Prednáška: Sínus, kosínus, tangens, kotangens ľubovoľného uhla

Sínus, kosínus ľubovoľného uhla

Aby sme pochopili, čo sú goniometrické funkcie, obráťme sa na kruh s jednotkovým polomerom. Tento kruh je vycentrovaný v počiatku v rovine súradníc. Na určenie daných funkcií použijeme rádiusový vektor ALEBO, ktorý začína v strede kruhu, a bod R je bod na kruhu. Tento vektor polomeru tvorí uhol alfa s osou OH. Pretože kruh má polomer rovný jednej OR = R = 1.

Ak z bodu R pustite kolmicu na os OH, potom dostaneme pravouhlý trojuholník s preponou rovnajúcou sa jednej.

Ak sa vektor polomeru pohybuje v smere hodinových ručičiek, potom sa tento smer nazýva negatívne, ale ak sa pohybuje proti smeru hodinových ručičiek - pozitívne.

Sínus uhla ALEBO, je ordináta bodu R vektory na kruhu.

To znamená, že na získanie hodnoty sínusu daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu O na povrchu.

Ako bola táto hodnota získaná? Keďže vieme, že sínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej vetvy k prepone, dostaneme, že

A odvtedy R = 1, potom sin(α) = y 0 .

V jednotkovom kruhu hodnota ordinát nemôže byť menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená, že

Sínus je kladný v prvej a druhej štvrtine jednotkového kruhu a záporný v tretej a štvrtej.

Kosínus uhla daný kruh tvorený vektorom polomeru ALEBO, je úsečka bodu R vektory na kruhu.

To znamená, že na získanie hodnoty kosínusu daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu X na povrchu.

Kosínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone, dostaneme, že

A odvtedy R = 1, potom cos(α) = x 0 .

V jednotkovej kružnici nemôže byť hodnota úsečky menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená, že

Kosínus je kladný v prvom a štvrtom kvadrante jednotkového kruhu a záporný v druhom a treťom.

dotyčnicaľubovoľný uhol vypočíta sa pomer sínusu ku kosínusu.

Ak vezmeme do úvahy pravouhlý trojuholník, potom je to pomer protiľahlej nohy k susednej. Ak hovoríme o jednotkovej kružnici, potom je to pomer ordináty k úsečke.

Súdiac podľa týchto vzťahov je možné pochopiť, že dotyčnica nemôže existovať, ak je hodnota úsečky nula, to znamená v uhle 90 stupňov. Tangenta môže nadobúdať všetky ostatné hodnoty.

Tangenta je kladná v prvej a tretej štvrtine jednotkového kruhu a záporná v druhej a štvrtej.

Inštrukcia

Ak potrebujete nájsť kosínus uhol v ľubovoľnom trojuholníku je potrebné použiť kosínusovú vetu:
ak je uhol ostrý: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ak uhol : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), kde a, b sú dĺžky strán priľahlých k rohu, c je dĺžka strany oproti rohu.

Užitočné rady

Matematický zápis pre kosínus je cos.
Hodnota kosínusu nemôže byť väčšia ako 1 a menšia ako -1.

Zdroje:

• ako vypočítať kosínus uhla
• Goniometrické funkcie na jednotkovej kružnici

Kosínus je základná goniometrická funkcia uhla. Schopnosť určiť kosínus je užitočná vo vektorovej algebre pri určovaní priemetov vektorov na rôznych osiach.

Inštrukcia

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Existuje trojuholník so stranami a, b, c rovnými 3, 4, 5 mm.

Nájsť kosínus uhol uzavretý medzi veľkými stranami.

Označme uhol oproti strane a priechod?, potom podľa vyššie odvodeného vzorca máme:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 = 32/40 = 0,8

Odpoveď: 0,8.

Ak je trojuholník pravouhlý, potom nájsť kosínus a stačí poznať dĺžky ľubovoľných dvoch strán uhla ( kosínus pravý uhol je 0).

Nech existuje pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c, kde c je prepona.

Zvážte všetky možnosti:

Nájdite cos?, ak sú známe dĺžky strán a a b (trojuholníka).

Využime navyše Pytagorovu vetu:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Pre správnosť výsledného vzorca dosadíme do neho z príkladu 1, t.j.

