Axiómy reálnych čísel. Axiomatika reálnych čísel Axiomatická definícia sústavy celých čísel

Pre reálne čísla, označované (tzv. R sekané), sa zavádza operácia sčítania („+“), teda pre každú dvojicu prvkov ( X,r) z množiny reálnych čísel je prvok priradený X + r z tej istej množiny, nazývanej súčet X A r .

Axiómy násobenia

Zavádza sa operácia násobenia („·“), teda pre každú dvojicu prvkov ( X,r) z množiny reálnych čísel je priradený prvok (alebo v skratke Xr) z rovnakej sady, nazývanej produkt X A r .

Vzťah medzi sčítaním a násobením

Axiómy poriadku

Na daný vzťah rádu "" (menší alebo rovný), to znamená pre ľubovoľný pár x, y z aspoň jednej z podmienok alebo .

Vzťah medzi objednávkou a dodatkom

Vzťah medzi poradím a násobením

Axióma kontinuity

Komentár

Táto axióma znamená, že ak X A Y- dve neprázdne množiny reálnych čísel také, že ľubovoľný prvok z X nepresahuje žiadny prvok z Y, potom možno medzi tieto množiny vložiť reálne číslo. Pre racionálne čísla táto axióma neplatí; klasický príklad: zvážte kladné racionálne čísla a priraďte ich k množine X tie čísla, ktorých štvorec je menší ako 2, a ostatné - do Y. Potom medzi X A Y Nemôžete vložiť racionálne číslo (nie je to racionálne číslo).

Táto kľúčová axióma poskytuje hustotu a tým umožňuje konštrukciu matematickej analýzy. Na ilustráciu jej dôležitosti poukážeme na dva zásadné dôsledky z nej.

Dôsledky axióm

Niektoré dôležité vlastnosti reálnych čísel vyplývajú priamo z axióm, napr.

• jedinečnosť nuly,
• jedinečnosť opačných a inverzných prvkov.

Literatúra

• Zorich V. A. Matematická analýza. Zväzok I. M.: Fáza, 1997, 2. kapitola.

pozri tiež

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Axiomatika reálnych čísel“ v iných slovníkoch:

Reálne, alebo reálne číslo, je matematická abstrakcia, ktorá vznikla z potreby merať geometrické a fyzikálne veličiny okolitého sveta, ako aj vykonávať také operácie ako extrahovanie koreňov, výpočet logaritmov, riešenie... ... Wikipedia

Reálne alebo reálne čísla sú matematickou abstrakciou, ktorá slúži najmä na reprezentáciu a porovnanie hodnôt fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne reprezentovať ako opis polohy bodu na priamke.... Wikipedia

Reálne alebo reálne čísla sú matematickou abstrakciou, ktorá slúži najmä na reprezentáciu a porovnanie hodnôt fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne reprezentovať ako opis polohy bodu na priamke.... Wikipedia

Reálne alebo reálne čísla sú matematickou abstrakciou, ktorá slúži najmä na reprezentáciu a porovnanie hodnôt fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne reprezentovať ako opis polohy bodu na priamke.... Wikipedia

Reálne alebo reálne čísla sú matematickou abstrakciou, ktorá slúži najmä na reprezentáciu a porovnanie hodnôt fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne reprezentovať ako opis polohy bodu na priamke.... Wikipedia

Reálne alebo reálne čísla sú matematickou abstrakciou, ktorá slúži najmä na reprezentáciu a porovnanie hodnôt fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne reprezentovať ako opis polohy bodu na priamke.... Wikipedia

Reálne alebo reálne čísla sú matematickou abstrakciou, ktorá slúži najmä na reprezentáciu a porovnanie hodnôt fyzikálnych veličín. Takéto číslo možno intuitívne reprezentovať ako opis polohy bodu na priamke.... Wikipedia

Wikislovník obsahuje článok „axióm“ Axióm (staroveká gréčtina ... Wikipedia

Axióm, ktorý sa nachádza v rôznych axiomatických systémoch. Axiomatika reálnych čísel Hilbertova axiomatika euklidovskej geometrie Kolmogorovova axiomatika teórie pravdepodobnosti ... Wikipedia

Axiomatická metóda v matematike.

Základné pojmy a vzťahy axiomatickej teórie prirodzených radov. Definícia prirodzeného čísla.

Sčítanie prirodzených čísel.

Násobenie prirodzených čísel.

Vlastnosti množiny prirodzených čísel

Odčítanie a delenie prirodzených čísel.

Axiomatická metóda v matematike

Pri axiomatickej konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie sa dodržiavajú tieto princípy: určité pravidlá:

1. Niektoré koncepty teórie sú vybrané ako Hlavná a sú akceptované bez definície.

2. Sú formulované axiómy, ktoré sú v tejto teórii prijímané bez dôkazu, odhaľujú vlastnosti základných pojmov.

3. Každý pojem teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname základných, je uvedený definícia, vysvetľuje jeho význam pomocou hlavných a predchádzajúcich pojmov.

4. Každý návrh teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname axióm, musí byť dokázaný. Takéto návrhy sú tzv teorémy a dokázať ich na základe axióm a teorém predchádzajúcich tej, o ktorej sa uvažuje.

Axiómový systém by mal byť:

a) konzistentné: musíme si byť istí, že vyvodením všetkých možných záverov z daného systému axióm nikdy nedôjdeme k rozporu;

b) nezávislý: žiadna axióma by nemala byť dôsledkom iných axióm tohto systému.

V) plný, ak je v jej rámci vždy možné dokázať buď dané tvrdenie, alebo jeho negáciu.

Za prvú skúsenosť s konštrukciou axiomatickej teórie možno považovať prezentáciu geometrie Euklidom v jeho „Prvkoch“ (3. storočie pred Kristom). Významný príspevok k rozvoju axiomatickej metódy konštrukcie geometrie a algebry urobil N.I. Lobačevskij a E. Galois. Koncom 19. stor. Taliansky matematik Peano vyvinul systém axióm pre aritmetiku.

Základné pojmy a vzťahy axiomatickej teórie prirodzených čísel. Definícia prirodzeného čísla.

Ako základný (nedefinovaný) pojem v určitom súbore N je vybratý postoj , a tiež používa koncepty teórie množín, ako aj pravidlá logiky.

Prvok bezprostredne nasledujúci za prvkom A, označovať A".

Vzťah „priamo nasledovať“ spĺňa nasledujúce axiómy:

Peanove axiómy:

Axióma 1. V hojnosti N existuje priamo prvok nie ďalší nie pre žiadny prvok tejto sady. Zavolajme mu jednotka a označené symbolom 1 .

axióma 2. Pre každý prvok A od N existuje len jeden prvok A" , bezprostredne nasledujúce A .

axióma 3. Pre každý prvok A od N existuje najviac jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje A .

axióma 4. Akákoľvek podmnožina M súpravy N sa zhoduje s N , ak má tieto vlastnosti: 1) 1 obsiahnuté v M ; 2) zo skutočnosti, že A obsiahnuté v M , z toho vyplýva A" obsiahnuté v M.

Definícia 1. Kopa N , pre ktorých prvky je vzťah založený "priamo nasledovať“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, sa nazýva množina prirodzených čísel a jej prvkami sú prirodzené čísla.

Táto definícia nehovorí nič o povahe prvkov súboru N . Takže to môže byť čokoľvek. Výber ako set N nejaká konkrétna množina, na ktorú je daný špecifický vzťah „priamo nadväzuje“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, dostaneme model tohto systému axióma.

Štandardný model systému Peanových axióm je rad čísel, ktoré vznikli v procese historického vývoja spoločnosti: 1,2,3,4,... Prirodzený rad začína číslom 1 (axióma 1); za každým prirodzeným číslom bezprostredne nasleduje jediné prirodzené číslo (axióma 2); každé prirodzené číslo bezprostredne nasleduje najviac za jedným prirodzeným číslom (axióma 3); počnúc číslom 1 a pohybom k prirodzeným číslam, ktoré bezprostredne nasledujú za sebou, dostaneme celú množinu týchto čísel (axióma 4).

Takže sme začali axiomatickú konštrukciu systému prirodzených čísel výberom základného vzťah „priamo nasledovať“. a axiómy, ktoré popisujú jeho vlastnosti. Ďalšia konštrukcia teórie zahŕňa úvahy o známych vlastnostiach prirodzených čísel a operácií s nimi. Musia byť zverejnené v definíciách a teorémoch, t.j. sú odvodené čisto logicky zo vzťahu „priamo nasledovať“ a axiómy 1-4.

Prvý pojem, ktorý zavedieme po definovaní prirodzeného čísla, je postoj "bezprostredne predchádza" , čo sa často používa pri zvažovaní vlastností prírodného radu.

Definícia 2. Ak je prirodzené číslo b priamo nasleduje prirodzené číslo A, to číslo A volal bezprostredne predchádzajúci(alebo predchádzajúce) číslo b .

Vzťah „predchádza“ má množstvo vlastností.

Veta 1. Jednotka nemá žiadne predchádzajúce prirodzené číslo.

Veta 2. Každé prirodzené číslo A, iné ako 1, má jedno predchádzajúce číslo b, také že b"= A.

S axiomatickou konštrukciou teórie prirodzených čísel sa neuvažuje ani na základných, ani na stredných školách. Avšak tie vlastnosti vzťahu „priamo nasledovať“, ktoré sa odrážajú v Peanových axiómach, sú predmetom štúdia v počiatočnom kurze matematiky. Už v prvej triede sa pri zvažovaní čísel prvej desiatky ukáže, ako sa dá každé číslo získať. Používajú sa pojmy „nasleduje“ a „predchádza“. Každé nové číslo pôsobí ako pokračovanie študovaného segmentu prirodzeného radu čísel. Študenti sú presvedčení, že za každým číslom nasleduje ďalšie, a navyše len jedno, že prirodzený rad čísel je nekonečný.

Sčítanie prirodzených čísel

Podľa pravidiel pre konštrukciu axiomatickej teórie musí byť definícia sčítania prirodzených čísel zavedená iba pomocou vzťahu "priamo sledovať" a koncepty "prirodzené číslo" A "predchádzajúce číslo".

Definíciu sčítania uveďme na úvod nasledujúcimi úvahami. Ak na akékoľvek prirodzené číslo A pridajte 1, dostaneme číslo A", bezprostredne nasledujúce A, t.j. A+ 1= a" a preto dostaneme pravidlo pre pridanie 1 k akémukoľvek prirodzenému číslu. Ale ako pridať k číslu A prirodzené číslo b, odlišná od 1? Využime nasledujúcu skutočnosť: ak vieme, že 2 + 3 = 5, tak súčet je 2 + 4 = 6, čo bezprostredne nasleduje za číslom 5. Deje sa tak preto, lebo v súčte 2 + 4 je druhý člen číslo, ktoré bezprostredne nasleduje číslo 3. Teda 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Vo všeobecnosti máme , .

Tieto skutočnosti tvoria základ pre definíciu sčítania prirodzených čísel v axiomatickej teórii.

Definícia 3. Sčítanie prirodzených čísel je algebraická operácia, ktorá má nasledujúce vlastnosti:

číslo a + b volal súčet čísel A A b , a samotné čísla A A b - podmienky.

Celočíselná sústava

Pripomeňme si, že prirodzená séria sa objavila na zoznam objektov. Ale ak chceme vykonávať nejaké akcie s objektmi, potom budeme potrebovať aritmetické operácie s číslami. To znamená, že ak chceme skladať jablká alebo rozdeliť koláč, musíme tieto akcie preložiť do reči čísel.

Upozorňujeme, že na zavedenie operácií + a * do jazyka prirodzených čísel je potrebné pridať axiómy, ktoré definujú vlastnosti týchto operácií. Ale potom je to aj samotná množina prirodzených čísel rozširujúce sa.

