrúhlením P na stotiny a dostaneme:

P na druhú = (3,14)2 = 9,8596. Ak však P znížime na desaťtisíciny, dostaneme P = 3,14159. Potom umocnenie dáva úplne iné číslo: 9,8695877281.

Tu treba poznamenať, že v mnohých problémoch nie je potrebné zvyšovať iracionálne čísla k mocnostiam. Odpoveď sa spravidla zadáva buď v tvare skutočného stupňa, napríklad odmocnina 6 na mocninu 3, alebo ak to výraz umožňuje, vykoná sa jej transformácia: odmocnina z 5 až 7 stupňov = 125 koreň z 5.

Ako zvýšiť číslo na celé číslo

Táto algebraická manipulácia je vhodná vziať do úvahy v nasledujúcich prípadoch:

• pre celé čísla;
• pre nulový indikátor;
• pre kladný exponent celého čísla.

Keďže takmer všetky kladné celé čísla sa zhodujú s hmotnosťou prirodzených čísel, nastavenie na kladnú mocninu celého čísla je rovnaký proces ako nastavenie v čl. prirodzené. Tento proces sme opísali v predchádzajúcom odseku.

Teraz si povedzme o výpočte sv. nulový. Už vyššie sme zistili, že nulovú mocninu čísla a možno určiť pre ľubovoľné nenulové a (reálne), kým a v čl. 0 sa bude rovnať 1.

V súlade s tým konštrukcia akéhokoľvek Reálne číslo do nuly sv. dá jeden.

Napríklad 10 v st. 0=1, (-3,65)0=1 a 0 v st. 0 sa nedá určiť.

Aby bolo možné dokončiť zvýšenie na celé číslo, zostáva rozhodnúť o možnostiach celých čísel záporné hodnoty. Pamätáme si, že čl. z a s celočíselným exponentom -z bude definovaný ako zlomok. Menovateľ zlomku je sv. s celkom kladná hodnota, ktorého význam sme sa už naučili nájsť. Teraz zostáva len zvážiť príklad konštrukcie.

Príklad:

Vypočítajte hodnotu čísla 2 v kocke so záporným exponentom celého čísla.

Postup riešenia:

Podľa definície stupňa so záporným exponentom označujeme: dva mínus 3 stupne. rovná sa jedna až dve k tretej mocnine.

Menovateľ sa vypočíta jednoducho: dve kocky;

3 = 2*2*2=8.

odpoveď: dva do mínus 3. čl. = jedna osmina.