Po vykonaní základných výpočtov dostaneme:

Podobne existuje kosínus v obdĺžnikovom trojuholník v iných prípadoch:

Známe a a c (prepona a opačná noha), nájdite cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Nahradením hodnôt a=3 a c=5 z príkladu dostaneme:

b a c sú známe (prepona a priľahlé rameno).

Nájsť sos?

Po vykonaní podobných transformácií (uvedených v príkladoch 2 a 3) sme to získali v tomto prípade kosínus v trojuholník vypočíta sa pomocou veľmi jednoduchého vzorca:

Jednoduchosť odvodeného vzorca je vysvetlená elementárnym spôsobom: v skutočnosti susedí s rohom? noha je priemetom prepony, jej dĺžka sa rovná dĺžke prepony vynásobenej cos?.

Nahradením hodnôt b=4 a c=5 z prvého príkladu dostaneme:

Takže všetky naše vzorce sú správne.

Tip 5: Ako nájsť ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Priamo uhličitý trojuholník je pravdepodobne jedným z najznámejších geometrických útvarov z historického hľadiska. Pythagorejské "nohavice" môžu konkurovať iba "heuréke!" Archimedes.

Budete potrebovať

• - kresba trojuholníka;
• - pravítko;
• - uhlomer.

Inštrukcia

Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. v obdĺžnikovom trojuholník jeden uhol (vpravo) bude vždy 90 stupňov a ostatné sú ostré, t.j. menej ako 90 stupňov každý. Ak chcete určiť, ktorý uhol v obdĺžniku trojuholník je rovný, zmerajte strany trojuholníka pravítkom a určte najväčšiu. Je to prepona (AB) a je oproti pravému uhlu (C). Zvyšné dve strany tvoria pravý uhol a nohy (AC, BC).

Keď určíte, ktorý uhol je ostrý, môžete na výpočet uhla použiť buď uhlomer, alebo ho vypočítať pomocou matematických vzorcov.

Ak chcete určiť hodnotu uhla pomocou uhlomeru, zarovnajte jeho vrchol (označme ho písmenom A) so špeciálnou značkou na pravítku v strede uhlomeru, AC noha sa musí zhodovať s jeho horným okrajom. Označte na polkruhovej časti uhlomeru bod, cez ktorý prechádza prepona AB. Hodnota v tomto bode zodpovedá hodnote uhla v stupňoch. Ak sú na uhlomere uvedené 2 hodnoty, potom pre ostrý uhol musíte zvoliť menší, pre tupý - väčší.

Nájdite výslednú hodnotu v referenčnom Bradis a určte, ktorý uhol zodpovedá výslednej číselnej hodnote. Túto metódu používali naše staré mamy.

V našom stačí brať s funkciou výpočtu goniometrických vzorcov. Napríklad vstavaná kalkulačka Windows. Spustite aplikáciu „Kalkulačka“, v položke ponuky „Zobraziť“ vyberte položku „Inžinierstvo“. Vypočítajte sínus požadovaného uhla, napríklad sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Prepnite kalkulačku do režimu inverznej funkcie kliknutím na tlačidlo INV na displeji kalkulačky a potom kliknite na tlačidlo funkcie arcsínus (na displeji je označené ako mínus jedna mocnina). V okne výpočtu sa zobrazí nasledujúci nápis: asind (0,5) = 30. požadovaný uhol je 30 stupňov.

Zdroje:

• Bradisove stoly (sínus, kosínus)

Kosínusová veta v matematike sa najčastejšie používa, keď je potrebné nájsť tretiu stranu o uhol a dve strany. Niekedy je však stav problému nastavený opačne: je potrebné nájsť uhol pre dané tri strany.

Inštrukcia

Predstavte si, že dostanete trojuholník so známymi dĺžkami dvoch strán a hodnotou jedného uhla. Všetky uhly tohto trojuholníka nie sú rovnaké a jeho strany sú tiež rôzne veľké. Uhol γ leží oproti strane trojuholníka, označenej ako AB, čo je tento obrázok. Cez tento uhol, ako aj cez zvyšné strany AC a BC, môžete nájsť tú stranu trojuholníka, ktorá je neznáma, pomocou kosínusovej vety a na jej základe odvodiť vzorec uvedený nižšie:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, kde a=BC, b=AB, c=AC
Kosínusová veta sa inak nazýva zovšeobecnená Pytagorova veta.