Pozrime sa, ako sa množina prirodzených čísel rozširuje. Najjednoduchšou operáciou, ktorá bola jedna z prvých, ktorá sa vyžadovala, je sčítanie. Ak chceme definovať operáciu sčítania, musíme definovať jeho inverzné – odčítanie. V skutočnosti, ak vieme, čo bude výsledkom sčítania, napríklad 5 a 2, mali by sme byť schopní riešiť problémy typu: čo treba pridať k 4, aby sme dostali 11. To znamená, že problémy súvisiace so sčítaním budú určite vyžadujú schopnosť vykonať spätnú akciu - odčítanie. Ale ak sčítanie prirodzených čísel dáva opäť prirodzené číslo, potom odčítanie prirodzených čísel dáva výsledok, ktorý sa nezmestí do N. Boli potrebné ďalšie čísla. Analogicky s pochopiteľným odčítaním menšieho čísla od väčšieho čísla bolo zavedené pravidlo odčítania väčšieho čísla od menšieho čísla - takto sa objavili záporné celé čísla.

Doplnením prirodzeného radu o operácie + a - sa dostaneme k množine celých čísel.

Z=N+operácií(+-)

Systém racionálnych čísel ako jazyk aritmetiky

Uvažujme teraz o ďalšej najkomplexnejšej akcii - násobení. V podstate ide o opakované pridávanie. A súčin celých čísel zostáva celým číslom.

Ale inverzná operácia k násobeniu je delenie. Ale nie vždy prináša najlepšie výsledky. A opäť stojíme pred dilemou – buď akceptovať, že výsledok delenia „neexistuje“, alebo prísť s číslami nejakého nového typu. Takto sa objavili racionálne čísla.

Zoberme si systém celých čísel a doplňte ho axiómami, ktoré definujú operácie násobenia a delenia. Získame systém racionálnych čísel.

Q=Z+operácie(*/)

Takže jazyk racionálnych čísel nám umožňuje vyrábať všetky aritmetické operácie nad číslami. Jazyk prirodzených čísel na to nestačil.

Uveďme axiomatickú definíciu systému racionálnych čísel.

Definícia. Množina Q sa nazýva množina racionálnych čísel a jej prvky sa nazývajú racionálne čísla, ak je splnená nasledujúca množina podmienok nazývaná axiomatika racionálnych čísel:

Axiómy operácie sčítania. Za každý objednaný pár x, y prvky z Q je definovaný nejaký prvok x+yОQ, nazývaná suma X A pri. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

1. (Existencia nuly) Existuje prvok 0 (nula) taký, že pre ľubovoľný XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Pre akýkoľvek prvok XО Q je tu prvok - XО Q (opak X) také, že

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutativita) Pre akékoľvek x, yО Q

4. (Asociativita) Pre ľubovoľné x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiómy operácie násobenia.

Za každý objednaný pár x, y prvky z Q je definovaný nejaký prvok xyО Q, nazývaný produkt X A u. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

5. (Existencia jednotkového prvku) Existuje prvok 1 О Q taký, že pre ľubovoľný XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Pre akýkoľvek prvok XО Q, ( X≠ 0) existuje inverzný prvok X-1 ≠0 tak, že

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Asociativita) Pre akékoľvek x, y, zО Q

X . (y . z) = (x . y) . z

8. (Komutativita) Pre akékoľvek x, yО Q

Axióma súvislosti medzi sčítaním a násobením.

9. (Distributivita) Pre akékoľvek x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Axiómy poriadku.

Akékoľvek dva prvky x, y,О Q vstupuje do porovnávacieho vzťahu ≤. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

10. (X≤pri)L ( pri≤X) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => X≤z

12. Pre kohokoľvek x, yО Q alebo x< у, либо у < x .

Postoj< называется строгим неравенством,

Vzťah = sa nazýva rovnosť prvkov z Q.

Axióma spojenia medzi sčítaním a poradím.

13. Pre ľubovoľné x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axióma spojenia medzi násobením a poriadkom.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Archimedova axióma kontinuity.

15. Pre ľubovoľné a > b > 0 existuje m О N a n О Q takých, že m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Systém racionálnych čísel je teda jazykom aritmetiky.

Tento jazyk však na riešenie praktických výpočtových problémov nestačí.

Pri axiomatickej konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie určite pravidlá:

· niektoré pojmy teórie sú vybrané ako základné a akceptované bez definície;

· každý pojem teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname základných, má definíciu;

· formulujú sa axiómy – tvrdenia, ktoré sa v danej teórii prijímajú bez dôkazu; odhaľujú vlastnosti základných pojmov;

· každý návrh teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname axióm, musí byť dokázaný; Takéto tvrdenia sa nazývajú teorémy a sú dokázané na základe axióm a teorém.

V axiomatickej konštrukcii teórie sú všetky tvrdenia odvodené z axióm prostredníctvom dôkazu.

Na systém axióm sa preto vzťahujú špeciálne požiadavky. požiadavky:

· konzistentnosť (systém axióm sa nazýva konzistentný, ak z neho nemožno logicky odvodiť dva vzájomne sa vylučujúce výroky);

· nezávislosť (systém axióm sa nazýva nezávislý, ak žiadna z axióm tohto systému nie je dôsledkom iných axióm).

Množina, v ktorej je zadaný vzťah, sa nazýva model daného systému axióm, ak sú v ňom splnené všetky axiómy daného systému.

Existuje mnoho spôsobov, ako zostrojiť systém axióm pre množinu prirodzených čísel. Za základný pojem možno považovať napríklad súčet čísel alebo poradie. V každom prípade musíte definovať systém axióm, ktoré popisujú vlastnosti základných pojmov.

Uveďme systém axióm, akceptujúcich základný koncept operácie sčítania.

Neprázdny set N nazývame ju množinou prirodzených čísel, ak je v nej definovaná operácia (a; b) → a + b, nazývaný adícia a má nasledujúce vlastnosti:

1. sčítanie je komutatívne, t.j. a + b = b + a.

2. sčítanie je asociatívne, t.j. (a + b) + c = a + (b + c).

4. v ľubovoľnom súbore A, čo je podmnožina množiny N, Kde A existuje číslo a také, že všetko Ha, sú si rovné a+b, Kde bN.

Na zostavenie celej aritmetiky prirodzených čísel stačia axiómy 1 - 4. Ale pri takejto konštrukcii už nie je možné spoliehať sa na vlastnosti konečných množín, ktoré sa v týchto axiómach neodrážajú.

Zoberme si za základný pojem vzťah „priamo nasledovať...“, definovaný na neprázdnej množine N. Potom prirodzeným radom čísel bude množina N, v ktorej je definovaný vzťah „okamžite nasledovať“ a všetky prvky N sa budú nazývať prirodzené čísla a platí: Peanove axiómy:

AXIOM 1.

V hojnostiNexistuje prvok, ktorý bezprostredne nenasleduje žiadny prvok tejto množiny. Nazveme ho jednota a označíme symbolom 1.

AXIOM 2.

Pre každý prvok aNbezprostredne za a je jeden prvok a.

AXIOM 3.

Pre každý prvok aNExistuje najviac jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje a.

AXOIMA 4.

Ľubovoľná podmnožina M množinyNsa zhoduje sN, ak má nasledujúce vlastnosti: 1) 1 je obsiahnutý v M; 2) zo skutočnosti, že a je obsiahnuté v M, vyplýva, že a je obsiahnuté aj v M.

Kopa N, pre prvky, pre ktoré je ustanovený vzťah „priamo nadväzujú...“, ktorý spĺňa axiómy 1 - 4, sa nazýva množina prirodzených čísel a jej prvkami sú prirodzené čísla.

Ak ako komplet N vyberte si nejakú konkrétnu množinu, na ktorej je daná konkrétna relácia „priamo nadväzuje ...“, ktorá spĺňa axiómy 1 - 4, potom dostaneme rôzne interpretácie (modely) daný axiómové systémy.

Štandardný model systému Peano axióm je séria čísel, ktoré sa objavili v procese historického vývoja spoločnosti: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Modelom Peanových axióm môže byť ľubovoľná spočítateľná množina.

Napríklad I, II, III, IIII, ...

oh oh oh oh oh...

jeden dva tri štyri, …

Uvažujme postupnosť množín, v ktorých množina (oo) je počiatočným prvkom a každá nasledujúca množina sa získa z predchádzajúcej pridaním ďalšieho kruhu (obr. 15).

Potom N existuje množina pozostávajúca z množín opísaného tvaru a je to model systému Peanovho axiómu.

Naozaj, v mnohých N existuje prvok (oo), ktorý bezprostredne nenasleduje žiadny prvok danej množiny, t.j. Axióma 1 je splnená pre každú množinu A z uvažovanej populácie existuje jediný súbor, ktorý sa získava z A pridaním jedného kruhu, t.j. Axióma 2 platí pre každú množinu A existuje najviac jedna množina, z ktorej sa zostava tvorí A pridaním jedného kruhu, t.j. Axióma 3 platí MN a je známe, že mnohí A obsiahnuté v M, vyplýva, že množina, v ktorej je o jeden kruh viac ako v množine A, obsiahnuté aj v M, To M =N, a preto je axióma 4 splnená.

Pri definícii prirodzeného čísla nemožno vynechať žiadnu z axióm.

Stanovme, ktorá z množín znázornených na obr. 16 sú modelom Peanových axióm.

1 a b d a G) Obr.16

Riešenie. Obrázok 16 a) zobrazuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 2 a 3 Skutočne, pre každý prvok je za ním bezprostredne nasledujúci a existuje jedinečný prvok, ktorý nasleduje. Ale v tejto množine nie je splnená axióma 1 (axióma 4 nedáva zmysel, pretože v množine nie je žiadny prvok, ktorý by bezprostredne nenasledoval žiadny iný). Preto táto množina nie je modelom Peanových axióm.

Obrázok 16 b) zobrazuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 1, 3 a 4, ale za prvkom A dva prvky bezprostredne nasledujú, a nie jeden, ako to vyžaduje axióma 2. Preto táto množina nie je modelom Peanových axióm.

Na obr. 16 c) znázorňuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 1, 2, 4, ale prvok s bezprostredne nasleduje dva prvky. Preto táto množina nie je modelom Peanových axióm.

Na obr. 16 d) ukazuje množinu, ktorá spĺňa axiómy 2, 3, a ak za počiatočný prvok vezmeme číslo 5, tak táto množina bude spĺňať axiómy 1 a 4. To znamená, že v tejto množine je pre každý prvok okamžite jedna jedinečná a je tu jeden prvok, ktorý nasleduje. Existuje tiež prvok, ktorý bezprostredne nenasleduje žiadny prvok tejto sady, je to 5 , tie. Axióma 1 je teda splnená Axióma 4 je teda modelom Peanových axióm.

Pomocou Peanových axióm dokážeme množstvo tvrdení, napríklad dokážeme, že pre všetky prirodzené čísla je nerovnosť x x.

Dôkaz. Označme podľa A množina prirodzených čísel, pre ktoré a a.číslo 1 patrí A, keďže nevyplýva zo žiadneho čísla N, čo znamená, že sama osebe nenasleduje: 1 1. Nechaj aA, Potom a a. Označme A cez b. Na základe axiómy 3 Ab, tie. b b A bA.

ŠTÁTNA PEDAGOGICKÁ UNIVERZITA OMSK
POBOČKA Omskej štátnej pedagogickej univerzity v TAR
BBK Vydané rozhodnutím redakcie a vydavateľstva
22ya73 sektor pobočky Omskej štátnej pedagogickej univerzity v Tare
Ch67

Odporúčania sú určené pre študentov pedagogických vysokých škôl študujúcich odbor „Algebra a teória čísel“. V rámci tohto odboru sa v súlade so štátnym štandardom v 6. semestri študuje odbor „Číselné sústavy“. Tieto odporúčania predstavujú materiál o axiomatickej konštrukcii systémov prirodzených čísel (systém Peanovho axiómu), systémov celých a racionálnych čísel. Táto axiomatika nám umožňuje lepšie pochopiť, čo je číslo, ktoré je jedným zo základných pojmov školského kurzu matematiky. Pre lepšiu asimiláciu materiálu sú uvedené problémy na relevantné témy. Na konci odporúčaní sú odpovede, pokyny a riešenia problémov.