Teraz si predstavte, že sú dané všetky tri strany obrazca, ale jeho uhol γ nie je známy. S vedomím, že tvar a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformujte tento výraz tak, aby požadovanou hodnotou bol uhol γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Potom preveďte vyššie uvedenú rovnicu do trochu iného tvaru: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Potom by sa tento výraz mal transformovať na nasledovné: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Zostáva nahradiť čísla vo vzorci a vykonať výpočty.

Ak chcete nájsť kosínus, označený ako γ, musíte ho vyjadriť pomocou inverznej trigonometrie, nazývanej inverzný kosínus. Arkosínus čísla m je hodnota uhla γ, pre ktorú sa kosínus uhla γ rovná m. Funkcia y=arccos m je klesajúca. Predstavte si napríklad, že kosínus uhla γ je jedna polovica. Potom možno uhol γ definovať z hľadiska kosínusu oblúka takto:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, kde m = 1/2.
Podobne môžete nájsť zostávajúce uhly trojuholníka s dvoma ďalšími neznámymi stranami.

Sínus a kosínus sú dve goniometrické funkcie, ktoré sa nazývajú "priame čiary". Práve s nimi treba počítať častejšie ako s ostatnými a dnes má každý z nás značný výber možností, ako tento problém vyriešiť. Nižšie sú uvedené niektoré z najjednoduchších spôsobov.

Inštrukcia

Ak nie sú k dispozícii iné spôsoby výpočtu, použite uhlomer, ceruzku a papier. Jedna z definícií kosínusu je daná ostrými uhlami v pravouhlom trojuholníku - rovná sa pomeru medzi dĺžkou nohy oproti tomuto uhlu a dĺžkou. Nakreslite trojuholník, kde jeden z uhlov je pravý (90°) a druhý je uhol, ktorý chcete vypočítať. Na dĺžke strán nezáleží - nakreslite ich tak, aby bolo pre vás pohodlnejšie merať. Zmerajte dĺžku požadovanej nohy a prepony a vydeľte prvú druhou akýmkoľvek vhodným spôsobom.

Využite možnosť oceňovať trigonometrické funkcie pomocou kalkulačky zabudovanej do vyhľadávača Nigma, ak máte prístup na internet. Napríklad, ak chcete vypočítať kosínus uhla 20 °, načítaním hlavnej stránky služby http://nigma.ru zadajte do poľa vyhľadávacieho dopytu „kosínus 20“ a kliknite na tlačidlo „Nájsť! tlačidlo “. Môžete vynechať „stupne“ a nahradiť slovo „kosínus“ cos – v každom prípade vyhľadávací nástroj zobrazí výsledok s presnosťou až na 15 desatinných miest (0,939692620785908).

Otvorte štandardný program - nainštalovaný s operačným systémom Windows, ak nemáte prístup na internet. Môžete to urobiť napríklad súčasným stlačením klávesov win a r, zadaním príkazu calc a kliknutím na tlačidlo OK. Na výpočet goniometrických funkcií je tu rozhranie nazývané "inžinierstvo" alebo "vedecké" (v závislosti od verzie OS) - vyberte požadovanú položku v časti "Zobraziť" v ponuke kalkulačky. Potom zadajte hodnotu uhla a kliknite na tlačidlo cos v rozhraní programu.

Podobné videá

Tip 8: Ako určiť uhly v pravouhlom trojuholníku

Obdĺžnik sa vyznačuje určitými pomermi medzi uhlami a stranami. Keď poznáte hodnoty niektorých z nich, môžete vypočítať iné. Na tento účel sa používajú vzorce, ktoré sú založené na axiómach a teorémoch geometrie.

Sínus je jednou zo základných goniometrických funkcií, ktorej aplikácia sa neobmedzuje len na geometriu. Tabuľky na výpočet goniometrických funkcií, ako napríklad inžinierske kalkulačky, nie sú vždy po ruke a výpočet sínusu je niekedy potrebný na riešenie rôznych problémov. Vo všeobecnosti výpočet sínusu pomôže upevniť zručnosti kreslenia a znalosti trigonometrických identít.