Recenzent: doktor pedagogických vied, prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Podpísané na zverejnenie - 22.10.98

Novinový papier
Náklad 100 kópií.
Operačná metóda tlače
Štátna pedagogická univerzita v Omsku, 644099, Omsk, emb. Tuchačevskij, 14
pobočka, 644500, Tara, ul. Školnaja, 69

1. PRIRODZENÉ ČÍSLA.

Pri axiomatickej konštrukcii sústavy prirodzených čísel budeme predpokladať, že poznáme pojem množina, vzťahy, funkcie a iné množinové pojmy.

1.1 Systém Peanovho axiómu a najjednoduchšie dôsledky.

Počiatočnými pojmami v Peanovej axiomatickej teórii sú množina N (ktorú budeme nazývať množina prirodzených čísel), z nej špeciálne číslo nula (0) a na N „nasleduje“ binárny vzťah označovaný S(a) (príp. a()).
AXIOMS:
1. ((a(N) a"(0 (Existuje prirodzené číslo 0, ktoré nenasleduje za žiadnym číslom.)
2. a=b (a"=b" (Za každým prirodzeným číslom a nasleduje prirodzené číslo a" a len jedno.)
3. a"=b" (a=b (Za každým prirodzeným číslom nasleduje najviac jedno číslo.)
4. (indukčná axióma) Ak množina M(N a M spĺňa dve podmienky:
A) 0 (M;
B) ((a(N)a(M®a"(M, potom M=N.
Vo funkčnej terminológii to znamená, že mapovanie S:N®N je injektívne. Z axiómy 1 vyplýva, že zobrazenie S:N®N nie je surjektívne. Axióma 4 je základom na dokazovanie tvrdení „metódou matematickej indukcie“.
Všimnime si niektoré vlastnosti prirodzených čísel, ktoré priamo vyplývajú z axióm.
Vlastnosť 1. Po každom prirodzenom čísle a(0 nasleduje len jedno číslo.
Dôkaz. Nech M označuje množinu prirodzených čísel obsahujúcich nulu a všetky tieto prirodzené čísla, z ktorých každé nasleduje po nejakom čísle. Stačí ukázať, že M=N, jednoznačnosť vyplýva z axiómy 3. Aplikujme indukčnú axiómu 4:
A) 0(M - konštrukciou množiny M;
B) ak a(M, potom a"(M, pretože a" nasleduje po a.
To znamená, podľa axiómy 4, M=N.
Vlastnosť 2. Ak a(b, potom a"(b".
Vlastnosť sa dokazuje kontradikciou pomocou axiómy 3. Nasledujúca vlastnosť 3 sa dokazuje podobným spôsobom pomocou axiómy 2.
Vlastnosť 3. Ak a"(b", potom a(b.
Vlastnosť 4. ((a(N)a(a). (Za sebou nenasleduje žiadne prirodzené číslo.)
Dôkaz. Nech M=(x (x(N, x(x)). Stačí ukázať, že M=N. Keďže podľa axiómy 1 ((x(N)x"(0, potom najmä 0"(0) , a teda podmienka A) axiómy 4 0(M - je splnená. Ak x(M, teda x(x), potom vlastnosťou 2 x"((x")", čo znamená, že podmienka B) x (M®x"(M. Ale potom, podľa axiómy 4, M=N.
Nech ( je nejaká vlastnosť prirodzených čísel. Skutočnosť, že číslo a má vlastnosť (, budeme písať ((a).
Úloha 1.1.1. Dokážte, že axióma 4 z definície množiny prirodzených čísel je ekvivalentná nasledujúcemu tvrdeniu: pre akúkoľvek vlastnosť (, ak ((0) a, potom.
Úloha 1.1.2. Na trojprvkovej množine A=(a,b,c) je unárna operácia ( definovaná takto: a(=c, b(=c, c(=a. Ktoré z Peanových axióm sú pravdivé na množine) A s operáciou (?
Úloha 1.1.3. Nech A=(a) je jednotónová množina, a(=a. Ktoré z Peanových axióm sú pravdivé na množine A s operáciou (?
Úloha 1.1.4. Na množine N definujeme unárnu operáciu, za predpokladu, že pre ľubovoľnú. Zistite, či tvrdenia Peanových axióm formulovaných z hľadiska operácie budú pravdivé v N.
Problém 1.1.5. Nechať byť. Dokážte, že A je pod operáciou uzavreté (. Overte pravdivosť Peanových axióm na množine A pomocou operácie (.
Problém 1.1.6. Nechať byť,. Definujme unárnu operáciu na nastavení A. Ktoré z Peanových axióm sú pravdivé na množine A s operáciou?