Hry s pravítkom a ceruzkou

Jednoduchá úloha: ako nájsť sínus uhla nakresleného na papieri? Na vyriešenie potrebujete bežné pravítko, trojuholník (alebo kružidlo) a ceruzku. Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať sínus uhla, je vydeliť vzdialenú časť trojuholníka s pravým uhlom dlhou stranou - preponou. Najprv teda musíte dokončiť ostrý uhol k obrázku pravouhlého trojuholníka nakreslením čiary kolmej na jeden z lúčov v ľubovoľnej vzdialenosti od vrcholu uhla. Bude potrebné dodržať uhol presne 90 °, na ktorý potrebujeme administratívny trojuholník.

Používanie kompasu je o niečo presnejšie, ale bude to trvať dlhšie. Na jednom z lúčov musíte označiť 2 body v určitej vzdialenosti, nastaviť polomer na kompase približne rovnaký ako vzdialenosť medzi bodmi a nakresliť polkruhy so stredmi v týchto bodoch, kým sa tieto čiary nepretínajú. Spojením priesečníkov našich kruhov medzi sebou dostaneme prísnu kolmicu na lúč nášho uhla, zostáva len predĺžiť čiaru, kým sa nepretína s iným lúčom.

Vo výslednom trojuholníku musíte pomocou pravítka zmerať stranu oproti rohu a dlhú stranu na jednom z lúčov. Pomer prvého merania k druhému bude požadovaná hodnota sínusu ostrého uhla.

Nájdite sínus pre uhol väčší ako 90°

Pre tupý uhol nie je úloha oveľa ťažšia. Je potrebné nakresliť lúč z vrcholu v opačnom smere pomocou pravítka, aby sa vytvorila priamka s jedným z lúčov uhla, ktorý nás zaujíma. S výsledným ostrým uhlom by ste mali postupovať tak, ako je opísané vyššie, sínusy susedných uhlov, ktoré spolu tvoria rozvinutý uhol 180 °, sú rovnaké.

Výpočet sínusu z iných goniometrických funkcií

Výpočet sínusu je tiež možný, ak sú známe hodnoty iných goniometrických funkcií uhla alebo aspoň dĺžky strán trojuholníka. K tomu nám pomôžu trigonometrické identity. Pozrime sa na bežné príklady.

Ako nájsť sínus so známym kosínusom uhla? Prvá trigonometrická identita, pochádzajúca z Pytagorovej vety, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu toho istého uhla sa rovná jednej.

Ako nájsť sínus so známou dotyčnicou uhla? Tangenta sa získa vydelením vzdialenejšej vetvy blízkou alebo vydelením sínusu kosínusom. Sínus teda bude súčinom kosínusu a dotyčnice a druhá mocnina sínusu bude druhou mocninou tohto súčinu. Druhý mocninový kosínus nahradíme rozdielom medzi jednotkou a druhým sínusom podľa prvej goniometrickej identity a jednoduchými manipuláciami prenesieme rovnicu na výpočet druhého sínusu cez dotyčnicu, resp. extrahujte koreň zo získaného výsledku.

Ako nájsť sínus so známym kotangensom uhla? Hodnotu kotangensu možno vypočítať vydelením dĺžky blízkeho od uhla nohy dĺžkou vzdialeného a tiež vydelením kosínusu sínusom, to znamená, že kotangens je inverznou funkciou dotyčnice s vzhľadom na číslo 1. Na výpočet sínusu môžete vypočítať dotyčnicu pomocou vzorca tg α \u003d 1 / ctg α a použiť vzorec v druhej možnosti. Analogicky s dotyčnicou môžete odvodiť aj priamy vzorec, ktorý bude vyzerať takto.

Ako nájsť sínus troch strán trojuholníka

Existuje vzorec na nájdenie dĺžky neznámej strany ľubovoľného trojuholníka, nielen pravouhlého trojuholníka, ak sú dané dve známe strany pomocou trigonometrickej funkcie kosínusu opačného uhla. Vyzerá takto.

No, sínus sa dá ďalej vypočítať z kosínusu podľa vzorcov vyššie.

POUŽÍVAŤ pre 4? Nepraskneš šťastím?