1.2. Konzistentnosť a kategorickosť systému Peanovho axiómu.

Systém axióm sa nazýva konzistentný, ak z jeho axióm nemožno dokázať vetu T a jej negáciu (T. Je jasné, že protichodné systémy axióm nemajú v matematike žiadny význam, pretože v takejto teórii možno dokázať čokoľvek a napr. teória neodráža zákony reálneho sveta Preto je konzistentnosť systému axióm absolútne nevyhnutnou požiadavkou.
Ak sa veta T a jej negácie (T) v axiomatickej teórii nenachádzajú, neznamená to, že systém axiómov je konzistentný, a preto je potrebné dokázať konzistentnosť systému axiómov najbežnejším spôsobom dokazovania konzistencie je metóda interpretácie založená na skutočnosti, že ak existuje interpretácia systému axióm v zjavne konzistentnej teórii S, potom je systém axióm sám o sebe konzistentný, ak by systém axióm bol nekonzistentný. potom by v nej boli dokázateľné vety T a (T), ale potom by tieto vety boli platné a pri jej interpretácii, a to odporuje konzistentnosti teórie S. Metóda interpretácie umožňuje dokázať len relatívnu konzistentnosť teórie. .
Pre systém Peanovho axiómu je možné zostaviť mnoho rôznych interpretácií. Teória množín je obzvlášť bohatá na interpretácie. Uveďme jeden z týchto výkladov. Množiny (, ((), ((()), (((())),... budeme považovať za prirodzené čísla, nulu budeme považovať za špeciálne číslo (. Vzťah „nasleduje“ bude interpretovať nasledovne: za množinou M nasleduje množina (M), ktorej jediným prvkom je samotné M ("=((), (()"=((()) atď. Realizovateľnosť axiómy 1-4 sa dajú ľahko overiť. Účinnosť takejto interpretácie je však malá: ukazuje to, že systém Peaových axióm je konzistentný, ak je teória množín konzistentná. Dokázanie konzistencie systému axióm teórie množín je však ešte zložitejšie. úloha Najpresvedčivejšia interpretácia systému Peanovho axiómu je intuitívna aritmetika, ktorej konzistentnosť je potvrdená storočiami jej vývoja.
Konzistentný systém axióm sa nazýva nezávislý, ak každú axiómu tohto systému nemožno dokázať ako vetu na základe iných axióm. Dokázať, že axióma (nezávisí od iných axióm systému
(1, (2, ..., (n, ((1))
stačí dokázať, že systém axióm je konzistentný
(1, (2, ..., (n, (((2))
V skutočnosti, ak (bolo dokázané na základe zostávajúcich axióm systému (1), potom systém (2) by bol protirečivý, pretože v ňom veta (a axióma ((.
Na dôkaz nezávislosti axiómy (od ostatných axióm systému (1) teda stačí zostaviť interpretáciu systému axióm (2).
Nezávislosť axiómového systému je voliteľná požiadavka. Niekedy, aby sa predišlo dokazovaniu „ťažkých“ teorémov, je konštruovaný zámerne redundantný (závislý) systém axióm. „Extra“ axiómy však sťažujú štúdium úlohy axióm v teórii, ako aj vnútorných logických súvislostí medzi rôznymi časťami teórie. Okrem toho je konštruovanie interpretácií pre závislé systémy axióm oveľa náročnejšie ako pre nezávislé; koniec koncov musíme skontrolovať platnosť axióm „navyše“. Z týchto dôvodov sa problematike závislosti medzi axiómami od staroveku pripisoval prvoradý význam. Pokusy dokázať, že postulát 5 v Euklidových axiómach „Existuje najviac jedna priamka prechádzajúca bodom A rovnobežne s priamkou (“ je veta (to znamená, že závisí od zostávajúcich axióm), viedli k objavu Lobačevského. geometria.
Konzistentný systém sa nazýva deduktívne úplný, ak akýkoľvek výrok A danej teórie môže byť buď dokázaný alebo vyvrátený, teda buď A alebo (A je teorém tejto teórie. Ak existuje výrok, ktorý nemožno ani dokázať, ani vyvrátiť, potom sa systém axióm nazýva deduktívne neúplný, nie je tiež povinná požiadavka. Napríklad systém axióm teórie grúp, teórie kruhov a teórie poľa sú neúplné, pretože existujú konečné aj nekonečné skupiny, kruhy. polia, nie je možné dokázať alebo vyvrátiť tvrdenie v týchto teóriách: "Skupina (kruh, pole) obsahuje konečný počet prvkov."
Treba poznamenať, že v mnohých axiomatických teóriách (konkrétne v neformalizovaných) nemožno množinu výrokov považovať za presne definovanú, a preto nie je možné dokázať deduktívnu úplnosť systému axióm takejto teórie. Ďalší pocit úplnosti sa nazýva kategorickosť. Systém axióm sa nazýva kategorický, ak sú akékoľvek jeho dve interpretácie izomorfné, to znamená, že existuje taká korešpondencia jedna k jednej medzi súbormi počiatočných objektov jednej a druhej interpretácie, ktorá je zachovaná vo všetkých počiatočných vzťahoch. Kategorickosť je tiež voliteľnou podmienkou. Napríklad axiómový systém teórie grup nie je kategorický. Vyplýva to zo skutočnosti, že konečná grupa nemôže byť izomorfná s nekonečnou grupou. Pri axiomatizácii teórie akéhokoľvek číselného systému je však kategorickosť povinná; napríklad kategoriálny charakter systému axióm definujúcich prirodzené čísla znamená, že až do izomorfizmu existuje iba jeden prirodzený rad.
Dokážme kategorickú povahu systému Peanovho axiómu. Nech (N1, s1, 01) a (N2, s2, 02) sú ľubovoľné dve interpretácie systému Peanových axióm. Je potrebné uviesť bijektívne (jedna k jednej) mapovanie f:N1®N2, pre ktoré sú splnené nasledujúce podmienky:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) pre ľubovoľné x z N1;
b) f(01)=02
Ak sú obe unárne operácie s1 a s2 označené rovnakým prvočíslom, potom sa podmienka a) prepíše ako
a) f(x()=f(x)(.
Definujme binárnu reláciu f na množine N1(N2) nasledujúcimi podmienkami:
1) 01f02;
2) ak xfy, potom x(fy(.
Uistime sa, že tento vzťah je zobrazením od N1 do N2, teda pre každé x z N1
(((y(N2) xfy (1)
Nech M1 označuje množinu všetkých prvkov x z N1, pre ktoré je splnená podmienka (1). Potom
A) 01 (M1 kvôli 1);
B) x(M1® x((M1 na základe 2) a vlastností 1 odseku 1.
Odtiaľto podľa axiómy 4 usudzujeme, že M1=N1, čo znamená, že vzťah f je zobrazením N1 do N2. Navyše z 1) vyplýva, že f(01)=02. Podmienka 2) sa zapisuje v tvare: ak f(x)=y, potom f(x()=y(. Z toho vyplýva, že f(x()=f(x)(). Teda na zobrazenie podmienky f a ) a b) sú splnené Zostáva dokázať, že zobrazenie f je bijektívne.
Označme M2 množinu tých prvkov z N2, z ktorých každý je obrazom jedného a len jedného prvku z N1 pod zobrazením f.
Pretože f(01)=02, potom 02 je obrázok. Navyše, ak x(N2 a x(01), potom vlastnosťou 1 položky 1 x nasleduje nejaký prvok c z N1 a potom f(x)=f(c()=f(c)((02. To znamená 02 je obrazom jediného prvku 01, teda 02(M2.
Nech ďalej y(M2 a y=f(x), kde x je jediný inverzný obraz prvku y. Potom podľa podmienky a) y(=f(x)(=f(x()), tj. y(je obraz prvku x (. Nech c je ľubovoľný inverzný obraz prvku y(, teda f(c)=y(.) Keďže y((02, potom c(01 a pre c je predchádzajúci) prvok, ktorý označíme d Potom y(=f(c)=f(d()=f(d)(), odkiaľ je axióma 3 y=f(d), ale keďže y(M2, potom d=. x, odkiaľ c=d(=x(. Dokázali sme, že ak y je obrazom jedinečného prvku, potom y(je obrazom jedinečného prvku, teda y(M2 ® y((M2. Obidve) podmienky axiómy 4 sú splnené, a teda M2=N2, čím sa dokončí dôkaz kategoricity.
Celá predgrécka matematika mala empirický charakter. Jednotlivé prvky teórie sa utopili v množstve empirických metód riešenia praktických problémov. Gréci podrobili tento empirický materiál logickému spracovaniu a snažili sa nájsť súvislosti medzi rôznymi empirickými informáciami. V tomto zmysle zohral hlavnú úlohu v geometrii Pytagoras a jeho škola (5. storočie pred Kristom). Myšlienky axiomatickej metódy boli jasne počuť v dielach Aristotela (4. storočie pred Kristom). Praktickú realizáciu týchto myšlienok však uskutočnil Euklides vo svojich Prvkoch (3. storočie pred Kristom).
V súčasnosti možno rozlíšiť tri formy axiomatických teórií.
1). Zmysluplná axiomatika, ktorá bola do polovice minulého storočia jediná.
2). Poloformálna axiomatika, ktorá vznikla v poslednej štvrtine minulého storočia.
3). Formálna (alebo formalizovaná) axiomatika, za dátum zrodu ktorej možno považovať rok 1904, kedy D. Hilbert publikoval svoj slávny program o základných princípoch formalizovanej matematiky.
Každá nová forma nepopiera predchádzajúcu, ale je jej vývojom a objasnením, takže úroveň prísnosti každej novej formy je vyššia ako tá predchádzajúca.
Intenzívna axiomatika je charakteristická tým, že východiskové pojmy majú intuitívne jasný význam ešte pred sformulovaním axióm. V Euklidových prvkoch teda bod znamená presne to, čo intuitívne chápeme pod týmto pojmom. V tomto prípade sa používa bežný jazyk a bežná intuitívna logika, ktorá siaha až k Aristotelovi.
Semiformálne axiomatické teórie využívajú aj bežný jazyk a intuitívnu logiku. Na rozdiel od zmysluplnej axiomatiky však pôvodné pojmy nedostávajú žiadny intuitívny význam, charakterizujú ich iba axiómy. To zvyšuje prísnosť, pretože intuícia do určitej miery zasahuje do prísnosti. Všeobecnosť sa navyše získava, pretože každá veta dokázaná v takejto teórii bude platná pri akejkoľvek interpretácii. Príkladom semiformálnej axiomatickej teórie je Hilbertova teória, uvedená v jeho knihe „Základy geometrie“ (1899). Príkladom semiformálnych teórií je aj teória prstencov a množstvo ďalších teórií prezentovaných v kurze algebry.
Príkladom formalizovanej teórie je výrokový počet, ktorý sa študuje v kurze matematickej logiky. Na rozdiel od substantívnej a poloformálnej axiomatiky používa formalizovaná teória špeciálny symbolický jazyk. Totižto je daná abeceda teórie, teda určitá množina symbolov, ktoré hrajú rovnakú úlohu ako písmená v bežnom jazyku. Akákoľvek konečná postupnosť znakov sa nazýva výraz alebo slovo. Medzi výrazmi sa rozlišuje trieda vzorcov a je uvedené presné kritérium, ktoré umožňuje každému výrazu zistiť, či ide o vzorec. Vzorce zohrávajú rovnakú úlohu ako vety v bežnom jazyku. Niektoré zo vzorcov sú vyhlásené za axiómy. Okrem toho sú špecifikované pravidlá logického vyvodzovania; Každé takéto pravidlo znamená, že určitý vzorec priamo vyplýva z určitého súboru vzorcov. Dôkazom samotnej vety je konečný reťazec vzorcov, v ktorom posledná formula je samotná veta a každá formula je buď axióma, alebo predtým dokázaná veta, alebo priamo vyplýva z predchádzajúcich vzorcov reťazca podľa jedného z pravidlá vyvodzovania. O prísnosti dôkazov teda niet pochýb: buď je daný reťazec dôkazom, alebo nie je žiadny pochybný dôkaz. V tomto ohľade sa formalizovaná axiomatika používa v obzvlášť jemných otázkach opodstatnenosti matematických teórií, keď bežná intuitívna logika môže viesť k chybným záverom, ku ktorým dochádza najmä v dôsledku nepresností a nejednoznačností nášho bežného jazyka.
Keďže vo formalizovanej teórii možno o každom výraze povedať, či ide o vzorec, potom možno množinu viet formalizovanej teórie považovať za definitívnu. V tejto súvislosti možno v zásade nastoliť otázku dokazovania deduktívnej úplnosti, ako aj dokazovania konzistentnosti, bez toho, aby sme sa uchýlili k výkladu. V mnohých jednoduchých prípadoch to možno dosiahnuť. Napríklad konzistentnosť výrokového počtu je dokázaná bez interpretácie.
V neformalizovaných teóriách nie je veľa tvrdení jasne definovaných, takže je zbytočné nastoľovať otázku dokazovania konzistentnosti bez toho, aby sme sa uchýlili k interpretáciám. To isté platí pre otázku dokazovania deduktívnej úplnosti. Ak sa však stretneme s návrhom neformalizovanej teórie, ktorú nemožno dokázať ani vyvrátiť, potom je teória zjavne deduktívne neúplná.
Axiomatická metóda sa už dávno nepoužíva len v matematike, ale aj vo fyzike. Prvé pokusy v tomto smere urobil Aristoteles, ale axiomatická metóda získala svoje skutočné uplatnenie vo fyzike až v Newtonových prácach o mechanike.
V súvislosti s rýchlym procesom matematizácie vied dochádza aj k procesu axiomatizácie. V súčasnosti sa axiomatická metóda dokonca používa v niektorých oblastiach biológie, napríklad v genetike.
Napriek tomu možnosti axiomatickej metódy nie sú neobmedzené.
V prvom rade podotýkame, že ani vo formalizovaných teóriách nie je možné úplne sa vyhnúť intuícii. Samotná formalizovaná teória bez interpretácií nemá zmysel. Preto vzniká množstvo otázok o vzťahu medzi formalizovanou teóriou a jej interpretáciou. Okrem toho, ako vo formalizovaných teóriách, vznikajú otázky o konzistencii, nezávislosti a úplnosti systému axióm. Súhrn všetkých takýchto otázok tvorí obsah ďalšej teórie, ktorá sa nazýva metateória formalizovanej teórie. Na rozdiel od formalizovanej teórie je jazykom metateórie bežný každodenný jazyk a logické uvažovanie sa uskutočňuje podľa pravidiel bežnej intuitívnej logiky. Intuícia, úplne vylúčená z formalizovanej teórie, sa teda znovu objavuje v jej metateórii.
Ale to nie je hlavná slabina axiomatickej metódy. Už sme spomenuli program D. Hilberta, ktorý položil základ pre formalizovanú axiomatickú metódu. Hilbertovou hlavnou myšlienkou bolo vyjadriť klasickú matematiku ako formalizovanú axiomatickú teóriu a následne dokázať jej konzistentnosť. Tento program sa však v hlavných bodoch ukázal ako utopický. V roku 1931 rakúsky matematik K. Gödel dokázal svoje slávne teorémy, z ktorých vyplývalo, že oba hlavné problémy, ktoré Hilbert nastolil, sú nemožné. Pomocou svojej kódovacej metódy sa mu podarilo vyjadriť niektoré pravdivé predpoklady z metateórie pomocou vzorcov formalizovanej aritmetiky a dokázať, že tieto vzorce nie sú vo formalizovanej aritmetike odvoditeľné. Takto sa formalizovaná aritmetika ukázala ako deduktívne neúplná. Z Gödelových výsledkov vyplynulo, že ak tento nedokázateľný vzorec zahrnieme do počtu axióm, potom bude existovať ďalší nepreukázateľný vzorec vyjadrujúci nejaký pravdivý výrok. To všetko znamenalo, že nielen všetku matematiku, ale ani aritmetiku – jej najjednoduchšiu časť – nebolo možné úplne formalizovať. Gödel skonštruoval najmä vzorec zodpovedajúci vete „Formalizovaná aritmetika je konzistentná“ a ukázal, že tento vzorec tiež nie je odvoditeľný. Táto skutočnosť znamená, že konzistentnosť formalizovanej aritmetiky nie je možné dokázať v rámci samotnej aritmetiky. Samozrejme, je možné skonštruovať silnejšiu formalizovanú teóriu a použiť jej prostriedky na preukázanie konzistencie formalizovanej aritmetiky, ale potom vyvstáva zložitejšia otázka o konzistencii tejto novej teórie.
Gödelove výsledky poukazujú na obmedzenia axiomatickej metódy. A predsa neexistuje absolútne žiadny základ pre pesimistické závery v teórii poznania, že existujú nepoznateľné pravdy. Skutočnosť, že existujú aritmetické pravdy, ktoré nemožno dokázať formálnou aritmetikou, neznamená, že existujú nepoznateľné pravdy, a neznamená to, že ľudské myslenie je obmedzené. Znamená to len, že možnosti nášho myslenia sa neobmedzujú len na úplne formalizované postupy a že ľudstvo ešte musí objaviť a vymyslieť nové princípy dokazovania.