Otázka, ako sa hovorí, je zaujímavá ... Môžete, môžete odovzdať 4! A zároveň neprasknite ... Hlavnou podmienkou je pravidelne cvičiť. Tu je základná príprava na skúšku z matematiky. So všetkými tajomstvami a záhadami Jednotnej štátnej skúšky, o ktorých sa v učebniciach nedočítate... Preštudujte si túto časť, riešte ďalšie úlohy z rôznych zdrojov – a všetko vyjde! Predpokladá sa, že základná časť "Dosť pre teba a tri!" vám nespôsobuje žiadne problémy. Ale ak zrazu ... Sledujte odkazy, nebuďte leniví!

A začneme skvelou a hroznou témou.

Trigonometria

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Táto téma dáva študentom veľa problémov. Považuje sa za jednu z najzávažnejších. Čo je sínus a kosínus? Čo je tangens a kotangens? Čo je to číselný kruh? Stojí za to položiť si tieto neškodné otázky, pretože človek zbledne a snaží sa odviesť rozhovor na stranu ... Ale márne. Sú to jednoduché pojmy. A táto téma nie je o nič ťažšia ako ostatné. Musíte len jasne pochopiť odpovede na tieto otázky od samého začiatku. Je to veľmi dôležité. Ak ste na to prišli, trigonometria sa vám bude páčiť. takže,

Čo je sínus a kosínus? Čo je tangens a kotangens?

Začnime od staroveku. Nebojte sa, za 15 minút prejdeme všetkých 20 storočí trigonometrie a pre seba nepozorovane zopakujeme kúsok geometrie z 8. ročníka.

Nakreslite pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c a uhol X. Tu je jeden.

Pripomínam, že strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. a a c- korčule. Sú dve. Druhá strana sa nazýva prepona. s- prepona.

Trojuholník a trojuholník, mysli na to! Čo s ním robiť? Ale starí ľudia vedeli, čo majú robiť! Zopakujme ich činy. Zmeriame stranu v. Na obrázku sú bunky špeciálne nakreslené, ako sa to deje v úlohách skúšky. Side v sa rovná štyrom bunkám. OK. Zmeriame stranu a. Tri bunky.

Teraz rozdeľme dĺžku strany a na dĺžku strany v. Alebo, ako sa hovorí, zoberme si pomer a do v. a/c= 3/4.

Prípadne môžete zdieľať v na a. Dostaneme 4/3. Môcť v rozdeliť podľa s. hypotenzia s nepočítajte po bunkách, ale rovná sa 5. Dostávame a/c= 4/5. Stručne povedané, môžete rozdeliť dĺžky strán navzájom a získať nejaké čísla.

No a čo? Aký je zmysel tejto zaujímavej aktivity? Zatiaľ žiadne. Hlúpa práca, aby som bol úprimný.)

A teraz poďme na to. Zväčšíme trojuholník. Predĺžime strany do A zo, ale tak, aby trojuholník zostal pravouhlý. Rohový X, samozrejme, nemení. Ak ho chcete zobraziť, umiestnite kurzor myši na obrázok alebo sa ho dotknite (ak máte tablet). strany a, b a c zmeniť na m, n, k, a samozrejme sa budú meniť aj dĺžky strán.

Ale ich vzťah nie je!

Postoj a/c To bolo: a/c= 3/4, stal sa m/n= 6/8 = 3/4. Vzťahy iných relevantných strán tiež sa nezmení . Dĺžky strán v pravouhlom trojuholníku môžete ľubovoľne meniť, zväčšovať, zmenšovať, bez zmeny uhla x – vzťah príslušných strán sa nezmení . Môžete si to overiť, alebo môžete vziať slovo dávnych ľudí.

Teraz je to veľmi dôležité! Pomery strán v pravouhlom trojuholníku nijako nezávisia od dĺžok strán (pre rovnaký uhol). To je také dôležité, že vzťahy strán získali svoje špeciálne mená. Ich mená, takpovediac.) Zoznámte sa.

Aký je sínus uhla x ? Toto je pomer opačnej nohy k prepone:

sinx = a/c

Aký je kosínus uhla x ? Toto je pomer priľahlej nohy k prepone:

sosx= a/c

Aká je tangens uhla x ? Toto je pomer protiľahlej nohy k susednej:

tgx=a/c

Aký je kotangens uhla x ? Toto je pomer susednej nohy k opačnej:

ctgx = in/a

Všetko je veľmi jednoduché. Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú niektoré čísla. Bezrozmerný. Len čísla. Pre každý roh - ich vlastné.

Prečo sa tak nudne opakujem? Potom čo to je treba pamätať. Ironicky si pamätajte. Zapamätanie môže byť jednoduchšie. Fráza "Začnime z diaľky ..." je známa? Začnite teda z diaľky.

Sinus uhol je pomer vzdialený od uhla nohy po preponu. Kosínus je pomer najbližšej k prepone.

Tangenta uhol je pomer vzdialený od uhla katétra k najbližšiemu. Kotangens- naopak.

Už jednoduchšie, však?

No, ak si spomeniete, že iba nohy sedia v dotyčnici a kotangens a prepona sa objaví v sínusu a kosínusu, všetko bude celkom jednoduché.

Celá táto slávna rodina - sínus, kosínus, tangens a kotangens sa tiež nazýva goniometrické funkcie.

A teraz otázka na zváženie.

Prečo hovoríme sínus, kosínus, tangens a kotangens roh? Hovoríme o vzťahu strán, ako ... Čo to má spoločné roh?

Pozrime sa na druhý obrázok. Presne taký istý ako ten prvý.

Ukážte myšou na obrázok. Zmenil som uhol X. zväčšený z x až x. Všetky vzťahy sa zmenili! Postoj a/c bol 3/4 a zodpovedajúci pomer t/in stal sa 6.4.

A všetky ostatné vzťahy sa zmenili!

Preto pomery strán nijako nezávisia od ich dĺžok (v jednom uhle x), ale výrazne závisia práve od tohto uhla! A len od neho. Preto sa výrazy sínus, kosínus, tangens a kotangens týkajú rohu. Roh je tu hlavný.

Je potrebné ironicky pochopiť, že uhol je neoddeliteľne spojený s jeho goniometrickými funkciami. Každý uhol má svoj vlastný sínus a kosínus. A takmer každý má svoju tangentu a kotangens. To je dôležité. Predpokladá sa, že ak dostaneme uhol, potom jeho sínus, kosínus, tangens a kotangens vieme ! A naopak. Daný sínus alebo iná goniometrická funkcia, potom poznáme uhol.

Existujú špeciálne tabuľky, kde sú pre každý uhol napísané jeho goniometrické funkcie. Bradysove tabuľky sú tzv. Vyrábajú sa už veľmi dlho. Vtedy, keď ešte neexistovali počítače ani kalkulačky...

Samozrejme, goniometrické funkcie všetkých uhlov sa nedajú zapamätať. Stačí ich poznať z niekoľkých uhlov pohľadu, o tom neskôr. Ale kúzlo Poznám uhol, takže poznám jeho goniometrické funkcie“ - vždy funguje!

Tak sme si zopakovali kus geometrie z 8. ročníka. Potrebujeme to na skúšku? Nevyhnutné. Tu je typický problém zo skúšky. Na riešenie ktorého stačí 8. ročník. Uvedený obrázok:

Všetko. Neexistujú žiadne ďalšie údaje. Musíme nájsť dĺžku nohy BC.

Bunky málo pomáhajú, trojuholník je akosi nesprávne umiestnený.... Naschvál, hádam... Z informácií je dĺžka prepony. 8 buniek. Z nejakého dôvodu je daný uhol.

Tu si musíme okamžite spomenúť na trigonometriu. Existuje uhol, takže poznáme všetky jeho goniometrické funkcie. Ktorá z týchto štyroch funkcií by sa mala uviesť do činnosti? Pozrime sa, čo vieme, dobre? Poznáme preponu, uhol, ale musíme nájsť priľahlé do tohto rohu catet! Je jasné, že kosínus treba uviesť do činnosti! Tu začíname. Píšeme len podľa definície kosínusu (pomer priľahlé noha do prepony):

cosC = BC/8

Uhol C je 60 stupňov a jeho kosínus je 1/2. Musíte to vedieť, bez tabuliek! To je:

1/2 = slnko/8

Elementárna lineárna rovnica. Neznáme - slnko. Kto zabudol, ako riešiť rovnice, prejdite sa na odkaz, zvyšok rieši:

slnko = 4

Keď si starovekí ľudia uvedomili, že každý uhol má svoj vlastný súbor trigonometrických funkcií, mali rozumnú otázku. Nie sú sínus, kosínus, tangens a kotangens spolu nejako spojené? Takže keď poznáte jednu funkciu uhla, môžete nájsť zvyšok? Bez samotného výpočtu uhla?