1.3.Sčítanie prirodzených čísel

Operácie sčítania a násobenia prirodzených čísel nie sú postulované systémom Peanovho axiómu, tieto operácie zadefinujeme.
Definícia. Sčítanie prirodzených čísel je binárna algebraická operácia + na množine N, ktorá má tieto vlastnosti:
1 s. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Vzniká otázka: existuje taká operácia, a ak áno, je jediná?
Veta. Prirodzené čísla sú len jedno sčítanie.
Dôkaz. Binárna algebraická operácia na množine N je zobrazenie (:N(N®N. Je potrebné dokázať, že existuje jedinečné zobrazenie (:N(N®N) s vlastnosťami: 1) ((x(N) ( (x,0)=x 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Ak pre každé prirodzené číslo x dokážeme existenciu zobrazenia fx:N®N s vlastnosťami 1() fx(0 )=x 2() fx(y()=fx(y)(), potom funkcia ((x,y), definovaná rovnosťou ((x; ,y) (fx(y), splní podmienky 1) a 2).
Na množine N definujeme binárnu reláciu fx podmienkami:
a) 0fxx;
b) ak yfxz, potom y(fxz(.
Uistime sa, že tento vzťah je zobrazením z N na N, teda pre každé y z N
(((z(N) yfxz (1)
Označme M množinu prirodzených čísel y, pre ktorú je splnená podmienka (1). Potom z podmienky a) vyplýva, že 0(M, az podmienky b) a vlastnosti 1 klauzuly 1 vyplýva, že ak y(M, tak y((M. Na základe axiómy 4 sme teda dospeli k záveru, že M = N, a to znamená, že vzťah fx je zobrazenie z N na N. Pre toto zobrazenie sú splnené nasledujúce podmienky:
1() fx(0)=x - v dôsledku a);
2() fx((y)=fx(y() - na základe b).
Existencia sčítania je teda dokázaná.
Dokážme jedinečnosť. Nech + a ( sú ľubovoľné dve binárne algebraické operácie na množine N s vlastnosťami 1c a 2c. Musíme dokázať, že
((x,y(N) x+y=x(y
Stanovme si ľubovoľné číslo x a označme S množinu tých prirodzených čísel y, pre ktoré platí rovnosť
x+y=x(y (2)
vykonané. Keďže podľa 1c x+0=x a x(0=x, potom
A) 0 (S
Nech je teraz y(S, teda rovnosť (2) splnená. Keďže x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(a x+y=x(y),) potom podľa axiómy 2 x+y(=x(y(, čiže podmienka je splnená
B) y(S® y((S.
Podľa axiómy 4 je teda S=N dokončený dôkaz vety.
Dokážme niektoré vlastnosti sčítania.
1. Číslo 0 je neutrálny prvok sčítania, teda a+0=0+a=a pre každé prirodzené číslo a.
Dôkaz. Rovnosť a+0=a vyplýva z podmienky 1c. Dokážme rovnosť 0+a=a.
Nech M označuje množinu všetkých čísel, pre ktoré platí. Je zrejmé, že 0+0=0 a teda 0(M. Nech a(M, teda 0+a=a. Potom 0+a(=(0+a)(=a(a teda a((M) To znamená M=N, čo je potrebné dokázať.
Ďalej potrebujeme lemu.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Dôkaz. Nech M je množina všetkých prirodzených čísel b, pre ktoré platí rovnosť a(+b=(a+b) pre ľubovoľnú hodnotu a. Potom:
A) 0(M, pretože a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Skutočne, zo skutočnosti, že b(M a 2c) máme
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
teda b((M. To znamená M=N, čo je potrebné dokázať.
2. Sčítanie prirodzených čísel je komutatívne.
Dôkaz. Nech M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Stačí dokázať, že M=N). Máme:
A) 0 (M - kvôli vlastnosti 1.
B) a(M ® a((M. Skutočne, ak použijeme lemu a skutočnosť, že a(M, dostaneme:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
To znamená a((M, a podľa axiómy 4 M=N.
3. Sčítanie je asociatívne.
Dôkaz. Nechaj
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
Je potrebné preukázať, že M=N. Keďže (a+b)+0=a+b a a+(b+0)=a+b, potom 0(M. Nech c(M, to je (a+b)+c=a+(b+c ) Potom
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
To znamená c((M a podľa axiómy 4 M=N.
4. a+1=a(, kde 1=0(.
Dôkaz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ak b(0, potom ((a(N)a+b(a.
Dôkaz. Nech M=(a(a(N(a+b(a). Keďže 0+b=b(0), potom 0(M.) Ďalej, ak a(M, teda a+b(a), potom podľa vlastnosť 2 položka 1 (a+b)((a(alebo a(+b(a(. Takže a((M a M=N.
6. Ak b(0, potom ((a(N)a+b(0.
Dôkaz. Ak a=0, potom 0+b=b(0, ale ak a(0 a a=c(, potom a+b=c(+b=(c+b)(0). Takže v každom prípade a + b(0.
7. (Zákon trichotómie sčítania). Pre všetky prirodzené čísla a a b platí len jeden z troch vzťahov:
1) a=b;
2) b=a+u, kde u(0;
3) a=b+v, kde v(0.
Dôkaz. Stanovme si ľubovoľné číslo a a označme M množinu všetkých prirodzených čísel b, pre ktoré platí aspoň jeden zo vzťahov 1), 2), 3). Je potrebné preukázať, že M=N. Nech b=0. Potom, ak a=0, potom platí vzťah 1, a ak a(0, potom platí vzťah 3), pretože a=0+a. Takže 0 (M.
Predpokladajme teraz, že b(M, teda pre zvolené a) je splnený jeden zo vzťahov 1), 2), 3). Ak a=b, potom b(=a(=a+1, teda pre b(platí vzťah 2). Ak b=a+u, potom b(=a+u(, teda pre b() vzťah 2). Ak a=b+v, potom sú možné dva prípady: v=1 a v(1. Ak v=1, potom a=b+v=b“, teda pre b“ sú vzťahy 1 splnené rovnaké v(1, potom v=c", kde c(0 a potom a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, kde c(0 je pre b" vzťah 3 je splnený). Dokázali sme teda, že b(M®b"(M, a teda M=N, teda pre ľubovoľné a a b aspoň jeden zo vzťahov 1), 2), 3 je Uistime sa, že žiadne dve z nich nemôžu byť splnené súčasne: ak by boli splnené vzťahy 1) a 2), mali by b=b+u, kde u(0, a to je v rozpore s vlastnosťou 5. Nemožnosť splnenia 1) a je overená podobným spôsobom 3. Nakoniec, ak by boli splnené vzťahy 2) a 3), potom by sme mali a=(a+u)+v = a+ +(u+v). ), a to je nemožné kvôli vlastnostiam 5 a 6. Vlastnosť 7 je úplne preukázaná.
Úloha 1.3.1. Nech 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).) Dokážte, že 3+5=8, 2+4=6.

1.4. NÁSOBENIE PRIRODZENÝCH ČÍSEL.

Definícia 1. Násobenie prirodzených čísel je taká binárna operácia (na množine N, pre ktorú sú splnené tieto podmienky:
1у. ((x(N) x(0=0);
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Opäť vyvstáva otázka: existuje takáto operácia a ak existuje, je jediná?
Veta. Na násobenie prirodzených čísel existuje len jedna operácia.
Dôkaz sa vykonáva takmer rovnako ako pri pridávaní. Je potrebné nájsť mapovanie (:N(N®N), ktoré spĺňa podmienky
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y)= ((x,y)+x.
Opravme si číslo x ľubovoľne. Ak pre každé x(N) dokážeme existenciu zobrazenia fx:N®N s vlastnosťami
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
potom funkcia ((x,y) definovaná rovnosťou ((x,y)=fx(y) bude spĺňať podmienky 1) a 2).
Dôkaz vety sa teda redukuje na dôkaz existencie a jedinečnosti pre každé x funkcie fx(y) s vlastnosťami 1") a 2"). Stanovme korešpondenciu na množine N podľa nasledujúceho pravidla:
a) číslo nula je porovnateľné s číslom 0,
b) ak je číslo y spojené s číslom c, potom číslo y (priraďte číslo c+x.
Uistime sa, že pri takomto porovnaní má každé číslo y jedinečný obraz: to bude znamenať, že korešpondencia je zobrazením N do N. Označme M množinu všetkých prirodzených čísel y, ktoré majú jedinečný obraz. Z podmienky a) a axiómy 1 vyplýva, že 0(M. Nech y(M. Potom z podmienky b) a axiómy 2 vyplýva, že y((M. To znamená M=N, t.j. naša korešpondencia je zobrazenie N v N označme to fx Potom fx(0)=0 kvôli podmienke a) a fx(y()=fx(y)+x - kvôli podmienke b).
Existencia operácie násobenia je teda dokázaná. Teraz nech (a ( sú ľubovoľné dve binárne operácie na množine N s vlastnosťami 1у a 2у. Zostáva dokázať, že ((x,y(N) x(y=x(y. Upravme ľubovoľné číslo x) a
S=(y?y(N (x(y=x(y))
Pretože na základe 1y x(0=0 a x(0=0, potom 0(S.) Nech y(S, teda x(y=x(y. Potom
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
a teda y((S. To znamená S=N, čím sa dokončí dôkaz vety.
Všimnime si niektoré vlastnosti násobenia.
1. Neutrálny prvok vzhľadom na násobenie je číslo 1=0(, teda ((a(N) a(1=1(a=a.
Dôkaz. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Rovnosť a(1=a) je teda dokázaná. Zostáva dokázať rovnosť 1(a=a). Nech M=(a) ?a(N (1(a=a). Keďže 1(0=0, potom 0(M. Nech a(M, to znamená 1(a=a. Potom 1(a(=1(a+1=) a+1= a(, a teda a((M. To znamená, podľa axiómy 4, M=N, čo je potrebné dokázať.
2. Pre násobenie platí správny distributívny zákon, tzn
((a,b,c(N)(a+b)c=ac+bc.
Dôkaz. Nech M=(c) (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Keďže (a+b)0=0 a a(0+b(0=0, potom 0(M. Ak c(M, to znamená (a+b)c=ac+bc, potom (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Takže, c((M a M=N.
3. Násobenie prirodzených čísel je komutatívne, teda ((a,b(N) ab=ba.
Dôkaz. Dokážme najprv pre ľubovoľné b(N rovnosť 0(b=b(0=0. Rovnosť b(0=0 vyplýva z podmienky 1y). Nech M=(b) (b(N (0(b=0). Pretože 0( 0=0, potom 0(M. Ak b(M, teda 0(b=0, potom 0(b(=0(b+0=0 a teda b((M. Takže M) =N, teda rovnosť 0(b=b(0) bola dokázaná pre všetky b(N. Nech ďalej S=(a (a(N (ab=ba). Keďže 0(b=b(0), potom 0(S. Nech a (S, teda ab=ba. Potom a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, čiže a((S. To znamená S) =N, čo bolo potrebné dokázať.
4. Násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie. Táto vlastnosť vyplýva z vlastností 3 a 4.
5. Násobenie je asociatívne, teda ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Dôkaz sa vykonáva, rovnako ako pri pridávaní, indukciou na c.
6. Ak a(b=0, potom a=0 alebo b=0, to znamená, že v N nie sú žiadne nulové deliče.
Dôkaz. Nech b(0 a b=c(. Ak ab=0, potom ac(=ac+a=0), čo na základe vlastnosti 6 klauzuly 3 znamená, že a=0.
Úloha 1.4.1. Nech 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).) Dokážte, že 2(4=8, 3(3=9.
Nech n, a1, a2,...,an sú prirodzené čísla. Súčet čísel a1, a2,...,an je číslo, ktoré je označené a určené podmienkami; pre ľubovoľné prirodzené číslo k
Súčin čísel a1, a2,...,an je prirodzené číslo, ktoré sa označuje a je určené podmienkami: ; pre ľubovoľné prirodzené číslo k
Ak, potom je číslo označené ako.
Úloha 1.4.2. Dokáž to
A);
b) ;
V);
G);
d) ;
e) ;
a) ;
h) ;
A).

1.5. PORIADOK SYSTÉMU PRIRODZENÝCH ČÍSEL.

Vzťah „nasleduje“ je antireflexívny a antisymetrický, ale nie tranzitívny, a preto nie je reláciou poriadku. Zadefinujeme reláciu poradia na základe sčítania prirodzených čísel.
Definícia 1. a
Definícia 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Uistime sa, že vzťah Všimnime si niektoré vlastnosti prirodzených čísel spojené so vzťahmi rovnosti a nerovnosti.
1.
1,1 a=b (a+c=b+c.
1,2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1,7 a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Dôkaz. Vlastnosti 1.1 a 1.2 vyplývajú z jedinečnosti operácií sčítania a násobenia. Ak
2. ((a(N) a
Dôkaz. Keďže a(=a+1, potom a
3. Najmenší prvok v N je 0 a najmenší prvok v N\(0) je číslo 1.
Dôkaz. Keďže ((a(N) a=0+a, potom 0(a, a teda 0 je najmenší prvok v N. Ďalej), ak x(N\(0), potom x=y(, y(N , príp.) x=y+1 Z toho vyplýva, že ((x(N\(0)) 1(x, čiže 1 je najmenší prvok v N\(0).
4. Vzťah ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Dôkaz. Je zrejmé, že pre každé prirodzené číslo a existuje prirodzené číslo n také, že
a Takéto číslo je napríklad n=a(. Ďalej, ak b(N\(0), tak podľa vlastnosti 3
1(b(2)
Z (1) a (2) na základe vlastností 1.10 a 1.4 získame aa.