Takto boli nepokojní...)

Spojenie medzi goniometrickými funkciami jedného uhla.

Samozrejme, sínus, kosínus, tangens a kotangens toho istého uhla spolu súvisia. Akékoľvek spojenie medzi výrazmi je v matematike dané vzorcami. V trigonometrii existuje obrovské množstvo vzorcov. Tu sa však pozrieme na tie najzákladnejšie. Tieto vzorce sa nazývajú: základné trigonometrické identity. Tu sú:

Tieto vzorce potrebujú poznať železo. Bez nich sa v trigonometrii nedá robiť vôbec nič. Z týchto základných identít vyplývajú ďalšie tri pomocné identity:

Hneď vás varujem, že posledné tri vzorce rýchlo vypadnú z pamäti. Z nejakého dôvodu.) Tieto vzorce môžete, samozrejme, odvodiť z prvých troch. Ale v ťažkej chvíli ... Chápeš.)

V štandardných úlohách, ako sú tie nižšie, existuje spôsob, ako tieto zabudnuteľné vzorce obísť. A výrazne znížiť chyby zo zábudlivosti a tiež vo výpočtoch. Táto prax je v sekcii 555, lekcia "Vzťah medzi goniometrickými funkciami jedného uhla."

V akých úlohách a ako sa používajú základné goniometrické identity? Najobľúbenejšou úlohou je nájsť nejakú funkciu uhla, ak je daná iná. Na skúške je takáto úloha prítomná z roka na rok.) Napríklad:

Nájdite hodnotu sinx, ak x je ostrý uhol a cosx=0,8.

Úloha je takmer elementárna. Hľadáme vzorec, kde sú sínus a kosínus. Tu je ten vzorec:

hriech 2 x + cos 2 x = 1

Nahradíme tu známu hodnotu, konkrétne 0,8 namiesto kosínusu:

hriech 2 x + 0,8 2 = 1

No, uvažujeme, ako obvykle:

hriech 2 x + 0,64 = 1

hriech 2 x \u003d 1 - 0,64

Tu takmer všetko. Vypočítali sme druhú mocninu sínusu, zostáva extrahovať druhú odmocninu a odpoveď je pripravená! Odmocnina z 0,36 je 0,6.

Úloha je takmer elementárna. Ale slovo "takmer" tu nie je zbytočné ... Faktom je, že odpoveď sinx = - 0,6 je tiež vhodná ... (-0,6) 2 bude tiež 0,36.

Získajú sa dve rôzne odpovede. A potrebujete jeden. Tá druhá je chybná. Ako byť!? Áno, ako obvykle.) Pozorne si prečítajte zadanie. Z nejakého dôvodu hovorí... ak x je ostrý uhol... A v úlohách má každé slovo svoj význam, áno ... Táto fráza je doplnková informácia k riešeniu.

Ostrý uhol je uhol menší ako 90°. A v takýchto uhloch všetky goniometrické funkcie - sínusové aj kosínusové a tangens s kotangens - pozitívne. Tie. zápornú odpoveď tu jednoducho zahodíme. Máme právo.

V skutočnosti žiaci ôsmeho ročníka takéto jemnosti nepotrebujú. Pracujú len s pravouhlými trojuholníkmi, kde rohy môžu byť iba akútne. A nevedia, šťastní, že existujú negatívne uhly a uhly 1000 ° ... A všetky tieto uhly nočnej mory majú svoje vlastné trigonometrické funkcie s plusom aj mínusom ...

Ale pre stredoškolákov bez zohľadnenia znamenia - v žiadnom prípade. Veľa vedomostí znásobuje trápenie, to áno...) A pre správne riešenie musí úloha obsahovať ďalšie informácie (ak je to potrebné). Môže byť napríklad uvedené ako:

Alebo nejakým iným spôsobom. Uvidíte v príkladoch nižšie.) Na vyriešenie takýchto príkladov musíte vedieť do ktorej štvrtiny spadá daný uhol x a aké znamienko má požadovaná goniometrická funkcia v tejto štvrtine.