1.6. KOMPLETNÁ OBJEDNÁVKA SYSTÉMU PRIRODZENÝCH ČÍSEL.

Definícia 1. Ak každá neprázdna podmnožina usporiadanej množiny (M; Uistime sa, že celé usporiadanie je lineárne. Nech aab sú ľubovoľné dva prvky z úplne usporiadanej množiny (M; Lema . 1) a
Dôkaz.
1) a((b (b=a(+k, k(N) (b=a+k(, k((N\(0)) (a
2) a(b (b=a+k, k(N) (b(=a+k(, k((N\(0)) (a
Veta 1. Prirodzené poradie na množine prirodzených čísel je celkové poradie.
Dôkaz. Nech M je ľubovoľná neprázdna množina prirodzených čísel a S je množina jej dolných hraníc v N, teda S=(x (x(N (((m(M) x(m). Z vlastnosti 3) z klauzuly 5 vyplýva, že 0(S. Ak by bola splnená aj druhá podmienka axiómy 4 n(S (n((S)), potom by sme mali S=N. V skutočnosti S(N; totiž ak a( M, potom a((S kvôli nerovnosti a
Veta 2. Každá neprázdna množina prirodzených čísel ohraničená vyššie má najväčší prvok.
Dôkaz. Nech M je ľubovoľná neprázdna množina prirodzených čísel ohraničená vyššie a S množina jej horných hraníc, teda S=(x(x(N (((m(M) m(x).) Nech x0 označuje najmenší prvok v S. Potom nerovnosť m(x0 platí pre všetky čísla m od M a striktná nerovnosť m
Úloha 1.6.1. Dokáž to
A);
b) ;
V).
Problém 1.6.2. Nech ( je nejaká vlastnosť prirodzených čísel a k je ľubovoľné prirodzené číslo. Dokážte to
a) každé prirodzené číslo má vlastnosť (, akonáhle má 0 túto vlastnosť pre každé n (0
b) každé prirodzené číslo väčšie alebo rovné k má vlastnosť (, akonáhle má k túto vlastnosť a pre každé n (k(n) z predpokladu, že n má vlastnosť (, z toho vyplýva, že číslo n+1 má tiež túto vlastnosť;
c) každé prirodzené číslo väčšie alebo rovné k má vlastnosť (, len čo k má túto vlastnosť a pre každé n (n>k) za predpokladu, že všetky čísla t sú definované podmienkou k(t)

1.7. PRINCÍP INDUKCIE.

Pomocou úplného usporiadania sústavy prirodzených čísel možno dokázať nasledujúcu vetu, na ktorej je založená jedna z metód dôkazu, nazývaná metóda matematickej indukcie.
Veta (princíp indukcie). Všetky tvrdenia zo sekvencie A1, A2, ..., An, ... sú pravdivé, ak sú splnené tieto podmienky:
1) tvrdenie A1 je pravdivé;
2) ak sú tvrdenia Ak pravdivé pre k
Dôkaz. Predpokladajme opak: podmienky 1) a 2) sú splnené, ale veta neplatí, teda množina M=(m(m(N\(0), Am je nepravda) nie je prázdna). Podľa Veta 1 z 6. vety, existuje najmenší prvok, ktorý označíme n, keďže podľa podmienky 1 je A1 pravdivé a An nepravdivé, potom 1(n, a teda 1
Pri dokazovaní indukciou možno rozlíšiť dva stupne. V prvej fáze, ktorá sa nazýva indukčná báza, sa kontroluje realizovateľnosť podmienky 1). V druhej fáze, nazývanej indukčný krok, sa dokazuje uskutočniteľnosť podmienky 2). V tomto prípade sa najčastejšie vyskytujú prípady, kedy sa má dokázať pravdivosť tvrdení An nie je potrebné použiť pravdivosť tvrdení Ak pre k
Príklad. Dokážte nerovnosť Put =Sk. Je potrebné dokázať pravdivosť tvrdení Ak=(Sk Postupnosť tvrdení uvedených vo vete 1 možno získať z predikátu A(n) definovaného na množine N alebo na jeho podmnožine Nk=(x (x(N) , x(k), kde k je ľubovoľné pevné prirodzené číslo.
Konkrétne, ak k=1, potom N1=N\(0) a číslovanie výrokov možno vykonať pomocou rovnosti A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Ak k(1, tak postupnosť výrokov možno získať pomocou rovníc A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. V súlade s takýmto zápisom môže byť veta 1 formulovaná aj v inej forme.
Veta 2. Predikát A(m) platí rovnako na množine Nk, ak sú splnené tieto podmienky:
1) tvrdenie A(k) je pravdivé;
2) ak výroky A(m) sú pravdivé pre m
Úloha 1.7.1. Dokážte, že nasledujúce rovnice nemajú riešenia v obore prirodzených čísel:
a) x + y = 1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2r.
Úloha 1.7.2. Dokážte pomocou princípu matematickej indukcie:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V);
G);
d) ;
e) .

1.8. ODČÍTANIE A DELENIE PRIRODZENÝCH ČÍSEL.

Definícia 1. Rozdiel prirodzených čísel a a b je prirodzené číslo x také, že b+x=a. Rozdiel medzi prirodzenými číslami a a b sa označuje a-b a operácia hľadania rozdielu sa nazýva odčítanie. Odčítanie nie je algebraická operácia. Vyplýva to z nasledujúcej vety.
Veta 1. Rozdiel a-b existuje práve vtedy, ak b(a. Ak rozdiel existuje, potom je len jeden.
Dôkaz. Ak b(a, tak podľa definície vzťahu (existuje prirodzené číslo x také, že b+x=a. Ale to tiež znamená, že x=a-b. A naopak, ak existuje rozdiel a-b, potom podľa definície 1 existuje prirodzené číslo x, že b+x=a, ale to tiež znamená, že b(a.
Dokážme jedinečnosť rozdielu a-b. Nech a-b=x a a-b=y. Potom podľa definície 1 b+x=a, b+y=a. Preto b+x=b+y a teda x=y.
Definícia 2. Podiel dvoch prirodzených čísel a a b(0) je prirodzené číslo c také, že a=bc Operácia nájdenia podielu sa nazýva delenie Otázka existencie kvocientu je riešená v teórii deliteľnosť.
Veta 2. Ak existuje kvocient, potom je len jeden.
Dôkaz. Nech =x a =y. Potom podľa definície 2 a=bx a a=by. Preto bx=by a teda x=y.
Všimnite si, že operácie odčítania a delenia sú definované takmer doslovne rovnako ako v školských učebniciach. To znamená, že v odsekoch 1-7 je na základe Peanových axióm položený solídny teoretický základ pre aritmetiku prirodzených čísel a jej ďalšia prezentácia sa dôsledne uskutočňuje v školskom kurze matematiky a na univerzitnom kurze „Algebra a teória čísel“ .
Úloha 1.8.1. Dokážte platnosť nasledujúcich tvrdení za predpokladu, že existujú všetky rozdiely v ich formuláciách:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
m) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
n) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problém 1.8.2. Dokážte platnosť nasledujúcich tvrdení za predpokladu, že existujú všetky kvocienty uvedené v ich formuláciách.
A); b) ; V); G); d) ; e) ; a) ; h) ; a) ; Komu); l); m); n) ; O); P); R).
Problém 1.8.3. Dokážte, že nasledujúce rovnice nemôžu mať dve rôzne prirodzené riešenia: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a, b(N).
Problém 1.8.4. Vyriešte nasledujúce rovnice v prirodzených číslach:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problém 1.8.5. Dokážte, že nasledujúce rovnice nemajú riešenia v obore prirodzených čísel: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V); G); e) x2=2x+1; e) x2 = 2y2.
Problém 1.8.6. Vyriešte nasledujúce nerovnice v prirodzených číslach: a) ; b) ; V); d) x+y2 Úloha 1.8.7. Dokážte, že v obore prirodzených čísel platia vzťahy: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1,9 KVANTITATÍVNY VÝZNAM PRIRODZENÉ ČÍSLA.
V praxi sa prirodzené čísla používajú hlavne na počítanie prvkov, a preto je potrebné stanoviť kvantitatívny význam prirodzených čísel v Peanovej teórii.
Definícia 1. Množina (x (x(N, 1(x(n))) sa nazýva segment prirodzeného radu a označuje sa (1;n(.
Definícia 2. Konečná množina je každá množina, ktorá sa rovná určitému segmentu prirodzeného radu, ako aj prázdna množina. Množina, ktorá nie je konečná, sa nazýva nekonečná.
Veta 1. Konečná množina A nie je ekvivalentná žiadnej zo svojich vlastných podmnožín (tj podmnožine odlišnej od A).
Dôkaz. Ak A=(, potom je veta pravdivá, pretože prázdna množina nemá žiadne vlastné podmnožiny. Nech A((a A) sú rovnako silné (1,n((A((1,n())). Ukážeme vetu indukciou na n Ak n= 1, teda A((1,1(, potom jedinou správnou podmnožinou množiny A je prázdna množina. Je jasné, že A(a teda pre n=1) Predpokladajme, že teorém je pravdivý pre n=m, to znamená, že všetky konečné množiny ekvivalentné segmentu (1,m() nemajú ekvivalentné vlastné podmnožiny. Nech A je ľubovoľná množina rovnajúca sa segmentu (1,m). +1(a (:(1,m+1(®A - nejaká bijektívna mapa segmentu) (1,m+1(v A. Ak ((k) označíme ak, k=1,2,..) .,m+1, potom množinu A môžeme zapísať ako A=(a1, a2, ... , am, am+1) Našou úlohou je dokázať, že A nemá rovnaké podmnožiny. nech B(A, B(A, B(A a f: A®B) je bijektívna mapa. Takto si môžeme vybrať bijektívne mapy. (a f také, že am+1(B a f(am+1)) = dopoludnia+1.
Uvažujme množiny A1=A\(am+1) a B1=B\(am+1). Pretože f(am+1)=am+1, funkcia f vykoná bijektívne zobrazenie množiny A1 na množinu B1. Množina A1 sa teda bude rovnať svojej vlastnej podmnožine B1. Ale keďže A1((1,m(, je to v rozpore s predpokladom indukcie.
Dôsledok 1. Množina prirodzených čísel je nekonečná.
Dôkaz. Z Peanových axióm vyplýva, že zobrazenie S:N®N\(0), S(x)=x( je bijektívne. To znamená, že N sa rovná vlastnej podmnožine N\(0) a na základe vety 1, nie je konečný.
Dôsledok 2. Každá neprázdna konečná množina A je ekvivalentná len jednému segmentu prirodzeného radu.
Dôkaz. Nech A((1,m(a A((1,n(.). Potom (1,m(((1,n(, z čoho podľa vety 1) vyplýva, že m=n. Ak predpokladáme, že m
Dôsledok 2 nám umožňuje zaviesť definíciu.
Definícia 3. Ak A((1,n(, potom prirodzené číslo n sa nazýva počet prvkov množiny A) a proces vytvorenia korešpondencie jedna ku jednej medzi množinami A a (1,n( sa nazýva počítanie prvkov množiny A. Je prirodzené uvažovať o počte prvkov prázdnej množiny číslo nula.
O obrovskom význame počítania v praktickom živote je zbytočné hovoriť.
Všimnite si, že ak poznáme kvantitatívny význam prirodzeného čísla, bolo by možné definovať operáciu násobenia pomocou sčítania, a to:
.
Zámerne sme sa nevybrali touto cestou, aby sme ukázali, že samotná aritmetika nepotrebuje kvantitatívny zmysel: kvantitatívny zmysel prirodzeného čísla je potrebný iba v aplikáciách aritmetiky.

1.10. SYSTÉM PRIRODZENÝCH ČÍSEL AKO DISKRÉTNA KOMPLETNE OBJEDNANÁ SADA.

Ukázali sme, že množina prirodzených čísel je úplne usporiadaná vzhľadom na prirodzený poriadok. Okrem toho ((a(N) a
1. pre ľubovoľné číslo a(N existuje susedné číslo, ktoré za ním nasleduje vo vzťahu 2. pre ľubovoľné číslo a(N\(0) existuje susedné číslo, ktoré mu predchádza vo vzťahu A úplne usporiadaná množina (A;() s vlastnosti 1 a 2 budeme nazývať diskrétna úplne usporiadaná množina Ukazuje sa, že úplné usporiadanie s vlastnosťami 1 a 2 je charakteristická vlastnosť sústavy prirodzených čísel Nech je A=(A;() akákoľvek úplne usporiadaná množina s vlastnosti 1 a 2. Definujme vzťah „nasleduje“ na množine A. takto: a(=b, ak b je susedný prvok za a vo vzťahu (. Je zrejmé, že najmenší prvok množiny A nesleduje žiadny prvok, a preto je Peanova axióma 1 splnená.
Keďže vzťah (je lineárny poriadok, potom pre ľubovoľný prvok a existuje za ním jedinečný prvok a najviac jeden predchádzajúci susedný prvok. Z toho vyplýva platnosť axióm 2 a 3. Teraz nech je M ľubovoľná podmnožina množiny A pre ktoré sú splnené tieto podmienky:
1) a0(M, kde a0 je najmenší prvok v A;
2) a(M (a((M.
Dokážme, že M=N. Predpokladajme opak, teda A\M((. Označme b najmenší prvok v A\M. Keďže a0(M, potom b(a0), a teda existuje prvok c taký, že c( =b
Dokázali sme teda možnosť inej definície sústavy prirodzených čísel.
Definícia. Systém prirodzených čísel je každá dobre usporiadaná množina, na ktorej sú splnené nasledujúce podmienky:
1. pre každý prvok nasleduje susedný prvok;
2. pre každý prvok iný ako najmenší je pred ním susedný prvok.
Existujú aj iné prístupy k definovaniu systému prirodzených čísel, ktorým sa tu nebudeme venovať.

2. CELÉ ČÍSLA A RACIONÁLNE ČÍSLA.

2.1. DEFINÍCIA A VLASTNOSTI SYSTÉMU CELÝCH ČÍSEL.
Je známe, že množina celých čísel je v ich intuitívnom chápaní prstencom s ohľadom na sčítanie a násobenie a tento prstenec obsahuje všetky prirodzené čísla. Je tiež jasné, že v kruhu celých čísel neexistuje správny podkruh, ktorý by obsahoval všetky prirodzené čísla. Ukázalo sa, že tieto vlastnosti môžu byť použité ako základ pre striktnú definíciu systému celých čísel. V odsekoch 2.2 a 2.3 bude preukázaná správnosť tejto definície.
Definície 1. Systém celých čísel je algebraický systém, pre ktorý sú splnené tieto podmienky:
1. Algebraický systém je kruh;
2. Množina prirodzených čísel je obsiahnutá a sčítanie a násobenie v kruhu na podmnožine sa zhoduje so sčítaním a násobením prirodzených čísel, tj.
3. (podmienka minimalizácie). Z je inklúzna minimálna množina s vlastnosťami 1 a 2. Inými slovami, ak podkruh kruhu obsahuje všetky prirodzené čísla, potom Z0=Z.
Definícia 1 môže mať rozšírený axiomatický charakter. Počiatočné koncepty v tejto axiomatickej teórii budú:
1) Množina Z, ktorej prvky sa nazývajú celé čísla.
2) Špeciálne celé číslo nazývané nula a označené 0.
3) Ternárne vzťahy + a (.
Ako obvykle N označuje množinu prirodzených čísel so sčítaním (a násobením (). V súlade s definíciou 1 je sústava celých čísel algebraický systém (Z; +, (, N), pre ktorý platia nasledujúce axiómy):
1. (Prstencové axiómy.)
1.1.
Táto axióma znamená, že + je binárna algebraická operácia na množine Z.
1.2. ((a,b,c(Z)(a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, to znamená, že číslo 0 je neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), to znamená, že pre každé celé číslo existuje opačné číslo a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Táto axióma znamená, že násobenie je binárna algebraická operácia na množine Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).)
1.8. ((a,b,c(Z)(a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Axiómy týkajúce sa kruhu Z k sústave prirodzených čísel.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N)a(b=a(b.
3. (Axióma minimalizmu.)
Ak Z0 je podkruh kruhu Z a N(Z0, potom Z0 = Z.
Všimnime si niektoré vlastnosti celočíselnej sústavy.
1. Každé celé číslo možno znázorniť ako rozdiel dvoch prirodzených čísel. Táto reprezentácia je nejednoznačná, pričom z=a-b az=c-d, kde a,b,c,d(N, práve vtedy, ak a+d=b+c.
Dôkaz. Označme Z0 množinu všetkých celých čísel, z ktorých každé možno znázorniť ako rozdiel dvoch prirodzených čísel. Je zrejmé, že ((a(N) a=a-0, a preto N(Z0.
Ďalej nech x,y(Z0, teda x=a-b, y=c-d, kde a,b,c,d(N. Potom x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-) ( a(d(b(c). Odtiaľto je jasné, že x-y, x(y(Z0) a teda Z0 je podkruhom kruhu Z obsahujúceho množinu N. Ale potom, podľa axiómy 3, Z0=Z a teda je dokázaná prvá časť vlastnosti 1 Druhé tvrdenie o tejto vlastnosti je zrejmé.
2. Kruh celých čísel je komutatívny kruh s jednotkou a nula tohto kruhu je prirodzené číslo 0 a jednotka tohto kruhu je prirodzené číslo 1.
Dôkaz. Nech x,y(Z. Podľa vlastnosti 1 x=a-b, y=c-d, kde a,b,c,d(N. Potom x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c) ( a(d(b)-(d(a(c(b).) Z toho vyplýva, že v dôsledku komutatívnosti násobenia prirodzených čísel sme dospeli k záveru, že xy=yx. Komutatívnosť násobenia v kruhu Z bola dokázaná. zostávajúce tvrdenia vlastnosti 2 vyplývajú z nasledujúcich zrejmých rovníc, v ktorých 0 a 1 označujú prirodzené čísla nula a jedna: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x) .

2.2. EXISTENCIA SYSTÉMU CELÝCH ČÍSEL.

Celočíselný systém je definovaný v 2.1 ako inklúzny minimálny kruh obsahujúci všetky prirodzené čísla. Vynára sa otázka: existuje taký prsteň? Inými slovami, je systém axióm z 2.1 konzistentný? Na preukázanie konzistentnosti tohto systému axióm je potrebné postaviť jeho interpretáciu v zjavne konzistentnej teórii. Takúto teóriu možno považovať za aritmetiku prirodzených čísel.
Začnime teda zostavovať interpretáciu systému axióm 2.1. Zostavu budeme považovať za počiatočnú. Na tejto množine definujeme dve binárne operácie a binárnu reláciu. Keďže sčítanie a násobenie párov sa redukuje na sčítanie a násobenie prirodzených čísel, tak ako v prípade prirodzených čísel je sčítanie a násobenie párov komutatívne, asociatívne a násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie. Skontrolujme napríklad komutativitu sčítania dvojíc: +===+.
Uvažujme o vlastnostiach vzťahu ~. Keďže a+b=b+a, potom ~, čiže vzťah ~ je reflexívny. Ak ~, teda a+b1=b+a1, potom a1+b=b1+a, teda ~. To znamená, že vzťah je symetrický. Nechajte ďalej ~ a ~. Potom platia rovnosti a+b1=b+a1 a a1+b2=b1+a2. Sčítaním týchto rovníc dostaneme a+b2=b+a2, čiže ~. To znamená, že vzťah ~ je tiež tranzitívny, a teda ekvivalencia. Trieda ekvivalencie obsahujúca pár bude označená. Triedu ekvivalencie teda môžeme označiť ľubovoľným jej párom a súčasne
(1)
Množinu všetkých tried ekvivalencie označujeme podľa. Našou úlohou je ukázať, že táto množina s vhodnou definíciou operácií sčítania a násobenia bude interpretáciou systému axióm z 2.1. Operácie na množine definujeme rovnosťami:
(2)
(3)
Ak a teda na množine N sú rovnosti a+b(=b+a(, c+d(=a+c() pravdivé), potom rovnosť (a+c)+(b(+d() )=(b +d)+(a(+c()), z čoho na základe (1) získame toto. To znamená, že rovnosť (2) definuje jedinečnú operáciu sčítania na množine nezávisle od výber dvojíc označujúcich sčítané triedy Kontroluje sa podobným spôsobom a jednoznačnosť násobenia tried Teda rovnice (2) a (3) definujú binárne algebraické operácie na množine.
Keďže sčítanie a násobenie tried sa redukuje na sčítanie a násobenie párov, tieto operácie sú komutatívne, asociatívne a násobenie tried je distributívne vzhľadom na sčítanie. Z rovnosti usudzujeme, že trieda je neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie a pre každú triedu existuje trieda oproti nej. To znamená, že množina je kruh, to znamená, že axiómy skupiny 1 z 2.1 sú splnené.
Zvážte podskupinu prsteňa. Ak a(b, potom pomocou (1) , a ak a
Na množine definujeme binárny vzťah (nasleduje (; po triede nasleduje trieda, kde x(je prirodzené číslo nasledujúce po x. Trieda, ktorá nasleduje po x, sa prirodzene označuje ako (. Je jasné, že trieda nenasleduje akákoľvek trieda a každá trieda za ňou nasleduje a navyše len jedna znamená, že vzťah (nasleduje (je unárna algebraická operácia na množine N.
Uvažujme o mapovaní. Je zrejmé, že toto zobrazenie je bijektívne a podmienky f(0)= , f(x()==(=f(x)(). To znamená, že zobrazenie f je izomorfizmus algebry (N;0,() na algebru (;, (). Inými slovami, algebra (;,() je interpretáciou systému Peanových axióm. Identifikáciou týchto izomorfných algebier, teda za predpokladu, že samotná množina N je podmnožinou Rovnaká identifikácia v zrejmých rovnosti vedie k rovnosti a(c) =a+c, a(c=ac), čo znamená, že sčítanie a násobenie v kruhu na podmnožine N sa zhoduje so sčítaním a násobením prirodzených čísel. Takto bola stanovená splniteľnosť axióm skupiny 2. Zostáva skontrolovať splniteľnosť axiómy minimalizácie.
Nech Z0 je ľubovoľný podkruh kruhu obsahujúci množinu N a. Všimnite si, že a teda . Ale keďže Z0 je prsteň, rozdiel týchto tried patrí aj prsteňu Z0. Z rovnosti -= (= usudzujeme, že (Z0 a teda Z0=. Konzistentnosť systému axióm v článku 2.1 bola dokázaná.

2.3. JEDINEČNOSŤ SYSTÉMU CELÝCH ČÍSEL.

Existuje len jeden systém celých čísel, ako sú intuitívne chápané. To znamená, že axiómový systém definujúci celé čísla musí byť kategorický, to znamená, že akékoľvek dve interpretácie tohto axiómového systému musia byť izomorfné. Kategorický znamená, že až do izomorfizmu existuje iba jeden systém celých čísel. Presvedčime sa, že je to naozaj tak.
Nech (Z1;+,(,N) a (Z2;(,(,N)) sú ľubovoľné dve interpretácie systému axióm v článku 2.1. Stačí dokázať existenciu takéhoto bijektívneho zobrazenia f:Z1®Z2 pre ktoré prirodzené čísla zostávajú nemenné a okrem Okrem toho pre ľubovoľné prvky x a y z kruhu Z1 platia tieto rovnosti:
(1)
. (2)
Všimnite si, že keďže N(Z1 a N(Z2), potom
, a(b=a(b. (3)
Nech x(Z1 a x=a-b, kde a,b(N. Priraďme k tomuto prvku x=a-b prvok u=a(b, kde odčítanie v kruhu Z2. Ak a-b=c-d, potom a+d =b+c, ​​odkiaľ na základe (3) a(d=b(c) a teda a(b=c(d.) To znamená, že naša korešpondencia nezávisí od zástupcu prvku x v je určený tvar rozdielu dvoch prirodzených čísel a teda zobrazenie f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Je jasné, že ak v(Z2 a v=c(d, tak v=f(c-d) To znamená, že každý prvok zo Z2 je obrazom pod zobrazením f a teda zobrazenie f je surjektívne.
Ak x=a-b, y=c-d, kde a,b,c,d(N a f(x)=f(y), potom a(b=c(d. Ale potom a(d=b(d, v sila (3) a+d=b+c, ​​čiže a-b=c-d Dokázali sme, že z rovnosti f(x)=f(y) vyplýva rovnosť x=y, teda zobrazenie f je. injekčne.
Ak a(N, potom a=a-0 a f(a)=f(a-0)=a(0=a. To znamená, že prirodzené čísla sú pri zobrazení f pevne dané. Ďalej, ak x=a-b, y=c-d, kde a,b,c,d(N, potom x+y=(a+c)- a f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Platnosť rovnosti (1) je dokázaná. Skontrolujme rovnosť (2). Keďže f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c)) a na druhej strane f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c).) To znamená, že f(xy)=f(x)(f(y), čím sa dokončí dôkaz kategoricity systému axióm p.