Tieto základy trigonometrie sa rozoberajú v lekciách, čo je to trigonometrický kruh, počítanie uhlov na tomto kruhu, radiánová miera uhla. Niekedy potrebujete poznať aj tabuľku sínusov kosínusov dotyčníc a kotangens.

Takže si všimnime to najdôležitejšie:

Praktické rady:

1. Pamätajte na definície sínus, kosínus, tangens a kotangens. Veľmi užitočný.

2. Jasne asimilujeme: sínus, kosínus, tangens a kotangens sú pevne spojené s uhlami. Vieme jedno, tak vieme aj niečo iné.

3. Jasne asimilujeme: sínus, kosínus, tangens a kotangens jedného uhla sú vzájomne prepojené základnými trigonometrickými identitami. Poznáme jednu funkciu, čo znamená, že vieme (ak máme potrebné dodatočné informácie) vypočítať všetky ostatné.

A teraz sa poďme rozhodnúť, ako obvykle. Najprv úlohy v objeme 8. ročníka. Ale môžu aj stredoškoláci...)

1. Vypočítajte hodnotu tgA, ak ctgA = 0,4.

2. β - uhol v pravouhlom trojuholníku. Nájdite hodnotu tgβ, ak sinβ = 12/13.

3. Určte sínus ostrého uhla x, ak tgx \u003d 4/3.

4. Nájdite hodnotu výrazu:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Nájdite hodnotu výrazu:

(1-cosx)(1+cosx), ak sinx = 0,3

Odpovede (oddelené bodkočiarkami, neusporiadané):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Stalo? Výborne! Žiaci ôsmeho ročníka už môžu nasledovať svoje A.)

Nevyšlo všetko? Úlohy 2 a 3 sú akosi málo...? Žiaden problém! Na takéto úlohy existuje jedna krásna technika. O všetkom sa rozhoduje prakticky bez vzorcov! A teda bez chýb. Táto technika je opísaná v lekcii: „Vzťah medzi goniometrickými funkciami jedného uhla“ v časti 555. Všetky ostatné úlohy sú tam tiež rozložené.

Boli to problémy ako Jednotná štátna skúška, ale v odstrihnutej verzii. POUŽITIE - svetlo). A teraz takmer rovnaké úlohy, ale v plnohodnotnej forme. Pre vedomostne zaťažených stredoškolákov.)

6. Nájdite hodnotu tgβ, ak sinβ = 12/13 a

7. Určte sinx, ak tgx = 4/3 a x patrí do intervalu (- 540°; - 450°).

8. Nájdite hodnotu výrazu sinβ cosβ, ak ctgβ = 1.

Odpovede (v neporiadku):

0,8; 0,5; -2,4.

Tu v úlohe 6 je uhol daný akosi nie veľmi jednoznačne... Ale v úlohe 8 nie je nastavený vôbec! Je to zámerne). Doplňujúce informácie sa berú nielen z úlohy, ale aj z hlavy.) Ak sa však rozhodnete, jedna správna úloha je zaručená!

Čo ak ste sa nerozhodli? Hm... No, sekcia 555 tu pomôže. Tam sú riešenia všetkých týchto úloh podrobne popísané, je ťažké nepochopiť.

V tejto lekcii je uvedený veľmi obmedzený koncept goniometrických funkcií. Do 8. ročníka. Seniori majú otázky...

Napríklad, ak uhol X(pozri druhý obrázok na tejto strane) - urob to hlúpe!? Trojuholník sa rozpadne! A ako byť? Nebude žiadna noha, žiadna prepona ... Sínus je preč ...

Ak by starovekí ľudia nenašli východisko z tejto situácie, nemali by sme teraz mobilné telefóny, televíziu ani elektrinu. Áno áno! Teoretický základ všetkých týchto vecí bez goniometrických funkcií je bez prútika nula. Ale starí ľudia nesklamali. Ako sa dostali von - v ďalšej lekcii.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážka, ale matematický pojem :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Pravý uhol sa zvyčajne označuje . Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže strana ležiaca oproti uhlu A je označená.

Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.

Hypotenzia Pravouhlý trojuholník je strana oproti pravému uhlu.

Nohy- strany oproti ostrým rohom.

Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.

Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):

Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Ale prečo potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku je známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?

Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo merať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.

Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Banky FIPI.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pretože , .

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Hľadajme podľa Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. Ale to nie je všetko! Vo variantoch skúšky z matematiky je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.