2.4. DEFINÍCIA A VLASTNOSTI SYSTÉMU RACIONÁLNYCH ČÍSEL.

Množina Q racionálnych čísel v ich intuitívnom chápaní je pole, pre ktoré je množina Z celých čísel podkruhom. Je zrejmé, že ak Q0 je podpole poľa Q obsahujúce všetky celé čísla, potom Q0=Q. Tieto vlastnosti použijeme ako základ pre striktnú definíciu sústavy racionálnych čísel.
Definícia 1. Systém racionálnych čísel je algebraický systém (Q;+,(;Z), pre ktorý sú splnené tieto podmienky:
1. algebraický systém (Q;+,() je pole;
2. kruh Z celých čísel je podkruhom poľa Q;
3. (podmienka minimalizácie), ak podpole Q0 poľa Q obsahuje podkruh Z, potom Q0=Q.
Stručne povedané, systém racionálnych čísel je minimálne inklúzne pole obsahujúce podkruh celých čísel. Je možné uviesť podrobnejšiu axiomatickú definíciu systému racionálnych čísel.
Veta. Každé racionálne číslo x možno reprezentovať ako podiel dvoch celých čísel, tzn
, kde a,b(Z, b(0. (1)
Táto reprezentácia je nejednoznačná a kde a,b,c,d(Z, b(0, d(0).
Dôkaz. Označme Q0 množinu všetkých racionálnych čísel reprezentovateľných v tvare (1). Stačí sa uistiť, že Q0=Q. Nech, kde a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Potom podľa vlastností poľa máme: , a pre c(0.) To znamená, že Q0 je uzavreté pri odčítaní a delení číslami nie sa rovná nule, a teda je podpolom poľa Q. Pretože akékoľvek celé číslo a je reprezentovateľné vo forme, potom Z(Q0. Z tohto dôvodu, kvôli podmienke minimalizácie, vyplýva, že Q0=Q. Dôkaz druhá časť vety je zrejmá.

2.5. EXISTENCIA SYSTÉMU RACIONÁLNYCH ČÍSEL.

Systém racionálnych čísel je definovaný ako minimálne pole obsahujúce podkruh celých čísel. Prirodzene vyvstáva otázka: existuje takéto pole, teda je systém axióm, ktorý definuje racionálne čísla, konzistentný? Na preukázanie konzistentnosti je potrebné zostaviť interpretáciu tohto systému axióm. V tomto prípade sa možno spoľahnúť na existenciu systému celých čísel. Pri konštrukcii interpretácie budeme za východiskový bod považovať množinu Z(Z\(0). Na tejto množine definujeme dve binárne algebraické operácie
, (1)
(2)
a binárny vzťah
(3)
Vhodnosť práve tohto vymedzenia operácií a vzťahov vyplýva z toho, že vo výklade, ktorý budujeme, bude dvojica vyjadrovať partikulár.
Je ľahké skontrolovať, či operácie (1) a (2) sú komutatívne, asociatívne a násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie. Všetky tieto vlastnosti sa testujú proti zodpovedajúcim vlastnostiam sčítania a násobenia celých čísel. Skontrolujme si napríklad asociatívnosť násobiacich sa dvojíc: .
Podobne sa overí, že vzťah ~ je ekvivalencia, a preto je množina Z(Z\(0) rozdelená na triedy ekvivalencie. Množinu všetkých tried označíme a triedu obsahujúcu dvojicu teda označíme. , trieda môže byť označená ktorýmkoľvek z jej párov a na základe podmienky (3) získame:
. (4)
Našou úlohou je definovať operáciu sčítania a násobenia na množine tak, aby to bolo pole. Tieto operácie definujeme pomocou rovnosti:
, (5)
(6)
Ak teda ab1=ba1 a teda cd1=dc1, vynásobením týchto rovníc dostaneme (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), čo znamená, že Toto nás presvedčí, že rovnosť (6 ) skutočne definuje jedinečnú operáciu na množine tried, nezávisle od výberu zástupcov v každej triede. Jednoznačnosť operácie (5) sa kontroluje rovnakým spôsobom.
Keďže sčítanie a násobenie tried sa redukuje na sčítanie a násobenie párov, operácie (5) a (6) sú komutatívne, asociatívne a násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie.
Z rovnosti usudzujeme, že trieda je neutrálnymi prvkami vzhľadom na sčítanie a pre každú triedu existuje prvok oproti nej. Podobne z rovnosti vyplýva, že trieda je neutrálny prvok vzhľadom na násobenie a pre každú triedu existuje inverzná trieda. To znamená, že ide o pole vzhľadom na operácie (5) a (6); je splnená prvá podmienka v definícii ustanovenia 2.4.
Pozrime sa ďalej na súpravu. Samozrejme, . Množina je uzavretá pri odčítaní a násobení, a preto je podkruhom poľa. Naozaj,. Pozrime sa ďalej na mapovanie, . Surjektivita tohto mapovania je zrejmá. Ak f(x)=f(y), to znamená, potom x(1=y(1 alebo x=y. Preto je zobrazenie f tiež injektívne. Navyše . Zobrazenie f je teda izomorfizmus kruhu na Ak identifikujeme, že ide o izomorfné kruhy, môžeme predpokladať, že kruh Z je podkruhom poľa, to znamená, že podmienka 2 v definícii odseku 2.4 je splnená podpole poľa a, a nech pole, potom podiel týchto prvkov tiež patrí do poľa To dokazuje, že ak , teda, je dokázaná existencia systému racionálnych čísel.

2.6. JEDINEČNOSŤ SYSTÉMU RACIONÁLNYCH ČÍSEL.

Keďže v ich intuitívnom chápaní existuje len jeden systém racionálnych čísel, axiomatická teória racionálnych čísel, ktorá je tu prezentovaná, musí byť kategorická. Kategorický znamená, že až do izomorfizmu existuje iba jeden systém racionálnych čísel. Ukážme, že je to skutočne tak.
Nech (Q1;+, (; Z) a (Q2; (, (; Z)) sú ľubovoľné dva systémy racionálnych čísel. Stačí dokázať existenciu bijektívneho zobrazenia, pri ktorom všetky celé čísla zostanú pevné a navyše , podmienky sú splnené
(1)
(2)
pre ľubovoľné prvky x a y z poľa Q1.
Podiel prvkov a a b v poli Q1 budeme označovať a v poli Q2 a:b. Keďže Z je podkruhom každého z polí Q1 a Q2, potom pre všetky celé čísla aab platí rovnosti
, . (3)
Nech a kde, . K tomuto prvku x priraďme prvok y=a:b z poľa Q2. Ak platí rovnosť v poli Q1, kde potom podľa vety 2.4 v kruhu Z platí rovnosť ab1=ba1, alebo na základe (3) platí rovnosť a potom podľa tej istej vety aj rovnosť a:b= a1:b1 platí v poli Q2 . To znamená, že priradením prvku y=a:b z poľa Q2 k prvku z poľa Q1 definujeme zobrazenie, .
Akýkoľvek prvok z poľa Q2 môže byť reprezentovaný ako a:b, kde a teda je obrazom prvku z poľa Q1. To znamená, že zobrazenie f je surjektívne.
Ak, potom v poli Q1 a potom. Takže zobrazenie f je bijektívne a všetky celé čísla zostávajú pevné. Zostáva dokázať platnosť rovnosti (1) a (2). Nech a, kde a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Potom a odkiaľ, na základe (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Podobne a kde.
Izomorfizmus interpretácií (Q1;+, (; Z) a (Q2; (, (; Z)) bol dokázaný.

ODPOVEDE, NÁVODY, RIEŠENIA.

1.1.1. Riešenie. Nech je podmienka axiómy 4 pravdivá (vlastnosť prirodzených čísel taká, že ((0) a. Nech. Potom M spĺňa premisu axiómy 4, keďže ((0)(0(M a. Preto M=N, t.j. každé prirodzené číslo má vlastnosť (. Naopak. Predpokladajme, že pre akúkoľvek vlastnosť (z toho, že ((0) a, vyplýva. Nech M je podmnožina N taká, že 0(M a. Ukážme, že M = N. Zavedme vlastnosť (, za predpokladu. Potom ((0), keďže, a. Teda M=N.
1.1.2. Odpoveď: Tvrdenia 1. a 4. Peanovej axiómy sú pravdivé. Výrok 2. axiómy je nepravdivý.
1.1.3. Odpoveď: tvrdenia 2, 3, 4 Peanových axióm sú pravdivé. Výrok 1. axiómy je nepravdivý.
1.1.4. Tvrdenia 1, 2, 3 Peanových axióm sú pravdivé. Výrok 4. axiómy je nepravdivý. Smer: dokážte, že množina spĺňa predpoklad axiómy 4, formulovaný z hľadiska operácie, ale.
1.1.5. Pomôcka: Ak chcete dokázať pravdivosť tvrdenia z axiómy 4, uvažujte podmnožinu M množiny A, ktorá spĺňa podmienky: a) 1((M, b) a množinu. Dokážte to. Potom M=A.
1.1.6. Výroky 1., 2. a 3. Peanovej axiómy sú pravdivé. Výrok Peanovej 4. axiómy je nepravdivý.
1.6.1. a) Riešenie: Najprv dokážte, že ak 1am. Späť. Nech som
1.6.2. a) Riešenie: Predpokladajme opak. Nech M označuje množinu všetkých čísel, ktoré nemajú danú vlastnosť (. Podľa predpokladu M((. Podľa vety 1 má M najmenší prvok n(0. Ľubovoľné číslo x
1.8.1. f) Použite položky e) a položky c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, teda (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Užívať nehnuteľnosť.
k) Použite položku b).
m) Použite body b) a h).
1.8.2. c) Máme teda . Takže, .
d) Máme. Preto, .
a).
1.8.3. a) Ak (a (sú rôzne riešenia rovnice ax2+bx=c, potom a(2+b(=a(2+b(). Na druhej strane), ak napr. (b)) Nech (a ( sú rôzne riešenia rovnice. Ak ((. Avšak (2=a(+b>a(, teda, (>a. Máme protirečenie).
c) Nech (a ( sú rôzne korene rovnice a (>(. Potom 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Takže a((+()=2, ale (+(>2, teda a((+()>2), čo nie je možné).
1.8.4. a) x = 3; b) x=y=2. Pomôcka: keďže a, máme x=y; c) x=y(y+2), y - ľubovoľné prirodzené číslo; d) x=y=2; e) x = 2, y = 1; f) Až do permutácií x=1, y=2, z=3. Riešenie: Nech je napríklad x(y(z. Potom xyz=x+y+z(3z, t.j. xy(3. Ak xy=1, potom x=y=1 a z=2+z), čo je nemožné. Ak xy=2, potom x=1, y=2 V tomto prípade 2z=3+z, teda ak xy=3, potom x=1, y=3, t.j. z=2, čo je v rozpore predpoklad y(z.
1.8.5. b) Ak x=a, y=b je riešením rovnice, potom ab+b=a, t.j. a>ab, čo je nemožné. d) Ak x=a, y=b je riešením rovnice, potom b
1.8.6. a) x=ky, kde k,y sú ľubovoľné prirodzené čísla a y(1. b) x je ľubovoľné prirodzené číslo, y=1. c) x je ľubovoľné prirodzené číslo, y=1. d) Neexistuje žiadne riešenie. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) Ak a=b, potom 2ab=a2+b2. Nech je napríklad a

LITERATÚRA

1. Redkov M.I. Numerické sústavy. /Metodické odporúčania pre štúdium predmetu "Číselné sústavy". Časť 1.- Omsk: Štátny pedagogický ústav Omsk, 1984.- 46 s.
2. Ershova T.I. Numerické sústavy. /Metodický vývoj pre praktické hodiny - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 s.